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Tipi di variabili.Indici di tendenza centrale

e di dispersioneL. Boni

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Variabile casuale

In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere pensata come il risultato numerico di una misurazione quando questo non è prevedibile con certezza (ossia non è deterministico)

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Variabile casuale

più semplicemente:

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Tipi di variabile

VARIABILE CASUALE CONTINUAPuò assumere un qualsiasi valore, in un qualsiasi intervallo del campo dei numeri reali

[peso, Kg: 83.43256...][PAS, mmHg: 120.835901...]

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Tipi di variabile

VARIABILE CASUALE DISCRETAPuò assumere solo un numero finito di valori, per lo più enumerabili

[numero di figli: 0, 1, 2, 3, …][numero sigarette/die: 0, 1, …, 10, …, 20, …][numero globuli bianchi: …, 3.500, …, 5.200][classe NYHA: 1, 2, 3, 4][etnia: caucasica, cinese, afro-americana, …]

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Tipi di variabile

VARIABILE BINARIA O BERNOULLIANA[sesso: maschio, femmina][risposta: successo, fallimento][stato in vita: vivo, deceduto]

?? durata della sopravvivenza ??

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Trasformazioni

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La variabilità

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Tabella di frequenza

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Istogramma di frequenza

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Istogramma di frequenza relativa

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Frequenza relativa e probabilità

In una lunga serie di ripetizioni dello stesso esperimento, in condizioni appropriate, la frequenza relativa con la quale si verificano i diversi possibili eventi tende a stabilizzarsi su valori fissi

Nell’approccio frequentista, il termine probabilità viene interpretato come il valore limite della frequenza relativa al tendere di n(=numero delle ripetizioni) all’infinito

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Frequenza relativa e probabilità

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Tabella di frequenza

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Istogramma di frequenza

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“smoothing”

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Popolazione

Si definisce popolazione, o universo, ogni insieme finito o infinito di unità, le quali non sono necessariamente organismi viventi

Un universo statistico deve essere definito nei contenuti, nello spazio e nel tempo

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Come riassumere i dati

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Come riassumere i dati

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Come riassumere i dati

PARAMETRO

Misura riassuntiva della distribuzione della popolazione

INDICE DI TENDENZA CENTRALEINDICE DI DISPERSIONE

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MediaPer indicare il baricentro di una distribuzione

rispetto alla sua scala di misurazione, utilizziamo la media

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Media

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Varianza e deviazione standard

Valori equidistanti dalla media dovrebbero contribuire in egual misura al nostro indice di dispersione indipendentemente dal fatto di essere superiori o inferiori alla media stessa, anche se nel primo caso lo scostamento è positivo e nel secondo caso è negativo

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Varianza e deviazione standard

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Varianza e deviazione standard

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

1 = 68%

2 = 95%

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Distribuzione normale

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Distribuzione normale

Esiste un numero infinito di distribuzioni normali diverse fra loro

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Distribuzione normale

E’ possibile ricondurre tutte queste diverse distribuzioni ad un’unica distribuzione standard ?

Sì, attraverso la trasformazione normale

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Deviata normale standardizzata

Se la variabile x si distribuisce normalmente, allora la nuova variabile z

Z = (x - ) /

avrà una distribuzione normale con media pari a 0 e deviazione standard uguale a 1 ( = 0 e = 1)

Z è detta deviata normale standardizzata

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Deviata normale standardizzata

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Deviata normale standardizzataEsistono delle tavole che indicano la probabilità che z sia maggiore o uguale ad un valore qualsiasi

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Esempio

Qual è la probabilità che il peso sia ≥82 kg ?z = (82 – 75) / 5 = 1.4P(z ≥1.4) = 0.808, ovvero 8.1%

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Esempio

Qual è la probabilità che il peso sia ≥75 kg ?z = (75 – 75) / 5 = 0P(z ≥0) = 0.50, ovvero 50%

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Distribuzioni asimmetriche

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MedianaLa mediana è quel valore rispetto al quale metà dei valori della popolazione risultano superiori e l’altra metà inferiori

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Mediana

Se il numero N di misurazioni è dispari, la mediana corrisponde alla misurazione con rango (N+1)/2

Se il numero N di misurazioni è pari, la mediana corrisponde alla media delle due misurazioni con rango N/2 e (N/2)+1, rispettivamente

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Percentili

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Percentili della distribuzione normale

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Media e mediana

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Media e mediana

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ModaLa moda è il valore che ricorre con maggiore frequenza nella popolazione

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Moda

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Il campione

Data una popolazione composta da N unità statistiche, un campione è rappresentato dall’insieme delle n unità selezionate con procedura casuale tra le N che compongono la popolazione allo scopo di rappresentarla quanto a caratteri, o variabili, oggetto dello studio

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Il campione

L’aggregato rappresentato dal campione è la “popolazione in studio”

Le unità che appartengono al campione sono dette “unità campionarie”

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Processo inferenziale

Statistica: misura riassuntiva della distribuzione calcolata a partire dalle unità

campionarie mediante la quale viene stimato il parametro corrispondente della

popolazione

STATISTICA ↔ PARAMETRO?

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Analisi statistica

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Stime campionarie

Indici di tendenza centrale

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Stime campionarieIndici di dispersione

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?Campioni casuali diversi, selezionati dalla stessa popolazione, forniranno stime differenti della vera media e della vera deviazione standardPer quantificare in termini probabilistici l’accuratezza di queste stime, possiamo calcolare i loro errori standardE’ possibile calcolare un errore standard per ogni parametro

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

= 40 cm = 5 cm

x = 41.5 cms = 3.8 cm

x = 36 cms = 5 cm

x = 40 cms = 5 cm

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

Estraendo sempre più campioni casuali, di 10 membri ciascuno, da un’unica popolazione, si ottiene la popolazione di tutte le possibili medie campionarie

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?L’insieme delle medie di 25 campioni casuali, ognuno composto da 10 membri, presenta una distribuzione approssimativamente a campana, simile alla distribuzione gaussiana

x = 40 cms = 1.6 cm

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Teorema centrale del limite

La distribuzione delle medie campionarie è approssimativamente normale all’aumentare di n, indipendentemente dalla distribuzione dei valori nella popolazione di origine, dalla quale i campioni sono stati tratti

Il valore medio dell’insieme di tutte le possibili medie campionarie è uguale alla media della popolazione di origine

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Teorema centrale del limite

La deviazione standard dell’insieme di tutte le possibili medie campionarie di campioni di una data numerosità, definita errore standard della media, è funzione sia della deviazione standard della popolazione, sia della numerosità del campione

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Teorema centrale del limite

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

L’errore standard della media diminuisce al crescere delle dimensioni del campione

Il grado di certezza col quale possiamo stimare la media cresce al crescere delle dimensioni del campione

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

L’errore standard della media cresce al crescere della deviazione standard della popolazione

Quanto maggiore sarà la variabilità nella popolazione d’origine, tanto maggiore sarà la variabilità che si manifesterà nei possibili valori delle medie campionarie

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

La miglior stima di x che possiamo ottenere da un singolo campione è

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Quanto sono attendibili le stime ?

Poiché i possibili valori della media campionaria tendono a seguire una distribuzione gaussiana,nell’intervallo definito dalla media campionaria più o meno due volte il suo errore standard

sarà contenuto con probabilità del 95% il valore (sconosciuto) della media della popolazione d’origine

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Intervallo di confidenza

Questa espressione ci permette di stimare l’intervallo di confidenza del parametro della popolazione L’intervallo di confidenza è quell’intervallo che con una definita probabilità (in questo caso 95%) comprenderebbe il parametro della popolazione se lo stimatore venisse utilizzato in maniera ripetuta un gran numero di volte

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Quanto sono attendibili le stime ?

Quando calcoliamo un intervallo di confidenza al 95%:a) la lunghezza dell'intervallo copre il 95% dell'area di distribuzione delle medie campionarie quando è centrato su , e b) con una probabilità del 95% include la media della popolazione

Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

Intervallo di confidenza

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Tipi di variabili, indici di tendenza centrale e di dispersione

In sintesi… Abbiamo identificato i diversi tipi di variabili che possono

essere oggetto di analisi Abbiamo visto quali sono i parametri che ci permettono, da

un punto di vista quantitativo, di descrivere in maniera riassuntiva il comportamento di una determinata popolazione Abbiamo identificato nella distribuzione normale un modello

di riferimento molto utile quando vengono analizzati dati sul continuo Abbiamo visto come, attraverso il processo inferenziale, sia

possibile ottenere informazioni circa una popolazione, a partire da un insieme di osservazioni campionarie, e come sia possibile quantificare l’attendibilità delle stime