S u l l a (( e q u i v a l e n z a a s i n t o t i c a )) de i s i s t e m i di e q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l i o r d i n a r i e .

/YIemoria di ROBERTO CONTI (a Firenze).

S u n t o . - Aleune recenti ricerche d i A . ~rINTNER~ ~T. IAEVINSON, H. WEYL, V. ][Ao J[AKUBOVICH conducono a stabilire la nozione d i ~ equivalenza asintotica ~ fra due sistemi di equa. zioni differenziali ordinarie.

L 'A . dg qui un eriterio di equivalenza asintotica valido in easi ai quali non si applicano i criteri preeedentemente noti.

1. Consideriamo un s istema di equazioni dif ferenzial i ordinarie (~)

(s) ~ = A(O ~ + f(t, ~,)

dove f(t, xI soddisfa le condizioni

(1~ f ( t , O) = O, 0 ~ t ;

(2). II f(t, ~') - - f(t, x") II ~ ;40 I1 x' - ~" I1 ;

con ),(t) funzione sommabile in (0, -t-cx~):

(2') - f ).('c)d: ,~ ÷ d o

In queste ipotesi la soluzione x(t) di (S) useente da un arbitrario punto xo del piano t--= 0 (x(0)--wo) ~ unica ed esiste in (0, -t-c~).

Diremo brevemente the il sistema (S) ed it sistema (ridotto)

(So) y ---- Aft) y

sono asintoticamente equivalenti se esiste una trasformazione bicontinua ¢o del piano t = 0 in s~ in mode the presa una qualunque coppia di solu~ioni wit),

(l) Usiamo notazioni vettoriali , indicando con A(t) u n a matr iee n X n con e lement i al, k(t). funzioni (reali o eomplesse) della var iabi le reale t~ defini te ]per t ~ O , Con f(t , x) si indica un vet tore (~ matriee n X 1 ,) assegnato, di eomponenti fl(t, x)~...., fn(t~ x) defini te per t :~O,

!1~11<+~¢. I1 simbolo x indiea la der ivata dx/dt del vettore x ~ (xt~.,-~ x~). I n f i n e ~ per definizione

II/(t) II----- :~k I . a~,~(t) I • !!~[I = :~; I x,.(O I,

e ana logamente per I[ Y ]l, i[ f(t, x) t], eec.

96 R. CONTI : Sutla << cquivalenza asi~totica >) dei sistemi di equazioni, ccc.

y(t) useenti da punt i di t ~ 0 omologhi nella oJ sia

(3) l i ra II - y(t)11 = 0 .

Es t endendo r i su l t a t i o t t enu t i da al t r i AA. (~) H. ¥~7"EYL []0] ha provato che se il sistema (So) ~ stabile e se A(t) ~ costante allora (So) ed (S) sono asintoticamente equivatenti.

Pif i ta rd i V. IA. IAKUBOVICH (in [6]; err. anehe V. V. N]~MYTZKII- V. V. STEP,'COY [8]) ha dato u n a fo rmu l a z i o n e assai pifi a mp i a al r i su l t a te di H. WE~L, in modo da t r a t t a r e a n e h e il easo in eui il s i s t ema (So) non sia s tabile , ma eonse rvando perb l ' i po te s i che A(t) sia eos tante .

0 e e o r r e d i re ehe q u e s t ' u l t i m a ipotesi non pub s e n z ' a l t r o esser abbando- nata, n e p p u r e nel easo ehe (So) sia stabile, poich~ esis tono (cfr. R. BEL- L]CAN [2], p. 42) dei s is temi (So) s tabi l i e ve t to r i f(t, xl soddis facent i le (1), (2), (2') tal l che (S) a m m e t t e soluzioni non l imita te .

]~ nora t u t t av i a uua classe di s is temi (So) stabili , con ma t r i c e non eos tante , per i qua l i si ha (helle ipo tes i (1), (2), (2)) l ' e q u i v a l e n z a as in to t i ca con (S) : tale classe ~ queUa dei sistemi (S) stabili e riduvibili (3).

I n ques to lavoro i n d i c h e r e m o un ' a l t r a c lasse di s i s temi (So) stabili , con m a t r i c e Air) non cos tan te pe r i qual i , sotto le ipotes i (1), (2), (2~), si h a l 'equi- va l enza as in to t i ea con (S). Va le

TEORE~A. - ~e A(t) ~ una tale the p (0 ~ p ~ n) delle sue tengano parte reale nulla per 0 caratteristiche ~nantengano parte sono asintotieamente equivalenti.

in fa t t i il matrice assolutamente continua in (0, + c~), radici caratteristiche restino semplici e man.

t ~ + ~ , mentre le restanti n - - p radici reale _ ~ - a" < O, allora i sistemi (S) ed (S~)

P r i m a di pa s sa re a l la d imos t r az ione vogl iamo subi to osse rvare che effet- t i vamen te esis tono s i s temi {S0) non r idueib i l i , e qu ind i a ld i fuor i del campo di app l icab i l i t~ dei e r i t e r i di WEYL-IAKUBOVICH, i qua l i soddis fano invece le eondiz ion i del nos t ro t eorema. Gib avv iene ad es, p e r il s is tema, di u n a

(2) Quasi tutti gli studi preesistenti a [10] si riferivano al caso di f(t, x) lineare in x, c~minciando dal lavoro [9] di W. J. TRIJTZINSKY nel quale A(t) ~ la matriee (n X n) nulla, proseguendo col lavoro [11] di A.. WINTNEI~ che considera il caso di A(t) costante e riduei- bile a zero, fino al lavoro [7] di 17. I~EVINSON ehe sulla A(t) fa le stesse ipotesi di It. WEYL. A. WINT~ER in [12] aveva considerate anehe il easo della f(t, x) soddisfacente le condizioni (1), (2), (2~), mantenendo perb sulla A(t) l'ipotesi che fosse eostante e ridueibile a zero.

(2} Questo eriterio di equivalenza asintotica dovuto a V. IA. IAKUBOVlCH [6] comprende preeedenti risultati di 2~. ~rJNT~ER [13] e G~. ASCOL~ [1], i quali, entrambi, suppongono f(t, x) lineare in x, il primo con una matriee A(t) soddisfaeente ad ipotesi per eui (So) ~ ridueibite a zero, il seeondo, pi~ in generale, ammettendo senz' alta-o (So) ridueibile a zero.

Per quanto riguarda i concetti di stabilith, stabilit'~ uniforme, riducibilit~ e le loro mutue relazioni rimandiamo il lettore al nostro lavoro [5], attualmente in corso di stampa nella Rivista di ]Katematica dell'Univ, di Parma.

R. CONTI ; Sulla ¢ equivalenza asintotica >> dei sistemi di equazioni, ecc. 97

sola equazione

t + l y"

Perehb questo fosse r idueibile dovrebbe infatti esistere una funzione l(t), derivabile, l imitata in (0, + ¢~) insieme con la reciproca 1/l(t), soddisfaeente per una qualche costante e 1' equazione

+o),-o Invece 6 subito visto ehe se e ~ l b l(tl--* + ~ , mentre se e < l

lll(t ) - - + co.

9. Proviamo anzitutto il seguente L~.~tA. - Se (80) ~ un sistema uniformemente stabile e se valgono le (1).

(2), (2'), allora a~whe (8) ~ uniformemente stabile (4). Per ogni soluzione ~t ) di (S,) si ha (cfr. ad es. R. BELL~AI~I [2], p. 14)

t f ,

a~(t) = Y(t)Y-~(to)~(to) + J Y(t)Y-'(~)f(x, ~(z))dx, 0 ~ t o ~ t, to

dove 1¢(t) ~ la matr ice (~ matrice fondamentale principale ~> di (So)), definita da

t

Y (t) --- I + t X(z) Y(':)d*. t J

d o

con I matr ice unitA, n X n. Poich~, per l' uniforme stabilitk di (8,), esiste una eostante e > 0 tale da

aversi [{ Y(t)Y-'(~) l{ < e 0 ~ -c ~ t < +

avremo, so ~lt) ~ un' altra soluzione di (S), tenendo conto della (2), la disu- guaglianza

t

to

e per i l lemma di G~OZ~WAZ, T, generalizzato (cfr. ad es. R. BET,T,~AZ~ [2], p. 35)

ef t X(x)d'~ II z ( t ) - II o II Z ( to) - - (to) II .

(q A b b i a m o gi~ d imost ra to questo l emma nel lavoro [5] p r ima ci tato (teor. 7') nel ease ehe f(t, x) sia l ineare in x. Cfr. anehe D. CALIO0 [3].

Annali dl Matemafica 18

98 R. CONTI : Su l la << cquivalenza a.~intotica >> dci s i s t emi di cquazioni , eee.

Per la (2') esiste dunque una cost ante c ' > 0 indipendente da to, tale ehe

II ~(t) - ~(t) II - o II ~(to) ~(to) li to ~ t

e questa prova ehe tutte le soluzioni di {S) sono uni formemente stabili.

3. Vogliamo ora r icondurre l ' equivalenza dei due sistemi (S), (So) a quella di altri due sistemi, in eerto modo pifi semplici.

Nelle ipotesi fatte sulla matr ice A(tj esiste (cfr. L. CESARI [4]) una matrice ~2(t) l imitata in (0, + o o ) insieme con la sua inversa Q~(t), assoluta- mente continua in (0, + co), tale the la ~-~(t)A(t)Q(t) ha la forma

D(t) - - ~2-~(t)A(t)~2(t) =

0

0

e~+,(+ ~)

dove le ~t(t) , . . . , ~ ( t ) . sono le p radici carat terist iche di A(t) che si manten- gono per 0 ~ t < + c~ semplici e con parte reale nulla, le ~t (+ oc), ..., ~ , (+ cx~} sono i limiti per t ~ + o o detle r imanent i radici carat terist iche di A(t) ed infine ta d~,h(t) sono delle funzioni a s soh tamen te continue in (0, + oo).

Mostreremo in questo n. che p e r p rovare i l nos t ro teorema ~ su f f ic ien te r i f e r i rc i a l caso dei due s i s t emi

(To) u - - D(t) u

(T) ~, = D(O v + g(t, v)

dove g(t, v) s o d d i s f a le (1), (2), (2'). Infatti, ammett iamo ehe (To) e (T) siano asintotieamente equivalenti. Poich~ •(t) 6 asso]utamente continua in (0, -}-co) sat'&

+co

(4) ] II ~(~)II d~ < + c o J

o

percib

(T') w - - D(t) w - - g-'( t)~(t) w

un partieolare sistema (T) ed ~ per ipotesi asintoticamente equivalente a (To). Cib vuol dire che esiste una trasformazione bicontinua % del piano t = 0 in modo che per ogni coppia di punti corrispondenti escono soluzioni u(t), w(t) tali ehe

lim IT u(t} - - w(t) [I = O. t ~ +co

R. CONT~ : Su l la ~ cquivalenza a.~intotica >> dei s i s temi di equazioni , ecc. 99

Ancora per la (4) anche il s is tema

(T") v -= n(t) v + P~-~(t)f(t, Q ( t ) v ) - Q-~(t)fi(t)v

del tipo (T), quindi as in to t ieamente equivalente a (To) ed esiste dunque una t rasformazione b icont inua ~o.~ di t------0 in s~ in modo the per ogni cop- pia di punt i omologhi escono soluzioni u(t), v(t) tall t he

lim li u(t) - - v(t) it : O.

I1 prodotto delle due trasformazioni ~%, ~o z ~ ancora una % e poich~ ! i v - ~v tt ~ tl v - u It + t] u - ~v ]t, s e g ~ e

l im H v(t) - - w(t) ii : O,

ed anche, essendo ~2(t) ] imitata,

l im fl !2(flY(t) - - ~2(t)w(~) iI = o .

Poieh~ Q(t}v(t) ~ una w(t) soluzione di (S) ed fi(t)w(t) ~ una y(t}, soluzione di (So) e poich~ la matr ice ~0 ) individua una omograf ia (non degenere) tra i due piani sovrapposti , di sostegno t ~ 0, delle v(0) e delle x(0) e t ra i due piani delle w(O) e delle y(0), segae the (So) ed (S) sono as in to t icamente equi. valenti .

Da ora in poi ci r i fer i remo percib ai due sistemi (T) e (To).

4, Ogni soluzione di (T) si pub porre sotto la forma t

(5) v(t) --~ U(t)v(O) + . /~ U (t) U-~(z)g(z, v('~))dz,

o

dove U(t) ~ la matr iee fondamenta le pr incipale di (To). Nel l ' in tegra le ora scritto compare il prodotto U(t)U-~(~) t he vogtiamo

esaluinare piit da vicino. Tenendo presente la forma della matr ice D(t) si r iconosce faei lmente the

si pub scrivere

v ( 0 ~ - l ( ~ ) = , u~(0 - L ( ~ /

dove U,(t) ~ la matr ice fondamenia le pr incipale del s is tema

(Ui) u~--- ~(t)u~ ( i - - i, ..., p)

e dove U~(t) ~ quel la del s istema

(U~) u~ --" e~(-~" c,~)u~ + ~j d~,i(t)u j (i = p -~ 1, .. . , n).

100 R. CONT~ : S~ella << equivalenza as in to t ica )) dci s i s temi di equazioni , ecc.

Si vede subito che

e poich~ ~ R~i(t) - - 0 ( i -~ 1, ..., p ; 0 ~ t ~ + c~) segue la

(6) II v , (0 II = II v , - ' ( 0 II. = II u , (0u, - ' ( ' : ) II = p o ~ t, ~:.

Essendo inoltre R ~ ( t ) ~ - - a ~ < 0 l i --" p + 1 , . . . , n ; 0 ~ t < ; + co) sar~ pure

~i(+ c~) ~ - - a ~ < 0 (i = p + 1, ..., n).

Integrando 1' ul t ima equazione di (U~) ( i - - • ) avremo

I u, , ( t ) I ~ e-<'~(t-~) I u.(~) I •

Integrando la penulf ima (i = n - - 1)

t

u,,_i(t) = u , _,(z)ee,~-t(+ ~)(t-~) -~ ] ez, -,(+~)(t-0)d,,_,,, (O)u,, (O)dO,

e poieh~ esiste un numero d ~ 0 tale the

I d~,s(0 I ~ d, 0 ~ t,

segue dalla precedente disuguaglianT, a

lu.-,(t) l~lu.-,('¢) I e - ° ~ ( ~ " ) + I u . (~) I e -a~(t -~) ( t ' - ~:)d.

Risalendo fine alla prima equazione di (U~) otteniamo the ogni lui(t) i (i - - p -t- 1, ~.., "n) ~ maggiorata da somme il cui termine generico ~ della forma

e-a~(t-~)Ps(t - - "c)

dove ogni P s ( t - - z ) ~ un polinomio in t - - z a coefficienti dipendenti solo dalle d~,s(t ).

Pereib se introduciamo il vetiore (matrice ( n - - p ) X 1):

u(O = fu .+ , ( t i , . . . , u.(O) soluzione di (U~) avremo una maggiorazione del ripe

II u(O II - e -°~('-~) y' P , ( t - ~), 0 _< t - ~. s

Ma

u(t) = u ~ ( o u , - ' ( ~ ) u ( ~ )

e se per t - - ~ si prende come vettore U(~) quello the ha per componenti gli elemenfi della i a, 2 a, ..., n - - p a colonna della matr ice uniti~, (n --to) ~ (n --19), avremo in definifiva una maggiorazione del tipo

(6') II U~(OV,-'(~)II ~ r "~('-~) ~' q ~ ( ~ - - ~), 0 ~ - : $

R. CoaTI: SuZla << equivalenza asi~totica >> dei sistemi di equazioni, ecc. 10t

dove i Q,, come i Ps, sono pol inomi in t - z a coeffieienti d ipendent i uni- camente dalle d~,~(t).

In part ieolare da (6) e (6') segue l 'esistenza di una costante d ' > 0 tale ehe

(7) fl u(t)~T-q~)I1 _<o". o_< t - - , : .

5. Vogliamo ora scrivere la (5) in forma diversa. A tale scopo introdu- ciamo le matr ic i n X n

~, ( t )= ----0---~ o /' % ( 0 = ed osserviamo che si pub serivere U-~('c)---6).~t(~ ) + ~(-c) e quindi anche

u(t) u-i(~) = u(t)%(~) + ~](t)%(~).

Avendosi per la (6) t t

o f [] 6~t('~)g('c , V('~))[] d'~ ~ p / ) , ( ' c ) [ ] ~)('~),] d%

ed essendo ogni v(t), soluzione di (T), l imita ta (5) segue +co

0

Per tan to la (5) pub seriversi anehe

t

(5')

dove

(9)

soluzione di {To).

5'

o

6. La u(t) rappresen ta ta dalla (9) ~ quel la soluzione di (To) che per t - - 0 esce dal punto

(10) U(0) - - V(0 t + f ~ , ( ~ ) g ( ~ , v(~))dx. 0

(~) Cib risulta dal n.~2 essendo v ( t ) : ~--t#)x{t) ed essendo ~--t(t) limitata~ ma si pub provare anche direttamente ragionando sulla (5} in modo analogo a quello seguito nel n. % tenendo conto~d~lla (7}.

t02 R. CON'rI: Sulta <~ cquivalenza a,~intotica >> dei sistemi di cquazioni~ ecc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se era p rov iamo ehe i due in tegra l i che eompaiono nel la (5') t endono en t r ambi a zero per t ~ - + - ~ noi avremo provato che alia soluzione v(t) di (T) uscente dal punto v(O) del p iano t ~ 0 corrisponde una soluzione u(t) di (T.), quella useente dal punlo (10) dello stesso piano, in modo che

(II) lira II u( t ) - v(O II - - o. t ~ ~ - c o

La convergenza a zero del pr imo in tegra le di (5') ~ eonseguen~a imme- dia ta del la (8~. Pe r s t ad ia re il seeondo in tegra]e spezziamo l ' i n t e rva l lo (0,. t) nei due in terval t i (0, t/2), (t/2, t}. Avremo in tan to da l la 17~

t t ! f

t ll ma : N v(t tl t - - 0 • / (0 , - k ~ ) l

per t ~ ~ -oo . Ino l t re se ~ 0 ~ z < t/2 avremo

- - a~(t - - ~) ~ - - a;t/2

e per la (63 esister'~ un certo esponen te k tale che

ii u(t)~,(~) II _< e-"~t/~e. Quindi anche

ti2

f[1 U(0~-A~)g(~, v(~)) I) d~ _< cost. e-a"t/~'t~ ~ 0 0

per t ~ + ~ e la, (11) ~ prova ta .

7. Dobbiamo ora far vedere che assegnala una u(t) soluzione di (To) ad essa corrisponde urea v(t) soluzione di (T} per eui vale la (11).

Anzi tut to si pub p rendere un T ~ 0 in modo che sia

t -l-co

J T t

Fissa to un tale T cons ider iamo l ' equaz ione integrale , pe r t ~ T

-Fco t

U ( t)~f .A'c)g(% v('~) )d'~ !

t T

dove u(t)~---U(t)u(O) ~ una assegna ta soluzione di (To). Cos t ru iamo una success ione di funzioni l vC~ 1 (m----0, 1, ...) pone.halo

(130) v'°'(t) -~ u(t) + c o t

(13. ,+ , ) v,~+~,(0 = ~tt) - " / y ( t ) ~ , ( ~ ) a ( ~ , v,~,(~))~ + ~ / u(t)%(~)a(~, v(m)¢:))d'c. ] ]

t T

R. C o ~ : Sul la (< equivalenza asintot ica >> dei s is temi di equazioni, ecc. 103

Si d imos t ra fac i lmente , s f ru t t ando le (1), (2) e tenendo eonto del la (12) c h e l a serie

minoran te di a n n serie geomet r iea conve rgen te ; la successione ~v('~(t) l converge verso u n a solnzione di (5"), vale a dire verso que l la soluzione di (T) che per t - - - -T passa per il punto

U(T) (u(O) - - f e'~,(~)g(% v(,))dz]. T

Si ~ eosi de te rmina ta , in cor r i spondenza al la da ta u(t) soluzione di {T,,) una solu~ione di (T), quel la che per t - - 0 passa per il punto

~ T

o 0

8. L a (14) r app re sen ta una t ras formazione b iunivoca del piano t = 0 in s~. Pe r provare che essa ~ (hi-) con t inua basra osservare ehe se v{0), ul0)

una seeonda coppia di pun t i omologhi, det te u(t), v(t) le cor r i spondent i solu- zioni di (To) , (T) si ha per d i f fe renza e tenendo conto delle ~1), {2), (2')

I] u(O) - - u(O) !1 <_ II v(o) - v(O) II + II - II d : , ]

0

T

-!- m a x II e~2('c)Jl/)'(~) Ji V ( : ) - V(~)Jl f l

d~. (0, T) J 0

Fissa to un numero e > 0 si pub de te rmina re in virtfi de l l ' un i fo rme stabil i t~ di (T) (cfr. n. 2) un al tro numero 8, positivo, ~ := B(~), tale ehe se LJ v(0) - - v-(0)II ~ ~ ~ anche tl v(~) - - v(~:)II ~ ~ per 0 < ~ , e qu ind i !1 u(0) - - u(0)I!--~

B + cost. e, e p rendendo ~_~ ~ avremo t[ u (0 ) - - u(0} II ~ cost. ~.

B I B L 1 0 G R A F I A

[t] G..4_scobl, Osservazioni sopra atcune questioni di stabilitY, I~ ,, Rend. Acc. Haz. Lincel ,, (8) 9, 129-134 (1959}.

[2] R. BELI.~A~, Stability theory of differential equations~ MacGraw-]~ill Book Co., Inc. (1953).

[~] D. CALIGO, Un criterio sufficiente di stabilit4 pe~" le soluzioni dei sistemi di equazioni integrali lineari e sue applicazioni ai sistemi di equazioni differenziali lineari, .htti del I I ° Congr. Un. Mat. I tal , 177485 (19~0 t.

[4] L. Gss.~.rcl, Ua nuovo criterio di stabilit4 per le soluzioni delle equazioni differenziali lineari, ~ Ann. S. ~. S. :Pisa ~, (2) 9, 163-186 (1940).

104 R. CONTI : S u l l a ¢ equ i va l enza a s i n t o t i c a >> dei s i s t e m i d i cquaz ion i , ecc.

[5] R. CONT,, Sul la stabilit~ dei sistemi di equazioni differenziaU lineari~ in corso di stampa nella Rivista di matematica dell 'Univ, di Parma.

[6] V. IA. IAKUBOVICH, Sul comportamento asintotico delle soluzioni di un sistema di equa. zioni differenziali (russo), • Dokl. Akad. ~auk S S S R , , 63, 363-366 (1948); ~ Matem. Sbornik ,, 28 {70}, 217-240 {1951).

[7] N. LEVI~SO~, The asymptotic behavior of a system of linear differential equations, • Am. J. Math. ,, 68, 1.fi (1946).

[8] V. ~r ~EMYTZKH-V. V. STEPA~OV, Teoria qualitativa delte equazioni di, fferenziali (russo), 2 a ediz., GITTL (1949), Cap. I I I , § 5.

[9] •V. J. TRIJTZI~SKr~ Propecties o f gro~vth for solutions of differential equations of dyna- mical typej • Trans. Am. Math. Soc. ~, 50, 252.294 (1941).

[10] H. WE:ZL, Comment on the preceding paper, • Am. J. Math. ,, 68, 7-12 {19~6). [11] A. WINT~ER, Small perturbations, c a m . J. Ma~h. ,, 67, ~17-430 (1945). [12] A. WIST~ER, Asymptotic equilibria, • Am. J. Math. ~, 68, 125.132 (1946}. [13] A. WINTNER, Linear variat ion o f constants, , Am. J. Math. , , 68, 185-213 (1946).