TEMI D’ESAME: classi III - · PDF filePreparazione alla Prova di Matematica delle classi...

Raccolta di esercizi, suddivisi per argomento, tratti dalle prove d’esame

a cura di A. Vaghi e G. Lorusso

AFOL SUD MILANO

TEMI D’ESAME: classi III

a.f. 2017-2018

Operatore del benessere

Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III – Operatore del benessere

a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca

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Preparazione alla Prova di Matematica – a cura di Lorusso Girieca

3

Sommario

Matematica Finanziaria .................................................................................................................................. 5

1.1 Interesse ....................................................................................................................................................... 5

Formulario .......................................................................................................................................... 5

Algebra ................................................................................................................................................................ 11

2.1 Equazioni di primo grado .................................................................................................................... 11

Come si risolve un’equazione di primo grado .................................................................... 11

2.2 Equazioni di secondo grado................................................................................................................ 13

Come si risolve un’equazione di secondo grado ................................................................ 13

2.3 Sistemi ......................................................................................................................................................... 17

Come si risolve un’sistema di due equazioni di primo grado a due incognite ....... 17

2.4 Equazioni fratte ....................................................................................................................................... 19

Quando una frazione si annulla e quando perde di significato .................................... 19

2.5 Disequazioni ............................................................................................................................................. 24

Geometria Euclidea ........................................................................................................................................ 26

Formulario di perimetri e aree ................................................................................................. 26

Complementi.................................................................................................................................... 26

Teorema di Pitagora ..................................................................................................................... 26

3.1.3 Teorema di Pitagora ................................................................................................................................ 33

Geometria Analitica ....................................................................................................................................... 37

4.1 Poligoni nel piano cartesiano ............................................................................................................. 37

Formulario ........................................................................................................................................ 37

4.2 Rette ............................................................................................................................................................. 40

Cenni di teoria ................................................................................................................................. 40

4.3 Parabole ..................................................................................................................................................... 44

Cenni di teoria ................................................................................................................................. 44

Problemi di calcolo ......................................................................................................................................... 48

5.1 Richiami di teoria ................................................................................................................................... 48

Proprietà delle potenze ............................................................................................................... 48

Calcolo percentuale ....................................................................................................................... 48

Equivalenze ...................................................................................................................................... 48

5.2 Quantità algebriche ................................................................................................................................ 56

Calcolo delle Probabilità e Statistica ....................................................................................................... 60



4

6.1 Calcolo delle probabilità ...................................................................................................................... 60

Cenni di teoria ................................................................................................................................. 60

6.2 Statistica e lettura dei grafici.............................................................................................................. 65

Statistiche principali ..................................................................................................................... 65


5

Matematica Finanziaria

1.1 Interesse

Formulario

�� ∗ �

100∗

In = interesse maturato dopo n anni

C = capitale

t = tasso d’interesse annuo

n = numero di anni

� �� ∗ 100

� ∗ � �

�� ∗ 100

� ∗ �

�� ∗ 100

� ∗ �

M = C + I I = M - C C = M - I

Le formule per il calcolo dell’interesse presuppongono che il tempo sia espresso in anni.

Qualora così non fosse, occorre prima di utilizzarle effettuare le seguenti proporzioni:

se il tempo tm è espresso in mesi: �� ∗�

��

Se il tempo tg è espresso in giorni: �� ∗�

��

2



6

7

8

3

6


7

9

10

11

12



8


9

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10


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Algebra

2.1 Equazioni di primo grado

Come si risolve un’equazione di primo grado ( ) ( ) 2532513 +−=+−+ xxx

2106533 +−=+−+ xxx • Si svolgono tutti i conti necessari ad eliminare le parentesi

5326103 +−+=++ xxx • Si spostano al primo membro tutti i monomi contenenti

l’incognita e al secondo membro i monomi che non

contengono l’incognita, ricordando la legge del trasporto

(quando un termina va da una parte all’altra dell’uguale

cambia di segno)

1014 =x • Si sommano i monomi al primo membro e i numeri al

secondo membro

14

10

14

14 =x • Si dividono sia il primo che il secondo membro per il numero

che moltiplica l’incognita

7

5=x • Si semplifica e troviamo la soluzione

Attenzione:

nx =0 con 0≠n l’equazione è impossibile

00 =x l’equazione è indeterminata

2

1



12

3

4


13

2.2 Equazioni di secondo grado

Come si risolve un’equazione di secondo grado

Equazione

scritta in

forma normale

02 =++ cbxax

con 0≠a

Con � coefficiente associato ad ��

Con � coefficiente associato ad �

Con � termine noto.

Se 0≠a , 0≠b , 0≠c l’equazione si dice completa

Calcolo del

discriminante

acb 42 −=∆ Se 0>∆ l’equazione ha due soluzioni reali e distinte

Se 0=∆ l’equazione ha due soluzioni reali e

coincidenti

Se 0<∆ l’equazione non ha soluzioni reali

Formula

risolutiva a

bx

21

∆+−=

a

bx

22

∆−−=

1

2



14

3

4

5

6


15

8

9

10

7



16

11

13

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2.3 Sistemi

Come si risolve un’sistema di due equazioni di primo grado a due incognite

� � 2� � 5

3� � � � 1

� � 5 � 2�

3� � � � 1

•

� � 5 � 2�

3 ∗ �5 � 2�� 1

� � 5 � 2�

15 � 6� � � � 1

•

� � 5 � 2�

�7� � �14

•

� � 5 � 2�

�7

�7� �

�14

�7

•

� � 5 � 2�

� � 2

•

� � 5 � 2 ∗ 2 � 1

� � 2

•

Attenzione:

Nessuna soluzione: sistema IMPOSSIBILE;

Infinite soluzioni : sistema INDETERMINATO

Una soluzione (x ; y): sistema DETERMINATO



18


19

2.4 Equazioni fratte

Quando una frazione si annulla e quando perde di significato

Data una frazione ( )( )xDen

xNum

.

.si dice che questa

si annulla se ( ) 0. =xNum

perde di significato,

non esiste,

è impossibile

se ( ) 0. =xDen

Per determinare il valore di x per cui la frazione si annulla o perde di significato bisogna pertanto

risolvere un’equazione



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21



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2.5 Disequazioni


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Geometria Euclidea

Formulario di perimetri e aree

Rettangolo

h

b

( )hbP +⋅= 22

hbA ⋅=

Triangolo

l1 l2

b

=P2 l1 + l2 + b

2

hbA

⋅=

Parallelogramma

b

( )lbP +⋅= 22

hbA ⋅=

Rombo

lP ⋅= 42

2

min magDdA

⋅=

Quadrato

l

lP ⋅= 42 2lA =

Trapezio

=P2 somma dei lati

( )2

min hbBA

mag ⋅+=

Complementi

• La somma degli angoli interni di un triangolo di 180°

• La somma degli angoli interni di un quadrilatero è 360°

Teorema di Pitagora

2

2

2

1

2 cci +=

2

2

2

1 cci +=

2

2

2

1 cic −=

2

1

2

2 cic −=

h

h l l dmin

Dmag

bmin

l1 h l2

Bmag

c2

i

c1


27

d = l * √2

l = #

√�

A = $�= #%

�

& �

$

2∗√3

$ � 2 ∗ &

√3

l

l d l 45°

l

30°

l h l

60°

l



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31



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3.1.3 Teorema di Pitagora



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Geometria Analitica

4.1 Poligoni nel piano cartesiano

Formulario

Dati due punti nel piano ( )AA yxA , e ( )BB yxB ,

• Se BA xx = , allora BA yyAB −=

• Se BA yy = , allora BA xxAB −=

• Se BA xx ≠ e

BA yy ≠ , allora ( ) ( )22

BABA yyxxAB −+−=



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4.2 Rette

Cenni di teoria Equazione generica di una retta nel piano cartesiano: qmxy +=

m si chiama coefficiente angolare

q si chiama ordinata all’origine

Intersezione con l’asse y: nel punto di coordinate ( )q;0

Intersezione con l’asse x: si trova risolvendo l’equazione 0=+ qmx

Date due rette di equazioni

11: qxmyr +=

22: qxmys +=

Se 21 mm = , allora sr //

Se 2

1

1

mm −= , allora sr ⊥

L’eventuale punto di intersezione tra le due rette si trova risolvendo il sistema

+=+=

22

11

qxmy

qxmy


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4.3 Parabole

Cenni di teoria

Equazione generica di una parabola nel piano cartesiano: cbxaxy ++= 2

Se 0>a , allora la parabola ha concavità verso l’alto

Se 0<a , allora la parabola ha concavità verso il basso

Coordinate del vertice:

∆−−aa

bV

4;

2, dove acb 42 −=∆

Intersezione con l’asse

y:

nel punto di coordinate ( )c;0

Intersezioni con l’asse

x:

si determinate risolvendo l’equazione di secondo grado

02 =++ cbxax


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Problemi di calcolo

5.1 Richiami di teoria

Proprietà delle potenze mnmn aaa +=⋅ mnmn aaa −=:

( )nnn baba ⋅=⋅

( )n

nn

nnn

b

a

b

ababa =

== ::

( ) mnmn aa ⋅=

11 =n

10 =a

nn

a

b

b

a

=

−

=00 indeterminata

Calcolo percentuale 100:: tTp =

=p valore della percentuale

=T Totale su cui viene calcolata la percentuale

=t tasso percentuale

Equivalenze

K h da u d c m

Km hm dam m dm cm mm

hl dal l dl cl ml

q t Mg kg hg dag g dg cg mg


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x



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5.2 Quantità algebriche


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Calcolo delle Probabilità e Statistica

6.1 Calcolo delle probabilità

Cenni di teoria

Probabilità di un evento: possibilicasinumero

favorevolicasinumero

__

__

Probabilità di due eventi compatibili : p (A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B)

Probabilità di due eventi incompatibili : p (A∪B) = p(A) + p(B)

Probabilità di due eventi indipendenti: P(E1∩E2) = p(E1) * p(E2)

Probabilità di due eventi dipendenti: p(E1∩E2) = p(E1) * p(E2|E1)

Esercizi

Esercizio 1

Esercizio 2


61

Esercizio 3



62

Temi d’esame


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6.2 Statistica e lettura dei grafici

Statistiche principali

Dati n dati mxxx ,...,, 21 con frequenze mfff ,...,, 21 con nm<

Media:

raccoltidatideinumeri

datiituttidisomma

___

____=

n

fxfxfx mm ⋅++⋅+⋅ ...2211

Moda:

Mediana:

il dato con la frequenza più alta

di una serie di n dati ordinati x1, x2, x3……xn il valore centrale della serie cioè

il valore che occupa il posto nella serie se n è dispari o la media dei

valori che occupano il posto e + 1 se n è pari



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Esercizi


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Esercizio 5



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Esercizio 7

Esercizio 8


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Esercizio 9



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Esercizio 10


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Esercizio 11



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Esercizio 12


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Temi d’esame



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