Tavole e Formulari

Formule notevoli

COS2 ::c + sin2

.1: = 1, Vx E lR

sinx=O sex=k'll' , Vk E Z,

sin.' = 1 s 'Il'

X = - + 2k'll' 2 '

'Il' sin x = -1 se x = - - + 2k'll'

2 ' 'in(a ± (3) = sin o: cos {3 ± cos asin fi co. (o: ± (3) = cos o: co . fi 1= in CI' in fi in 2.1: = 2 sin x co . ::c ,

. . . x-V x+ y Sin x - sm y = 2 'Jl) -2- cos -2-

. x-V . :t+V cosx - cosy = - 2sm -

2- '1ll-2-

sin (:l; + 'Il') = -sin.'!:

. rr m(x + '2) = co x,

x_l' aX

a "=-aY

logo (xy) = log(l x + loga y, Vx . y > O x

loga - = loga x - loga y , V.'!: y> O y

loga (.x 1J ) = y log(l x, VX > O, Vy E IR

cosx=O s 'Il'

:/;=2'+k1l'

cos x = l se x = 2krr

cos x = - l se x = 'Il' + 2k'll'

cos 2:/; = 2 cos2 X - l

cos(x + 'Il') = - cos.·

cos(x+~) = - sin x

(aXV = aXY

442 Tavole e formulari

Limiti notevoli

lim xC>' = + X""" +

lim xCl' =0, X""" +

lim a"x" + ... + al x + ao

x-+± bmxm. + ... + b1x + bo

lim aX = + x->+

Hm aX = O x-+

lim loga x = + :1; ...... +

tim log(L " = -X ...... +

tim smx lim cosx . x ..... ± x ..... ±

Hm tan x = =r= x ...... ( i+k1lJ!:

7f tim are in x = ±- = aresin(±1)

x ..... ±l 2

hm arcco x = O = ar'cco 1. x->+1

l' in .'!;

im -- = 1 x ..... o x

( a) X Hm 1 + - = e", x-+± x

I. loga(l + x) l un =

x-+O x loga a> O;

aX - 1 lim -- = loga, X ..... o x a> O'

. (l + .-)" - l hm = Q . Q E R x ...... o x

lim xl). = O, x-> O+

Hm xQ = + .0-+0+

an l ' -b llTI xn- m. m x-±

Hm aX = O, :t~-

Q>O

a> 1

lim aX = + a<l x--

Hm loga x = -x -+o+

lim log(l x = +00 . x-+O+

a> 1

a<l

lim tanx x--+±

non esistono

7f Hm arctan.· = ±-2

x-+±

tim arccos . = 'il = arccos( -1) x->- 1

1 -eosx l lim = -

X ..... o .2 2

lime! +x) ~ = e x-tO

in particolare, l. log(l + x) llll =1

x--+ o x

in particolare, e': -l

lim -- = 1 x-tO ~J:

Tavole e formulari 443

Tavola delle derivate di ftillzioni elem ntari

f(x) l'(x)

xC\ O:X"' - l, Vo: E lR

'm, co x

co'x - in. '

1 anx l + tan2 x = -2-

cos X

arcsin . l

Jl-x2

l arccos, '

Jl -x2

1 aI'ctanx

1 +x2

aX (Iog a) aX

loga Ixl 1 (log a), '

'inh, ' co h x

co hx sinh

Regole di derivazione

(o:f(x) + ,8g(x) )' = 0:1' (x) + ,8g' (x)

(f (x)g(x) )' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

(f (X) )' = f'(x)g(x) - f~x)g'(' .) g(x) (g(x))

(g(J (x)) )' = g'(J(x))f'(x)

444 Tavole e formulari

Sviluppi di Maclaurin notevoli

x •. 2 Xk xl> .1>

= l + x + - + ... + k' + ... + ,. + o(x ) 2 . n.

X2 xl> log(l + x) = x - - + ... + (_1)"-1_ + o(x")

2 n

X3 x.5 .. 2m+l . ' ( )m . ( 2m+2) sm x=··--31 +,-... + - 1 (2 )' +OX . 5. m +1 .

X2 x4 x2m co X = 1- - +:., - ... + (-1)m_(2 )1 + O(X

2m+1)

2 4. m.

X 3 X5 x2m+l inh . -' . ' ( 2m+2)

X - X + , + I + ... + ( )1 + o x 3. 5. 2m + 1 .

X2 x4 x2m coshx = 1+:"- +:..- + ... + -- + 0(x2m+ l)

2 4! (2m) !

arcsin x = x + :..- + - + ... + 2' + 0(x2m+2) x3

3x5 I (_1.) I X2m

+1

6 40 m 2m + 1.

x3 X x2m+l arctanx =. ' - :..- + - - ... + (_1)1n + 0(x2m+2)

3 5 2m +1

(l + x)'" = 1 + ax + a(a2- 1) X2 + ... + (~) xl> + 0(/')

1 ? ( -- = 1- x + x- - ... + (_l)nx" + o, ''') l +x

Tavole e formulari 445

Tavola degli integrali di funzioni elementari

f(x)

l

x

sinx

eosx

x

inhx

coshx

l 1+,,2

1

Jl -x2

l

JI+X2 1

/ f(x) cix

,0:+1

-'-+C a+l

log lxl + c

-eosx +c

inx+c

x+ c

eoshx + c

inh ' +c

arctan ~E + C

are inx + c

a #-1

log(x + Jx2 + 1) + c = scLL inhx + c

log(x + Jx2 -1) + c = sett oshx + c

Regole di integrazione

/ (oJ(x) + .Bg(x)) ci ' = a / f(. ) cix + / g(x) dx

.f f(x)g'(x) d. = f(x)g(x) - .f J'(x)g(x) clx

.f ~L·'? cix = log l<p( ')1 + c

.f f(cp( '))<p'(,')d,'& = .f f(Y)ciY con Y = <p(x)

Indice analitico

Arco, 291 chiuso, 291 di Jordan, 291 lunghezza, 389, 390 semplice, 291

Arcocoseno, 58, 118 Arcoseno, 58, 118, 178, 348 Arcotangente, 59, 118, 178, 348 Argomento, 284 Ascissa curvilinea, 390 Asintoto, 139

obliquo, 139 orizzontale, 139 verticale, 141

Binomio di Newton, 21

Campo vettoriale, 391 Cardinalità, 3 Circonferenza trigonometrica, 54 Coefficiente binomiale, 20, 241 Colatitudine, 269 Combinazioni, 22 Congiunzione logica, 5 Connettivo logico, 5 Controimmagine, 38 Coordinate

cilindriche, 269 polari,267 sferiche, 269

Coppia ordinata, 22 Coseno, 55, 103, 176, 178, 240

iperbolico, 201, 244

Cotangente, 57 Criterio

del confronto, 151, 372, 380 del confronto asintotico, 152, 375, 380 del rapporto, 144, 153 della radice, 153 di convergenza assoluta, 155, 374 di Leibniz, 154 integrale, 377

Curva, 290 congruente, 386 equivalente, 385 integrale, 404 opposta, 386 piana, 290 regolare, 293 regolare a tratti, 293 semplice, 291

Derivata, 173, 193 destra, 181 logaritmica, 179 parziale, 297, 299 sinistra, 181

Diagrammi di Venn, 2 Differenza, 4

simmetrica, 4 Dimostrazione per assurdo, 6 Discontinuità

di prima specie, 86 di seconda specie, 87 eliminabile, 80

448 Indice analitico

Disgiunzione logica, 5 Disposizioni, 20 Disuguaglianza

di Bernoulli, 143 di Cauchy-Schwarz, 274 triangolare, 14

Dominio, 33

Equazione caratteristica, 422

Equazione differenziale a variabili separabili, 408 autonoma, 404 lineare, 411, 421 omogenea, 411, 413, 421 ordinaria, 403 soluzione, 404

Equivalenza logica, 6 Esponenziale, 53, 176, 236 Estremo

inferiore, 18, 39, 116 superiore, 18, 39, 116

Fattoriale, 19 Flesso, 195, 254

ascendente, 196 discendente, 196

Forma algebrica, 281 cartesiana, 281 esponenziale, 285 indeterminata, 101, 110 normale, 404 polare, 284 trigonometrica, 284

Formula dell'incremento finito, 188 di addizione, 57 di De Moivre, 286 di duplicazione, 57 di Eulero, 285 di prostaferesi, 57 di sottrazione, 57 di Stirling, 145 di Taylor, 234

Funzione, 33 a scala, 334 arcocoseno, 58, 118 arcoseno, 58, 118, 178, 348

arcotangente, 59, 118, 178, 348 asintotica, 140 assolutamente integrabile, 375 biiettiva, 42 composta, 46, 106, 177 concava, 195 continua, 78, 83, 297 continua a tratti, 330 continua da destra, 85 convessa, 194 coseno, 55, 103, 176, 178, 240 coseno iperbolico, 201, 244 cotangente, 57 crescente, 43 decrescente, 44 definita a tratti, 34 derivabile, 173, 193 di classe C=, 194 di classe Ck

, 194 di più variabili, 296 di variabile reale, 34 dispari, 49, 179, 235 equigrande, 128 equivalente, 128 esponenziale, 53, 176, 236 identità, 48 infinita, 134 infinitesima, 134 inietti va, 40, 118 integrabile, 337 integrale, 344 inversa, 40, 118, 178 inverti bile, 41 iperbolica, 201 limitata, 39, 97 logaritmo, 54, 118, 179, 237 Mantissa, 36 monotona, 43, 87, 118, 191 o grande, 127 o piccolo, 128 pari, 49, 179, 235 Parte intera, 35, 36 parte negativa, 374 parte positiva, 374 periodica, 50 polinomiale, 53, 100, 103, 177, 326 potenza, 51, 240 razionale, 53, 100, 103, 104, 323 reale, 34

Segno, 35, 36 seno, 55, 81, 95, 109, 175, 239 seno iperbolico, 201, 244 settore coseno iperbolico, 203 settore seno iperbolico, 203 settore tangente iperbolica, 203 superiormente limitata, 39 suriettiva, 40 tangente, 57, 177, 248 tangente iperbolica, 203 trascurabile, 128 trigonometrica, 54 Valore assoluto, 35, 36

Gradiente, 298 Grado, 53, 55 Grafico, 33

Immagine, 33, 38 Implicazione logica, 5 Infinitesimo, 134, 206

campione, 136 dello stesso ordine, 135 di ordine inferiore, 135 di ordine superiore, 135

Infin~o, 134, 206, 251 campione, 136 dello stesso ordine, 135 di ordine inferiore, 135 di ordine superiore, 135

Insieme, 1 ambiente, 1 complementare, 3, 7 delle parti, 2 inferiormente limitato, 16 limitato, 16 superiormente limitato, 16 vuoto,2

Integrale curvilineo, 384 definito, 329, 332, 334, 337 di linea, 392 generale, 406 improprio, 370, 378, 382 indefinito, 312, 313 inferiore, 336 particolare, 406 secondo Cauchy, 330 secondo Riemann, 333

singolare, 408 superiore, 336

Integrazione

Indice analitico 449

per parti, 318, 349 per sostituzione, 319, 328, 350

Intersezione, 3, 7 Intervallo, 15

di monotonia, 44, 191 Intorno, 67, 296

destro, 85 sinistro, 85

Latitudine, 269 Leggi di De Morgan, 4 Limite, 70, 72, 74, 75, 78, 83

destro, 85 sinistro, 85

Logaritmo, 54, 109, 118, 179, 237 naturale, 74 neperiano, 74

Longitudine, 269

Maggiorante, 16 Massimo, 17, 39

assoluto, 183 relativo, 183

Media integrale, 342 Metodo di bisezione, 114 Minimo, 17,39 Minorante, 16 Modulo, 271, 283

Negazione logica, 5 Numero

complesso, 280 di Nepero, 74, 108, 109, 176 naturale, 9 razionale, 9 reale, lO relativo,9

Ordine, 404 di infinitesimo, 136, 206, 251 di infinito, 136, 206

Parte immaginaria, 280 negativa, 374 positiva, 374

450 Indice analitico

principale, 137, 251 reale, 280

Partizione, 334 Periodo, lO, 50

minimo,50 Permutazioni, 20 Polinomio, 53, 100, 103, 177, 326

caratteristico, 422 di Tay lor, 234

Predicato logico, 2, 7 Primitiva, 312 Problema

ai valori al contorno, 408 ai valori iniziali, 407 di Cauchy, 407

Prodotto cartesiano, 22 scalare, 274

Prolungamento, 80 Proposizione

contronominale, 6 logica, 5

Proprietà di Archimede 16 Punto '

a tangente verticale, 182 angoloso, 181 critico, 184, 252 di cuspide, 182 di discontinuità, 86 di estremo, 183 di flesso, 195, 254 di Lagrange, 187 di massimo, 183 di minimo, 183 di salto, 86 interno, 16

Quantificatore esistenziale, 8 universale, 8

Radiante, 55 Raffinamento, 334 Raggio,67 Rapporto incrementale 171 Relazione, 24 ' Resto

di Lagrange, 232, 235 di Peano, 232, 234 di una serie, 150

Restrizione, 42 Retta tangente, 173

Salto,86 Seno, 55, 81, 95, 109, 175, 239

iperbolico, 201, 244 Serie, 146

a segno alterno, 154 a termini positivi, 151 armonica, 152, 154, 377 assolutamente convergente, 154 condizionatamente convergente, 155 convergente, 147 di Mengoli, 148 divergente, 147 geometrica, 150 indeterminata, 147 semplicemente convergente, 155 telescopica, 149

Simboli di Landau, 127 Somma di una serie, 147 Sostegno di una curva, 290 Sottoinsieme, 1, 7 Spazio vettoriale, 273 Successione, 34, 68, 107, 141

convergente, 70 delle ridotte, 146 delle somme parziali, 146 divergente, 72 geometrica, 143 indeterminata, 73 monotona, 73

Suddivisione, 334 adattata, 334

Sviluppo asintotico, 250 di Maclaurin, 235, 242 di Taylor, 234

Tangente, 57, 177,248 Teorema

dei valori intermedi, 116 del confronto, 94, 97, 142 della media integrale, 343 di de l'Rapital, 204 di esistenza degli zeri, 112 di Fermat, 184 di Lagrange, 187 di permanenza del segno, 92 di Rolle, 186

di sostituzione, 105, 142 di unicità del limite, 91 di Weierstrass, 117 fondamentale del calcolo integrale, 345

Termine generale, 146 Trapezoide, 329 Traslazione, 48

Unione, 3, 7

Valore assoluto, 13 massimo, 39 principale, 284

Indice analitico 451

Variabile dipendente, 38, 171 indipendente, 38, 171

Versore, 274 Vettore, 270

applicato, 270, 279 direzione, 271 modulo, 271 ortogonale, 275 tangente, 293 verso, 271

Zero, 111

Collana Unitext - La Matematica per il 3+2

a cura di

F. Brezzi (Editor-in-Chief) P. Biscari C. Ciliberto A. Quarteroni G. Rinaldi W.J. Runggaldier

Volumi pubblicati. A partire dal 2004, i volumi della serie sono contras­segnati da un numero di identificazione. I volumi indicati in grigio si riferiscono a edizioni non più in commercio

A. Bernasconi, B. Codenotti Introduzione alla complessità computazionale 1998, X+260 pp. ISBN 88-470-0020-3

A. Bernasconi, B. Codenotti, G. Resta Metodi matematici in complessità computazionale 1999, X+364 pp, ISBN 88-470-0060-2

E. Salinelli, F. Tomarelli Modelli dinamici discreti 2002, XII+354 pp, ISBN 88-470-0187-0

S. Bosch Algebra 2003, VIII+380 pp, ISBN 88-470-0221-4

S. Graffi, M. Degli Esposti Fisica matematica discreta 2003, X+248 pp, ISBN 88-470-0212-5

S. Margarita, E. Salinelli MultiMath - Matematica Multimediale per l'Università 2004, XX+270 pp, ISBN 88-470-0228-1

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica (2a Ed.) 2000, XIV +448 pp, ISBN 88-470-0077-7 2002,2004 ristampa riveduta e corretta (la edizione 1998, ISBN 88-470-0010-6)

13. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (2a Ed.) 2004, X+262 pp, ISBN 88-470-0256-7 (la edizione 2002, ISBN 88-470-0149-8)

14. S. Salsa Equazioni a derivate parziali - Metodi, modelli e applicazioni 2004, XII +426 pp, ISBN 88-470-0259-1

15. G. Riccardi Calcolo differenziale ed integrale 2004, XII + 314 pp, ISBN 88-470-0285-0

16. M.lmpedovo Matematica generale con il calcolatore 2005, X+526 pp, ISBN 88-470-0258-3

17. L. Formaggia, F. Saleri, A. Veneziani Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali 2005, VIII+396 pp, ISBN 88-470-0257-5

18. S. Salsa, G. Verzini Equazioni a derivate parziali - Complementi ed esercizi 2005, VIII+406 pp, ISBN 88-470-0260-5 2007, ristampa con modifiche

19. C. Canuto,A. Tabacco Analisi Matematica I (2a Ed.) 2005, XII+448 pp, ISBN 88-470-0337-7 (la edizione, 2003, XII+376 pp, ISBN 88-470-0220-6)

20. F. Biagini, M. Campanino Elementi di Probabilità e Statistica 2006, XII + 236 pp, ISBN 88-470-0330-X

21. S. Leonesi, C. Toffalori Numeri e Crittografia 2006, VIII + 178 pp, ISBN 88-470-0331-8

22. A. Quarteroni, F. Saleri Introduzione al Calcolo Scientifico (3a Ed.) 2006, X+306 pp, ISBN 88-470-0480-2

23. S. Leonesi, C. Toffalori Un invito all' Algebra 2006, XVII+432 pp, ISBN 88-470-0313-X

24. W.M. Baldoni, C. Ciliberto, G.M. Piacentini Cattaneo Aritmetica, Crittografia e Codici 2006, XVI+518 pp, ISBN 88-470-0455-1

25. A. Quarteroni Modellistica numerica per problemi differenziali (3a Ed.) 2006, XIV+452 pp, ISBN 88-470-0493-4 (la edizione 2000, ISBN 88-470-0108-0) (2a edizione 2003, ISBN 88-470-0203-6)

26. M. Abate, F. Tovena Curve e superfici 2006, XIV + 394 pp, ISBN 88-470-0535-3

27. L. Giuzzi Codici correttori 2006, XVI +402 pp, ISBN 88-470-0539-6

28. L. Robbiano Algebra lineare 2007, XVI+210 pp, ISBN 88-470-0446-2

29. E. Rosazza Gianin, C. Sgarra Esercizi di finanza matematica 2007, X+ 184 pp, ISBN 978-88-470-0610-2

30. A.Machì Gruppi - Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 2007, XII+349 pp, ISBN 978-88-470-0622-5

31. Y. Biollay, A. Chaabouni, J. Stubbe Matematica si parte! A cura di A. Quarteroni 2007, XII+ 196 pp, ISBN 978-88-470-0675-1

32. M. Manetti Topologia 2008, XII+298 pp, ISBN 978-88-470-0756-7

33. A. Pascucci Calcolo stocastico per la finanza 2008, XVI+518 pp, ISBN 978-88-470-0600-3

34. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri Matematica numerica, 3a Ed. 2008, XVI+510 pp, ISBN 978-88-470-0782-6

35. P. Cannarsa, T. D'Aprile Introduzione alla teoria della misura e all' analisi funzionale 2008,XII+268 pp,ISBN 978-88-470-0701-7

36. A. Quarteroni, F. Saleri Calcolo scientifico, 4a Ed. 2008, XIV +358 pp. ISBN 978-88-470-0837-3

37. C. Canuto, A. Tabacco Analisi Matematica I, 3a Ed. 2008, XIV +452 pp, ISBN 978-88-470-0871-7