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Teoria degli Operatori

Corso di Laurea Specialistica in Matematica

Camillo TrapaniDipartimento di Matematica e Informatica

Universita di Palermo

A.A. 2007-2008; versione rivista Aprile 2012

Indice

1 Spazi di Banach e Spazi di Hilbert 1

1.1 Spazi normati e spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Definizioni e proprieta elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Esempi di spazi di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Operatori lineari in uno spazio di Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 Forme lineari continue e duale di uno spazio di Banach . . . . . . . . . . . 5

1.2 La Geometria dello Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Sottospazi e teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Basi ortonormali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Appendice: basi generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali 17

2.1 Definizioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 La norma di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Aggiunto di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Alcuni tipi di operatori limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Operatori simmetrici, operatori positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Operatori di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Operatori isometrici e unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Topologie in B(H): convergenza forte e convergenza debole . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 La topologia forte di B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2 La topologia debole di B(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Commutanti e Algebre di von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iv INDICE

3 Proprieta spettrali degli operatori limitati 31

3.1 Lo spettro di un operatore limitato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.1 Definizioni ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.2 Lo spazio degli operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Operatori integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 La teoria spettrale degli operatori compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Teorema di Riesz–Schauder: prima dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3.2 Teorema di Riesz–Schauder: seconda dimostrazione . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.3 Conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Operatori non limitati nello spazio di Hilbert 57

4.1 Operatori chiusi e chiudibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 L’aggiunto di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Le operazioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Operatori simmetrici e autoaggiunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.4.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4.3 L’operatore A∗A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.4 Criteri di autoaggiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Lo spettro di un operatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.6 Commutazione di operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto . . . . . . . . . . . . . 79

4.8 Famiglia spettrale e spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.8.1 Il secondo teorema spettrale e le sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . 85

4.8.2 Spettro discreto e spettro essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.9 Il teorema di Stone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.10 Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.11 Operatori autoaggiunti che commutano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.12 Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Capitolo 1

Spazi di Banach e Spazi di Hilbert

1.1 Spazi normati e spazi di Banach

In questa prima sezione ci occuperemo della definizione di spazio normato e di come su unospazio normato sia possibile introdurre una topologia, compatibile con la struttura algebrica dispazio vettoriale.

1.1.1 Definizioni e proprieta elementari

Definizione 1.1.1 Sia E uno spazio vettoriale (o lineare) sul campo C dei numeri complessi.Una norma su E e un’applicazione di E in R che associa a v 7→‖ v ‖ con le seguenti proprieta:

(i) ‖v‖ ≥ 0, ∀v ∈ E

(ii) ‖v‖ = 0⇔ v = 0

(iii) ‖αv‖ = |α|‖v‖, ∀α ∈ C, ∀v ∈ E

(iv) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ ∀v, w ∈ E

Uno spazio E su cui e definita una norma e detto uno spazio normato. In uno spazio normatosi puo introdurre una distanza ponendo

ρ(v, w) = ‖v − w‖

cioe ρ soddisfa le seguenti proprieta:

(D1) ρ(v, w) ≥ 0, ∀v, w ∈ E

(D2) ρ(v, w) = 0⇔ v = w

(D3) ρ(v, w) = ρ(w, v), ∀v, w ∈ E

2 1. Spazi di Banach e Spazi di Hilbert

(D4) ρ(u, v) ≤ ρ(u,w) + ρ(w, v), ∀u, v, w ∈ E

La (D4) e nota come disuguaglianza triangolare.

Esercizio 1.1.2 Verificare che ρ verifica le condizioni (D1)-(D4).

Ogni spazio normato e dunque uno spazio metrico, ma il viceversa e falso. Dalle proprietadella distanza, infatti, non discende la (iii) della Def. 1.1.1.

Gli spazi vettoriali normati sono esempi particolari dei cosiddetti spazi localmente convessi.L’importanza di questi spazi sta nel fatto che, grazie alla struttura lineare, la topologia dellospazio e nota quando sia nota una base d’intorni di un prefissato punto x0. In particolare, sipuo scegliere x0 = 0. Infatti se U = {U} e una base d’intorni di zero e facile verificare cheUx = {x+ U} dove

x+ U = {x+ y : y ∈ U}e una base d’intorni di x.

Esercizio 1.1.3 Dimostrare l’asserzione precedente.

In parole povere, in uno spazio localmente convesso, gli intorni di x si ottengono traslandodi x gli intorni di zero.

E’ utile a questo punto ricordare alcune definizioni e proprieta relative agli spazi metrici.

Definizione 1.1.4 Sia (E, ρ) uno spazio metrico. Una successione {xn} di elementi di E edetta una successione di Cauchy se ∀ε > 0 ∃N(ε) tale che se n,m ≥ N(ε)⇒ ρ(xn, xm) < ε.

Proposizione 1.1.5 Ogni successione convergente e di Cauchy.

Dimostrazione – Sia xn → x e scegliamo ε > 0 ; allora esiste N(ε) tale che per n > N(ε) ρ(xn, x) < ε/2.Se anche m > N(ε) allora ρ(xm, x) < ε/2 e quindi

ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xm, x) < ε per n,m > N(ε)

�

Definizione 1.1.6 Uno spazio metrico (E, ρ) e detto completo se ogni successione di Cauchyconverge in E

Esempio 1.1.7Gli spazi C e R sono completi; lo spazio Q dei numeri razionali non e completo. �

Definizione 1.1.8 Un sottoinsieme B di uno spazio metrico (E, ρ) e detto denso ( in E) seogni x di E e il limite di una successione di elementi di B; cioe se

∀x ∈ E ∃(xn)n ⊂ B : xn → x

1.1. Spazi normati e spazi di Banach 3

Per esempio Q e denso in R.

Definizione 1.1.9 Uno spazio normato (E, ‖ · ‖) e completo se esso e completo come spaziometrico con la metrica indotta. Uno spazio normato completo e detto uno spazio di Banach.

1.1.2 Esempi di spazi di Banach

In questa sezione discuteremo due esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Banach.

Esempio 1.1.10Indichiamo con C[0, 1] l’insieme delle funzioni continue nell’intervallo chiuso [0, 1] a valori in C. E facilerendersi conto del fatto che C[0, 1] e uno spazio vettoriale sul campo dei complessi. Se f ∈ C[0, 1] poniamo

‖f‖ = supx∈[0,1]

|f(x)| (1.1)

Si puo dimostrare facilmente (esercizio!) che in questo modo si definisce una norma in C[0, 1]. Perprovare la completezza di questo spazio basta notare che la convergenza di una successione {fn} rispettoalla norma ( 1.1 ) e equivalente alla convergenza uniforme ed utilizzare il ben noto risultato che affermache se una successione {fn} di funzioni continue converge uniformemente a una funzione f , allora f econtinua. �

Esempio 1.1.11(Spazi Lp) Siano f, g due funzioni misurabili (secondo Lebesgue) in R. Si dice che f e g sono equivalentise l’insieme

{x ∈ R : f(x) 6= g(x)}

ha misura nulla ovvero se f(x) = g(x) quasi ovunque (q.o.). Con Lp(R) , 1 ≤ p < ∞ indichiamo l’in-sieme delle classi di equivalenza (rispetto alla relazione definita sopra) delle funzioni misurabili (secondoLebesgue) tali che

‖f‖p ≡(∫

R|f(x)|p dx

)1/p

<∞ (1.2)

Il seguente teorema implica che Lp(R) e uno spazio di Banach.

Teorema 1.1.12 In Lp(R) , 1 ≤ p <∞ valgono le seguenti affermazioni

(i) (Disuguaglianza di Minkowki) Se f, g ∈ Lp(R), allora

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p

(ii) (Teorema di Riesz-Fisher) Lp(R) e completo.

Dimostrazione – Dimostreremo solo la (ii).

Sia fn una successione di Cauchy in Lp(R). Allora esiste una sottosuccessione fni , n1 < n2 < · · · ,tale che

‖fni+1 − fni‖p < 2−i (i = 1, 2, 3, . . .) (1.3)

Poniamo

gk =

k∑i=1

|fni+1− fni |, g =

∞∑i=1

|fni+1− fni | (1.4)


Poiche vale ( 1.3 ), la disuaglianza di Minkowski implica che ‖gk‖p < 1 per k = 1, 2, 3. · · · . Per il lemmadi Fatou, applicato a gk(x)p, risulta allora ‖g‖p ≤ 1 . In particolare g(x) < ∞ quasi ovunque (q.o.),cosicche la serie

fn1+

∞∑i=1

(fni+1− fni) (1.5)

converge assolutamente per quasi ogni x ∈ R. Indichiamo la somma di ( 1.5 ) con f(x) per quegli x incui ( 1.5 ) converge; poniamo, inoltre, f(x) = 0 sul rimanente insieme di misura nulla. Poiche

fn1 +

k−1∑i=1

(fni+1 − fni) = fnk , (1.6)

si vede chef(x) = lim

i→∞fni q.o. (1.7)

Vogliamo provare che f e anche il limite in Lp di fn. Scegliamo ε > 0. Allora esiste un N tale che‖fn − fm‖p < ε se n > N ed m > N . Per ogni m > N , sempre dal lemma di Fatou segue che∫

R|f − fm|p dx ≤ lim inf

i→∞

∫R|fni − fm|p dx. (1.8)

Quindi f − fm ∈ Lp(R) . Di conseguenza f ∈ Lp(R) e infine ‖f − fm‖p → 0 per m → ∞. Questocompleta la dimostrazione. �

�

Non entriamo in ulteriori dettagli sugli spazi Lp perche andremmo lontano dai nostri scopi.Ci limitiamo a ricordare, senza dimostrarla, una rilevante proprieta di approssimazione confunzioni continue.

Teorema 1.1.13 Per 1 ≤ p <∞ lo spazio C0(R) delle funzioni continue a supporto compattoin R e denso in Lp(R).

Per concludere questa breve discussione sugli spazi Lp sottolineamo che si possono anche consi-derare gli spazi Lp(E) dove E e un qualsiasi insieme misurabile in R e che, sempre nell’ipotesi1 ≤ p <∞, le proprieta stabilite sopra continuano a valere.

1.1.3 Operatori lineari in uno spazio di Banach

Anche se ci stiamo occupando di spazi di Banach alcune proprieta elementari degli operatorilineari non dipendono dalla completezza dello spazio e verranno percio date per spazi normati.

Definizione 1.1.14 Un’ applicazione T da uno spazio normato (E1, ‖ ·‖1) nello spazio normato(E2, ‖ · ‖2) e detta operatore lineare limitato se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

(i) T (αv + βw) = αTv + βTw ∀v, w ∈ E1 e ∀α, β ∈ C

(ii) Esiste una costante C ≥ 0 tale che ‖Tv‖2 ≤ C‖v‖1 ∀v ∈ E1

1.1. Spazi normati e spazi di Banach 5

Il piu piccolo C per cui (ii) e soddisfatta e detto norma di T e si indica con ‖T‖. Si ha

‖T‖ = sup‖v‖1=1

‖Tv‖2 (1.9)

Abbiamo detto che gli spazi normati sono spazi metrici e negli spazi metrici si introduce, nelmodo a tutti noto, il concetto di continuita di un’applicazione (sia essa lineare o no). In spazinormati, la nozione di continuita per operatori lineari e del tutto equivalente alla nozione dilimitatezza introdotta sopra (nel teorema che segue useremo la stessa notazione per norme inspazi differenti; non vi e, infatti, pericolo di ambiguita).

Teorema 1.1.15 Sia T un operatore lineare dallo spazio normato E nello spazio normato F .Le seguenti affermazioni sono equivalenti:

(i) T e continuo in un punto

(ii) T e continuo in ogni punto

(iii) T e limitato

Dimostrazione – (i) ⇒ (ii) Sia T continuo in x0. Allora ∀ε > 0 esiste un intorno U(x0) tale che∀x ∈ U(x0) riesce

‖Tx− Tx0‖ < ε

Sia y0 un qualunque punto di E. E facile vedere che V = y0 − x0 + U(x0) e un intorno di y0 e che pery ∈ V si ha ‖Ty − Ty0‖ < ε .

(ii) ⇒ (iii) . Evidentemente T e continuo in zero. Allora scelto ε = 1 esiste un δ > 0 tale che per‖x‖ < δ si ha ‖Tx‖ < 1. Sia x 6= 0 e y = x

‖x‖1C con 0 < 1

C < δ allora, evidentemente ‖y‖ = 1C < δ e

‖Ty‖ = 1C‖x‖‖Tx‖ < 1 cosicche

‖Tx‖ < C‖x‖.

(iii) ⇒ (i). Se ‖Tx‖ < C‖x‖ per ogni x ∈ E, per ‖x‖ < εC risulta ‖Tx‖ < ε e quindi T e continuo.

�

Indichiamo con B(E,F ) l’ insieme degli operatori lineari limitati da E in F . E faciledimostrare che la somma di operatori limitati e un operatore limitato. E lo stesso vale per ilmultiplo scalare di un operatore. B(E,F ) e quindi uno spazio lineare.

Esercizio 1.1.16 Dimostrare l’ultima asserzione. Provare inoltre che se F e uno spazio di Banach,anche B(E,F ) e uno spazio di Banach rispetto alla norma (1.9).

1.1.4 Forme lineari continue e duale di uno spazio di Banach

Fra gli operatori lineari discussi nella sezione precedente rientrano certamente quelli per i qualiin particolare F = C. Gli elementi di B(E,C) prendono il nome di forme o funzionali linearicontinui (o, che e lo stesso, limitati) su E. Una notazione corrente e E′ = B(E,C). Lo spazioE′ e detto spazio duale di E. La norma di un elemento f di E′ e definita dalla (1.9) che si puoanche scrivere nella forma

‖f‖ = supx∈E

|f(x)|‖x‖


Non e questa la sede per addentrarci in uno studio dettagliato della teoria della dualita. Cilimitiamo quindi ad alcune osservazioni e a mostrare alcuni esempi.

Esempio 1.1.17(Spazi Lp) Sia Lp(R) , 1 ≤ p <∞ lo spazio discusso nell’ Esempio 2. Valgono le seguenti affermazioni:

(i) Siano f ∈ Lp(R) e g ∈ Lq(R) con p−1 + q−1 = 1. Allora fg ∈ L1(R) e

‖fg‖1 ≤ ‖f‖p‖g‖q

(disuguaglianza di Holder)

(ii) Sia T un elemento di {Lp(R)}′. Allora esiste g ∈ Lq(R) , p−1 + q−1 = 1 , con ‖g‖q = ‖T‖Lp′ taleche

T (f) =

∫Rf(x)g(x) dx

Quindi Lp′ e isometricamente isomorfo a Lq.

In pratica le affermazioni precedenti dicono che Lq e il duale di Lp e poiche i ruoli di p e di q si possonoscambiare anche Lp e il duale di Lq. In altri termini Lp e il biduale di se stesso. Tuttavia cio non ein genere vero per spazi di Banach arbitrari. Per esempio il duale di L1 e lo spazio L∞ delle funzioniessenzialmente limitate. Tuttavia il duale di L∞ non e L1 ma uno spazio molto piu grande. Uno spaziodi Banach che coincide col suo biduale e detto riflessivo. Prima di concludere, notiamo il caso in cuip = 2. La discussione precedente mostra che il duale di L2 e lo spazio L2 stesso. Questa e la situazioneche tipicamente si presenta per gli spazi di Hilbert di cui lo spazio L2 e un esempio. �

1.2 La Geometria dello Spazio di Hilbert

1.2.1 Definizioni ed esempi

Definizione 1.2.1 Sia V uno spazio lineare. Un’applicazione che associa ad una coppia ordinata{x, y} di elementi di V × V un numero complesso (x, y) e detta un prodotto scalare se sonosoddisfatte le seguenti condizioni:

(i) (λx+ µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z)

(ii) (x, y) = (y, x)

(iii) (x, x) ≥ 0 ∀x ∈ V

(iv) (x, x) = 0 ⇔ x = 0

dove x, y, z sono elementi di V e λ, µ numeri complessi.

Esercizio 1.2.2 Dimostrare che valgono le seguenti proprieta elementari.

• (0, y) = 0, ∀y ∈ V

• (x, λy) = λ(x, y)

1.2. La Geometria dello Spazio di Hilbert 7

• (x, y + z) = (x, y) + (x, z)

La (iii) e la (iv) della def. 1.2.1 permettono di definire una norma in V , ponendo

‖x‖ = (x, x)1/2

Per verificare che si tratta effettivamente di una norma nel senso della Sezione 1.1 bisognaprovare le disuguaglianze stabilite nel seguente teorema.

Proposizione 1.2.3 In uno spazio V in cui e definito un prodotto scalare valgono le seguentidisuguaglianze:

(i) (Disuguaglianza di Schwarz) |(x, y)| ≤ ‖x‖‖y‖

(ii) (Disuglianza triangolare) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖

comunque presi x, y ∈ V .

Dimostrazione – (i) Siano x, y ∈ V . Se (x, y) = 0 non c’e nulla da dimostrare. Supponiamo dunqueche (x, y) 6= 0 e sia a e uno scalare. Si ha

0 ≤ (x+ ay, x+ ay) = (x, x) + (x, ay) + (ay, x) + (ay, ay)

Scegliendo

a = − ‖x‖2

(y, x),

si perviene a

0 ≤ ‖x‖2 − ‖x‖2 − ‖x‖2 +‖x‖4‖y‖2

|(x, y)|2

E quindi l’asserto.

(ii)

(x+ y, x+ y) = ‖x‖2 + 2<(x, y) + ‖y‖2

≤ ‖x‖2 + 2|(x, y)|+ ‖y‖2

≤ ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2

e questo prova l’affermazione. �

Quindi uno spazio con prodotto scalare e uno spazio normato ed e percio metrizzabile, comeabbiamo visto nella sezione precedente.

Definizione 1.2.4 Due vettori, x e y di uno spazio a prodotto scalare V si dicono ortogonalise (x, y) = 0. Una famiglia {xi} di vettori di V e detta una famiglia ortonormale se (xi, xi) = 1e (xi, xj) = 0 per i 6= j.

Esercizio 1.2.5 Siano x e y vettori ortogonali di uno spazio a prodotto scalare V e sia z = x+ y.Dimostrare che vale il teorema di Pitagora; cioe che ‖z‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.


Definizione 1.2.6 Uno spazio a prodotto scalareH che sia completo rispetto alla norma definitasopra e detto uno spazio di Hilbert.

Esempio 1.2.7Per n fissato lo spazio Cn di tutte le n-ple di numeri complessi

z = (z1, z2, . . . , zn)

e uno spazio di Hilbert se il prodotto scalare di z e di w = (w1, w2, . . . , wn) e definito da

(z, w) =

n∑j=1

zjwj

�

Esempio 1.2.8Lo spazio L2(R) definito nel capitolo precedente e uno spazio di Hilbert se il prodotto scalare di dueelementi f, g e definito da

(f, g) =

∫Rf(x)g(x) dx (1.10)

Per rendersi conto del fatto che (1.10) e ben definito, basta ricordare la disuguaglianza di Holder. Lacompletezza di L2(R) e gia stata stabilita col teorema di Riesz-Fisher. Sottolineamo il fatto che ladisuguaglianza triangolare provata in (1.2.3 ), nel caso di L2(R) e un caso particolare della disuguaglianzadi Minkowski. �

Esempio 1.2.9Lo spazio C[0, 1] delle funzioni complesse continue in [0, 1] e uno spazio a prodotto scalare se si pone

(f, g) =

∫ 1

0

f(x)g(x) dx

ma non e uno spazio di Hilbert. Consideriamo infatti la successione di funzioni

fn(x) =

0 se 0 ≤ x ≤ 12 −

1n

n2

(x− 1

2

)+ 1

2 se 12 −

1n ≤ x ≤ 1

2 + 1n

1 se 12 + 1

n ≤ x ≤ 1

per n > 2.

E facile verificare che se f e la funzione discontinua

f(x) =

{0 se 0 ≤ x ≤ 1

21 se 1

2 < x ≤ 1

si ha

limn→∞

∫ 1

0

|fn(x)− f(x)|2 dx = 0

Quindi fn e una successione di Cauchy in C[0, 1] (perche e convergente) ma f 6∈ C[0, 1]. �

} Osservazione 1.2.10 In uno spazio a prodotto scalare V o, in particolare, in uno spazio di Hilbert,si possono introdurre due nozioni di convergenza per una successione xn di vettori. La prima e la conver-genza rispetto alla norma definita dal prodotto scalare, detta talvolta convergenza forte: la successione


xn converge fortemente a x se ‖xn − x‖ converge a zero; la seconda e la cosiddetta convergenza debole:la successione xn converge debolmente a x se (xn, y)→ (x, y) ∀y ∈ V . Dalla disuguaglianza di Schwarzsegue immediatamente che la convergenza forte implica la debole, ma il viceversa non e vero. Per render-cene conto, consideriamo la successione fn(x) = sinnx, n = 1, 2, . . . in L2(0, π). Un facile calcolo mostrache ‖fn− fm‖22 = π e quindi la successione {fn} non converge fortemente. D’altra parte se g ∈ L2(0, 2π)allora (fn, g) → 0 e quindi fn converge debolmente a zero (questo fatto deriva dalla disuguaglianza diBessel che proveremo in seguito).

Prima di concludere questa sezione diamo, sotto forma di lemma, due identita che ci sarannoutili nel seguito.

Lemma 1.2.11 In uno spazio a prodotto scalare V valgono le seguenti identita:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2, ∀x, y ∈ V

(x, y) =1

4

3∑k=0

ik‖x+ iky‖2, ∀x, y ∈ V.

La dimostrazione e lasciata come esercizio.

1.2.2 Sottospazi e teorema di proiezione

Definizione 1.2.12 Una sottospazioM di uno spazio di Hilbert H e un sottoinsieme di H taleche se x, y ∈M e λ, µ ∈ C allora λx+µy ∈M. Un sottospazio chiusoM di H e un sottospaziochiuso rispetto alla norma di H.

E abbastanza chiaro che se M e un sottospazio chiuso di H allora e esso stesso uno spazio diHilbert con la norma indotta.

Definizione 1.2.13 Sia Y un sottoinsieme di H. Il complemento ortogonale di Y, che vieneindicato con Y⊥, e l’insieme dei vettori di H che sono ortogonali a Y.

La seguente proposizione fornisce alcune proprieta elementari del complemento ortogonale.

Proposizione 1.2.14 Siano X e Y sottoinsiemi di H valgono allora le seguenti proprieta:

(i) X ⊂ Y ⇒ Y⊥ ⊂ X⊥

(ii)(X)⊥

= X⊥ dove X indica la chiusura di X in H

(iii) X⊥⊥⊥ = X⊥

Esercizio 1.2.15 Dimostrare che Y⊥ e un sottospazio chiuso di H e che Y ∩ Y⊥ = {0}.


Di particolare interesse e il caso dei sottospazi. Il seguente teorema mostra che esistonovettori perpendicolari ad ogni sottospazio chiuso e, inoltre, che essi sono abbastanza numerosida far sı che

H =M+M⊥ = {x+ y|x ∈M, y ∈M⊥}

Lemma 1.2.16 Sia H uno spazio di Hilbert e M un suo sottospazio chiuso. Per ogni x ∈ Hesiste un elemento z ∈M che realizza la minima distanza di x da M.

Dimostrazione – Sia d = infy∈M ‖x−y‖. Allora esiste una successione {yn} ⊂ M tale che ‖x−yn‖ → d.Ma allora, utilizzando il Lemma 1.2.11, si ha

‖yn − ym‖2 = ‖(yn − x)− (ym − x)‖2

= 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − ‖ − 2x+ yn + ym‖2

= 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4‖x− 1

2(yn + ym)‖2

≤ 2‖yn − x‖2 + 2‖ym − x‖2 − 4d2 (1.11)

e quest’ultimo termine tende a zero per n,m→∞. Quindi {yn} e una successione di Cauchy che, dunque,converge ad un elemento z ∈M. E facile verificare che ‖x−z‖ = d. Per dimostrare l’unicita, supponiamoche z′ sia un altro elemento di M soddisfacente le stesse proprieta. Con calcoli simili ai precedenti sitrova:

‖z − z′‖2 = 2‖z − x‖2 + 2‖z′ − x‖2 − ‖ − 2x+ z + z′‖2

≤ 2‖z − x‖2 + 2‖z′ − x‖2 − 4d2 = 2d2 + 2d2 − 4d2 = 0 (1.12)

�

Teorema 1.2.17 Sia H uno spazio di Hilbert ed M un suo sottospazio chiuso. Ogni x ∈ Hpuo essere decomposto, in unico modo, nella somma

x = z + w con z ∈M, w ∈M⊥.

Dimostrazione – Sia x ∈ H e z l’elemento determinato in base al lemma precedente. Posto w = x− z,la sola cosa che occorre dimostrare e che w ∈M⊥. Sia y ∈M e t ∈ R; si ha:

d2 ≤ ‖x− (z + ty)‖2 = ‖w − ty‖2 = d2 − 2t<(w, y) + t2‖y‖2 (1.13)

Questo implica che −2t<(w, y) + t2‖y‖2 ≥ 0 ∀t ∈ R; perche cio accada e necessario e sufficiente cheil discriminante ∆ di questo polinomio sia non positivo. Ma ∆/4 = <(w, y)2; quindi, necessariamente,<(w, y) = 0. Un calcolo analogo, con it al posto di t, mostra che anche =(w, y) = 0. �

Un’interessante conseguenza del teorema di proiezione e la seguente

Proposizione 1.2.18 Sia M un sottospazio di H allora M =M⊥⊥ .

Dimostrazione – Supponiamo che M⊥⊥ ⊃ M; allora se x ∈ M⊥⊥\M , si puo decomporre x nella

somma x = y + z con y ∈M e z ∈M⊥ =M⊥ (vedi prop. 1.2.14). Ne segue che, se h ∈M⊥ , si ha

0 = (x, h) = (y, h) + (z, h) = (z, h)

e quindi z ∈M⊥⊥ ; cosicche z = 0 e x ∈M, contro l’ipotesi. �


Il seguente teorema, noto come Lemma di Riesz o anche come Teorema di rappresentazionedi Riesz, e uno dei risultati fondamentali della teoria degli spazi di Hilbert di cui caratterizza ifunzionali lineari continui. Esso e dovuto a Riesz e a Frechet.

Teorema 1.2.19 Sia H uno spazio di Hilbert ed y ∈ H. Posto

Ly(x) = (x, y) ∀x ∈ H

Ly e un funzionale lineare e continuo su H e ‖Ly‖ = ‖y‖

Viceversa se L e un funzionale lineare continuo su H, allora esiste un unico y ∈ H tale cheL ≡ Ly.

Dimostrazione – Che Ly e un funzionale continuo segue subito dalla disuguaglianza di Schwarz. Lastessa disuguaglianza prova che ‖Ly‖ ≤ ‖y‖. D’altra parte, se y 6= 0,

‖Ly‖ = sup‖x‖=1

|Ly(x)| ≥∣∣∣∣Ly ( y

‖y‖

)∣∣∣∣ =

(y

‖y‖, y

)= ‖y‖

e questo conclude la prova della prima parte. Per dimostrare il viceversa, consideriamo un funzionalelineare continuo L su H. Possiamo supporre che L 6= 0 (in caso contrario basta scegliere y = 0). PostoM = KerL, M e un sottospazio chiuso di H che non coincide con H. Allora M⊥ 6= {0}. Sia u ∈ M⊥con ‖u‖ = 1. Si ha:

L(L(u)x− L(x)u) = L(u)L(x)− L(x)L(u) = 0

e percio L(u)x− L(x)u ∈M. Dato che u ∈M⊥ si ha:

0 = (L(u)x− L(x)u, u) = L(u)(x, u)− L(x)

cioe

L(x) = (x, u)L(u)

Posto y = uL(u) si ha L ≡ Ly.

Proviamo l’unicita. Sia z ∈ H un altro vettore tale che L = Lz. Allora

‖y − z‖ = ‖Ly−z‖ = ‖Ly − Lz‖ = ‖L− L‖ = 0

e quindi y = z. �

Un’ interessante applicazione del lemma di Riesz e il seguente

Teorema 1.2.20 Sia B(·, ·) una forma sesquilineare limitata su H, cioe un’applicazione diH×H in C che soddisfa le seguenti condizioni:

(i) B(αx+ βy, z) = αB(x, z) + βB(y, z)

(ii) B(x, αy + βz) = αB(x, y) + βB(x, z)

(iii) Esiste C > 0 tale che |B(x, y)| ≤ C‖x‖‖y‖


per ogni x, y, z ∈ H, α, β ∈ C allora esiste un unico operatore lineare limitato A da H in H taleche

B(x, y) = (x,Ay) ∀x, y ∈ H

e

‖A‖ = sup‖x‖=‖y‖=1

|B(x, y)|

Dimostrazione – Fissato y ∈ H, By(x) = B(x, y) e un funzionale lineare limitato. Per il lemma diRiesz, esiste z ∈ H tale che

By(x) = B(x, y) = (x, z) ∀x ∈ H.

Posto Ay = z, si definisce in questo modo un’applicazione A di H in se. E facile provare che A e unoperatore lineare. Per provare che e limitato calcoliamo ‖Ay‖2

‖Ay‖2 = (Ay,Ay) = B(Ay, y) ≤ ‖Ay‖‖y‖.

Resta da provare l’unicita. Sia A′ un altro operatore lineare tale che B(x, y) = (x,Ay) ∀x, y ∈ H. Allora(x,A′y −Ay) = 0, ∀x ∈ H; ma H⊥ = {0}. Cio conclude la dimostrazione. �

1.2.3 Basi ortonormali

In uno spazio di dimensione finita gioca, come si sa, un ruolo fondamentale il concetto di base.Lo scopo di quanto faremo in seguito e di estendere il concetto di base a uno spazio di Hilbert:la cosa non e, evidentemente, banale essendo uno spazio di Hilbert, in genere, di dimensioneinfinita. Abbiamo gia definito cosa intendiamo per sistema ortonormale di vettori. Un insiemeortonormale S di vettori di H e detto una base ortonormale di H se S non e contenuto propria-mente in nessun altro insieme di vettori ortonormali di H. Con un semplice argomento che fauso del lemma di Zorn si puo dimostrare il seguente:

Teorema 1.2.21 Ogni spazio di Hilbert ha una base ortonormale

} Osservazione 1.2.22 Il teorema precedente non dice nulla sulla cardinalita di una base. Noi non ciaddentreremo nello studio di questo particolare aspetto della teoria. Ci limiteremo ad osservare che, oltreagli spazi di Hilbert di dimensione finita, che posseggono quindi una base costituita da un numero finitodi vettori, esistono spazi di Hilbert che ammettono una base numerabile di vettori ortonormale e spazi diHilbert con base ortonormale non numerabile. Quest’ultimo caso e per noi di scarso interesse. Gli spazidi Hilbert che noi considereremo saranno sempre separabili (cioe ammettono un insieme di vettori densoe numerabile).

Esercizio 1.2.23 Dimostrare che lo spazio H delle funzioni f : [0, 1] → C che sono non nulle alpiu in un sottoinsieme numerabile di [0, 1] e

∑t∈[0,1] |f(t)|2 <∞ e uno spazio di Hilbert rispetto al

prodotto interno

(f, g) :=∑t∈[0,1]

f(t)g(t), f, g ∈ H.

Dimostrare che il sottospazio F delle funzioni f : [0, 1] → R tali che f(t) 6= 0 solo per un numerofinito di punti t ∈ [0, 1] costituisce un sottospazio denso di H. Dimostrare che H non e separabile.


Vale il seguente

Teorema 1.2.24 Uno spazio di Hilbert e separabile se, e soltanto se, ammette una base orto-normale costituita, al piu, da una infinita numerabile di vettori.

Prima di andare avanti e opportuno stabilire alcune proprieta elementari dei sistemi orto-normali di vettori.

Lemma 1.2.25 Sia S = {ei, i ∈ I} un sistema di vettori ortonormali. I vettori di S sonolinearmente indipendenti (nel senso che ogni sottoinsieme finito di S e costituto da vettori li-nearmente indipendenti). Viceversa, se S = {yn, n ∈ Z} e un insieme numerabile di vettorilinearmente indipendenti, esiste un sistema ortonormale S′ = {en, n ∈ Z} in cui ciascun en ecombinazione lineare dei primi n yk (Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt).

Dimostrazione – La dimostrazione della prima affermazione e lasciata come esercizio.

Proviamo la seconda parte. Poniamo z1 = y1 e e1 = z1‖z1‖ ; definiamo z2 = y2 + λe1 e calcoliamo λ in

modo che (e1, z2) = 0. Il risultato e che deve essere λ = −(y2, e1). A questo punto si definisce e2 = z2‖z2‖ .

Iterando il procedimento, si perviene all’ n-simo passo alla

zn = yn −n−1∑k=1

(yn, ek)ek

Ancora una volta, non resta che porre en = zn‖zn‖ . �

Esercizio.– In L2(0, 1) dimostrare che le funzioni della successione fn(x) = xn, n ∈ N sonolinearmente indipendenti. Applicare il procedimento di Gram-Schmidt alle prime quattro diesse.

E utile avere a disposizione qualche criterio che ci permetta di stabilire se una data succes-sione di vettori ortonormali en costituisce una base. Cominciamo con l’osservare che se en e unasuccessione ortonormale ed x un vettore arbitrario di H la serie

∞∑i=1

(x, ei)ei

e sempre convergente in H. Infatti

0 ≤

(x−

n∑i=1

(x, ei)ei, x−n∑i=1

(x, ei)ei

)

= ‖x‖2 − 2n∑i=1

|(x, ei)|2 +n∑

i,j=1

(x, ej)(x, ei)(ei, ej)

= ‖x‖2 −n∑i=1

|(x, ei)|2 (1.14)

ne segue che∑n

i=1 |(x, ei)|2 ≤ ‖x‖2, per ogni n, quindi

∞∑i=1

|(x, ei)|2 ≤ ‖x‖2


Questa e nota come disuguaglianza di Bessel. Essa implica, in particolare che∑∞

i=1(x, ei)eiconverge sempre (anche se non necessariamente ad x).

Teorema 1.2.26 Sia {en} una successione di vettori ortonormali di H. {en} e una base or-tonormale se, e soltanto se, l’unico vettore di H ortogonale a tutti i vettori di {en} e il vettorenullo.

Dimostrazione – Se {en}⊥ 6= {0}, esiste in H un vettore z non nullo ortogonale a tutti i vettori en . Ilsistema costituito da z e dai vettori en e, allora, un sistema di vettori ortonormali (se si sceglie ‖z‖ = 1)che contiene propriamente la successione data, che quindi non puo essere una base.

Viceversa, se {en}⊥ = {0} allora e chiaro che il sistema degli en non puo essere incluso in nessunaltro sistema ortogonale. �

La seguente proposizione chiarisce il senso del nome base dato a un sistema di vettoriortonormali massimale.

Proposizione 1.2.27 Sia {en} una successione di vettori ortonormali di H. Le seguenti affer-mazioni sono equivalenti:

(i) {en} e una base ortonormale

(ii) x =∑∞

i=1(x, ei)ei ∀x ∈ H

(iii) (x, y) =∑∞

i=1(x, ei)(ei, y) ∀x, y ∈ H

(iv) ‖x‖2 =∑∞

i=1 |(x, ei)|2 ∀x ∈ H (uguaglianza di Parseval)

Dimostrazione – (i) ⇒ (ii). (x −∑∞i=1(x, ei)ei, ej) = (x, ej) − (x, ej) = 0 e quindi, per il teorema

1.2.26, x−∑∞i=1(x, ei)ei = 0.

(ii) ⇒ (iii). Basta moltiplicare scalarmente x e y dove averli rappresentati come in (ii).

(iii) ⇒ (iv). Basta porre nella (iii) x = y

(iv) ⇒ (i). Supponiamo che x sia ortogonale a tutti gli ei. Allora, dalla (iv), ‖x‖ = 0 e dunquex = 0. L’affermazione segue quindi dal teorema 1.2.26. �

Esempio 1.2.28Sviluppo in serie di Fourier.– Nello spazio di Hilbert L2(0, 2π), le funzioni zn(x) = einx, n ∈ Z costi-tuiscono un insieme ortogonale . Poiche ‖zn‖22 = 2π, le funzioni en(x) = (2π)−1/2einx costituiscono uninsieme ortonormale. Per mostrare che e una base, occorre far vedere che l’unico vettore di L2(0, 2π)ortogonale a tutte le en e il vettore nullo. Sia f una funzione continua in (0, 2π) tale che∫ 2π

0

f(x)e−inx dx = 0 ∀n ∈ Z

questo implica che ∫ 2π

0

T (x)f(x) dx = 0

per ogni polinomio trigonometrico T (x). Se f 6= 0 esiste un x0 tale che f(x0) 6= 0; si puo allora assumereche f(x0) = η > 0; per la continuita di f esiste un intorno di x0, (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (0, 2π) tale che

1.3. Appendice: basi generali 15

f(x) > η/2 > 0. Consideriamo il polinomio trigonometrico T (x) = 1 − cosδ + cos(x − x0). T (x) godedelle seguenti proprieta:

T (x)

> 1 |x− x0| < δ= 1 x− x0 = ±δ< 1 |x− x0| > δ

e quindi ∫ x0+δ

x0−δTn(x)f(x) dx =

∣∣∣∣∣∫ x0−δ

0

Tn(x)f(x) dx+

∫ 2π

x0+δ

Tn(x)f(x) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ 2π

0

|f(x)| dx

perche Tn(x) < 1 per |x − x0| > δ. Sia µ = min{T (x), x ∈ (x0 − δ/2, x0 + δ/2)}. In quest’intervallof(x) > η/2. Quindi ∫ x0+δ

x0−δTn(x)f(x) dx ≥

∫ x0+δ/2

x0−δ/2Tn(x)f(x) dx ≥ µn η

2δ

ma µ > 1 ; siamo percio pervenuti a una contraddizione.

Sia f non continua ma in L2(0, 2π) e quindi in L1(0, 2π). Poniamo

F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

F e continua e poiche f e ortogonale a qualunque polinomio trigonometrico, essa e ortogonale anche allefunzioni costanti, cosicche F (0) = F (2π) = 0. Se T (x) e un polinomio trigonometrico, integrando perparti, si ha

0 =

∫ 2π

0

T (x)f(x) dx = −∫ 2π

0

T ′(x)F (x) dx

T ′ e ancora un polinomio trigonometrico arbitrario (costanti a parte), quindi F e ortogonale a tutte lefunzioni del sistema, esclusa al piu e0(x) = 1. Per risolvere quest’ultimo punto poniamo

G(x) = F (x)− C

con C = 12π

∫ 2π

0F (x) dx, G e ortogonale a tutte le funzioni del sistema; allora, necessariamente, G = 0

cioe F = C. Ma F (0) = 0 e, in definitiva, f = 0 quasi ovunque. �

1.3 Appendice: basi generali

Definizione 1.3.1 Un successione {xn} di vettori diH costituisce una base di Schauder (diremo,semplicemente, base) se, per ogni x ∈ H esiste un’unica successione {cn} tali che

x =∞∑n=1

cnxn,

cioe se ∥∥∥∥∥x−N∑n=1

cnxn

∥∥∥∥∥→ 0, per n→∞.

Definizione 1.3.2 Un sistema di vettori S = {xα, α ∈ I} e detto completo se l’insieme dellecombinazioni lineari finite di elementi di S e denso in H.


Proposizione 1.3.3 Un sistema S di vettori di H e completo se, e soltanto se, S⊥ = {0}.

} Osservazione 1.3.4 Ogni base di Schauder e un sistema completo. Il viceversa non e vero, ingenerale.

Definizione 1.3.5 Due successioni {xn} e {yn} di vettori di H si dicono biortogonali se

(xn, ym) = δn,m.

Sia H uno spazio di Hilbert separabile e {xn} una base di H. Allora ogni x ∈ HH si esprimecome

x =

∞∑n=1

cn(x)xn.

Per ogni n ∈ N, l’applicazione cn : x ∈ H → cn(x) ∈ C e un funzionale lineare su H.

Teorema 1.3.6 L’applicazione cn : x ∈ H → cn(x) ∈ C e un funzionale lineare limitato su H.

[Vedi Young, pag 23]

Per il lemma di Riesz per ogni n ∈ N esiste un vettore yn tale che cn(x) = (x, yn). Ovvia-mente (xk, yn) = δk,n; quindi {xn} e {yn} sono biortogonali. Si prova che anche {yn} e una basedi H. Dunque si ha:

x =

∞∑n=1

(x, yn)xn x =

∞∑n=1

(x, xn)yn.

Dalle precedenti relazioni segue l’uguaglianza

‖x‖2 =∞∑n=1

(x, xn)(x, yn).

Capitolo 2

Operatori limitati nello spazio diHilbert: aspetti generali

Sia H uno spazio di Hilbert. Indichiamo con B(H) l’insieme degli operatori lineari limitati suH. Cioe A ∈ B(H) se, e soltanto se, A e lineare ed esiste C > 0 tale che

‖Ax‖ ≤ C‖x‖, ∀x ∈ H. (2.1)

Essendo H uno spazio di Banach, continuano, ovviamente, a valere tutte le affermazioni a suotempo fatte per gli operatori lineari su uno spazio di Banach. In particolare, B(H) e uno spaziovettoriale su C. Tuttavia, nel caso di uno spazio di Hilbert, vi sono delle peculiarita rilevantisulle quali ci soffermeremo.

2.1 Definizioni di base

2.1.1 La norma di un operatore

Ricordiamo che in B(H) e possibile definire una norma nel modo seguente.

‖A‖ = supx∈H;x 6=0

‖Ax‖‖x‖

.

Cioe, ‖A‖ e il piu piccolo dei numeri C > 0 che soddisfano la (2.1). Lasciamo al lettore diprovare che ‖A‖ si puo esprimere anche nei modi seguenti.

‖A‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖ = sup‖x‖=1

‖Ax‖.

Esercizio 2.1.1 Verificare che la ‖ · ‖ definita sopra soddisfa le proprieta di una norma.

2.1.2 Aggiunto di un operatore

Sia A ∈ B(H), x, y ∈ H. PostoLA,y(x) = (Ax, y)

18 2. Operatori limitati nello spazio di Hilbert: aspetti generali

LA,y e un funzionale lineare limitato su H; per il lemma di Riesz esiste allora un unico y∗ ∈ Htale che

LA,y(x) = (x, y∗) ∀x ∈ H

Poniamo A∗y = y∗. E facile verificare che A∗ e un operatore lineare. Le relazioni seguentimostrano che A e limitato

|(x,A∗y)| = |(Ax, y)| ≤ ‖A‖‖x‖‖y‖

per x = A∗y si ha‖A∗y‖2 ≤ ‖A‖‖A∗y‖‖y‖

il che prova, ad un tempo, che A∗ e limitato e che ‖A∗‖ ≤ ‖A‖.

Un’immediata conseguenza della definizione di aggiunto e l’uguaglianza A∗∗ = A.

La precedente discussione puo essere riassunta nel seguente

Teorema 2.1.2 Per ogni operatore A ∈ B(H) esiste un operatore limitato A∗ tale che

(Ax, y) = (x,A∗y) ∀x, y ∈ H (2.2)

Inoltre, A∗∗ = A e ‖A‖ = ‖A∗‖

Dimostrazione – Resta da provare soltanto l’uguaglianza delle norme. Abbiamo gia visto che ‖A∗‖ ≤‖A‖, per ogni A ∈ B(H). Applicando questa stessa relazione ad A∗ si ha: ‖A∗∗‖ ≤ ‖A∗‖ ma A∗∗ = A equindi l’asserto. �

Esempio 2.1.3Sia I = [0, 1]. In L2(I) consideriamo, per g ∈ C(I), lo spazio delle funzioni continue in I, l’operatoreTgf = gf ∀f ∈ L2(0, 1) . L’operatore Tg e limitato; infatti,

‖Tgf‖2 =

∫ 1

0

|gf |2 dx ≤ maxx∈[0,1]

|g(x)|2∫ 1

0

|f |2 dx.

La relazione precedente mostra anche che ‖Tg‖ ≤ ‖g‖∞ := maxx∈[0,1] |g(x)|. In realta, ‖Tg‖ = ‖g‖∞.Infatti, posto L = ‖g‖∞, per ogni a ∈]0, L[, l’insieme E = {x ∈ I : |g(x)| > a} e un aperto di misurapositiva. Indicata con χE(x) la funzione caratteristica di E (chiaramente, χE ∈ L2(I)), si ha∫

I

|g(x)χE(x)|2dx ≥ a2

∫I

|χE(x)|2dx.

Questa disuguaglianza implica a ≤ ‖Tg‖ ≤ L. Ma a e arbitrario in ]0, L]. Dunque, ‖Tg‖ = L.Determiniamo adesso l’aggiunto; sia h ∈ L2(0, 1), si ha:

(Tgf, h) =

∫ 1

0

gfh dx =

∫ 1

0

gh dx = (f, Tgh)

e quindi T ∗g = Tg. In particolare se g e reale, T ∗g = Tg . �

Esercizio 2.1.4 Nell’esempio precedente si sostituisca l’ipotesi g ∈ C(I) con quella, evidentementepiu debole, g ∈ L∞(I). Dimostrare che le affermazioni stabilite nell’Esempio 2.1.3 si estendono aquesto caso, con ovvie modifiche delle dimostrazioni.

2.1. Definizioni di base 19

Diamo adesso alcune proprieta elementari dell’applicazione ∗ : A ∈ B(H) 7→ A∗ ∈ B(H).

Esercizio 2.1.5 Dimostrare che se A,B ∈ B(H) e (Ax, x) = (Bx, x), per ogni x ∈ H, alloraA = B.

Proposizione 2.1.6 (a) A 7→ A∗ e un anti-isomorfismo isometrico di B(H) in B(H)

(b) (AB)∗ = B∗A∗

(c) Se A ha un inverso limitato, A−1, anche A∗ ha inverso limitato e (A∗)−1 = (A−1)∗

(d) ‖A∗A‖ = ‖A‖2

Dimostrazione – (a) E facile dimostrare che (A + B)∗ = A∗ + B∗ e che (λA)∗ = λA∗. Dal fatto cheA∗∗ = A ∀A ∈ B(H) segue che l’applicazione e suriettiva. Per l’iniettivita, supponiamo che A∗ = 0.Allora ‖A∗‖ = ‖A‖ = 0 e quindi A = 0.

(b)((AB)x, y) = (A(Bx), y) = (Bx,A∗y) = (x,B∗A∗y) ∀x, y ∈ H

(c) Se A ha inverso limitato, allora dalla (b) segue che

A∗(A−1)∗

= (A−1A)∗ = I∗ = I = (A−1)∗A∗

il che prova la (c).

(d) Abbiamo provato a suo tempo che ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖. Quindi ‖A∗A‖ ≤ ‖A∗‖‖A‖ = ‖A‖2.D’altra parte

‖A∗A‖ ≥ sup‖x‖=1

(x,A∗Ax) = sup‖x‖=1

‖Ax‖2 = ‖A‖2

�

Teorema 2.1.7 B(H) e una *-algebra di Banach.

Dimostrazione – L’applicazione A 7→ A∗ gode, come abbiamo visto, della proprieta A∗∗ = A; essae, cioe, un’involuzione in B(H). B(H) e pertanto un’algebra involutiva normata o, brevemente, una *-algebra normata. Per completare la dimostrazione occorre provare che B(H) e uno spazio completo nellasua norma. Sia {An} una successione di Cauchy in B(H). Allora, per ogni x ∈ H, la successione {Anx}e una successione di Cauchy in H ed ammette percio limite y. Posto Ax = y, si definisce un operatorelineare di H in se. Proviamo che A e limitato. Dato che {An} e una successione di Cauchy, la successionedelle norme e limitata. Poniamo M = supn∈N ‖An‖. Si ha allora,

‖Ax‖ = limn→∞

‖Anx‖ ≤(

lim supn→∞

‖An‖)‖x‖ ≤M‖x‖, ∀x ∈ H.

Resta da provare che An converge ad A in norma. Se ε > 0, esiste nε ∈ N tale che, per ognin,m > nε, ‖An −Am‖ < ε. Fissato n > nε si ha

‖(An −A)x‖ = limm→∞

‖(An −Am)x‖ ≤ limm→∞

‖An −Am‖‖x‖ ≤ ε‖x‖.

Quindi, se n > nε, risulta‖An −A‖ = sup

‖x‖≤1

‖(An −Am)x‖ ≤ ε.

�


} Osservazione 2.1.8 Una *-algebra di Banach A la cui norma soddisfa la condizione ‖a∗a‖ = ‖a‖2,per ogni a ∈ A e detta una C*-algebra. La (d) della proposizione 2.1.6 ci consente di concludere cheB(H) e una C*-algebra.

2.2 Alcuni tipi di operatori limitati

2.2.1 Operatori simmetrici, operatori positivi

Definizione 2.2.1 Un operatore A ∈ B(H) tale che A∗ = A e detto simmetrico ( o autoaggiuntoo hermitiano).

Un operatore simmetrico A ∈ B(H) e caratterizzato dalla proprieta che (Ax, x) e un numeroreale per ogni x ∈ H.

} Osservazione 2.2.2 Dato un qualsiasi operatore A ∈ B(H), poniamo

H =A+A∗

2, K =

A−A∗

2i.

Gli operatori H e K sono simmetrici e A = H + iK. Quindi ogni operatore A ∈ B(H) e combinazionelineare di operatori simmetrici.

Esempio 2.2.3L’operatore di moltiplicazione considerato nell’esempio 2.1.3 e simmetrico se, e soltanto se, g e unafunzione a valori reali.

�

Definizione 2.2.4 Un operatore A ∈ B(H) e detto positivo se (Ax, x) ≥ 0 per ogni x ∈ H.

Esempio 2.2.5Dato un qualunque A ∈ B(H), l’operatore A∗A e positivo. Infatti,

(A∗Ax, x) = (Ax,Ax) = ‖Ax‖2 ≥ 0.

�

Proposizione 2.2.6 Un operatore positivo A ∈ B(H) e necessariamente simmetrico.

Dimostrazione – Si ha, infatti,

(Ax, x) = (x,Ax) = (x,Ax), ∀x ∈ H.

Dall’identita di polarizzazione segue, allora, che

(Ax, y) =1

4

3∑k=0

ik(A(x+ iky), x+ iky) =1

4

3∑k=0

ik(x+ iky,A(x+ iky)) = (x,Ay), ∀x, y ∈ H.

�

2.2. Alcuni tipi di operatori limitati 21

L’insieme degli elementi positivi di B(H) sara indicato con B(H)+. Esso e un cono; gode,cioe, delle proprieta seguenti:

(a) A+B ∈ B(H)+, ∀A,B ∈ B(H)+;

(b) λA ∈ B(H)+, ∀A,B ∈ B(H)+, ∀λ ≥ 0;

(c) B(H)+ ∩ {−B(H)+} = {0}.

La nozione di positivita ci permette di definire una relazione d’ordine nell’insieme B(H)sdegli operatori simmetrici di B(H). Se A,B ∈ B(H)s, diremo che A ≤ B se B −A ≥ 0.

Con una dimostrazione simile a quella fatta per la disuaglianza di Schwarz [Proposizione1.2.3], si prova che, se A ≥ 0,

|(Ax, y)|2 ≤ (Ax, x)(Ay, y), ∀x, y ∈ H, (2.3)

detta disuguaglianza di Schwarz generalizzata.

Se A ≥ 0, esistono m ≥ 0 e M > 0 tali che

mI ≤ A ≤MI, (2.4)

che equivale a dire

m(x, x) ≤ (Ax, x) ≤M(x, x), ∀x ∈ H.

L’esistenza di m e ovvia. Quanto ad M si ha

(Ax, x) ≤ ‖Ax‖‖x‖ ≤ ‖A‖‖x‖2 = ‖A‖(x, x), ∀x ∈ H.

Dunque ‖A‖ e un possibile valore di M . Si puo anzi provare che ‖A‖ e la piu piccola costantepositiva per cui la (2.4) e soddisfatta.

Una successione {An} di operatori limitati e detta limitata se esiste L > 0 tale che ‖An‖ ≤ L,per ogni n ∈ N. Per le successioni monotone e limitate di operatori simmetrici vale un teoremadi regolarita simile a quello che vale per le successioni di numeri reali con le stesse proprieta.

Teorema 2.2.7 Ogni successione monotona e limitata {An} di operatori simmetrici di B(H)converge fortemente ad un operatore simmetrico limitato A, cioe,

limn→∞

‖Anx−Ax‖ = 0, ∀x ∈ H.

Dimostrazione – Senza essere restrittivi si puo supporre che

0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ . . . ≤ An ≤ . . . ≤ I.

�


Siano n,m ∈ N con n > m. In questo caso An − Am ≥ 0. Applicando la (2.3), si ha, per ognix ∈ H, con ‖x‖ = 1,

‖(An −Am)x‖4 = ((An −Am)x, (An −Am)x)2

≤ ((An −Am)x, x)((An −Am)2x, (An −Am)x).

Adesso osserviamo che, per le ipotesi fatte, ((An −Am)2x, (An −Am)x) ≤ ‖x‖2. Dunque

‖(An −Am)x‖4 ≤ ((An −Am)x, x).

La successione di numeri positivi {(Anx, x)} e crescente e limitata e, dunque, convergente. Essae percio di Cauchy. Lo e, quindi, anche la successione {Anx}. Poniamo Ax = limn→∞Anx.Lasciamo al lettore di verificare che A e limitato e simmetrico.

} Osservazione 2.2.8 La stessa affermazione non e in generale vera se si considera la convergenza nellanorma degli operatori. Se, ad esempio, {en} e una base ortonormale in uno spazio di Hilbert separabileH, la successione {An} di operatori definiti da

Anx =

n∑k=1

(x, ek)ek

e crescente e limitata superiormente da I. Si vede facilmente che converge ad I in senso forte. Tuttavia,non converge ad I in norma, perche ‖I −An‖ = 1, per ogni n ∈ N.

Teorema 2.2.9 Ogni operatore positivo A ammette un’unica radice quadrata positiva; esiste,cioe, un unico operatore X ≥ 0 tale che X2 = A. L’operatore A1/2 := X commuta con A e contutti gli operatori limitati che commutano con A.

Dimostrazione – Si puo supporre A ≤ I. Il nostro scopo e di provare l’esistenza di una (e una sola)soluzione dell’equazione X2 = A. Posto A = I−B, con 0 ≤ B ≤ I, e Y = I−X, l’equazione da risolvereprende la forma

Y =1

2(B + Y 2). (2.5)

Costruiamo una successione per ricorrenza ponendo{Y0 = 0Yn+1 = 1

2 (B + Y 2n )

Per induzione su n si prova facilmente che

(a) ogni Yn e un polinomio in B a coefficienti reali non negativi;

(b) Yn ≥ 0, per ogni n ≥ 0;

(c) Yn ≤ Yn+1, per ogni n ≥ 0;

(d) ‖Yn‖ ≤ 1, per ogni n ≥ 0.

La (a) e pressoche immediata. La (b) segue dalla (a) una volta dimostrato che se B ≥ 0 allora Bn ≥ 0(esercizio!), per ogni n. Dalla (a) discende che YnYm = YmYn per ogni n,m. La (c) e certo vera per


n = 0. Supponiamo che Yn−1 ≤ Yn . La differenza Yn− Yn−1 e un polinomio in B a coefficienti reali nonnegativi e cosı pure Yn − Yn−1. Si ha allora

Yn+1 − Yn =1

2

((B + Y 2

n )− (B + Y 2n−1)

)=

1

2

(Y 2n − Y 2

n−1

)=

1

2(Yn + Yn−1)(Yn − Yn−1) ≥ 0.

Anche la (d) e ovviamente vera per n = 0. Supponiamo allora che ‖Yn‖ ≤ 1. Si ha, allora

‖Yn+1‖ =1

2(‖B + Y 2

n ‖) ≤1

2(‖B‖+ ‖Y 2

n ‖) =1

2(‖B‖+ ‖Yn‖2) ≤ 1.

Non resta che applicare il Teorema 2.2.7 per concludere che la successione {Yn} ammette limite Y . Unsemplice passaggio al limite nell’uguaglianza Yn+1 = 1

2 (B+Y 2n ) ci permette di affermare che Y e soluzione

dell’equazione 2.5. Visto che Y e limite forte di una successione di polinomi in B esso commuta con B econ ogni operatore che commuta con B. Di conseguenza X = I = Y commuta con A e con ogni operatoreche commuta con A.

Resta da provare l’unicita. Supponiamo che esista un altro operatore positivo Z tale che Z2 = A.Cominciamo con l’osservare che AZ = ZA = Z3 e, quindi, Z commuta con X. X e Z sono operatoripositivi. Quindi anch’essi ammettono radici positive. Indichiamole con T ed S rispettivamente. Siax ∈ H e poniamo y = (X − Z)x. Si ha

‖Ty‖2 + ‖Sy‖2 = (T 2y, y) + (S2y, y) = (Xy, y) + (Zy, y)

= ((X + Z)(X − Z)x, y) = ((X2 − Z2)x, y) = ((A−A)x, y) = 0.

Dunque, Ty = Sy = 0. Ne segue che Xy = T 2y = 0 e Zy = S2y = 0. Quindi,

‖(X − Z)x‖2 = ((X − Z)2x, x) = ((X − Z)y, x) = 0.

Dall’arbitrarieta di x segue che X = Z. �

Corollario 2.2.10 Siano A e B operatori positivi che commutano. Allora AB e un operatorepositivo.


Abbiamo gia visto che, se A ∈ B(H), allora A∗A e un operatore positivo. La sua radicepositiva (A∗A)1/2 e detta modulo di A e si denota con |A|.

2.2.2 Operatori di proiezione

Una classe molto importante di operatori nello spazio di Hilbert e quella delle proiezioni.

Definizione 2.2.11 Un operatore P ∈ B(H) e chiamato un proiettore (o una proiezione)ortogonale se

P = P 2 = P ∗


Il seguente teorema stabilisce la corrispondenza biunivoca tra proiettori ortogonali e sotto-spazi di H.

Teorema 2.2.12 Sia P un proiettore ortogonale in H. PostoMP = {y ∈ H : y = Py}, alloraMP coincide con l’immagine di P ed e un sottospazio chiuso di H.Viceversa, se M e un sottospazio chiuso di H, esiste un proiettore P in H tale che M =MP

Dimostrazione – E ovvio che MP ⊂ ImP . L’inclusione inversa si ottiene dalle relazioni y = Px ⇒Py = P 2x = Px = y. Il fatto che MP e chiuso e immediato. Sia, viceversa, M un sottospazio chiuso diH. Ogni elemento x ∈ H si puo decomporre come x = y+ z con y ∈M e z ∈M⊥. Poniamo y = Px. E,adesso, molto facile dimostrare che P e un proiettore e che M =MP . �

In questa corrispondenza se P e il proiettore su MP , I − P e il proiettore su M⊥P .

Esempio 2.2.13Sia y un vettore fissato in H, con ‖y‖ = 1. L’operatore Py definito da

Pyx = (x, y)y, x ∈ H

e, come si verifica facilmente, un proiettore ortogonale. Il sottospazio di H corrispondente e il sottospaziounidimensionale generato da y. �

Esempio 2.2.14In L2(E), dove E e un insieme misurabile, l’operatore PF di moltiplicazione per la funzione caratteristicaχF di un sottoinsieme misurabile F di E e un proiettore. Il sottospazio corrispondente e isomorfo aL2(F ). �

Proposizione 2.2.15 Siano P e Q gli operatori di proiezione sui sottospazi M ed N , rispetti-vamente. Le sequenti affermazioni sono equivalenti.

(i) M⊆ N ;

(ii) QP = P ;

(iii) PQ = P ;

(iv) ‖Px‖ ≤ ‖Qx‖, ∀x ∈ H.

(v) P ≤ Q.

Dimostrazione – (i)⇒(ii): Se M⊆ N , allora per ogni x ∈ H, Px ∈M ⊆ N ; quindi QPx = Px.(ii)⇒(iii): Si ha PQ = (QP )∗ = P ∗ = P .(iii)⇒(iv): Se PQ = P , allora ‖Px‖ = ‖PQx‖ ≤ ‖Qx‖.(iv)⇒(v):

(Px, x) = (P 2x, x) = (Px, Px) = ‖Px‖2 ≤ ‖Qx‖2 = (Qx,Qx) = (Qx, x), ∀x ∈ H.

Quindi P ≤ Q.(v)⇒(i): Supponiamo che P ≤ Q e sia y ∈M. Allora,

(y, y) = (Py, y) ≤ (Qy, y) = (Qy,Qy) = ‖Qy‖2.

Quindi, ‖Qy‖ = ‖y‖. Ma y = Qy + (I −Q)y e ‖y‖2 = ‖Qy‖2 + ‖(1−Q)y‖2, perche Qy e (I −Q)y sonoortogonali. In conclusione, (I −Q)y = 0. Cioe, y = Qy e, dunque, y ∈ N . �


2.2.2.1 Il reticolo dei proiettori

La proposizione 2.2.15 mette in evidenza che l’ordinamento parziale dei sottospazi di H, stabilitodall’inclusione, si riflette completamente sui proiettori di H. Se {Mα} e una qualsiasi famigliadi sottospazi, il piu grande sottospazio chiuso contenuto in tutti gli Mα, che indicheremo con∧αMα e, chiaramente, il sottospazio

⋂αMα. Se indichiamo con Pα il proiettore su Mα, al

sottospazio∧αMα corrispondera un proiettore che indicheremo con

∧α Pα. Si ha∧

α

Pα ≤ Pα, ∀α.

In modo analogo, se indichiamo con∨αMα il sottospazio di H generato dalla famiglia {Mα}

ad esso corrispondera un proiettore∨α Pα con la proprieta

Pα ≤∧α

Pα, ∀α.

} Osservazione 2.2.16 Valgono le relazioni∨α

(I − Pα) = I −∧α

Pα∧α

(I − Pα) = I −∨α

Pα

In particolare

Proposizione 2.2.17 Se P e Q sono proiettori che commutano, corrispondenti, rispettivamen-te, ai sottospazi M ed N , allora

P ∨Q = P +Q− PQ, P ∧Q = PQ, M∨N =M+N .

2.2.2.2 Sottospazi invarianti per un operatore

Definizione 2.2.18 Un sottospazioM si dice invariante per l’operatoreA ∈ B(H) seAM⊆M;cioe, se Ax ∈M per ogni x ∈M.

Proposizione 2.2.19 Se M e invariante per A, anche la sua chiusura M lo e.

La dimostrazione e lasciata per esercizio al lettore.

Proposizione 2.2.20 Sia P ∈ B(H) un proiettore. Se AP = PA, allora MP e un sottospazioinvariante per A.

Dimostrazione – Se x ∈MP , si ha, infatti, Px = x e quindi APx = Ax; per l’ipotesi di commutativita,PAx = Ax e, quindi, Ax ∈MP . �

Il fatto che un sottospazio chiuso M sia invariante per A non implica in generale che ilproiettore PM su M commuti con A.


Esempio 2.2.21Sia A un operatore limitato ed assumiamo che esista un vettore y ∈ H, con ‖y‖ = 1, tale che Ay = λy,per un certo λ ∈ C. E allora evidente che il sottospazioMy generato da y e invariante per A. Tuttavia, ilproiettore Py suMy, in generale, non commuta con A. Ricordando, infatti, che, se x ∈ H, Pyx = (x, y)y,si ha

PyAx = (Ax, y)y e APyx = (x, y)Ay = λ(x, y)y.

D’altra parte, se, in quest’esempio, si suppone che My sia invariante anche per A∗, allora si ha, com’efacile vedere, A∗y = λy e, quindi,

PyAx = (Ax, y)y = (x,A∗y)y = λ(x, y)y, ∀x ∈ H,

e dunque PyA = APy. Questo non e un caso come mostra la seguente proposizione. �

Proposizione 2.2.22 Se M e un sottospazio chiuso invariante sia per A sia per A∗, allora ilproiettore PM su M commuta con A (e con A∗).

Dimostrazione – Infatti, se x, y ∈ H, si ha

(PMAx, y) = (Ax, PMy) = (x,A∗PMy) = (x, PMA∗PMy),

perche A∗PMy ∈M.D’altra parte, dato che per ogni x ∈ H, APMx ∈M,

(APMx, y) = (PMAPMx, y) = (x, PMA∗PMy).

Dunque APM = PMA. �

Teorema 2.2.23 Ogni operatore simmetrico A si decompone nella differenza di due operatoripositivi A+ e A− tali che A+A− = A−A+ = 0.

Dimostrazione – Sia |A| = (A2)1/2. Dato che |A| e limite di una successione di polinomi in A2, essocommuta con A e con ogni operatore limitato che commuta con A. Poniamo

A+ =|A|+A

2e A− =

|A| −A2

.

E chiaro che A = A+ −A−. Inoltre,

A+A− =1

4(|A|+A)(|A| −A) =

1

4(|A|2 −A2) = 0.

Dimostriamo che A+ e A− sono positivi. Sia M = {x ∈ H : A+x = 0}. M e un sottospazio chiuso diH. Indichiamo con P il proiettore corrispondente. Dalla definizione segue che |A| = A+ + A− E chiaroche A+P = PA+ = 0. D’altra parte, per ogni x ∈ H, A−x ∈M, dato che A+A− = 0. Dunque, PA−x =A−x, per ogni x ∈ H, ovvero, PA− = A−P = A−. Allora A− = PA+ + PA− = P (A+ + A−) = P |A|.Quindi A− si esprime come prodotto di operatori positivi che commutano. Ne segue che A− ≥ 0. D’altraparte, A+ = |A| −A− = |A| − P |A| = (I − P )|A| ≥ 0, per lo stesso motivo. �


2.2.3 Operatori isometrici e unitari

Definizione 2.2.24 Un operatore U ∈ B(H) e detto isometrico se

(Ux,Uy) = (x, y) ∀x, y ∈ H (2.6)

Da questa definizione segue immediatamente che per un operatore isometrico U∗U = I e che,inoltre, ‖Uf‖ = ‖f‖ ∀f ∈ H. Un operatore isometrico e dunque necessariamente iniettivo, manon e detto che sia suriettivo; se lo e allora U ha inverso U−1 ovunque definito e limitato. Inquesto caso l’operatore sara detto unitario.

Proposizione 2.2.25 Se U e un operatore isometrico le seguenti condizioni sono equivalenti

(i) U e unitario;

(ii) U∗ = U−1;

(iii) U∗U = UU∗ = I;

(iv) anche U∗ e isometrico .

Dimostrazione – (i)⇒ (ii). Se U−1 esiste si ha:

(Ux, y) = (Ux,UU−1y) = (x, U−1y)

e questo implica che U∗ = U−1.

(ii)⇒ (iii) e banale.

(iii)⇒ (iv) segue subito dalla definizione di operatore isometrico.

(iv)⇒ (i). Se U ed U∗ sono entrambi isometrici, si ha, per definizione: U∗U = UU∗ = I. Quindi Uha inverso ovunque definito e limitato. Cioe U e unitario. �

Esempio 2.2.26In L2(R) consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Se t ∈ R, poniamo ft(x) = f(x − t) edefiniamo

(Uf)(x) = ft(x), f ∈ L2(R).

Lasciamo al lettore di verificare che U e un operatore unitario. �

Esempio 2.2.27In L2([0,+∞[) consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Se t > 0, poniamo

ft(x) =

{f(x− t) se x ≥ t0 se x < t

e definiamo(Uf)(x) = ft(x), f ∈ L2([0,+∞[).

Quest’operatore e isometrico ma non e unitario. Il suo aggiunto U∗ associa a g(x) ∈ L2([0,+∞[) lafunzione gt(x) = f(x+ t) e non e, percio, isometrico. �


Esempio 2.2.28Sia H = L2(R). La trasformata di Fourier f = Tf data da

f(x) =1√2π

∫Re−ixyf(y)dy

definisce un operatore unitario di H in se. L’operatore inverso T−1f = f e dato da

f(x) =1√2π

∫Reixy f(y)dy.

Questi fatti costituiscono il contenuto del Teorema di Fourier-Plancharel. E il caso di notare che gliintegrali usati per definre sia la trasformata di Fourier sia la sua inversa devono essere intesi nel sensodella convergenza in L2(R), essi sono cioe il risultato di approssimazioni con i corrispondenti integrali

calcolati su una successione di funzioni regolari convergenti ad f (nel caso del primo integrale) o ad f(nel caso del secondo). �

2.3 Topologie in B(H): convergenza forte e convergenza debole

Oltre alla topologia della norma (detta anche topologia uniforme) in B(H) e utile introdurrealtre topologie. Esse non sono definite da una norma, ma da famiglie separanti di seminorme.

Definizione 2.3.1 Sia E uno spazio vettoriale su C. Una seminorma su E e un’applicazione pdi E in R che associa a v 7→ p(v) con le seguenti proprieta:

(i) p(v) ≥ 0 ∀v ∈ E

(ii) Se v = 0, allora p(v) = 0

(iii) p(αv) = |α|p(v) ∀α ∈ C ∀v ∈ E

(iv) p(v + w) ≤ p(v) + p(w) ∀v, w ∈ E

Una famiglia {pα}α∈I e detta separante se per ogni v ∈ E, v 6= 0, esiste α ∈ I tale chepα(v) 6= 0.

Una famiglia separante di seminorme definisce su E una topologia localmente convessa diHausdorff su E. Una base di intorni di 0 e costituita dagli insiemi del tipo

U = {v ∈ E : pαi(v) < ε; ∀i = 1, 2, . . . , n}.

2.3.1 La topologia forte di B(H)

Sia H uno spazio di Hilbert. La famiglia di seminorme {px; x ∈ H} in B(H) definite da

px(A) = ‖Ax‖, x ∈ H,

2.4. Commutanti e Algebre di von Neumann 29

induce su B(H) una topologia localmente convessa, che indicheremo con ts, detta topologia fortedegli operatori. Essendo

px(A) = ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖, ∀x ∈ H

la topologia ts e meno fine della topologia uniforme tu definita dalla norma degli operatorilimitati. Quindi, per esempio, se una successione {An} di operatori limitati converge in normaad un operatore limitato A, essa converge ad A anche fortemente. Il viceversa e, in generalefalso.

Esempio 2.3.2Sia {en} una base ortonormale di uno spazio di Hilbert separabile H. Consideriamo la successione {Pn}

di proiettori definiti da

Pnx =

n∑k=1

(x, ek)ek.

Dalle proprieta delle basi ortonormali deduciamo che, per ogni x ∈ H,∥∥∥∥∥x−n∑k=1

(x, ek)ek

∥∥∥∥∥→ 0, n→∞.

Cioe, ‖(I − Pn)x‖ → 0, per ogni x ∈ H o, in altri termini, Pn → I fortemente. La successione {Pn} nonconverge a I in norma, perche ‖I − Pn‖ = 1, per ogni n ∈ N. �

2.3.2 La topologia debole di B(H)

La famiglia di seminorme {px,y; x, y ∈ H} in B(H), definite da

px,y(A) = |(Ax, y)|, x, y ∈ H,

induce su B(H) un’altra topologia localmente convessa, che indicheremo con tw, detta topologiadebole degli operatori. Essendo

px,y(A) = |(Ax, y)| ≤ ‖Ax‖‖y‖, ∀x ∈ H

la topologia tw e meno fine della topologia forte.

2.4 Commutanti e Algebre di von Neumann

Sia M un sottoinsieme di B(H). Il commutante M′ di M e definito da

M′ = {X ∈ B(H) : AX = XA, ∀A ∈M.}

Porremo M′′ = (M′)′;M′′ e detto il bicommutante di M. Risulta M ⊆M′′; M′′′ := (M′′)′ = M′,etc.

Si vede facilmente che M′ e una sottoalgebra di B(H). Se M = M∗, cioe se M contiene,insieme con un elemento A anche il suo aggiunto A∗, allora M′ e una *-sottoalgebra di B(H).


Proposizione 2.4.1 Per ogni M ⊆ B(H), M′ e un’algebra debolmente (e quindi, fortemente euniformemente) chiusa.

Se M e una sottoalgebra di B(H), contenente l’identita I, la sua chiusura debole Mw

ecertamente un sottoinsieme di M′′, perche questo e debolmente chiuso.

Teorema 2.4.2 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l’identita I. Allora M′′ = Ms,

la chiusura forte di M.

Dimostrazione – Dobbiamo dimostrare che, fissato un B ∈M′′, per ogni ε > 0 e per ogni x ∈ H esisteA ∈M tale che ‖Bx−Ax‖ < ε.Sia x ∈ H e definiamo M = Mx = {Cx : C ∈ M}. Il sottospazio M e invariante per ogni operatoreA ∈M (e quindi anche per A∗). Anche la sua chiusura M e dunque invariante per ogni operatore di M.Per la proposizione 2.2.22 il proiettore P := PM commuta con ogni operatore A ∈M. Cioe P ∈M′. Siha quindi, PB = BP e M e invariante anche per B. Questo implica che Bx ∈M . Quindi esiste A ∈Mtale che ‖Bx−Ax‖ < ε. �

Corollario 2.4.3 Sia M una *-sottoalgebra di B(H), contenente l’identita I. Le seguentiaffermazioni sono equivalenti.

(i) M e debolmente chiusa.

(ii) M = M′′.

Dimostrazione – (i)⇒(ii): Utilizzando il teorema precedente si ha, M ⊆ Ms ⊆ M

w ⊆ M′′ = Ms.

Quindi Mw

= Ms

= M′′. Se M e debolmente chiusa, risulta allora M = M′′. L’implicazione (i)⇒(ii) eovvia, dato che M′′ e, in ogni caso, debolmente chiusa. �

} Osservazione 2.4.4 Le *-sottoalgebre di B(H), con identita, per cui si verifica l’una o l’altra dellecondizioni equivalenti del precedente corollario, svolgono un ruolo chiave nella teoria degli operatori.Esse sono dette Algebre di von Neumann, dal nome di John von Neumann che per primo le studio(1948 circa). La teoria delle algebre di von Neumann rappresenta uno degli argomenti piu fecondi dellaricerca matematica contemporanea e trova applicazioni negli ambiti piu disparati: dalla geometria noncommutativa alle teorie quantistiche. La loro trattazione va comunque al di la dell’ambito di un corsoiniziale sulla teoria degli operatori.

Capitolo 3

Proprieta spettrali degli operatorilimitati

3.1 Lo spettro di un operatore limitato

Definizione 3.1.1 Sia A ∈ B(H). Un numero complesso λ appartiene al risolvente ρ(A) di A sel’operatore A−λI e invertibile (cioe e bigettivo) e ha inverso limitato. L’insieme σ(A) := C\ρ(A)e detto spettro di A.Se λ ∈ ρ(A), l’operatore Rλ(A) = (A− λI)−1 e detto operatore risolvente di A in λ.

Definizione 3.1.2 Sia A ∈ B(H). Si dice che un numero λ ∈ C e un autovalore di A sel’equazione (A−λ)x = 0 ammette soluzioni non nulle. Un vettore x ∈ H che soddisfa l’equazioneprecedente e detto autovettore di A relativo a λ.

Chiaramente, se λ e un autovalore di A, allora λ ∈ σ(A). e lo spettro puntuale σp(A) consisteesattamente degli autovalori di A.Se λ e un autovalore di A, allora il corrispondente insieme di autovettori

Mλ = {x ∈ H : (A− λ)x = 0}

e un sottospazio chiuso di H. La sua dimensione (finita o infinita che sia) e chiamata molteplicitadi λ.

Teorema 3.1.3 Sia A ∈ B(H). Valgono le seguenti affermazioni.

(i) ρ(A) e un sottoinsieme aperto del piano complesso.

(ii) La funzione λ ∈ ρ(A) → Rλ(A) ∈ B(H) e una funzione analitica in ogni componenteconnessa di ρ(A).

(iii) Per ogni λ, µ ∈ ρ(A), gli operatori Rλ(A) e Rµ(A) commutano e vale la relazione

Rλ(A)−Rµ(A) = (λ− µ)Rλ(A)Rµ(A).

32 3. Proprieta spettrali degli operatori limitati

Dimostrazione – (i): Fissiamo λ0 ∈ ρ(A) e cominciamo con il considerare la serie di elementi di B(H)

∞∑n=1

(λ− λ0)n[Rλ0(A)]n. (3.1)

Si ha: ∥∥∥∥∥n+p∑k=n+1

(λ− λ0)k[Rλ0(A)]k

∥∥∥∥∥ ≤n+p∑k=n+1

|λ− λ0|k‖[Rλ0(A)]k‖ ≤n+p∑k=n+1

|λ− λ0|k‖[Rλ0(A)]‖k.

Se |λ − λ0| < ‖[Rλ0(A)]‖−1, la serie (3.1) soddisfa, percio, la condizione del criterio di Cauchy rispetto

alla norma di B(H) ed e quindi convergente. Poniamo, allora,

X(λ,A) = Rλ0(A)

{I +

∞∑n=1

(λ− λ0)n[Rλ0(A)]n

}.

Calcoliamo X(λ,A)(A− λI). Tenendo conto della continuita della moltiplicazione rispetto alla norma diB(H) si ha

X(λ,A)(A− λ) = Rλ0(A)

{I +

∞∑n=1


}(A− λI)

= Rλ0(A)

{I +

∞∑n=1


}((A− λ0I)− (λ− λ0)I)

=

{Rλ0

(A) +

∞∑n=1

(λ− λ0)n[Rλ0(A)]n+1

}((A− λ0I)− (λ− λ0)I)

= I +

∞∑n=1

(λ− λ0)n[Rλ0(A)]n − (λ− λ0)Rλ0

(A)−∞∑n=1

(λ− λ0)n+1[Rλ0(A)]n+1

= I.

Quindi (A − λ)−1 esiste e (A − λ)−1 = X(λ,A). In conclusione, se λ0 ∈ ρ(A), tutti i λ tali che|λ− λ0| < ‖[Rλ0(A)]‖−1 appartengono al risolvente. Dunque ρ(A) e aperto.(ii): Come dimostrato nel punto precedente, la funzione λ 7→ Rλ(A) si puo esprimere in un intorno di unpunto λ0 ∈ ρ(A) mediante una serie di potenze in λ− λ0. Essa e, quindi, analitica.(iii): Si ha per λ, µ ∈ ρ(A),

Rλ(A)−Rµ(A) = Rλ(A)(A− µI)Rµ(A)−Rλ(A)(A− λI)Rµ(A)

= Rλ(A)(A− µI −A+ λI)Rµ(A)

= (λ− µ)Rλ(A)Rµ(A).

Questa stessa uguaglianza mostra che Rλ(A) ed Rµ(A) commutano. �

Lemma 3.1.4 Se |λ| > ‖A‖, allora λ ∈ ρ(A) e vale il seguente sviluppo in serie, detto diNeumann:

Rλ(A) = − 1

λ

∞∑n=0

(A

λ

)n.

Dimostrazione – Si ha: ∥∥∥∥∥n+p∑k=n+1

Ak

λk

∥∥∥∥∥ ≤n+p∑k=n+1

∥∥∥∥Akλk∥∥∥∥ ≤ n+p∑

k=n+1

‖A‖k

|λ|k.

3.1. Lo spettro di un operatore limitato 33

Dall’ipotesi |λ| > ‖A‖ segue che la serie∞∑n=0

An

λn

soddisfa la condizione del criterio di Cauchy ed e, percio, convergente in B(H). Sia Xλ la sua somma. Siha, allora,

−(A− λI)1

λXλ = − 1

λ(A− λI)

∞∑n=0

(A

λ

)n= −

∞∑n=0

An+1

λn+1+

∞∑n=0

An

λn= I.

�

Corollario 3.1.5 Sia A ∈ B(H). Allora σ(A) ⊆ {λ ∈ C : |λ| ≤ ‖A‖}.

Corollario 3.1.6 Sia A ∈ B(H). Risulta lim|λ|→∞

Rλ(A) = 0.

Dimostrazione – Se |λ| > η > ‖A‖, dalla dimostrazione del lemma precedente segue che

‖Rλ(A)‖ ≤ 1

|λ|

∞∑n=0

‖A‖n

ηn=

1

|λ|· η

η − ‖A‖→ 0, per |λ| → +∞.

�

Proposizione 3.1.7 Sia A ∈ B(H). Lo spettro di A, σ(A), non e vuoto.

Dimostrazione – Se lo fosse, la funzione risolvente λ 7→ Rλ(A) sarebbe analitica sull’intero pianocomplesso. In particolare, esisterebbe A−1 ∈ B(H). Per il corollario 3.1.6, la funzione risolvente sareb-be anche limitata sull’intero piano. Il teorema di Liouville implicherebbe, allora, essa dovrebbe esserecostantemente nulla. Questo e impossibile perche R0(A) = A−1. �

Esercizio 3.1.8 Si consideri l’operatore di moltiplicazione Tg studiato nell’Esempio 2.1.3, con g ∈C(I). Si dimostri che σ(Tg) = g(I). Si consideri poi l’operatore di moltiplicazione Tg studiatonell’Esercizio 2.1.4, con g ∈ L∞(I). Indicata con m la misura di Lebesgue in [0, 1], si provi che inquesto caso σ(Tg) coincide con l’immagine essenziale Imess(g) di g, dove

Imess(g) = {λ ∈ C : m{x ∈ I : |g(x)− λ| < ε} > 0, ∀ε > 0}.

Definizione 3.1.9 Sia A ∈ B(H). Il raggio spettrale r(A) di A e definito da

r(A) = sup{|λ|; λ ∈ σ(A)}.

Teorema 3.1.10 Sia A ∈ B(H). Si ha

r(A) = limn→∞

‖An‖1/n.

Di conseguenza, r(A) ≤ ‖A‖. Se A = A∗, allora r(A) = ‖A‖


Dimostrazione – Poniamo ν = inf{‖An‖1/n : n ∈ N}; proveremo che ν = limn→∞ ‖An‖1/n. Sia ε > 0;allora esiste m ∈ N tale che ‖Am‖1/m < ν + ε. Per n > m si puo scrivere n = pm+ q con 0 ≤ q ≤ m− 1.Poiche q/n→ 0, risulta pm/n→ 1. Quindi

‖An‖1/n = ‖Apm+q‖1/n ≤ ‖Am‖p/n‖A‖q/n < (ν + ε)pm/n‖A‖q/n.

Questo implica che

lim supn→∞

‖An‖1/n < lim supn→∞

(ν + ε)pm/n‖A‖q/n = limn→∞

(ν + ε)pm/n‖A‖q/n = ν + ε;

per l‘arbitrarieta di ε, otteniamo

lim supn→∞

‖An‖1/n ≤ ν.

D’altra parte, per ogni n ∈ N, ν ≤ ‖An‖1/n; quindi, ν ≤ lim infn→∞ ‖An‖1/n. In conclusione,

limn→∞

‖An‖1/n = ν.

Con un semplice adattamento dei noti teoremi sulle serie di potenze al caso di serie a coefficienti in unspazio di Banach, si vede che la serie

Rλ(A) = − 1

λ

∞∑n=0

(A

λ

)nha raggio di convergenza R pari a

lim supn→∞

‖An‖1/n = limn→∞

‖An‖1/n,

nel senso che essa converge per |λ| > R e non converge per |λ| < R. Quindi r(A) ≤ limn→∞ ‖An‖1/n.D’altra parte se fosse r(A) < limn→∞ ‖An‖1/n, ogni η ∈ C con r(A) < |η| < limn→∞ ‖An‖1/n apparter-rebbe a ρ(A); in tutta le regione |λ| > r(A), la funzione f(λ) = Rλ(A) ammetterebbe sviluppo di Laurentconvergente; in altre parole, la corrispondente serie di Neumann

Rη(A) = −∞∑n=0

An

ηn+1

dovrebbe essere convergente dunque in un punto che ha modulo minore del suo raggio di convergenza. Ilche e impossibile.

Se A e simmetrico, allora ‖A2‖ = ‖A‖2 e ‖A2k‖ = ‖A‖2k . Quindi, r(A) = limk→∞ ‖A2k‖1/2k = ‖A‖�

Esempio 3.1.11Sia I = [a, b]. Sia K(x, y) una funzione misurabile e limitata nel triangolo a ≤ y ≤ x ≤ b. Nello spazioL2(I) consideriamo l’operatore (di Volterra di II tipo) definito da

(AKf)(x) =

∫ x

a

K(x, y)f(y)dy, f ∈ L2(I).

La funzione K(x, y) e detta nucleo integrale dell’operatore AK . Una semplice applicazione della disugua-glianza di Schwarz mostra che AKf ∈ L2(I) per ogni f ∈ L2(I) e che AK e limitato (si veda la sezione3.2.3). Il nostro scopo e di calcolare il raggio spettrale di AK . Prima di procedere notiamo che se K1(x, y)

3.1. Lo spettro di un operatore limitato 35

e K2(x, y) sono due nuclei integrali di questo tipo, il prodotto degli operatori AK1e AK2

si puo esprimereanch’esso mediante un nucleo integrale. Per il teorema di Fubini, si ha, infatti

(AK1AK2f)(x) =

∫ x

a

K1(x, y)(AK2f)(y)dy

=

∫ x

a

K1(x, y)

(∫ y

a

K2(y, z)f(z)dz

)dy =

∫ x

a

f(z)

(∫ x

z

K1(x, y)K2(y, z)dy

)dz.

Se si pone

(K1 ⊗K2)(x, z) =

∫ x

z

K1(x, y)K2(y, z)dy,

si ha

(AK1AK2

f)(x) =

∫ x

a

(K1 ⊗K2)(x, z)f(z)dz.

K1 ⊗K2 si chiama prodotto di convoluzione di Volterra dei due nuclei. Se K1 = K2 =: K, scriveremo,per brevita, K(2) invece di K ⊗K, etc. Sulla base di questa premessa e chiaro che si puo scrivere

(AnKf)(x) =

∫ x

a

K(n)(x, z)f(z)dz.

Notiamo che essendo K limitato, si ha

|K(2)(x, z)| =∣∣∣∣∫ x

z

K1(x, y)K1(y, z)dy

∣∣∣∣ ≤ C2(x− z).

Assumiamo che sia

|K(n)(x, z)| ≤ Cn

(n− 1)!(x− z)n−1. (3.2)

Si ha allora

|K(n+1)(x, z)| ≤∫ x

z

|K(n)(x, y)| · |K(y, z)|dy

≤ Cn+1

(n− 1)!

∫ x

z

(x− y)n−1dy =Cn+1

n!(x− z)n.

Quindi la (3.2) e valida per ogni n ∈ N.

|(AnKf)(x)|2 ≤(∫ x

a

|K(n)(x, y)| |f(y)|dy)2

≤ C2n

((n− 1)!)2

(∫ x

a

(x− y)n−1|f(y)|)2

≤ C2n

((n− 1)!)2

∫ x

a

(x− y)2n−2dy ·∫ x

a

|f(y)|2dy

≤ C2n

((n− 1)!)2

(x− a)2n−1

2n− 1‖f‖2.

Infine integrando tra a e b, rispetto ad x, si ottiene,

‖AnKf‖2 ≤(C(b− a))2n

(n!)2‖f‖2

e, dunque,

‖AnK‖ ≤(C(b− a))n

n!


A questo punto possiamo concludere che r(AK) = 0.Un’interessante applicazione di questo risultato riguarda la ricerca di soluzioni dell’equazione integrale

∫ x

a

K(x, y)f(y)dy − λf(x) = g(x)

dove g(x) e una fissata funzione di L2(I). La conclusione e che quest’equazione possiede, per ogni λ 6= 0,una e una sola soluzione in L2(I). Lasciamo al lettore la verifica di quest’affermazione.

�

Concludiamo questa sezione elencando alcune proprieta elementari dello spettro di un operatore.

Proposizione 3.1.12 Sia A ∈ B(H). Allora, σ(A∗) = {λ : λ ∈ σ(A)} e Rλ(A∗) = Rλ(A)∗.

Dimostrazione – Entrambe seguono facilmente dalla (c) della Proposizione 2.1.6. �

3.2 Operatori compatti

C’e una classe di operatori limitati, detti compatti o anche completamente continui che condividediverse proprieta degli operatori lineari negli spazi di dimensione finita.

3.2.1 Definizioni ed esempi

Definizione 3.2.1 Un operatore A definito nello spazio di Hilbert H si dice compatto se l’im-magine {Axn} di ogni successione {xn} limitata in H contiene una sottosuccessione convergente.

Indicheremo con K(H) l’insieme degli operatori compatti in H.

Proposizione 3.2.2 Ogni operatore compatto e limitato; cioe K(H) ⊆ B(H). Inoltre, K(H) =B(H) se, e soltanto se, H e di dimensione finita.

Dimostrazione – Supponiamo che A non sia limitato. Allora, esiste una successione {xn} ⊂ H taleche ‖xn‖ = 1 e ‖Axn‖ → +∞. Dalla successione {Axn} non si puo, quindi estrarre una sottosuccessioneconvergente.Se dimH = +∞, l’operatore I, identita di H, non e un operatore compatto. In questo caso, infatti, esisteun sistema ortonormale numerabile {en} di vettori di H, cioe ‖en‖ = 1, (en, em) = 0, se n 6= m. Poiche

‖en − em‖2 = (en − em, en − em) = ‖en‖2 + ‖em‖2 = 2

dalla successione {en} non si puo estrarre alcuna sottosuccessione convergente. Se, infine, dimH = n <+∞, lo spazio H essendo isomorfo a Cn e localmente compatto. Se A ∈ B(H), data una successionelimitata {xn}, anche la successione {Axn} e limitata. Da essa si puo quindi estrarre una sottosuccessioneconvergente. �

Teorema 3.2.3 Le seguenti affermazioni sono equivalenti.

3.2. Operatori compatti 37

(i) A e compatto.

(ii) Se xn → x debolmente e yn → y debolmente, allora (Axn, yn)→ (Ax, y).

(iii) Se xn → x debolmente, allora Axn → Ax nella norma dello spazio di Hilbert.

Dimostrazione – (i)⇒ (ii): Se non fosse cosı esisterebbe ε0 tale che per infiniti valori dell’indice n,

|(Axn, yn)− (Ax, y)| ≥ ε0. (3.3)

Si puo quindi trovare una sottosuccessione di {xn} che soddisfa (3.3). Continuiamo ad indicarla con{xn}. La successione {xn} e limitata in norma (Principio di uniforme limitatezza), quindi da {xn} si puoestrarre una sottosuccessione {xnk} tale che {Axnk} sia convergente. Risulta Axnk → Ax. Infatti vistoche xnk → x, debolmente, e Axnk → z si ha:

(Axnk , y)→ (z, y), ∀y ∈ H.

Ma(Axnk , y) = (xnk , A

∗y)→ (x,A∗y) = (Ax, y), ∀y ∈ H.Da questo segue facilmente che z = Ax. Utilizzando questo fatto, abbiamo quindi

ε0 ≤ |(Axnk , ynk)−(Ax, y)| ≤ |(Axnk−Ax, ynk)|+|(Ax, ynk−y)| ≤ ‖Axnk−Ax‖‖ynk‖+|(Ax, ynk−y)| → 0,

e questa e una contraddizione.(ii)⇒ (iii): Sappiamo che se xn → x debolmente, allora anche Axn → Ax debolmente. Dunque, postovn = xn − x e zn = Axn −Ax, si ha

‖Axn −Ax‖2 = (Axn −Ax,Axn −Ax) = (Avn, zn)→ 0.

(iii)⇒ (i): Sia {xn} una successione limitata in norma; senza ledere la generalita, possiamo supporreche ‖xn‖ ≤ 1, per ogni n ∈ N. Il teorema di Banach-Alaglou garantisce che la boccia unitaria di H edebolmente compatta. Quindi da {xn} si puo estrarre una sottosuccessione {xnk} debolmente convergentea un x della stessa boccia unitaria. Allora Axnk → Ax. �

Diamo adesso alcuni esempi.

Esempio 3.2.4Sia P il proiettore su un sottospazioM di H di dimensione finita. Allora P e compatto. Viceversa se unoperatore di proiezione P e compatto allora la sua immagine PH e un sottospazio di dimensione finita.�

Esempio 3.2.5Sia H uno spazio di Hilbert e y, z due vettori fissati di H. L’operatore

Ax = (x, y)z, x ∈ H

e compatto. Infatti se {xn} e una successione limitata, la successione {Axn} ammette certamente unasottosuccessione convergente, perche dalla successione limitata di numeri complessi (xn, y) e possibileestrarre una sottosuccessione convergente, per il Teorema di Bolzano-Weierstrass. �

Esempio 3.2.6Generalizzando l’esempio precedente possiamo affermare che ogni operatore (di rango finito) del tipo

Ax =

n∑j=1

(x, yj)zj ,

con y1, . . . , yn e z1, . . . , zn vettori fissati di H e un operatore compatto. �


Definizione 3.2.7 Un operatore A e detto di rango finito se R(A) := AH e un sottospazio didimensione finita di H.

Se A e un operatore di rango finito, allora esistono dei vettori y1, . . . , yn e z1, . . . , zn in Htali che

Ax =n∑j=1

(x, yj)zj , ∀x ∈ H.

Per vederlo, supponendo che dimR(A) = n, fissiamo una base di R(A), che possiamo sup-porre ortonormale. Sia essa {z1, . . . , zn}. Allora esistono dei numeri complessi non tutti nulliλ1, . . . , λn, tali che

Ax =n∑j=1

λjzj .

Non resta adesso che scegliere i vettori y1, . . . , yn in modo che (x, yj) = λj . Lasciamo al lettoredi verificare che questa scelta e sempre possibile.

Dalla discussione precedente e dall’esempio 3.2.6 segue subito che

Proposizione 3.2.8 Ogni operatore di rango finito e compatto.

3.2.2 Lo spazio degli operatori compatti

Proposizione 3.2.9 L’insieme K(H) degli operatori compatti in H e un sottospazio chiuso innorma di B(H). Quindi K(H) e uno spazio di Banach rispetto alla norma di B(H).

Dimostrazione – Siano A,B operatori compatti e {xn} una successione limitata di vettori di H. Alloraesiste una sottosuccessione {xnk} tale che la successione {Axnk} e convergente. Dalla successione {xnk}si puo estrarre una sottosuccessione xnkh in modo che Bxnkh sia concergente. La successione {Axnkh +Bxnkh } e, dunque, convergente. Per dimostrare che K(H) e chiuso, consideriamo una successione {An} dioperatori compatti tali che ‖An−A‖ → 0, per n→∞, per qualche A ∈ B(H). Dobbiamo dimostrare che Ae compatto. Sia {xn} una successione limitata di vettori di H. Indichiamo con {x1

n} una sottosuccessione

di {xn} tale che A1{x(1)n } sia convergente. Adesso estraiamo da {x(1)

n } una sottosuccessione {x(2)n } in

modo che A2{x(2)n } e cosı via. Poniamo yn = x

(n)n . Poiche {yn} e una sottosuccessione di ognuna delle

successioni {x(k)n }, per ogni k fissato {Akyn} e convergente. Sia ε > 0 e k sufficientemente grande perche

sia ‖A − Ak| < ε e prendiamo N cosı grande che risulti ‖Akyn − Akyn+p‖ < ε per ogni n > N, p > 0.Allora,

‖Ayn −Ayn+p‖ ≤ ‖(A−Ak)(yn − yn+p)‖+ ‖Ak(yn − yn+p)‖ ≤ (2M + 1)ε

dove M = sup ‖xn‖. La successione {Ayk} e quindi di Cauchy e, percio, convergente. In conclusione, Ae un operatore compatto. �

Proposizione 3.2.10 Se A e compatto e B e limitato, allora AB e BA sono compatti.

Dimostrazione – Sia {xn} una successione limitata e {xnk} una sottosuccessione tale che {Axnk} econvergente. Allora anche {BAxnk} e convergente, per la continuita di B. Analogamente, essendo Blimitato, la successione {Bxn} e limitata; quindi, da {A(Bxn)} si puo estrarre una sottosuccessioneconvergente. �


Lemma 3.2.11 Sia A ∈ B(H). Se l’operatore A∗A e compatto, anche A e compatto.

Dimostrazione – Sia {xn} una successione limitata (‖xn‖ ≤ C) e {xnk} una sottosuccessione tale che{A∗Axnk} e convergente. Si ha

‖Axnk−Axnh‖2 = (Axnk−Axnh , Axnk−Axnh) = (A∗A(xnk−xnh), xnk−xnh) ≤ ‖A∗A(xnk−xnh)‖‖xnk−xnh‖.

Tenuto conto che ‖xnk − xnh‖ ≤ 2C, concludiamo che

‖Axnk −Axnh‖2 ≤ 2C‖A∗A(xnk − xnh)‖ → 0

per n,m→ +∞. Quindi la successione {Axnk}e convergente. �

Proposizione 3.2.12 Se A e compatto, anche A∗ e compatto.

Dimostrazione – Se A e compatto, per la Proposizione 3.2.10, anche AA∗ e compatto. Ma AA∗ =(A∗)∗A∗. Per il Lemma 3.2.11, anche A∗ e compatto. �

In conclusione,

Proposizione 3.2.13 K(H) e uno *-ideale chiuso di B(H).

3.2.3 Operatori integrali

La proposizione 3.2.13 ci permette di dimostrare che sono compatti alcuni tipi di operatoriintegrali. Consideriamo lo spazio di Hilbert L2([a, b]). Per brevita, poniamo Q = [a, b]× [a, b] econsideriamo una funzione K(x, y) ∈ L2(Q). Porremo

‖K‖2,Q =

(∫Q|K(x, y)|2dxdy

)1/2

.

Dato che ‖K‖2,Q < +∞, dal teorema di Fubini segue che l’integrale∫ b

a|K(x, y)|2dy

esiste per quasi tutti gli x ∈ [a, b]. Inoltre∫ b

a

[∫ b

a|K(x, y)|2dy

]dx =

∫Q|K(x, y)|2dxdy = ‖K‖22,Q.

Quindi la funzione

k(x) =

[∫ b

a|K(x, y)|2dy

]1/2e un elemento di L2([a, b]) e ‖k‖2 = ‖K‖2,Q. Sia adesso f(x) ∈ L2([a, b]). L’integrale∫ b

aK(x, y)f(y)dy


e definito per tutti gli x dove k(x) e finita. Mostriamo che la funzione

g(x) =

∫ b

aK(x, y)f(y)dy

appartiene ad L2([a, b]). Si ha, infatti, utilizzando la disuguaglianza di Schwarz,∣∣∣∣∫ b

aK(x, y)f(y)dy

∣∣∣∣2 ≤ ∫ b

a|K(x, y)|2dy ·

∫ b

a|f(y)|2dy = k(x)2‖f‖22

e

‖g‖22 =

∫ b

a

∣∣∣∣∫ b

aK(x, y)f(y)dy

∣∣∣∣2 dx ≤ ∫ b

ak2(x)dx · ‖f‖22 = ‖K‖22,Q‖f‖22.

In conclusione, posto

(AKf)(x) =

∫ b

aK(x, y)f(y)dy, f ∈ L2([a, b]),

si definisce un operatore lineare limitato in L2([a, b]) con la proprieta

‖AK‖ ≤ ‖K‖2,Q. (3.4)

La funzione K(x, y), che determina l’operatore AK , e detto nucleo (integrale) dell’operatore. Unnucleo K(x, y) e detto di rango finito se esistono delle funzioni ξj , ηj ∈ L2([a, b]), j = 1, . . . n taliche

K(x, y) =n∑j=1

ξj(x)ηj(y).

In questo caso, il corrispondente operatore AK e di rango finito. Infatti,

(AKf)(x) =

∫ b

aK(x, y)f(y)dy =

∫ b

a

n∑j=1

ξj(x)ηj(y)

f(y)dy

=n∑j=1

ξj(x)

∫ b

af(y)ηj(y)dy =

n∑j=1

(f, ηj)ξj(x).

} Osservazione 3.2.14 Un nucleo K ∈ L2(Q) viene chiamato anche nucleo di Hilbert-Schmidt.

Teorema 3.2.15 Per ogni nucleo K(x, y) ∈ L2(Q) esiste una successione {Kn(x, y)} di nucleidi rango finito tali che

‖K −Kn‖2,Q → 0 per n→ +∞.

Dimostrazione – Cominciamo con il porre

KN (x, y) =

{K(x, y) (x, y) ∈ Q : |K(x, y)| ≤ N0 altrove

Si halim

N→+∞|K(x, y)−KN (x, y)|2 = 0.


Inoltre |K(x, y) −KN (x, y)|2 ≤ |K(x, y)|2, per ogni (x, y) ∈ Q. Il teorema di convergenza dominata diLebesgue implica allora che ∫

Q

|K(x, y)−KN (x, y)|2dxdy → 0.

Fissato ε > 0, e, allora, possibile scegliere N in modo che

‖K −KN‖2,Q <ε

2.

La funzioneKN (x, y) e sommabile inQ. Dunque e possibile trovare una successione di funzioni a gradinata{uN,n}, con |uN,n(x, y)| ≤ N , che converge quasi ovunque a KN (x, y). La successione delle funzioni

|KN (x, y)− uN,n(x, y)|2

e limitata (|KN (x, y) − uN,n(x, y)|2 < 4N2) e converge a zero quasi ovunque. Ancora il teorema diconvergenza dominata di Lebesgue ci permette di dire che

‖KN − uN,n‖22,Q =

∫Q

|KN (x, y)− uN,n(x, y)|2dxdy → 0.

Per n grande abbastanza, sara dunque ‖KN − uN,n‖2,Q ≤ ε2 . Quindi

‖K − uN,n‖2,Q ≤ ‖K −KN‖2,Q + ‖KN − uN,n‖2,Q < ε.

Per concludere, non resta che osservare che ogni funzione a gradini su Q si puo esprimere nella forma

n∑j=1

ξj(x)ηj(y).

con ξi, ηj funzioni a gradini su [a, b]. �

Teorema 3.2.16 Per ogni nucleo K(x, y) ∈ L2(Q), l‘operatore AK definito da

(AKf)(x) =

∫ b

aK(x, y)f(y)dy, f ∈ L2([a, b]),

e compatto.

Dimostrazione – Intanto osserviamo che AK e limite, nella norma di B(H) di una successione dioperatori di rango finito. Sia, infatti, {Kn} la successione di nuclei di rango finito che approssima K,nella norma ‖ · ‖2,Q. Si ha allora, per la (3.4),

‖AK −AKn‖ ≤ ‖K −Kn‖2,Q → 0 per n→∞.

L’affermazione segue allora dalla compattezza degli operatori di rango finito e dal fatto che K(H) e chiusonella norma di B(H). �

Esempio 3.2.17Sia K(x, y) =

∑nj=1 ξj(x)ηj(y) un nucleo di rango finito. Cerchiamo le condizioni su λ ∈ C per cui

esistono soluzioni dell’equazione integrale∫ b

a

K(x, y)f(y)dy − λf(x) = g(x), g ∈ L2([a, b)]. (3.5)


Possiamo supporre che le funzioni ξi siano linearmente indipendenti.

n∑j=1

ξj(x)

(∫ b

a

ηj(y)f(y)dy

)− λf(x) = g(x),

o, in breve,n∑i=1

(f, ηi)ξi − λf = g. (3.6)

Questa stessa equazione ci permette di affermare che, se λ 6= 0, la soluzione f(x) deve avere la forma

f(x) = − 1

λg(x) +

1

λ

n∑i=1

αiξi(x).

Sostituendo nella (3.6), si ottiene

n∑i=1

− 1

λg +

1

λ

n∑j=1

αjξj(x), ηi

ξi −n∑i=1

αiξi = 0.

Cioe,n∑i=1

− 1

λ(g, ηi) +

1

λ

n∑j=1

αj(ξj , ηi)− αi

ξi = 0.

Dato che le funzioni ξi sono linearmente indipendenti, deve essere

− 1

λ(g, ηi) +

1

λ

n∑j=1

αj(ξj , ηi)− αi, i = 1, 2, . . . n,

che ponendo βi = (g, ηi), cij = (ξj , ηi) e ricordando che αi = αjδij , dove δij indica il simbolo di Kronecker,si scrive infine

n∑j=1

(cij − λδij)αj = βi, i = 1, 2, . . . n.

Siamo quindi pervenuti ad un sistema lineare di n equazioni nelle n incognite α1, . . . , αn. Esso ammetteuna e una sola soluzione se, e soltanto se, λ non si annulla il determinante det(cij−λδij) e non nullo. Comevedremo tra poco questi valori di λ costituiscono il risolvente ρ(AK) dell’operatore AK corrispondente alnucleo K. Lo spettro di AK e costituito dai λ che annullano il determinante det(cij − λδij). Essi sonoautovalori di AK . In definitiva, l’equazione integrale (3.5) ammette una e una sola soluzione per ogni λtale che det(cij − λδij) 6= 0

�

Teorema 3.2.18 Sia H uno spazio di Hilbert separabile. Ogni operatore compatto e limite dioperatori di rango finito.

Dimostrazione – Sia T un operatore compatto ed {en} una base ON in H. Se x ∈ H con x =∑∞k=1(x, ek)ek, allora Tx =

∑∞k=1(x, ek)Tek. Definiamo

Tnx =

n∑k=1

(x, ek)Tek.

3.3. La teoria spettrale degli operatori compatti 43

L’operatore Tn e di rango finito.

Si ha

‖Tx− Tnx‖ =

∥∥∥∥∥∞∑

k=n+1

(x, ek)Tekx

∥∥∥∥∥ = ‖TQnx‖ ≤ ‖T �M⊥n ‖‖x‖

Questo implica che

‖T − Tn‖ ≤ ‖T �M⊥n ‖ =: αn,

dove Qn indica il proiettore sul complemento ortogonale del sottospazioMn generato dai primi n vettori,e1, . . . , en, della base. Il teorema sara dimostrato se proviamo che limn→∞ αn = 0. La successione dinumeri non negativi αn e decrescente e, quindi, ammette limite α.

Se fosse α > 0, potremmo costruire, a partire da un certo n0, una successione {zn} di vettori di Htali che zn ∈ M⊥n , ‖zn‖ = 1 e ‖Tzn‖ ≥ α

2 . La successione {zn} converge debolmente a zero. Infatti sey =

∑∞j=1 βjej ∈ H si ha,

(zn, y) =

∞∑j=1

βj(zn, ej) =

∞∑j=n+1

βj(zn, ej)

essendo (zn, ej) = 0 per j ≤ n. La convergenza della serie∑∞j=1 βj(zn, ej) implica che, per ogni ε > 0

esiste k0 tale che per ogni k ≥ k0, ∣∣∣∣∣∣∞∑j=k

βj(zn, ej)

∣∣∣∣∣∣ < ε

2n.

Se k0 ≤ n,∞∑j=k

βj(zn, ej) =

∞∑j=n+1

βj(zn, ej).

Se k0 > n la somma si puo far partire da n+1 perche, in ogni caso i termini precedenti sono nulli. Quindi

|(zn, y)| =

∣∣∣∣∣∣∞∑

j=n+1

βj(zn, ej)

∣∣∣∣∣∣ < ε

2n→ 0.

Essendo T compatto, Tzn → 0 nella norma di H e questa e una contraddizione. �

3.3 La teoria spettrale degli operatori compatti

Il nostro intento e di studiare adesso le proprieta degli autovalori, se ne esistono, di un operatorecompatto.

La prima osservazione da fare e che se A e compatto in H con dimH =∞, allora 0 ∈ σ(A).Infatti, in questo caso A non puo avere inverso limitato.

In quel che segue indicheremo con σp(A), lo spettro puntuale di A cioe l’insieme degliautovalori non nulli di un operatore A

Lemma 3.3.1 Sia λ un autovalore non nullo dell’ operatore compatto A. Allora il sottospazioMλ di H degli autovettori relativi a λ, cioe Mλ = {x ∈ H : (A − λ)x = 0}, ha dimensionefinita.


Dimostrazione – Se cosı non fosse, sarebbe possibile trovare una successione (infinita) {xk} di autovet-tori di A a due a due ortogonali e tali che ‖xn‖ = 1, per ogni n ∈ N. Dalla compattezza di A segue allorache dalla successione {Axn} si dovrebbe poter estrarre una sottosuccessione convergente. Ma questo eimpossibile perche

‖Axn −Axm‖2 = |λ|2‖xn − xm‖2 = |λ|2(‖xn‖2 + ‖xm‖2) = 2|λ|2.

�

3.3.1 Teorema di Riesz–Schauder: prima dimostrazione

Lemma 3.3.2 Sia A un operatore lineare definito in H. Sia {yn} una famiglia di autovettoricorrispondenti agli autovalori distinti {λn}, cioe, (A− λn)yn = 0, λn 6= λk, per n 6= k. Allora ivettori dell’insieme {yn} sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione – Supponiamo che l’affermazione non sia vera e sia k il minimo naturale tale chey1, . . . , yk siano linearmente dipendenti. Si ha certamente yk =

∑k−1i=1 βiyi, perche i vettori y1, . . . , yk−1

sono linearmente indipendenti. Si ha, allora

(A− λkI)yk = (A− λkI)

k−1∑i=1

βiyi =

k−1∑i=1

βi(λi − λk)yi = 0

I coefficienti βi(λi − λk) non sono tutti nulli, perche non lo sono i βi e gli autovalori sono tutti diversi.La conclusione e che i vettori y1, . . . , yk−1 sono linearmente dipendenti; il che contraddice la definizionedi k. �

Lemma 3.3.3 Sia A un operatore compatto. L’insieme σp(A) degli autovalori di A e finito onumerabile ed ammette al piu il punto 0 come punto di accumulazione.

Dimostrazione – Per prima cosa dimostriamo che l’insieme degli autovalori di A non puo avere un puntodi accumulazione λ con λ 6= 0. Se cosı non fosse, esisterebbe una successione di autovalori {λn} distinticon autovettori yn tali che 0 6= λn → λ 6= 0. Sia Mn il sottospazio genenerato dai vettori {y1, · · · , yn}.Mn e invariante per A. Poiche {y1, · · · , yn} sono linearmente indipendenti, Mn−1 e un sottospazioproprio diMn. QuindiMn contiene un elemento xn tale che ‖xn‖ = 1 ed ortogonale aMn−1. In questomodo si costruisce una successione {xn} di vettori di H, limitata. La successione {λ−1

n xn} e limitata.Faremo vedere che da {λ−1

n Axn} non si puo estrarre alcuna sottosuccessione convergente. Infatti, sem < n,

λ−1n Axn − λ−1

m Axm = xn − (λ−1m Axm − λ−1

n (A− λn)xn).

Il secondo termine a destra appartiene a Mn−1, perche xm ∈ Mn−1, Mn−1 e invariante per A e (A −λn)xn ∈Mn−1. Quest’ultima affermazione nasce dalla considerazione che

xn = α1y1 + α2y2 + · · ·+ αnyn,

e che applicando A− λn si ottiene

(A− λn)xn = α1(A− λn)y1 + α2(A− λn)y2 + · · ·+ αn−1(λn−1 − λn)yn−1 + αn(A− λn)yn

= α1(λ1 − λn)y1 + α2(λ2 − λn)y2 + · · ·+ αn−1(λn−1 − λn)yn−1 + αn(λn − λn)yn

= α1(λ1 − λn)y1 + α2(λ2 − λn)y2 + · · ·+ αn−1(λn−1 − λn)yn−1.


Quindi,‖λ−1

n Axn − λ−1m Axm‖2 = ‖xn‖2 + ‖(λ−1

m Axm − λ−1n (A− λnI)xn)‖2 ≥ 1.

La disuguaglianza precedente mostra che nessuna sottosuccessione di {λ−1n Axn} puo essere convergente.

L’insieme σp(A) e limitato, perche e limitato σ(A). Se σp(A) non ha punti di accumulazione, allora, peril teorema di Bolzano - Weierstrass, esso e finito. In caso contrario, 0 e l’unico punto di accumulazione.Dunque in al di fuori di ogni disco {λ ∈ C : |λ| ≤ 1

n} puo cadere solo un numero finito di autovalori. Inquesto caso, quindi, σp(A) e numerabile. �

Corollario 3.3.4 Gli autovalori di un operatore compatto A costituiscono un insieme finito onumerabile. In quest’ultimo caso, disposti i {λn} in successione , risulta limn→∞ λn = 0.

Dimostrazione – Come abbiamo visto, 0 e l’unico possibile punto di accumulazione della successione{λn} e al di fuori di ogni disco di centro l’origine e raggio ε cade solo un numero finito di elementi dellasuccessione. Questo prova l’asserto. �

Lemma 3.3.5 Sia A un operatore compatto. Se µ 6= 0 non e un autovalore di A, allora R(A−µI) e chiuso.

Dimostrazione – Supponiamo che (A−µI)xn → y. Dobbiamo provare che y ∈ R(A−µI). Cominciamocon il provare che la successione {xn} e limitata. Altrimenti, si potrebbe assumere (a meno di passaread una sottosuccessione) che ‖xn‖ → ∞. Posto x′n = xn/‖xn‖, la successione {x′n} e limitata e (A −µ)x′n → 0. Rimpiazzando {x′n} con una sottosuccessione, possiamo supporre che {Ax′n} stessa sia diCauchy ad affermare Ax′n → w. Questo implica che µx′n → w e, dunque, (A − µI)w = 0 . Poiche‖w‖ = lim ‖µx′n‖ = |µ| > 0, si conclude che w 6= 0. Quindi w e un autovettore di A relativo a µ, il checontraddice l’ipotesi.Dato che {xn} e limitata, {Axn} contiene una successione di Cauchy; rimpiazzando, ancora una volta,{xn} con una sottosuccessione, possiamo supporre che {Axn} stessa sia di Cauchy. Sia Axn → v. Alloraµxn = Axn − (A− µI)xn → v − y. Applicando A, µAxn → A(v − y). Dunque,

(A− µI)xn →A(v − y)

µ− (v − y) =

1

µ(A− µI)(v − y).

e, quindi, y = µ−1(A− µI)(v − y) ∈ R(A− µI). �

Lemma 3.3.6 Sia A un operatore compatto. Se µ 6= 0 non e un autovalore di A, allora esistec > 0 tale che ‖(A− µI)x‖ ≥ c‖x‖, per ogni x ∈ H.

Dimostrazione – Se cosı non fosse, per ogni k ∈ N esisterebbe xk ∈ H, con ‖xk‖ = 1 tale che

‖(A− µI)xk‖ ≤1

k, ∀k ∈ N.

Dunque, (A− µI)xk → 0.Dalla successione {xk} si puo estrarre una sottosuccessione {xkj} tale che Axkj → y ∈ H. Si ha, allora

xkj =1

µ(Axkj − (A− µI)xkj )→

y

µ.

Dato che ‖xkj‖ = 1, y 6= 0. Si ha, infine

(A− µI)y = limj→∞

(A− µI)xkj = 0.

Dunque, µ e un autovalore di A; contro l’ipotesi. �


} Osservazione 3.3.7 Il lemma 3.3.6 implica che se µ 6= 0 non e un autovalore di A, l’ operatore(A−µI)−1, che e definito in R(A−µI) e limitato. In particolare, se R(A−µI) = H, allora (A−µI)−1 ∈B(H).

Lemma 3.3.8 A ∈ B(H). Allora N(A∗) = R(A)⊥. Quindi R(A) = N(A∗)⊥.

Dimostrazione – Sia x ∈ N(A∗). Allora si ha

x ∈ N(A∗)⇔ 0 = (A∗x, y) = (x,Ay), ∀y ∈ H ⇔ x ∈ R(A)⊥.

Dall’uguaglianza N(A∗) = R(A)⊥ segue che N(A∗)⊥ = R(A)⊥⊥ = R(A). �

Lemma 3.3.9 Se λ e un autovalore di A , allora λ e un autovalore di A∗.

Dimostrazione – Se λ non fosse autovalore di A∗, allora esso ammetterebbe inverso definito in R(A∗−λI); di conseguenza esisterebbe anche l’inverso di A− λI e, dunque λ non potrebbe essere autovalore diA. �

} Osservazione 3.3.10 Per simmetria, il lemma precedente implica che e vero anche il viceversa edunque σp(A) = σp(A∗). Notiamo, infine, che si puo dimostrare anche che, se λ e un autovalore di A dimolteplicita n allora λ, come autovalore di A∗, ha la stessa molteplicita.

Proposizione 3.3.11 Sia A un operatore compatto. Allora

σ(A) = σp(A) ∪ {0}.

Dimostrazione – Intanto e chiaro che σp(A) ∪ {0} ⊆ σ(A). Sia adesso µ ∈ C \ σp(A), µ 6= 0. Allora µnon e un autovalore di A∗ (v. lemma 3.3.9 e osservazione 3.3.10). Dal lemma 3.3.8 segue allora che

R(A− µI)⊥ = N(A∗ − µI) = {0}.

Dunque R(A− µI) = H. Ma R(A−µI) e chiuso (Lemma 3.3.5) e, quindi, (A−µI)−1 e ovunque definitoin H e, percio, (A− µI)−1 ∈ B(H) (Osservazione 3.3.7). In conclusione σ(A) ⊆ σp(A) ∪ {0}.

�

In definitiva abbiamo dimostrato il seguente

Teorema 3.3.12 (di Riesz - Schauder) Lo spettro di un operatore compatto A e un insiemefinito o un insieme numerabile che non ha punti di accumulazione diversi da 0. Ogni elementonon nullo di σ(A) e un autovalore di molteplicita finita. Un numero λ ∈ C \ {0} e autovalore diA se, e soltanto se, λ e un autovalore di A∗.

Corollario 3.3.13 Sia A un operatore compatto. Un numero complesso λ 6= 0 o e un elementodi ρ(A) oppure e un autovalore isolato di molteplicita finita.


Esempio 3.3.14Nelle proposizioni precedenti il punto 0, che e sempre un elemento di σ(A) e stato lasciato da parte nellenostre considerazioni. Il motivo e che 0 puo non essere un autovalore e, se lo e, non e necessariamentedi molteplicita finita. Per vedere qualche esempio, consideriamo uno spazio di Hilbert H separabile e sia{en} una base ortonormale in H. Definiamo

Ax =

∞∑n=1

an(x, en)en,

dove {an} e una successione di numeri complessi tali che limn→∞ an = 0. Allora A e limite in normadegli operatori di rango finito

Akx =

k∑n=1

an(x, en)en

ed e, percio, compatto.

• se an = 1n , n ∈ N+, allora, come si vede facilmente, 0 non e autovalore di A.

• Se an = 1n per n ≥ 5 e an = 0 per n < 5, allora 0 e un autovalore di molteplicita 4. L’autospazio

relativo a 0 e infatti generato da e1, e2, e3, e4.

• Se an = 1n per n pari e an = 0 per n dispari, 0 e un autovettore di molteplicita infinita. Il relativo

sottospazio e, infatti, generato dai vettori en con n dispari.

�

3.3.2 Teorema di Riesz–Schauder: seconda dimostrazione

Teorema 3.3.15 Sia D un sottoinsieme aperto e connesso di C ed f : D → B(H) una funzioneanalitica a valori operatori, tale che f(z) e compatto per ogni z ∈ D. Allora si verifica una euna sola delle seguenti situazioni:

(a) (I − f(z))−1 non esiste per alcun z ∈ D;

(b) (I− f(z))−1 esiste per ogni z ∈ D \S, dove S e un sottoinsieme di D costituito di puntiisolati e privo di punti di accumulazione.

Dimostrazione – Sia z0 ∈ D. Cominciamo con il provare che l’alternativa espressa sopra vale in unintorno di z0. Scegliamo r > 0 in modo che, se z ∈ Dr = {z ∈ C : |z−z0| < r}, risulti ‖f(z)−f(z0)‖ < 1

2 .Per il Teorema 3.2.18 esiste un operatore F di rango finito tale che ‖f(z0)− F‖ < 1

2 . Si ha dunque,

‖f(z)− F‖ = ‖f(z)− f(z0) + f(z0)− F‖ ≤ ‖f(z)− f(z0)‖+ ‖f(z0)− F‖ < 1.

Dunque, per ogni z ∈ Dr esiste (I − f(z) + F )−1 ed e una funzione analitica di z. L’operatore F e dirango finito. Esistono dunque due insiemi {v1, . . . , vn} e {w1, . . . , wn} di vettori di H tali che

Fx =

n∑k=1

(x, vk)wk, x ∈ H.

Poniamo

vn(z) := ((I − f(z) + F )−1)∗vn


eG(z) := F (I − f(z) + F )−1.

Se y ∈ H, si ha

G(z)y = F (I − f(z) + F )−1y

=

n∑k=1

((I − f(z) + F )−1y, vk)wk

=

n∑k=1

(y, ((I − f(z) + F )−1)∗vk)wk

=

n∑k=1

(y, vk(z))wk.

E facile verificare che vale l’uguaglianza

I − f(z) = (I −G(z))(I − f(z) + F ).

Da essa segue che I−f(z) e invertibile per z ∈ Dr se, e soltanto se, I−G(z) e invertibile e che l’equazione(I − f(z))y = 0 ha soluzioni non nulle se, e soltanto se, l’equazione (I − G(z))h = 0 ha soluzioni nonnulle.

Se y ∈ H e soluzione di G(z)y = y, allora y =∑nk=1 βkwk, perche esso appartiene all’immagine di

F e risultan∑k=1

βkwk =

n∑k=1

n∑j=1

βjwj , vk(z)

wk

L’indipendenza lineare dei wk implica allora che i βj risolvono il sistema lineare

βk =

n∑j=1

(wj , vk(z))βj . (3.7)

Viceversa, se il sistema lineare (3.7) ammette la soluzione {β1, . . . , βn}, allora il vettore y =∑nk=1 βkwk

e soluzione dell’equazione G(z)y = y. In conclusione, l’equazione G(z)y = y ha soluzioni non nulle se, esoltanto se, il determinante

d(z) := det {δkj − (wj , vk(z))} = 0.

La funzione d(z) e analitica. Se d(z) = 0 identicamente, allora I−G(z) non e invertibile per ogni z ∈ Dr.Se, invece, essa non e identicamente nulla, i suoi zeri costituiscono un insieme Sr di punti isolati, privodi punti di accumulazione.

Supponiamo adesso che d(z) 6= 0 e, scelto un vettore h ∈ H cerchiamo una soluzione dell’equazione(I − G(z))y = h. Cerchiamo y della forma y = h +

∑nk=1 γkwk. Sostituendo nell’equazione si ottiene il

sistema lineare

(h, vk(z)) = γk −n∑j=1

γj(wj , vk(z)).

Il determinante di questo sistema e esattamente d(z) che, per ipotesi e non nullo: il sistema ammette,dunque, una e una sola soluzione. In conclusione, (I −G(z))−1 esiste in B(H) se, e soltanto se, z 6∈ Sr.

In questo modo, si e provato che per ogni punto di z0 ∈ D esiste un intorno Dr di z0 in cui o(I−f(z))−1 non esiste in ogni punto oppure esso esiste tranne al piu in un sottoinsieme Sr di Dr di puntiisolati privo di punti di punti di accumulazione. E chiaro che se facciamo variamo z0 in D non abbiamo


alcuna garanzia che questo succeda globalmente su D. Per completare la domostrazione occorre usare laproprieta di connessione di D. Lasciamo come esercizio al lettore il completamento della dimostrazione.�

Teorema 3.3.16 (Riesz - Schauder) Lo spettro σ(A) di un operatore compatto A consiste uni-camente di 0 e degli autovalori di A. Lo spettro e finito o numerabile ed, in questo caso, ha alpiu 0 come punto di accumulazione. Ogni elemento non nullo dello spettro e un autovalore dimolteplicita finita.

Dimostrazione – Basta applicare il teorema 3.3.15 ad f(z) = zA. Allora f(z) e una funzione avalori negli operatori compatti ed e analitica sull’intero piano complesso. L’insieme S = {z ∈ C : zAy =y ha soluzioni non nulle} e un insieme di punti isolati senza punti di accumulazione, dato che non coincidecon C visto che 0 6∈ S. Se 1/λ 6∈ S, si ha

(A− λI)−1 = − 1

λ

(I − 1

λA

)−1

e quindi λ ∈ ρ(A). Se l’insieme degli autovalori non e finito, allora esso ammette punto di accumulazioneche non puo che essere 0, visto che lo spettro e chiuso. L’insieme degli autovalori e quindi numerabile(verificare!). Se λ e un autovalore non nullo, il corrispondente autospazio ha dimensione finita (Lemma3.3.1. �

3.3.3 Conseguenze

Corollario 3.3.17 Sia A ∈ K(H) e λ ∈ C \ {0}. Allora, o l’equazione

(A− λI)x = y

ammette una, e una sola, soluzione per ogni y ∈ H oppure l’equazione (A− λI)x = 0 ammettesoluzioni non nulle.

Il corollario precedente e una generalizzazione al caso astratto del famoso teorema dell’alternativadi Fredholm che stabilisce l’affermazione corrispondente per le equazioni integrali della forma∫ b

aK(x, y)f(y)dy − λf(x) = g(x)

nello spazio di Hilbert L2([a, b)] e K ∈ L2([a, b]× [a, b]). Come abbiamo gia visto, gli operatoridi questo tipo sono compatti.

Lemma 3.3.18 Sia A ∈ B(H). Se A e simmetrico, allora

(i) ogni autovalore di A e reale;

(ii) autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali.

Dimostrazione – (i): Se Ax = λx, x 6= 0, allora (Ax, x) = λ‖x‖2 e (x,Ax) = λ‖x2‖. Dunque λ = λ.(ii): Siano x, y autovettori corrispondenti agli autovalori λ e µ, rispettivamente. Allora

(Ax, y) = λ(x, y); (x,Ay) = µ(x, y).

Ma (Ax, y) = (x,Ay). Dunque, se λ 6= µ, si ha (x, y) = 0. �


Teorema 3.3.19 (Hilbert - Schmidt) Sia A un operatore simmetrico compatto in uno spaziodi Hilbert separabile. Allora, esiste una sistema ortonormale {ek} che e una base di H, tale cheAek = λkek.

Dimostrazione – Per ogni autovalore λk scegliamo una base ortonormale che genera il sottospazio degliautovettori relativi a λk (includendo gli autovettori di 0, se questo e un autovalore). L’insieme di tuttigli autovettori cosı ottenuto, {ek}, e un sistema ortonormale in H, perche autovettori corrispondenti adautovalori distinti sono ortogonali. SiaM il sottospazio chiuso di H generato da {ek}. M e invariante perA ed anche M⊥ lo e. La restrizione di A ad M⊥, A�M⊥ , e un operatore compatto con raggio spettraler(A�M⊥) nullo, perche tutti gli autovettori di A appartengono ad M. Ma ‖A�M⊥‖ = r(A�M⊥) = 0.Dunque, M⊥ = {0}. Infatti, se 0 6= y ∈ M⊥, dovrebbe essere Ay = 0 ed y, essendo un autovettore,dovrebbe appartenere a M. In conclusione M = H. �

} Osservazione 3.3.20 Abbiamo dato il teorema di Hilbert - Schmidt nella sua formulazione classica,supponendo cioe che lo spazio di Hilbert sia separabile. Nel caso in cui lo spazio non sia separabile, ladimostrazione precedente resta valida con la sola differenza che non sappiamo, a priori, se l’autospaziorelativo a 0 e separabile o no: una base si trova comunque ma potrebbe non essere numerabile. Se 0 none un autovalore di A, allora la base che si ottiene e certamente numerabile e lo spazio e automaticamenteseparabile.

Se {ek} e la base di autovettori costruita nel teorema precedente, ogni vettore y ∈ H (chesupponiamo separabile) ammette la rappresentazione

y =∞∑n=1

(y, en)en

Agendo con l’operatore A che e continuo, si ha

Ay =∞∑n=1

(y, en)Aen =∞∑n=1

λn(y, en)en. (3.8)

Se indichiamo con Pn il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da en (cioe, Pny =(y, en)en), la precedente uguaglianza si scrive anche come

Ay =∞∑n=1

λnPny, y ∈ H.

Si noti che nella precedente uguaglianza i λn non sono necessariamente distinti.

Concludiamo con il seguente teorema sulla rappresentazione spettrale di un operatore sim-metrico compatto.

Teorema 3.3.21 Sia A un operatore simmetrico compatto in uno spazio di Hilbert separabile.Sia {λn} la successione (possibilmente finita) dei suoi autovalori. Esiste allora una successione(possibilmente finita) di proiettori {Qn}, di rango finito, a due a due ortogonali tali che

A =

∞∑n=1

λnQn (3.9)

dove la convergenza della serie e intesa nella norma di B(H). Inoltre, se 0 non e un autovaloredi A, risulta

∑∞n=1Qn = I,


Dimostrazione – Sia {λn} la successione degli autovalori distinti di A. Indichiamo con Qn il proiettoresull’autospazio relativo a λn. Se λn 6= 0, per ogni n, i Qn sono tutti di rango finito, e a due a dueortogonali. La (3.8) si riscrive nel modo seguente

Ay =

∞∑n=1

λnQny, y ∈ H.

Questo ci dice che la serie in (3.9) converge nella topologia forte di B(H). Poniamo

Ak =

k∑n=1

λnQn.

Dobbiamo dimostrare che ‖A−AK‖ → 0 per k →∞. Si ha

‖(A−Ak)y‖2 =

∥∥∥∥∥∞∑

n=k+1

λnQny

∥∥∥∥∥2

=

∞∑n=k+1

|λn|2‖Qny‖2

≤ supn≥k+1

|λn|2‖y‖2.

Dunque,‖A−Ak‖ ≤ sup

n≥k+1|λn|2 → 0 per k →∞,

perche limn→∞

λn = 0.

Se, infine, 0 non e un autovalore di A, la somma dei Qn da l’operatore identico perche gli autovettoricostituiscono una base ortonormale di H. �

Possiamo adesso dare la forma canonica di un operatore compatto.

Teorema 3.3.22 Sia A un operatore compatto nello spazio di Hilbert separabile H. Allora,esistono due sistemi di vettori ortonormali {en}, {vn}, non necessariamente completi, e deinumeri positivi {λn}, con lim

n→∞λn = 0, tali che

A =∞∑n=1

λn(·, en)vn.

La somma puo essere finita o infinita. In quest’ultimo caso, la serie converge in norma. Inumeri {λn} si chiamano valori singolari di A.

Dimostrazione – L’operatore A∗A e compatto e simmetrico. Quindi esiste un sistema ortonormale {en}tale che A∗Aen = µnen se µn 6= 0, mentre A∗A si annulla sul complemento ortogonale del sottospaziogenerato da {en} (che e non nullo se 0 e un autovalore di A∗A). Poiche A∗A ≥ 0, i µn sono positivi;infatti

(A∗Aen, en) = µn(en, en) = µn ≥ 0,

ma era gia escluso che µn = 0. Sia λn =√µn e poniamo vn = Aen/λn. Si ha

(vn, vm) =1

λnλm(Aen, Aem) =

1

λnλm(A∗Aen, em) = δnm.


Cioe i {vn} costituiscono un sistema ortonormale. Si ha poi, per ogni x ∈ H,

x =

∞∑n=1

(x, en)en +

∞∑k=1

(x, e′k)e′k,

dove gli {e′k} sono gli autovettori eventualmente corrispondenti all’autovalore 0. Applicando l’operatoreA, il termine relativo agli {e′k} si annulla (infatti A∗Ae′k = 0 implica Ae′k = 0). Dunque,

Ax =

∞∑n=1

(x, en)Aen =

∞∑n=1

λn(x, en)Aenλn

=

∞∑n=1

λn(x, en)vn.

La convergenza in norma della serie si dimostra in modo simile a quanto fatto nel teorema 3.3.21. �

Esercizio 3.3.23 Nello spazio di Hilbert L2(I), I = [0, 1] si consideri, l’operatore

(Af)(x) =

∫ x

0f(t)dt, f ∈ L2(I).

Dopo aver verificato che l’espressione data sopra definisce un operatore limitato in L2(I), provareche A e compatto e che r(A) = 0. Dimostrare che 0 non e un autovalore di A.

Esercizio 3.3.24 Sia I = [0, 1] ed {Ek}k∈N una famiglia di sottoinsiemi misurabili di [0, 1] a duea due disgiunti e la cui unione restituisce [0, 1]. Per ogni k ∈ N, si indichi con χk(x) la funzionecaratteristica di Ek. Sia {λk} una successione di numeri complessi tendente a 0. Dimostrare cheogni λk e un autovalore dell’operatore A definito da

(Af)(x) =

( ∞∑k=0

λkχk(x)

)f(x), f ∈ L2(I).

Esistono altri elementi dello spettro di A? L’operatore A e compatto? In quali casi il punto 0 e unelemento dello spettro di A?

3.4 Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt

Sia H uno spazio di Hilbert separabile, {en} una base ortonormale di H. Per ogni operatorepositivo A ∈ B(H) definiamo la traccia di A come

tr(A) =∞∑n=1

(Aen, en).

Puo succedere che tr(A) =∞.

Prima di procedere, ricordiamo che se A ∈ B(H), A ≥ 0, allora esiste un unico operatore B(la radice quadrata di A) con B ≥ 0 e B2 = A e che, di solito, si scrive A1/2 = B. Ricordiamo,inoltre, che se A ∈ B(H), allora A∗A ≥ 0; quindi A∗A ammette radice quadrata. Si pone|A| = (A∗A)1/2 l’operatore cosı definito prende il nome di modulo di A.

Ritorniamo adesso alle proprieta della traccia.

3.4. Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt 53

Proposizione 3.4.1 Il numero tr(A) non dipende dalla base ortonormale scelta per calcolarlo.

Dimostrazione – Sia {vn} un’altra base ortonormale di H. Allora

∞∑n=1

(Avn, vn) =

∞∑n=1

(A1/2vn, A1/2vn) =

∞∑n=1

‖A1/2vn‖2

=

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|(A1/2vn, em)|2)

=

∞∑n=1

( ∞∑m=1

|(vn, A1/2em)|2)

=∞∑m=1

( ∞∑n=1

|(vn, A1/2em)|2)

=

∞∑m=1

‖A1/2em‖2 =

∞∑m=1

(A1/2em, A1/2em)

=

∞∑m=1

(Aem, Aem)

Lo scambio delle sommatorie e permesso dal fatto che tutti i termini sono positivi. �

Elenchiamo alcune proprieta elementari della traccia.

Proposizione 3.4.2 Se A,B sono operatori limitati e positivi, si ha

(i) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);

(ii) tr(λA) = λtr(A), ∀λ ≥ 0;

(iii) tr(UAU−1) = tr(A) per ogni operatore unitario U ;

(iv) Se 0 ≤ A ≤ B, allora tr(A) ≤ tr(B).


Definizione 3.4.3 Un operatore A ∈ B(H) e detto di classe traccia se tr(|A|) <∞. Indichere-mo con T1 l’insieme degli operatori di classe traccia.

Definizione 3.4.4 Sia A un operatore limitato nello spazio di Hilbert separabile H e {en} unabase ortonormale di H. Poniamo

‖A‖2 =

( ∞∑n=1

‖Aen‖2)1/2

.

Si dice che A e un operatore di Hilbert - Schmidt se ‖A‖2 < ∞. Indicheremo con T2 l’insiemedegli operatori di Hilbert - Schmidt.


Dalle uguaglianze

‖A‖2 =

( ∞∑n=1

‖Aen‖2)1/2

=

( ∞∑n=1

(Aen, Aen)2

)1/2

=

( ∞∑n=1

(A∗Aen, en)2

)1/2

= tr(A∗A)1/2

deduciamo che ‖A‖2 non dipende dalla base scelta per calcolarla e che A ∈ T2 se, e soltanto se,tr(A∗A)1/2 <∞.

Proposizione 3.4.5 T2 e uno *- ideale di B(H).

Dimostrazione – Siano A,B ∈ T2. Dalla disuguaglianza, valida per ogni coppia di operatori di B(H),

(A+B)∗(A+B) ≤ 2(A∗A+B∗B)

si deduce subito che A+B ∈ T2.Se {en} e {vn} sono basi di H si ha

‖A∗‖22 =

∞∑n=1

‖A∗vn‖2 =

∞∑n=1

∞∑m=1

|(A∗vn, em)|2

=

∞∑n=1

∞∑m=1

|(vn, Aem)|2 =

∞∑m=1

∞∑n=1

|(vn, Aem)|2

=

∞∑m=1

‖Aem‖2 = ‖A‖2.

Dunque, se A ∈ T2, anche A∗ ∈ T2 e ‖A∗‖2 = ‖A‖2.Infine, se A ∈ T2 e B ∈ B(H) si ha

‖BA‖22 =

∞∑n=1

‖BAen‖2 ≤ ‖B‖2∞∑n=1

‖Aen‖2 <∞

Dunque BA ∈ T2 e ‖BA‖2 ≤ ‖B‖‖A‖2. Il fatto che anche AB ∈ T2 segue dall’uguaglianza ‖AB‖2 =‖(B∗A∗)∗‖2 = ‖B∗A∗‖2 e dai risultati precedenti. �

Se A,B ∈ B(H) vale, come si vede facilmente, la disuguaglianza

2|(Ax,Bx)| ≤ ‖Ax‖2 + ‖Bx‖2, ∀x ∈ H.

Quindi, se A,B ∈ T2,∞∑k=1

|(Aek, Bek)| ≤1

2

( ∞∑k=1

‖Aek‖2 +∞∑k=1

‖Bek‖2)<∞.

Dunque la serie di numeri complessi

∞∑k=1

(Aek, Bek)

e assolutamente convergente. Poniamo

(A,B) :=

∞∑k=1

(Aek, Bek).

Lasciamo al lettore di verificare che (·, ·) definisce un prodotto interno in T2 e che si ha ‖A‖22 =(A,A). Da questo fatto segue che ‖ · ‖2 e una norma in T2.

3.4. Operatori di classe traccia e di Hilbert - Schmidt 55

Lemma 3.4.6 ‖A‖ ≤ ‖A‖2, per ogni A ∈ T2.

Dimostrazione – Sia x ∈ H ed {en} una base ortonormale di H. Si ha

‖Ax‖2 =

∞∑n=1

|(Ax, en)|2 =

∞∑n=1

|(x,A∗en)|2 ≤∞∑n=1

‖x‖2‖A∗en‖2 = ‖A∗‖22‖x‖2 = ‖A‖22‖x‖2.

�

Teorema 3.4.7 T2 e completo rispetto alla ‖ · ‖2 ed e, quindi uno spazio di Hilbert.

Dimostrazione – Sia {An} una successione di Cauchy in T2. Quindi e di Cauchy anche nella norma diB(H). Esiste, dunque, A ∈ B(H) tale che ‖An −A‖ → 0. Se n,m sono abbastanza grandi, si ha

s∑k=1

‖(An −Am)ek‖2 ≤ ‖An −Am‖22 < ε2

Per m→∞ risulta, allora,s∑

k=1

‖(An −A)ek‖2 ≤ ε2.

Questo implica che An −A ∈ T2, e dunque A ∈ T2, ed infine che ‖An −A‖2 → 0.

�

Teorema 3.4.8 Ogni A ∈ T2 e compatto.

Dimostrazione – Sia ε > 0 e scegliamo n grande abbastanza perche risulti∞∑

k=n+1

‖Aek‖2 < ε2.

Poniamo Anek = Aek se k ≤ n e Anek = 0 se k > n ed estendiamo An per linearita a tutto H. Ognioperatore An cosı ottenuto e di rango finito. Si ha, evidentemente,

‖An −A‖ ≤ ‖An −A‖2 < ε.

Dunque A e compatto, perche limite in norma di operatori di rango finito. �

Esempio 3.4.9Consideriamo un operatore integrale del tipo studiato nella sezione 3.2.3. Se K ∈ L2(Q) allora AK eun operatore di Hilbert-Schmidt e ‖AK‖2 = ‖K‖2,Q. Infatti se φn(x) e ψn(x) sono basi ortonormali inL2([a, b]) si ha

‖AK‖22 =

∞∑n=1

∞∑m=1

|(AKφn, ψm)|2

=

∞∑n=1

∞∑m=1

∣∣∣∣∣∫ b

a

(∫ b

a

K(x, y)φn(y)dy

)ψm(x)dx

∣∣∣∣∣2

=

∞∑n=1

∞∑m=1

∣∣∣∣∫Q

K(x, y)φn(y)ψm(x)dxdy

∣∣∣∣2= ‖K‖22,Q.

l’uguaglianza finale segue dal fatto che il sistema di funzioni {φ(x)ψm(x)} costinuisce una base ortonor-male di L2(Q). �

Capitolo 4

Operatori non limitati nello spazio diHilbert

Se la classe degli operatori limitati in uno spazio di Hilbert H gode di proprieta rilevanti, dovuteessenzialmente alla loro continuita, essa non esaurisce di certo la classe degli operatori che sirivelano interessanti per le applicazioni. Un esempio che gia da solo motiva lo studio deglioperatori non limitati e costituito dagli operatori differenziali. Una teoria degli operatori lineariche lasciasse fuori questa importantissima classe sarebbe certamente fortemente incompleta.

Esempio 4.0.1Consideriamo, per ora solo formalmente l’operatore di derivazione che agisce sullo spazio di Hilbert L2(I)dove I = [0, 1]. E intanto chiaro che quest’operatore non puo essere definito sull’intero spazio L2(I),perche esso contiene anche funzioni che non sono deivabili in alcun punto di I. Siamo dunque davanti allanecessita di selezionare un insieme di funzioni di L2(I) dove l’operatore puo agire e dare come risultatouna funzione di L2(I). Consideriamo, ad esempio, il sottospazio di L2(I)

D(A) =

{f ∈ L2(I) : ∃g ∈ L2(I) tale che f(x) = f(0) +

∫ x

0

g(t)dt.

}Le funzioni di D(A) sono dunque assolutamente continue e g(x) = f ′(x) q.o. Definiamo

(Af)(x) = g(x), f ∈ D(A).

Da quanto detto sopra, segue che (Af)(x) = f ′(x) quasi ovunque. L’operatore A definito in questo modonon e limitato. Per convincercene, consideriamo la successione di funzioni φn(x) = einx. E facile vedereche φn ∈ L2(I) e ‖φn‖ = 1, per ogni n ∈ N. Le funzioni φn sono di classe C∞ e, dunque appartengonocerto a D(A). Si ha

‖Aφn‖ = ‖inφn‖ = n→∞.�

4.1 Operatori chiusi e chiudibili

Definizione 4.1.1 Sia D(A) un sottospazio di H e A : D(A)→ H un ’applicazione lineare, cioe

A(αx+ βy) = αAx+ βAy ∀α, β ∈ C; ∀x, y ∈ H

58 4. Operatori non limitati nello spazio di Hilbert

Allora la coppia (A,D(A)) e un operatore lineare. D(A) e detto il dominio dell’ operatore A el’immagine R(A) di D(A) mediante A e detto immagine o range dell’ operatore.

Considereremo, in genere, operatori con dominio denso in H, cioe supporremo (D(A))⊥ = {0}

Definizione 4.1.2 Un operatore (B,D(B)) e detto un’estensione di (A,D(A)) se D(A) ⊆ D(B)e Ax = Bx, ∀x ∈ D(A). In questo caso, scriveremo A ⊆ B.

La continuita di un operatore e un concetto cosı utile da rendere necessario che si troviun’opportuna nozione che la sostituisca. La nozione di operatore chiuso svolge questo ruolo.

Definizione 4.1.3 Un operatore (A,D(A)) si dice chiuso se per ogni successione xn di elementidi D(A) con xn → x e Axn convergente in H risulta x ∈ D(A) e Ax = limAxn

Sia H×H il prodotto cartesiano di H per se stesso. In H×H si puo definire un prodotto scalareponendo

({x1, y1}, {x2, y2}) = (x1, x2) + (y1, y2).

E facile dimostrare che H×H e uno spazio di Hilbert con questo prodotto scalare. Lo spazio diHilbert cosı ottenuto si chiama somma diretta di H con se stesso e si indica con H⊕H.

Definizione 4.1.4 Si chiama grafico di un operatore lineare (A,D(A)) il sottoinsieme G(A) diH⊕H definito da

G(A) = { {x,Ax} : x ∈ D(A)}

Da questo momento, in tutti i casi in cui non vi sia possibilita di confusione, ometteremol’indicazione esplicita del dominio dell’operatore.

La seguente proposizione e un’immediata conseguenza delle precedenti definizioni.

Proposizione 4.1.5 L’operatore A e chiuso se, e soltanto se, il suo grafico e chiuso in H⊕H.

Se un operatore A non e chiuso, in forza della precedente definizione, si potrebbe pensare diestenderlo ad un operatore chiuso, considerando l’operatore che ha come grafico l’insieme chiusoG(A). Questo non e tuttavia sempre possibile perche, a priori, niente impedisce che G(A)contenga vettori del tipo {0, y} con y 6= 0. In questo caso e evidente che G(A) non puo essere ilgrafico di un operatore.

Definizione 4.1.6 Un operatore A e detto chiudibile se ammette un’ estensione chiusa.

Proposizione 4.1.7 L’operatore A e chiudibile se, e soltanto se, G(A) non contiene vettori deltipo {0, y} con y 6= 0.

4.1. Operatori chiusi e chiudibili 59

Dimostrazione – Sia B un operatore chiuso tale che A ⊆ B. Allora G(B) e chiuso e G(A) ⊆ G(B).Quindi G(A) non puo contenere vettori del tipo {0, y} con y 6= 0. Viceversa, supponiamo che G(A) noncontenga vettori del tipo {0, y} con y 6= 0 e definiamo

D(B) = {x ∈ H : {x, y} ∈ G(A) per qualche y ∈ H}.

E chiaro che D(A) ⊆ D(B). Se x ∈ D(B), allora esiste un unico y ∈ H tale che {x, y} ∈ G(A) perche seve ne fosse un altro, sia esso y′, {0, y − y′} apparterrebbe a G(A). Allora e lecito porre Bx = y. Dalladefinizione stessa segue che G(B) = G(A) e quindi B e un’ estensione chiusa di A. �

E allora chiaro che se A e chiudibile, esso ammette una minima estensione chiusa, detta chiusuradi A e indicata con A; si ha

G(A) = G(A).

Equivalentemente, si puo dire che A e l’operatore definito sul dominio

D(A) = {x ∈ H| : ∃{xn} ⊂ D(A) : xn → x e Axn e convergente} (4.1)

da

Ax = limn→∞

Axn (4.2)

} Osservazione 4.1.8 Nel caso particolare in cui (A,D(A)) e limitato, cioe esiste una costante M > 0tale che

‖Ax‖ ≤ M‖x‖ ∀x ∈ D(A)

e D(A) e denso in H, la chiusura A di A e un operatore ovunque definito in H. Infatti, se x ∈ H esisteuna successione {xn} ⊂ D(A) che converge ad x. Si ha

‖Axn −Axm‖ ≤ M‖xn − xm‖ → 0

La successione {Axn} e, dunque, di Cauchy in H e quindi converge ad un y ∈ H. Quindi dalle (4.1) e(4.2) si deduce che D(A) = H. E facile dimostrare che A e un operatore limitato in H. Ne segue che unoperatore A limitato e ovunque definito in H e chiuso.

Proposizione 4.1.9 Sia (A,D(A)) un operatore lineare. La forma sesquilineare positiva

(x, y)A = (x, y) + (Ax,Ay), x, y ∈ D(A)

definisce un prodotto interno in D(A). L’operatore A e chiuso se, e soltanto se, D(A) e unospazio di Hilbert rispetto alla norma ‖ · ‖A definita dal prodotto interno (·, ·)A.

Dimostrazione – Proviamo solo la seconda parte. Supponiamo che A sia chiuso e sia {xn} una succes-sione di Cauchy rispetto alla norma ‖x‖A = (‖x‖2 + ‖Ax‖2)1/2, x ∈ D(A). Allora, scelto ε > 0, per n,msufficientemente grandi, si ha

‖xn − xm‖A = ‖xn − xm‖2 + ‖A(xn − xm)‖2 ≤ ε2.

Dunque le successioni {xn} e {Axn} sono entrambe di Cauchy rispetto alla norma di H. Esistono dunquex, y ∈ H tali che xn → x e Axn → y. Dato che A e chiuso risulta x ∈ D(A) e y = Ax. Si verificafacilmente che ‖x − xn‖A → 0 e dunque D(A) e completo rispetto a ‖ · ‖A. Lasciamo al lettore ladimostrazione del viceversa. �


Il seguente teorema mostra che un operatore chiuso ma non limitato non puo essere ovunquedefinito. Per provare questo fatto e necessario tener conto della seguente proprieta degli spazidi Banach

Lemma 4.1.10 Sia X uno spazio di Banach, rispetto alla norma ‖ · ‖1. Se X e uno spazio diBanach anche rispetto ad una norma ‖ · ‖2 soddisfacente la condizione

‖ · ‖2 ≤ C‖ · ‖1

allora le due norme sono equivalenti. Esiste, quindi, una costante C ′ > 0 tale che

‖ · ‖1 ≤ C ′‖ · ‖2.

Possiamo ora dimostrare il seguente

Teorema 4.1.11 (del grafico chiuso) Se A e un operatore chiuso e ovunque definito allora Ae limitato.

Dimostrazione – In H introduciamo la norma ‖ · ‖A definita nella proposizione 4.1.9. Allora H ecompleto rispetto a questa norma. Evidentemente, si ha

‖x‖ ≤ (‖x‖2 + ‖Ax‖2)1/2 = ‖x‖A.

Applicando il lemma 4.1.10, esiste C ′ > 0 tale che

(‖x‖2 + ‖Ax‖2)1/2 = ‖x‖A ≤ C ′‖x‖, ∀x ∈ H.

Da questa disuguaglianza segue facilmente che A e limitato. �

Esempio 4.1.12Diamo un esempio di un operatore ovunque definito nello spazio di Hilbert H ma non limitato. Esso e,dunque, necessariamente non chiuso.

Sia H uno spazio di Hilbert separabile ed {en} una sua base ortonormale. Com’ e noto ogni spaziovettoriale ammette una base di Hamel contenente un prefissato insieme di vettori linearmente indipen-denti. Si tratta di una base in senso algebrico, cioe ogni vettore dello spazio si esprime come combinazionelineare finita di elementi della base. Supponiamo, dunque, che {vα}α∈I sia una famiglia di vettori linear-mente indipendenti di H tale che {en}∪ {vα}α∈I costituisca una base di Hamel di H. Se x ∈ H, x si puorappresentare in modo unico come

x =∑α∈F

λαvα +

n∑i=1

µiei

dove F e un sottoinsieme finito di I. Definiamo un operatore A nel modo seguente

Ax ≡∑α∈F

λαvα

A e, chiaramente, ovunque definito in H. Tenuto conto del fatto che {en} e una base ortonormale di H,si ha, per un fissato β ∈ I

vβ =

∞∑i=1

γiei

4.2. L’aggiunto di un operatore 61

Posto

sn ≡n∑i=1

γiei

risultaAsn = 0

mentreA(

limn→∞

sn

)= Avβ = vβ

Cioe A non e continuo; quindi A e, effettivamente, un operatore ovunque definito ma non limitato. �

4.2 L’aggiunto di un operatore

Sia (A,D(A)) un operatore lineare; indichiamo con D(A∗) l’insieme dei vettori y ∈ H per i qualiesiste un vettore z ∈ H tale che

(Ax, y) = (x, z) ∀x ∈ D(A) (4.3)

Se D(A) e denso in H, per ogni y ∈ D(A∗) esiste un unico vettore z soddisfacente la (4.3). Inquesto caso, allora, si puo definire un’ applicazione A∗ : D(A∗) → H ponendo A∗y = z ∀x ∈D(A∗). E un facile esercizio dimostrare che l’ applicazione A∗ e lineare e dunque (A∗, D(A∗)) eun operatore lineare.

E immediato dimostrare che se A ⊂ B allora B∗ ⊂ A∗.

Proposizione 4.2.1 Sia A un operatore di dominio denso. Allora A∗ e chiuso.

Dimostrazione – Sia yn una successione in D(A∗) tale che yn → y e A∗yn → v. Se x ∈ D(A) si ha,facendo uso della continuita del prodotto interno,

(Ax, y) = limn→∞

(Ax, yn) = limn→∞

(x,A∗yn) = (x, v)

questo implica che y ∈ D(A∗) e A∗y = v �

In quello che abbiamo detto fin qui, non c’ e nulla che garantisca che se A e densamentedefinito, anche A∗ lo e. Ed infatti non e cosı, come mostra il seguente esempio.

Esempio 4.2.2Sia f una funzione misurabile e limitata, ma tale che f 6∈ L2(R). Indichiamo con D(A) il seguentedominio

D(A) = {ψ ∈ L2(R) :

∫R|ψ(x)f(x)| dx <∞}

D(A) e denso perche contiene tutte le funzioni di L2(R) a supporto compatto. Fissiamo ora un vettoreψ0 ∈ L2(R) e definiamo Aψ = [ψ, f ]ψ0 per ψ ∈ D(A) dove si e posto [ψ, f ] =

∫R ψ(x)f(x) dx. Sia ora

φ ∈ D(A∗), si ha allora

(ψ,A∗φ) = (Aψ, φ) = ([ψ, f ]ψ0, φ)

= [ψ, f ](ψ0, φ) = (ψ, (ψ0, φ)f)

per ogni ψ ∈ D(A). Quindi dovrebbe essere A∗φ = (φ, ψ0)f . Poiche f 6∈ L2(R) questo e possibile solo se(ψ0, φ) = 0. Questo significa che D(A∗) = {φ0}⊥ e quindi D(A∗) non e denso. Per quel che si e visto,risulta, inoltre, A∗φ = 0 ∀φ ∈ D(A∗). �


La situazione descritta nel precedente esempio non puo verificarsi se A oltre ad avere dominiodenso e anche chiuso.

Teorema 4.2.3 Se A e chiuso e densamente definito, allora D(A∗) e denso in H. Inoltre,A∗∗ = (A∗)∗ esiste e A∗∗ = A

Dimostrazione – Cominciamo col definire un operatore V in H⊕H nel modo seguente

V{x, y} = {−y, x}.

L’operatore V e unitario e quindi V(M⊥) = [V(M)]⊥ (esercizio!) per ogni sottospazio M di H ⊕ H.Inoltre V2 = −I.

Sia G(A) il grafico di A. Poiche A e chiuso, G(A) e un sottospazio chiuso di H⊕H. Determiniamo

[V[G(A)]]⊥

{x, z} ∈ [V[G(A)]]⊥ ⇔ ({x, z}, {−Ay, y}) = 0 ∀y ∈ D(A)

⇔ −(x,Ay) + (z, y) = 0 ∀y ∈ D(A)

⇔ {x, z} ∈ G(A∗)

Quindi G(A∗) = [V[G(A)]]⊥

. Si ha allora

G(A) = G(A)⊥⊥ =[V2G(A)

]⊥⊥=

[V[VG(A)]⊥

]⊥= [VG(A∗)]⊥

Supponiamo adesso che D(A∗) non sia denso; allora esiste un w ∈ H con w 6= 0 e w ∈ D(A∗)⊥.Allora l’elemento {0, w} di H ⊕ H e ortogonale a tutti i vettori della forma {A∗y,−y} con y ∈ D(A∗).Cioe {0, w} ∈ [VG(A∗)]⊥ = G(A) e questo e impossibile.

Se A∗ ha dominio denso, essendo esso sempre chiuso, A∗∗ esiste ed ha dominio denso.E facile verificareche A ⊂ A∗∗ ma

G(A∗∗) = [V[G(A∗)]]⊥

= G(A)

e quindi A = A∗∗ �

Applicando il teorema precedente ad A∗ , quando questo ha dominio denso, si ha A∗ = A∗∗∗.

Esercizio 4.2.4 Sia A un operatore chiudibile e con dominio denso. Provare che A∗

= A∗ e cheA = A∗∗.

4.3 Le operazioni algebriche

Siano dati due operatori (A,D(A)) e (B,D(B)). La somma A + B di A e B e l’operatorelineare definito su D(A+B) = D(A) ∩D(B) da (A+B)x = Ax+Bx per ogni f ∈ D(A+B).Osserviamo che se D(A) e D(B) sono densi, in generale, D(A+B) non lo e. Inoltre la sommadi due operatori chiusi non e necessariamente un operatore chiuso.

Nessun problema sorge invece, ovviamente, per la moltiplicazione di uno scalare per unoperatore: se (A,D(A)) e un operatore lineare e λ ∈ C allora l’operatore (λA) e definito suD(λA) = D(A) da (λA)x = λ(Ax) ∀x ∈ D(A). E ovvio che se A e chiuso anche λA e chiuso.

4.4. Operatori simmetrici e autoaggiunti 63

Dati due operatori (A,D(A)) e (B,D(B)) il prodotto AB e definito su dominio D(AB) ={x ∈ D(B) : Bx ∈ D(A). Anche in questo caso niente garantisce che D(AB) sia denso ne cheAB sia chiuso, nell’ipotesi che A e B lo siano.

Esercizio 4.3.1 Sia A ∈ B(H) e B un operatore chiuso di dominio D(B). BA e chiuso nel suodominio naturale. Dimostrare che D(AB) = D(B). Si puo dire che AB e chiuso? Dare qualchecondizione aggiuntiva perche AB risulti chiuso.

Come si vede, dunque, gli operatori non limitati non si possono sommare e moltiplicarecon la stessa noncuranza con cui si sommano e si moltiplicano gli operatori limitati (che, comeabbiamo visto, costituiscono un’ algebra).

Per quanto riguarda il passaggio all’aggiunto valgono le regole seguenti:

(i) A∗ +B∗ ⊂ (A+B)∗

(ii) A∗B∗ ⊂ (BA)∗

(iii) (λA)∗ = λA∗

Naturalmente la (i) e la (ii) si intende che valgono quando entrambi i membri sono ben definiti;la (iii) vale invece sotto la ovvia condizione che esista A∗.

4.4 Operatori simmetrici e autoaggiunti

Nella descrizione matematica della Meccanica quantistica ad una certa grandezza fisica (osserva-bile) e associato un operatore lineare A che agisce nello spazio di Hilbert degli stati del sistema.Questo spazio di Hilbert e uno spazio L2(Rn) e, nel caso di una singola particella, il vettoreψ ∈ H rappresenta uno stato del sistema, nel senso che |ψ|2 fornisce la densita di probabilitadella funzione di distribuzione della probabilita. Il valor medio di A in questo stato e dato da

< A >ψ= (Aψ,ψ)

Il valor medio rappresenta, per cosı dire, il valore piu probabile che si ottiene facendo un ’gran‘numero di misure di A nello stato ψ. Questo numero e dunque, per sua natura, un numero reale.Questa e una condizione essenziale che deve essere soddisfatta dagli operatori che rappresentanoosservabili. Sia D(A) il dominio di A. Se (Ax, x) ∈ R, per ogni x ∈ D(A), dall’identita dipolarizzazione, si ha

(Ax, y) =1

4

3∑k=1

ik(A(x+ iky), x+ iky)

)=

1

4

3∑k=1

ik(x+ iky,A(x+ iky))

)= (x,Ay)

per ogni y ∈ D(A).


Questa proprieta (un operatore che la soddisfa sara detto simmetrico o hermitiano none tuttavia sufficiente perche l’operatore A possa rappresentare un’osservabile. Quello che sirichiede e che ad A e ad un vettore di stato ψ sia possibile associare un distribuzione di probabilitacioe una funzione FA,ψ(λ) della variabile reale λ, soddisfacente opportune proprieta di monotoniae di continuita, in modo che il valor medio di A nello stato ψ si possa esprimere, come previstodalla teoria della probabilita, come

< A >ψ= (Aψ,ψ) =

∫RλdFA,ψ(λ).

Questo e possibile se A e autoaggiunto nel senso che preciseremo nella sezione seguente.

4.4.1 Generalita

Definizione 4.4.1 Un operatore A, di dominio D(A) denso in H, e detto simmetrico (ohermitiano) se

(Ax, y) = (x,Ay), ∀x, y ∈ D(A)

Confrontando la definizione precedente con la definizione di aggiunto, segue subito che se A esimmetrico, D(A) ⊂ D(A∗) e che A∗x = Ax, per ogni x ∈ D(A), ovvero A ⊆ A∗. In generale,se la definizione 4.4.1 e verificata, A∗ e un’ estensione propria di A. Questo fatto suggerisce un’ulteriore definizione.

Definizione 4.4.2 Un operatore simmetrico A e detto autoaggiunto se A = A∗

Esercizio 4.4.3 Dimostrare che A e autoaggiunto se, e soltanto se, e chiuso ed A∗ e simmetrico.Provare, inoltre, che un operatore autoaggiunto e massimale, cioe che non ammette estensionisimmetriche proprie.

E evidente che se D(A) e denso, anche D(A∗) e denso; cosicche A∗ e chiuso e densamentedefinito. Dal Teorema 4.2.3 segue, allora, che A∗∗ e chiuso e densamente definito e si ha A ⊆A∗∗ ⊆ A∗ e quindi:

Proposizione 4.4.4 Ogni operatore simmetrico e chiudibile.

Definizione 4.4.5 Un operatore simmetrico (A,D(A)) e detto essenzialmente autoaggiunto seA e autoaggiunto.

4.4.2 Esempi

Esempio 4.4.6Sia H uno spazio di Hilbert separabile e {ek} una base ortonormale di H. Sia {ak} una successione nonlimitata di numeri reali. Un vettore x si H si rappresenta allora (in modo unico) nella forma


x =

∞∑k=1

λkek con

∞∑k=1

|λk|2 <∞.

Poniamo

D(A) =

{x =

∞∑k=1

λkek :

∞∑k=1

|akλk|2 <∞

}e

Ax =

∞∑k=1

akλkek, x ∈ D(A).

Dimostriamo che A e un operatore autoaggiunto. Per fare questo determiniamo A∗. Un vettore y =∑∞k=1 µkek appartiene a D(A∗) se, e soltanto se, esiste un vettore y∗ =

∑∞k=1 ξkek tale che

(Ax, y) = (x, y∗), ∀x ∈ D(A).

Cioe,∞∑k=1

akλkµk =

∞∑k=1

λkηk.

Da questa uguaglianza si deduce facilmente che deve essere ηk = akµk, per ogni k ∈ N. E poiche

‖y∗‖2 =

∞∑k=1

|ηk|2 =

∞∑k=1

|akµk|2 <∞,

risulta y ∈ D(A) e A∗y = Ay. Dunque, A e autoaggiunto. �

Esempio 4.4.7In L2([0, 1]), consideriamo l’operatore P definito sul dominio

D(P ) =

{f ∈ L2([0, 1]) : f(x) =

∫ x

0

g(y) dy per g ∈ L2([0, 1]), f(1) = f(0) = 0

}da

(Pf)(x) = −if ′(x) = −ig(x)

L’operatore P e, come si vede facilmente integrando per parti, simmetrico. Ma non e autoaggiunto. Ilsuo aggiunto P ∗ e infatti definito sul dominio

D(P ∗) =

{f ∈ L2([0, 1]) : f(x) =

∫ x

0

g(y) dy + f(0) per g ∈ L2([0, 1])

}da

(P ∗f)(x) = −if ′(x) = −ig(x)

Sia adesso S l’operatore definito, per un fissato valore di θ con 0 ≤ θ < 2π, sul dominio

D(S) ={f ∈ D(P ∗) : f(1) = eiθf(0)

}da

(Sf)(x) = −if ′(x) = −ig(x)

Integrando per parti, si vede facilmente che S e autoaggiunto. E chiaro che P ⊂ S ⊂ P ∗ e quindil’operatore P ammette infinite estensioni autoaggiunte (al variare di θ). �


Esempio 4.4.8In L2(R), consideriamo l’operatore Q definito sul dominio

D(Q) ={f ∈ L2(R) : xf(x) ∈ L2(R)

}da

(Qf)(x) = xf(x).

Il dominio D(Q) e denso perche contiene le funzioni di L2(R) a supporto compatto. Lasciamo al lettorela semplice verifica del fatto che Q e simmetrico. Q e autoggiunto? Calcoliamo Q∗. Se g ∈ D(Q∗) esisteg∗ ∈ L2(R) tale che ∫

Rxf(x)g(x)dx =

∫Rf(x)g∗(x)dx, ∀f ∈ D(Q)

Ovvero, ∫Rf(x)(xg(x)− g∗(x))dx = 0

Questa uguaglianza implica che xg(x) − g∗(x) e ortogonale a D(Q) che e denso. Dunque, g ∈ D(Q) eQ∗g = Qg. �

4.4.2.1 L’operatore di derivazione in R

Lo studio dell’autoaggiunzione dell’operatore Pf = −if ′ in L2(R) si presenta piu complicato eabbiamo bisogno di introdurre qualche nuova definizione.

Definizione 4.4.9 Sia f una funzione di L2(R). Diciamo che f ammette derivata debole inL2(R) se esiste una funzione g ∈ L2(R) tale che∫

Rf(x)φ′(x) = −

∫Rg(x)φ(x)dx, ∀φ ∈ C∞0 (R)

dove C∞0 (R) indica lo spazio delle funzioni infinitamente derivabili in R a supporto compatto.In questo caso, porremo g = Df . Si indica con W 1,2(R) il sottospazio delle funzioni di L2(R)che ammettono derivata debole in L2(R).

Lo spazio W 1,2(R) fa parte di una famiglia di spazi denominati spazi di Sobolev dal nome delmatematico russo che introdusse in concetto di derivata debole.

} Osservazione 4.4.10 Naturalmente se f ammette derivata f ′ in R, in senso ordinario, e se f ′ ∈ L2(R)allora Df = f ′ quasi ovunque.

Esercizio 4.4.11 Provare che la funzione

g(x) =

1 se − 1 < x < 0−1 se 0 < x < 10 altrove

e la derivata debole della funzione

f(x) =

{1− |x| se − 1 < x < 10 altrove.


Lo spazio W 1,2(R), che e un sottospazio denso di L2(R), perche contiene C∞0 (R), e dotatodi un suo proprio prodotto interno definito da

(f, g)w = (f, g) + (Df,Dg), f, g ∈W 1,2(R)

e, di conseguenza, della norma

‖f‖w = (‖f‖2 + ‖Df‖2)1/2.

Ovviamente possiamo considerare D come un operatore lineare definito nel dominio densoW 1,2(R). Mostriamo che

Proposizione 4.4.12 L’ operatore D, definito in W 1,2(R), e chiuso in L2(R).

Dimostrazione – Supponiamo, infatti, che {fn} sia una successione di funzioni di W 1,2(R) che convergead f nella norma di L2(R) e supponiamo che Dfn converga, sempre nella norma di L2(R), ad una funzioneg ∈ L2(R). Si ha, allora, ∫

Rfn(x)φ′(x)dx = −

∫R

(Dfn)(x)φ(x)dx, n ∈ N.

Tenuto conto che entrambi i membri di queste uguaglianze sono dei prodotti interni, si ottiene, passandoal limite, ∫

Rf(x)φ′(x)dx = −

∫Rg(x)φ(x)dx, n ∈ N.

Questa uguaglianza ci dice che f ∈W 1,2(R) e g = Df . �

Dalla proposizione 4.1.9 segue allora che

Proposizione 4.4.13 W 1,2(R) e completo rispetto alla norma ‖ · ‖w.

} Osservazione 4.4.14 E utile notare che, se indichiamo con D0 la restrizione di D a C∞0 (R), dalladefinizione stessa di derivata debole segue che D = −D∗0.

Proposizione 4.4.15 Vale l’uguaglianza D∗ = −D.

Dimostrazione – Una funzione g ∈ L2(R) appartiene al dominio di D∗ se, e soltanto se, esiste unafunzione g∗ ∈ L2(R), tale che

(Df, g) = (f, g∗), ∀f ∈W 1,2(R).

In particolare, risulta, quindi, per ogni φ ∈ C∞0 (R),∫Rφ′(x)g(x)dx =

∫Rφ(x)g∗(x)dx.

Questo implica che g(x) appartiene a W 1,2(R) e che Dg(x) = −g∗(x). Di conseguenza, g ∈ W 1,2(R) eD∗g = −Dg. �

Tenuto conto dell’osservazione 4.4.14 e della proposizione 4.4.15, si deduce pure che


Corollario 4.4.16 C∞0 (R) e denso in W 1,2(R) rispetto alla norma ‖ · ‖w.

Dimostrazione – Dalle uguaglianze D = −D∗0 e D∗ = −D, si deduce subito che D = D0. Dalladefinizione di chiusura segue, allora che, per ogni f ∈W 1,2(R) esiste una successione {ψn} di funzioni diC∞0 (R) tale che ‖f − ψn‖ → 0 e ‖D0ψn − D0f‖ → 0. Si ha dunque

‖f − ψn‖2w = ‖f − ψn‖2 + ‖Df − D0ψn‖2 = ‖f − ψn‖2 + ‖D0f − D0ψn‖2 → 0.

�

Corollario 4.4.17 L’operatore P definito in W 1,2(R) da

(Pf)x = −i(Df)(x), f ∈W 1,2(R)

e autoaggiunto.

Dimostrazione – Si ha infatti P ∗ = (−iD)∗ = iD∗ = i(−D) = −iD = P . �

Esercizio 4.4.18 Sia A un operatore autoaggiunto in D(A) e B un operatore definito in D(B).Supponiamo che esista un uperatore U unitario in H tale che UD(B) = D(A) e Bx = U−1AUx,per ogni x ∈ D(B). Allora B e autoaggiunto.

} Osservazione 4.4.19 Alla stessa conclusione si poteva giungere, piu rapidamente, utilizzando alcuneproprieta di W 1,2(R) in relazione alla trasformata di Fourier. Ricordiamo che la trasformata di Fouriersi definisce, inizialmente, per le funzioni dello spazio di Schwartz S(R) delle funzioni f di classe C∞ chesoddisfano la condizione

supx∈R|xm(Dnf)(x)‖ <∞, ∀m,n ∈ N.

Se f ∈ S(R), la trasformata di Fourier f(x) e definita da

f(x) =1√2π

∫Rf(y)e−ixydy.

Si prova che f ∈ S(R), per ogni f ∈ S(R) e che, per le norme L2, vale l’uguaglianza

‖f‖ = ‖f‖, ∀f ∈ S(R)

Il teorema d’inversione di Fourier mostra che f si riottiene dalla sua trasformata di Fourier f nel modoseguente

f(x) =1√2π

∫Rf(y)eixydy.

Il secondo membro della precedente uguaglianza e chiamato l’antitrasformata di Fourier di f . Ovviamente,anche l’antitrasformata conserva la norma di L2

L’operatore U : f → f e, dunque, isometrico nel sottospazio denso S(R) di L2(R). Esso ammettedunque un’estensione a tutto L2(R) che e ancora isometrico. Inoltre si prova che U e invertibile ed il suoinverso U−1 e proprio l’operatore che associa a g l’antitrasformata di Fourier di g. Per quanto riguarda lospazio W 1,2(R), l’uso della trasformata di Fourier riposta le proprieta dell’operatore P considerato sopraa quelle dell’operatore Q considerato nell’esempio 4.4.8. Si ha infatti

(a) f ∈W 1,2(R) se, e soltanto se, f ∈ D(Q)

(b) Pf = U−1QUf per ogni f ∈W 1,2(R).

Dunque P e il trasformato unitario dell’operatore autoaggiunto Q ed e, dunque, autoaggiunto esso stesso[vedi esercizio 4.4.18].


4.4.3 L’operatore A∗A

Se A ∈ B(H) e molto semplice provare che l’operatore A∗A e autoaggiunto e limitato. Se Anon e limitato, non e neanche evidente che il dominio di A∗A sia denso in H. Tuttavia, vonNeumann ha dimostrato che se A e chiuso, allora A∗A e un operatore autoaggiunto di dominiodenso in H. Premettiamo il seguente

Lemma 4.4.20 Sia (A,D(A)) un operatore autoaggiunto che ammetta inverso A−1. AlloraD(A−1) e denso in H e A−1 e autoaggiunto.

Dimostrazione – Chiaramente D(A−1) = R(A) := {y ∈ H : y = Ax per qualche x ∈ D(A)}. Proviamoche R(A) e denso in H. Se non lo fosse, esisterebbe z ∈ H, z 6= 0, tale che (Ax, z) = 0, per ogni x ∈ D(A).Questo implica che z ∈ D(A∗) = D(A) e (x,Az) = 0, per ogni x ∈ D(A). Dunque Az = 0 e, dato che Ae invertibile, z = 0, il che e una contraddizione.L’operatore (A−1)∗, dunque, esiste. Esso e simmetrico. Infatti, se x, y ∈ D(A−1) allora x = Ax′, y = Ay′,per certi x, y ∈ D(A). Dunque

(A−1x, y) = (A−1Ax′, Ay′) = (x′, Ay′) = (Ax′, y′) = (Ax′, A−1Ay′) = (x,A−1y).

Quindi A−1 ⊆ (A−1)∗.Proviamo che vale anche l’inclusione opposta. Sia y ∈ D((A−1)∗), allora

(A−1x, y) = (x, (A−1)∗y), ∀x ∈ R(A).

Posto x = Ax′, x′ ∈ D(A), risulta(x′, y) = (Ax′, (A−1)∗y).

Quest’ultima uguaglianza implica che (A−1)∗y ∈ D(A) e A(A−1)∗y = y. Dunque (A−1)∗ = A−1. �

Teorema 4.4.21 (di von Neumann) Sia A un operatore chiuso di dominio D(A) denso in H.Allora,

(i) l’operatore I + A∗A ha come immagine l’intero spazio di Hilbert H. Esso e invertibile; ilsuo inverso (I +A∗A)−1 e ovunque definito e limitato e si ha ‖(I +A∗A)−1‖ ≤ 1;

(ii) il dominio D(A∗A) dell’operatore l’operatore A∗A e denso in H e A∗A e autoaggiunto.

Dimostrazione – (i): Nel corso della dimostrazione del teorema 4.2.3 si e dimostrato che G(A∗) =[VG(A)]⊥. Dunque, ogni vettore {z, z′} di H⊕H si puo esprimere nella forma

{z, z′} = {x,Ax}+ {−A∗y, y}

per certi x ∈ D(A) e y ∈ D(A∗). In particolare, se z′ = 0 si avra

x−A∗y = z e Ax+ y = 0.

Questo implica che Ax = −y ∈ D(A∗) e z = x + A∗Ax. Visto che z e arbitrario in H, concludiamo cheR(I +A∗A) = H. Inoltre se x ∈ D(A∗A) si ha, tenendo presente che D(A∗A) ⊆ D(A),

‖(I +A∗A)x‖2 = ((I +A∗A)x, (I +A∗A)x) = (x, x) + 2(Ax,Ax) + (A∗Ax,A∗Ax) ≥ (x, x) = ‖x‖2.

Questa disuguaglianza mostra che 1 + A∗A e iniettivo e che il suo inverso ha norma non superiore ad 1.(ii) L’operatore (I + A∗A)−1 e simmetrico ed appartiene a B(H). Quindi esso e autoaggiunto. Questofatto implica, per il lemma 4.4.20 che D(A∗A) e denso in H In conclusione anche 1 + A∗A e A∗A sonoautoaggiunti. . �


Definizione 4.4.22 Sia (A,D(A)) un operatore di dominio denso. Si dice che A e positivo, esi scrive A ≥ 0 se

(Ax, x) ≥ 0 ∀x ∈ D(A)

Facendo uso dell’ identita di polarizzazione, si deduce facilmente che ogni operatore positivo esimmetrico. La definizione generalizza quella data a suo tempo per gli operatori limitati in H.

Proposizione 4.4.23 L’operatore A∗A e positivo.

Dimostrazione – Osservato che D(A∗A) ⊆ D(A) si ha, per ogni x ∈ D(A∗A),

(A∗Ax, x) = (Ax,Ax) ≥ 0.

�

Corollario 4.4.24 Se A e autoaggiunto, A2 e autoaggiunto e positivo.

} Osservazione 4.4.25 Come dimostreremo piu avanti, per ogni operatore autoaggiunto positivo A,esiste un operatore B, anch’esso autoaggiunto e positivo tale che B2 = A. Quest’operatore sara chiamatola radice di A e indicata con A1/2. In particolare, se A e un operatore chiuso, come abbiamo visto, A∗Ae autoaggiunto e positivo. L’operatore (A∗A)1/2, che si indica con |A|, e chiamato modulo di A.

Naturalmente se A e chiuso e densamente definito, anche A∗ lo e. Ha senso dunque conside-rare l’operatore AA∗ che, per le proposizioni precedenti, e autoaggiunto e positivo. In generale,A∗A 6= AA∗ e dunque |A| 6= |A∗|. Un operatore chiuso A tale che A∗A = AA∗ e detto normale.

Esempio 4.4.26Consideriamo ancora l’operatore P studiato nella sezione 4.4.2.1. L’operatore P 2 = −D2 e autoaggiunto.Il suo dominio e

D(P 2) = {f ∈ D(P ) : Pf ∈ D(P )}.

Ricordando che D(P ) = W 1,2(R) si deduce che D(P ) coincide con lo spazio delle funzioni di W 1,2(R) lacui derivata debole appartiene pure a W 1,2(R). Questo spazio e lo spazio di Sobolev W 2,2(R). Per essosi puo provare che valgono le seguenti affermazioni.

• W 2,2(R) e uno spazio di Banach rispetto alla norma

‖f‖2,2 = (‖f‖2 + ‖Df‖2 + ‖D2f‖2)1/2.

• Lo spazio C∞0 (R) e denso in W 2,2(R) rispetto alla norma ‖ · ‖2,2.

• f ∈W 2,2(R) se, e soltanto se, f ∈ D(Q2), dove f indica la trasformata di Fourier di f .

�


4.4.4 Criteri di autoaggiunzione

Come nel capitolo precedente, Se (A,D(A)) e un operatore lineare, indicheremo con N(A) edR(A) il nucleo e l’immagine di A. Cioe,

N(A) = {x ∈ D(A) : Ax = 0};R(A) = {y ∈ H : y = Ax per qualche x ∈ D(A)}.

Lasciamo al lettore di verificare che, se (A,D(A)) e un operatore chiuso, allora N(A) e unsottospazio chiuso di H. Con una dimostrazione simile a quella fatta per gli operatori limitatinel capitolo precedente [Lemma 3.3.8] si stabilisce l’uguaglianza

N(A∗) = R(A)⊥. (4.4)

Il teorema 4.4.28 fornisce il criterio fondamentale per stabilire se un operatore simmetrico e ono autoaggiunto. Per dimostrarlo premettiamo il seguente

Lemma 4.4.27 Sia A un operatore chiuso e simmetrico. Allora i sottospazi R(A − iI) edR(A+ iI) sono chiusi in H.

Dimostrazione – Proviamo soltanto che R(A− iI) e chiuso; la dimostrazione per R(A+ iI) e, infatti,analoga.Se x ∈ D(A) si ha

‖(A− iI)x‖2 = ‖Ax‖2 + ‖x‖2 (4.5)

Se {xn} e una successione in D(A) tale che (A − iI)xn → y0, allora la successione xn converge ad uncerto x0 ∈ H e la successione Axn e convergente. Poiche A e chiuso, si conclude che x0 ∈ D(A) e che(A− iI)x0 = y0. Quindi R(A− iI) e chiuso.

�

Teorema 4.4.28 Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) denso in H. Le seguentiaffermazioni sono equivalenti:

(a) A e autoaggiunto.

(b) A e chiuso e N(A∗ ± iI) = {0}.

(c) R(A± iI) = H

Dimostrazione – (a) =⇒ (b). Se A e autoaggiunto e evidentemente chiuso. Sia x ∈ N(A∗ − iI) =N(A− iI). Allora

(Ax, x) = i(x, x)

e(x,Ax) = −i(x, x)

Dall’uguaglianza dei primi membri segue allora che (x, x) = 0 e quindi x = 0. Analogamente si proval’affermazione relativa a A∗ + i.

(b) =⇒ (c) Sappiamo gia che R(A − iI) e chiuso in H. Se proviamo che R(A − iI) e denso in H,l’affermazione sara dimostrata. Se x ∈ R(A− iI)⊥, x ∈ N(A∗ + iI) e quindi x = 0.


(c) =⇒ (a) Sia x ∈ D(A∗). Poiche R(A−iI) = H esiste un y ∈ D(A) tale che (A−iI)y = (A∗−iI)x.Notando che x− y ∈ D(A∗) si perviene alla

(A∗ − iI)(x− y) = 0

Ma, analogamente a quanto si e provato nel primo punto della dimostrazione, N(A∗−iI) = R(A+iI)⊥ ={0}. Quindi x = y ∈ D(A). Questo prova che A e autoaggiunto. �

Con piccole modifiche ai precedenti argomenti si puo dimostrare la seguente

Proposizione 4.4.29 Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) denso in H. Leseguenti affermazioni sono equivalenti:

(a) A e essenzialmente autoaggiunto.

(b) N(A∗ ± iI) = {0}.

(c) R(A± iI) sono densi in H

Si e visto che nelle precedenti proposizioni un ruolo particolarmente importante e svolto dai sot-tospazi N(A∗± iI). Essi, in realta, forniscono informazioni complete sull’esistenza di estensioniautoaggiunte di un operatore simmetrico A.

Definizione 4.4.30 Sia (A,D(A)) un operatore simmetrico i sottospazi

M+ = N(A∗ + iI) M− = N(A∗ − iI)

sono detti sottospazi di difetto di A; le loro rispettive dimensioni n+ ed n− sono detti indici didifetto di A.

Un indice di difetto, o entrambi, possono anche essere ∞. Il teorema 4.4.28 ci garantisce cheun operatore chiuso e simmetrico A e autoaggiunto se, e soltanto se, i suoi indici di difetto sonoentrambi nulli.

Se A e un operatore chiuso, simmetrico di dominio denso D(A), allora D(A∗) puo esserereso uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto interno

(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗x,A∗y).

I sottospazi D(A), M+ e M− sono sottospazi chiusi di D(A), rispetto alla norma del nuovoprodotto scalare. Essi sono a due a due ortogonali. Si ha, infatti, se x ∈M+ e y ∈M−,

(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗x,A∗y) = (x, y) + (−ix, iy) = (x, y)− (x, y) = 0.

Inoltre y ∈ D(A)⊥′

(con ⊥′ indichiamo l’ortogonale preso in D(A∗)), se, e soltanto se,

(x, y)A∗ = (x, y) + (A∗x,A∗y) = (x, y) + (Ax,A∗y) = 0, ∀x ∈ D(A);

cioe, se, e soltanto se, A∗y ∈ D(A∗) e (A∗)2y = −y. E facile vedere che sia i vettori di M+

sia quelli di M− soddisfano entrambi questa condizione. Quindi M+ e M− sono entrambiortogonali a D(A).


Teorema 4.4.31 Sia A un un operatore chiuso, simmetrico di dominio denso D(A). Allora,

D(A∗) = D(A)⊕M+ ⊕M−

Dimostrazione – Alla luce della discussione precedente, e sufficiente provare che non esistono vettorinon nulli di D(A∗) ortogonali a D(A)⊕M+⊕M−. Supponiamo per assurdo che un tale vettore y esista.Come abbiamo visto sopra, dato che y e ortogonale a D(A), risulta

(x, y) = −(Ax,Ay), ∀x ∈ D(A)

da cui si deduce, come sopra, che A∗y ∈ D(A∗) e (A∗)2y = −y. Si ha allora

(A∗ + iI)(A∗ − iI)y = ((A∗)2 + I)y = 0.

Dunque (A∗ − iI)y ∈M+. Se z ∈M+ si ha, pero,

((A∗ − iI)y,−iz) = (A∗y,A∗z) + (y, z) = (y, z)A∗ = 0

perche y e ortogonale a D(A)⊕M+ ⊕M−. Dunque non puo che essere (A∗ − iI)y = 0. Cioe, y ∈M−.Ma y e ortogonale ad M− e quindi y = 0. �

L’equazione (4.5) implica facilmente che

‖(A− iI)x‖2 = ‖Ax‖2 + ‖x‖2 = ‖(A+ iI)x‖2, ∀x ∈ D(A).

Questa uguaglianza ci permette di affermare che l’operatore UA = (A − iI)(A + iI)−1 e unoperatore isometrico (e percio iniettivo) di R(A + iI) in R(A − iI). L’operatore UA e dettotrasformata di Cayley di A.

Proposizione 4.4.32 Un operatore chiuso e simmetrico A e autoaggiunto se, e soltanto se, lasua trasformata di Cayley e un operatore unitario di H in H.

Dimostrazione – L’operatore UA e unitario, se, e soltanto se, R(A+ iI) = R(A− iI) = H. Il teorema4.4.28 garantisce che questo accade se, e soltanto se, A e autoaggiunto.

�

} Osservazione 4.4.33 E facile verificare che, se UA e la trasformata di Cayley di A, alloraA = i(I + UA)(I − UA)−1.

Proposizione 4.4.34 Esiste una corrispondenza biunivoca tra le estensioni simmetriche di Ae le estensioni isometriche di UA.

La (4.4), il lemma 4.4.27 ed la proposizione precedente ci danno un’indicazione sul fatto che,affinche un operatore chiuso e simmetrico A ammetta un’estensione autoaggiunta deve esistereun operatore unitario U che ristretto a R(A+ iI) coincida con la trasformata di Cayley UA di A.Questo implica che la dimensione di R(A+ iI) e quella di R(A− iI) sono uguali. Saranno quindiuguali anche le loro codimensioni, cioe le dimensioni dei due sottospazi di difetto. Viceversase n+ = n−, esiste un operatore isometrico V definito su N(A∗ − iI) tale che V N(A∗ − iI) =N(A∗ + iI). Se si pone,

Ux =

{UAx se x ∈ R(A+ iI)V x se x ∈ N(A∗ − iI)


e si estende U per linearita a tutto H, si definisce un operatore unitario in H la cui restrizione adR(A+ iI) coincide, ovviamente, con UA. Posto B = i(I+U)(I−U)−1, si verifica senza difficoltache B e un’estensione autoaggiunta di A. Di conseguenza un operatore ammette estensioniautoaggiunte se, e soltanto se, i suoi indici di difetto sono uguali. Questo e il contenuto delseguente teorema, del quale omettiamo i dettagli della dimostrazione.

Teorema 4.4.35 (di von Neumann) Sia A un operatore simmetrico con dominio D(A) densoin H. Valgono le seguenti affermazioni:

(a) A e essenzialmente autoaggiunto se, e soltanto se, n+ = n− = 0.

(b) A ammette estensioni autoaggiunte se, e soltanto se, n+ = n−.

(c) A e massimale simmetrico (cioe, non ammette estensioni simmetriche proprie) se, esoltanto se, e chiuso e n+n− = 0.

Non daremo la dimostrazione completa del precedente teorema, limitandoci ad osservare che la(a) e soltanto una formulazione diversa della (a) della Proposizione 4.4.29.

Esempio 4.4.36L’operatore A definito sul dominio

D(A) =

{f ∈ L2(0,∞)|f(x) =

∫ x

0

g(y) dy per g ∈ L2(0,∞),

}da

(Af)(x) = if ′(x) = ig(x)

e simmetrico. A ha indici di difetto (0, 1) e quindi non ammette estensioni autoaggiunte. �

Esercizio 4.4.37 Determinare gli indici di difetto degli operatori P ed S dell’ Esempio 1.

4.5 Lo spettro di un operatore

Nel caso di un operatore le nozioni di risolvente e di spettro sono state introdotte nella sezione3.1. Vediamo come esse si generalizzano al caso di operatori non limitati.

Definizione 4.5.1 Sia (A,D(A)) un operatore chiuso e densamente definito. Il risolvente ρ(A)di A e il seguente sottoinsieme del piano complesso

ρ(A) = {λ ∈ C : ∃(A− λI)−1 ∈ B(H)}

Il complementare σ(A) di ρ(A) in C si chiama spettro di A

Se λ ∈ ρ(A), l’ operatore Rλ(A) = (A− λI)−1 si chiama operatore risolvente.

4.5. Lo spettro di un operatore 75

} Osservazione 4.5.2 Quando non vi sara pericolo di ambiguita, ometteremo l’indicazione dell’operatore A; scriveremo cioe Rλ invece di Rλ(A).

Definizione 4.5.3 Sia (A,D(A)) un operatore chiuso e densamente definito. Un numerocomplesso λ e detto un autovalore di A se esistono, in D(A) soluzioni non nulle dell’ equazione

Ax = λx

Le soluzioni corrispondenti sono dette autovettori di A.

E chiaro che ogni autovalore di A appartiene a σ(A).

Proposizione 4.5.4 Sia A un operatore chiuso. Valgono le seguenti affermazioni:

1. Rλ −Rµ = (λ− µ)RλRµ

2. ρ(A) e aperto.

Dimostrazione – (1): si dimostra esattamente come nel caso degli operatori limitati.

(2): Se λ0 ∈ ρ(A), esiste C > 0 tale che

‖(A− λ0I)x‖ ≥ C‖x‖ ∀x ∈ D(A)

Se |λ− λ0| < C2 ed x ∈ D(A) si ha

‖(A− λ)x‖ ≥ ‖(A− λ0I)x‖ − C

2‖x‖ ≥ C

2‖x‖

e quindi λ non e un autovalore di A; l’operatore A − λ ha quindi inverso limitato. Resta da provareche quest’ inverso e ovunque definito in H o, che e lo stesso, che, per ogni y ∈ H esiste una soluzione xdell’equazione

(A− λI)x = y

Sia xn =∑nk=1(λ − λ0)k−1Rkλ0

y. Osserviamo che l’operatore ARλ0e ovunque definito e che ARλ0

=

I+λ0Rλ0. Scegliamo ε tale che 0 < ε < 1 e sia δ < min{ε‖Rλ0

‖−1, C2 }. Se |λ−λ0| < δ, si ha, per m < n,

‖A(xn − xm)‖ =

∥∥∥∥∥An∑

k=m+1

(λ− λ0)k−1Rkλ0y

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

(λ− λ0)k−1ARkλ0y

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

(λ− λ0)k−1(I + λ0Rλ0)Rk−1λ0

y

∥∥∥∥∥≤ (1 + |λ0| ‖Rλ0

‖)‖y‖n∑

k=m+1

|λ− λ0|k−1‖Rλ0‖k−1

≤ (1 + |λ0| ‖Rλ0‖)‖y‖

n∑k=m+1

εk−1 → 0

per n,m→∞. Quindi la successione Axn e convergente.


Una stima dello stesso tipo di quella di sopra vale se vi si omette l’operatore A. Quindi anche la successionexn e convergente. Sia x il suo limite. Evidentemente,

x =

∞∑n=1

(λ− λ0)n−1Rnλ0y

Dal fatto che l’operatore A e chiuso segue che x ∈ D(A) e che Ax = limn→∞Axn. Si ha

(A− λI)x = (A− λ0I)x− (λ− λ0)x

=

∞∑n=1

(λ− λ0)n−1Rn−1λ0

y −∞∑n=1

(λ− λ0)nRnλ0y = y

�

E conveniente suddividere lo spettro di un operatore A in tre sottoinsiemi disgiunti nelmodo seguente:

Definizione 4.5.5 Sia A un operatore chiuso e densamente definito e λ ∈ σ(A)

(a) Diciamo che λ appartiene allo spettro puntuale, σp(A) se A− λI non e iniettivo o, equiva-lentemente, se λ e un autovalore di A.

(b) Diciamo che λ appartiene allo spettro continuo, σc(A) se (A− λI)−1 esiste, e densamentedefinito ma non e limitato.

(b) Diciamo che λ appartiene allo spettro residuo, σr(A) se (A − λI)−1 esiste, ma non edensamente definito.

Analizziamo adesso lo spettro di un operatore autoaggiunto. Come nel caso degli operatorilimitati, si prova che

Lemma 4.5.6 Sia A un operatore simmetrico. Allora

(i) Gli autovalori di A sono reali.

(ii) Autovettori corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali.

Teorema 4.5.7 Sia A un operatore autoaggiunto. Un numero λ ∈ C e un autovalore di A se,e soltanto se, R(A− λI) non e denso in H.

Dimostrazione – Sia λ un autovalore di A; allora λ e reale e Ax = λx per qualche 0 6= x ∈ D(A).Poiche

R(A− λI) = N(A∗ − λI)⊥ = N(A− λI)⊥ 6= H,

R(A− λI)) non e denso in H.Viceversa se R(A − λI) non e denso, N(A∗ − λI) = N(A − λI) 6= {0} quindi, λ e un autovalore di A ecoincide con λ perche A e simmetrico. �

Una conseguenza immediata del precedente teorema e la seguente

4.5. Lo spettro di un operatore 77

Proposizione 4.5.8 Lo spettro residuo di un operatore autoaggiunto e vuoto.

Dimostrazione – Infatti se λ ∈ σr(A) allora R(A− λI) non e denso in H; quindi λ e un autovalore. �

Dal teorema 4.4.28 si deduce facilmente che

Proposizione 4.5.9 Sia A un operatore chiuso e simmetrico di dominio D(A) denso in H. Seσ(A) ⊆ R, allora A e autoaggiunto.

Dimostrazione – Se σ(A) ⊆ R, allora ±i ∈ ρ(A). Dunque R(A± iI) = H e A e autoaggiunto. �

Il seguente teorema mostra che e vero pure il viceversa.

Teorema 4.5.10 Lo spettro di un operatore autoaggiunto e reale.

Dimostrazione – Proviamo che C \ R ⊆ ρ(A). Sia λ = a+ ib con b 6= 0. Allora λ non e un autovaloredi A (perche questi sono reali). Quindi (A− λI)−1 esiste; proviamo che e limitato e ovunque definito.

Sia y ∈ R(A− λI). Allora y = Ax− λx per qualche x ∈ D(A) e

‖y‖2 = ((A− a)x− ibx, (A− a)x− ibx)

= ‖(A− a)x‖2 + ib((A− a)x, x)− ib(x, (A− a)x) + b2‖x‖2

= ‖(A− a)x‖2 + b2‖x‖2

e quindi

‖x‖ ≤ 1

|b|‖y‖

o, che e lo stesso

‖(A− λI)−1y‖ ≤ 1

|b|‖y‖.

Cio prova che (A − λI)−1 e limitato. Inoltre, dato che λ non e un autovalore, dal teorema 4.5.7, segueche R(A − λI) e denso. Supponiamo che R(A − λI) 6= H. L’operatore (A − λI)−1, essendo limitato edi dominio denso, ha un’estensione continua (che coincide, evidentemente con la sua chiusura) a tuttolo spazio. L’ operatore (A − λI)−1 e quindi un operatore non chiuso (perche la chiusura lo contienepropriamente). Il che e impossibile perche, se A e chiuso, anche (A − λI)−1 lo e. Infatti, sia xn → x e(A− λI)−1xn convergente. Posto yn = (A− λI)−1xn, la successione yn converge ad un vettore y ∈ H e(A− λI)yn = xn converge anch’ essa. Questo conclude la dimostrazione. �

Nella dimostrazione precedente e stato implicitamente provato che

Proposizione 4.5.11 Sia A un operatore autoaggiunto e z ∈ C \ R. Allora

‖RA(z)‖ ≤ |=z|−1.

La Proposizione 4.5.11 puo essere resa piu precisa. Vale infatti il seguente

Teorema 4.5.12 Sia A un operatore autoaggiunto e λ ∈ ρ(A). Allora,

‖RA(λ)‖ ≤ [dist (λ, σ(A))]−1.


Non daremo qui la dimostrazione di questo teorema, ma useremo talvolta questo risultato.

Proposizione 4.5.13 Sia A un operatore autoaggiunto. Allora A ≥ 0 se, e soltanto se, σ(A) ⊆[0,+∞[.

Dimostrazione – Supponiamo che (Au, u) ≥ 0, per ogni u ∈ D(A). E sufficiente provare che se b > 0,l’operatore A+ b ha inverso ovunque definito e limitato. Intanto −b non puo essere un autovalore, perchel’equazione (A + b)u = 0 ha solo la soluzione u = 0. Quindi, visto che A e autoggiunto e dunque il suospettro residuo e vuoto, (A+ b)−1 esiste ed ha dominio denso. Si ha inoltre,

‖(A+ b)u‖2 = ((A+ b)u, (A+ b)u) = ‖Au‖2 + 2b(Au, u) + b2‖u‖2 ≥ b2‖u‖2.

Quindi (A+ b)−1, essendo chiuso, e ovunque definito e limitato. Dunque −b ∈ ρ(A).

Viceversa, se σ(A) ⊆ [0,+∞[, allora per ogni a > 0, −a ∈ ρ(A) e dist (−a, σ(A)) ≥ a. Quindi, per ilTeorema 4.5.12, se u ∈ D(A),

‖(A+ a)u‖ ≥ a‖u‖.

Questo implica che

a2‖u‖2 ≤ ‖(A+ a)u‖2 = ‖Au‖2 + 2a(Au, u) + a2‖u‖2,

o

(Au, u) ≥ −(2a)−1|Au‖2.

L’affermazione segue dall’arbitrarieta di a > 0. �

Esempio 4.5.14Determiniamo lo spettro dell’operatore Q considerato nell’esempio 4.4.8. Ricordiamo che D(Q) = {f ∈L2(R) : xf(x) ∈ L2(R)} e che Q e autoaggiunto.

Intanto, e chiaro che Q non ha autovalori, visto che non esistono, quale che sia λ ∈ C soluzioni nonnulle dell’equazione (Q−λ)f = 0. Quindi l’operatore (Q−λI)−1 esiste in ogni caso ed ha dominio densoin H, visto che lo spettro residuo di un operatore autoaggiunto e vuoto. Se λ ∈ C \R, la funzione 1

x−λ econtinua e limitata su R dunque,∫

R

∣∣∣∣ 1

x− λf(x)

∣∣∣∣2 dx ≤ 1

|=λ|2

∫R|f(x)|2dx, ∀f ∈ L2(R).

Questo ci dice soltanto che σ(Q) ⊆ R, com’era gia previsto dalla teoria. Ma possiamo affermare cheσ(Q) = R. Infatti, se λ ∈ R, l’operatore di moltiplicazione per 1

x−λ non e ovunque definito in R. Peresempio, la funzione

f(x) =

{ √|x− λ| se x ∈ [λ− 1, λ+ 1]

0 altrove

non appartiene dominio di (Q− λI)−1. �

Proposizione 4.5.15 Sia A un operatore autoaggiunto in D(A) e B un operatore definito inD(B). Supponiamo che esista un operatore U unitario in H tale che UD(B) = D(A) e Bx =U−1AUx, per ogni x ∈ D(B). Allora σ(B) = σ(A).

4.6. Commutazione di operatori 79

Dimostrazione – Sappiamo gia [Esercizio 4.4.18] che B e autoaggiunto. Se λ ∈ C, si ha

λ ∈ ρ(B) ⇔ (B − λI)−1 ∈ B(H)⇔ (U−1AU − λI)−1 ∈ B(H)

⇔ U−1(A− λI)−1U ∈ B(H)⇔ (A− λI)−1 ∈ B(H)

⇔ λ ∈ ρ(A).

�

Esempio 4.5.16La proposizione precedente ci permette di dimostrare che lo spettro dell’operatore P studiato nella sezione4.4.2.1 e pure l’intera retta reale. Infatti, basta tener conto dell’osservazione 4.4.19 che P si ottiene da Qper trasformazione unitaria mediante la trasformata di Fourier. �

Esercizio 4.5.17 Determinare lo spettro dell’operatore Q2 di moltiplicazione per x2 nel suo dominionaturale e, tenendo conto di quanto visto nell’esempio 4.4.26, determinare lo spettro dell’operatoreP 2 definito in W 2,2(R).

4.6 Commutazione di operatori

Un’ altra nozione di cui avremo bisogno nel seguito e quella di commutazione di due operatori.Se A e B sono due operatori ovunque definiti in H il fatto che essi commutano e definito, inmodo naturale, dicendo che ABx = BAx per ogni x ∈ H.

La cosa non e altrettanto semplice se si considerano operatori non ovunque definiti. Se (A,D(A))e (B,D(B) sono due tali operatori si potrebbe essere tentati di dire che essi commutano seABx = BAx per ogni x ∈ D(AB) ∩D(BA). Questa definizione non e, tuttavia, soddisfacenteper varie ragioni, la prima delle quali sta nel fatto che, molto spesso D(AB) ∩ D(BA) = {0}!La nozione di commutazione sarebbe pertanto troppo debole per essere utile.

La commutazione e, invece, ben definita, se uno dei due operatori e limitato.

Definizione 4.6.1 Sia (A,D(A)) un operatore lineare e B un operatore limitato. Si dice cheA e B commutano se B : D(A)→ D(A) e ABx = BAx ∀x ∈ D(A).

4.7 La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto

Nel Capitolo 2 abbiamo studiato le proprieta spettrali degli operatori compatti. In particolare,abbiamo visto che ogni operatore simmetrico e compatto A ammette una rappresentazione deltipo

A =

∞∑i=1

λiPi

dove λi sono gli autovalori di A e Pi i proiettori sui sottospazi generati dagli autovettori cor-rispondenti. Ci chiediamo adesso se questo procedimento ha un corrispondente nel caso piugenerale di un operatore autoaggiunto (limitato o non limitato) che non sia compatto. Perrispondere abbiamo bisogno della nozione di famiglia o misura spettrale.


Definizione 4.7.1 Una famiglia spettrale sulla retta R e una famiglia E(λ) di operatori diproiezione, dipendenti dal parametro reale λ, soddisfacente le seguenti condizioni:

(a) E(λ) ≤ E(µ) o, equivalentemente, E(λ)E(µ) = E(λ) per λ ≤ µ;

(b) limε→0+

E(λ+ ε)x = E(λ)x ∀x ∈ H;

(c) limλ→−∞

E(λ)x = 0 e limλ→+∞

E(λ)x = x, ∀x ∈ H.

} Osservazione 4.7.2 Una famiglia spettrale {E(λ)} definisce una misura a valori operatori su R nelmodo seguente: si comincia con il considerare un intervallo del tipo ∆ =]λ, µ] e si pone

E(∆) = E(µ)− E(λ).

La misura dell’intervallo chiuso [λ, µ] e definita da E([λ, µ]) = E({λ}) + E(∆). La misura di un puntonon e necessariamente nulla ed e definita come

E({λ}) = limε→0+

E(]λ− ε, λ]).

Se {E(λ)} e una famiglia spettrale, ponendo

αx(λ) = (E(λ)x, x) x ∈ H con ‖x‖ = 1

si definisce una funzione reale della variabile reale λ che gode delle seguenti proprieta

(a1) αx(λ) ≤ αx(µ) per λ ≤ µ;

(b1) limε→0+

αx(λ+ ε) = αx(λ);

(c1) limλ→−∞

αx(λ) = 0 e limλ→+∞

αx(λ) = 1.

Le funzioni β(λ) soddisfacenti le (a1),(b1) e (c1) definiscono le cosiddette misure di Stiltjesrispetto alle quali e possibile definire, per funzioni φ abbastanza regolari (per es. continue),integrali su intervalli limitati [a, b] di R, del tipo cioe∫ b

aφ(λ) dβ(λ)

o, anche, integrali impropri, nel senso abituale,∫ ∞−∞

φ(λ) dβ(λ).

Quindi una famiglia spettrale consente di definire integrali di funzioni.

Nel caso della misura definita da una famiglia spettrale {E(λ)} ha senso anche definireintegrali del tipo ∫ b

aφ(λ)d(E(λ)x, y), x, y ∈ H.

Infatti, la funzione a valori complessi (E(λ)x, y) e a variazione limitata e la sua variazione totalenon supera ‖x‖‖y‖.

4.7. La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto 81

Teorema 4.7.3 Sia {E(λ)} una famiglia spettrale sulla retta reale. Poniamo,

D(B) =

{x ∈ H :

∫Rλ2 d(E(λ)x, x) <∞

}.

Allora esiste un unico operatore autoaggiunto B, di dominio D(B) tale che

(Bx, y) =

∫Rλ d(E(λ)x, y) ∀y ∈ H.

Dimostrazione – Il primo passo della dimostrazione consiste nel dimostrare che D(B) e denso in H. Sex ∈ H si pone xn = (E(n) − E(−n))x. Dalla (c) della definizione 4.7.1 segue che ‖x − xn‖ → 0. Restada vedere che xn ∈ D(B). Si ha∫

Rλ2 d(E(λ)xn, xn) =

∫Rλ2 d(E(λ)(E(n)− E(−n))x, (E(n)− E(−n))x)

=

∫ n

−nλ2 d(E(λ)x, x) ≤ n2

∫Rd(E(λ)x, x) = n2‖x‖2 <∞

Se x ∈ D(B), vale la disuguaglianza∣∣∣∣∫Rλd(E(λ)x, y)

∣∣∣∣ ≤ (∫Rλ2 d(E(λ)x, x)

)1/2

‖y‖.

Infatti, se [α, β] e un intervallo limitato, e {∆k; k = 1, . . . , n} una divisione in intervalli senza puntiinterni in comune, scelto, per ogni k un punto λk ∈ ∆k, si ha∣∣∣∣∣

n∑k=1

λk(E(∆k)x, y)

∣∣∣∣∣ ≤n∑k=1

|λk|(E(∆k)x,E(∆k)y)|

≤

(n∑k=1

λ2k(E(∆k)x, x)

)1/2( n∑k=1

(E(∆k)y, y

)1/2

≤

(n∑k=1

λ2k(E(∆k)x, x)

)1/2

‖y‖.

La quantita in parentesi nell’ultimo termine converge, per n→∞, a∫ βαλ2d(E(λ)x, x). Quindi,∣∣∣∣∣

∫ β

α

λd(E(λ)x, y)

∣∣∣∣∣ ≤ ‖y‖∫ β

α

λ2d(E(λ)x, x).

Tenuto conto che α, β sono arbitrari, si passa facilmente alla convergenza dei corrispondenti integraliimpropri e alla disuguaglianza ∣∣∣∣∫

Rλd(E(λ)x, y)

∣∣∣∣ ≤ ‖y‖∫Rλ2d(E(λ)x, x). (4.6)

Sia adesso x un vettore fissato in D(B) e definiamo

Lx(y) :=

∫Rλ d(y,E(λ)x).


Si ha, dalla (4.6),

|Lx(y)| =∣∣∣∣∫

Rλ(y,E(λ)x)

∣∣∣∣ ≤ C‖y‖.Il funzionale lineare Lx e dunque limitato. Il Lemma di Riesz garantisce, allora l’esistenza di un vettorex∗ ∈ H tale che Lx(y) = (y, x∗). Posto Bx = x∗ si definisce un operatore lineare, di dominio D(B), taleche

(y,Bx) =

∫Rλ d(y,E(λ)x) ∀y ∈ H.

Verifichiamo che B e simmetrico. Infatti, se x, y ∈ D(B),

(y,Bx) =

∫Rλ d(y,E(λ)x) =

∫Rλ d(E(λ)x, y) =

∫Rλ d(x,E(λ)y) = (x,By) = (By, x).

Per dimostrare del fatto che B e autoaggiunto, proviamo che il suo spettro e reale. Infatti, ponendo perz ∈ C \ R,

D(S(z)) =

{x ∈ H :

∫R

1

|λ− z|2d(E(λ)x, x) <∞

},

e osservando che 1|λ−z|2 ≤

1|=z|2 , si vede facilmente che D(S(z)) = H e che l’operatore S(z) definito su

D(S(z)) da

S(z)y =

∫R

1

λ− zd(Eλ)y

e limitato. Si ha, poi

(B − zI)S(z)x =

∫R

(λ− z)dE(λ)S(z)x

=

∫R

(λ− z)dE(λ)

∫R

1

µ− zdE(µ)x

=

∫R

(λ− z)d∫ λ

−∞

1

µ− zdE(µ)x

=

∫R

(λ− z) 1

λ− zdE(λ)x = x.

Queste uguaglianze provano che S(z), che e ovunque definito e limitato, coincide con l’operatore risolventeRz, per ogni z ∈ C \ R. Dunque σ(B) ⊆ R. �

} Osservazione 4.7.4 Nella dimostrazione precedente si e usato il fatto, non dimostrato in queste note,che una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale e valida anche per gli integralidefiniti dalle misure di Stiltjes.

Il seguente teorema costituisce uno dei risultati piu profondi dell’analisi degli operatori estabilisce il viceversa del teorema precedente.

Teorema 4.7.5 (I teorema spettrale) Sia (A,D(A)) un operatore autoaggiunto in H. Alloraesiste un’ unica famiglia spettrale {E(λ)} sulla retta reale tale che A = B; cioe, A coincidecon l’operatore definito da {E(λ)}. L’ operatore A commuta con ogni operatore limitato B checommuta con tutti gli E(λ)

Dimostrazione – Di questo teorema esiste in letteratura una varieta di dimostrazioni, tutte piuttostolunghe e tecnicamente complesse. Il punto centrale della dimostrazione consiste nella costruzione dellafamiglia spettrale {E(λ)} associata ad A. Allo scopo di mantenere questo corso entro limiti ragionevoli,ci limitiamo ad indicare, senza entrare nei dettagli, i passi principali della dimostrazione.

4.7. La decomposizione spettrale di un operatore autoaggiunto 83

Passo 1. Per z ∈ C \R, z = a+ ib, b > 0 si considera la funzione φ(z) = (Rzx, x) dove x ∈ H. Si provache φ(z) e analitica in =z > 0, che bφ(ib) ≥ 0 e che supb>0 bφ(ib) <∞.

Passo 2. Si utilizza un teorema sulle funzioni a valori complessi che garantisce, nelle condizioni elencatesopra, l’esistenza di una funzione ω(λ;x), crescente nella variabile reale λ, tale che

φ(z) =

∫R

dω(λ;x)

λ− z.

Questa funzione, se si richiedono la continuita da destra e la condizione limλ→−∞ ω(λ;x) = 0, eunivocamente determinata.

Passo 3. Si prova poi che l’uguaglianza sopra stabilita e valida anche se =z < 0 e si definisce poi

ω(λ;x, y) =1

4

3∑k=0

ikω(λ;x+ iky), x, y ∈ H.

Passo 4. Si prova che ω(λ;x, y) e, per ogni λ ∈ R, una forma sesquilineare limitata in H×H.

Passo 5. Si utilizza il teorema 1.2.20 per stabilire, per ogni λ ∈ R, l’esistenza di un operatore E(λ) ∈B(H) tale che

ω(λ;x, y) = (E(λ)x, y), ∀x, y ∈ H.

Passo 6. Si prova che gli E(λ) sono proiettori e che {E(λ)} e una famiglia spettrale sulla retta.

Passo 7. Si definisce l’operatore B, la cui esistenza e stabilita dal teorema 4.7.3.

Passo 8. Si prova infine, con una tecnica simile a quella adoperata alla fine della dimostrazione delteorema 4.7.3, che l’operatore B cosı ottenuto coincide con A.

�

} Osservazione 4.7.6 Dalla rappresentazione spettrale di un operatore autoaggiunto A discendono iseguenti tre fatti.

1. Se x ∈ D(A), si ha

‖Ax‖2 =

∫Rλ2d(E(λ)x, x)

∫Rλ2d‖E(λ)x‖2.

2. Se ∆ e un insieme di Borel di misura finita, risulta E(∆)x ∈ D(A), per ogni x ∈ H, perche∫Rλ2d(E(λ)E(∆)x,E(∆)x) =

∫∆

λ2d(E(λ)x, x) <∞.

3. Nelle ipotesi del punto precedente, l’operatore AE(∆) e ovunque definito e limitato.

Esempio 4.7.7Consideriamo in L2(R) l’operatore Q definito sul dominio

D(Q) ={f ∈ L2(R) : xf ∈ L2(R)

}da

(Qf)(x) = xf(x) f ∈ D(q).

Poniamo

eλ(x) =

{1 per x ≤ λ0 per x > λ

cioe eλ e la funzione caratteristica di (−∞, λ]. �


Per ogni λ, l’operatore E(λ) : f(x) ∈ L2(R) → eλ(x)f(x) ∈ L2(R) e un proiettore e si verificafacilmente che {E(λ)} e una famiglia spettrale per la quale risulta

Qf =

∫ ∞−∞

λ dE(λ)f

} Osservazione 4.7.8 La teoria spettrale degli operatori autoaggiunti puo farci apparire piu chiaro ilmotivo per cui richiediamo che gli operatori che rappresentano osservabili siano non soltanto simmetrici,il che basterebbe ad assicurare la realta di eventuali autovalori o, piu in generale dei valori medi (Af, f),ma autoaggiunti. Per capire meglio tutto cio e necessario tornare alla interpretazione probabilistica dellameccanica quantistica. In questo contesto, una coppia costituita da una grandezza fisica, cioe un’ osser-vabile e da uno stato del sistema puo essere considerata come una variabile aleatoria cioe una funzione cheassume valori, in modo casuale, in un certo insieme di valori. Cioe, se da un lato non ha senso chiedersi“ Che risultato da una misura dell’ osservabile A in un certo stato ψ del sistema? ”, ha senso invece porsila domanda “ Quant’ e la probabilita che una misura di A nello stato ψ del sistema dia un risultato cheappartiene ad un certo intervallo I di valori? ”In teoria della probabilita, come si sa, ad una variabile aleatoria X si fa corrispondere una funzione diripartizione F (λ) definita da

F (λ) = prob{X ≤ λ}

e la derivata di F rispetto a λ, se esiste, fornisce la cosiddetta densita di probabilita di X.Il valor medio della variabile aleatoria X e allora definito come∫ ∞

−∞λ dF (λ).

Se A e un’osservabile e ψ uno stato, consideriamo la variabile aleatoria m(A,ψ) che fornisce il valore diuna misura di A nello stato ψ; indichiamo con F (A,ψ, λ) la sua funzione di ripartizione; cioe

F (A,ψ, λ) = prob{m(A,ψ} ≤ λ}

Il valor medio di A nello stato ψ e dato da

< A >ψ=

∫ ∞−∞

λ dF (A,ψ, λ)

D’altra parte gia sappiamo che questo valor medio e anche dato da

< A >ψ= (Aψ,ψ).

Ora, se A e un operatore autoaggiunto, il teorema spettrale ci consente di scrivere

(Aψ,ψ) =

∫ ∞−∞

λ d(E(λ)ψ,ψ) =

∫ ∞−∞

λ d‖E(λ)ψ‖2

E naturale quindi procedere all’ identificazione

F (A,ψ, λ) = (E(λ)ψ,ψ) = ‖E(λ)ψ‖2.

E chiaro a questo punto che l’ assunzione che un’ osservabile si debba rappresentare con un operatoreautoaggiunto e ben motivata dalla necessita di determininare la funzione di ripartizione della probabilita.

Un’ altra importante conseguenza del teorema spettrale consiste nella possibilita di definirele funzioni di un dato operatore autoaggiunto A.

4.8. Famiglia spettrale e spettro 85

Teorema 4.7.9 Sia A un operatore autoaggiunto, di dominio D(A) denso in H ed {E(λ)} lafamiglia spettrale di A. Se φ(·) e una funzione di Borel su R allora

φ(A) =

∫ ∞−∞

φ(λ) dE(λ)

e un operatore chiuso definito sul dominio denso

D(φ(A)) =

{x ∈ H :

∫ ∞−∞|φ(λ)|2 d(E(λ)x, x <∞)

}Se φ e a valori reali allora φ(A) e autoaggiunto. Se la funzione φ e limitata, l’operatore φ(A) elimitato.

Il precedente teorema e lo strumento essenziale per il cosiddetto calcolo funzionale con ilquale si fa corrispondere ad una funzione un operatore.

E interessante notare le seguenti regole di calcolo. Siano φ e ψ due funzioni soddisfacenti leipotesi del teorema 4.7.9; allora

1. (αφ)(A) = αφ(A) ∀α ∈ C

2. (φ+ ψ)(A) ⊇ φ(A) + ψ(A)

3. (φψ)(A) ⊇ φ(A)ψ(A)

4. φ(A)∗ = φ(A)

Ovviamente, nel caso in cui φ e ψ sono limitate nelle relazioni di sopra vale l’ uguaglianza. Unaltro caso in cui nella (3) vale l’ uguaglianza e quello in cui ψ = φn, con n intero positivo, perchela convergenza dell’integrale di |φn+1(λ)|2 implica la convergenza dell’ integrale di |φn(λ)|2.Procedendo di passo in passo si perviene alla

(φn)(A) = [φ(A)]n n = 1, 2, . . . .

In particolare, si ha

An =

∫ ∞−∞

λn dE(λ)

Da questa si deduce che tutte le potenze intere positive dell’ operatore autoaggiunto A sonoanch’esse autoaggiunte. Se A ≥ 0, si puo dimostrare che sono autoaggiunte anche tutte lepotenze reali positive e, se A−1 esiste, anche le potenze reali negative di A. In particolare, seA ≥ 0, esiste la radice quadrata di A. L’operatore A1/2 ha, infatti, la proprieta: (A1/2)2 = A.

4.8 Famiglia spettrale e spettro

4.8.1 Il secondo teorema spettrale e le sue conseguenze

La conoscenza della famiglia spettrale determina completamente lo spettro dell’operatore. Infatti


Teorema 4.8.1 (II teorema spettrale) Sia {E(λ)} la famiglia spettrale dell’ operatore autoag-giunto A e λ0 un numero reale. Allora

(i) λ0 6∈ σ(A)⇔ E(λ) e costante in un intorno di λ0.

(ii) λ0 e un autovalore ⇔ E(λ) e discontinua in λ0.

(iii) λ0 ∈ σc(A)⇔ E(λ) e continua in λ0, ma non e costante in ogni intorno di λ0.

Dimostrazione – Dimostriamo la (i). Cominciamo con il supporre che E(λ) sia costante in un intornodi ]λ0 − ε, λ0 + ε[. L’uguaglianza

‖(A− λ0I)x‖2 =

∫R

(λ− λ0)2d(E(λ)x, x)

implica che

‖(A− λ0I)x‖2 =

∫ λ0−ε

−∞(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) +

∫ λ0+ε

λ0−ε(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) +

∫ +∞

λ0+ε

(λ− λ0)2d(E(λ)x, x).

L’integrale tra λ− ε e λ+ ε e, ovviamente, nullo; la funzione (λ − λ0)2 e maggiore o uguale di ε2 inciascuno dei due intervalli restanti. Quindi,

‖(A− λ0I)x‖2 ≥ ε2‖x‖2

L’operatore A − λ0I ha, dunque, inverso limitato. Questo basta per affermare che λ0 ∈ ρ(A) perchealtrimenti dovrebbe appartenere allo spettro residuo che e vuoto.Adesso supponiamo che λ0 ∈ ρ(A). Allora, esiste ε > 0 tale che, per ogni x ∈ D(A)

‖(A− λ0I)x‖ ≥ ε‖x‖.

L’uguaglianza precedente e equivalente alla∫R

(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) ≥ ε2∫Rd(E(λ)x, x) (4.7)

Supponiamo adesso che la famiglia spettrale E(λ) non sia costante in nessun intorno di λ0. Siaη < ε. Allora esiste y ∈ H tale che (E(λ0 + η) − E(λ0 − η))y 6= 0. Applichiamo la disuguaglianza (4.7)al vettore

x = (E(λ0 + η)− E(λ0 − η))y

che appartiene a D(A). Si ottiene∫ λ0+η

λ0−η(λ− λ0)2d(E(λ)y, y) ≥ ε2

∫ λ0+η

λ0−ηd(E(λ)y, y),

che e impossibile perche ∫ λ0+η

λ0−η(λ− λ0)2d(E(λ)y, y) ≤ η2

∫ λ0+η

λ0−ηd(E(λ)y, y).

Dimostriamo la (ii). Supponiamo che E(λ) sia discontinua in λ0 e definiamo

Px := limδ→0

(E(λ0)− E(λ0 − δ))x, x ∈ H


L’operatore P e un proiettore non nullo e l’ operatore AP e ovunque definito e limitato [Osservazione4.7.6]. Si ha

(APx, x) = limδ→0

(A(E(λ0)− E(λ0 − δ))x, x) = limδ→0

∫Rλ(χλ0(λ))− χλ0−δ(λ))d(E(λ)x, x)

dove χα(λ) indica la funzione caratteristica dell’intervallo ]−∞, α].Osserviamo che

λ(χλ0(λ)− χλ0−δ(λ))→ µλ0

(λ) =

{λ0 se λ = λ0

0 altrove

e che

|λ(χλ0(λ))− χλ0−δ(λ)| ≤ |λ0|.

Il teorema di convergenza dominata implica, allora, che

limδ→0

∫Rλ(χλ0

(λ))− χλ0−δ(λ))d(E(λ)x, x) =

∫Rµλ0

(λ)d(E(λ)x, x) = λ0(Px, x). (4.8)

Per verificare l’ultima uguaglianza, scegliamo δ > 0 e poniamo

vδ(λ) =

{λ0 se λ ∈]λ0 − δ, λ0 + δ[0 altrove

.

Allora vδ(λ)→ µλ0(λ) per δ → 0 e |vδ(λ)| ≤ |λ0|. Applicando il teorema di convergenza dominata, si ha∫

Rµλ0

(λ)dE(λ)x = limδ→0

∫ λ0+δ

λ0−δλ0dE(λ)x

= limδ→0

(λ0(E(λ0 + δ)− E(λ0 − δ))x)

= limδ→0

(λ0(E(λ0)− E(λ0 − δ))x)

= λ0Px.

La (4.8) a sua volta, implica che APx = λ0Px per ogni x ∈ H e quindi λ0 e un autovalore.Proviamo il viceversa.Sia x ∈ D(A), x 6= 0 tale che Ax− λ0x = 0. Si ha, allora,

∫R

(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) = ‖Ax− λ0I‖2 = 0.

Se ε > 0, dall’uguaglianza precedente si deduce che

∫ λ0−ε

−∞(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) = 0.

Ma ∫ λ0−ε

−∞(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) ≥ ε2

∫ λ0−ε

−∞d(E(λ)x, x) = ε2‖E(λ0 − ε)x‖2,

perche se λ ∈]−∞, λ0 − ε[, allora (λ− λ0)2 ≥ ε2. In modo analogo,

0 =

∫ +∞

λ0+ε

(λ− λ0)2d(E(λ)x, x) ≥ ε2∫ +∞

λ0+ε

d(E(λ)x, x) = ε2‖x− E(λ0 + ε)x‖2.


Dunquelimε→0

E(λ0 + ε)x = x e limε→0

E(λ0 − ε)x = 0.

Di conseguenza, E(λ) e discontinua in λ0.

La (iii) segue per esclusione dalle precedenti. �

Corollario 4.8.2 Sia A un operatore autoaggiunto. Un numero reale λ0 appartiene allo spettroσ(A) di A se, e soltanto se, E(λ0 + ε)− E(λ0 − ε) 6= 0, per ogni ε > 0.

4.8.2 Spettro discreto e spettro essenziale

Sia λ0 ∈ σ(A). Poniamo Pλ0,ε := E(λ0 + ε)−E(λ0 − ε). L’operatore APλ0,ε e, ovunque definitoe limitato [Osservazione 4.7.6]. Vogliamo adesso calcolare il limite (in senso forte) lim

ε→0APλ0,ε.

Per ogni x ∈ H,

APλ0,εx =

∫Rλ(χλ0+ε(λ))− χλ0−ε(λ))dE(λ)x.

Per ε→ 0, si ha

λχλ0+ε(λ))− χλ0−ε(λ)→ µλ0(λ) =

{λ0 se λ = λ00 altrove

.

Inoltre

|λ(χλ0(λ))− χλ0−δ(λ)| ≤ |λ0|.

Il teorema di convergenza dominata implica, allora, che

limε→0

∫Rλ(χλ0+ε(λ))− χλ0−ε(λ))dE(λ)x =

∫Rµλ0(λ)dE(λ)x.

Procedendo come nella dimostrazione del teorema 4.8.1, si prova che∫Rµλ0(λ)dE(λ)x = lim

δ→0(λ0(E(λ0 + δ)− E(λ0 − δ))x) = λ0(E(λ0)− E(λ−0 ))x.

Posto quindi Pλ0 := E(λ0)− E(λ−0 ), risulta

limε→0

APλ0,εx =

{0 se λ0 ∈ σc(A)λ0Pλ0x se λ0 ∈ σp(A)

.

Se λ0 ∈ σp(A), per ε → 0, risulta Pλ0,εx → Pλ0x e APλ0,εx converge. Dunque, Pλ0x ∈ D(A) elimε→0

APλ0x = APλ0x. In conclusione, ogni vettore del sottospazio Pλ0H e un autovettore di A.

I proiettori Pλ0,ε considerati sopra conducono ad un’altra classificazione dei punti dellospettro.

Definizione 4.8.3 Sia λ0 ∈ σ(A).


(i) Si dice che λ0 ∈ σess(A), lo spettro essenziale di A, se Pλ0,εH ha dimensione infinita perogni ε > 0.

(ii) Si dice che λ0 ∈ σd(A), lo spettro discreto di A, se esiste ε > 0 tale che Pλ0,εH hadimensione finita.

} Osservazione 4.8.4 Chiaramente, σ(A) = σd(A) ∪ σess(A). Ma e anche, σ(A) = σp(A) ∪ σc(A):in altre parole, la nuova suddivisione dello spettro corrisponde ad aver spostato insieme con lo spettrocontinuo di A, gli autovalori di molteplicita infinita. Per esempio se A e un operatore autoaggiuntocompatto il suo spettro essenziale puo non essere vuoto, perche 0 puo essere un autovalore di molteplicitainfinita.

Definizione 4.8.5 Sia A un operatore autoggiunto e λ0 ∈ R. Una successione {xn} di vettoridi D(A) e detta una successione di Weyl per λ0 se ‖xn‖ = 1 e lim

n→∞‖Axn − λ0xn‖ → 0.

Teorema 4.8.6 Sia A un operatore autoggiunto e λ0 ∈ R. λ0 ∈ σ(A) se, e soltanto se, esisteuna successione di Weyl per λ0.

Dimostrazione – Sia λ0 ∈ σ(A). Allora o λ0 ∈ σp(A) oppure λ0 ∈ σc(A). Nel primo caso esiste

x ∈ D(A), ‖x‖ = 1, tale che Ax− λx = 0. E sufficiente, in questo caso, scegliere xn = x per dimostrarel’affermazione. Consideriamo adesso il caso in cui λ0 ∈ σc(A). Per definizione, l’operatore (A− λ0I)−1 edefinito nell’insieme denso R(A−λ0I), ma non e limitato. Esiste dunque una successione {yn} di vettoridi R(A− λ0I) tale che ‖yn‖ = 1, per ogni n ∈ N e ‖(A− λ0I)−1yn‖ → ∞. Definiamo

xn =(A− λ0I)−1yn‖(A− λ0I)−1yn‖

, n ∈ N.

Si ha allora ‖xn‖ = 1 e

(A− λ0I)xn =yn

‖(A− λ0I)−1yn‖→ 0.

Viceversa, supponiamo che esista una successione di Weyl {xn} per λ0 ed ammettiamo, per assurdo, cheλ0 ∈ ρ(A). Dunque esiste (A − λ0)−1 ∈ B(H). Posto yn = (A − λ0I)xn, n ∈ N, risulta yn → 0, peripotesi. Ma questo implica che (A − λ0I)−1yn = xn → 0. Questo e impossibile, perche ‖xn‖ = 1, perogni n ∈ N. �

Corollario 4.8.7 Sia λ0 ∈ σ(A). λ0 ∈ σess(A) se, e soltanto se, esiste una successione di Weyl{xn} per λ0 costituita da vettori a due a due ortogonali.

Dimostrazione – Supponiamo che esista una successione di Weyl {xn} per λ0 costituita da vettori adue a due ortogonali. Per definizione, risulta (A − λ0I)xn → 0. Se fosse λ0 ∈ σd(A), esisterebbe ε > 0tale che Pλ0,εH ha dimensione finita. Questo e equivalente a dire che Pλ0,ε e compatto. Di conseguenza,


Pλ0,εxn → 0 dato che xn → 0 debolmente. Si ha dunque

‖(A− λ0I)xn‖2 =

∫R

(λ− λ0)2d(E(λ)xn, xn)

≥∫ λ0−ε

−∞(λ− λ0)2d(E(λ)xn, xn) +

∫ +∞

λ0+ε


≥ ε2

(∫ λ0−ε

−∞+

∫ +∞

λ0+ε

+

∫ λ0+ε

λ0−ε−∫ λ0+ε

λ0−εd(E(λ)xn, xn)

)

=

∫Rd(E(λ)xn, xn)−

∫ λ0+ε

λ0−εd(E(λ)xn, xn)

= ε2(‖xn‖2 − ‖Pλ0,εxn‖2)

Per n→∞ si ha, alloralimn→∞

‖(A− λ0I)xn‖2 ≥ ε2

che e impossibile. Dunque λ0 ∈ σess(A).Viceversa, se λ0 ∈ σess(A), o λ0 e un autovalore di molteplicita infinita oppure e un elemento dello spettrocontinuo di A. Nel primo caso caso, nell’autospazio relativo a λ0 e possibile determinare una successioneortonormale di autovettori. Questa successione soddisfa in modo ovvio le richieste. Se, invece, λ0 ∈ σc(A),risulta Pλ0,ε 6= 0 per ogni ε > 0. Consideriamo la successione non crescente di proiettori {Pλ0,

1n}. Sia

y1 ∈ Pλ0,1H tale che Pλ0,12Pλ0,1y1 = 0. Definiamo x1 =

Pλ0,1y1‖Pλ0,1y1‖

. Sia, adesso, y2 ∈ Pλ0,12H un vettore

tale che Pλ0,13Pλ0,

12y2 = 0. Definiamo x2 =

Pλ0,

12y1

‖Pλ0,

12y1‖ . Si procede via via in questo e si ottiene una

successione ortonormale {xk} di vettori di D(A). Poiche Pλ0,1nxn = xn, risulta

‖(A− λ0I)xn‖2 = ‖(A− λ0I)Pλ0,1nxn‖2 =

∫ λ0− 1n

λ0− 1n


≤ 1

n2

∫ λ0− 1n

λ0− 1n

d(E(λ)xn, xn) =1

n2‖Pλ0,

1nxn‖2 =

1

n2‖xn‖2 → 0.

�

Teorema 4.8.8 Un numero λ0 appartiene a σd(A) se, e soltanto se,

(i) λ0 e punto isolato di σ(A)

(ii) λ0 e autovalore di molteplicita finita.

Dimostrazione – Supponiamo che siano verificate (i) e (ii). Allora, se λ0 e punto isolato di σ(A), esisteε > 0 tale che ]λ0 − ε, λ0 + ε[∩σ(A) = {λ0}. Dunque ]λ0 − ε, λ0[⊂ ρ(A). Questo implica che E(λ) ecostante in ]λ0− ε, λ0[ e quindi E(λ) = E(λ−0 ) per ogni λ ∈]λ0− ε, λ0[. In modo simile, E(λ) e costante in]λ0, λ0 + ε[. Quindi, E(λ) = E(λ+

0 ) = E(λ0), per ogni λ ∈]λ0, λ0 + ε[. Quindi Pλ0,ε = E(λ0)−E(λ−0 ) 6= 0,perche λ0 ∈ σ(A). Quindi λ0 e un autovalore di A ed essendo per ipotesi di molteplicita finita, appartienea σd(A).Viceversa, se λ0 ∈ σd(A) esso e, per definizione, un autovalore di molteplicita finita. Resta da provareche e un punto isolato di σ(A). Se cosı non fosse, λ0 sarebbe un punto di accumulazione di σ(A). Quindiesisterebbe una successione {λk} di elementi di σ(A) convergente a λ0. Per ogni k, scegliamo un ak > 0in modo che gli intervalli ]λk − ak, λk + ak] siano a due disgiunti. Di conseguenza, i proiettori E(λk +


ak)−E(λk−ak) sono non nulli e a due a due ortogonali. Per ogni k sia xk = E(λk +ak)−E(λk−ak)xk,con ‖xk‖ = 1. Si ha,

‖(A− λ0)xk‖2 =

∫ λk+ak

λk−ak(λ− λ0)2d‖E(λ)xk‖2 ≤ max{(λk + ak − λ0)2, (λk − ak − λ0)2}‖xk‖2 → 0.

Quindi, {xk} e una successione di Weyl di vettori a due a due ortogonali. Ne segue che λ0 ∈ σess(A),contro l’ipotesi. �

Definizione 4.8.9 Un operatore autoaggiunto A e detto di spettro discreto se σ(A) = σd(A).

} Osservazione 4.8.10 Per un operatore di spettro discreto la rappresentazione spettrale stabilita nelteorema 4.7.5 assume una forma particolarmente semplice:

Ax =

∞∑k=1

λkPk

dove i λk sono gli autovalori e Pk = E(λk) − E(λ−k ). Questa semplificazione e dovuta al fatto che tuttii punti della retta reale che non sono autovalori appartengono al risolvente di A e, dunque, la famigliaspettrale e costante nell’ intervallo compreso tra due autovalori successivi.

Proposizione 4.8.11 Se A e un operatore di spettro discreto, esiste una base ortonormale diH costituita da autovettori di A.

Dimostrazione – Sia E(λ) la famiglia spettrale di A. Per ogni x ∈ H risulta

x =

∫RdE(λ)x =

∞∑k=1

Pkx,

per quanto osservato sopra. In ogni sottospazio PkH selezioniamo una base ortonormale (necessariamentefinita) di autovettori ek,1, . . . , ek,`k . Visto che A e simmetrico, autovettori corrispondenti ad autovaloridistinti sono ortogonali. Il sistema di vettori cosı ottenuto costituisce una base ortonormale di H. �

Teorema 4.8.12 Se A e un operatore autoaggiunto di spettro discreto e dimH =∞, allora Ae necessariamente non limitato.

Dimostrazione – La Proposizione 4.8.11 implica che gli autovalori distinti sono necessariamente infiniti,altrimenti lo spazio H sarebbe di dimensione finita. D’altra parte, In ogni intervallo [−N,N ], N ∈ Ncade un numero finito di autovalori di A. Infatti se cosı non fosse, in uno di questi intervalli si potrebbetrovare una successione {λk} di autovalori. A meno di passare ad una sottosuccessione, si puo supporreche λk → λ ∈ [−N,N ]. Per ogni k, scegliamo un autovettore xk, con ‖xk‖ = 1. Gli xk sono a due a dueortogonali e costituiscono una successione di Weyl per λ; infatti,

‖Axk − λxk‖ = |λk − λ|‖xk‖ → 0.

Dal corollario precedente segue che λ ∈ σess(A); il che e impossibile. �

} Osservazione 4.8.13 Se lo spazio H e di dimensione infinita, dal Teorema 4.8.12 deduciamo che,sup |λk| non puo essere finito. Infatti, in questo caso, A sarebbe ovunque definito e, quindi, limitato.


Il seguente teorema che non dimostriamo mostra che alcuni rilevanti operatori di Schrodingercon potenziale V (x) limitato inferiormente hanno spettro discreto.

Teorema 4.8.14 Sia V (x) una funzione continua in R, a valori reali e tale che

V (x) ≥ 1, ∀x ∈ R

e

lim|x|→∞

V (x) = +∞.

Allora l’ operatore

Hoo = − d2

dx2+ V (x)

definito in C∞0 R e essenzialmente autoaggiunto e positivo. La sua chiusura H e un operatoredi spettro discreto. Gli autovalori sono tutti semplici (hanno cioe molteplicita 1). Ordinandogli autovalori in ordine crescente λ0 < λ1 < λ2 < · · · , ogni autofunzione ψk, relativa al k-simoautovalore, ha esattamente k zeri.

Il teorema 4.8.14 fornisce, come si vede, un buon numero di informazioni sull’operatore H,quando V soddisfa le proprieta richieste e queste informazioni sono indipendenti dalla specificaforma di V .

Esempio 4.8.15Sia

Hoo =1

2

(− d2

dx2+ x2

),

l’operatore hamiltoniano dell’ oscillatore armonico (si sono poste uguali a 1 tutte le costanti fisiche)definito in C∞0 R e essenzialmente autoaggiunto; la sua chiusura H e un operatore positivo di spettrodiscreto con le proprieta descritte nel teorema 4.8.14. Basta applicarlo, infatti, con V (x) = x2 + 1.L’aggiunta dell’ identita non altera le proprieta spettrali di H. Tuttavia in questo caso, e possibilecalcolare esplicitamente autovalori ed autofunzioni di H.

Tuttavia per farlo e piu conveniente considerare l’operatore Ho che agisce come Hoo ma su un dominiodiverso. Poniamo

D = {p(x)e−x2/2; p(x) polinomio su C}.

Questo e un sottospazio denso di L2(R) che ha intersezione nulla con C∞0 R. Si puo dimostrare, tuttavia,che le chiusure di Hoo e di Ho coincidono.

Definiamo i seguenti due operatori, definiti su D a valori in D stesso:

A =1√2

(x+

d

dx

)A† =

1√2

(x− d

dx

),

che sono usualmente chiamati, rispettivamente, operatore di annichilazione e operatore di creazione.

E facile verificare che A† ⊆ A∗ e che valgono le seguenti identita:

• AA†f −A†Af = f, ∀f ∈ D;

• Hof = A†Af + 12f = AA†f − 1

2f, ∀f ∈ D.


Per provare queste due uguaglianze occorre tener conto della regola di commutazione canonica ddx (xf)−

x dfdx = f , per ogni f ∈ D.

Consideriamo adesso una funzione ψ0 che soddisfi Aψ0 = 0 e ‖ψ0‖ = 1. Si puo scegliere ψ0(x) =

π−1/4e−x2/2. Allora, Hoψ0 = 1

2ψ0. Cioe ψ0 e un autovettore di Ho con autovalore 12 .

Osserviamo adesso che se φ e un autovettore di Ho con autovalore λ, allora A†φ e autovettore di Ho

con autovalore λ+ 1. Infatti,

HoA†φ = A†AA†φ+

1

2A†φ

= A†(Hoφ+1

2φ) +

1

2A†φ

= λA†φ+1

2A†φ+

1

2A†φ

= (λ+ 1)A†φ.

Di conseguenza, per ogni n ∈ N, (A†)nψ0 e un autovettore di Ho con autovalore n + 1. Visto che(A†)nψ0 ∈ D, esistono dei polinomi pn(x) tali che

((A†)nψ0)(x) = pn(x)e−x2/2.

Se si definisceψn = (n!)−1/2(A†)nψ0

si prova che ‖ψn‖ = 1, per ogni n ∈ N. Inoltre i vettori ψn, essendo autovettori corrispondenti adautovalori distinti, sono ortogononali. Costituiscono quindi una sistema ortonormale. Si dimostra chele funzioni ψn(x), dette funzioni di Hermite, costituiscono una base ortonormale di L2(R). I polinomi

Hn(x) per i quali vale l’uguaglianza ψn(x) = Hn(x)e−x2/2 sono detti polinomi di Hermite.

�

Esaminiamo adesso lo spettro dell’operatore φ(A) dove φ e una funzione reale continua inR e A un operatore autoaggiunto.

Supponiamo che λ0 ∈ σ(A). L’operatore φ(A) e autoaggiunto quindi, se indichiamo con{F (µ)} la sua famiglia spettrale, avremo

φ(A) =

∫RµdF (µ). (4.9)

D’altra parte, il teorema sul calcolo funzionale ci garantisce che, se {E(λ)} e la famiglia spettraledi A si puo anche scrivere

φ(A) =

∫Rφ(λ)dE(λ). (4.10)

Esaminiamo, per semplicita, il caso in cui φ sia continua e strettamente crescente. Se nella (4.9)si opera il cambiamento di variabile µ = φ(λ) si perviene a∫

Rφ(λ)dF (φ(λ)) =

∫Rφ(λ)dE(λ).

L’unicita della famiglia spettrale vuole allora che sia

F (φ(λ)) = E(λ), ∀λ ∈ R.


Se λ0 ∈ σp(A), la famiglia spettrale E(λ) ha un salto, E(λ0) − E(λ−0 ), in λ0. Visto che φe continua, F (µ) ha un salto in φ(λ0). Quindi φ(λ0) e un autovalore di φ(A). In particolare,se φ e strettamente crescente, il sottospazio degli autovettori corrispondenti a φ(λ0) e lo stessodi quello degli autovettori corrispondenti a λ0, perche F (φ(λ0))−F (φ(λ0)

−) = E(λ0)−E(λ−0 ).Analogamente se E(λ) e continua ma non costante in ogni intorno di λ0, cioe, se λ0 ∈ σc(A),allora anche F (φ(λ) ha la stessa proprieta. Dunque,

{φ(λ);λ ∈ σ(A)} ⊆ σ(φ(A)).

Ragionando sulla funzione inversa φ−1 si perviene a stabilire l’uguaglianza dei due insiemi.Abbiamo provato cosı, in un caso particolare, il seguente teorema.

Teorema 4.8.16 (Spectral mapping theorem) Se A e autoaggiunto e φ e una funzione continuasu σ(A), allora

σ(φ(A)) = {φ(λ);λ ∈ σ(A)} = φ(σ(A)).

Non daremo la dimostrazione completa di questo teorema. Osserviamo soltanto che non solonon e richiesta la stretta monotonia di φ, ma neppure che φ sia una funzione reale.

Esempio 4.8.17Consideriamo il caso in cui l’operatore autoaggiunto A ammetta inverso limitato, A−1. Allora, certamen-te, 0 6∈ σ(A) e si ha

σ(A−1) = {λ−1;λ ∈ σ(A)}.

�

Esempio 4.8.18Sia A autoaggiunto e z0 ∈ ρ(A), allora

σ(Rz0(A)) = {(λ− z0)−1;λ ∈ σ(A)}.

Questo e un esempio di un caso in cui φ(A) non e autoaggiunto. �

Una condizione perche l’operatore autoaggiunto A abbia spettro discreto ci viene propriodall’operatore risolvente.

Teorema 4.8.19 Sia A un operatore autoaggiunto e supponiamo che esista z0 ∈ ρ(A) tale chel’operatore risolvente Rz0(A) sia compatto. Allora

(i) A e un operatore di spettro discreto.

(ii) Rz(A) e compatto per ogni z ∈ ρ(A).

Dimostrazione – (i): Come abbiamo visto nell’esempio 4.8.18, se z0 ∈ ρ(A),

σ(Rz0(A)) = {(λ− z0)−1;λ ∈ σ(A)}.

4.9. Il teorema di Stone 95

Dato che Rz0(A) e compatto il suo spettro consiste di punti isolati che hanno, al piu, 0 come punto diaccumulazione. Quindi σ(A) e costituito di punti isolati con unico possibile punto di accumulazione +∞.Esaminiamo gli autospazi.

Ax = λ0x ⇔ (A− z0I)x = (λ0 − z0)x

⇔ (A− z0I)−1(A− z0I)x = (λ0 − z0)(A− z0I)−1x

⇔ 1

λ0 − z0x = (A− z0I)−1x.

Da queste equivalenze si deduce che x e autovettore di A relativo all’autovalore λ0 se, e soltanto se, x eanche autovettore di (A−z0I)−1 relativo all’autovalore 1

λ0−z0 . Dunque i sottospazi corrispondenti hannodimensione finita. Quindi, A ha spettro discreto.(ii): Per provare la (ii), se z ∈ ρ(A), la prima formula del risolvente si scrive

Rz(A) = Rz0(A)(1 + (z − z0)Rz(A)).

Dunque Rz(A) e prodotto di un operatore compatto, Rz0 , per uno limitato. Esso e, percio, compatto. �

4.9 Il teorema di Stone

Sia A un operatore autoaggiunto (limitato o no). Per mezzo del calcolo funzionale stabilito nelteorema 4.7.9, si puo definire l’operatore eitA in corrispondenza alla funzione limitata eitλ (t eun parametro reale).

Teorema 4.9.1 Sia A un operatore autoaggiunto e definiamo U(t) = eitA. Allora

(a) Per ogni t ∈ R, U(t) e un operatore unitario e U(t+ s) = U(t)U(s) per ogni t, s ∈ R.

(b) Se x ∈ H e t→ t0, allora U(t)x→ U(t0)x

(c) Se x ∈ D(A), U(t)x−xt → iAx per t→ 0.

(d) Se limt→0U(t)x−x

t esiste, allora x ∈ D(A).

Dimostrazione – La (a) e una conseguenza immediata del calcolo funzionale.

Per provare la (b) osserviamo che

‖eitAx− x‖2 =

∫R|eitλ − 1|2 d(E(λ)x, x)

Poiche |eitλ − 1|2 e dominata dalla funzione integrabile h(λ) = 4 e poiche, per ogni λ ∈ R,

|eitλ − 1|2 → 0 per t→ 0

dal teorema di convergenza dominata di Lebesgue si deduce che ‖U(t)x − x‖2 → 0. Quindi t 7→ U(t) efortemente continua in t = 0. Per provare la continuita in un punto arbitrario t0, basta osservare cheU(t− t0)x→ x per t− t0 → 0 e quindi U(t0)U(t− t0)x = U(t)x→ U(t0)x per t→ t0

Proviamo ora la (c). La funzione eitλ−1t converge, ovviamente, a iλ per t tendente a 0. Inoltre∣∣∣∣eitλ − 1

t

∣∣∣∣ ≤ |λ|


l’affermazione segue, di nuovo, dal teorema di convergenza dominata di Lebesgue.

Proviamo, infine la (d). Definiamo

D(B) =

{y ∈ H : lim

t→0

U(t)y − yt

esiste

}e poniamo iBy = limt→0

U(t)y−yt . Un semplice calcolo mostra che B e simmetrico. Dalla (c) B ⊃ A e

quindi B = A �

Definizione 4.9.2 Una funzione t 7→ U(t) soddisfacente le condizioni (a) e (b) del precedenteteorema e detta un gruppo ad un parametro di operatori unitari fortemente continuo.

Il seguente teorema, noto come teorema di Stone, afferma che ogni gruppo ad un parametrodi operatori unitari fortemente continuo si puo esprimere come l’esponenziale di un operatoreautoaggiunto.

Teorema 4.9.3 Sia U(t) un gruppo ad un parametro di operatori unitari (fortemente continuo)nello spazio di Hilbert H. Allora, esiste un operatore autoaggiunto A in H tale che U(t) = eitA.

Dimostrazione – Sia φ ∈ C∞0 (R) e per ogni x ∈ H definiamo un nuovo vettore

xφ =

∫ ∞−∞

φ(t)U(t)x dt

Per la continuita forte di U(t) l’integrale puo essere inteso nel senso di Riemann. Indichiamo con Dl’insieme di tutte le combinazioni lineari finite di tutti i vettori del tipo xφ con x ∈ H e φ ∈ C∞0 (R). Siajε(t) il nucleo regolarizzante definito a partire dalla funzione

j(t) =

{γe

11−t2 |t| < 1

0 |t| ≥ 1,

che appartiene a C∞0 (R) (γ e scelto in modo che l’integrale su R dia 1), ponendo

jε(t) =1

εj

(t

ε

).

allora

‖xjε − x‖ =

∥∥∥∥∫ ∞−∞

jε(t)(U(t)x− x) dt

∥∥∥∥≤

(∫ ∞−∞

jε(t) dt

)sup

t∈[−ε,ε]‖U(t)x− x‖.

Poiche U(t) e fortemente continuo, D e denso.

Per xφ ∈ D calcoliamo(U(s)− I

s

)xφ =

∫ ∞−∞

φ(t)

(U(s+ t)− U(t)

s

)x dt

=

∫ ∞−∞

φ(τ − s)− φ(τ)

sU(τ)x dτ

→ −∫ ∞−∞

φ′(τ)U(τ)x dτ

= x−φ′

4.9. Il teorema di Stone 97

poiche [φ(τ − s)− φ(τ)]/s converge uniformemente a −φ′(τ). Per xφ ∈ D, definiamo

Axφ = −ix−φ′ .

Si noti che U(t) : D → D, A : D → D e che U(t)Aξ = AU(t)ξ per ξ ∈ D. Inoltre se xφ, xψ ∈ D, si ha,come si vede facilmente

(Axφ, xψ) = (xφ, Axψ)

e quindi A e un operatore simmetrico in D.

Proviamo adesso che A e essenzialmente autoaggiunto. Sia u ∈ D(A∗) con A∗u = iu. Allora, per ognix ∈ D(A) = D si ha

d

dt(U(t)x, u) = (iAU(t)x, u)

= i(U(t)x,A∗u)

= i(U(t)x, iu)

= (U(t)x, u)

Cosicche la funzione h(t) = (U(t)x, u) e soluzione dell’ equazione differenziale h′ = h e quindi h(t) = Cet;ma dato che U(t) e limitato, anche |h(t)| deve esserlo e quindi C = 0. In modo analogo si prova che nonesistono soluzioni non nulle di A∗u = −iu e quindi A e essenzialmente autoaggiunto.

Per brevita, poniamo B = A e sia V (t) = eitB . Resta da provare che V (t) = U(t).

Sia x ∈ D. Dalla (c) del Teorema 4.9.1 sappiamo che V (t)x ∈ D(B) e che V ′(t)x = iBV (t)x. Postow(t) = U(t)x− V (t)x, w(t) e una funzione a valore vettore derivabile in senso forte e

w′(t) = iAU(t)x− iBV (t)x = iBw(t)

Quindid

dt‖w(t)‖2 = i(Bw(t), w(t))− i(w(t), Bw(t)) = 0

E percio w(t) = 0 per ogni t, dato che w(0) = 0. Allora U(t)x = V (t)x per ogni t ∈ R e per ogni x ∈ D.Poiche D e denso, si conclude che U(t) = V (t). �

Esempio 4.9.4Sia H = L2(R). Per ogni t ∈ R, consideriamo l’operatore U definito nel modo seguente. Poniamo

ft(x) = f(x− t)

e definiamo

(Uf)(x) = ft(x), f ∈ L2(R).

L’operatore cosı definito e unitario. La famiglia di operatori unitari {U(t) ; t ∈ R} costituisce un gruppoad un parametro, fortemente continuo, di operatori unitari. Determiniamo il suo generatore. Procedendoin modo un po’ formale si ha

limt→0

U(t)f − ft

= limt→0

f(x− t)− f(x)

t= −(Df)(x).

Quindi il generatore di questo gruppo e l’operatore P definito nel paragrafo 4.4.2.1. Per essere rigoro-si, avremmo dovuto innanzitutto determinare il dominio del generatore infinitesimale: esso e lo spazioW 1,2(R). La dimostrazione e lasciata come esercizio al lettore. �


} Osservazione 4.9.5 A questo punto, una domanda legittima e se, dato un operatore autoaggiuntoA, si possa esprimere eitA, come sarebbe naturale attendersi, nella forma

eitA =

∞∑n=0

(iAt)n

n!. (4.11)

Il primo membro e un operatore unitario in H mentre il secondo pone alcuni problemi. Per cominciare,osserviamo che, se A e autoaggiunto, tutte le sue potenze ad esponente naturale sono definite e sonooperatori densamente definiti. Tuttavia, perche si possa scrivere la serie a secondo membro della (4.11) enecessario che l’insieme dei vettori di H per cui la serie e ben definita e convergente sia sufficientementericco. Consideriamo il sottospazio di H

D∞ (A) ≡∞⋂n=1

D (An) .

Mostriamo che esso e denso in H. Poniamo

Dω = {E(∆)x; x ∈ H, ∆ sottoinsieme di Borel limitato}

Dω e denso in H. Infatti, se non lo fosse, esisterebbe y ∈ H, y 6= 0, tale che (E(∆)x, y) = 0, per ognisottoinsieme di Borel limitato ∆ e per ogni x ∈ H. Scegliendo xn = E(∆n)y con ∆n =]− n, n], si ha

‖E(∆n)y‖2 = (E(∆n)y, y) = 0, ∀n ∈ N.

Dunque ‖y‖ = limn→∞ ‖E(∆n)y‖2 = 0 e, quindi y = 0; una contraddizione.

Per ogni sottoinsieme di Borel limitato ∆, per ogni x ∈ H e per ogni n ∈ N si ha∫Rλ2nd(E(λ)E(∆)x,E(∆)x =

∫∆

λ2nd(E(λ)x, x) ≤ supλ∈∆

λ2n‖x‖2 <∞.

Dunque, E(∆)x ∈ D(An), per ogni n ∈ N. Inoltre

‖AnE(∆)x‖ ≤ Cn‖x‖, ∀x ∈ H,

dove si e posto C = supλ∈∆|λ|.

Questo prova che Dω ⊂ D∞ (A) e dunque quest’ultimo spazio e denso in H. Su tutti i vettori x delsottospazio generato da Dω, la serie a secondo menbro della (4.11) e convergente per ogni t ∈ R. Infatti∥∥∥∥∥

n+p∑k=n+1

(iAt)k

k!E(∆)x

∥∥∥∥∥ ≤n+p∑k=n+1

|t|k‖AkE(∆)x‖k!

≤n+p∑k=n+1

|t|kCk

k!‖x‖ → 0

} Osservazione 4.9.6 Diversi spazi funzionali (non normati) sono del tipo D∞ (A), per qualcheoperatore autoaggiunto A. Ad esempio, se A

A =1

2

(|x|2 +4n

)si trova

D∞ (A) = S (Rn)

dove 4n e l’operatore laplaciano in n dimensioni e S (Rn) e lo spazio di Schwartz delle funzioni a rapidadecrescenza.

4.10. Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert 99

4.10 Equazioni differenziali nello spazio di Hilbert

Un’ applicazione della teoria dei gruppi ad un parametro di operatori unitari consiste nellarisoluzione di equazioni differenziali nello spazio di Hilbert.

Sia ]a, b[ un intervallo in R; una funzione t ∈]a, b[→ x(t) ∈ H e detta continua in ]a, b[ seper ogni c ∈]a, b[

limt→c‖x(t)− x(c)‖ = 0.

La funzione t ∈]a, b[→ x(t) ∈ H e detta derivabile in ]a, b[ se per ogni c ∈]a, b[ esiste x′(c) ∈ Htale che

limt→c

∥∥∥∥x(t)− x(c)

t− c− x′(c)

∥∥∥∥ = 0.

E a questo punto chiaro cosa intendiamo quando diciamo che la funzione x(t) e di classe C1.

Il problema che ci proponiamo di risolvere e il seguente: sia (A,D(A)) un operatore au-toaggiunto in H ed x ∈ D(A). Cerchiamo una funzione x(t) di classe C1 in [0,∞) taleche

1. x(t) ∈ D(A) per 0 ≤ t <∞

2. x(0) = x

3. x′(t) = iAx(t)

Proveremo adesso che il suddetto problema ammette una, e una sola soluzione che si puorappresentare nella forma

x(t) = eitAx, 0 ≤ t <∞.

Per brevita poniamo, eitA = U(t). Per provare che x(t) ∈ D(A), basta provare che esiste il

lims→0

U(s)− Is

x(t).

Infatti

lims→0

U(s)− Is

x(t) = lims→0

U(s)− Is

U(t)x

= U(t) lims→0

U(s)− Is

x

e l’ultimo limite esiste perche x ∈ D(A).

Proviamo ora che x(t) e continua. Si ha

‖x(t)− x(s)‖ = ‖(U(t)− U(s))x‖

Ma dal terorema 4.9.1 sappiamo che U(t) e un gruppo fortemente continuo. Quindi se t → sallora ‖(U(t)− U(s))x‖ tende a zero.


Si ha inoltre

limh→0

∥∥∥∥x(t+ h)− x(t)

h− iAx(t)

∥∥∥∥ = limh→0

∥∥∥∥U(t+ h)− U(t)

hx− iAU(t)x

∥∥∥∥= lim

h→0

∥∥∥∥U(h)− Ih

x− iAx∥∥∥∥ = 0

perche A e il generatore infinitesimale di U(t). Questo prova, ad un tempo, che x(t) e derivabilee che x′(t) e soluzione dell’ equazione differenziale in esame.

La dimostrazione dell’ unicita e lasciata come esercizio.

4.11 Operatori autoaggiunti che commutano

Se gli operatori A e B non sono limitati, come gia sappiamo, non ha senso parlare di commuta-zione in senso puramente algebrico. Per dare un significato ragionevole all’ affermazione ”A e Bcommutano”, ricordiamo che per operatori autoaggiunti limitati e equivalente affermare che essicommutano o che commutano le loro famiglie spettrali. Questo fatto suggerisce la definizioneseguente.

Definizione 4.11.1 Due operatori autoaggiunti A e B (possibilmente non limitati) commu-tano fortemente se tutti gli operatori di proiezione che compongono le loro famiglie spettralicommutano.

Vale il seguente

Teorema 4.11.2 Siano A e B due operatori autoaggiunti in H. Le seguenti affermazioni sonoequivalenti:

(a) A e B commutano.

(b) Se =λ e =µ sono non nulli, Rλ(A)Rµ(B) = Rµ(B)Rλ(A).

(c) ∀s, t ∈ R, eitAeisB = eisBeitA.

Non dimostriamo questo risultato, limitandoci ad osservare che il fatto che (a) implica (b) e (c)e una conseguenza immediata del calcolo funzionale.

} Osservazione 4.11.3 Un concetto molto importante in meccanica quantistica e quello di osservabilicompatibili. Due osservabili si diranno compatibili se possono essere misurate contemporaneamente. Dalpunto di vista probabilistico questo equivale a dire che esiste una distribuzione di probabilita congiunta;ovvero, utilizzando le notazioni della sez. 2.6, che e sempre possibile attribuire una probabilita all’evento

{m(A,ψ) ∈ I} ∩ {m(B,ψ) ∈ J}

dove A e B indicano due osservabili, I e J , rispettivamente, insiemi di possibili determinazioni di A e Be ψ uno stato del sistema.

4.12. Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate 101

Nella rappresentazione delle osservabili come operatori, questo si traduce nel fatto che gli operatoricorrispondenti devono commutare. Per capire meglio cosa intendiamo, supponiamo che due osservabilisiano rappresentate dagli operatori autoaggiunti limitati A eB e che lo spettro di entrambi questi operatorisia costituito solo dagli autovalori {ai} e {bi}, rispettivamente. In questo caso i possibili valori misuratidi A e di B sono solo i loro autovalori. Quindi sara possibile misurare contemporaneamente A e B se,e soltanto se, essi ammettono una famiglia di autovettori comuni che costituisce una base dello spazio.Sia, infatti ψi,j una base di autovettori comuni. Col doppio indice abbiamo inteso che

Aψi,j = aiψi,j

e cheBψi,j = bjψi,j

Un semplice calcolo mostra allora che(AB −BA)ψi,j = 0

che implica che A e B commutano. Il viceversa e pure vero. Per farlo vedere, ci mettiamo nell’ ipotesiche gli autovalori di A e gli autovalori di B abbiano tutti molteplicita uguale a uno.E immediato provareche se ψ e un autovettore di A e B commuta con A, allora Bψ e un autovettore di A corrispondenteallo stesso autovalore. Ma, per le ipotesi fatte, non puo quindi che essere Bψ = λψ e quindi ψ e ancheun autovettore di B. Nel caso in cui gli operatori A e B siano limitati ma non abbiano spettro solopuntuale, si dimostra che una distribuzione di probabilita congiunta delle due osservabili si puo definirese, e soltanto se, AB = BA.

4.12 Supplemento: Famiglie spettrali generalizzate

La teoria di von Neumann delle estensioni autoaggiunte di un operatore simmetrico e stata, inun certo senso, completata da Naimark utilizzando l’idea che un operatore simmetrico possaammettere estensioni autoaggiunte in uno spazio di Hilbert piu grande dello spazio di Hilbertin cui esso agisce inizialmente. Quest’idea ha dato avvio ad una nuova teoria spettrale deglioperatori simmetrici, nella quale e possibile attribuire ad ogni operatore simmetrico una famigliaspettrale con proprieta simili a quelle gia viste nel caso degli operatori autoaggiunti.

Definizione 4.12.1 Sia (T,D(T )) un operatore lineare in H. Chiameremo prolungamento di

T un operatore lineare (T , D(T )) in uno spazio di Hilbert H contenente H come sottospaziochiuso e tale che:

D(T ) ⊇ D(T ) e T f = Tf per f ∈ D(T )

La proiezione ortogonale di H sul suo sottospazio H sara indicata con P

Possiamo adesso dimostrare il seguente teorema di Naimark:

Teorema 4.12.2 Ogni operatore simmetrico (T,D(T )) ammette un prolungamento autoag-giunto (eventualmente in uno spazio piu grande).

Dimostrazione – Siano n,m gli indici di difetto di T . Se n = m allora il teorema di von Neumann ciassicura l’esistenza di un’estensione autoaggiunta nello stesso spazio di HilbertH. Se n 6= m, consideriamolo spazio di Hilbert H = H ⊕H. Come si sa, esso consiste delle coppie ordinate {f, g} di elementi di Hed in esso le operazioni ed il prodotto scalare sono definiti in modo naturale:

{f1, g1}+ α{f2, g2} = {f1 + αf2, g1 + αg2}


e({f1, g1}, {f2, g2}) = (f1, f2) + (g1, g2).

L’operatore T definito daT{f, g} = {Tf,−Tg}, f, g ∈ D(T )

ha, allora, indici di difetto (n+m,m+ n) e pertanto ammette estensione autoaggiunta in H. �

E opportuno notare che la dimostrazione del teorema precedente fornisce un modo per costruireil prolungamento di T , ma questo non e il solo modo possible. In generale, il prolungamenteautoaggiunto di un operatore simmetrico non e unico.

Sia T un operatore simmetrico in H e T la sua estensione autoaggiunta nello spazio H.Allora T ammette la decomposizione spettrale

T =

∫ ∞−∞

λd E(λ)

dove gli E(λ) sono proiettori in H. Per f ∈ D(T ) e g ∈ H si hanno le relazioni:

(Tf, g) = (T f, P g) =

∫ ∞−∞

λd (E(λ)f, P g) =

∫ ∞−∞

λd P (E(λ)f, g)

, e

‖Tf‖2 = ‖T f‖2 =

∫ ∞−∞

λ2d E(λ)f, f) =

∫ ∞−∞

λ2d P (E(λ)f, f)

. Ponendo,B(λ) = P (E(λ)dH

per λ ∈ R, si ottiene una famiglia di operatori autoaggiunti limitati soddisfacenti le seguentiproprieta:

(a) B(λ) ≤ B(µ) per λ ≤ µ;

(b) limε→0,ε>0B(λ+ ε)f = B(λ)f ∀f ∈ H;

(c) limλ→−∞B(λ) = 0 e limλ→+∞B(λ) = I.

Per ogni λ, B(λ) e un operatore positivo e minore di I ma non e necessariamente un proiettore.Una famiglia di operatori positivi soddisfacente le proprieta (a)-(c) e detta una famiglia spet-trale generalizzata. In conclusione ogni operatore simmetrico T ammette una famiglia spettralegeneralizzata e si ha, per ogni f ∈ D(T ) e g ∈ H:

(Tf, g) =

∫ ∞−∞

λdBλ)f, g)

e

‖Tf‖2 =

∫ ∞−∞

λ2dB(λ)f, f)

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