TEST #1 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

Operazioni elementari sui segnali, impulsi, esponenziali complessi e serie di Fourier

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel primo capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Si traccino i grafici dei seguenti segnali

1. un 2. un-3 3. u-n-1 4. (u-n+5 - un-5 ) 5. (un+5 - un-5 ) 6. (u-n-5 + un-5 )

ESERCIZIO 2 Si traccino i grafici dei seguenti segnali sia in forma cartesiana che polare

1 - tjetx π20)( =

2 - )(nTxxn = con 809,

201,

801

=T

ESERCIZIO 3 Si calcoli la potenza del seguente segnale:

( )ϑπφ += nAxn 2cos con N1

=φ

Suggerimento: si esprima il coseno come somma di esponenziali complessi e si ricordi che

*2 aaa = ESERCIZIO 4 Si calcoli l’espressione del seguente segnale:

( )trectdtdtx =)(

(Suggerimento: si esprima il rettangolo come differenza di scalini)

1

x(t)

t1 2 3-1-2

periodico

-T 2T

1

x(t)

tT

ESERCIZIO 5 Con riferimento al segnale tempo continuo x(t) di figura 1.1, si traccino i grafici dei seguenti segnali:

1. x(t-T) 2. x(-t-T) 3. x(2t-T) 4. x(t)u(t) 5. x(t)u(-t)

Figura 1.1 ESERCIZIO 6 Con riferimento al segnale periodico x(t) di figura 1.2, si calcoli:

1. la potenza di x(t) 2. la potenza di x(t/2) 3. l’energia di un periodo di x(t) 4. l’energia di un periodo di x(t/2)

Figura 1.2

-T

3

|x(t)|

tT

-T

π

fase di x(t)

t

T

−π

-To/8

1

x(t)

t3To/8 7To/8-5To/8

periodico

ESERCIZIO 7 Con riferimento al segnale complesso x(t) di figura 1.3,

1. si scriva l’espressione di x(t) sia in forma cartesiana che polare 2. calcolare l’energia di x(t) 3. calcolare l’energia di x(t-5) 4. calcolare l’energia di x(2t)

Figura 1.3 ESERCIZIO 8 Con riferimento al segnale periodico x(t) di figura 1.4, si calcoli il suo sviluppo in serie di Fourier e lo si confronti con il risultato ottenuto a pag.15 del libro di testo.

Figura 1.4

T

xn

a

Ta

yn

xn yn

TEST #2 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

Risposta all’impulso di sistemi LTI e convoluzione

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel secondo capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Sia dato il sistema discreto rappresentato dalla seguente relazione tra ingresso xn e uscita yn :

21−+= nnn bxaxy

Dire se il sistema e’:

1. Lineare 2. Tempo-invariante

ESERCIZIO 2 Calcolare la risposta all’impulso dei sistemi LTI rappresentati dagli schemi di figura 2.1, dove T rappresenta il ritardo di un campione (entra xn e esce xn-1 ).

Figura 2.1

ESERCIZIO 3 Calcolare la risposta all’impulso dei sistemi discreti rappresentati dalle seguenti relazioni tra ingresso xn e uscita yn : 1 - 1−+= nnn axxy 2 - 1−+= nnn ayxy ESERCIZIO 4 Dato il sistema LTI caratterizzato dalla seguente risposta all’impulso:

( )1−+= nnnh δδ

1 – Calcolare l’uscita uscita yn quando l’ingresso e’ njn ex πφ2= con 2/12/1 ≤≤− φ

2 – Esprimere l’uscita in forma polare e tracciarne il grafico del modulo in funzione di φ . ESERCIZIO 5 Sia nnn hxy ∗= con 2123 −− ++= nnnnx δδδ e 21 32 −− ++= nnnnh δδδ Trovare in funzione di ny il risultato delle seguenti convoluzioni:

1 - nn hx ∗−3

2 - 33 −− ∗ nn hx

3 - 33 +− ∗ nn hx

4 - nn xh ∗3

5 - 123 +∗ nn hx

6 - ( ) ( )113 2 −−− +∗+ nnnn hhxx ESERCIZIO 6 Calcolare la seguente convoluzione:

( )ny nnnn πδδδ cos141

21

41

11 +∗

++= +−

ESERCIZIO 7 Calcolare le seguenti convoluzioni:

1 - ( ) ( )ttty πδ 2cos41

∗

+=

2 - ( )

−

−−

+=

21

32*

21

21

Ttrect

Ttrect

Ttrectty

3 - ( )

∗

=

Tt

Ttrectty π2cos

4 - ( )

+⋅

=

Ttrect

Ttrect

Ttrectty *

21

2

ESERCIZIO 8 Calcolare la seguente convoluzione:

nn

nn

nn

n uauauax ∗∗= con a reale e 1<a

Suggerimento: si ricordi che ( )∑

=

+=

n

k

nnk0 2

1

B/2

B/2

-B/2

-B/2

|X(f)|

Fase di X(f)

π

−π

f

f

A

-3B/2

|X(f)|

Fase di X(f)

−3π/4

f

f

A

-B/2

−π/4

Fase di X(f)

−π

f−π/2

π

π/2

Caso 1

Caso 2

TEST #3 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

Risposta in frequenza di sistemi LTI continui e Trasformata di Fourier

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel terzo capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Sia data la trasformata di Fourier X(f) di figura 3.1. Si calcoli l’espressione del segnale x(t) e la sua energia. Figura 3.1 ESERCIZIO 2 Siano date la trasformate di Fourier di figura 3.2. Si calcolino le espressioni dei relativi segnali nel tempo. Figura 3.2

2T

a

x(t)

tT

k

ESERCIZIO 3 Sia dato il segnale di figura 3.3. Se ne calcoli la trasformata di Fourier e se ne tracci il grafico. Figura 3.3 ESERCIZIO 4 Si calcoli la trasformata di Fourier dei seguenti segnali:

1 - ( ){ }( ) ( )tfttBtx oπτπτπ 2cossin)(

−−

=

2 - ( ){ }( ) ( ){ }τπ

τπτπ

−−−

= tfttBtx o2cossin)(

ESERCIZIO 5 Si calcoli la risposta all’impulso del sistema LTI descritto dalla seguente equazione differenziale:

0)()()(2

2

=++ tbxdttdya

dttyd

ESERCIZIO 6 Data la risposta in frequenza di figura 3.4 se ne scriva l’espressione H(f) e si calcoli l’uscita del sistema LTI ai seguenti ingressi:

1 -

= tBjtx

42exp)( π

2 -

= tBtx

42cos)( π

3 -

= tBtx

432cos)( π

4 - )()( ttx δ=

-B

2

|H(f)|

tB

π

fase di H(f)

t

−π

1

1/2

B

-B/2 B/2

-B

Figura 3.4 ESERCIZIO 7 Si calcoli la funzione di autocorrelazione di

tBttx

ππsin)( =

ESERCIZIO 8 Si calcoli la funzione di cross-correlazione e la convoluzione dei seguenti segnali

( )2exp)( ttx π= e ( ){ }22exp)( ottty −= π

-1/(4T)

1

X(f)

f3/(4T) 7/(4T)-5/(4T)

periodica

TEST #4 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

Risposta in frequenza di sistemi LTI discreti e Trasformata di Fourier

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel terzo capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Sia data la trasformata di Fourier X(f) di figura 4.1. Si calcoli l’espressione del segnale xn e la sua energia. Si tracci il grafico della trasformata in funzione della frequenza normalizzata φ. Figura 4.1 ESERCIZIO 2 Si disegni il grafico della trasformata di Fourier del segnale:

( ) ( )3/2cos3/sin nnnxn π

ππ

=

ESERCIZIO 3 Si disegni il grafico della trasformata di Fourier del segnale:

( ){ }nnxn π

π 23/sin=

ESERCIZIO 4 Si disegni il grafico della trasformata di Fourier del segnale:

( ) 23/sin

=

nnxn π

π

-B

2

|H(f)|

fB

π

fase di H(f)

f

−π

1

1/2

B

-B/2 B/2

-B

ESERCIZIO 5 Si calcoli la risposta in frequenza del sistema LTI descritto dalla seguente equazione alle differenze:

012 =+++ −− nnnn cxbyayy ESERCIZIO 6 Data la risposta in frequenza H(f) di figura 4.2 (periodica di 10B) se ne scriva l’espressione in funzione della frequenza normalizzata e si calcoli l’uscita del sistema LTI ai seguenti ingressi:

1 -

=

302exp njxnπ

2 -

=

32exp BnTjxnπ

3 -

= nTBxn 4

32cos π

4 - nnx δ= Figura 4.2

TEST #5 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

Il teorema del campionamento

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel quarto capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( )TtAtx π2sin)( =

1 - Si calcoli la trasformata di Fourier della sequenza )4( Tnxxn = sia in frequenza f sia in frequenza normalizzata φ. 2 - Si calcoli la trasformata di Fourier della sequenza )(nTxxn = ESERCIZIO 2 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( )BtBttx

ππ

22sin)( =

1 – Si trovi il minimo valore della frequenza di campionamento fs per evitare alias in frequenza. 2 – Utilizzando una frequenza di campionamento fs doppia rispetto a quella minima richiesta dal teorema del campionamento si scriva l’espressione della sequenza )(nTxxn = e se ne calcoli la trasformata di Fourier sia in frequenza f sia in frequenza normalizzata φ . 3 - Si calcoli l’energia del segnale x(t) sia direttamente dalla definizione sia in funzione dell’energia della sequenza )(nTxxn = . ESERCIZIO 3 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( )ϑπ += tfAtx o2cos)( Si calcoli l’espressione del segnale tempo continuo ricostruito dai campioni della sequenza

)( on fnxx = . ESERCIZIO 4 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( ) ( )ttttx 10002cos90sin)(

2

πππ

=

Si descriva un procedimento che consenta di ricostruire correttamente il segnale x(t) dai campioni della sequenza )(nTxxn = utilizzando il minimo valore possibile della frequenza di campionamento.

ESERCIZIO 5 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( ) ( )tftfttf

tx ooo ππ

ππ

20sin20cossin

)( +

=

1 – Si traccino i grafici del modulo e della fase della trasformata di Fourier di x(t) 2 – Si calcoli l’energia del segnale x(t) campionato a passo T=2/(19fo) e filtrato passa-basso (ideale) nella banda ±fo. ESERCIZIO 6 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( )

=

tBttx

ππsin)(

Si calcoli l’energia del sequenza

=Bnxxn 4

ESERCIZIO 7 Sia dato il seguente segnale tempo continuo

( )6102cos5)( ππ += Tttx

Si calcoli la potenza della sequenza ( )nTxxn =

TEST #6 – Corso di Telecomunicazioni – C. Prati

La trasformata discreta di Fourier (DFT)

Esercizi di verifica degli argomenti svolti nel quinto capitolo del testo “Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni – McGraw-Hill”. ESERCIZIO 1 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N campioni:

( )Nnnn uunNpAx −−

= π2cos con p intero e

21

<Np .

1 - Si determini il numero di cicli di coseno ricoperti dalla sequenza data in funzione di p. 2 - Si calcoli la DFT della sequenza nx utilizzando la definizione (evitando Matlab per il calcolo). ESERCIZIO 2 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N=9 campioni:

( )4482cos3 −+ −

= nnn uunx π

1 - Si calcoli la DFT della sequenza nx utilizzando la definizione (e possibilmente Matlab per il calcolo). 2 – Si calcoli la DFT della sequenza nx come campionamento in frequenza della sua trasformata di Fourier ( )φX . (Attenzione: la sequenza data non ricopre un ciclo esatto del coseno) ESERCIZIO 3 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N=5 campioni:

4321 232 −−−− +−+−= nnnnnnx δδδδδ Detta kX la DFT della sequenza nx , si trovi l’espressione della sequenza ny che ha come DFT:

=

54exp kjXY kk π

ESERCIZIO 4 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N=8 campioni:

7654321 000232 −−−−−−− ++++−+−= nnnnnnnnnx δδδδδδδδ Detta kX la DFT della sequenza nx , si trovi l’espressione della sequenza ny che ha come DFT:

=

2exp kjXY kk π

ESERCIZIO 5 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N=5 campioni:

4321 232 −−−− +−+−= nnnnnnx δδδδδ Detta kX la DFT della sequenza nx , si trovi l’espressione di kY , DFT delle seguenti sequenze: 1 - 4321 223 −−−− −++−= nnnnnny δδδδδ 2 - 2112 232 −−++ +−+−= nnnnnny δδδδδ ESERCIZIO 6 Data la sequenza nx di lunghezza finita con 10 −≤≤ Nn si trovi l’espressione della DFT della

sequenza ( )nnn xy 1−= in funzione della DFT della sequenza nx . Il risultato cambia a secondo che N e’ pari o dispari? ESERCIZIO 7 Si calcoli la DFT della sequenza 9−−= nnn uux nel caso in cui 80 ≤≤ n e 990 ≤≤ n . ESERCIZIO 8 Si calcoli la DFT della sequenza 44 −+ −= nnn uux nel caso in cui 44 ≤≤− n e 8910 ≤≤− n . ESERCIZIO 9

Si calcoli la DFT della sequenza

=

162cos2 nxn π con 150 ≤≤ n .

ESERCIZIO 10 Sia dato il seguente segnale discreto di durata N=5 campioni:

4321 5432 −−−− ++++= nnnnnnx δδδδδ con DFT kX .

1 - Si calcoli la sequenza che ha DFT 2kX

2 - Si calcoli la sequenza che ha DFT 2kX