Titolo presentazione

sottotitolo

Milano, XX mese 20XX

Applicazione del metodo della linea elastica:

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis

Nome Cognome, assoc.prof. ABC Dept.

Metodi basati su equilibrio, congruenza e legame costitutivo

Nelle lezioni precedenti: abbiamo analizzato le strutture servendoci di sole equazioni di equilibrio (globali e locali).

Questo è possibile per le sole strutture ISOSTATICHE!

Per l’analisi delle strutture iperstatiche (o per il calcolo degli spostamenti di strutture isostatiche e iperstatiche) devo utilizzare metodi che tengano conto, oltre che dell’equilibrio, anche della congruenza e del legame costitutivo dei materiali strutturali.

Metodo della linea elastica Principio dei Lavori Virtuali

Teoremi energetici

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Metodo della linea elastica

Per sistemi di travi in contesto di piccole deformazioni è possibile legare il momento flettente e la curvatura dell’asse di trave definita come la derivata seconda dello spostamento.

Condizione di carico

Risposta statica

Assetto cinematico

E: modulo di Young del materialeI: momento d’inerzia della sezione

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Metodo della linea elastica

Per sistemi di travi in contesto di piccole deformazioni è possibile legare il momento flettente e la curvatura dell’asse di trave definita come la derivata seconda dello spostamento.

Come decido se mettere + o -?

❖ Prendo un tratto generico di trave; ❖ metto il tratteggio;❖ lo assoggetto a due momenti

positivi per convenzione;❖ Osservo la deformazione

corrispondente

❖ Se rivolgo la y dalla parte del tratteggio la sua curvatura positiva è discorde con la curvatura indotta dalla coppia di momenti positivi;

❖ Se rivolgo la y dalla parte della linea continua la sua curvatura positiva è concorde con la curvatura indotta dalla coppia di momenti positivi;

(-)

(+)

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Metodo della linea elastica

Curvatura (linea elastica)

Rotazione

Spostamento

Costanti di integrazione

A, B

Condizioni al contorno imposte

dai vincoli

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Metodo della linea elastica

Cerniera in A: impone

spostamento nullo

Carrello in B: impone

spostamento nullo

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Possibili condizioni al contornonumero di CC necessarie e condizioni esterne

Quando si risolve il problema con il metodo della linea elastica si scrive un’equazione differenziale per ogni tratto pertanto il numero di condizioni al contorno che devo ricercare sono:

2 incognite per ogni tratto (nxi numero di tratti) dovuti alle costanti di integrazione

Un’incognita aggiuntiva per ogni iperstatica (nRi numero di incognite iperstatiche)

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Possibili condizioni al contornocondizioni interne

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Casi particolariazioni termiche lineari (riscaldamento e raffreddamento differenziale e simmetrico)

Coefficiente di dilatazione termica del materiale

Altezza fisica della sezione di trave

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Casi particolariVincoli cedevoli elasticamente: modificano le condizioni al contorno

Nei vincoli fissi gli spostamenti e le rotazioni sono assoluti e non

dipendenti dalle reazioni

Nei vincoli elastici gli spostamenti e le rotazioni sono dipendenti dalle reazioni trasmesse al

vincolo (che ho calcolato in precedenza)

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Casi particolariazioni termiche costanti sulla sezione: non entrano nella LE ma modificano le CC

Un carico termico costante nella sezione non provoca l’insorgenza di curvature pertanto non entra nell’equazione della linea elastica.

Provoca però allungamento (se +DT) o accorciamento (se -DT) dell’asta e che si può riflettere sugli spostamenti dei nodi, quindi sulle condizioni al contorno.

Deformazione termica:

Allungamento termico (quello che modifica le CC delle aste attigue)

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Esempio di applicazionePunto 1: analisi cinematica

Nel conteggio dei GDV considero i vincoli elastici al pari dei

corrispondenti vincoli rigidi

Equivalente ad un carrello in termini di GDV: 1

GDV: 1

GDV: 2

GDL = 3

GDV = 1 + 1 + 2 =4

Struttura 1 volta iperstatica

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Esempio di applicazionePunto 2: declassamento e calcolo delle reazioni vincolari

Quando ho una struttura iperstatica devo procedere al declassamento:❖ elimino un numero di vincoli pari

al grado di iperstaticità;❖ li sostituisco con la loro reazione

incognita che nel calcolo tratterò alla stregua di una comune forza nota (nel nostro caso chiamata R)

Controllare sempre che la struttura

declassata risulti non labile!

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Esempio di applicazionePunto 3: imposizione dei sistemi di riferimento e scelta dei segni nelle LE

Si introducono i sistemi di riferimento yi

ed in base all’orientazione rispetto al tratteggio scelgo il segno nell’equazione.

❖ Tratto x1

❖ Tratto x2

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Esempio di applicazionePunto 4: calcolo delle azioni interne e scrittura delle LE

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Esempio di applicazionePunto 5: ricerca delle condizioni al contorno (su schema non declassato)

Il punto A si sposta verticalmente di R/k ma non si sposta orizzontalmente

Il punto C non si sposta ne orizzontalmente ne verticalmente

Il punto C non si sposta ne orizzontalmente mentre verticalmente sale dell’allun-gamento termico dell’asta

L’angolo deve rimanere retto (rotazioni uguali tra i due lati)

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Esempio di applicazionePunto 6: sostituisco nelle CC le equazioni delle LE e calcolo l’incognita R

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Esempio di applicazionePunto 7: sostituisco il valore di R nelle espressioni di N, T, M

N [qb]

T [qb] M [qb2]

Firma convenzione

Politecnico di Milano e Veneranda Fabbrica

del Duomo di Milano

Aula Magna – Rettorato

Mercoledì 27 maggio 2015

Applicazione del metodo della linea elastica:

Esercitazioni del corso di Scienza delle Costruzioni

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Nicola Cefis