dove ED = 8,85 X 10- 12 farad /m, En è la componente di E perpendicolareall'elemento di area dS (positiva se E punta verso l'esterno rispetto alla su­perficie chiusa S), V è il volume racchiuso dalla superficie S, e e è la dens itàvolumetrica di carica elettrica.

7-2 Le leggi fondamentali dell'elettromagnetismo. Per facilitare illettore faremo un breve sommario delle leggi fondamentali dell'elettroma­gnetismo.

(a) I campi elettrici sono prodotti da cariche elettriche e da campi ma­gnetici variabili. Corrispondentemente l'intensità del campo elettrico E èdeterminata da due leggi: la legge di Gauss, che dice che il flusso dell 'inten­sità del campo elettrico attraverso una superficie chiusa S è proporzionalealla carica totale racchiusa da questa superficie , e la legge di Faraday del­l'induzione elettromagnetica, che dice che l'integrale dell'intensità del cam­po elettrico lungo un cammino chiuso è proporzionale alla variazione nel­l'unità di tempo del flusso magnetico concatenato con questo cammino.

I fattori numerici che compaiono nelle equazioni dipendono dall ascelta del sistema di unità, in ciò che segue useremo il sistema m k s razio­nalizzato.

(1) la legge di Gauss, nel vuoto è espressa dalla

341

(7-5)

(7-4)

(7-3)

(7-2)

ISBn dS = O.

LE LEGGI FONDAMENTALI DELL'ELETTROMAGNETISMO

(2) la legge dell'induzione di Faraday è espressa dall'equazione

feEs ds = - :t Ls; dS,

Da questo teorema segue che i flussi di B attraverso due diverse superficiaperte, aventi la stessa curva come contorno, sono uguali. Perciò.e', Es d.,dato dalla (7-4), ha un valore definito nonostante l'arbitrarietà nella sceltadella superficie S.

(b) I campi magnetici sono prodotti da correnti elettriche e da campièJettrici variabili.

EDJe; dS = Ive dV +Iv ep dV,

dove S è una superficie limitata dalla curva chiusa s, B« è la componentedell'induzione magnetica B perpendicolare all'elemento di area dS,ed Esè la componente di E parallela all'elemento di curva ds. La direzione posi­tiva della perpendicolare alla superficie S e il senso positivo di percorrenzadella curva s sono legati fra loro dalla stessa relazione che lega l'avanza­mento e il senso di rotazione di una vite destrogira.

(3) Poichè non c'è l'equivalente magnetico della carica elettrica, ilflusso di B attraverso ogni superficie chiusa è sempre zero:

Se ora indichiamo con e la densità delle sole cariche elettriche « libere »,dobbiamo sostituire l'equazione (7-1) con la seguente :

Se siamo in presenza di un dielettrico, oltre all'effetto delle cariche« libere» dobbiamo considerare l'effetto della polarizzazione del dielettrico.La polarizzazione è descritta dal vettore polarizzazione P, definito come ilrisultante dei momenti di dipolo elettrico delle singole molecole contenutenell 'unità di volume. Si può dimostrare che il campo elettrico prodottodai dipoli molecolari è uguale al campo prodotto da una carica distribuitacon densità ep che soddisfa la seguente equazione:

(7-1)

[CAP. 7

EDIse, dS = Il dV,

TEORIA ELETTROMAGNETICA DELLA LUCE

a riconoscere per spiegare i fenomeni di polarizzazione, mette in forti dif­ficoltà il modello meccanico. Se l' « etere », che riempie tutto l'universo, èuna sostanza simile alla materia ordinaria, deve essere considerato come Un

fluido estremamente tenue, perchè non offre nessuna resistenza apparenteal moto dei pianeti e degli altri corpi celesti. D'altro canto le sostanzefluide non possono trasmettere onde trasversali; solo le sostanze solide pos­sono farlo. Inoltre i solidi ordinari trasmettono sia onde trasversali cheonde longitudinali, mentre non sembrano esserci compenenti longitudinalidelle onde luminose. Una ulteriore difficoltà è la grande velocità di propa­gazione della luce, che può essere spiegata solo se facciamo ipotesi estrem esulla densità è sulle proprietà elastiche dell '« etere ».

Tutte queste difficoltà vennero risolte quando Maxwell suggerì che laluce non fosse un fenomeno meccanico ma elettromagnetico. In questo capi­tolo delineeremo la teoria elettromagnetica della luce e mostreremo comele proprietà cinematiche delle onde luminose possano venire ricavate In

modo diretto dalle proprietà dinamiche del campo elettromagnetico.

340

Cosi quando ci sono campi elettrici variabili oltre alle correnti elettriche, lalegge della circuitazione di Ampere deve essere modificata come segue:

(1) I campi magnetici dovuti a correnti elettriche obbediscono alla leggedella clrcuitazione di Ampere, che dice che, nel vuoto, l'integrale del vettoreinduzione magnetica B lungo una curva chiusa è proporzionale alla correntetotale concatenata con questa curva. La legge di Ampere è espressa dalla

343

(7-14)

(7-16)

(7-17)

(7-13)

(7-1 I)

(7-12)

, (7-15)

BH=-.

/lo

BH=--M.

/lO

D = coE + P,

LE LEGGI FONDAMENTALI DELL'ELETTROMAGNETISMO

Con queste notazioni otteniamo

Le equazioni (7-13), (7-14), (7-15) e (7-16) hanno validità generale esono valide anche se si tiene conto della magnetizzazione. In questo caso,però, l'equazione (7-12) deve essere sostituita dalla

7-2]

zazione è molto piccola ed ha un effetto trascurabile sulla propagazione delleonde elettromagnetiche. Per evitare complicazioni inutili, trascureremo quile correnti microscopiche che danno luogo alla magnetizzazione; allora ladensità di corrente nell'equazione (7-8) e costituita da due termini: la cor­rente dovuta al moto delle sole cariche « libere », e la corrente di polariz­zazione, jp, data dalla (7-9). Se indichiamo con j la corrente « libera », la(7-8) diviene

e l'intensità del campo magnetico H:

l 1. f (. 8Pn 8En )-,;;; rsBs ds = s J» + --al + co --al dS. (7-10)

Le equazioni (7-3), (7-4), (7-5) e (7-10) sono le equazioni fondamentalidel campo elettromagnetico (se la magnetizzazione può essere trascurata).Esse sono note come equazioni di Maxwell e sono sufficienti a determinarecompletamente il campo elettromagnetico se sono dat i ee j e se sono notele proprietà elettriche del mezzo, cioè se è data la relazione fra P ed E.

Possiamo esprimere le equazioni di Maxwell in una forma più conve­niente, definendo due vettori ausiliari, cioè lo spostamento elettrico D:

(7-9)

(7-8)

(7-6)

[CAP. 7

. 8PJp = iit ·

TEORIA ELETTROMAGNETICA DELLA LUCE

l 1. f (. 8En)-;;;; r/s ds = s ln + c iit dS.

Notare che l'integrale del secondo membro di questa equazione ha lo stessovalore per tutte le superfici S con la stessa curva di contorno s. Infatti , peril teorema di Gauss e per il principio di conservazione della carica elettrica,il flusso del vettore j + co(8E/8t) attraverso una superficie chiusa qualsiasiè nullo.

(3) Se sono presenti sostanze materiali, dobbiamo considerare due altrespecie di correnti, oltre alla corrente dovuta al moto di cariche libere.

In primo luogo ogni variazione della polarizzazione dielettrica delmezzo produce una corrente la cui densità jp è uguale alla variazione nellaunità di tempo del vettore polarizzazione P:

In secondo luogo vi sono correnti dovute al moto di elettroni lungo leloro orbite atomiche o molecolari ed alla rotazione degli elettroni intorn oai loro assi (spin). A queste correnti microscopiche sono dovute le proprietàmagnetiche della materia, che sono di solito descritte dal vettore magnetizzazione M. Eccettuato il caso delle sostanze ferromagnetiche, la magnetiz-

_l 1. e, ds = f jn dS,/lo r s s

dove l'o = 4n x 10-7 henry/m e i« è la componente normale a dS del vet­tore j che rappresenta la densità di corrente. In questa equazione la conven­zione per i segni è la stessa dell'equazione (7-4).

(2) Gli effetti magnetici dei campi elettrici variabili possono esseredescritti dicendo che un campo elettrico è equivalente a una corrente elet­trica la cui densità jE è proporzionale alla variazione nell'unità di tempo delcampo elettrico. Più esattamente,

. 8EJE = eo iit. (7-7)

342

344 TEORIA ELETTROMAGNETICA DELLA LUCE [CAP. 7 7-3] ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE NEI DIELETTRICI ISOTROPI 345

lu = 2'""" (E . D + H· B),

(7-24)

(7-22)

(7-23)

FIGURA 7-2.

x

FIGURA 7-1.

,[

In questo caso, le equazioni di Maxwell diventano simmetriche rispetto adE e H [eccetto che per la differenza di segno nelle (7-23) e (7-25)].

Scegliamo un sistema arbitrario di coordinate cartesiane, x, y, z; ciproponiamo di provare che esiste una soluzione delle equazioni scrittetale che l'intensità del campo elettrico E e l'intensità del campo magnetico Hdipendano solo dal tempo t e dalla coordinata x.

equazioni che vanno dalla (7-13) fino alla (7-16) possono allora essere ri­scritte nel modo seguente:

(7-19)

(7-18)

cK=­

EO

D=cE,

dove i punti stanno ad indicare prodotti scalari.Una carica puntiforme e, che si muove con velocità w in un campo elet­

tromagnetico, è soggetta ad una forza

è detta costante dielettrica.(c) I campi elettromagnetici sono in grado di produrre sviluppo di ca­

lore e di compiere lavoro contro forze meccaniche o chimiche, il che signi­fica che il campo elettromagnetico possiede energia. Questa energia è di­stribuita nello spazio con densità u data da

Nelle sostanze isotrope e per campi elettrici costanti o lentamente va­riabili, i vettori P ed E sono, di solito, paralleli fra loro e proporzionali inmodulo l'uno all'altro. Anche il vettore D è perciò proporzionale al vettoreE e vale dunque la seguente equazione:

dove c è una quantità scalare indipendente da E, chiamata permettivitàdielettrica del mezzo. Nei mezzi non omogenei c può variare da punto apunto. Nel vuoto essa si riduce alla costante co già definita Le quantità co efio sono talvolta chiamate permettività elettrica e permettività magneticadel vuoto. La quantità

dove E e B sono l'intensità del campo elettrico e l'induzione magnetica nelpunto occupato dalla carica, e la croce indica un prodotto vettoriale. No­tare che nel calcolo di E e di B non sono considerati gli effetti elettroma­gnetici della carica e.

7-3 Onde elettromagnetiche piane nei dielettrici isotropi ed omogenei.Consideriamo un campo elettromagnetico in una regione dello spazio occu­pata da un dielettrico isotropo ed omogeneo. Supponiamo che la densitàdi carica, (2, e la densità di corrente elettrica j, siano dovunque nulle. Le

F = e(E + w X B), (7-21)(l) Consideriamo dapprima un'area S parallela al piano yz (Fig. 7-1).

Poichè, secondo la nostra ipotesi, E è costante in questo piano, l'integraledi E lungo il contorno di S è nullo (se il modulo e la direzione di una forzasono gli stessi in ogni punto, il lavoro della forza, lungo un cammino chiuso I

qualunque, è nullo). Allora dall'equazione (7-23) si ricava

f aHz dS = O.s at

Poichè inoltre Hz ha lo stesso valore in tutti i punti della superficie S, con­cludiamo che

aHz = Oot .

"

FIGURA 7-3.

y

z

(3) In maniera analoga, considerando un rettangolo EFGH con latiaralleli agli assi z ed x (Fig. 7-2), otteniamo

-3] ONDE ELElTROMAGNETICHE PIANE NEI DlELElTRICI ISOTROPI 347

[ ] a~Ex(x + dx) - Ex(x) hk = ---ax- hk dx.

(4) Dall'equazione (7-25) possiamo ricavare due equazioni simili aquelle appena ottenute, in cui e sostituisce - j.loed i vettori E ed H vengonoscambiati fra loro .

(5) Possiamo ottenere due equazioni addizionali dalle (7-22) e (7-24).A questo scopo scegliamo una superficie chiusa S a forma di parallelepi­pedo ABCDA'B'C'D ', con lati pa-ralleli agli assi coordinati (Fig. 7-3).Siano x e x + dx le coordinate se­condo l'asse x dei due piani (ABCDe A'B' C'D') perpendicolari all' asse x(dx è una lunghezza infinitesima).Siano h e k le lunghezze dei Iati pa­ralleli agli assi y e z, rispettivamente.Il flusso di E attraverso A' B' C' D' èEx(x + dx)hk. n flusso di E attra­erso ABCD è - Ex(x)hk . Così il

flusso totale uscente dalle superficiopposte del parallelepipedo perpen­dicolari all'asse x è

[CAP. 7

aEx = Oal .

TEORIA ELElTROMAGNETICA DELLA LUCE

In modo analogo si può dimostrare [dall'equazione (7-25)] che

(2) Applichiamo ora la legge dell'induzione di Faraday, espressa dal­l'equazione (7-23), ad un rettangolo ABCD (Fig. 7-2) formato da due seg­menti infinitesimi paralleli all'asse x (AB, CD) e da due segmenti di lunghez­za h paralleli all'asse y (BC e DA). Sia x la coordinata secondo l'asse xdel segmento DA e x + dx quella del segmento Be. Secondo la nostra ipo.tesi, E ha un valore costante E(x) lungo il segmento DA, e un valore costan tediverso E(x + dx) lungo il segmento Be.

n primo membro della (7-23), che rappresenta l'integrale di E lun­go la lineaABCD, si riduce alla somma di quattro termini che corrispondonoai lati del rettangolo ABCD.

Lato BC: ElI (x + dx) . h (andando da B a C percorriamo una distanzah nella direzione positiva dell'asse y; Eri ha il valore costante Ey(x + dx)sul segmento BC).

Lato CD: - Ex . dx (Ex è un opportuno valore medio di E., lungo ilsegmento infinitesimo CD; il segno meno è dovuto al fatto che andandoda B a C, andiamo nella direzione negativa dell'asse x).

Lato DA : - Ey(x) . h.Lato AB : Ex . dx (Ex ha lo stesso valore che ha nel termine corrispon­

dente al lato CD , poichè E., dipende solo da x).I due termini corrispondenti a CD e AB si elidono a vicenda e otte­

niamo perciò

346

aEx = Odx .

aHx = Oax .

Analogamente l'equazione (7-24) dà

oichè E dipende solo da x, i flussi di E attraverso le due superfici AA' B' Bt DD'C'C (che sono perpendicolari all'asse y) sono uguali in modulo e op­

osti in segno, e perciò si elidono a vicenda. La stessa cosa avviene per iussi attraverso le superfici BCC'B' e ADD'A'. Perciò la (7-22) dà il se­ente risultato:

oppure

f aHn dS = !...Hz h dx.s at at

L'integrale a secondo membro della (7-23), che rappresenta il flussodel vettore dH jdl attraverso la superficie ABCD, è dato da

I oEvTsEsds = ox h dx.

Perciò la (7-23) dà

348 TEORIA ELETTROMAGNETICA DELLA LUCE [CAP. 7 7-3] ONDE ELETTROMAGNETICHE PIANE NEI DIELETTRICI ISOTROPI 349

Ritornando al caso particolare in cui i vettori del campo dipendonosolo da x, notiamo che le equazioni (7-26 a, b, c, d) indicano che le com­ponenti secondo l'asse x di E e di H sono costanti sia nel tempo che nellospazio. Poichè non ci interessano campi elettrici o magnetici statici, possia­1110 supporre che

Delle quattro equazioni rimanenti due contengono Eye Hz e due conten­gono Ez e HI/' Così Ey e Hz sono indipendenti da E« e Hy e possiamo consi­derare il comportamento delle componenti del campo Ey e Hz separata­mente dalle componenti Ez e H y .

Le due equazioni contenenti Ey e Hz sono

Riassumendo i risultati ottenuti possiamo scrivere il seguente sistemadi equazioni differenziali:

(a) aHz =0 (b) aEz = Oax ' Bx '

(c) aHz = O (d) aEz = Oal ' al '

(e) Ilo aHy = aEz se; en,(7-26)

(f) e--=---al ax ' at ax '

( ) etr, _ aEy (h) aEz = aHyg IlO ----al - - 8X' e at àx .

Ez=O, Hz=O. (7-29)

(7-30)aeve-­at

Per comprendere il significato fisico di queste equazioni consideriamodue piani perpendicolari all'asse x e a distanza infinitesima dx tra di loro.La prima delle equazioni (7-30) ci dice che la variazione nell'unità di tempodi Hz, nello spazio compreso tra i due piani, dipende dalla differenza tra ivalori di El/ su questi piani. Analogamente, la seconda delle equazioni (7-30)ci dice che la variazione nell 'unità di tempo di Ey nello spazio compresotra due piani dipende dalla differenza tra i valori di Hz su questi piani.Possiamo cosi dire che il campo elettrico esistente nelle immediate vicinanzedi un certo punto è la causa diretta delle variazioni dell'intensità del campomagnetico in quel punto. Analogamente il campo magnetico esistente nel­le immediate vicinanze di un certo punto è la causa delle variazioni dellaintensità del campo elettrico. Questo significa che la perturbazione elettro­magnetica si propaga da punto a punto, essendo ogni punto del mezzoinfluenzato solo dalle condizioni esistenti nelle sue immediate vicinanze.

Ci troviamo dunque di fronte a una situazione molto simile a quellaincontrata nel caso delle onde meccaniche. Per esempio, in un'onda acusticala differenza di pressione esistente tra le due superfici che limitano unostrato d'aria fa sì che la velocità dello strato vari, e la pressione nello stratovaria perch è le velocità delle due superfici sono diverse (vedere i Paragrafi1-3, 1-5). Questa analogia suggerisce una relazione stretta, anche se pura­mente formale, tra la propagazione delle perturbazioni elettromagnetichee la propagazione delle onde meccaniche.

(7-21)

(7-28)

es,ot

divE = O,

oEe T= rotH

ee; es; en,(f) e ---al = -----az - ----a;-'

}(d) e

ee; ee; ee,I (b) ~+8Y+~=0,

oH- I/o-- = rot E

r: ot '

div H = O,

A beneficio del lettore pratico di calcolo vettoriaIe, ricordiamo che le equazio(7-27) possono essere scritte in modo più compatto come segue:

Le equazioni precedenti sono state ottenute facendo l'ipotesi che E ed Hfossero indipendenti da y e z. Con metodi essenzialmente simili possiamo trattail caso più generale in cui E e H dipendono da tutte e tre le coordinate spazialix, y e z. Diamo qui il risultato senza dimostrazione:

en, es, ee;(c) -j.10--=-----

01 oy àz '

en, oEy se;I (g) -j.10--=-----.ot àx oy ,

I (e) -j.10 oHy = oEz _ oE.ot oz ox '

en, en, oH./ (a) ---a;- +8Y +~ = O,

354 TEORIA ELETTROMAGNETICA DELLA LUCE [CAP. 7 7-5]

- ,

LE ONDE LUMINOSE COME ONDE ELETTROMAGNETICHE 355

(7-46)

(7-45)

(7-44)

Analogamente, nel caso di un'onda il cui vettore elettrico è paralleloall'asse z e il cui vettore magnetico è parallelo asse y otteniamo

S = E X H,

Notare che le equazioni (7-44), (7-45) e (7-46) sono valide sia per ondeviaggianti nella direzione positiva che per onde viaggianti nella direzionenegativa. Nel primo caso Sx è positivo , nel secondo è negativo .

I risultati presentati finora sono casi particolari del teorema di Poynting ,che dice che in un campo elettromagnetico il flusso di energia per unità inarea è rappresentato da un vettore S, chiamato vettore di Poynting, che èdato da

Un 'onda piana qualsiasi viaggiante nella direzione dell'asse X puòessere considerata come sovrapposizione di due onde i cui vettori elettricisiano paralleli all'asse y e all'asse z rispettivamente. Perciò l'espressione ge­nerale per il flusso di energia per unità di area per un'onda propagantesilungo l'asse X è

per unità di area nella direzione di propagazione. L'equazione (7-43) diceallora che la variazione nell'unità di tempo dall'energia contenuta nel volu­me cilindrico è uguale alla quantità di energia che entra nell'unità di tempoin questo volume attraverso la superficie piana SI posta ad Xl , meno laquantità di energia che abbandona nell'unità di tempo il volume attraversola superficie piana S2 posta ad X2.

Cosi, se indichiamo con Sx il flusso di energia per unità di area, otte­niamo

La variazione di U nell'unità di tempo è data da

Questa equazione, insieme con l'equazione (7-30), dà

x 2 2 ·

U = A f 2 eEY + poH z dx.xl 2

7-4 n vettore di Poynting. Nel Paragrafo 7-2 abbiamo accennato alfatto che l'energia dei campi elettromagnetici è distribuita nello spazio Conuna densità u data dall'equazione (7-20). Ora vogliamo studiare il flussodi energia elettromagnetica associato con la propagazione delle onde piane.

Consideriamo, per questo sco-Y po, un volume delimitato da una

superficie cilindrica , il cui asse siaparallelo all'asse x , e da due superficipiane SI ed S2 perpendicolari aquest'asse. Sia A l'area di SI, uguale

X2x a quella di S2' e siano Xl ed X2 le

loro coordinate secondo l'asse X

(Fig. 7-8). Per semplicità supporremoFIGURA 7-8. che Ez = O, Hy = O, cioè conside-

reremo un'onda polarizzata linear­mente. Poichè Ey ed Hz dipendono solo da x , l'energia elettromagneticatotale contenuta nel volume cilindrico è

da cui otteniamodove la croce sta ad indicare il prodotto vettoriale. Non daremo qui ladimostrazione generale di questo teorema.

7-5 Le onde luminose come onde elettromagnetiche. ConfronteremoOra la descrizione teorica delle onde elettromagnetiche presentata nei pa­ragrafi precedenti con le proprietà sperimentali delle onde luminose.

È importante notare che nello sviluppo della teoria abbiamo suppostoche D fosse, in ogni istante, parallelo e proporzionale ad E, in modo dapoter definire le permettività dielettrica con l'equazione D = cE. Questa

Faremo ora l' ipotesi, che appare piuttosto naturale, che l'energia elet­tromagnetica di un'onda elettromagnetica piana viaggi nella direzione d'propagazione dell'onda. Cosi il flusso di energia attraverso la superficielaterale del cilindro è zero, ed il principio di conservazione dell'energia èsoddisfatto se la quantità Ey Hz viene interpretata come il flusso di energia