Travi soggette a taglio e momento flettenteQuando i carichi o i momenti hanno vettori perpendicolari all’asse si parla di sollecitazioni su travi o beams

Il piano di inflessione è quello ove agiscono i carichi e che contiene la linea d’asse indeformata e deformata

Lo scopo è di determinare le sollecitazioni che agiscono su ogni sezione lungo l’asse

Trave Incastrata a sbalzo Cantilever beam Trave appoggiata a sbalzo

Beam with an overhang Trave semplicemente appoggiataSimply supported beam

Spesso le travi sono classificate in funzione delle loro condizioni vincolari

Il passaggio dai vincoli fisici alla idealizzazione degli stessi nel modello va fatta considerando le effettive condizioni di deformabilità locale

Il sistema di ancoraggio ad asola consente piccoli spostamenti assiali carrello

Il fissaggio sulla parete sottile garantisce l’impedimento della traslazione ma non la locale rotazione cerniera

Il fissaggio rigido del piatto di base garantisce il bloccaggio incastro

Le strutture a traliccio (travi sottili rispetto ingombro struttura) sono considerate come tutte incernierate per effetto dei cedimenti vincolari –dovuti anche a plasticità locale

In questo caso solo i tubi spessi lavorano a flessioni e sostengono i carichi – i tubi sottili mantengono la forma delle sezioni sotto carico

Versione completamente smontabile

Tipici giunti a molteplici innesti

Millennium bridge

CONCENTRATI: Se la zona di carico ha una piccola estensione rispetto sviluppo assiale

In rapporto ai carichi applicati:

DISTRIBUITI: Se il carico è definito per unità di lunghezza q

q costante q variabile linearmente q(x) variabile in modo continuo

Calcolo delle reazioni vincolari

Sono immediatamente determinabili solo per sistemi isostatici ai vincoli esterni

pattino

Esempio di struttura composta: Struttura piana a due aste rigide

DETERMINAZIONE DELLE FORZE DI TAGLIO E DEL MOMENTO

Il metodo prevede di applicare le condizioni di equilibrio al corpo libero, ossia avendo sostituito ai vincoli le forze vincolari

Si effettua un taglio in una generica sezione x e si impone l’equilibrio (ds o sn)

0vertF V x P

0xM M x Px

CONVENZIONE DEI SEGNI (secondo deformabilità)

I momenti sono positivi quando le fibre inferiori sono tese

Il taglio è positivo quando provoca sul materiale rotazione oraria

Metodo dell’equilibrio differenziale

Si effettua l’equilibrio di un elementino fermandosi ai termini dei I ordine

Eq. Verticale:

0dVq x dx V V dxdx

dV q xdx

Quindi la derivata del taglio coincide con l’intensità carico distribuito, per il segno dipende dalla convenzione di V

Eq. Momento

02dx dMM V x dx q x dx M dx

dx

dM V xdx

La derivata del momento flettente risulta pari all’azione del taglio V, il segno risulta dalle convezioni adottate

Infinitesimo ord. superiore

Derivando la II e ricordando la I:

2

2

dV xd M q xdx dx

Assenza carico distribuito: taglio costante, momento variabile linearmente

Carico distribuito costante: taglio lineare, momento variabile quadraticamente

Carico distribuito potenza n: taglio potenza n+1, momento potenza n+2

x polo eq.

DIAGRAMMI DEL TAGLIO E DEL MOMENTO FLETTENTE

La rappresentazione grafica è molto utile per determinare le sezioni più sollecitate ove sarà opportuno effettuare le verifiche strutturaliCalcolo reazioni vincolari

0AM 2

02BLR L Pa q 2B

Pa LR qL

2APb LR qL

0

( )x

a A aM x M V x dx 0

02

x

aPb LM x q qx dxL

0 x a

Tracciamento dei diagrammi

0

( )x

a AV x R q x dx 2a

Pb LV x q qxL

a x L ( )

x

b a aV x V a P q x dx

2bPa LV x q qxL

2

2( )2 2 2 2

xx

b a baa

Pab aL q Pax Lx qxM x M a V x dx q a qL L

2

2 2aPb L qM x q x xL

0 0aM

2 2

2 2bPab Pa Pax Lx qxM x qL L L

0bM L

2b

Pa LV x q qxL

a x L

0 x a 2

2 2aPb L qM x q x xL

Andamento del momento

Posto dalla parte fibre tese

2a

Pb LV x q qxL

0 x a

2APb LR qL

Andamento del taglio

2Pa LqL

2BPa LR qL

2Pb LqL

0 0aM Nelle posizioni estremali:

2a

P qM a abL

Cerchiamo il massimo all’interno del campo:

02a

Pb qLM x qxL

max 2APb LxqL

2

max 2 2a Aq Pb LM x

qL

Il massimo è in x=a se max 2APb Lx aqL

Andamento del momento a x L

Posto dalla parte fibre tese

2b

P qM a abL

Nelle posizioni estremali: 0bM L

max 2BL Pax

qL

2

max 2 2b Bq Pa LM x

qL

Cerchiamo il massimo all’interno del campo:

02b

Pa qLM x qxL

Il massimo è in x=a se max 2BL Pax a

qL

2 2

2 2bPab Pa Pax Lx qxM x qL L L

Il valore massimo del momento tra 0 e L potrà assumere quindi uno dei seguenti valori

max 2P qM abL

2

max 2 2q Pb LM

qL

2

max 2 2q Pa LM

qL

max se x a max se x a max se x a

Andamenti in altri Esempi

Strutture reticolariSia che si tratti di collegamenti angolari, sia mediante perni, queste strutture vengono schematizzate mediante cerniere in quanto sotto carico le giunzioni si comportano come cerniere plastiche

Per verificare l’isostaticità occorre valutare i GdL. Per il loro calcolo risulta più agevole considerare le cerniere come corpi rigidi e le aste (non si ha mai momento flettente se i carichi sono applicati solo alle cerniere) come vincoli che sottraggono 1 GdL.

2 numero di cerniereGdL numero aste vincoli a terraGdV

La struttura sarà iperstatica se GdV > GdL, isostatica se GdV = Gdl, ipostatica GdV < GdL

39 cerniere = 78 GdL

75 aste + 3 vincoli = 78 GdV

La struttura è isostatica e non è labile in quanto composta da tanti anelli chiusi isostatici e ben vincolata a terra

Se si stacca un’asta in corrispondenza di un nodo i sostituendo al vincolo interno i carichi, l’equilibrio alla rotazione in j dell’asta i-j impone che sia nulla la componente ortogonale Ti

Pertanto gli elementi si comportano come bielle (se rettilinee aste) essendo possibili solo carichi congiungenti i perni, di trazione (tiranti) oppure di compressione (puntoni)

Data questa caratteristica le strutture reticolari sono particolarmente interessanti perché carichi di trazione/compressione utilizzano pienamente le sezioni resistenti

Nel calcolo si ipotizza l’assenza dell’attrito nei perni

Classico traliccio alta tensioneTelaio motociclistico a culla

Chassis autoveicolo da competizione misto reticolare – piastre portanti

Prima vettura a scocca portante

Esempio - Risoluzione mediante il metodo dell’equilibrio dei nodi

Il primo passo è spesso la risoluzione dei vincoli esterni

1 50 4 2M R P

A ogni nodo si compongono vettorialmente le forze esterne e quelle delle aste e si risolve per una cerniera alla volta

512

R P1vR P

1 2oPR

1vR

1oR

5R

Cern. E

6 cos 04 2

PN

6 7sin 04

N N

6 72 ;

2 2

PN P N

Si possono già risolvere le aste 6 e 7, che subiscono azioni contrarie rispetto a N6 e N7, e pertanto l’asta 6 è in compressione e la 7 in trazione.

5 4 cos 04

N N

4 7sin 04

N N

5 42;

2 2PN N P

Considerando i versi impostati per N5 e N4 l’asta 5 è compressa, la 4 tesa

Cern. C scelta perché sia minimo il numero di incognite

2 5 6cos cos 04 4

N N N

2 2N P

22 2 2 0

2 2 2 2

PN P

2 3 6sin sin 04 4

N N N P

3 2

PN

32 2 22 0

2 2 2 P N P P

Considerando i versi impostati per N2 e N3, entrambe le aste 2 e 3 sono in compressione

Cern. D

1 2

PN

L’ultima asta 1 si trova in trazione

Cern. B Cern. A

L’ultima cerniera non ha incognite e può essere utilizzata per verifica

Con carico P = 1 kN

Trazione

Compressione