TEMA 5 Algebra

8/18/2019 TEMA 5 Algebra

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2º ESO TEMA 5: ÁLGEBRA

TEMA 5: ÁLGEBRA

I) El álgebra: ¿Qué es y para qué sirve? Leer página 114 del libro.

Llaao! álgebra a la par"e de la! a"eá"i#a! en la $%e !e %"ili&an le"ra! para e'pre!ar n(ero!

de valor desconocido o indeterminado )re#%erda en lo! "ea! pa!ado! el #ál#%lo del *alor "o"al+.II)El lenguaje algebraico: expresiones algebraicas

El leng%a,e $%e %!ao! en opera#ione! ari"-"i#a! )!%a re!"a %l"ipli#a#i/n 0 di*i!i/n+ enla! $%e !/lo in"er*ienen n(ero! !e llaa lenguaje numérico.

En o#a!ione! epleao! le"ra! para repre!en"ar #%al$%ier nmero desconocido reali&ao!opera#ione! ari"-"i#a! #on ella! e in#l%!o la! in#l%io! en e'pre!ione! a"eá"i#a! para

poder #al#%lar !% *alor n%-ri#o.

El lenguaje algebraico %"ili&a la! e'pre!ione! algebrai#a! $%e !on %n #on,%n"o de n(ero! 0le"ra! %nido! en"re ! por la! opera#ione! de !%ar re!"ar %l"ipli#ar di*idir 0 por par-n"e!i!.

ara#"er!"i#a! del leng%a,e algebrai#o:

1.3 El leng%a,e algebrai#o e! á! pre#i!o $%e el leng%a,e n%-ri#o: podeo! e'pre!aren%n#iado! de %na ora á! bre*e.

E,eplo: El #on,%n"o de lo! (l"iplo! po!i"i*o! de 5 e!

=

!" E!#ribe en leng%a,e algebrai#o la! !ig%ien"e! e'pre!ione!:

a+ Tena x 6 0 e 7an dado 28 6. 9%án"o! e%ro! "engo a7ora

b+ El lado de %n #%adrado ide x e"ro!. 9%án"o ide el pere"ro

#+ El lado de "re! #%adrado! ig%ale! ide x e"ro!. 9%ál e! el área de lo! 8 #%adrado!

d+ El doble del n(ero x.

e+ El doble de %n n(ero x á! #in#o.

+ El doble del re!%l"ado de !%arle #in#o a %n n(ero '.

g+ La i"ad del n(ero x.

7+ La i"ad del n(ero x eno! #in#o.

i+ La i"ad del re!%l"ado de re!"arle #in#o a %n n(ero x.

1


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,+ La di!"an#ia re#orrida en x 7ora! por %n #ai/n $%e *a a ;


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Mi !alario en!%al. x 6El !alario $%e "endr- #%ando !ea e!pe#iali!"a. En"on#e! #obrar-"re!#ien"o! e%ro! á!.El !alario de %n #opa@ero #on ,ornada red%#ida $%e e! la! "re!$%in"a! par"e! del o.El !alario de %n ,ee de gr%po $%e #obra %n 2 á! $%e 0o.El !alario de %n aprendi& $%e e!... 6 ) x 4+

(" Lee 0 #ople"a la "abla.• El !%eldo en!%al de ?ablo e! de ' e%ro!.• El geren"e de la epre!a gana el doble $%e ?ablo.• El ingeniero ,ee gana 4 6 eno! $%e el geren"e.• El !e@or L/pe& gana %n 1 eno! $%e ?ablo.• Al !e@or de la lipie&a le al"an > 6 para ganar la "re! #%ar"a! par"e! del !%eldo de ?ablo.

Epleado ?ablo Geren"e Hngeniero Sr. L/pe& Sr. Lipie&aS%eldo x

" opia 0 #ople"a la "abla a"endiendo a lo! !ig%ien"e! en%n#iado!:• ri!"ina "iene x a@o!.• Alber"o !% e!po!o "iene 8 a@o! á!.• Ia*ier !% padre le dobla la edad.• Mar"a !% adre "iene 5 a@o! eno! $%e !% padre.• Loli 0 Mar !on !%! 7i,a! geela!. La! "%*o #on 2; a@o!.• Ia*i el pe$%e@o "iene la i"ad de a@o! $%e la! geela!.

ri!"ina Alber"o Ia*ier Mar"a Loli 0 Mar Ia*iEdad x

*" Trad%#e en "% #%aderno a leng%a,e algebrai#o la! edade! de lo! iebro! de e!"a ailia:

Sara "iene x a@o!. xRo!a )7erana a0or+ le !a#a 2 a@o! a Sara.Ana )adre+ "ena 25 a@o! #%ando Sara na#i/.Ioa$%n )padre+ #%adr%pli#a la edad de Sara.Ioa$%n )padre+ "iene 5 a@o! á! $%e la adre.

!+" Trad%#e a %na ig%aldad algebrai#a )e#%a#i/n+ #ada %no de e!"o! en%n#iado!:

a+ Si a%en"a! %n n(ero x en 15 %nidade! 0 di*ide! en"re do! el re!%l"ado ob"iene! el"riple de di#7o n(ero. al#%la por "an"eo el *alor del n(ero D'D )7a! re!%el"o lae#%a#i/n por "an"eo+.

b+ Si "ripli#a! la edad de Iorge x 0 al re!%l"ado le !%a! 5 a@o! ob"iene! la edad de !% padre$%e "ena 88 a@o! #%ando na#i/ Iorge. al#%la por "an"eo la edad D xD de Iorge )7a! re!%el"ola e#%a#i/n por "an"eo+.

!!" n "raba,ador #obra %n !%eldo ba!e DBD á! 1; e%ro! por #ada 7ora e'"ra. A "odo ello !e lede!#%en"a %n 1> de HR?J. El re!%l"ado e! el !%eldo ne"o DSD. Si DnD e! el n(ero de 7ora!

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e'"ra $%e 7a 7e#7o en %n e! 9#%ál o #%ále! de e!"a! e'pre!ione! !ir*en para #al#%lar el!%eldo ne"o

a+ b+#+

S =

!#" 9%ál de la! !ig%ien"e! e'pre!ione! repre!en"a...

a+ ... %n n(ero de "re! #ira! ab# b+ ...!% !ig%ien"e

#+ ...!% dobled+ ...el doble de !% an"erior

4


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e+

!$" En %n #apo de #%l"i*o 7a0 #%a"ro e!"an$%e!. Llaando a la #an"idad de ag%a $%e

"endrá %n e!"an$%e den"ro de m in%"o! a!o#ia #ada e!"an$%e #on la e'pre!i/n $%e le#orre!ponde.• E!"an$%e M: on"iene 4 5 li"ro! de ag%a 0 !e abre %n grio $%e le apor"a 4 li"ro!

por in%"o.• E!"an$%e F: on"iene 45 li"ro! de ag%a 0 !e le #one#"a %na boba $%e e'"rae 4

li"ro! por in%"o.• E!"an$%e ?: on"iene 4 e"ro! #(bi#o! de ag%a 0 !e #one#"a a %na "%bera $%e

apor"a 45 e"ro! #(bi#o! a la 7ora.• E!"an$%e K: on"iene 4 e"ro! #(bi#o! de ag%a 0 !e abre %na bo#a de riego $%e

e'"rae 45 e"ro! #(bi#o! a la 7ora.

+

!%" En la #la!e de Mar"a la no"a de a"eá"i#a! !e #al#%la a"endiendo a "re! #on#ep"o! #ondieren"e pe!o: la edia de lo! #on"role! )8=4+ el #%aderno )2+ 0 lo! "raba,o!e!pe#iale! )re!"o+.

g+ a+ 9%ál o #%ále! de e!"a! /r%la! !ir*en para #al#%lar la no"a

7+ on"role! )a+ %aderno )b+ Traba,o! e!pe#iale!)#+.

i+

,+ b+ al#%la la no"a de Mar"a 0 de Ia*ier #on do! #ira! de#iale!.


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m)= −

n+ F !on lo! ga!"o! i,o! 0 al$%iler de e$%ipo! edido! en e%ro! )6+

o+ e! la le#"%ra a#"%al )N7+

p+ e! la le#"%ra an"erior )N7+

$+ P e! el pre#io del N7 )6=N7+

a+ E!#ribe la /r%la en !% *er!i/n a#"%ali&ada !i lo! ga!"o! i,o! !on de >5 6 0 el 6.

b+ 9%ál de la! !ig%ien"e! !era al /r%la a#"%ali&ada de la a#"%ra en !% ora"oinal in#l%0endo el 21 de HA

#+ El epleado de la #opa@a el-#"ri#a an"erior le0/ el e! pa!ado en el #on"adorde la *i*ienda de la ailia erran& 245P


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!" a+ alla la e'pre!i/n algebrai#a $%e da la! %nidade! del "riple de %n n(ero de "re! #ira!ab# )DaD !on la! #en"ena! DbD la! de#ena! 0 D#D la! %nidade!+.

*+ b+ alla la e'pre!i/n algebrai#a de %n n(ero par de %n n(ero ipar dela !%a de "re! n(ero! pare! #on!e#%"i*o! de %n #%adrado pere#"o de %n #%bo

pere#"o.

+ #+ Uoblando %n alabre de 4 # orao! %n re#"áng%lo. alla lae'pre!i/n algebrai#a $%e deine el área del re#"áng%lo de ba!e D'D 0 #al#%la !% *alor para' V 4.

'+

P


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!" ,-.-,I-/" -0E123I-.E/ 3-. ,-.-,I-/" 4página !!'libro)

y) Epe#eo! e!"%diando la! e'pre!ione! algebrai#a! á! !en#illa!: los monomios

&+ ¿Qué son? n monomio e! %na e'pre!i/n algebrai#a orada por el prod%#"o de%n n(ero 0 %na o á! *ariable!. Al n(ero lo llaareo! coe5iciente 0 al#on,%n"o de la! *ariable! parte literal.

aa+

ab+ Llaareo! grado del monomio al n(ero de a#"ore! $%e oran la par"eli"eral. En la prá#"i#a !e #al#%la !%ando lo! e'ponen"e! de la par"e li"eral.

a#+ El grado de %n onoio re!pe#"o de %na *ariable e! el e'ponen"e al $%e *aele*ado e!a *ariable.

ad+ Ejemplo !: El onoio 8a "iene #oo #oei#ien"e D8D par"e li"eral DaD 0 e! degrado D1D.

ae+ Ejemplo #: El onoio

xy "iene #oo #oei#ien"e D D par"e

li"eral D D e! de grado D8D 0 el grado re!pe#"o a la *ariable y e! D2D.

a+ Ejemplo $: El onoio "iene #oo #oei#ien"e D1D par"e li"eral D

D grado D4D el grado re!pe#"o a la *ariable x e! 1 el grado re!pe#"o a la*ariable y e! D1D 0 el grado re!pe#"o a la *ariable z e! D2D.

ag+ Se di#e $%e do! onoio! !on semejantes #%ando "ienen la par"e li"eral id-n"i#a.

a7+ Ejemplo !: Lo! onoio! D D 0 D D !on !ee,an"e!

por$%e "ienen la i!a par"e li"eral D D.

>


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ai+ Ejemplo #: Lo! onoio! D8ab D 0 D Pa2b D no !on !ee,an"e! por$%e no "ienen la i!a par"e li"eral.

a,+ Ejemplo $: Lo! onoio! D D 0 D −

D !on !ee,an"e!

por$%e "ienen la i!a par"e li"eral D D .

a


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b


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#0+ Si lo! onoio! no !on !ee,an"e! la !%a $%eda indi#ada 0 e!"a opera#i/n no p%ede e'pre!ar!e de anera á! !iplii#ada.

cz) Ejemplos:

a)= =

b)− = − =

c) → no puedesimplifcarse.

d)

e)

2 2 2 25 5 x x x x x x x− + = + − = − ÷

)

8 8 8 8

2 P 2 P

x y y x y

x y x y

− − + − = − + + − − = ÷ ÷

− = + = −÷

g+

#" Agr%pa lo! "-rino! !ee,an"e!:

a+

b+ − −

#+ −

d+ −

$"

11


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%" Red%#e:

a+

; P 8 x x x x− + −

b+ − −

#+

8 8 x x+ −

d+

x− − −

e+

5) ,ultiplicaci6n de monomios

g+ El prod%#"o de do! onoio! e! %n onoio $%e "iene por #oei#ien"e el prod%#"o de lo! #oei#ien"e! 0 por par"e li"eral el prod%#"o de la! par"e!

li"erale! )re#%erda la propiedad +

8) Ejemplos:

a+× = × × =

b+

( )2 8 2 2 8 2 2 8 2 5 28 8 x x y x x y x y x y+− × = − × × = − × = − × ÷ ÷

#+= × × = =

o "abi-n

= × =

&" al#%la lo! !ig%ien"e! prod%#"o!:

12


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a+

b+

−

#+

d+

e+

( ) 25 x x× − ÷

+

g+

7+

( )4ab b− × ÷

i+

ab ab− × − ÷ ÷

,+

'" al#%la lo! !ig%ien"e! prod%#"o!:

a+

b+

#+

; x x× −

d+

e+

x

+

(" al#%la lo! !ig%ien"e! prod%#"o! de onoio!:

a+−

b+

2 2 x x ÷ ÷

#+

d+

"

xy × ÷ ÷Hndi#a el grado de lo! !ig%ien"e! onoio! 0 di #%ale! !on

!ee,an"e!:

a+ −

b+−

#+

x

18


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d+

x y

e+

+ g+

x

7+

*" al#%la lo! !ig%ien"e! #%adrado! de onoio!:

a+

b+−

#+

d+

e+

4 xy ÷

+

x y ÷

xy z− ÷

g+

P x− ÷

8) 9ivisi6n de monomios"

i+ El #o#ien"e de do! onoio! p%ede !er %n n(ero o"ro onoio o %na 5racci6nalgebraica.

j) Ejemplos:

a+( ) ( )

2 2; : 8a b a b = 2 2= = )%n n(ero+

b+

( ) ( )5 88

; : 15 x y

x y x = = x x y

8

2 x y= )%n onoio+

14


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#+

( ) ( )5 8 28 2

; : 2 x y

x y x y = =8

8 x=

)%na ra##i/n algebrai#a por$%e "iene *ariable! el denoinador+

) Ejemplo:

2 2

2

2 4 2 4 2 5 58: :48 5 8 5 8 4 ;

xy y y y

xy x y x x x

x

× = = × = × = × ÷ ÷ ÷ ×

!+" Reali&a la! !ig%ien"e! di*i!ione! de onoio!:

a+

b+

#+

d+

e+

−

+

g+

!!"

−

a& la! !ig%ien"e! di*i!ione! de onoio!:

a+ x x

b+−

#+ x x

d+

; 4: x x ÷ ÷

15


16/31


e+

: xyz xy− ÷ ÷

+

g+

( ) : x xy ÷

7+

1;


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$ 0-;I.-,I-/" -0E123I-.E/ 3-. ,-.-,I-/"

i+ ¿Qué son? n polinomio e! la !%a de *ario! onoio! no !ee,an"e! "abi-nllaado! "-rino! del polinoio.

,+ Lo! coe5icientes del polinoio !on lo! n(ero! $%e %l"ipli#an a #ada onoio.

Si %no de lo! onoio! no "iene par"e li"eral !e llaa término independiente )e!

de#ir el "-rino independien"e de %n polinoio e! el onoio de grado #ero el

onoio $%e e! %n n(ero+.


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− = − − − =.

r+ Ejemplo %: alla el *alor n%-ri#o del polinoio= −

para .

!+= − =

t) Ejemplo &: Uado el polinoio = −

< el valornumérico para x V 2 y V 1 e! el n(ero 2> p%e!

− = − − − = − − − = −

u) ;ibro: 0ágina !!* !< # = $

!#" Hndi#a el grado de lo! !ig%ien"e! polinoio!:

a+ b+ #+

d+

!$" alla el *alor n%-ri#o de la! !ig%ien"e! e'pre!ione! algebrai#a! )"oda! !on

polinoio!+ para lo! *alore! $%e !e indi#an:

a+ en b+ en #+

en

d) />,2 = 1E/2 9E 0-;I.-,I-/

e) ;ibro: 0ágina !#+ oda

1>


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5) 0ágina !#( #+< #!< ##

g+

!%" Red%#e la! !ig%ien"e! e'pre!ione! e indi#a !% grado:

a+

8 8 25 2 1 x x x x− + − − + ÷

b+

25 x x

− −− − − − + ÷ ÷

!&" Uado! lo! polinoio!

5 1 P x x x= − +

( 2 2Q x x x x= − − + −

( 8 5 R x x x= − − −. al#%la:

a+ b+ #+

d+ 0roducto de polinomios

H. ?rod%#"o de %n polinoio por %n n(ero.

e+ Re#%erda $%e para %l"ipli#ar %n n(ero por %na !%a debeo! %l"ipli#ar eln(ero por #ada !%ando. E! la propiedad distributiva

a c a a c× + = × + × .

+ Ejemplo !:

× − − = × × − × − = − −

g+ Ejemplo #:

− × − − = − × − − × − − × =

1


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HH. ?rod%#"o de %n polinoio por %n onoio.

7+ ol*eo! a apli#ar la propiedad di!"rib%"i*a.

i+ Ejemplo $:

× − − = × × − × − = − − =

,+ Ejemplo %:

x x x x x x x x x x x− − − = − − − − − = −

−

HHH. ?rod%#"o de do! polinoio!.


21/31


$+

5 4 8 2 4 8 2 8 2 5 4 8 2

− − − − − − − − −

)7eo! agr%pado o !%ado lo! onoio! !ee,an"e!+

r) 0ágina !#! oda

s) 0ágina !#( #%" #&< # y #*

!'" Opera 0 red%#e:

a+ x x x x− − −

b+ x x x−

#+

− −

d+

− − −

e+

2 x x+ × − ÷ ÷

+

x x x x x− + × − × −

g+− − −

7+

2 1 x x+ − −

i+

− − −

,+

!(" 9I@I/IA. - 3-3IE.E 9E >. 0-;I.-,I- E.1E >. ,-.-,I-

!" Ejercicio 1esuelto $+ página !#

!*" 0ágina !# Ejercicio $!

#+" Opera#ione! #on polinoio!. Siplii#a la! e'pre!ione! algebrai#a! e indi#a el gradodel polinoio re!%l"an"e:

#!"

21


22/31


##"

#" 01-9>3-/ - I9E.I929E/ .-2B;E/"

#$" Llaao! prod%#"o! no"able! a #ier"o! prod%#"o! de binoio! #%0a eori&a#i/n re!%l"a ("il para abre*iar lo!

#ál#%lo! #on e'pre!ione! algebrai#a!.

#%" 3>29129- 9E >.2 />,2

#&" Se *erii#a=

. Paradeo!"rarlo ba!"a %l"ipli#ar:

#'"

= = =

)p%e! e! ab V ba +.

#(" Se lee: D El cuadrad d! una d"#!r!nc"a !$ "%ual ... alcuadrad d!l &r"m!r $umand .... m'$ !l dbl! d!l &r"m!r

&r !l $!%und ... m'$ !l cuadrad d!l

$!%undD.

#" Ejemplo !:

= =

#*" Ejemplo #:

= =

$+" Ejemplo $:

2 22 x x x x x+ = + × × + = + +

÷ ÷

22


23/31


$!" 3>29129- 9E >.2 9ICE1E.3I2

$#" Se *erii#a− = −

. Para

deo!"rarlo ba!"a %l"ipli#ar:

$$"

− = − − = − − = −

)p%e! e! ab V ba +.

$%" Se lee: D El cuadrad d! una $uma !$ "%ual ... al cuadrad

d!l &r"m!r $umand .... m!n$ !l dbl! d!l &r"m!r &r !l $!%und ... m'$ !l cuadrad d!l $!%undD.

$&" Ejemplo !: − = − = −

$'" Ejemplo #:

− = − × − = − × × = −$(" Ejemplo $:

( )2 2

8 8 2 8 S x x x x x− = − × × + = − + ÷ ÷

$" />,2 0-1 9ICE1E.3I2

$*" Se *erii#a− −

. Paradeo!"rarlo ba!"a %l"ipli#ar:

%+"− = − − = −

%!" Se lee: D La $uma d! d$ mnm"$ &r $u d"#!r!nc"a !$"%ual a la d"#!r!nc"a d! l$ cuadrad$ D.

28


24/31


%#" Ejemplo !:− − −

%$" Ejemplo #:

− = − = −

%%" CactoriDaci6n de un polinomio utiliDando lasidentidades notables

%&" La! iden"idade! no"able! "abi-n !e p%eden %"ili&ar alre*-! para a#"ori&ar %n polinoio e! de#ir parae'pre!arlo #oo #%adrado de %na !%a #%adrado de %nare!"a o! !%a por dieren#ia de onoio!.

%'" Ejemplos:

a+4 4 2 2 2 2 x x x x x+ + = + × × + = +

b+ ; S 2 8 8 8 x x x x x− + = − × × + = −

#+

x x x x− = − = + × −

d+ 4 S 12 2 2 2 8 8 2 8 x x x x x+ − = − × × + = −

%(" al#%la %"ili&ando la! /r%la! de lo! prod%#"o! no"able!. Ue!p%-! #opr%eba elre!%l"ado reali&ando la opera#i/n.

a+ b+

#+

x− ÷ d+−

24


25/31


e+

+

−

g+

a− ÷

7+

−

i+

,+

5 5 x x− × + ÷ ÷

%" ople"a lo! pa!o! $%e 7a#e! para a#"ori&ar el polinoio dado %"ili&ando lo! prod%#"o! o iden"idade! no"able!:

a+ ; S 2 x x+ + = + × × + = +

b+> 1; 2 x x+ + = + × × + = +

#+

1 2 x x

+ + = + × × + = +

d+S ; 2 x x+ + = + × × + = +

e+

2 1 2 x x− + = − × × + = −

+4 2 25 2 x x− + = − × × + = −

g+

2 x x− + = − × × + = −

25


26/31


7+;4 1; 2 x x+ − = + × × + = −

i+1; x − = − = + × −

,+4 25 x − = − = + × −


27/31


e+

22 x − ÷ +

&!" Ue!arrolla lo! !ig%ien"e! prod%#"o!:

a+−

b+

#+

" Ja#"ori&a %!ando %na iden"idad no"able:

a+

b+

#+

d+

e+

+

g+

7+

1 x+ +

i+ WWW

5 x −

,+


28/31


g+− − −

7+ x x−

i+ x x x+ − + −

$" E1233IA. 9E C23-1 3-,F."

,+ on!i!"e en apli#ar la propiedad distributiva pero al revés de #oo la

%"ili&ao! #%ando %l"ipli#ao! e! de#ir:


29/31


a+

b+

#+

d+

e+

+

g+

7+

i+ −

,+


30/31

%" C1233I-.E/ 2;GEB12I32/"

r+ Se llaa ra##i/n algebrai#a al #o#ien"e de do! polinoio!

!+ Ejemplos: 2

"+ ?odeo! !iplii#ar la! ra##ione! algebrai#a! ig%al $%e 7a#eo! #on la! ra##ione! n%-ri#a!di*idiendo n%erado 0 denoinador por %n i!o polinoio.

%+ Ejemplo !: Siplii#a la !ig%ien"e! ra##ione!: a+2

b+

−

.

*+ Se 7ara a!:

a+2

x x

=

x x +

= =×

b+

2

x x −−= =

− x −=

+ En general la !iplii#a#i/n de ra##ione! no e! "an e*iden"e por$%e priero "eneo! $%e

a#"ori&ar lo! polinoio!. En lo! !ig%ien"e! apar"ado! *ao! a 5actoriDar !iepre lo! &l"nm"$ 7a#iendo lo! !ig%ien"e! pasos 0 en el !ig%ien"e orden:

'+ ?riero: in"en"ao! e'"raer !iepre $%e !e p%eda a#"or #o(n lo á'io po!ible.

0+ Seg%ndo: en lo! polinoio! $%e no! $%edan !eg%io! a#"ori&ando !i !e p%ede apli#aralg%na

&+ de la! iden"idade! o prod%#"o! no"able!.

aa+ Ejemplo!: Ja#"ori&a lo! !ig%ien"e! polinoio!.


31/31

ab+ a+ x x x x x x x− = − = + −

a#+ b+ x x x x x x− = − = −

ad) Ejemplo #: Siplii#a la! !ig%ien"e! ra##ione!:

ae+ a+

x x+= x=

a+ b+

2

x x x+ + =−

x +=−−

ag+ #+

2 2

x x x − −− +

= = =− −−

− −

−

x x− −

= =

TEMA 5 Algebra

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