Teoria dei giochi

Parma,15 giugno 2011

I.I.S. “B. Pascal”Reggio Emilia

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Università degli Studi di Parma

“La vita ci costringe a fare continue scelte ad ogni livello (famigliare, personale, sociale) e in ogni campo (morale, economico, politico), in situazioni di conoscenza imperfetta della situazione, del comportamento altrui e degli effetti delle varie scelte. Nonostante la sua complessità, il processo decisionale può comunque essere modellato con strumenti matematici: la branca della matematica che si interessa di tali problemi si chiama teoria dei giochi.”

[P. Odifreddi – “Giochi pericolosi”]

Cos’ è la teoria dei giochi

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In che cosa consiste: due giocatori, Arianna e Bruno, tirano su CONTEMPORANEAMENTE una o entrambe le mani.

Regole del gioco: se A e B tirano su lo stesso numero di mani, B deve dare ad A 10$; se il numero di mani è diverso, A deve dare a B 10$ se B ha tirato su una sola mano, 20$ se B ha tirato su 2 mani.

Si tratta di un gioco competitivo, a informazione completa, simultaneo a somma nulla perché A e B giocano contemporaneamente e ciò che vince uno è uguale a quanto l’altro perde.

Il gioco delle mani:

3

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Strategie possibili: A, una mano/due mani; B, una mano/due mani.

Situazioni possibili:1. A, una mano; B, due mani2. A, due mani; B, una mano3. A, una mano; B, una mano4. A, due mani; B, due mani

Situazione iniziale

1-2

2-1 1-1

2-2

Studio del gioco

Il gioco delle mani:ricerca della soluzione

Per rappresentare i pagamenti si usano le tabelle dei pagamenti. Ad esempio questo gioco è rappresentato dalla seguente tabella.

Soluzione: unisce la strategia ottimale per A e quella ottimale per B, individuando l’equilibrio del gioco.

Strategie B1 B2

A1 10 -20

A2 -10 10

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NIM 2-2Stato iniziale: ci sono due pile di

due fiammiferi ciascuna. Regole del gioco:

1. si sorteggia il giocatore che inizia.2. a turno i giocatori scelgono una pila e

prelevano almeno un fiammifero.3. chi toglie l’ultimo fiammifero perde.Si tratta di un gioco competitivo, a

informazione completa, non simultaneo.

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NIM 2-2: Albero degli stati

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Si vede che, qualunque sia la mossa del primo giocatore, il secondo giocatore ha la vittoria sicura se gioca “razionalmente”

Il dilemma del prigioniero

In che cosa consiste: Rick e Carl, sospettati di un reato, vengono arrestati e interrogati separatamente:

1. se uno dei due denuncia l’altro e questo non confessa, il primo sarà liberato, mentre il complice sarà condannato alla pena intera (3 anni);

2. se entrambi si denunciano a vicenda, saranno condannati tutti e due ad una pena ridotta (2 anni);

3. se invece nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati ad una pena di 1 anno;

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Studio del gioco Tipologia di gioco: si tratta di un gioco a

informazione completa, a somma non nulla, non cooperativo

Tabella dei pagamenti:

Strategie Confessa Non confessa

Confessa 2-2 0-3

Non confessa 3-0 1-1

Soluzione e applicazioniSoluzione:La strategia “non confessa” è

strettamente dominata dalla strategia “confessa”, quindi l’equilibrio si trova in Rick confessa e Carl confessa. Il risultato migliore per ciascuno dei due sarebbe Rick non confessa e Carl non confessa, ma questo non è un equilibrio.

L’equilibrio non sempre coincide con il risultato migliore

Applicazione: il dilemma del prigioniero può essere usato come modello semplificato per descrivere:1. problemi di tipo militare, 2. i motivi delle guerre economiche, 3. i comportamenti sociali.

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Modello per la guerra fredda

• Giocatori : Stati Uniti e URSS• Confessione = armamento con l’atomica• Non confessione = non armamento

Secondo il modello del dilemma del prigioniero era inevitabile la corsa agli armamenti, anche se la situazione più auspicabile sarebbe stata quella del non armamento di entrambi.

La corsa del coniglio In che cosa consiste: due amici Gianni e Paolo

si sfidano in auto. La sfida consiste nel correre a tutta velocità l’uno contro l’altro e vince chi non vira. Il primo che si sposta viene considerato un “coniglio”. Le possibilità sono:1. uno si sposta e l’altro no (e viceversa);2. si spostano entrambi;3. nessuno dei due si sposta.

La corsa del coniglio Matrice dei pagamenti:

M =

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(2-2) (1-3)

(3-1) (0-0)

Ci sono due equilibri di Nash: (1,3), cioè si sposta Gianni e non si sposta Paolo; (3,1), cioè si sposta Paolo e non si sposta Gianni.

Non esiste una strategia razionale adottabile da entrambi i giocatori, anche se “virano entrambi” è meno rischioso di “nessuno dei due vira”.

La “deterrenza”

• La “corsa del coniglio” si presta a descrivere la “deterrenza”, cioè la credibilità di una minaccia.

Durante la guerra fredda entrambe le superpotenze sarebbero state disposte a scatenare una guerra nucleare piuttosto che fare la figura del “coniglio” con l’avversario.

La caccia al cervo In che cosa consiste: due amici Andrea e Mario

stanno partecipando ad una caccia al cervo, quando Andrea vede una lepre che potrebbe cacciare da solo e deve decidere se:1. continuare a cacciare il cervo insieme all’amico;2. cacciare la lepre e lasciare solo l’amico;

La caccia al cervo Matrice dei pagamenti:

M =

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(3-3) (2-0)

(0-2) (1-1)

In questo caso ci sono due equilibri di Nash: (3–3) cioè entrambi continuano a cacciare il cervo e (1–1) cioè entrambi abbandonano la caccia al cervo e cacciano la lepre.

Classificazione dei giochiNel caso di giocatori razionali (ricercano SEMPRE la strategia migliore per ottenere il massimo risultato), i giochi si dividono in: deterministici Strategici: il cui risultato èinfluenzato dal giocatore(scacchi, tris…); stocastici Aleatori: il cui risultato è influenzato solo dal “caso”(il gioco dell’oca...).Cooperativi: nel caso in cui due o più giocatori si accordino e giochino come se fossero uno solo.Non Cooperativi: il meccanismo delle decisioni riguarda il singolo giocatore sulla base di ragionamenti individualiCompetitivi: ogni giocatore segue una strategia indipendente volta al massimo profitto. 17

La strategia Definizione: piano d’azione preparato a priori in base

alle regole del gioco, cioè specificazione teorica completa delle mosse che il giocatore farà ogni volta che dovrà prendere una decisione.

accordi Come viene scelta: in base allamassimizzazione del risultato (vincere il massimo possibile e perdere il minimo possibile) indipendente

Come posso schematizzarla: attraverso l’albero degli stati, con il quale analizzo tutte le singole situazioni teoriche che possono verificarsi nel corso del gioco.

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La strategia:pura e mista

Strategia pura: piano d’azione preparato secondo le regole del gioco che descrive le mosse del giocatore per ciascuna delle situazioni teoriche che possono presentarsi.

Strategia mista: ciascun giocatore segue una strategia globale che gli permetta di variare e mischiare le varie strategie pure date dal gioco  Se le strategie vengono “mischiate”, ciò sarà fatto in modo aleatorio per impedire all’avversario di capire lo schema seguito.

In ogni caso, ogni gioco a due persone, a somma nulla, ha una soluzione in termini di strategia pura o di strategia mista.

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Equilibri Equilibrio in strategie dominanti:

1. io faccio meglio che posso indipendentemente da ciò che fai tu;

2. tu fai meglio che puoi indipendentemente da ciò che faccio io.

Equilibrio di Nash:Coppia di strategie rispetto alle quali nessuno dei due

giocatori ha interesse ad essere l’unico a cambiare1. io faccio meglio che posso dato ciò che fai tu;2. tu fai meglio che puoi dato ciò che faccio io.