Tecnica delle Costruzioni Meccaniche

Stefano Miccoli

Anno Accademico 2001/2002(versione del 19 ottobre 2001)

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Materiale ad esclusivo uso degli studenti del corso di

Tecnica delle Costruzioni Meccanichehttp://www.mecc.polimi.it/~miccoli/TCM/

tenuto presso il Politecnico di Milano, III Facoltà di Architettura Milano Bovisa eComo.

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Principio di lavori virtualiPLV

dL = 0, ∀d~uR

dL è differenziale del lavoro delle forze attive per una generica roto-traslazionerigida ~uR:

dL =∑

~F · d~uO +∑

MO dθ

Dove la traslazione rigida è scomposta in una traslazione rigida d~uO ed in unarotazione attorno al punto O.

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Richiami di matematica:integrale indefinito di una funzione

∫f′(x) dx = f(x) + C

∫df(x) = f(x) + C

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Richiami di matematical’integrazione è l’inversa della differenziazione

d

∫f(x) dx = f(x) dx

∫df(x) = f(x) + C

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Una generalizzazione del concetto di lavoroForze non costanti

Se le forze attive ~F non sono costanti, ma funzioni del punto, il lavoro è definitocome

LA→B =

∫

A→B

~F(~x) · d~u

Il differenziale del lavoro è dunque

dL = ~F(~x) · d~u

Per testare con il PLV l’equilibrio in una configurazione A, si possonoconsiderare le forze costanti e farle “lavorare” per il differenziale dellospostamento.

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Atto di moto

• differenziale dello spostamento• spostamento infinitesimo• atto di moto

sono concetti equivalenti.

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Cinematica del Corpo Rigido nel pianoAtto di moto

Si considerano solo spostamenti infinitesimi, si ha dunque un atto di moto.

Traslazione rigida d~uR: tutti i punti del corpo rigido hanno lo stesso spostamento.

d~u(~x) = d~uR

Rotazione rigida dθ intorno ad O: ogni punto P subisce uno spostamento d~u che èin direzione perpendicolare a P − O, ed in intensità pari a |P − O| dθ. Il verso èstabilito dalla convenzione che le rotazioni positive sono quelle anti-orarie.

Rototraslazione rigida: il generico atto di moto può essere concepito come una ro-tazione rigida intorno ad un polo O seguita da una traslazione rigida.

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Composizione di atti di moto

È possibile “comporre” gli atti di moto:

C = A + B

La composizione degli atti di moto è commutativa

A + B = B + A

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Centro di Istantanea Rotazione

La scelta del polo O intorno alla quale si fa ruotare il corpo rigido è arbitraria.

• È possibile scegliere un polo qualsiasi.• Cambiando polo la rotazione dθ rimane invariata, ma cambia il valore ~uR:

O → O′ ⇒ ~uR → ~u

′R

• Se dθ 6= 0 è possibile trovare un polo O ′ per il quale si ha ~u ′R = ~0.

Questo polo si chiama centro di istantanea rotazione (CIR).

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Gradi di libertà (GDL) del corpo rigido

Il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà:

• le due componenti di d~u

• il valore di dθ.

Infatti è possibile dimostrare che fissato il punto O questi parametri sono tra loroindipendenti, e sufficienti a definire tutti i possibili moti del corpo rigido.

In alternativa i tre GDL possono essere concepiti come

• le due coordinate del CIR,• il valore di dθ.

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Commenti sull’equivalenza tra PLV e equazioni cardinali della statica

Si noti che il numero delle equazioni cardinali della statica è uguale al numerodei GDL.

Questo fatto è una immediata conseguenza del fatto che le equazioni cardinalisono equivalenti al PLV.

Infatti il PLV, dL = 0 è una equazione scalare che deve valere per ogni rototra-slazione rigida infinitesima, dunque è equivalente ad un numero di equazioni pari aiGDL.

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Espressione algebrica della rototraslazione rigida

Per brevità di scrittura si indica con θ (e non dθ) l’ampiezza dell’atto di rotazionerigida.

Consideriamo tre punti O ≡ (xO, yO), P ≡ (xP, yP), Q ≡ (xQ, yQ).

uPx = −θ(y

P− y

O) + u

Ox

uPy = θ(x

P− x

O) + u

Oy

uQx = −θ(y

Q− y

O) + u

Ox

uQy = θ(x

Q− x

O) + u

Oy

Sottraendo membro a membro

uPx − u

Qx = −θ(y

P− y

Q)

uPy − u

Qy = θ(x

P− x

Q)

uPx = −θ(y

P− y

Q) + u

Qx

uPy = θ(x

P− x

Q) + u

Qy

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Ricerca algebrica del CIR

0 = −θ(yC

− yO) + u

Ox

0 = θ(xC

− xO) + u

Oy

yC

= yO

+uO

x

θ

xC

= xO

−uO

y

θ

Il CIR è determinato, in senso proprio, se e solo se θ 6= 0.

Nel caso in cui θ = 0 (traslazione rigida) si dice che il CIR è un punto improprio oall’infinito in direzione perpendicolare al moto rigido stesso.

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L’asta come corpo rigido

L’asta, o trave, può essere considerata come un particolare corpo rigido, nelquale due dimensioni sono trascurabili rispetto ad una terza.

Normale il simbolo grafico adottato per rappresentare un asta è una linea,coincidente con la linea dei baricentri.

La cinematica dell’asta coincide con la cinematica del corpo rigido.

47

Vincoli a terra

nome simbolo GDV reazioni

cerniera ³º¹́µ̧¶·ÄĹ¹ '

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carrello ³º¹́µ̧¶·©²ª±­°®̄©²ª±­°®̄©²ª±­°®̄ ÀÀ

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2

pattino 2

incastroÄÄ

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48

Tipo di vincolamento a terra

Il vincolo a terra si dice

ipostatico, isostatico, iperstatico

a seconda che∑

GDV S GDL

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Proprietà del vincolamento a terra

• Un corpo rigido vincolato ipostaticamente ha ancora dei gradi di libertà residui,(si può muovere). L’equilibrio è possibile solo se le forze attive soddisfano unaequazione di equilibrio. (Esempio: la leva).

• Un corpo rigido vincolato isostaticamente non ha più gradi di libertà residui, quin-di non può muoversi. L’equilibrio è comunque assicurato dalle reazioni vincolari,che possono essere determinate in basa ad equazioni di equilibrio o il PLV.

• Un corpo rigido vincolato iperstaticamente non può muoversi ma le reazio-ni vincolari non possono essere calcolate in base a semplici considerazioni diequilibrio.

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Labilità

In realtà non è sufficiente verificare aritmeticamente il numero di GDV per stabilirese una struttura è isostatica.

Occorre eseguire anche la cosiddetta analisi cinematica per escludere problemidi labilità.

Una struttura è labile quando, pur avendo un un numero di vincoli pari al numerodi gradi di libertà sono ancora possibili atti di moto.

Per le strutture labili non è possibile calcolare le reazioni vincolari conconsiderazioni di equilibrio.

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Calcolo reazioni vincolari

Il calcolo delle reazioni vincolari procede svincolando da terra la struttura emettendo in luce le corrispondenti reazioni vincolari.

Strutture isostatiche: i vincoli impediscono il moto della struttura.• La struttura è comunque in equilibrio.• Il numero delle componenti incognite delle reazioni vincolari (GDV) è pari ai

GDL della struttura e dunque al numero di equazioni cardinali della statica.• Le reazioni vincolari sono determinate univocamente.

52

Strutture ipostatiche: i vincoli non sono in grado di impedire il moto della struttura.• Si ha equilibrio solo se le forze esterne (“attive”) soddisfano opportune

equazioni (PLV o equazioni cardinali della statica).• Se le forze “attive” sono equilibrate, le reazioni possono essere calcolate come

al punto precedente.Infatti le componenti incognite delle reazioni sono in numero minore rispetto aiGDL e alle equazioni cardinali della statica, ma l’equilibrio è stato comunquesoddisfatto a priori dall’opportuna condizione sulle forze attive.

• Le reazioni vincolari sono determinate univocamente.Strutture iperstatiche: i vincoli impediscono il moto della struttura ma GDV >GDL.• La struttura è comunque in equilibrio.• Le equazioni cardinali della statica (GDL) non sono sufficienti a determinare le

reazioni vincolari.• Le reazioni vincolari possono essere determinate in base a considerazioni

“elastiche”.

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Calcolo delle reazioni vincolari con il PLV

Strutture isostatiche: eliminare 1 GDV in modo da evidenziare 1 componente direazione incognita.La struttura è diventata ipostatica e quindi si tratta di applicare le tecniche giànote per l’equilibrio delle macchine semplici.

Strutture ipostatiche: se la struttura è in equilibrio è possibile aggiungere vincoli suffi-cienti a renderla isostatica senza modificarne il regime statico. A questo punto sipossono applicare le tecnica vista sopra.

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Labilità e “iperstaticità interna”

Il caso delle strutture “labili” ha alcuni caratteri delle strutture ipostatiche e alcunidi quelle iperstatiche.

• Non è garantito l’equilibrio.• Non è possibile calcolare le reazioni vincolari in base alle sole equazioni di

equilibrio.Infatti si ha labilità ogni qual volta che due, o più, vincoli impediscono lo stessoGDL. Si ha dunque una sorta di “iperstaticità” interna.

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Differenza tra strutture vincolate in modo iperstatico o isostatico

• Una struttura isostatica “crolla” se si ha rottura di un vincolo.• Una struttura iperstatica invece può ancora resistere anche se alcuni vincoli (in

numero non superiore al grado di iperstaticità) si “rompono”.

• Una struttura isostatica non è “caricata” da cedimenti vincolari o deformazioniimposte.

• Una struttura iperstatica al contrario è “caricata” da cedimenti vincolari odefromazioni imposte.

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Strutture articolate, o vincoli interni

nome simbolo GDV

cerniera a n aste 2(n − 1)

carrello interno 1

manicotto interno 2

pattino interno 2

incastro interno 3

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Analisi cinematica delle strutture articolateArco a tre cerniere

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3GDL

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3GDL

2GDV

2GDV

2GDV

6 GDL = 6 GDV

58

Individuazione del CIR

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1

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2

+ CIR2

+CIR12

+ CIR1

CIR2: CIR asta 2, nel centro della cerniera a terra.CIR12: CIR asta 1 rispetto asta due (come se asta 2 fosse ferma), nel centro della

cerniera interna.CIR1: CIR asta 1 assoluto, sulla congiungente CIR2CIR12.

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Condizione di labilità

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1

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2

+ CIR2

+CIR12

Si ha labilità se CIR2CIR12 passa per la cerniera a terra dell’asta 1.

60

Equivalenza cinematica di biella e carrello

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1

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2

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+ CIR1

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1

+ CIR1

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