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MatlabThe

Matrix Laboratory

Oliviero Giannini

Laboratorio di progettazione strutturale meccanicaEsercitazione 1bis

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Sommario dell’esercitazione

• Segnali nel dominio del tempo

• La trasformata di Fourier• FFT (Fast fourier transform)• Segnali in frequenza (spettro)• Aliasing

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I vettori in matlab

• Vettori in senso geometrico– Si usano le operazione * / + - ^

• Vettori che discretizzano una funzionecontinua

• Array di parametri– Vengono di solito utilizzati come scalari

all’interno di cicli for

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Segnali nel dominio del tempo• Segnali continui sono descritti e memorizzati

come vettori• Si dice “campionamento” (sampling) il processo

di trasformazione di un sagnale da unadescrizione continua ad una discreta (vettori)

• Si chiama “campione” (sample) il singoloelemento del vettore

• Si chiama “intervalllo di campionamento”(sampling interval) la differenza di tempo tra due campioni contigui: l’intervallo di campionamentoè costante.

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Campionamento

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Dove sta la difficoltà?

• Non si conosce a priori la frequenza del segnale– Digitalizzazione di segnali analogici– Risultati di un calcolo numerico

• Si vuole risparmiare memoria/tempo dicalcolo

• I seganli sono composti da più armoniche• Rumore

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Descrizione dei segnali nel dominiodella frequenza

• Serie di Fourier

• Trasformata di fourier

∑∞

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

1

2sin2cos2

)(r

rro

Ttrb

Ttraatf ππ

dttfT

a

dtT

trtfT

b

dtT

trtfT

a

T

T

r

T

r

∫

∫

∫

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

00

0

0

)(2

2sin)(2

2cos)(2

π

π

∫

∫∞+

∞−

−

+∞

∞−

−

==

==

ωωπ

ω

ω

ω

ω

deXXFtx

dtetxtxFX

tj

tj

)(21))(()(

)())(()(

1

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Trasformata di Fourier: FFTFx=fft(x)

X è un vettore riga (segnale nel tempo)Fx è un vettore riga della stessa lunghezza

ed è la trasformata di x (segnale in frequenza)Nt=Nf

Il segnale nel tempo ha un intervallo di campionamento dt(t=0:dt:Tfin)

La trasformata in frequenza va da 0 a 1/dt ed ha un paso 1/Tfinè necessario costruire il vettore frequenzeA va inoltre diviso per il nuero di campioni!!!

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Trasformata di Fourier• La trasformata di un segnale periodico ha uno

spettro discreto (vari picchi separati)• Il numero di campioni nel tempo è uguale al

numero di campioni in frequenza• La risoluzione in frequenbza dipende solo dalla

lunghezza nel tempo del segnale trasformato• La frequenza massima del segnale trasformato

dipende dalla frequenza di campionamento• La parte reale (ed il modulo) dello spettro è

simmetrico rispetto a Fmax

• La parte immaginaria dello spettro èantisimmetrica rispetto ad Fmax

Nt = Nf

df = 1/Tfin

Fmax = 1/ (2dt)

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Spettro di funzione periodica

)sin()sin()sin()( 333222111 ϕωϕωϕω +++++= tAtAtAtA

A1=1 A2= 5 A3=3f1 = 1 f2 = 0.5 f3 = 2 ω = 2π fφ1 = 15 φ1 = 30 φ1 =0

dt = 0.01 s Fc = 1/dt = 100Tfin = 100

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Spettro di funzione periodica

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Spettro di funzione periodica

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Spettro di funzione periodica

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Spettro di funzione periodica

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Aliasing

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Aliasing

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Aliasing

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Aliasing

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Aliasing

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esercizio

Scrivere uno script che:– Generi n funzioni armoniche con m armoniche– Ne faccia la trasformata di Fourier– Plotti per ognuna delle n funzioni grafico nel

tempo ed in frequenza • Opzionale

– Separare parti di calcolo in una o più function