TECNICHE DI ANALISIDEI DATI IN ECOLOGIA

Michele Scardi

Laboratorio di Oceanografia BiologicaStazione Zoologica "A. Dohrn" di NapoliVilla Comunale80121 Napoli

e-mail: mscardi@mclink.ithome page: http://www.mare-net.com/mscardi

Versione 1.2a, aprile 1998

Tavola dei contenuti.

1. Introduzione . ..................................................................................1

2. Misure di distanza e di similarità . .................................................3

2.1. Coefficienti di similarità. ........................................................3

2.1.1. Generalità. ................................................................3

2.1.2. Coefficienti binari. .....................................................4

2.1.3. Coefficienti semi-quantitativi e quantitativi. ...............6

2.2. Coefficienti di distanza..........................................................9

2.2.1. Generalità. ................................................................9

2.2.2. Distanze metriche. ....................................................10

2.2.3. Dissimilarità metriche. ...............................................13

2.3. Coefficienti di dipendenza. ...................................................14

3. Tecniche di clustering. ..................................................................19

3.1. Note introduttive. ..................................................................19

3.2. Clustering gerarchico............................................................20

3.2.1. Generalità. ................................................................20

3.2.2. Algoritmo del legame singolo. ...................................21

3.2.3. Algoritmo del legame completo.................................22

3.2.4. Algoritmi di legame intermedio..................................23

3.2.5. Algortimi di legame medio.........................................24

3.3. Clustering non gerarchico.....................................................26

3.4. Clustering vincolato. .............................................................27

4. Tecniche di ordinamento. .............................................................29

4.1. Analisi delle Componenti Principali.......................................29

4.2. Analisi delle Coordinate Principali. .......................................31

4.3. Analisi Fattoriale delle Corrispondenze. ...............................33

4.4. Analisi delle Correlazioni Canoniche. ...................................36

5. Analisi di serie spaziali e temporali. .............................................39

5.1. Autocorrelazione...................................................................39

5.2. Test di Mantel. ......................................................................39

6. Interpolazione. .................................................................................42

6.1. Note introduttive. ..................................................................42

6.2. Le tecniche di interpolazione ................................................43

6.3. Il kriging: teoria. ....................................................................45

6.4. Il kriging: note applicative. ....................................................50

7. Diversità. .........................................................................................52

7.1. L'indice di Shannon. .............................................................52

7.2. Diagrammi rango-frequenza e modello di Zipf-Mandelbrot. ..53

8. Bibliografia. ....................................................................................56

pag. 1

1. Introduzione.

Gli insiemi di dati che vengono abitualmente prodotti nell'ambito

delle attività di ricerca e/o monitoraggio svolte su ecosistemi marini o

terrestri hanno la caratteristica di essere quasi sempre di tipo

multivariato. E' molto raro, infatti, che nel corso di una campagna di

campionamento si focalizzi l'attenzione su una sola variabile, anche nei

casi in cui le operazioni di campo vengono svolte a fini estremamente

specifici.

Le ragioni di ciò sono molteplici, ma certamente un ruolo primario

è quello giocato dall'elevato costo delle operazioni di campo e dalla

natura imperfetta e incompleta delle nostre effettive conoscenze

ecologiche. Se il primo motivo spinge ad una acquisizione "a tappeto"

di tutti i dati rilevabili su una singola stazione, il secondo è responsabile

della natura tipicamente ridondante dei piani di campionamento per ciò

che riguarda il numero di variabili di cui si prevede la misura. Infatti,

poichè non sono note a priori le eventuali correlazioni fra di esse, non è

possibile definire un filtro a monte delle operazioni di campo.

In generale un insieme tipico di dati ecologici può essere

rappresentato in forma matriciale. Le righe della matrice corrispondono

al vettore di tutte le misure previste per un campione, per una

osservazione o per un oggetto. Al contrario, i vettori-colonna di questa

stessa matrice conterranno l'insieme di tutti i valori relativi ad ogni

singolo descrittore fra quelli previsti. Evidentemente è del tutto

plausibile che si verifichi il caso opposto e che le righe corrispondano ai

vettori-descrittore. In linea di massima, comunque, si tende ad

organizzare i dati, per motivi pratici e, in qualche caso, anche

computazionali, in modo da avere un numero di righe maggiore del

numero delle colonne.

Ai fini della comprensione di quanto esposto nei capitoli che

seguono, si tenga presente che si è preferito il termine descrittore a

quello, più limitativo, di variabile. Analogamente, i termini osservazione

ed oggetto sono stati preferiti ad altri più specifici, come campione,

prelievo, misura, etc..

pag. 2

La maggior parte delle tecniche di analisi dei dati presentate in

questo contesto hanno essenzialmente finalità descrittive e di sintesi

dell'informazione. Solo in alcuni casi, infatti, è possibile ed utile, nel

campo della ricerca ecologica, ricorrere ad una impostazione basata su

test formali di ipotesi. La maggior difficoltà, in questo senso, sta nel

fatto che i dati ecologici assai raramente possono soddisfare tutte le

assunzioni necessarie a questo tipo di approccio.

D'altra parte, lo scopo dell'analisi dei dati in Ecologia è

essenzialmente quello di fornire un supporto ad un percorso

conoscitivo che si basa in larga misura sull'osservazione piuttosto che

sulla sperimentazione in senso stretto: dunque, la possibilità di

formulare delle inferenze informali è molto spesso più utile della

possibilità di testare ipotesi formali.

Le tecniche di analisi che vengono presentate nei capitoli seguenti

costituiscono un sottoinsieme rappresentativo di quello, più vasto, che

raccoglie tutti gli strumenti dell'Ecologia Numerica. In molti casi

l'esposizione fa riferimento a problemi correnti nel campo della ricerca

ecologica, piuttosto che ad un eccesivo formalismo. Inoltre, si è

preferito omettere la descrizione di tutte le possibili varianti delle singole

tecniche, poichè la scelta dell'alternativa più corretta in funzione del

problema da trattare costituisce un argomento di complessità superiore

a quello compatibile con le finalità di queste pagine. Per lo stesso

motivo, si è preferito non affrontare il problema della trasformazione dei

dati.

Per quanto riguarda questi aspetti ed altri ancora fra quelli che

non vengono trattati, si rimanda il lettore che desideri un

approfondimento a testi specifici di maggior respiro (Davis, 1986;

Legendre & Legendre, 1983; Pielou, 1984; etc.).

Infine, va sottolineato il fatto che queste pagine sono state

assemblate raccogliendo ed adattando materiale prodotto in occasione

di corsi e seminari dal 1986 ad oggi, senza però essere mai sottoposte

ad una approfondita revisione. Al di là della possibilità di incontrare

piccoli errori, ciò implica che lo spazio dedicato ai diversi argomenti non

ne rispecchia necessariamente l'effettiva rilevanza.

pag. 3

2. Misure di distanza e di similarità.

2.1. Coefficienti di similarità.

2.1.1. Generalità.

I coefficienti di similarità forniscono una misura del grado di

associazione fra osservazioni e variano generalmente da 0 ad 1. Tali

valori limite corrispondono, rispettivamente, al caso di osservazioni del

tutto disgiunte, prive di elementi comuni, ed al caso di osservazioni

identiche fra loro.

Fra i molti coefficienti disponibili una importante distinzione è

quella che deve essere fatta fra coefficienti simmetrici e coefficienti

asimmetrici. All'interno di un vettore di misure relativo ad una

osservazione può accadere che per uno o più descrittori siano stati

rilevati dei valori nulli. E' evidente che in alcuni casi tali valori

corrispondono ad un dato certo, almeno nei limiti dell'errore proprio dei

metodi di campionamento e di determinazione (es. un certo inquinante

è assente), mentre in altri casi lo zero indica piuttosto l'assenza di

informazione (es. una certa specie non è stata rinvenuta in un certo

campione). Nel primo caso la scelta dovrà cadere su un coefficiente

simmetrico, ai fini del cui calcolo i dati nulli hanno il medesimo valore

comparativo degli altri, mentre nel secondo caso dovranno essere

utilizzati coefficienti asimmetrici, in modo tale da evitare di definire una

elevata similarità sulla base di informazioni non certe (quale ad

esempio, la simultanea assenza di un elevato numero di specie in due

stazioni che hanno poche o nessuna specie in comune).

Nel seguito di questo capitolo vengono presentati alcuni

coefficienti di similarità, scelti fra quelli il cui impiego in campo

ecologico è più frequente. E' evidente che possono esistere dei casi

specifici in cui un altro coefficiente, non compreso fra quelli descritti in

questo contesto, potrebbe risultare più adatto ad affrontare una

particolare problematica, ma è bene sottolineare il fatto che la scelta di

pag. 4

un coefficiente di similarità rappresenta comunque, in qualche misura,

un passo arbitrario in una procedura di analisi. Proprio per questo

motivo è consigliabile affinare le proprie esperienze su un insieme

relativamente piccolo di coefficienti, piuttosto che spaziare su tutta la

gamma di quelli noti senza una motivazione più che solida.

2.1.2. Coefficienti binari.

Ai fini della descrizione dei coefficienti binari è utile definire i

quattro casi possibili nel confronto fra gli elementi corrispondenti di due

vettori-osservazione. Tale definizione può essere rappresentata in

forma schematica come segue:

Osservazione j

1 0

Osservazione k1 a b

0 c d

p = a + b + c + d

Dunque, con a si indica il numero di elementi in comune fra due

vettori-osservazione, mentre con d si indica il numero di elementi nulli

(assenti) in entrambi e con b e c il numero di elementi non nulli

(presenti) esclusivamente nell'uno e nell'altro vettore. Con p, infine, si

identifica la somma dei quattro valori appena citati, cioè il numero totale

di elementi (descrittori) dei vettori-osservazione.

Fra i coefficienti binari di tipo simmetrico più adatti ad un impiego

in campo ecologico possono essere citati il coefficiente di concordanza

semplice (Sokal & Michener, 1958) e due coefficienti da esso derivati.

pag. 5

Il coefficiente di concordanza semplice rappresenta il rapporto fra

il numero di elementi che hanno il medesimo valore (e quindi

concordanti) ed il numero totale di elementi:

p

daSjk

+=

Poichè questo coefficiente non distingue fra casi di concordanza

su valori 1 e su valori 0 (rispettivamente co-presenze e co-assenze), il

criterio da utilizzare per la codifica binaria dell'informazione può essere

considerato del tutto libero.

Il coefficiente proposto da Rogers & Tanimoto (1960) rappresenta

una variante di quello di concordanza semplice poichè rispetto a

quest'ultimo attribuisce un peso doppio alle discordanze:

dcba

daSjk +++

+=22

Una variazione sullo stesso tema, ma concettualmente opposta, è

indicata da Sokal & Sneath (1963) ed attribuisce un peso doppio alle

concordanze:

dcba

daSjk 22

22

++++=

Fra i coefficienti asimmetrici, il cui uso è da preferirsi quando si ha

a che fare con liste di specie derivate da osservazioni di campo in cui la

rappresentatività del campione non è del tutto certa, alcuni fra quelli più

frequentemente utilizzati costituiscono la diretta trasposizione di quelli

fin qui descritti al caso in cui lo zero si deve intendere come mancanza

di informazione piuttosto che come assenza o come valore nullo di un

descrittore.

Infatti, il coefficiente di Jaccard (1900, 1901, 1908) è simile a

quello di concordanza semplice, ma non tiene conto delle discordanze:

cba

aSjk ++

=

pag. 6

e corrisponde quindi al rapporto fra concordanze e numero di elementi

non nulli dei vettori-osservazione.

Il coefficiente di Sørensen (1948) è stato probabilmente il più

utilizzato in Ecologia Marina ed è strettamente imparentato con il

coefficiente simmetrico di Sokal & Sneath (1963) appena descritto:

cba

aSjk ++

=2

2

Si noti come, rispetto al coefficiente di Jaccard, il coefficiente di

Sørensen attribuisce un peso doppio alle concordanze. Nel caso del

confronto fra liste di specie, che rappresenta il tipico ambito di

applicazione di queste misure di similarità, esso enfatizza il criterio di

asimmetricità assegnando un peso doppio ai casi di co-presenza.

Questi ultimi rappresentano, come è evidente, i soli casi certi di

concordanza a causa della natura aleatoria del dato di assenza, che

spesso è dovuto al sottodimensionamento del campione prelevato.

E' interessante rilevare che Sokal & Sneath (1963) propongono

una versione asimmetrica anche del terzo dei coefficienti simmetrici

precedentemente descritti, quello di Rogers & Tanimoto:

cba

aSjk 22 ++

=

Tuttavia, l'uso di questo coefficiente è poco interessante, per un

motivo esattamente opposto a quello precedentemente esposto a

proposito del coefficiente di Sørensen. Infatti, non sembra giustificata la

scelta di un coefficiente asimmetrico se poi si attribuisce ai casi di

discordanza (influenzati dalle assenze) un peso doppio rispetto ai casi

di concordanza, che sono determinati con certezza.

2.1.3. Coefficienti semi-quantitativi e quantitativi.

I coefficienti di similarità basati su dati quantitativi veri e propri non

sono, in realtà, molto numerosi, poichè nei casi in cui è necessario

trattare questo tipo di dati molto spesso si preferisce l'uso di una misura

pag. 7

di distanza. Esistono, comunque, alcuni coefficienti sicuramente

interessanti, i quali meritano una breve descrizione.

Il trattamento di dati di tipo semi-quantitativo (es. punteggi

arbitrari) può essere affrontato nella maggior parte dei casi utilizzando i

coefficienti che vengono descritti in questo paragrafo, mentre per ciò

che riguarda insiemi di dati ai cui descrittori è applicata una codifica di

tipo non ordinale (es. colore, forma, etc.) si deve considerare

l'opportunità di tradurre l'informazione disponibile in forma binaria,

utilizzando poi un coefficiente binario simmetrico. In alternativa, è

possibile applicare il coefficiente di concordanza semplice, descritto nel

paragafo precedente, ed inteso come rapporto fra numero di

concordanze (uguale codifica di un descrittore in due osservazioni) e

numero di descrittori.

Una interessante possibilità è quella offerta dal coefficiente di

Gower (1971), che è formulato in modo tale da trattare ciascun

descrittore di un insieme multivariato in maniera ottimale in rapporto

alla sua natura. Questo coefficiente corrisponde alla media delle

similarità calcolate individulamente per ogni descrittore disponibile in

entrambe le osservazioni. Ciò è possibile grazie all'uso di una variabile

ausiliaria, detta delta di Kronecker, che assume un valore unitario nel

caso in cui i dati sono disponibili ed un valore nullo in caso contrario. E'

evidente che questo coefficiente si presta assai bene al trattamento di

insiemi di dati in cui uno o più valori risultano mancanti. La

formulazione del coefficiente di Gower è la seguente:

1

1

∑

∑

=

==p

ii

p

iii

jk

w

sw

S

dove wi ed si sono rispettivamente il delta di Kronecker e la similarità

relativi all'i-mo descrittore per le due osservazioni considerate.

La formulazione delle similarità per descrittore s può essere

variata a piacimento in funzione della natura dei dati disponibili e del

contesto da cui sono estratti, ma, in origine, l'Autore proponeva quanto

segue:

pag. 8

• per i descrittori binari si=1 nei casi di concordanza e si=0 altrimenti,

con il caso della concordanza da doppio zero che viene trattato in

accordo con il significato dello zero (valore nullo o mancanza di

informazione)

• per i descrittori semi-quantitativi ordinali e quantitativi si assume

si=1-|xij-xik| Ri-1

dove xij e xik sono i valori dell'i-mo descrittore nelle osservazioni j e k ed

Ri è l'intervallo di variazione dell'i-mo descrittore nell'insieme di

osservazioni disponibili o nella popolazione da cui sono estratte queste

ultime.

Per ciò che riguarda i coefficienti di tipo asimmetrico va segnalata

la possibilità di applicare, in forma modificata, coefficienti già descritti.

Si consideri, ad esempio la possibilità di trattare insiemi di dati semi-

quantitativi esprimendo la similarità come il rapporto fra il numero di

descrittori in cui si osserva concordanza ed il numero totale di

descrittori diminuito del numero di doppi zeri: la similarità che si ottiene,

in caso di codifica binaria, è esattamente quella di Jaccard.

Il coefficiente di Steinhaus (Motyka, 1947) è legato da una

analoga relazione al coefficente binario di Sørensen ed è noto, se

moltiplicato per 100, anche come "similarità percentuale":

∑

∑

=

=

+=

p

iikij

p

iikij

jk

xx

xxS

1

1

),min(2

Il coefficiente di Kulczynski (1928) ha una formulazione

abbastanza simile e corrisponde alla media dei rapporti fra somma dei

minimi e totale per le due osservazioni considerate:

+=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=p

iik

p

iikij

p

iij

p

iikij

jk

x

xx

x

xxS

1

1

1

1

),min(),min(

2

1

pag. 9

Una ulteriore ed interessante variazione è quella rappresentata

dal coefficiente di Rudjichka (Goodall, 1978), che, espresso senza

essere trasformato in percentuale, ha la seguente formulazione:

∑

∑

=

==p

iikij

p

iikij

jk

xx

xxS

1

1

),max(

),min(

Il pregio di tale coefficiente sta nel fatto che il suo complemento

all'unità, a differenza di quanto avviene per i due coefficienti descritti in

precedenza, corrisponde ad una misura di distanza di tipo metrico.

Sia il coefficiente di Kulczynski, sia quello di Rudjichka, sono di

tipo asimmetrico e si prestano a trattare dati quantitativi anche in forma

non normalizzata.

2.2. Coefficienti di distanza.

2.2.1. Generalità.

I coefficienti di distanza forniscono una misura del grado di

associazione fra due osservazioni, restituendo un valore nullo per

osservazioni identiche ed un valore variabile da coefficiente a

coefficiente per osservazioni totalmente differenti.

Le misure di similarità possono essere trasformate in distanza

semplicemente prendendone il complemento a 1. In questo caso,

tuttavia, al termine distanza si preferisce il termine dissimilarità. La

distinzione non è di tipo esclusivamente formale, poichè molte misure

di dissimilarità non godono delle proprietà metriche, le quali, se

soddisfatte, consentono di ordinare le osservazioni in uno spazio, per

l'appunto, di tipo metrico.

Le proprietà che devono essere soddisfatte perchè un coefficiente

di distanza o dissimilarità sia di tipo metrico sono le seguenti:

1. Dij=0 se j=k;

pag. 10

2. Djk>0 se j≠k;

3. Djk=Dkj;

4. Djk+Dkh≥Djh (assioma della diseguaglianza triangolare).

In generale è la quarta ed ultima proprietà quella che risulta

discriminante ed il fatto che sia o meno soddisfatta distingue le misure

metriche da quelle cosiddette semimetriche. In questo contesto, ai fini

di una maggiore chiarezza, sarà utilizzato il termine di distanza solo per

i coefficienti che soddisfano le proprietà metriche, mentre sarà

comunque preferito il termine di dissimilarità per quelli che sono derivati

da misure di similarità.

2.2.2. Distanze metriche.

I coefficienti di distanza metrici sono stati sviluppati per trattare

dati di tipo quantitativo e, con poche eccezioni, trattano lo zero come

una misura e non come una mancanza di informazione.

La più familiare fra le misure di distanza è certamente quella

euclidea, che corrisponde esattamente a quella che si può calcolare o

misurare nello spazio fra due oggetti fisici:

∑=

−=p

iikijjk xxD

1

2)(

E' importante rilevare il fatto che il quadrato della distanza

euclidea, che non di rado viene utilizzato al posto di quest'ultima, è una

semimetrica.

E' evidente che la scala dei singoli descrittori è molto influente nel

determinare una distanza euclidea fra due osservazioni. E' dunque

necessario riservare questa scelta ai casi in cui i descrittori sono

dimensionalmente omogenei o a quelli in cui essi vengono centrati e

standardizzati, al fine di eliminare l'effetto di eventuali differenze di

scala.

Proprio al fine di ovviare a questo inconveniente Orloci (1967)

propone di calcolare la distanza euclidea dopo aver normalizzato i

pag. 11

vettori-osservazione in modo tale che la loro lunghezza sia unitaria.

Questa distanza è detta "della corda" perchè la misura che si ottiene è

proprio quella della corda che unisce due punti-osservazione all'interno

di una ipersfera di raggio unitario. Questa distanza può anche essere

calcolata direttamente dai dati non normalizzati utilizzando la seguente

formulazione:

−=

∑∑

∑

==

=

p

iik

p

iij

p

iikij

jk

xx

xxD

1

2

1

2

11 2

La distanza della corda varia da 0, per due vettori identici per

profilo, cioè proporzionali fra loro, a p1/2, dove p è il numero dei

descrittori.

Una soluzione molto flessibile è quella costuita dalla metrica di

Minkowski:

r xxDp

i

r

ikijjk

−= ∑

=1

dove r può essere assegnato in maniera teoricamente arbitraria. In

realtà il caso r=2 corrisponde ad una distanza euclidea ed un valore di r

maggiore di questo, in generale, non è desiderabile per non enfatizzare

l'effetto della diversa scala dei descrittori.

Più interessanti sono i valori di r inferiori a questa soglia e, fra

questi, un caso particolare è quello che si verifica per r=1. In questo

caso la distanza che si ottiene è nota come metrica di Manhattan:

∑=

−=p

iikijjk xxD

1

Il nome di questa misura di distanza è dovuto al fatto che la

distanza fra due punti è data dalla somma della distanza in ascissa e di

quella in ordinata e corrisponde al percorso più breve che unisce due

pag. 12

punti in una città le cui strade si incrociano ad angolo retto, come, per

l'appunto, a Manhattan.

La metrica di Manhattan presenta gli stessi problemi legati

all'influenza della scala dei descrittori di cui si è detto a proposito della

metrica euclidea. Una delle varianti che, laddove necessario, la

correggono in questo senso è quella proposta da Lance & Williams

(1966) con il nome di metrica di Canberra:

( )∑= +

−=

p

i ikij

ikij

ijxx

xxD

1

I doppi zeri, se presenti, devono essere esclusi dal calcolo per

evitare problemi di indeterminazione. Pur senza normalizzare i dati,

questa distanza assegna alla differenza fra i valori che un descrittore

assume in due osservazioni un peso inversamente proporzionale alla

somma dei valori stessi: dunque, la medesima differenza ha un peso

maggiore se è osservata fra due valori piccoli. Uno degli inconvenienti

di questa soluzione, comunque, è costituito dal fatto che, se uno dei

due valori relativi ad un dato descrittore è uguale a zero, allora il

contributo alla distanza totale sarà comunque pari a 1, cioè il massimo

possibile. La metrica di Canberra, dunque, si presta meglio a trattare

serie di dati in cui esista eterogeneità di scala fra i descrittori senza,

però, che siano presenti molti valori nulli.

Una ulteriore variante della metrica di Manhattan è quella

proposta da Czekanowski (1909) come "differenza media dei

descrittori":

∑=

−=p

iikijjk xx

pD

1

1

Questa misura di distanza si presta all'esclusione dei casi in cui si

osserva un doppio zero, laddove ciò sia necessario, ma risente

comunque dell'eventuale eterogeneità di scala dei descrittori.

pag. 13

2.2.3. Dissimilarità metriche.

Come già accennato in precedenza, i coefficienti di similarità

possono essere convertiti in misure di distanza o, più propriamente, di

dissimilarità. Ciò si effettua semplicemente considerandone il

complemento ad 1 (cioè: Djk = 1 - Sjk).

Non tutte le dissimilarità, però, godono di proprietà metriche,

poichè sono molte quelle per cui l'assioma della diseguaglianza

triangolare non è verificato: in questo caso si usa la definizione di

semimetrica o pseudometrica. Sono dissimilarità semimetriche, ad

esempio, quelle derivate dai coefficienti di similarità di Sørensen, di

Sokal & Sneath, di Steinhaus e di Kulczynski.

La dissimilarità derivata dal coefficiente di Rudjichka, al contrario,

è di tipo metrico, così come quella derivata dal coefficiente di Jaccard,

che è nota anche come distanza di Marczewski-Steinhaus (Orloci,

1978) e che può essere calcolata direttamente come segue:

cba

cb

cba

aDjk ++

+=++

−= 1

Anche la similarità di Gower, infine, può essere trasformata in una

dissimilarità metrica, così come quella di Rogers & Tanimoto (sia nella

forma simmetrica, sia in quella asimmetrica) e come l'indice di

concordanza semplice.

Il principale vantaggio delle dissimilarità metriche è costituito dal

fatto che esse si comportano esattamente come delle misure di

distanza in uno spazio euclideo. Ciò rende più intuitiva la loro

applicazione e rende possibile l'applicazione di alcune tecniche di

analisi (es. Analisi delle Coordinate Principali, vedi §4.2.) che non

possono essere applicate alle semimetriche.

pag. 14

2.3. Coefficienti di dipendenza.

Così come i coefficienti di similarità e di distanza descrivono le

relazioni che esistono fra le osservazioni, i coefficienti di dipendenza

sintetizzano quelle che esistono fra descrittori.

Esistono diversi tipi di coefficienti di dipendenza, fra i quali è

possibile scegliere quello più adatto alla natura dei dati da trattare. Un

caso particolare è quello delle relazioni fra specie animali o vegetali,

che possono essere rappresentate mediante dei coefficienti di

associazione.

A differenza delle misure di similarità e distanza, comunque, i

coefficienti di dipendenza possono essere sottoposti a test statistici,

sempre che la distribuzione dei descrittori studiati lo consenta. In

generale, tali tests hanno come fine la verifica dell'ipotesi nulla di

indipendenza fra i descrittori.

Per il trattamento di dati quantitativi i coefficienti di dipendenza di

gran lunga più utilizzati sono certamente la covarianza e la correlazione

di Pearson.

La covarianza fra due descrittori si può ottenere, sulla base di due

vettori di n osservazioni, come:

∑=

−−−

=n

ikikjijjk xxxx

ns

1

))((1

1

Si noti come il calcolo della covarianza richiede che sia disponibile

un parametro statistico della distribuzione di frequenza dei descrittori,

cioè la media. E' evidente, inoltre, che nel caso particolare che si

determina se j=k la formula appena riportata restituisce la varianza di

un descrittore stimata su n osservazioni. In altre parole, sjj=sj2. Va

sottolineato il fatto che la sommatoria degli scarti si divide per n anzichè

per n-1 nel caso in cui la coverianza sia riferita ad una popolazione (in

senso statistico) invece che ad un campione.

Il coefficiente di correlazione r di Pearson è strettamente legato

alla covarianza ed esprime l'intensità della relazione lineare che lega

pag. 15

due descrittori. Esso non è altro che una covarianza calcolata su dati

standardizzati e può essere facilmente derivato, nel caso di dati non

standardizzati, dalla covarianza e dalle varianze dei due descrittori:

22kj

jkjk

ss

sr =

Ovviamente è anche possibile calcolare direttamente la

correlazione r di Pearson fra due descrittori, partendo dai dati bruti:

∑∑

∑

==

=

−−

−−=

n

ikik

n

ijij

n

ikikjij

jk

xxxx

xxxxr

1

2

1

2

1

)()(

))((

Così come la covarianza, anche la correlazione r di Pearson è

una misura parametrica di dipendenza, i cui parametri sono la media e

la deviazione standard dei descrittori. Il coefficiente di correlazione r di

Pearson varia da -1 a 1: questi limiti si ottengono per serie di dati

esattamente proporzionali, rispettivamente in maniera inversa e diretta.

Il coefficiente di correlazione r di Pearson può essere sottoposto

ad un test per verificare se esso differisce significativamente dallo zero.

A questo fine si calcola la probabilità di ottenere un valore di r pari a

quello osservato nel caso in cui i due descrittori siano totalmente

indipendenti fra loro e si considera significativa la correlazione se

questa probabilità è sufficientemente piccola (es. P<0.05).

Per far ciò si utilizza il seguente rapporto, che è distribuito come

un t di Student:

21

2

r

nrt

−

−=

pag. 16

La probabilità di ottenere un valore di r pari a quello osservato in

assenza di correlazione lineare fra i descrittori è quella associata al

valore di t ottenuto, con n-2 gradi di libertà.

Si tenga presente, comunque, che la non significatività della

correlazione lineare non implica l'indipendenza dei descrittori, i quali

possono essere legati da relazioni di ordine superiore.

Anche nel caso di descrittori semiquantitativi è possibile utilizzare

dei coefficienti di dipendenza. In particolare, si presta molto bene a

questo scopo il coefficiente di correlazione di rango r' (o ρ) di

Spearman: questo coefficiente non-parametrico può essere applicato

nel caso di relazioni di cui deve essere verificata la monotonicità, anche

se di tipo non lineare. La "robustezza" della correlazione di rango in

condizioni di non linearità delle relazioni fra descrittori, molto frequenti

in Ecologia, è la caratteristica che rende particolarmente interessante

l'applicazione di questo tipo di coefficiente.

Il coefficiente di correlazione r' di Spearman corrisponde

esattamente ad un coefficiente di Pearson calcolato sui ranghi dei dati

anzichè sui dati bruti. Esso può però essere ottenuto più direttamente

come segue:

nn

dr

n

ii

jk −−=′

∑=

31

261

dove d è la differenza fra il rango della i-ma osservazione per il

descrittore j e quello per il descrittore k.

Se per entrambi i descrittori non esistono due o più osservazioni

con il medesimo rango, allora il valore che si ottiene è identico a quello

del coefficiente r di Pearson. Tuttavia, nel caso in cui l'informazione è di

tipo semiquantitativo ed è codificata mediante un piccolo numero di

punteggi è inevitabile che molte osservazioni abbiano lo stesso

punteggio e quindi lo stesso rango. Ciò rende necessaria l'applicazione

di una correzione che tenga conto del numero di casi assegnati per

ciascun descrittore a ciascun rango. La formulazione del coefficiente r'

di Spearman diventa allora:

pag. 17

∑∑

∑∑∑

==

===

−−−⋅−−−⋅⋅

−−−−−−=′

m

hhkhk

m

hhjhj

n

ii

m

hhkhk

m

hhjhj

jk

qqnnqqnn

dqqqqnnr

1

33

1

33

1

2

1

3

1

33

)()(2

12)()(22

dove, oltre a quanto descritto per la formulazione di base, m è il

numero di ranghi e qhj e qhk sono il numero di osservazioni di rango h

per il descrittore j e per quello k.

Per ciò che riguarda il test di significatività del coefficiente r' di

Spearman è necessario fare riferimento a delle apposite tavole, poichè,

malgrado le notevoli affinità con il coefficiente r di Pearson, non è

possibile utilizzare il medesimo approccio. Infatti, la condizione di

normalità della popolazione bivariata da cui sono estratti i campioni non

è certamente soddisfatta nel caso di dati semiquantitativi.

Un caso particolare in cui è necessario disporre di un coefficiente

di dipendenza è quello dello studio delle associazioni di specie. In

questo caso i dati sono espressi tipicamente in forma binaria, poichè al

centro dell'attenzione non sono i rapporti quantitativi, ma piuttosto la

tendenza di più specie a ricorrere congiuntamente.

In questo contesto è possibile impiegare alcuni dei coefficienti di

similarità asimmetrici già descritti a proposito dei dati binari. La scelta di

coefficienti asimmetrici è motivata dal fatto che la co-assenza di specie

non costituisce una informazione rilevante ai fini della definizione di

eventuali associazioni.

In particolare, possono essere considerati dei coefficienti di

dipendenza fra specie sia il coefficiente di Jaccard (cfr. Reyssac &

Roux, 1972), sia quello di Sørensen, che in questo caso viene indicato

con il nome di indice di coincidenza (Dice, 1945).

Un coefficiente messo a punto espressamente per lo studio di

associazioni di specie è quello proposto da Fager & McGowan (1963):

)( 2

1

))((bc

cacaba

aSjk ≥

+⋅−

++=

pag. 18

Si noti come il secondo termine rappresenta una correzione per

impedire che le specie rare risultino fortemente associate: esso, infatti,

diminuisce il valore del coefficiente di una quantità tanto maggiore

quanto più è rara la specie più frequente fra le due esaminate.

pag. 19

3. Tecniche di clustering.

3.1. Note introduttive.

Una delle esigenze più comuni nella ricerca ecologica (e non) è

quella di raggruppare gli oggetti appartenenti ad un insieme dato in

modo tale da definire dei sottoinsiemi il più possibile omogenei. Per

raggiungere questo risultato, identificando una partizione, cioè una

collezione d'oggetti tale che ogni oggetto appartenga ad un solo

sottoinsieme o classe, è necessario disporre di una procedura o di un

algoritmo adatti alla natura dell'informazione disponibile, del problema

da affrontare e degli oggetti stessi.

Le procedure di tipo soggettivo, in quest'ambito, hanno un ruolo

molto più importante di quanto non si pensi comunemente. Basti

considerare il fatto che è su un approccio di questo tipo, per quanto

codificato in un quadro tassonomico di riferimento, che è basata una

delle attività fondamentali della ricerca ecologica, cioè la classificazione

degli organismi animali e vegetali. Inoltre, prima che gli algoritmi di

classificazione oggi disponibili venissero sviluppati, cioè fino a tutti gli

anni '50, il modo più sofisticato di ottenere una partizione di un insieme

di oggetti (o osservazioni) multivariati consisteva nel rappresentarli nello

spazio dei loro descrittori o in quello definito da due o più assi principali

(cfr. cap. 4), ricercando manualmente gli insiemi di punti più omogenei.

Come appena accennato, gli algoritmi di classificazione sono tutti

abbastanza recenti, ma, nonostante ciò, essi costituiscono un insieme

tanto ricco quanto diversificato. Gli algoritmi, in linea di massima,

possono essere suddivisi in due grandi gruppi: quelli di tipo gerarchico,

in cui si procede tipicamente per aggregazione successiva di oggetti, e

quelli di tipo non gerarchico, in cui si procede per divisione dell'insieme

di oggetti originale o per successivi aggiustamenti di una prima

partizione.

Alcuni Autori prefiscono utilizzare il termine clustering per indicare

i soli metodi non gerarchici, riservando il termine classificazione per

quelli gerarchici. In questa sede, comunque, sarà utilizzato

pag. 20

esclusivamente il primo termine, poichè esso è largamente utilizzato e

compreso, indipendentemente dal contesto applicativo. La trattazione

sarà focalizzata sul clustering di oggetti (o osservazioni), ma è evidente

che in alcuni casi può essere interessante e/o necessario ottenere

piuttosto una partizione di un insieme di descrittori.

E' importante sottolineare il fatto che una partizione ottenuta

mediante un algoritmo di clustering è a tutti gli effetti un descrittore

aggiuntivo (e sintetico) dell'insieme di oggetti in esame. L'appartenenza

ad un cluster, infatti, se codificata in maniera appropriata, può essere

utilizzata come una variabile di sintesi per ulteriori elaborazioni

dell'informazione disponibile.

Infine, anche se non sarà trattato in questo contesto, è

interessante ricordare l'esistenza di un approccio del tutto particolare ai

problemi di clustering, il quale pur essendo molto ben adattato ai

problemi più disparati, non si è ancora ritagliato uno spazio significativo

nell'ambito della ricerca ecologica. L'approccio in questione è quello

basato sul concetto di fuzzy sets, secondo cui l'appartenenza di un

oggetto ad una classe (cioè ad un fuzzy set) non viene espressa in

forma binaria, ma piuttosto in forma probabilistica. E' evidente che

questo tipo di logica è molto più vicina a quella che tutti noi utilizziamo

nella vita di tutti i giorni, quando ci riferiamo a categorie i cui limiti sono

difficilmente definibili in maniera univoca, poichè sfumano le une nelle

altre senza soluzione di continuità.

3.2. Clustering gerarchico.

3.2.1. Generalità.

Gli algoritmi di clustering gerarchico utilizzano una matrice di

similarità (o distanza) fra gli oggetti come base per l'aggregazione di

questi ultimi. E' importante sottolineare il fatto che la scelta del

coefficiente di similarità (o distanza) risulta in molti casi addirittura più

determinante di quella dell'algoritmo di clustering ai fini del

conseguimento dei risultati desiderati. Tale scelta, dunque, deve essere

pag. 21

preceduta da una accurata esplorazione dell'informazione disponibile e

da una chiara identificazione del tipo di relazione fra gli oggetti che si

intende rappresentare.

I risultati di una procedura di clustering gerarchico possono essere

reppresentati in diversi modi, anche se in prevalenza si preferisce

utilizzare un dendrogramma. I legami orizzontali in un dendrogramma

vengono chiamati nodi, mentre le linee verticali sono dette internodi. La

distanza di un nodo dalla base del dendrogramma è proporzionale alla

similarità (o distanza) fra i due oggetti o gruppi di oggetti di cui il nodo

rappresenta la fusione. La similarità (o distanza) è di solito riportata su

una scala al lato del dendrogramma. La disposizione relativa degli

oggetti alla base del dendrogramma è vincolata solo in parte dalla

struttura di quest'ultimo e, entro questi limiti, gli oggetti possono essere

liberamente riarrangiati.

In molti casi è utile anche visualizzare l'andamento progressivo

delle similarità (o distanze) a cui via via avvengono le fusioni fra oggetti

o gruppi di oggetti. Questa rappresentazione è fornita dal diagramma di

aggregazione, grazie al quale è possibile individuare facilmente le

discontiuità più rilevanti incontrate nella procedura di clustering. Tali

discontinuità, in molti casi, possono corrispondere a partizioni "naturali"

dell'insieme di oggetti analizzati e costituiscono un utile riferimento

laddove sia necessario ripartire questi ultimi in un certo numero di

classi (es. se si usa la partizione ottenuta come un nuovo descrittore

sintetico dell'insieme degli oggetti).

3.2.2. Algoritmo del legame singolo.

L'algoritmo del legame singolo (o nearest-neighbor) è certamente

il più semplice fra quelli disponibili e deve il suo nome al fatto che la

fusione fra due oggetti o gruppi di oggetti può avvenire se la distanza

fra due oggetti non appartenenti allo stesso gruppo è la più bassa fra

quelle possibili.

La procedura operativa, supponendo di lavorare su una matrice di

distanza, è la seguente:

pag. 22

1. si individua il valore minimo nella matrice (con esclusione,

ovviamente della diagonale) e si fondono i due oggetti corrispondenti

in un primo gruppo;

2. si individua il valore minimo residuo, cioè escludendo le distanze

intra-gruppo, e si fondono i due oggetti che corrispondono a tale

valore o i due gruppi a cui essi appartengono;

3. si procede fino a quando tutti gli oggetti sono assegnati ad un unico

gruppo.

Come si può notare, la procedura di clustering è elementare e non

richiede alcun calcolo aggiuntivo al di là di quello della matrice di

similarità o distanza.

L'algoritmo del legame singolo, tuttavia, non è molto utilizzato,

soprattutto per la sua tendenza al concatenamento degli oggetti, che

rende sempre più facile l'aggregazione di nuovi elementi man mano

che un gruppo diventa più numeroso. Ciò è dovuto al fatto che basta un

solo legame, cioè una sola coppia di oggetti effettivamente simili fra

loro, a far fondere due gruppi: è evidente quanto più è grande il numero

di oggetti che appartengono ad un gruppo, tanto più è probabile che

almeno uno di essi possa costiutire un "ponte" verso un altro oggetto o

un altro gruppo di oggetti. In altre parole, si può immaginare che

l'algoritmo del legame singolo provochi una contrazione dello spazio di

riferimento intorno ai gruppi proporzionale alla loro dimensione.

3.2.3. Algoritmo del legame completo.

Una soluzione affine a quella appena descritta da un punto di

vista procedurale, ma completamente opposta per ciò che riguarda le

regole di fusione dei gruppi è quella che prevede l'uso dell'algoritmo del

legame completo (o farthest-neighbor), proposto da Sørensen (1948)

In questo caso, infatti, si ammette la fusione di due gruppi di

oggetti soltanto se tutte le distanze fra coppie di oggetti non

appartenenti allo stesso gruppo sono inferiori alla soglia che

permetterebbe la fusione di un'altra coppia di gruppi.

pag. 23

Ciò garantisce una notevole omogeneità intra-gruppo, favorendo

la formazione di gruppi a cui appartiene un numero non troppo variabile

di oggetti, poichè quanto più un gruppo è numeroso, tanto più è difficile

che esso sia nel sua interezza sufficientemente simile ad un altro

gruppo. In contrapposizione a quanto avviene per l'algoritmo del

legame singolo, in questo caso si verifica una dilatazione dello spazio di

riferimento intorno ai gruppi già formati che è proporzionale alla loro

dimensione.

Le particolari caratteristiche dell'algoritmo del legame completo

rendono quest'approccio particolarmente adatto ad applicazioni

ecologiche, soprattutto quando si vogliono individuare le discontinuità

più rilevanti in un insieme di dati.

Il rovescio della medaglia, peraltro comune ad altri algoritmi di cui

si tratterà nel seguito di questo capitolo, è costituito dalla possibilità di

incontrare casi particolari in cui la scelta dell'aggregazione non è

definibile in maniera univoca. Pur senza scendere nel dettaglio, si

tenga conto che queste situazioni possono essere risolte applicando

nell'ordine alcune semplici regole (Sørensen, 1948). In particolare, sarà

privilegiata l'aggregazione che: (a) genera il gruppo più numeroso; (b)

accelera la diminuzione del numero di gruppi e (c) massimizza la

similarità media intra-gruppo.

3.2.4. Algoritmi di legame intermedio.

Fra i criteri estremi utilizzati negli algoritmi del legame singolo e di

quello completo esistono, evidentemente, delle possibilità intermedie.

Una di queste è costituita dall'algoritmo del legame proporzionale, che

prevede la fusione di due gruppi se una certa frazione, definita a priori,

delle distanze inter-gruppo è inferiore o uguale alla soglia necessaria

per definire una nuova partizione (Sneath, 1966).

Nel caso in cui tale frazione è fissata al 50%, il cirterio adottato è

esattamente a metà strada fra quello del legame singolo e quello del

legame completo. Se l'impiego di questi ultimi provocava

rispettivamente una dilatazione ed una contrazione dello spazio di

riferimento intorno ai gruppi già formati, il criterio intermedio utilizzato

pag. 24

dall'algoritmo del legame proporzionale può garantire un accettabile

grado di conservazione delle proprietà metriche dello spazio di

riferimento.

L'algoritmo del legame proporzionale non è l'unico nella famiglia

degli algoritmi di legame intermedio, dei quali Sneath (1966) descrive

tre ulteriori forme.

3.2.5. Algortimi di legame medio.

Un'altra importante categoria di algoritmi di clustering è quella

basata su misure di distanza (o similarità) media fra i gruppi.

Le varianti possibili sono quattro e derivano dalla combinazione di

due scelte: il peso attribuito ai gruppi, che può essere uguale o

proporzionale alla loro dimensione, e la procedura di calcolo della

distanza inter-gruppo, che può essere basata sulla media delle

distanze fra singoli oggetti o sulla distanza fra i centroidi dei gruppi. La

tabella che segue fornisce un quadro d'insieme delle varie possibilità:

Distanza fra gruppi definita come:

distanza media fra

gli oggetti

distanza fra i

centroidi dei gruppi

pesi uguali clustering medio

(UPGMA)

clustering centroide

(UPGMC)

pesi proporzionaliclustering a pesi

proporzionali(WPGMA)

clustering mediano

(WPGMC)

Per ciascun algoritmo di clustering è indicata fra parentesi la

denominazione utilizzata da Sneath & Sokal (1973).

Il clustering medio (unweighted arithmetic average clustering,

Rohlf, 1963) utilizza come criterio per la fusione di due gruppi di oggetti

pag. 25

la media aritmetica delle distanze (o delle similarità) fra tutti gli oggetti

dei due gruppi e ad ogni oggetto viene attribuito lo stesso peso.

Il clustering a pesi proporzionali (weighted arithmetic average

clustering, Sokal & Michener, 1958) prevede l'assegnazione di un

medesimo peso a ciascuno dei due gruppi che devono essere fusi: ciò

implica che gli oggetti del gruppo più numeroso avranno un peso

individuale minore di quello degli oggetti del gruppo meno numeroso.

La distanza fra i gruppi si calcola poi come una somma ponderata di

tutte le distanze inter-oggetto. Questo approccio è specificamente

adattato al caso in cui si analizzano contemporaneamente diversi

insiemi "naturali" di oggetti: in questo caso, infatti, se uno di tali insiemi

contiene un numero di oggetti relativamente piccolo, il risultato della

procedura di clustering potrebbe essere fortemente influenzato

dall'insieme più numeroso.

Il clustering centroide (Sokal & Michener, 1958; unweighted

centroid, Sneath & Sokal, 1973) è caratterizzato dal fatto che, dopo che

due oggetti o gruppi di oggetti sono stati fusi, essi vengono

rappresentati dal loro centroide. Ciò può essere ottenuto in diversi

modi, ma in genere è possibile sostituire le righe e le colonne relative

agli oggetti che appartengono ad un gruppo appena formato con un

vettore di valori, uguale per tutti gli oggetti, che si ottiene utilizzando

una media, meglio se ponderata (Gower, 1967) delle similarità relative

ai singoli oggetti. Il clustering centroide può dare luogo, talvolta, a delle

"inversioni" nella struttura del dendrogramma, cioè si può verificare il

caso che un nodo di ordine gerarchico superiore corrisponda ad un

livello di distanza (o di similarità) minore (maggiore) di quello relativo ad

un nodo di ordine gerarchico inferiore. Il fatto che l'algoritmo non

garantisce la monotonicità del diagramma di aggregazione e del

dendrogramma rende talvolta difficile l'interpretazione dei risultati, che

in ogni caso devono essere utilizzati con cautela per la definizione di

partizioni vere e proprie.

Così come nel caso del clustering medio, se si considera un

insieme di dati in cui le osservazioni relative ad uno o più ambienti

(popolazioni) particolari predominano numericamente su quelle relative

ad ambienti (popolazioni) meno rappresentati, può essere necessario

pag. 26

introdurre una correzione, basata sull'assegnazione di un peso uguale

a ciscun gruppo, ogni volta che si effettua una fusione.

Questa soluzione prende il nome di clustering mediano (Gower,

1967, weighted centroid, Sneath & Sokal, 1973) e sta al clustering

centroide esattamente come il clustering a pesi proporzionali sta al

clustering medio.

3.3. Clustering non gerarchico.

Le procedure di clustering non gerarchico prevedono la

ripartizione degli oggetti in un numero dato di gruppi, generalmente

sulla base di un criterio di massimizzazione della omogeneità intra-

gruppo.

A differenza delle procedure gerarchiche non è generalmente

necessario disporre di una matrice di distanza o similarità fra gli oggetti:

questa caratteristica è estremamente importante quando si devono

analizzare grandi insiemi di dati.

Uno dei metodi di clustering non gerarchico più interessanti è

quello noto come algoritmo delle Nubi Dinamiche (Nuées Dynamiques,

Diday, 1971). Esso può essere sintetizzato come segue:

1. si assegna a caso ciascuno degli n oggetti ad uno degli m gruppi

richiesti;

2. si calcolano le coordinate degli m centroidi dei gruppi appena formati

nello spazio dei p descrittori considerati;

3. si riassegna ciascun oggetto al gruppo il cui centroide è più vicino;

4. se nessun oggetto ha cambiato gruppo, la partizione ottenuta è

quella finale, altrimenti si torna al punto 2.

Uno degli inconvenienti di questo metodo sta nel fatto che la

partizione finale non è determinata in maniera univoca: è infatti

possibile che diverse configurazioni di partenza (cioè diverse ripartizioni

casuali degli oggetti fra gli m gruppi) convergano verso stati finali

leggermente differenti, soprattutto in assenza di una partizione

pag. 27

"naturale" degli oggetti. In questo caso è possibile iterare un certo

numero di volte la procedura e mantenere la partizione per cui

l'omogeneità intra-gruppo è massima. Questa soluzione non è così

inefficiente come può sembrare in prima analisi, poichè questo

algoritmo è estremamente rapido anche nel caso in cui si trattano

insiemi di dati di grandi dimensioni.

Come già accennato, pur non potendo essere considerata come

una procedura di clustering in senso stretto, la definizione euristica di

sottoinsiemi di oggetti basata sull'uso di tecniche di ordinamento (vedi

cap. 4) rappresenta una prassi consolidata e, con le dovute cautele,

non priva aspetti interessanti. In generale, comunque, questa soluzione

deve essere adottata a fini prettamente descrittivi, sfruttando

soprattutto la possibilità di individuare in maniera immediata il

descrittore o il complesso di descrittori che hanno il maggior peso nel

determinare le differenze osservate fra i gruppi di oggetti.

3.4. Clustering vincolato.

In molti casi i risultati di una procedura di clustering dipendono in

maniera determinante dalla scelta dell'algoritmo e da quella di una

misura di distanza o similarità appropriata. Imporre dei vincoli ad un

algoritmo di clustering implica la definizione di un modello a priori che

guida il processo di aggregazione degli oggetti, limitando lo spettro

delle partizioni valide ad un sottoinsieme di quelle possibili.

L'uso di tecniche di clustering vincolato (Legendre & Legendre,

1984; Legendre et al., 1985; Legendre, 1987) si rivela di particolare

utilità quando è necessario identificare le discontinuità più rilevanti in

una serie spaziale o temporale. Questo approccio consente infatti di

individuare i gruppi di campioni che presentano il massimo grado di

omogeneità al loro interno, scegliendoli esclusivamente fra quelli che

formano delle sequenze cronologicamente ordinate o spazialmente

connesse.

Le tecniche di clustering vincolato, in breve, prevedono la fusione

di due oggetti o gruppi di oggetti in un unico gruppo solo se essi sono

pag. 28

contigui nel tempo o nello spazio ed al tempo stesso sono soddisfatte

le condizioni di fusione previste dall'algoritmo di clustering prescelto. In

particolare, comunque, si deve sottolineare il fatto che gli algoritmi di

clustering che meglio si adattano all'applicazione di vincoli sono quelli di

tipo gerarchico.

Il concetto di contiguità, per poter essere applicato all'algoritmo di

clustering, deve essere opportunamente formalizzato. Se per le serie

monodimensionali (es. temporali) ciò non costituisce un problema, per

ciò che riguarda le serie bi- o multidimensionali (es. un insieme di

stazioni in un'area geografica) è necessario stabilire un criterio che

definisca il concetto di contiguità. Tale criterio può anche essere di

natura assolutamente soggettiva, ma esistono delle soluzioni che

hanno il pregio di poter definire in maniera oggettiva ed univoca una

matrice di connessione fra gli oggetti.

Una di queste soluzioni è rappresentata dalle reti di Gabriel

(Gabriel & Sokal, 1969). In questo caso si considerano connessi due

punti A e B se nessun altro punto cade all'interno del cerchio il cui

diametro è il segmento che unisce i punti A e B. In altre parole, dati tre

punti qualsiasi A, B e C, si connettono A e B se DAB<(DAC+DBC).

E' evidente che in alcuni casi può essere necessario imporre delle

correzioni alla matrice di connessione. Ciò si verifica, ad esempio,

quando due punti, considerati connessi nello spazio bidimensionale

delle loro coordinate, sono funzionalmente disgiunti a causa della

presenza di accidenti geografici (es. due stazioni in mare possono

essere le più vicine fra loro in linea d'aria, pur essendo separate da una

penisola).

pag. 29

4. Tecniche di ordinamento.

4.1. Analisi delle Componenti Principali.

L'Analisi delle Componenti Principali è la tecnica di ordinamento

più semplice, nel senso che essa opera esclusivamente una rotazione

rigida degli assi dello spazio multidimensionale dei dati in modo tale da

orientarli in maniera coerente con i pattern di dispersione dei dati

stessi. Ciò consente di rappresentare un insieme di dati in maniera più

efficace anche in un numero ridotto di dimensioni, cioè in un sistema di

assi ortogonali (le Componenti Principali) definiti come combinazioni

lineari dei descrittori originali. Inoltre, è possibile ottenere anche una

rappresentazione delle relazioni fra i descrittori stessi e fra questi ultimi

e le Componenti Principali.

Come per la maggior parte delle tecniche di ordinamento, anche

per l'Analisi delle Componenti Principali è necessaria l'estrazione di

autovalori ed autovettori da una matrice. Nel caso specifico si tratta in

genere di una matrice di covarianza o di correlazione.

La procedura di calcolo prevede che i dati siano organizzati in una

matrice Xnxp, dove n sono le osservazioni e p i descrittori. Gli elementi

della matrice X dei dati bruti vengono quindi centrati sulle p colonne

(cioè sui descrittori), in modo da ottenere una matrice Y di eguale

dimensione:

∑=

−=n

iijijij x

nxy

1

1

Moltiplicando la matrice Y per la sua trasposta Y' e dividendo il

prodotto per il numero di osservazioni n si ottiene la matrice S, che è la

matrice di covarianza dell'insieme dei dati originali contenuti nella

matrice X:

YY'Sn

1=

pag. 30

In realtà, va sottolineato il fatto che, pur essendo prassi

abbastanza consolidata, la divisione per n del prodotto Y'Y, non è

strettamente necessaria, poichè tale operazione non ha alcuna

influenza sul risultato finale dell'analisi.

Si procede quindi ad estrarre gli autovalori λk (k=1,2,...,m) e gli

autovettori ujk (j=1,2,...p; k=1,2,...,m) della matrice S. Si noti che il

numero m di autovalori ed autovettori da estrarre può essere fissato a

piacere: in molti casi è sufficiente considerare i primi 2 o 3 autovalori, in

ordine decrescente.

Le coordinate fij (o scores) delle osservazioni riferite al nuovo

sistema di assi, cioè alla Componenti Principali, si calcolano

moltiplicando la matrice dei dati centrati Y per la matrice U degli

autovettori (o loadings).

Da un punto di vista pratico, la rappresentazione delle

osservazioni nello spazio definito dalle Componenti Principali (modello

di ordinamento) si può effettuare in una, due o tre dimensioni. Tuttavia,

la rappresentazione di gran lunga più comune è quella che si ottiene

nel piano definito da una coppia di Componenti Principali.

La qualità della rappresentazione ottenuta si può valutare sulla

base degli autovalori estratti. La percentuale di varianza spiegata dalla

prima Componente Principale è pari al rapporto fra il primo autovalore e

la traccia della matrice S e così via.

Infine, è possibile proiettare anche i descrittori nello spazio delle

Componenti Principali. Le coordinate gjk (j=1,2,...p; k=1,2,...,m) dei

descrittori si ottengono moltiplicando ciascun autovettore per la radice

quadrata dell'autovalore corrispondente:

kjkjk ug λ=

La proiezione dei descrittori deve essere interpretata in maniera

leggermente diversa da quella delle osservazioni. In quest'ultimo caso,

infatti, è la distanza fra i punti che consente valutare la somiglianza

delle osservazioni, mentre nel primo caso sono piuttosto gli angoli che

formano i vettori che identificano i punti-descrittore nello spazio delle

Componenti Principali a rappresentare le relazioni fra i descrittori stessi.

pag. 31

Le correlazioni fra Componenti Principali e descrittori originali

possono essere calcolate semplicemente dividendo per la deviazione

standard sj le coordinate gjk dei descrittori.

L'Analisi delle Componenti Principali richiede, per una corretta

applicazione, che i descrittori siano di tipo quantitativo e che la loro

distribuzione sia di tipo normale. Inoltre, si assume che essi siano legati

da relazioni lineari e che la matrice dei dati non contenga un numero

eccesivo di zeri. Nel caso in cui i descrittori non siano

dimensionalmente omogenei, infine, è opportuno effettuare l'analisi su

una matrice di correlazione: ciò si ottiene standardizzando i dati bruti o,

ancor più semplicemente, dividendo ogni elemento di Y per la

deviazione standard sj del descrittore corrispondente.

4.2. Analisi delle Coordinate Principali.

Nel campo della ricerca ecologica non sempre gli insiemi di dati

posseggono le proprietà necessarie ad una corretta applicazione

dell'Analisi delle Componenti Principali. Si consideri il caso tipico di una

lista di specie osservate in un certo numero di campioni: spesso

l'informazione è espressa mediante una codifica binaria

(presenza/assenza) ed anche nei casi in cui sono disponibili le

abbondanze, queste ultime non sono certamente distribuite in modo

normale. Inoltre, il numero di zeri, cioè di assenze di specie dai

campioni esaminati, è molto spesso addirittura superiore al numero dei

valori non nulli. In questi casi esistono numerose misure di similarità e/o

di distanza che si prestano a rappresentare al meglio le relazioni fra gli

oggetti (campioni), come ampiamente discusso nel capitolo 2.

Un ordinamento degli oggetti nello spazio definito da una qualsiasi

matrice di distanza o di similarità, a condizione che essa goda di tutte le

proprietà metriche, può essere ottenuto mediante l'Analisi delle

Coordinate Principali (Gower, 1966). Tale tecnica di ordinamento ha la

proprietà di preservare al meglio le distanze originali fra gli oggetti nello

spazio ridotto definito dagli assi principali.

pag. 32

La matrice Dnxn delle distanze o similarità fra gli n oggetti viene

dapprima trasformata nella matrice ∆:

D2

1−=∆

La matrice C viene quindi ottenuta centrando la matrice ∆ in modo

tale che l'origine del sistema di assi che sarà definito si trovi nel

centroide degli oggetti:

∑∑∑∑= ===

−−−=n

h

n

khk

n

kkj

n

hihijij

nnnc

1 12

11

111 δδδδ

dove il secondo ed il terzo termine rappresentano le medie di riga e di

colonna della matrice ∆ (equivalenti nel caso di una matrice simmetrica)

e l'ultimo termine rappresenta la media generale di questa stessa

matrice.

Si calcolano quindi gli autovalori λj (j=1,2,...,m; m≤n-1) e gli

autovettori uij (i=1,2,...,n; j=1,2,...,m) della matrice C. Le Coordinate

Principali fij degli oggetti si ottengono moltiplicando gli autovettori per la

radice quadrata dell'autovalore corrispondente:

ijjij uf ⋅= λ

Anche in questo caso la qualità dell'ordinamento ottenuto per

ciascun asse principale può essere valutata sulla base del rapporto fra

l'autovalore corrispondente e la somma degli autovalori estratti.

Tuttavia, poichè è possibile che uno o più autovalori siano negativi,

Cailliez & Pagès (1976) raccomandano di valutare globalmente la

qualità di un ordinamento utilizzando il rapporto:

∑

∑−

=

=

−+

+

1

1min

1min

)1(n

ii

q

ii

n

q

λλ

λλ

pag. 33

dove q è il numero di dimensioni in cui si è ottenuto l'ordinamento, n è il

numero totale di dimensioni e λmin è l'autovalore negativo di maggior

valore assoluto.

4.3. Analisi Fattoriale delle Corrispondenze.

L'Analisi Fattoriale delle Corrispondenze, o semplicememte

Analisi delle Corrispondenze, è una tecnica di ordinamento di grande

interesse in ecologia (Benzecri et al., 1973). A differenza di altre

tecniche, quali ad esempio i vari tipi di Analisi delle Componenti

Principali, l'Analisi Fattoriale delle Corrispondenze consente di

rappresentare simultaneamente i punti-variabile ed i punti-

osservazione, con coordinate tali da rendere massima la correlazione

fra i due insiemi per ogni fattore.

La dualità di questo tipo di analisi, tuttavia, non è il suo unico

pregio. Una caratteristica di enorme interesse dell'Analisi Fattoriale

delle Corrispondenze è l'equivalenza distribuzionale. In pratica, poichè

ad essere analizzati sono sostanzialmente dei profili, il risultato globale

dell'analisi non cambia se, ad esempio, le osservazioni relative a due

entità tassonomiche la cui separazione è dubbia vengono cumulate o

mantenute separate. Analogamente, se un'osservazione è replicata

con risultati coerenti, può essere indifferentemente cumulata alla

precedente o trattata come una nuova osservazione.

Tralasciando una trattazlone piu approfondita e centrata su aspetti

piu strettamente formali, l'Analisi Fattoriale delle Corrispondenze può

essere effettuata in tre fasi principali: calcolo di una matrice simmetrica

di prodotti scalari, calcolo degli autovalori e degli autovettori di tale

matrice ed infine calcolo delle coordinate e dei contributi assoluti (cioè

dei contributi delle osservazioni e delle variabili agli assi fattoriali) e

relativi (cioè degli assi fattoriali alla descrizione di osservazioni e

variabili).

La qualità della rappresentazione ottenuta nello spazio ridotto

definito dagli assi fattoriali può essere stimata sulla base degli

autovalori estratti, per quanto riguarda la qualità globale

pag. 34

dell'ordinamento ed il grado di strutturazione del sistema, e sulla base

dei contributi relativi per quanto riguarda i singoli taxa e le singole

stazioni.

La matrice dei dati Anxp sarà organizzata in modo tale che risulti p

≤n, al fine di ottimizzare le procedure di calcolo. Ciò implica, nella

maggior parte dei casi, che le osservazioni corrispondano alle righe ed i

descrittori alle colonne, poichè le prime dovrebbero essere comunque

più numerose dei secondi. Un caso tipico in cui ciò non si verifica,

tuttavia, è quello, peraltro assai frequente, in cui si debbano trattare

delle liste si specie osservate in un insieme di stazioni: in questo caso è

del tutto normale che le specie (cioè i descrittori) siano molto più

numerose delle stazioni (cioè delle osservazioni).

La matrice A, così organizzata, viene trasformata nella matrice U,

in cui

..

..

..a

aa

aa

au

ji

ji

ijij −=

La matrice U contiene dunque gli scarti degli elementi di A pesati

sulla media geometrica delle somme marginali di riga e di colonna

rispetto alla stessa media geometrica pesata sul totale generale.

La matrice dei prodotti scalari S, di rango p, si ottiene quindi

moltiplicando la tale matrice per la sua trasposta U'

UUS ′=

Si calcolano quindi gli autovalori λj [j=1,2,...,m; m≤p-1] e gli

autovettori vjh [j=1,2,...,p; h=1,2,...,m)] della matrice S. Si noti che,

poichè non è strettamente necessario calcolare tutti gli autovalori e gli

autovettori, spesso ci si limita ad estrarre solo i primi 2 o 3, i quali,

peraltro, sono in generale largamente sufficienti ai fini dell'analisi.

Si calcolano quindi le coordinate delle osservazioni:

pag. 35

∑=

=p

j ji

jhijih

a

aa

vaf

1

..

..

per gli h assi fattoriali richiesti. Si passa poi alle coordinate delle

variabili:

∑=

=n

i hj

ihijjh

a

fag

1 . λ

Successivamente si calcolano i contributi assoluti all'h-mo fattore

da parte della i-ma osservazione e della j-ma variabile:

h

jjhjh

h

iihih

a

aggca

a

affca

λ

λ

..

.2

..

.2

)(

)(

=

=

Infine, si calcolano i contributi relativi dell'h-mo fattore, all'i-ma

osservazione ed alla j-ma variabile

∑

∑

=

=

=

=

m

hjh

jhjh

m

hih

ihih

g

ggcr

f

ffcr

1

2

2

1

2

2

)(

)(

La significatività degli assi fattoriali può essere testata in maniera

empirica in diversi modi. Il più semplice è quello che prevede il

confronto della percentuale di varianza spiegata da ciascuno di essi

con quella attesa in base al modello di Mac Arthur ("broken-stick").

E' inoltre possibile rappresentare altre osservazioni ad altre

variabili nello spazio fattoriale così definito.

pag. 36

4.4. Analisi delle Correlazioni Canoniche.

Nell'ambito di uno studio ecologico è spesso necessario prendere

in considerazione insiemi di variabili qualitativamente eterogenei. Ad

esempio, è assai frequente il caso in cui si dispone della lista delle

specie e delle misure dei principali parametri fisico-chimici relative ad

un insieme di osservazioni distribuite nello spazio e/o nel tempo. Un

insieme di dati organizzato in tal modo non può essere analizzato

esaustivamente mediante le consuete tecniche di ordinamento, le quali,

al di la dei problemi formali, non consentono di isolare i due

sottoinsiemi di variabili e di valutarne globalmente il grado di

correlazione.

L'Analisi delle Correlazioni Canoniche al contrario, ha come fine

proprio l'esame di tali correlazioni. Per l'Analisi delle Correlazioni

Canoniche la matrice dei dati può essere vista come l'insieme delle n

osservazioni relative a due sottoinsiemi composti rispettivamente da p e

da q variabili, con p≤q. In altre parole, la i-ma osservazione può essere

rappresentata da due vettori riga x ed y

( )( )iqii

ipii

yyy

xxx

�

�

21

21

=

=

y

x

in cui le x sono le misure del sottoinsieme di variabili meno numeroso e

le y le rimanenti.

La matrice di covarianza S di rango p+q dell'insieme completo dei

dati sarà quindi ripartibile in blocchi:

( )

=′′

=

2221

12111

SS

SSyx

y

xS

n

In particolare, S11 è la matrice di rango p di covarianza delle

variabili del sottoinsieme x, così come S22 di rango q lo è del

sottoinsieme y. La S12 è una matrice pxq che contiene le covarianze

fra i due sottoinsiemi di variabili. Poichè S è una matrice simmetrica,

S21 è la trasposta di S12.

pag. 37

Lo scopo dell'Analisi delle Correlazioni Canoniche è trovare,

partendo dalla matrice S, le p combinazioni lineari delle variabili x e le p

combinazioni lineari delle variabili y

piybybybv

xaxaxau

qiqiii

pipiii ,,2,1 2211

2211�

�

�

=+++=+++=

tali da soddisfare le seguenti condizioni:

1) tutte le ui devono essere indipendenti fra loro;

2) tutte le vi devono essere indipendenti fra loro;

3) le p coppie di combinazioni lineari devono essere tali da rendere

massime le p correlazioni ri fra le ui e le vi.

Le variabili u e v sono perciò dette variabili canoniche e le loro

correlazioni r sono dette correlazioni canoniche.

Prescindendo in questa sede da una trattazione completa dal

punto di vista formale, l'Analisi delle Correlazioni Canoniche può essere

effettuata, sulla base della matrice di covarianza S ripartita in blocchi,

calcolando innanzitutto gli autovalori delle due matrici ottenute dai

prodotti

121

22121

11

121

11121

22

SSSS

SSSS

′

′−−

−−

Esistono al massimo p autovalori non nulli della prima matrice

prodotto: tali autovalori sono uguali a quelli non nulli della seconda

matrice prodotto.

I vettori dei coefficienti a e b si ottengono risolvendo i due sistemi,

rispettivamente di p e q equazioni lineari

( )( ) 0

0

121

11121

22

121

22121

11

=−′=−′

−−

−−

bISSSS

aISSSS

i

i

λλ

per ogni λj (i=1,2,...,p). Per comodità, si pone

1 1 11 == ii ba

pag. 38

Si possono quindi ricavare le variabili canoniche mediante un

prodotto fra vettori

ybvxau ′=′= ii

Per ciascuna coppia ui e vi la correlazione canonica sarà

iir λ=

Le variabili canoniche possono quindi essere impiegate per

ulteriori analisi, come pure per un output grafico diretto, che

rappresenta la correlazione fra i due sottoinsiemi di variabili eterogenee

e l'ordinamento delle osservazioni in questo ambito.

Sulla base del primo autovalore estratto, e cioè della correlazione

canonica piu alta, è possibile effettuare un test di indipendenza fra i

due sottoinsiemi di variabili.

Va infine rilevato che, nel caso in cui le variabili originali presentino

una sensibile eterogeneità di scala, puo essere conveniente effettuare

l'analisi sui dati centrati e standardizzati: in tal modo la matrice S è in

realtà una matrice di correlazione R e le variabili canoniche ottenute

sono adimensionali. Questa soluzione consente, inoltre, di confrontare

l'importanza delle variabili originali in base al valore dei coefficienti a e

b delle variabili canoniche.

pag. 39

5. Analisi di serie spaziali e temporali.

5.1. Autocorrelazione.

Uno strumento di notevole utilità nello studio delle serie spaziali e

temporali di dati è costituito dalle funzioni di autocorrelazione (Cliff &

Ord, 1973 e 1981). Il concetto di autocorrelazione è legato alla

possibilità di prevedere l'andamento di una variabile nel tempo o nello

spazio sulla base dei valori misurati: una autocorrelazione positiva, ad

esempio, implica una maggiore probabilità di osservare valori elevati

della variabile considerata in prossimità di un punto in cui è stato

effettivamente misurato un valore elevato.

La forma delle funzioni che legano l'autocorrelazione alla distanza

fra coppie di punti (correlogrammi) consente di formulare delle

inferenze sulla struttura spaziale (o temporale) della variabile studiata.

Una delle misure di autocorrelazione più utilizzate nel caso di

serie spaziali di dati, soprattutto nel caso in cui le osservazioni non

siano distribuite in maniera uniforme, è il coefficiente I di Moran (1950):

ji

yyp

yyyywW

dIp

ii

p

ij

p

jiij

≠−

−−=

∑

∑∑

=

= = per

)(1

))((1

)(2

1

1 1

dove d è la distanza considerata, yi è il valore della variabile y nell'i-mo

punto della serie, wij è un delta di Kronecker, W è la somma dei delta di

Kronecker per la distanza d e p è il numero di punti nella serie.

5.2. Test di Mantel.

Questo test, di recentissima introduzione in campo ecologico, è

stato sviluppato in origine per lo studio della distribuzione spaziale

dell'occorrenza di casi di tumori (Mantel, 1967). Esso consente di

pag. 40

ottenere una misura del grado di correlazione esistente fra due matrici

di distanze (di cui una può essere di tipo geografico) o di similarità.

L'ipotesi nulla che viene testata è quella di indipendenza fra le due

matrici analizzate, mentre il livello di probabilità relativo al valore della

statistica viene calcolato sulla base di una procedura iterativa.

La statistica Z di Mantel, che esprime il grado di correlazione fra la

struttura delle due matrici, si calcola come la somma dei prodotti degli

elementi corrispondenti delle due matrici di distanza, esclusi quelli sulla

diagonale. Se gli elementi di ciascuna delle due matrici vengono

preventivamente centrati e standardizzati, allora la statistica di Mantel

(indicata in questo caso come R) risulta standardizzata ed assume lo

stesso significato e lo stesso intervallo di variazione di un coefficiente di

correlazione di Bravais-Pearson.

Il livello di probabilità associato al valore della statistica di Mantel

si calcola sulla base di una procedura iterativa che prevede la

permutazione casuale delle righe e delle colonne di una delle due

matrici ed il ricalcolo della statistica di Mantel per un numero

sufficientemente alto di volte. Il valore della statistica ottenuto per le

matrici originali viene confrontato con la distribuzione empirica di quelli

ottenuti ripetendo il calcolo su matrici permutate aleatoriamente: la

percentuale delle iterazioni in cui si è ottenuto un valore inferiore a

quello originale corrisponde al livello di probabilità di quest'ultimo. Dal

punto di vista pratico si rigetterà l'ipotesi nulla di indipendenza fra le

matrici se almeno il 95% o il 99% dei valori ottenuti per le matrici

permutate è inferiore (o superiore) a quello originale.

Questo tipo di procedura consente, inoltre, di ottenere anche

un'altra forma di standardizzazione della statistica di Mantel, che non

richiede di intervenire sulle matrici originali. Questa standardizzazione,

proposta da Hubert, si effettua riscalando il valore originale di Z rispetto

al minimo ed al massimo ottenuti durante la procedura iterativa di

permutazione delle matrici e ricalcolo di Z, che vengono assunti come

estremi teorici della variazione della statistica (e cioè come -1 e 1,

rispettivamente). Il significato di questa forma di standardizzazione è

interessante soprattutto perchè essa viene effettuata in rapporto alla

specifica natura delle matrici sottoposte al test: in altre parole anche

pag. 41

una correlazione debole, purchè sia realmente la migliore ottenibile

sulla base dei dati originali, fa assumere a R un valore pari a 1 (che

corrisponderà, evidentemente ad un livello di probabilità P(R) prossimo

al 100%).

Dunque, questa forma di standardizzazione fornisce una misura

del livello di correlazione relativa fra le matrici analizzate, mentre quella

precedentemente illustrata fornisce una misura assoluta.

pag. 42

6. Interpolazione.

6.1. Note introduttive.

Una efficace rappresentazione grafica dei risultati è,

indipendentemente dal contesto, un utile strumento di sintesi. In campo

ecologico ciò è ancor più vero, in considerazione dell'eterogeneità delle

variabili in gioco e della complessità delle relazioni che le legano.

La natura stessa della ricerca ecologica propone spesso situazioni

in cui i dati quantitativi, semiquantitativi o addirittura qualitativi devono

essere rappresentati in funzione della posizione delle stazioni di

rilevamento. Assai spesso può essere utile, ad esempio, mappare la

densità degli individui di una specie in una determinata area geografica,

e magari confrontare il risultato con quello relativo ad una seconda

specie o ad una variabile di altra natura.

L'esame ed il confronto di rappresentazioni di questo tipo possono

consentire di evidenziare rapporti funzionali o di formulare nuove

ipotesi di lavoro, ma in sostanza il risultato ultimo è una rielaborazione

sintetica di dati disponibili sotto altra forma.

L'elaborazione dell'informazione disponibile in funzione della sua

trasposizione cartografica è dunque il nocciolo del problema. Nel caso

più semplice ciò si riduce alla determinazione delle coordinate di

riferimento ed al semplice trasferimento sulla carta dei valori numerici in

oggetto: il risultato è simile a quello che si ottiene riportando le quote

dei rilievi principali su una carta geografica. Il problema si complica

quando si desidera rappresentare una grandezza su tutta un'area,

tracciando sulla mappa delle curve che congiungono i punti in cui essa

assume lo stesso valore (isoplete).

La realizzazione di una mappa ad isoplete, infatti, presenta dei

problemi di interpolazione, poiché è evidente che, per quanto numerose

possano essere le osservazioni effettuate, il rilevamento dei dati non

può comunque assumere il carattere di continuità che, invece, dovrà

essere restituito dalla rappresentazione grafica. Si rende perciò

pag. 43

necessario formulare un'ipotesi sul comportamento della grandezza in

esame fra due o più punti noti ed assumere la stessa come la migliore

approssimazione possibile dei valori reali.

L'interpolazione può essere effettuata empiricamente, cioè sulla

base del buon senso e dello spirito di osservazione, o mediante

l'impiego di strumenti matematici. La prima soluzione è indubbiamente

la più diffusa, a tutt'oggi, in un contesto di tipo ecologico. La soggettività

delle scelte che la guidano ne è insieme il maggior pregio ed il peggior

difetto, poiché, se è vero che si possono ottenere rappresentazioni

sintetiche ed efficaci come nessun algoritmo potrebbe produrre, è vero

che è molto difficile non lasciarsi sfuggire qualcosa (magari certi dettagli

che non sembrano proprio al loro posto...).

Le tecniche non soggettive di interpolazione sono senza dubbio

quelle che possono consentire di estrarre il massimo dell'informazione

dai propri dati, ma, al tempo stesso, impongono l'uso di metodi rigorosi

già a partire dal rilevamento degli stessi, poiché è del tutto evidente che

l'elaborazione dei dati affetti da fonti di errore non controllabili resta un

semplice esercizio formale. E' importante, tuttavia, rimarcare come non

sia l'errore di misura in sè, quanto piuttosto la mancanza di informazioni

sulla natura dello stesso, ad inficiare i risultati.

L'ipotesi che ogni misura effettuata, ogni dato rilevato sia soltanto

una delle possibili manifestazioni di una variabile aleatoria ed il

completo trattamento dell'errore sono alla base della tecnica di

interpolazione nota come kriging.

6.2. Le tecniche di interpolazione

La mappatura di qualsiasi tipo di variabile, dunque, richiede due

cose: un certo numero di misure, effettuate in punti identificati da un

sistema di coordinate, e una tecnica di interpolazione, la quale

consenta di "ricostruire", cioè di stimare in maniera non soggettiva, i

valori assunti dalla grandezza in oggetto negli intervalli compresi fra i

punti noti.

pag. 44

Le tecniche di interpolazione possono essere di due tipi:

deterministiche o stocastiche. Quest'ultimo è il caso del kriging

(Matheron, 1969 e 1970).

Si può affermare che le tecniche deterministiche stimano, sulla

base delle osservazioni effettuate, una funzione o una combinazione

lineare di funzioni che descrive l'andamento medio di una grandezza,

senza però riprodurne i valori nei punti noti (es.: metodo dei minimi

quadrati), o che assume i valori esatti nei punti noti, fornendo stime

poco attendibili nelle regioni comprese fra questi (es.: interpolazione

polinomiale). Fra le tecniche deterministiche impiegate per la

mappatura di grandezze di interesse ecologico si può ricordare la trend-

surface analisys: anch'essa, come il kriging, è stata inizialmente

sviluppata in campo geologico.

Il campo ottimale di applicazione delle tecniche di interpolazione

deterministiche, oltre alla descrizione di fenomeni mediante funzioni dal

preciso significato fisico o biologico, è probabilmente quello della

definizione di trends mono-, bi- o pluridimensionali sulla base di

osservazioni regolarmente distribuite nello spazio, possibilmente con

errore nullo.

La disponibilità di dati di questo tipo, tuttavia, rappresenta

l'eccezione, piuttosto che la regola, in campo ecologico. Di solito, infatti,

è molto difficile poter effettuare tutte le misure di cui si vorrebbe poter

disporre ed ancor più difficile, nel caso di grandezze biologiche, è che

esse non siano affette da errore nè distribuite irregolarmente. Una

tecnica di interpolazione stocastica quale il kriging, però, può essere

efficace anche in queste condizioni. Ogni osservazione, infatti, viene

considerata come una singola realizzazione di una variabile aleatoria di

cui sia noto (o ipotizzato) il valore medio in ogni punto, cioè il trend, e le

cui proprietà statistiche siano definite da una funzione detta

variogramma. Sulla base delle osservazioni disponibili vengono poi

stimati tutti i valori desiderati, mentre quelli noti sono ricostruiti

esattamente, a meno che non si sia introdotta nel modello di

interpolazione una stima dell'errore strumentale o di campionamento.

La caratteristica più interessante del kriging, tuttavia, sta nella

possibilità di disporre, per ogni valore ricostruito, di una stima

pag. 45

dell'affidabilità della ricostruzione. Ciò consente, ad esempio, di definire

per quest'ultima un intervallo fiduciale od ancora di individuare le aree

in cui è necessario aumentare la densità dei rilevamenti.

E' necessario, tuttavia, rilevare come anche nell'uso del kriging

esista un rovescio della medaglia. In primo luogo si deve sottolineare la

necessità di disporre di strutture di calcolo alquanto più potenti di quelle

richieste dall'uso di tecniche più convenzionali, soprattutto in funzione

dei non brevi tempi di elaborazione. In secondo luogo va considerato il

fatto che la definizione del modello di interpolazione, contrariamente ad

altre tecniche, non avviene in maniera del tutto univoca: infatti, pur

esistendo dei criteri guida, il risultato è affidato in qualche misura

all'abilità del modellista ed alla sua esperienza nel campo specifico di

applicazione.

6.3. Il kriging: teoria.

Una grandezza da ricostruire su di un'area geografica può essere

considerata, in genere, come una variabile aleatoria di cui è nota una

singola misura od una stima z per un certo numero di punti di

rilevamento. Sull'intera area in esame la grandezza può dunque essere

rappresentata da una funzione aleatoria Z(x), di cui sono noti i valori

osservati z(x) in un insieme di n stazioni. Nonostante il kriging sia una

tecnica nata e sviluppata in un contesto geologico, il concetto di

variabile aleatoria può essere facilmente esteso ad applicazioni di tipo

ecologico ed in particolare al caso delle stime (di abbondanza, di

intensità, di factor-scores, etc.) ottenute mediante campionamento di

un sottoinsieme di nodi (stazioni) di un reticolo sovraimposto all'area

geografica in esame.

La densità di una popolazione, ad esempio, pur non essendo

teoricamente una variabile aleatoria, poiché il numero degli individui in

un qualsiasi istante ed in una qualsiasi area è comunque determinato,

può essere considerata come tale, e quindi descritta nello spazio da

una funzione aleatoria, se si tiene conto del fatto che le misure di

densità si stimano campionando piccole superfici o piccoli volumi,

pag. 46

considerati rappresentativi della stazione in esame. Se il piano ed il

metodo di campionamento sono corretti, dunque, la densità può essere

certamente trattata come una variabile aleatoria.

La funzione Z(x) si può considerare come la somma di un valore

atteso t(x), che descrive un trend, e di uno scarto e(x), il quale è tanto

minore quanto più efficacemente il trend descrive il comportamento

della variabile aleatoria z:

)()()( xextxZ +=

Il trend t(x) è generalmente espresso come una combinazione

lineare di funzioni fi(x)

∑=

+=p

iii xfaaxt

10 )()(

Un caso particolare è quello in cui p=0, cioè il trend è costante.

Una stima z'(x0) della variabile da interpolare nel punto x0 si

ottiene mediante una combinazione lineare di valori noti z(xi) nei punti

xi:

∑=

=′n

iii xzxz

10 )()( λ

Le stime z' sono delle realizzazioni della funzione aleatoria Z'(x),

che quindi si può esprimere come

∑=

=′n

iii xZxZ

10 )()( λ

Il problema consiste, dunque, nel determinare i coefficienti λi. Al

fine di evitare che l'errore

)()()( 000 xZxZxE ′−=

sia sistematico e di ottimizzare la stima si impongono i due vincoli

pag. 47

[ ][ ] min)(

0)(

0

0

→=

xEVarianza

xEMedia

I coefficienti λi si ottengono risolvendo il sistema

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

==++

n

jjj

n

jj

n

jiiijj

xtxt

nidxtd

10

1

1021

)()(

1

,...,2,1 )()()(

λ

λ

γµµγλ

dove il primo blocco e l’ultima equazione consentono di soddisfare

rispettivamente il primo ed il secondo dei vincoli appena imposti,

minimizzando la varianza dell'errore ed imponendo a quest'ultimo una

media nulla, mentre la penultima equazione è necessaria per ottenere

coefficienti dimensionalmente indipendenti dalla varianza della funzione

aleatoria Z(x). I moltiplicatori lagrangiani µ1 e µ2 sono relativi ai vincoli

imposti mediante le due ultime equazioni. Nel caso in cui il trend

ipotizzato t(x) sia costante, si elimina dal sistema l’ultima equazione, in

quanto proporzionale alla penultima. Oltre a determinare i coefficienti λ,

la soluzione del sistema consente di stimare la varianza dell'errore di

Z'(x0):

[ ] ∑=

++=n

jjj xtdglxEVar

102100 )()()( µµ

La funzione g(d), che è già comparsa nel sistema la cui soluzione

fornisce i coefficienti λi, è il variogramma della variabile da ricostruire,

cioè è un'espressione della variazione della differenza tra i valori

assunti dalla variabile stessa nei punti xi e xj in funzione della loro

distanza d. Una stima di tale funzione, detta variogramma empirico (o

semi-variogramma, poichè in effetti essa è moltiplicata per ½), si

ottiene sulla base delle osservazioni disponibili:

[ ]∑∑= =

−⋅=n

i

n

jjiji xzxzxxdw

dndg

1 1

2)()(),,()(2

1)(

pag. 48

dove n(d) è il numero delle coppie di punti la cui distanza è d e

w(d,xi,xj) è una funzione che assume valore 1 se la distanza fra xi e xj è

pari a d e valore 0 altrimenti.

Il variogramma empirico, essendo stimato su un numero finito e

spesso limitato di osservazioni (e quindi di distanze), presenta di solito

notevoli irregolarità, oltre a non essere, evidentemente, una funzione

continua della distanza d fra due punti qualsiasi. Poiché ai fini pratici la

funzione g(d) deve essere definita per qualsiasi valore di d, è

necessario che essa sia una funzione continua. Inoltre, poiché g(d) è

una varianza, non deve poter assumere valori negativi.

Si determina, dunque, sulla base del variogramma empirico, un

variogramma teorico che soddisfi tali condizioni. Fra i variogrammi

teorici più flessibili e più largamente impiegati possono essere segnalati

i seguenti:

>+

≤

−+=

−+=

+=

−

dba

dbb

d

b

da

dg

eadg

addg

b

d

b

per

per 22

3)(

1)(

)(

20

3

320

20

20

σ

σ

σ

σ

I parametri a e b vengono stimati mediante una qualsiasi tecnica

di fitting (es.: minimi quadrati) a partire dal variogramma empirico ed in

modo tale da ottenere il miglior adattamento possibile ad esso del

variogramma teorico, soprattutto per bassi valori della d, laddove, cioè,

la stima empirica è effettuata su di un maggior numero di osservazioni.

La varianza locale σ20 può essere assunta con un valore non nullo se

esistono dati relativi alla variabilità intrinseca della grandezza in esame

o su quella legata al campionamento o alla misurazione.

E' importante sottolineare il fatto che i valori dei parametri sono

comunque suscettibili di successivi aggiustamenti, effettuati sulla base

di test di validazione. Tali tests si rendono necessari poiché sia il tipo di

variogramma prescelto, sia la prima stima dei suoi parametri possono

non essere ottimali dal punto di vista della bontà dell'interpolazione: in

pag. 49

altre parole, il primo variogramma ipotizzato rappresenta il punto di

partenza per una serie di aggiustamenti successivi effettuati mediante

tests di validazione. Il ruolo di ciò è tanto più importante quanto più

irregolare è il comportamento della grandezza da ricostruire e quanto

minore è il numero di osservazioni.

I tests di validazione dei variogrammi teorici si effettuano sulle

osservazioni disponibili, di ognuna delle quali viene stimato il valore

sulla base delle rimanenti, in modo da ottenere, per ciascuna di esse,

un errore e(xi):

)()()( iii xzxzxe ′−=

Le condizioni che devono essere soddisfatte per considerare

accettabile dal punto di vista formale un variogramma teorico sono

legate alla distribuzione dell'errore e(xi). In particolare è necessario che

esso abbia media nulla, cioè che non sia sistematico, e che assuma

valori coerenti, in media, in rapporto alla deviazione standard si stimata

sulle rimanenti n-1 osservazioni. Cioè:

∑

∑

=

=

≈

≈

n

i i

i

n

ii

s

xe

n

xen

1

2

1

1)(1

0)(1

In fase di validazione si considera ottimale il variogramma che soddisfa

tali condizioni minimizzando l'errore quadratico medio e che, quindi,

garantisce sia la migliore interpolazione complessiva, sia la più

uniforme distribuzione dell'errore su tutti i punti stimati.

Quanto esposto sin qui rappresenta la base teorica del kriging

come tecnica d'interpolazione. Dal punto di vista operativo, però, essa

può essere applicata tanto globalmente quanto localmente. Nel primo

caso tutte le n osservazioni concorrono a ciascuna stima, mentre nel

secondo vengono considerate solo quelle comprese entro una

circonferenza di raggio dato centrata nel punto da interpolare. Nel caso

del kriging locale è necessario anche, se i punti noti non sono distribuiti

pag. 50

in maniera regolare, definire il numero minimo di punti che devono

essere compresi in tale circonferenza.

Laddove questo numero non sia raggiunto, il raggio viene

aumentato opportunamente. La definizione del raggio e del numero

minimo di punti noti in esso compresi può richiedere ulteriori tests di

validazione.

6.4. Il kriging: note applicative.

Il problema di maggior rilievo nell'applicazione del kriging è senza

dubbio quella della risoluzione del sistema di equazioni lineari, che

richiede, nel caso del kriging globale, l'inversione di una matrice di

dimensioni n x n per ogni punto da stimare.

Questo ostacolo può essere risolto mediante l'uso di un algoritmo

di kriging locale, considerando ai fini dell'interpolazione solo un certo

numero di punti noti, scelti fra i più vicini al punto da stimare. In

particolare, questa soluzione si rivela vantaggiosa, sia dal punto di vista

dei tempi di calcolo, sia da quello della bontà dell'interpolazione,

quando l'andamento del variogramma appare regolare solo per piccole

distanze.

Un aspetto di non trascurabile importanza nell'ambito del kriging,

come di altre tecniche di interpolazione, è la definizione di un sistema di

coordinate per la localizzazione dei punti noti e di quelli stimati. Le

applicazioni presentate qui sono basate su sistemi di coordinate

arbitrarie intere, con origine nell'angolo inferiore sinistro dell'area in

esame. L'interpolazione, in questo caso, è stata effettuata ai nodi di un

reticolo a maglia quadrata, ma è comunque possibile intensificare o

diradare a piacere la densità dei punti da stimare, come pure effettuare

delle stime relative ad un punto qualsiasi.

La presentazione grafica dei risultati può essere fornita sotto

forma di mappe ad isoplete o di proiezioni assonometriche di superfici.

La prima tecnica, che può essere vantaggiosamente integrata dall'uso

del colore, si presta meglio a mappature anche complesse mentre la

pag. 51

seconda può essere utilizzata in funzione della sua migliore resa dal

punto di vista della sintesi descrittiva.

La ricostruzione di valori di densità può fornire, in alcuni casi,

valori negativi: poiché di ogni valore è possibile determinare l'intervallo

fiduciale, una stima negativa è da considerarsi pari ad una densità nulla

con un livello di probabilità uguale a quello necessario a comprendere

lo zero nell'intervallo fiduciale.

Infine, è interessante rilevare come la caratteristica più

interessante di questa tecnica di interpolazione sia proprio la possibilità

di disporre di una stima dell'errore di interpolazione, utile sia per

definire degli intervalli fiduciali intorno ai valori interpolati, sia per

riconoscere le aree dove effettuare nuove osservazioni o dove

riorganizzare il piano di campionamento.

pag. 52

7. Diversità.

7.1. L'indice di Shannon.

Una delle maniere più utilizzate per sintetizzare l'informazione

contenuta nella struttura di una comunità animale o vegetale è senza

dubbio rappresentato dagli indici di diversità. Il più noto fra tutti è quello

di Shannon-Weaver (Shannon, 1948):

∑=

−=p

i

ii

N

n

N

nH

12log

dove p è il numero di specie, ni è il numero di individui che

appartengono alla i-ma specie ed N è il numero totale di individui di

tutte le specie presenti nel campione.

Questa espressione rappresenta la quantità media di

informazione per individuo, secondo un criterio per cui ogni individuo di

una specie, una volta identificato, ha un contenuto di informazione

tanto più rilevante quanto più la specie è rara. Si può facilmente

dimostrare che il massimo valore di H si ottiene quando tutte le specie

hanno la medesima frequenza, mentre il minimo si osserva quando

tutte le specie sono rappresentate da un solo individuo, tranne una a

cui appartengono tutti i rimanenti individui:

)1(log1

log

log

22min

2max

+−+−−=

=

pNN

pNNH

pH

Sulla base di queste misure è possibile definire alcuni indici

derivati da H, che hanno il vantaggio di rapportare il valore di

quest'ultimo al suo valore massimo o all'intervallo di variazione

possibile dati N e p.

Questi indici sono stati definiti in maniera diversa da vari Autori ed

è perciò essenziale associare al loro nome il corretto riferimento. Ad

esempio, per quanto riguarda la evenness (talvolta tradotta come

pag. 53

regolarità o equitabilità), vengono correntemente utilizzate le seguenti

formulazioni:

(1962)Patten

(1966)Pielou

minmax

max

max

HH

HHR

H

HR

−−

=

=

E' interessante sottolineare il fatto che esiste, teoricamente, la

possibilità di stimare l'errore standard di queste misure e, quindi, i loro

intervalli fiduciari (Pielou, 1975), ma questa prassi è assai poco

comune. A questo fine è necessario assumere che il numero di specie

effettivamente presenti in natura possa essere stimato sulla base di

quelle identificate nel campione: tuttavia, tale condizione non è sempre

del tutto verosimile.

7.2. Diagrammi rango-frequenza e modello di Zipf-Mandelbrot.

Poichè lo studio della diversità ha implicazioni di notevole

interesse teorico e pratico, è certamente desiderabile esprimere questa

proprietà in una maniera più articolata ed informativa di quella

consentita da un semplice indice numerico.

La via più immediata per raggiungere questo scopo è quella di

rappresentare la distribuzione degli individui fra le specie in forma

grafica, ad esempio mediante un istogramma. Oltre che alle

distribuzioni empiriche è possibile fare riferimento anche a diversi

modelli teorici (es. log-normale).

Questa soluzione, però, non sempre fornisce dei risultati

realmente utili, soprattutto a causa del fatto che le distribuzioni

empiriche tendono a diventare irregolari e poco informative quando il

numero di specie è piccolo o quando le abbondanze di ciscuna di

specie sono modeste.

pag. 54

Per aggirare questo tipo di difficoltà è però possibile

rappresentare lo stesso tipo di informazione plottando la frequenza di

ciascuna specie contro il relativo rango, meglio se su scala logaritmica.

Il diagramma rango-frequenza che si ottiene in questo modo ha

per costruzione un andamento decrescente in maniera monotona:

tuttavia, è il profilo di tale andamento che sintetizza l'informazione

pertinente la struttura della comunità.

È interessante notare, in particolare, che la forma della curva così

ottenuta esprime precise caratteristiche strutturali dei popolamenti, pur

essendo (teoricamente) invariante, a differenza degli indici di diversità,

rispetto a diverse proprietà del campione analizzato (numero di

individui, numero di specie, ambiente consiederato, etc.).

In particolare, la forma del profilo, soprattutto nella sua parte

iniziale, consenta di inferire le proprietà globali della comunità studiata,

almeno per grandi linee. Un profilo tendenzialmente concavo indica uno

stato di stress (es. da inquinamento) o una condizione estremamente

giovanile di una comunità (es. prime fasi della colonizzazione di un

substrato artificiale), mentre un profilo nettamente convesso è

associato ad una struttura più stabile e matura della comunità, in cui le

interazioni sono più complesse.

Questo tipo di diagramma è stato utilizzato soltanto di recente in

ecologia, ma la sua applicazione in altri campi (sociologia, econometria,

linguistica, etc.) è ben consolidata.

Infatti, è in campo linguistico che è stato sviluppato il modello

teorico di base per le curve rango-frequenza, il quale è noto come

modello di Zipf, dall'Autore che ne ha presentato l'applicazione (Zipf,

1949-1965). La sua formulazione è la seguente:

γ−⋅= rffr 1

dove fr è la frequenza dell'item (della specie, nel nostro caso) di rango r

e γ rappresenta la pendenza della retta che corrisponde al modello in

un sistema log-log.

pag. 55

In tempi più recenti Mandelbrot (1953, 1982), noto per aver

organizzato e divulgato la teoria dei frattali, ha proposto una

formulazione generalizzata del modello di Zipf, che è stata prontamente

adottata anche nel campo dell'ecologia:

γβ −+⋅= )(0 rffr

dove fr è la frequenza relativa dell'item di rango r, β e γ sono parametri

ed f0 è calcolato in modo tale che la somma delle frequenze di tutti gli

items sia pari a 1.

I parametri di questo modello, β e γ, hanno un significato di

notevole interesse in rapporto alla struttura di una comuntià. Il

parametro γ rappresenta la pendenza dell'asintoto obliquo del modello,

mentre il parametro β descrive la deviazione dall'asintoto per gli items

(specie) più frequenti.

Anche prescindendo dalla stima dei parametri del modello di

Mandelbrot, comunque, l'uso dei diagrammi rango-frequenza può

essere molto utile. Ad esempio, si pensi alla possibilità di confrontare i

profili ottenuti per stazioni diverse o per la medesima stazione in

momenti diversi: una sostanziale coerenza fra di essi indica un assetto

omogeneo nello spazio o stabile nel tempo delle comunità studiate,

mentre, al contrario, una variazione nei profili osservati è certamente

indice di eterogeneità/variabilità.

pag. 56

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