Comportamento aerodinamico dell’ala finita

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

Cattedra di Fluidodinamica

Candidato

Francesco Cursi

1448008

Relatore

Paolo Gualtieri

A/A 2013/2014

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INDICE 2 INTRODUZIONE : AERODINAMICA 3 PRINCIPI FONDAMENTALI 5 STRUTTURA ALI 6 COMPORTAMENTO DELL’ALA FINITA

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INTRODUZIONE : AERODINAMICA L’Aerodinamica studia il moto relativo di un fluido intorno ad un corpo solido, al fine di determinare le forze (portanza e resistenza) e le coppie che agiscono sul corpo per effetto di tale moto. Tali azioni sono dovute a una distribuzione di pressione, perpendicolari alla superficie, e sforzi di taglio, tangenti alla superficie.

Il loro effetto, integrato sulla superficie completa del corpo, genera una forza aerodinamica R, scomponibile in una componente parallela alla direzione del flusso indisturbato ( D= Resistenza) e in una perpendicolare (L= Portanza). Spesso si preferisce analizzare tali forze tramite dei coefficienti adimensionali: Coefficiente di Portanza

Coefficiente di Resistenza

dove

(Pressione dinamica),

S= superficie di riferimento, V∞=velocità flusso indisturbato , = densità flusso indisturbato.

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PRINCIPI FONDAMENTALI Per lo studio aerodinamico si ipotizza che flussi siano :

Incomprimibili (densità costante), essendo le velocità minori a quella di propagazione del suono (flussi subsonici);

non viscosi, con effetti di viscosità confinati solo in una piccola zona nell’intorno della superficie (strato limite).

tali ipotesi permettono di semplificare le equazioni che descrivono la dinamica del fluido. L’equazione della conservazione della massa

diviene

l’equazione della conservazione della quantità di moto

( )

si semplifica in

Le due equazioni sono sufficienti a descrivere il campo fluidodinamico, la cui soluzione è ricavabile imponendo la sola condizione di impermeabilità , non essendoci aderenza sulla superficie del corpo, a causa della mancanza di attrito. Per tali tipo di flussi è possibile applicare il Teorema di Kelvin, secondo il quale, considerando conservative le forze che agiscono,

ovvero la variazione della circolazione nel tempo, calcolata lungo una curva materiale, i cui punti i muovono seguendo il moto del fluido, è nulla. Se, quindi, all’inizio non vi era circolazione, questa deve rimanere nulla.

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A causa della separazione dello strato limite, all’inizio del moto dell’ala può generarsi una scia vorticosa con generazione di circolazione; la circolazione, però, deve rimanere costante e, allora, dovrà esistere circolazione anche sul corpo, opposta a quella della scia. Con il tempo il punto di ristagno si sposta verso il bordo d’uscita e si blocca la produzione di vortici.

Per il Teorema di Kutta-Joukovski, tale circolazione genera portanza Affinchè ci sia portanza è quindi necessario che il bordo d’uscita coincida con il punto di ristagno (condizione di Kutta). Altra conseguenza del teorema di Kelvin è che se la circolazione è nulla, il moto è irrotazionale e, quindi, è possibile introdurre il potenziale di velocità( ) tale che che in coordinate cartesiane si esplica come

Tale grandezza permette di modellare l’equazione della conservazione della massa che risulta essere (Equazione di Laplace). La soluzione di questa equazione differenziale lineare permette di ricavare il campo di velocità del flusso, imponendo le condizioni di impermeabilità sul contorno del corpo

( )

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e di quiete all’infinito Essendo lineare, è possibile applicare il principio di sovrapposizione per trovare la soluzione, ovvero, per risolvere il problema aerodinamico si possono sovrapporre più soluzioni elementari (come flusso uniforme, sorgente e pozzo

unitari, vortici a potenziale) distribuite sulle superfici, ognuna soluzione dell’equazione di Laplace. Noto il campo di velocità, si ricava la distribuzione della pressione, e, quindi, le forze aerodinamiche, tramite

l’equazione di Bernoulli

(E=potenziale forze conservative)

STRUTTURA ALI La distanza fra il bordo d’attacco e quello d’uscita è la lunghezza di corda (c=chord length), variabile lungo l’apertura dell’ala. L’area di pianta (A=planform area) è la superficie alare vista dall’alto.

Il rapporto d’aspetto (aspect ratio==s2/A) definisce quanto l’ala è snella. La sezione dell’ala è detta profilo alare. Questo è caratterizzato da un bordo d’attacco di solito rotondo, e da quello d’uscita, solitamente affilato. La linea

retta congiungente i due è la corda (chord line); la linea meridiana è la linea di curvatura( camber line). La massima distanza fra le due linee è la curvatura (camber) della sezione, che può essere nulla in caso di profili supersonici. La distanza fra le superfici superiore e inferiore è lo spessore, misurato

perpendicolarmente alla linea di corda. L’angolo α è l’angolo d’attacco ed indica la pendenza della linea di corda rispetto alla direzione del flusso indisturbato.

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Tale forma permette di avere maggiore velocità (quindi minore pressione) sulla superficie superiore dell’ala, e minore pressione su quella inferiore, il che genera portanza. Un bordo d’uscita affilato permette di avere separazione dello strato limite in tale punto, per piccoli alfa. Aumentando l’angolo d’attacco, aumenta la portanza fino a giungere allo stallo, in cui si ha una drastica caduta, a causa della separazione sulla superficie superiore. La portanza è nulla per un certo valore negativo di α detto angolo a

portanza zero (αL0). Anche aumentare la curvatura, tramite superfici di controllo, permette di aumentare la portanza.

COMPORTAMENTO DELL’ALA FINITA Una delle importanti applicazioni della teoria del potenziale è lo studio di superfici portanti, le ali. Si consideri un’ala finita, in moto a velocità costante in un fluido indisturbato, con un sistema di riferimento solidale con questa. Siano U∞ V∞ W∞ le componenti del vettore veloità Q∞ . L’angolo d’attacco è

Per le ipotesi di incomprimibilità, non viscosità, irrotazionalità del flusso attorno all’ala, il campo di velocità dovuto al moto dell’ala può essere ottenuto risolvendo l’equazione di Laplace e imponendo le condizioni all’infinito (automaticamente soddisfatta in caso di soluzioni singolari come pozzo, sorgente, vortice) e di impermeabilità sulla superficie. Noto il potenziale, la velocità si ricava dall’equazione di Bernoulli.

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Affinchè sia soddisfatta la condizione di impermeabilità bisogna avere delle informazioni geometriche sulla forma dell’ala. Siano ( ) la funzione che descrive la superficie

u quella superiore,

l quella inferiore. La normale alla superficie può essere ricavata considerando una funzione ( ) ( )

Allora la normale esterna sulla superficie superiore è

, mentre in quella inferiore è –n. Essendo il laplaciano lineare, la soluzione può essere divisa in due parti: potenziale del flusso indisturbato e potenziale di perturbazione.

Il potenziale di velocità dovuto al flusso uniforme è quindi .

Dalla condizione di impermeabilità si ricava

in cui l’unica incognita è (potenziale di perturbazione). Quindi si può

scrivere

Esprimendo

per z=

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e introducendo l’approssimazione per piccoli disturbi

dalla condizione al contorno seguono delle restrizioni geometriche

Ciò significa che l’ala deve essere sottile rispetto alla corda. Tale condizione non è però valida nel punto d’imbocco e in quello d’uscita, essendo la pendenza della superficie non piccola. Per piccoli α,

, , e la condizione al contorno diviene

. Essendo l’ala sottile, sviluppando in serie di Taylor si ottiene

e, quindi,

La forma dell’ala può essere descritta utilizzando una funzione di spessore t e

una di curvatura c tali che

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da cui

e

Essendo sia le condizioni al contorno sia il laplaciano lineari, la soluzione per il potenziale di perturbazione può essere ricavata sovrapponendo tre problemi più semplici

1. Ala simmetrica a spessore non nullo e angolo d’attacco nullo (effetto

dello spessore);

2. Ala a spessore nullo, non concava con attacco diverso da 0 (effetto dell’angolo d’attacco);

3. Ala a spessore nullo, concava e attacco nullo (effetto curvatura).

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Per il punto 1. va risolto il laplaciano con la condizione al contorno

. La soluzione può essere ottenuta distribuendo soluzioni elementari dell’equazione di Laplace. Essendo il profilo simmetrico, si utilizza una distribuzione di pozzi/sorgenti

Il potenziale di ogni singolo elemento è

dove è la distanza dal punto di singolarità locato in x0, y0 Allora il potenziale di velocità totale sarà

Mentre la componente verticale di velocità risulta essere

Quindi

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dalla condizione al contorno di impermeabilità si ricava

, allora

. Sostituendo nelle equazioni d’interesse si ricava il campo di velocità

Per il caso 2. e 3. la condizione al contorno per il laplaciano è

essendo il problema antisimmetrico, può essere risolto con una distribuzione di dipoli (sorgente+pozzo). Si consideri una distribuzione di dipoli che puntano in direzione positiva dell’asse z. Per un dipolo

.

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Differenziando rispetto a z si ottiene

Quindi il potenziale totale è

Differenziando si ottengono le componenti della velocità e imponendo la condizione al contorno per la componente verticale, si ricava l’intensità di dipoli µ necessaria. La velocità in ogni punto è dunque combinazione del flusso uniforme e del potenziale di perturbazione

Sostituendo nell’equazione di Bernoulli, tenendo conto delle approssimazioni per piccoli disturbi

Allora

con

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Quindi

Da cui

Un effetto molto importante si verifica sulle ali finite: l’effetto di bordo.

Essendo la pressione sulla superficie superiore inferiore rispetto a quella sulla superficie inferiore, in prossimità della punta delle ali il flusso tende a curvare, venendo spinto verso l’alto. Ciò genera una componente di velocità lungo l’apertura alare che fa curvare le linee di flusso. Tale flusso genera un moto circolatorio con produzione di vortici (vortici di coda) su ogni punta che si muovono a valle del flusso. Tali vortici possono essere anche molto potenti e causare problemi ai velivoli che vi interferiscono. I vortici, inoltre, generano una componente verticale della velocità diretta verso il basso (downwash), che , combinandosi con il flusso indisturbato, produce un

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vento relativo locale . l’angolo d’attacco verrà quindi a modificarsi e con questo anche la direzione delle forze.

L’angolo d’attacco effettivo sarà

Mentre la forza portante genera anche una componente parallela al flusso indisturbato detta Resistenza Indotta. Molto importante per l’analisi del comportamento aerodinamico delle ali finite è stata la teoria della linea portante di Prandtl. Tale teoria considera

ali con rapporto d’aspetto elevato, in modo da poter studiare il flusso come bidimensionale

la struttura alare non è importante; per questo si sostituisce all’ala un singolo segmento vorticoso dritto definito vortice legato( bound vortex), che forma la linea portante (a causa della generazione di portanza per il teorema di Kutta-Joukovski). Per il teorema di Helmholtz, tale linea vorticosa non può finire nel fluido, per questo si prolunga nei vortici di coda generando un vortice a ferro di cavallo

i vortici di coda non interagiscono fra di loro e rimangono su rette parallele al flusso indisturbato.

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Per la formula di Biot-Savart la velocità indotta da un segmento dl di vortice è

Il vortice legato non genera velocità lungo se stesso, mentre i due vortici di coda influiscono sulla velocità generando la componente verso il basso.

Il contributo delle due linee sarà

, quindi

.

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Tale modello non è molto appropriato in quanto la componente downwash varrebbe ∞ sulle punte. Per questo motivo si rappresenta l’ala non come un solo vortice legato, ma come sovrapposizione di più vortici

Nel caso di infiniti vortici sovrapposti si verrebbe a formare un foglio di vortici (la cui potenza totale è nulla) e una distribuzione continua di circolazione Γ(y)

Considerando un segmento dx di un vortice di coda d Γ, posto a distanza y dalla linea di portanza, per Biot-Savart questo produrrà un campo di velocità

in un punto posto ad y0 della linea di portanza.

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Il campo totale di velocità di tutto il foglio di vortici in quel punto sarà

L’angolo d’attacco indotto risulta essere

( ) (

( )

)

essendo la componente verticale più piccola del flusso indisturbato.

( ) ( ( )

)

e, quindi,

Dall’equazione di Kutta-Joukovsky e dalla definizione di coefficiente di portanza si ottiene

Dalle due relazioni, tramite un procedimento iterativo, si può calcolare la circolazione e, di conseguenza,

Nel caso di distribuzione ellittica della circolazione

la componente downwash e l’angolo d’attacco indotto sono costanti lungo l’apertura alare. Si dimostra che la resistenza indotta è inversamente proporzionale al rapporto d’aspetto, ma un valore troppo elevato può portare a problemi strutturali. Per avere una tale distribuzione è necessario che la corda vari ellitticamente, ottenendo un’ala ellittica.

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Tale condizione di ellitticità permette di ridurre al minimo la componente di resistenza indotta, se confrontata con altre distribuzioni.

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BIBLIOGRAFIA

“Low-speed aerodynamics”, J.Katz, A. Plotkin

“Fluid- mechanics”, P.K.Kundu, I.M.Choen, D.R. Dowling, 5th edition

“Fundamentals of Aerodinamics”, J.D. Anderson