Sulla instabilith gravitazionale secondo Jeans dl un plasma dissipativo in presenza di effetto Hall.

GIULIO ~IAm~EI (Pisa) (*)(**)

Summary . - I n this paper we study Jeans' gravitational instability o] a dissipative Hall plasma, i.e., o] a viscous, heat-conducting plasma with finite electrical conductivity, described by the ~agnetofl~dddynamie equations in the "presence o/ the Hall e]#vt. The critical value o] the wavelength is determined and the condition ]or the gravitational instability is discus- sed. Several noteworthy particular cases are then examined.

1. - I n t r o d u z l o n e .

La instabilit£ gravitazionMe secondo Jeans ~ state° oggettv di numerose ricerche

(cir. [1]-[39]), p~rt icolarmente st imolate dM l~vori di F ~ I e C~A~])I~AS]~AI~

@r. [3]-[63, [I~]). l~ci l~vori [1]-[39] il mezzo ~ di volt~ in volt~ r~ppresent~to d~ un modetlo fisico-

matemgtico diverso: fluido perfet to o non~ plasmg descritto dMle equgzioni della mggnetofluidodinumica (~), perfet to o non, plasma, non MFD, etc.

Poich6 non risulta, Ml'~utore che sig st~to es~mingto il modello (~ plv~sm~ MFD

dissiputivo (~) in presenz~ di effe~to Hull ~), scopo de1 presente lavoro ~ anzi tu t to

qaello di studiure lu instgbilit£ grgvitazionMe secondo Jeans per nn tale pl~smg.

I1 lavoro in cui per la. primg volta, si ~ studiuto il probleme~ rel~t ivgmente ud un pl~smu

M]~D ~ quello di C~AND~AS~X~ e F ~ I ([4]) : in esso il pl~sm~ ~ consider~to non viscoso~ non condut tore del emote, dota to di conducibilit~ elettric~ infinit~ ed in

~ssenza di effetto tIM1. I1 presente l~voro pub pcrcib vedersi come un~ generMiz-

za,zione di [4] (~).

Xel n. 2 si d~nno e si el~borano le equazioni delle perturbazioni, lqel n. 3 si de-

terming il vMore critico della lunghezzu d 'ond~ e si discute 1~ condizione di instg-

(*) Facolt~ di Ingegneria dell'UniversitY. (**) Entra.ta in Red~zione il 7 settembre 1977.

(1) Nel seguito rifcrito come plasma MFD. (3) Clog viscoso, condut~ore del cMore e dorado di conducibiti~£ clet~rica finita. (~) E noto (cfr. per es. [40], C~p. VI) che 1~ corrente Hall assume particolare impor-

tanza in vari casi di interesse astrofisico. L'influenza di essu sulla instabilit5 gravitazionMe se- condo Jeans di un plasma MFD g gi~. stata studiat~ nella tettera~ura: in [24], limita~amente loerb ad un plasma non viscoso e non conduttore del cMore, e in [32], limita~amente ad un plasma non viscoso, non conduttore del calore e dorado di conducibilit~ elettrica infini~.

388 G~uLxo MA~TE~: Sulla instabilit~ gravitazionale seeondo Jeans, etc.

bilit~ gTuvituzionMe. ~ e l n. 4 si esaminano v~ri casi purticolaxi notevoli . ~e l n. 5 infine si s intet izzano le conelusioni cui si ~ giunti col presente lavoro.

2. - Le equazioni delle perturbazioni.

Le equazioni delle pert t t rbazioni per il p lasma MFD dissipative in presenzn di effetto Hall sono (in unit~ di Gauss)

(2.~) 3v t -[- g + ~ g r a d d i v v -~- ~ V ~ v & 1 3t -- ~o g r a d p ~o ~Oo ~-~V~o ( ro tb )AB° ÷ grad U

(2.2)

(2.3)

3b (2.~) ~--/

3t -- @o div v

V ~ U --~ - - 4~G@

= ro t (vABo) -~- firot (BoArot b) + ZV~b

~T ~p ÷ k~V~ T (2.5) Co% 3t = ~--/

(2.6) P - ~ + 2 . P0 To ~o

In esse v ~ la pert t t rbazione nel eampo di velocitg, t il t empo, @o la densi tg n e r o s ta te impert t t rbato, p Ia per turbazione nella pressione, ct il eoe~c ien te di viseositg di compressione, ~ quello di scorr imento (4), # la permeabil i tg magnetica, b/# la per- turbazione nel campo magnetico, Be~# il oampo magnetico (uniforme) n e r o st~oto imper turba to , U la pert t t rbazione nel potenziMe gravitazionale, @ la per turbazione nella densitg, G la eostante di gravi tazione universMe, fi = e=~a/¢7~# con e veloeitg della luce nel vuoto e / ~ eoeftlciente di HM1, Z = c~/47c, ua con a conducibilit~ etet- triea, % il ca, lore specifieo a pressione eost~nte, T 1~ pertl trb~zione nella t empera tu ra assolut% k=, il coefficiente di conducibilitg termica, P0 la pressione hello s ta te imper- tu rba to e T0 la t empera tu ra ~ssoluta hello s ta te imper turbato .

Le (2.1)-(2.6) si ot tengono linearizzando le equazioni desoriventi "un plasm~ MFD clissipativo in presenz~ di effetto Hal l (err. per queste per es. [~1], Sect. 8.4) t enure congo degli effett i gravitazionMi nel meddle di Jeans (~). Esse Mire non sono c h e l a generMizzuzione per il case in esame delte equazioni usate dn FErmi e CHA~IDR,)_- SEICg2~ in [4]. La (2.1) proviene dMl'equuzione di mote, la (2.2) dMl'equuzione di

(4) Nel presente tavoro non si fa use della relazione di Stokes fr~ ~ e V. Lc conclusioni cui si giunge sussistono, in paxticolare, per iI case in cui sia lecito adottare la suddet~a rel~zione.

(~) Per v~rie considerazioni sul modello di Jeans cfr. in par~icolare i lavori [17] e [18].

GIuLIo ~VL~TTEI: Sulla instabilitd gravitazionale seeondo Jeans, etc. 389

continuit~ di massa, la (2.3) dall 'ectuazione di Poisson, la (2.t) dal l 'equazione del campo ma~gnetico, la (2.5) dall 'equazione dell 'energia e la (2.6) dall 'equazione di stato.

Con l 'uso della-(2.6) possiamo el iminate T nella, (2.5). Tenendo conto delle ben note relazioni R = e~-- c~, y = e~/o~,, c § = YPo/~o, con R cos tante dei gas, e~ calore specifico a volume costante e cs velocit£ (( adiabatica ~ del suono, ot~eniamo

(2.7) ap = a~o ~ 4 w ( ~ _ _ ~ ~ ~--7= e~-~ + % \Pc ~ol"

Le (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) e (2.7) costi tuiseono un s is tema de te rmina to lineare di 9 equazioni differenziali scalari alle der iva te parziali nelle 9 funzioni incognite scalazi: p, ~, U, le t re component i di v e t e t re component i di B (T ~ data da (2.6) una vol ta no te p e ~).

Poich6 per Pesame della instabili t~ gravitaziona.le secondo Jeans interess~ il caso della propagazione unidimensiona1% in t rodot ta , senza pregiudizio per 1~ gene- ralit$, una tern a caxtesian~ (inerziale) di r i fer imento (0; x, y, z) di versori ~, 2¢~ ~ con Passe x pa,ralielo alla direzione di propagazione e tale da avere

Bo = Bo. x + Bo~,37 ,

proie t tando la (2.4) su ~ e t enendo conto della solenoidalit~ di b, si deduce subito ~b~/~t ~ 0, 8b~/~x ~ 0 e quindi b:~:= 0, in~eressando solo le per turbazioni che si propagano. LB r im~nent i ot to per turbazioni soddisfano al s is tema

(2.8)

~v~ 1 ~p ~ + 2~ a~v~ Boy ab~

a-T=-eo~x + Q~ ax~ 4~m0ax ~

~t Qo ax ~ ' 4~#~o ~x

~t ~o ~x 2 T 4~#~o ~x

~ _ ~v~ ~v~ ~Zb~ ~Sb~

_ ~v~ ~b~, 2 8 b, = ~O~x - ~Bo~-g~- + z ~x~

~Q ~v~

@ ~@ l~e~ a s - -~o

~ U ~x ~ -- 4~G~.

~U ax

390 Grv~,io M_~T~I: Sulla instabilith grctvitazionale seeondo Jeans~ etc.

3. - La e o n d i z i o n e di instabUith grav i taz ionale .

Impon iamo al sistema (2.8) Is soluzione del ~ipo onda pian~ sinusoidMe

(3.1) ~(x, t) = 9 ex~ [i(~ot- kx)] ,

dove ~ g la generica perturbazione, v~ (eostante) la sua ampiezza~ o) (costante) la fre-

qnenza angolare, k (costante) la componente secondo l 'asse x del vet tore numero d~onda k~ k = k.~.

Considerando k prefissato reMe determiniamo la equazione di dispersione. Posto

(3.2)

e

(3.3)

i ~ = w

3Y = e~/d -- 4aGue0,

con eT veloeit~ ~¢ isoterma ~ del suono, v~ -~- Po/~o, proeedendo nel mode ben note

l 'equazione di dispersione risult~ della forma.

(3 x )

~ella (3.4)

w~ + alw~ + a~w5 + a~w~ + a,w~ -4:- a~w ~ + a~w + a~ = O .

a~ - zk' + _4~ + ,SBo. .~ %Po ~o 9o ] J

dove A = = A . ~ con A = Bo/V/~-~#O~o velocit~ di Alfv6n (")~ e a~, ..., a6 coeiticienti

reMi la cui espressione esplieitu, facilmente cMeol~bile, non si r iporta qui per brevitY.

Si riconosce facilmente c h e s e ~ _K < 0, ossia se ~ verificuta 1~ eondizione

(3.5) c~k ~ < 4~G~o,

la (3.4) possiede Mmeno una radice reMe pos i t iv~ il ehe porta, per la (3.2), Mla insta- bilit~ gravitazionMe. Quindi il vMore critieo X~ della lunghezza d 'ond~ ~ = 27I/Ik [

date dMla (v)

(6) In tutto il lavoro ~/-- ~ simbolo di radice quadrata aritme~ica. if) ~ ben note (cfr. per es. [6]) che l'interesse che ha ill Cosmogonia la de~erminazione

del valore critieo della lunghezza d'onda sta nel fatto the esso d~, nel modcllo di Jeans, una stima della scala delle (~ condensazioni ~) che possono aver Iuogo in un mezzo gassoso esteso.

GIULIO ~¢[A~EI: Sulla instabi~it~ gravitazionale sevondo Jeans, etc. 391

P e r t u t t i i v~lori della hmghezza d ' onda maggiori di ).~ c'~ dunque sempre ins ta- bilit~ gravi tazionale .

Esamin iumo era il comporta, mento delle per tu rbaz ion i per i v~lori di ), minori di ),~. P e r 2 < )~ t u t t i i eoeflieienti della (3A) r isul tano posi t ivi : ~ verif ieata cosl (ckr. [42], p. 339) un~ eondizione neeessaria per la stabil i t£. Unn eondizione neces- saria e sufllciente pe r la s tabi l i tg (cio~ una, condizione che a, ssicttra the 1~ (3.Q ol t re

a non possedere alcuna radice reale p o s i t i v a - - i l che si verifiea per la regola di C a r t e s i o - - h a t u t t e le radici complesse con pa r t e rea]e negat iva) ~ da ta dal crite~io

di Routh-Hurwilz (cfr. [42]~ p. 340). La espressione esptiei ta dei coefllcienti a~, ... ,a~ perb ta le ehe i oalcoli algebriei neeessari per l ' appl ieazione del criterio di l~outh-

Hm'wi tz sono a, ppa r s i t roppo complicat i per essere ef fe t tua t i in m o d e diret to. I1 cri- ter io t u t t a v i a pub agevolmente applicarsi nei due casi par t icolar i di in teresse che esamin iamo di seguito.

3.1 Propagazione nella direzione del campo magnetieo.

Scegliamo ~ in mode da avere Be = Bo x (Be-~ IBol). L ' equaz ione di disper- sione si spezza orn nella

(3.7) ~v d- k ~_ (w + Xk 2) -f- A~I~ ~ -~ fiBol~ ~ w -}- k ~ = 0 ~o / ~o '

in cui non eomp~iono te rmin i gravi tazional i (8), e nella

(3.8) w~ + b~w 2 + b2w + b3 = 0 ,

dove

. . . . N . (~) ~o e~po] %Po ~o %To

Dalla (3.8) si deduoe ehe per t u t t i i 2 > )~, con )~ da te da]la (3.6), c'~ instabi- lit~ e, appl icando il eriterio di ]~outh- t turwi tz , si trova, che per ~utt.i i 2 < 2,~ e'~ stabilitY, e cib qualunque sia il valore dei p a r a m e t r i ~o, Po, e~, e,, g,V, k~.

(s) La (3.7) non 6 influenzata n6 dalla comprimibilit£ del mezzo, n6 dalla conduziono del catore; ess~ coincide con l'equazione di dispersione c~rat~erizz~n~e la propagazione di onde di ~lfv4n modificate dalla corrente Hall in un plasma MFD incomprimibfle dissipative ed ~ stata studiata in [43], n i 6.2 e 7 (per Z = 0, ~ = 0 e fi = 0 1~ (3.7) rid£ la 0) 2 = A2k ~ caratterizzante l'onda, di Alfv~n pur~).

(9) Si osservi che, nel ease presente (Bop----0), le equazioni (2.8)i , (2.8)~, (2.8)~ e (2.8)s sono disaceoppiate dalle altre: esse contengono solo grandezze gasdinamiche (v~,p, e e U) e eonducono all~ (3.8). Le rimanent.i equazioni (2.8)~-(2.8)5, contenenti sin grandezze gasdina- miche (v~ e v~) sin grandezze magnetiche (by e bz), eonducono alla (3.7).

392 Gru~Io ]~IATT]~: Sui te instabilit~ gravitazionale secondo Jeans, etc.

3.2.

L'equaz ione di dispersione si spezza helle

+ @ + v_ o di ovvio significato (~), e nella

(3.9) w~-F e~w~ @ o2w~Jr- c3w -F c~ = O

dove

Propagazione in direzione o~'togonale al campo magnetico.

~ 0

cl -= bl 4- gk ~ , e2 = b~ 4- 7fl~bl 4- A~k ~ ,

A ~ k~ e~s t¢ 4 ca =b~ 4- gtc2b~ 4- ~ e~ = zk~b3.

%Pc

Della (3.9) si deduce che per t u t t i i ~ > iT, con i~ dato della (3.6), e '6 ins tab i l i t~ e, appl icando il cri terio di l~outh-I-Iurwitz, si t rove c, he per t u t t i i ;~ < ~.~ c'~ s t ab i l i t~

e cib qualunque sis il valore dei p a r a m e t r i in gioco.

4. - Casi part ieolari notevo l i .

I n ques to numero ci p ropon iamo di indicate in quMi easi par t icolar i il va lore cri- rico della lunghezza d ' onda non g p i~ da to delta (3.6) ed in quell invece ta le fo rmula

res ta val ida. Si indicano qui di seguito i r i sul ta t i ( sos tanzia lmente eontenut i - - anehe se non

t u t t i espl ic i t~mente - - nei lavori c i t s t i helle bibliografia) r icavabil i f se i lmente come

casi par t icolar i di quelli t r ova t i aI n. 3 del p resen te lavoro (11).

1) Pe r un fluido ordinario~ se g k r ¢ O vale la (3.6), men t r e se ~ / ~ = 0 vale

la fo rmula di J eans

l#e (4J) = L = V0 -oo'

e eib ind ipenden temen te dal l 'essere nulli o meno i coetIicienti ~ ed ~?.

2) Per un p l a s m a MFD con propagaz ione in direzione non or togonale al campo

magnet ico , se b k z ¢ 0 va le la (3.6), men t r e se b k T = 0 vale la (4.1), indipendente-

(lo) Le (2.8)~, (2.8) 3, (2.8) 5 sono ore equazioni (au~onome) di diffusione. (n) Ci si riferisee qui ad un mezzo non ro~an%e ed in assenza, di irraggiamen~o ~ermieo.

Per fl mezzo rotante err. per es. [29] e per il caso in eui non sia traseurabile l'irraggiamento termico cfr. per es. [38] e le bibliografie ivi indiea%e.

GIULIO MArTIni: Sulla instabilit5 gravitazianale seeondo Jeans, ere. 393

mente dall 'essere nulli o meno (separa tamente o congiuntamente) i eoeffieienti

~, V, X e fi (~).

3) Per un plasma MFD con propagazione in direzione ortogonale al campo magnetico sono possibili qua t t ro casi.

i) kz=/:0, X # 0 : vale la (3.6);

ii) kz= 0, Z ¢ 0 : vale la (4.1) ;

iii) kz # 0 , g : 0 : vale la

(4.2) ~ ----- ~r = [ G~o ;

iv) k~== 0, g = 0: vale la

]/~(c~ + A') (4.3) ~0 = L = ~ ~ o "

Le conclusioni i)-iv) sussistono ind ipendentemente datl 'essere nulli o meno (sepa- r a t amen te o congiuntamente) i coefficienti ~, ~ e ft.

5 . - C o n c l u s i o n i .

1) Studiando il problema della instabili t~ gravitazionale secondo Jeans di un plasma ) f F D eomprimibile~ viseos% cor~duttore del calore e di conducibilit~ elet- t r ice finite, in presenza di effetto Hall , si 6 de te rmina te il valore critieo ~c della Iun- ghezza d 'onda. Si 6 t rova to 2~o = ~z, con t z da te della (3.6). I1 valore eritico di Jeans della lunghezza d 'onda (~j, date della (4.1)) r isulta quindi al terato nel sense ehe ella velocit~ (( adiabat ica ,> del suono si sostituisce quella (~isoterma ~.

2) Tale al terazione 6 dovuta essenzialmente ella presenza di conducibilit~ termica non nulla.

3) Essendo 4 = yc~ si ha ~T< ~J e quindi la presenza di eondueibilit~ te rmiea gioca in revere della instabilitY.

4) 3[entre per 2 < ~z ( > ;.j) c'6 stabili t~ (instabilitY) sia nel case in cui sia trascm'abile la condueibilit~ t e rmi t e sia nel ease opposto, per 2r < t < Xz c'6 stabilit~ nel pr imo ease e instabili t~ nel seeondo.

5) La viscosit~ e la eorrente Hal l non influenzano mai to.

6) La condueibitit~ elet tr ica finite influenza ~ solo se la direzione di propa- gazione delle per turbazioni 6 ortogonale al campo magnetico (err. n. G3)).

(12) Ricordiamo the nel case a = 0 , ~ = 0 , k z = 0 , ; / = 0 , f l = 0 il risulta*o: l ~ = ~ J 6 dovuto a Fermi e Chandrasekhar ([4]).

394 GIULIO M,~TEI : Sul la instabili th gravitazionale seeondo Jeans , etc.

7) I n ques t ' u l t im~ eventu~l i t~ sono possibil i qu~t t ro v~lori diversi per

~ : 2~, ~ , ~r, ~ , specifie~ti ~1 n. ~, 3). A v e n d o s i ~j > 2 j > 2~ e ~ > ~ > ~ , il e~so

pifl s tabi le ~ queHo in cui ~o-~ ~ t h e si verifie~ pe r u n pla, sm~ M F D n o n condut -

to re del c~lore e pe r f e t t o c o n d u t t o r e dell 'elettricit~, i n d i p e n d e n t e m e n t e d~ll 'essere

tr~seur~bili o meno-congiunta , m e n t e o sep~r~t~mente-viscosi t~ e cor ren te H~ll.

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