I Numeri (1M)

• Trova il MCD e il mcm tra 136 e 72:

1. Scomponi in fattori 136

2. Scomponi in fattori 72

3. Il mcm e il prodotto di tutti i fattori primi con l’esponente piu alto.Il mcm tra 136 e 72 e:

4. Il MCD e il prodotto SOLO dei fattori primi IN COMUNE, con l’esponente piu basso.Il MCD tra 136 e 72 e:

5. Adesso trova il mcm tra 15 e 24

6. Trova il MCD tra 75 e 20

7. Trova il MCD e il mcm tra 55 e 250

8. Trova il mcm tra 15 e 20

9. Trova il mcm tra 5 e 24

• Operazioni tra numeri razionali (tra frazioni):

1. SOMME E SOTTRAZIONI: si trova il mcm tra i denominatori e si trasformano le frazioniin frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.

3

4+

8

14I denominatori sono 4 e 14. Il loro mcm e 28 (perche?).

3

4+

8

14=

3 · 7 + 8 · 2

28=

37

28

2 +1

4− 1

5=

2

1+

1

4− 1

5I denominatori sono 1, 4 e 5. Il loro mcm e 20 (perche?).

2 +1

4− 1

5=

2

1+

1

4− 1

5=

2 · 20 + 1 · 5 − 1 · 4

20=

41

20Adesso svolgi i seguenti calcoli:

(a)3

4+

4

5=

(b)6

8+

2

3=

(c)6

7− 4

5=

(d) 1 +5

2− 1

3=

(e)4

3+ 2 =

(f)5

3− 7

6+

1

2− 1 =

2. MOLTIPLICAZIONI: Si moltiplicano i numeratori tra di loro e i denominatori tra di loro.

3

4· 8

14· 3 =

3 · 8 · 3

4 · 14 · 1=

72

56=

RIDUCO AI MINIMI TERMINI

dividendo per il MCD tra 72 e 56

che e 23 = 8

=9

7

Adesso svolgi i seguenti calcoli:

(a)3

4· 4

5=

(b)6

8· 2

3=

(c)6

7·(−4

5

)=

(d) 2 · 5

2·(−1

3

)=

3. DIVISIONI: Si moltiplica il dividendo per il reciproco del divisore.

3

4:

9

12=

3

4·12

9=

3 · 12

4 · 9=

36

36= 1

Adesso svolgi i seguenti calcoli:

(a)3

4:

4

5=

(b) −6

8:

2

3=

(c)6

7:

(−4

5

)=

4. Svolgi le seguenti espressioni e ricorda:Si svolgono per prime le operazioni piu interne alle parentesi.Si svolgono per prime le moltiplicazioni e le divisioni, poi le somme e le sottrazioni.Il prodotto di due numeri concordi e sempre positivo.Il prodotto di due numeri discordi e sempre negativo.

(a)2

7·(

3 − 5

4

)− 5

2·(

4

5− 2

3

)

(b)

{[1 − 1

2·(

1 − 1

2

)]· 3

4+

5

12:

(3

2− 2

3

)}:

17

8

(c)

(1

2+

1

3− 1

7

)·(

1

3+

7

21+

9

27

)−(

1

2− 1

7+

1

3

)·(

1

3+

5

15+

11

33

)

• POTENZE: sono un modo compatto per scrivere prodotti tra numeri uguali:23 = 2 · 2 · 2 = 82 e la base della potenza, 3 e l’esponente che dice quante volte va moltiplicata la base per sestessa.Ricorda: (+7)0 = 1, (−5)0 = 1.Le potenze non possono avere base =0.I risultati delle potenze non sono mai =0.Le potenze sono moltiplicazioni, quindi il SEGNO (+ oppure -) del risultato dipende dal segnodella base e da quante volte eseguo la moltiplicazione:Se la base e positiva, la potenza e sempre positiva (per tutti gli esponenti)Se la base e negativa, la potenza e positiva se l’esponente e pari: (−5)2 = (−5) · (−5) = +25Se la base e negativa, la potenza e negativa se l’esponente e dispari: (−5)3 = (−5)·(−5)·(−5) =−125

Senza svolgere i calcoli, scrivi se la potenza che risulta e positiva o negativa. Sfrutta le regoleche hai appena studiato.

(−3)7685 (−3)658 (+4)432 (−5)−6

(+2)7 (−3)10 (−4)−2 (−5)−1

(−1)37 (−3)1 (−45237949273)0 (−35)−124

Operazioni tra potenze:

(a) prodotto di potenze con la stessa base: il risultato e la potenza con quella base elevataalla somma degli esponenti.(+2)5 · (+2)7 = (+2)5+7 = (+2)12

(b) divisione tra potenze con la stessa base: il risultato e la potenza con quella baseelevata alla differenza degli esponenti.(−2)8 : (−2)7 = (−2)8−1 = (−2)1 = −2Un occhio al segno: (−2)8 e positivo, (−2)7 e negativo, quindi il risultato e negativo.Puo essere utile per una verifica del risultato.

(c) prodotto/divisione di potenze con base diversa ed esponente uguale: il risultato e ilprodotto/divisione tra le due basi, il tutto elevato all’(unico) esponente.

(−3)6 · (+5)6 = [(−3) · (+5)]6 = (−15)6

(−10)8 : (−5)8 =

(−10

−5

)8

= (+2)8

E utile anche per calcolare le potenze delle frazioni:

(−4

3

)2

=(−4)2

32=

16

9

(d) potenza di una potenza: il risultato e una potenza con la stessa base elevata alprodotto degli esponenti.[(+2)5

]7= 25·7 = 235

(e) potenze con esponente intero negativo: sono la potenza del reciproco della base ele-vato all’opposto dell’esponente.

(+2)−1 =

(1

2

)+1

=1

2(3)−2 =

(1

3

)+2

=1

9

(−3)−1 =

(−1

3

)+1

= −1

3

(2

5

)−3

=

(5

2

)+3

=125

8(−3

4

)−2

=

(−4

3

)+2

= +16

9

(−2

3

)−1

=

(−3

2

)+1

= −3

2

Adesso svolgi i seguenti calcoli, utilizzando tutte le proprieta delle potenze che conosci ed eventual-mente svolgendo la potenza solo alla fine (nelle espressioni), altrimenti lascia finche e possibile lapotenza in forma compatta.

(−3)2 = (−5)−2 = (+4)3 = (−5)−1 =

73 · 7 = (−5)−3 · (−5)+3 = (+4)3 · (+4)2 =

(−5)−1 · (−5)−2 = 73 : 72 = (−5)5 : (−5)2 =

(+4)2 : (+4)2 = [(−5)−1]3

=[(12)−1]−2

=

(1

2

)4

·

[(1

2

)3]3

:[(2)−3]8 − (1

2

)12

=

[(5

4

)9

·(

5

4

)4]2

:

[(5

4

)5

·(

5

4

)3]3

−(

3

4

)2

=

(1

20+

3

5

)·(

1

2+

1

13

)+

(1

3− 1

12

):

(1

2− 1

4

)− 3

8=

[(1 +

1

2+

1

5

)·(

3

2− 47

34

)+

9

5

]: (2)−1 =

31

10−{

3 −[

1

5+

3

2−(

6

4− 2

10

)]}=