Trigonometria
23
Dott.ssa Donatella Cocca Introduzione alla trigonometria Def. (Angolo piano) Si consideri una superficie piana, è detta angolo ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette uscenti da uno stesso punto appartenente alla superficie. Def. (Origine dell'angolo) Si dice origine dell'angolo piano il punto di intersezione delle due semirette che generano l'angolo stesso.
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Do
tt.ssa D
on
ate
lla C
occa
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
Def.
(An
go
lop
ian
o)
Si
con
sideri
un
asu
perficie
pia
na
,è
detta
an
go
locia
scun
ad
elledu
ep
arti
di
pia
no
delim
itate
da
du
esem
iretteu
scenti
da
un
ostesso
pu
nto
ap
parten
ente
alla
sup
erficie.
Def.
(Orig
ine
dell'a
ng
olo
)S
id
iceo
rigin
ed
ell'an
go
lopia
no
ilp
un
tod
iin
tersezion
ed
elled
ue
semirette
che
gen
erano
l'an
go
lostesso
.
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
Ilp
un
toO
sich
iama
vertice
dell'an
go
loe
led
ue
semirette
s1e
s2si
dico
no
lati
dell'an
go
lo.
Idu
e
ang
oli
che
sifo
rman
o(p
arteceleste
ep
arte
verd
e)si
dico
no
esplem
enta
rip
oich
éso
no
distin
tie
han
no
ilco
nto
rno
com
un
e.L
'ang
olo
celestesi
dice
con
cav
oin
qu
anto
con
tiene
alsu
o
intern
oi
pro
lun
gam
enti
delle
semirette
(lelin
ee
trattegg
iate).L
'ang
olo
verd
eal
con
trariosi
dice
con
vesso
poich
én
on
con
tiene
alsu
oin
terno
i
pro
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gam
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delle
semirette.
Si
chiam
aarco
lap
artedi
circon
ferenza
inclu
sa
inu
nan
go
loal
centro
della
circon
ferenza
stessa.
La
linea
curv
aro
ssaè
l'intersezio
ne
trala
circon
ferenza
di
centro
inO
el'an
go
loco
nv
esso
^A
OB
.L
alin
earo
ssaè
detta
arco
sotteso
dall'an
go
lo^
AO
Balla
circon
ferenza.
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
Per
misu
rareu
nan
golo
occo
rrefissarn
el'u
nità
di
misu
ra.U
n'u
nità
spesso
usata
èil
gra
do
.
Def.
(Gra
do
)S
id
efinisce
gra
do
l'am
piezza
di
un
an
go
loch
e
sotten
de
un
arco
di
circon
ferenza
pari
ad
1/3
60
della
lun
gh
ezzato
tale
della
circon
ferenza
stessa.
Du
nq
ue
abb
iamo:
Du
nq
ue
abb
iamo:
Du
nq
ue
per
un
gen
ericoan
go
lov
alela
form
ula:
Ilg
rad
oè
la3
60
ma
pa
rted
ell'an
go
log
iro.
La
60
ma
pa
rted
el
gra
do
sidice
min
uto
prim
oe
la6
ma
pa
rted
elm
inu
top
rimo
sid
icem
inu
toseco
nd
o.
++
=°
3600
60
o
'''
cb
ac
ba
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
Intu
ttele
qu
estioni
di
matem
aticav
iene
presa
com
eu
nità
fon
dam
entale
no
nil
grad
ob
ensì
ilra
dia
nte.
Def.
(Ra
dia
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Si
dice
misu
rain
rad
ian
tid
iu
na
ng
olo
il
rap
po
rtotra
lalu
ngh
ezzad
ell'arco
di
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ferenza
sotteso
da
ll'ang
olo
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rag
gio
della
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ferenza
stessa.
Sia
no
,
du
nqu
e,α
l'an
golo
da
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rare,
Lla
lun
gh
ezzad
ell'arco
du
nqu
e,α
l'an
golo
da
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rare,
Lla
lun
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ezzad
ell'arco
corrisp
on
den
tee
Ril
ragg
iod
ellacirco
nferen
zava
le
l'imp
orta
nte
relazio
ne:
Dalla
segu
ente
defin
izion
esi
otten
gon
ole
segu
enti
imp
ortan
ti
relazion
i:
R L=
α
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
�A
ng
olo
giro
:L
'arcoso
ttesod
au
nan
go
log
iroco
rrispo
nde
atu
tta
lacirco
nferen
zae
du
nq
ue
ha
lun
ghezza
pari
aL
=2
Rd
ov
eR
èil
ragg
iod
ellacirco
nferen
za,d
un
qu
esi
ha:
�L
un
gh
ezza
dell'a
rcod
icirco
nferen
za:
La
lun
gh
ezzad
iun
arco
ππ
πα
α2
2
2=
⇒=
=giro
giro
R
R
�L
un
gh
ezza
dell'a
rcod
icirco
nferen
za:
La
lun
gh
ezzad
iun
arco
di
circon
ferenza
è:
Un
meto
do
di
passag
gio
da
un
sistema
di
un
itàd
im
isura
adu
naltro
con
sistein
un
asem
plice
pro
porzio
ne
che
sibasa
sul
fattoch
eè
noto
il
valo
redell'a
ng
olo
giro
siain
gra
di
che
inra
dia
nti.
La
pro
porzio
ne
èla
segu
ente:
RL
α=
°=
360
:2:
αα
πgra
di
rad
Intro
du
zion
e alla
trigo
no
metria
Es.
(Pa
ssag
gio
da
gra
di
ara
dia
nti)
Si
trasfo
rmi
da
gra
di
ara
dia
nti
l'ang
olo
:''
23
'22
34°
=α
°≅
=°
=°
++
37
3,
34
''2
3'
22
34
36
00
23
60
22
34
o
αDa
llap
rop
orzio
ne
preced
ente
sih
a:
36
00
60
rad
rad
6,0
23
60 37
3,
34
37
3,
34
≅
=
°=
παIn
trod
uzio
ne a
lla trig
on
om
etria
Le
relazion
ino
tevo
litra
grad
ie
radian
tiso
no
riassun
ten
ella
segu
ente
tabella:
Gra
di
Ra
dia
nti
00
30
°π
/6
45
°π
/44
5°
π/4
60
°π
/3
90
°π
/2
18
0°
π
27
0°
3π
/2
36
0°
2π
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Prim
ad
id
escrivere
lefu
nzio
ni
fon
dam
entali
che
varian
oa
secon
da
del
variare
di
un
dato
valo
rean
go
lareè
op
po
rtuno
ricord
arech
eco
s'èesattam
ente
un
afu
nzio
ne:
Def.
(Fu
nzio
ne)
un
afu
nzio
ne
èu
na
legg
ech
em
ettein
relazio
ne
du
ein
siemi,
sian
oA
eB
,in
mo
do
che
ad
un
elemen
tod
iA
corrisp
on
da
uno
eu
nso
loelem
ento
di
B.
Ta
leelem
ento
di
Aco
rrispo
nda
uno
eu
nso
loelem
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di
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Ta
le
legg
esi
scrive:
(2.1
)
Nel
no
strocaso
l`insiem
eA
saràq
uello
dei
po
ssibili
valo
rid
i
un
an
go
lom
entre
l`insiem
eB
varierà
caso
per
caso
.
BA
xf
→:
)(
Ax∈
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Def.
(Fu
nzio
ne
pa
ri)U
na
funzio
ne
sidice
pa
rise
no
nva
riaa
lva
riare
del
segn
od
elp
rop
rioa
rgo
men
tox.
Ovvero
seva
lela
segu
ente
relazio
ne:
f(-x)=
f(x)∀
x∈
D(2
.2)
do
veco
nD
ab
bia
mo
ind
icato
ild
om
inio
della
funzio
ne.
Es.
(Po
tenze
pa
rid
ix
)T
utte
lep
oten
zep
arid
ix
son
ofu
nzio
ni
pari,
infatti:
f(x) = x
2k⇒
f(-x) = (-x)
2k
= (-1
)2
kx2
k=
x2
k=
f(x) k ∈Z
f(x) = x
⇒f(-x) =
(-x)=
(-1)
x=
x=
f(x) k ∈Z
do
ve
lap
enultim
au
gu
aglian
zaè
data
dal
fattoch
eil
-1è
elevato
adu
na
po
tenza
pari.
Def.
(Fu
nzio
ne
disp
ari)
Un
afu
nzio
ne
sidice
disp
ari
seva
riaso
lop
eru
nseg
no
men
o(-
)g
lob
ale
al
varia
red
elseg
no
del
pro
prio
arg
om
ento
x.O
vverose
vale
laseg
uen
terela
zion
e:
f(-x) = -f(x) ∀
x∈
D (2
.3)
do
veco
nD
ab
bia
mo
ind
icato
ild
om
inio
della
funzio
ne.
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Es.
(Po
tenze
disp
ari
di
x)
Tu
ttele
po
tenze
disp
arid
ix
son
ofu
nzio
ni
disp
ari,infatti:
f(x) = x
2k+
1) f(-x) =
(-x)2
k+1
= (-1
)2
k+1x
2k+
1=
-x2
k+1
= -f(x) k 2
Z
do
ve
lap
enultim
au
gu
aglian
zaè
data
dal
fattoch
eil
-1è
elevato
adu
na
po
tenza
disp
ari.
Def.
(Fu
nzio
ne
perio
dica
)U
na
funzio
ne
f(x)si
dice
perio
dica
se
verificala
segu
ente
pro
prietà
:
f(x + kT
) = f(x)
∀x ∈
Z(2
.4)
per
un
da
tova
lore
della
costa
nte
Tch
ep
rende
iln
om
ed
ip
eriod
od
ella
fun
zion
e.
La
caratteristicafo
nd
amen
taled
iun
afu
nzio
ne
perio
dica
è,d
un
qu
e,ch
e
assum
eg
listessi
valo
rio
gn
iq
ual
volta
ilp
rop
rioarg
om
ento
aum
enta
o
dim
inu
isced
iu
np
eriod
oT
.
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Le
du
efu
nzio
ni
che
stann
oalla
base
di
tutta
latrig
on
om
etriaso
no
chiam
atesin
lettosen
oe
cos
lettoco
seno
.
La
defin
izion
ed
iq
ueste
du
efu
nzio
ni
èd
ataa
partire
da
un
acirco
nferen
zaC
ilcu
icen
troO
siaan
che
l'orig
ine
di
un
sistema
di
assicartesian
ix
ey.
Sia
dato
un
an
go
loα
con
orig
ine
inO
efo
rmato
da
du
esem
iretted
icu
iO
efo
rmato
da
du
esem
iretted
icu
iu
na
coin
ciden
teco
nl'asse
xe
l'altrach
ein
tersecala
circon
ferenza
nel
pu
nto
Pco
me
infig
ura,
po
ssoco
struire
led
ue
pro
iezion
id
elp
un
toP
sull'asse
xe
y,tali
pro
iezion
i
corrisp
ond
erann
orisp
ettivam
ente
all'a
scissae
all'o
rdin
ata
del
pu
nto
P.
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Def.
(Sen
o)
ilsen
od
ell`ang
olo
,in
dica
toco
nsin
,è
ilra
pp
orto
trail
segm
ento
,p
roiezio
ne
del
pu
nto
Psu
ll`asse
y,e
ilra
gg
iodella
circonferen
za.
Ovvero
:
RO
PO
PO
RO
=α
sin
Def.
(Co
seno
)il
cosen
od
ell'ang
olo
,in
dica
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nco
s,è
ilra
pp
orto
tra
ilseg
men
to,
pro
iezion
ed
elp
unto
Qsu
ll'asse
x,e
ilra
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iodella
circonferen
za.
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:R
OPO
PO
QO
=α
cos
Le fu
nzio
ni g
on
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etriche
Pro
prietà
del
seno
eco
seno
:
�N
on
vi
son
ov
alori
che
un
ang
olo
no
np
uò
assum
ere,sian
oessi
po
sitivi
oneg
ativi,
inoltre
dato
qualsiasi
ang
olo
èsem
pre
possib
ile
costru
irele
pro
iezioni
RO
eQ
O.
Qu
indi
siaα
ilg
enerico
argo
men
to
della
fun
zion
esi
pu
òq
uin
di
avere:
α∈∈∈ ∈
R
�sin
eco
sso
no
fun
zioni
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dich
e:q
uesto
significa
che
assum
on
o
gli
stessivalo
rip
eriodicam
ente
all'aum
entare
della
loro
variab
ileg
listessi
valo
rip
eriodicam
ente
all'aum
entare
della
loro
variab
ile
ind
ipen
den
te,n
eln
ostro
caso:
α.V
algo
no
,d
un
qu
e,le
relazion
i:
sin(α
+2
kπ
) = sin
αk
∈∈∈ ∈N
cos(α
+2
hπ
) = co
sαh∈∈∈ ∈
N
�D
atou
nan
go
loα
qualsiasi
trail
suo
sine
ilsu
oco
svale
la
relazion
e:sin
α2
+co
sα2
=1
(Teo
rema
fon
dam
entale
della
trigo
no
metria)
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
�Il
sine
ilco
sso
no
funzio
ni
limita
tee
inpartico
lareil
loro
mo
du
lo
no
np
uò
mai
esseresu
perio
reall'u
nità,
ov
vero
(siaα
ilgen
erico
ang
olo
argo
men
tod
ellefu
nzio
ni):
|sinα
| ≤≤≤ ≤1 1 1 1 ∪∪∪ ∪
|cosα
| ≤≤≤ ≤1 1 1 1 ∀∀∀ ∀
α∈∈∈ ∈
RRR R
(Lim
itatezzad
isin
eco
s)
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
�Il
sinè
un
afu
nzio
ne
disp
ari,
ov
vero
,q
ualu
nq
ue
siail
suo
argo
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to,v
alela
relazion
e:
sin(-
α) =
-sin(α
)
�Il
cos
èu
na
fun
zion
ep
ari,
ov
vero
,qu
alun
que
siail
suo
argom
ento
,
vale
larelazio
ne:
cos(-
α) =
cos(α
)
senα
cos
αsen
αco
sα
Le fu
nzio
ni g
on
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etriche d
eriva
te da
sin e co
s
Def.
(Ta
ng
ente)
Si
defin
isceta
ng
ente
dell'a
ngo
loα
ilra
pp
orto
trail
sine
ilco
sd
ell'ang
olo
stesso.
Info
rmu
laq
uesta
relazio
ne
siesp
rime
con
:
Def.
(Co
tan
gen
te)Si
defin
isceco
tan
gen
ted
ell'ang
olo
αil
rap
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rtotra
ilco
se
ilsin
dell'a
ngo
lostesso
,o
vverol'in
versod
ellata
ng
ente.
In
form
ula
qu
estarela
zion
esi
esprim
eco
n:
α αα
cos
sintan
=
form
ula
qu
estarela
zion
esi
esprim
eco
n:
Def.
(Seca
nte\C
oseca
nte)
Si
defin
isceseca
nte\co
secan
tedell'a
ng
olo
α
l'inverso
del
sin\co
sd
ell'ang
olo
stesso,o
vvero: α α
αα
sin
cos
tan 1co
t=
=
αα
αα
cos 1
csc
sin 1
sec=
=
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Pro
prietà
della
fun
zion
eta
ng
ente:
�Il
do
min
iod
ellafu
nzio
ne
tang
ente
no
nè
tutto
l'assereale,
infatti
i
pu
nti
incu
ico
sα=
0so
no
sing
olarità
del
den
om
inato
ree
man
dan
o
a∞
lafu
nzio
ne.
Qu
ind
iil
do
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iod
ellafu
nzio
ne
tang
ente
risulta:
Dta
nα
={α
|α
≠π
/2+
kπ,
k∈Ζ
}
�L
ata
ng
ente
di
un
ang
olo
α
èu
na
fun
zion
ep
eriod
icad
iè
un
afu
nzio
ne
perio
dica
di
perio
do
πππ πo
vv
ero:
tan
(α+
kπ)=
tanα
k ∈Z
�L
afu
nzio
ne
tan
gen
teè
disp
ari
nel
pro
prio
argo
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to,
ov
vero
vale
larelazio
ne:
tan
(-α) =
-tanα
∀α∈
Dta
n
Le fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
Pro
prietà
della
fun
zion
eco
tan
gen
te:
�Il
do
min
iodella
fun
zione
cotan
gen
ten
on
ètu
ttol'asse
reale,in
fattii
pu
nti
incu
isin α
=0
son
osin
go
laritàd
eld
eno
min
atore
em
and
ano
a
∞la
fun
zion
e.Q
uin
di
ild
om
inio
della
fun
zion
eco
tang
ente
risulta:
Dco
tα=
{α|
α≠
π+
kπ,
k∈Ζ
}
�L
aco
tan
gen
ted
iu
nan
go
loα
èu
na
fun
zion
ep
eriod
icad
iè
un
afu
nzio
ne
perio
dica
di
perio
do
πππ πo
vv
ero:
cot( α
+ kπ
) = co
tαk ∈
Z
�L
afu
nzio
ne
cota
ng
ente
è
disp
ari
nel
pro
prio
argo
men
to,
ov
vero
vale
larelazio
ne:
cot(- α
) = -co
tα ∀
α∈
Dta
n
Co
mp
orta
men
ti delle fu
nzio
ni g
on
iom
etriche
La
tabella
che
segu
em
ostra
ilseg
no
delle
fun
zioni
go
nio
metrich
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nzio
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ua
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ua
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IV
Sen
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ositiv
o crescen
teP
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o d
ecrescente
Neg
ativo
decrescen
teN
egativ
o crescen
te
Co
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Po
sitivo
decrescen
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egativ
o d
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Neg
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crescente
Po
sitivo
crescente
Tan
gen
teP
ositiv
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teP
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o crescen
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tang
ente
Po
sitivo
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Po
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zion
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30
30
30
30
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/4/4/4 /44
54
54
54
5°°° °
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60
60
60
60
°°° °πππ π
/2/2/2 /29
09
09
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0°°° °
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80
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01
80
18
0°°° °
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70
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0°°° °
2πππ π
36
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36
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60
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1/2
10
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11
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-10
1
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1+
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-∞0
/22
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3
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/23
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10
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+∞
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3
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zion
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li tra le fu
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oe
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�N
ota
latan
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tericav
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oe
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αα
αα
22
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co
s-
1sin
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∧±
=
αα
α
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:
�N
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latan
gen
te:
αα
tan1
tan1
++
α
αα
αα
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1
cot
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s
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t1
1sin
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+±
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αα
α
αα
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2
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∨−
±=
∨−
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i asso
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ariano
qu
and
og
lian
go
liv
ariano
di
qu
antità
notev
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αα
α
αα
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t 2
2
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−±
=∨
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no
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e, sottra
zion
e, bisezio
ne,
du
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e e pro
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rmu
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algeb
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rod
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rmu
le di a
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izion
e, sottra
zion
e, bisezio
ne,
du
plica
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e e pro
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ua
zion
i trigo
no
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e
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laseg
uen
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ua
zion
e
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piam
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go
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nel
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/3⇒
α=
x=
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x=
π/2
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36 π
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=
=
α=
(x-π/6
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zion
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lad
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oli
sup
plem
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ha
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seno
dell’an
go
loπ
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efinitiv
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du
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luzio
ni
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2
kπ
2 πx
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2
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π2 π
x∈
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∨+
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ua
zion
i trigo
no
metrich
e
Esem
pio
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laseg
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ua
zion
e
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rmu
led
id
up
licazio
ne
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x=
2sin
xco
sx)
2 sin
2x
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x =
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x ⇒
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2x
cos 2
x -
cos 2
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0
Racco
gliam
oco
s2
xa
fattor
com
un
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cos
2x
(2sin
2x
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po
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oo
rau
gu
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dev
oriso
lvere
led
ue
po
niam
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tramb
ei
fattori:
dev
oriso
lvere
led
ue
equ
azion
i:
cos
2x
=0
;2
sin2
x-
1=
0
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s2
x=
0so
che
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seno
vale
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go
lod
i9
0°
(π/2
),
qu
indi
2x
=9
0°
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36
0°
però
iocerco
l'ang
olo
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idiam
op
er2
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°+
k1
80
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do
18
0-
45
=1
35
x=
45
°+
k1
80
°v
x=
13
5°
+k
18
0°
cioè
x=
π/4
+k
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x=
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kπ
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sin2
x-
1=
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2x
;2
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x=
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x=
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ua
zion
i trigo
no
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che
ilsen
ov
ale1/2
per
gli
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li3
0°,
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15
0°,
5π
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(Per
lafo
rmu
lad
egli
ang
oli
sup
plem
entari)
qu
ind
ip
osso
scrivere:
2x
= 3
0°
+ k
36
0°
v 2
x =
15
0°
+ k
36
0°
2x
= π
/6 +
2k
πv
2x
= 5
π/6
+ 2
kπ
però
iocerco
l'ang
olo
xe
qu
ind
id
ivid
iamo
per
2
x=
15
°+
k 1
80
°v
x =
75
°+
k 1
80
°
x =
π/1
2 +
2k
πv
x =
5π
/12
+ 2
kπ
Esem
pio
3:
Riso
lvere
laseg
uen
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ua
zion
eE
semp
io3
:R
isolv
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segu
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equ
azio
ne
sin x
-co
s x =
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s2x
-sin
2x
Ap
plico
lefo
rmu
led
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up
licazio
ne
(cioè:
sin2
x=
2sin
xco
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sin x
-co
s x =
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s2x
-2
sin x
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⇒sin
x -
cos x
-2
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2x +
2 sin
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0
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qu
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-co
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secon
do
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terzo
sin x
(1 +
2 co
s x) -
cos x
( 1 +
2 co
s x) =
0 ⇒
(1 +
2 co
s x) (sin
x -
cos x
) = 0
Eq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
po
niam
oo
rau
gu
alia
zeroen
tramb
ei
fattori:
dev
oriso
lvere
led
ue
equ
azion
i:1
+2
cos
x=
0;
sinx
-co
sx
=0
�1
+2
cos
x=
0⇒
2co
sx
=-1
⇒co
sx
=-
1/2
⇒x
=2
π/3
+2
kπ
cioè
x=
12
0°
+k
36
0°
�sin
x -
cos x
=0
div
ido
tutto
per co
s x o
tteng
o: tan
x -
1 =
0
⇒tan
x =
1 ⇒
x =
π/4
+ k
πcio
è x =
45
°+
k 1
80
°
con
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che co
s x =
0 n
on
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zion
e: co
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llo ch
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= 0
no
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luzio
ne:
cos x
= 0
corrisp
on
de a x
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0°
cioè x
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ne
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0°
-co
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0 cio
è 1 +
0 =
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po
ssibile
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pio
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uen
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ne
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4
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1=
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)(a+b
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)(a+b
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2+ab
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2=a
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qu
ind
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o
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ua
zion
i trigo
no
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e
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un
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due
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+1
=0
;2
sinx
cosx
–1
=0
�2
sinx
cosx
+ 1
=0
po
iché so
che co
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+ sin
2x =
1
sostitu
end
o 2
sin x
cos x
+ sin
2x +
cos
2x =
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ivid
o tu
tti i termin
i
per co
s2x
otten
go
2 tan
x +
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+ 1
= 0
⇒tan
2x +
2 tan
x +
1 =
0
(tan x
+ 1
)2
= 0
⇒tan
x +
1 =
0 ⇒
tan x
= -1
⇒x
= 1
35°
+ k
18
0°
cioè x
= 3
π/4
+ k
πtan
x =
-1 ⇒
x =
13
5°
+ k
18
0°
cioè x
= 3
π/4
+ k
π
�2
sinx
cosx
–1
=0
2 sin
x co
s x -
sin2x
-co
s2x
= 0
div
ido
tutti i term
ini p
er -cos
2x o
tteng
o
-2 tan
x +
tan2x
+ 1
= 0
⇒tan
2x -
2 tan
x +
1 =
0
(tanx
-1
)2
= 0
⇒tan
x -
1 =
0 ⇒
tanx
= 1
⇒
x =
45
°+
k 1
80
°cio
è x =
π/4
+ k
π
Eq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
Esem
pio
5:
Riso
lvere
laseg
uen
teeq
ua
zion
e
(1-
sinx
cosx
)+
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x=
sinx
sin2
xA
pp
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form
ule
di
du
plica
zion
e(cio
è:sin
2x
=2
sinx
cosx
)o
tteng
o:
(1-
sinx
cosx
)+
2sin
x=
sinx
(2sin
xco
sx)
⇒
(1-
sinx
cosx
)+
2sin
x=
2sin
2xco
sx⇒
(1-
sinx
cosx
)+
2sin
x-
2sin
2xco
sx=
0⇒
3333(1
-sin
xco
sx)
+2
sinx
-2
sin2x
cosx
=0
⇒
(1-
sinx
cosx
)+
2sin
x(1
-sin
xco
sx)
=0
⇒
(1-
sinx
cosx
)(
+2
sinx
)=
0d
un
qu
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evo
risolv
erele
du
e
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i:1
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xco
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0;
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sinx
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xco
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bio
segn
o⇒
sinx
cosx
-1
=0
po
iché
soch
eco
s2x
+sin
2x=
1so
stituen
do
otten
go:
sinx
cos
x-
sin2x
-co
s2x
=0
div
ido
tutti
iterm
ini
per
-co
s2x
otten
go
-tanx
+tan
2x+
1=
0o
rdin
o⇒
3
3
3
3
Eq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
tan2x
-tan
x+
1=
0⇒
ilterm
ine
sotto
radice
e'min
ore
di
zeroq
uin
di
nessu
na
solu
zion
e
�+
2sin
x=
0⇒
qu
ind
io
tteng
ola
solu
zion
e:
3
31
2
41
1−
±=
−±
=x
tan
32 3
−=
xsin
x =
24
0°
+ k
36
0°
x =
30
0°
+ k
36
0°
cioè
x =
4π
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2k
π x
= 5
π/3
+ 2
kπ
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
a)Se
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1:
imp
ossib
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fun
zion
esin
xè
limitata
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e+
1)
.
Se
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semp
rev
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ualu
nq
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valo
redi
xso
dd
isfala
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uazio
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lafu
nzio
ne
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pre
>-1
):∀
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Se
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-1:
vera
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π/2
+2
kπ
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:sin
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/2+
2k
π)
=-1
]
Se
-1<
a<
1:
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α=
aco
n0
≤α
<2
π,
leso
luzio
ni
son
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α+
2k
π<
x<
π–
α+
2k
π,∀
k∈
Z
ax
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∀
son
o:
α+
2k
π<
x<
π–
α+
2k
π,∀
k∈
Z
b)
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> 1
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uazio
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pre v
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qu
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zion
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-1
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π/2
+2
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kπ
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< a
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1.
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ossib
ile, nessu
na so
luzio
ne, la fu
nz. co
s xè sem
pre ≥
-1
Se a
= 1
vera ∀
x ≠
π+
2 k
π[ in
fatti cos
(π+
2 k
π ) =
1]
Se -1
< a
< 1
scelto α
tale che co
sα
= a
con
0<
α ≤
π, le so
luzio
ni
son
o : α
+ 2
kπ
< x <
2π
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2 k
π∀
k∈
Z
ax
cos<
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
e)Scelto
αin
mo
do
che
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preso
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π/2
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solu
zion
iso
no
:
α +
kπ
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kπ
,∀
k ∈
Z
f)Scelto
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mo
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ax
tan
>
ax
tan
<S
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od
och
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con
αco
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eπ
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zion
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-π/2
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π <
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,∀
k ∈
Z
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
Esem
pio
1:
Riso
lvere
laseg
uen
ted
isequ
azio
ne
si tracciano
la circon
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on
om
etrica e
la retta
Si
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tutti
gli
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per
cui
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ne
con
lacirco
nferen
zaè
mag
gio
red
i
Rico
rdan
do
che
gli
ang
oli
(co
mp
resitra
0e
2π
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enti
per
seno
son
o
2 2−
>x
sin2
2/
y−
=
22
/−
22
/−
0e
2π
)av
enti
per
seno
son
o5
π/4
e7
π/4
sio
tteng
on
ole
solu
zion
i:
2k
π <
x <
5π
/4 +
2k
π e
7π
/4 +
2k
π <
x<
2 π
+ 2
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, ∀∀∀ ∀k
∈∈∈ ∈Z
.
Facen
do
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deg
lian
go
lin
egativ
ile
solu
zioni
sip
osso
no
anch
eesp
rimere
così
:
π/4
+ 2
kπ
<x
< 5
π/4
+2
kπ
22
/−
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
Esem
pio
2:
Riso
lvere
laseg
uen
ted
isequ
azio
ne
sinx
-co
sx
<0
Per
risolv
erlaco
me
equazio
ne
bastereb
be
div
idere
tutti
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do
un
adiseq
uazio
ne
no
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imm
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per
cos
xp
erché
no
nn
eco
no
scoil
segn
o(rico
rdo
che
mo
ltiplican
do
un
adiseq
uazio
ne
per
un
termin
e
neg
ativo
ilv
ersocam
bia).
Allo
rap
erriso
lvere
ladiseq
uazio
ne
distin
gu
iamo
du
ecasi:
distin
gu
iamo
du
ecasi:
�co
sx
>0
inq
uesto
caso,
div
iden
do
per
cos
x,
ilverso
della
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uazio
ne
restalo
stesso
�co
sx
<0
inq
uesto
caso,
div
iden
do
per
cos
x,
camb
ieremo
il
verso
allad
isequ
azion
e
Nel 1
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so: d
ivid
o p
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>0
otten
go
:
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
cosx
>0
per
0<
x<
π/2
e
3π
/2<
x<
2π
alato
po
ssiamo
ved
ere
graficam
ente
laso
luzio
ne:
<
>⇒
<− >
01
x-ta
n
0x
cos
01
xco
s
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0x
cos
graficam
ente
laso
luzio
ne:
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π/2
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no
metrich
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ni
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π/4
e3
π/2
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po
ssiamo
ved
ereg
raficamen
tela
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e.
Nel
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caso
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otten
go
:
<
0x
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⇒
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01
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zion
i trigo
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metrich
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leso
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ni
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So
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ne
del
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x<
2π
alato
po
ssiamo
ved
ereg
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tela
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zion
e
Diseq
ua
zion
i trigo
no
metrich
e
Esem
pio
3:
Riso
lvere
laseg
uen
ted
isequ
azio
ne
cos
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3sin
x-
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0P
oich
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di
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fun
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nu
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ne
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dam
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1-
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un
qu
ela
no
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isequ
azion
ed
iven
ta:
2(1
-sin
2x)
+3
sinx
-3
>0
⇒2
-2
sin2x
+3
sinx
-3
>0
⇒
-2
sin2x
+3
sinx
-1
>0
Cam
bio
di
segn
oe
di
verso
2sin
2x-
3sin
x+
1<
0co
nsid
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uazio
ne
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2sin
2x-
3sin
x+
1=
0E
'u
n'eq
uazio
ne
di
second
og
rado
in
sinx
;la
risolv
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lecu
id
ue
solu
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iso
no
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Qu
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mia
diseq
uazio
ne
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enta:
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x-
1)(sin
x-
1/2
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x-
1)(sin
x-
1/2
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0
4
13
4
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=−
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ua
zion
i trigo
no
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e
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og
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1x
sin
1x
sin
�riso
lvo
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rima
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>1
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seno
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pre
com
preso
fra
-1ed
1,
qu
ind
ila
diseq
uazio
ne
no
n
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rapp
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ne
grafica
>
2x
sin
Diseq
ua
zion
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no
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e
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lvo
laseco
nd
asin
x>
½
soch
eil
seno
e'su
perio
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ang
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e1
50
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di
po
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ne
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Diseq
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