Universita degli Studi di Padova

DIPARTIMENTO DI FISICA E ASTRONOMIA GALILEO GALILEI

Corso di Laurea Triennale in Fisica

Studio di Materiali 2D con il metodo DFT

Laureando:

Giacomo LorenzinRelatore:

Paolo Umari

Anno Accademico 2016/2017

Indice

1 Density Functional Theory 1

1.1 Formulazione di Hohenberg e Kohn . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Formulazione alternativa di Levy e Lieb . . . . . . . . . . . . . . 21.3 L'ansatz di Kohn-Sham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Introduzione 3

3 Grafene 4

4 Nitruro di Boro 7

5 Disolfuro di Molibdeno 9

6 Diseleniuro di Tungsteno 14

7 Bibliograa 17

8 Appendice 17

1 Density Functional Theory

La Teoria del Funzionale Densit (DFT) si basa sulla possibilit di poter con-siderare ogni propriet di un sistema di molte particelle interagenti come unfunzionale della densit dello stato fondamentale n0(r).1 La nascita di questateoria dovuta a Hohenberg e Kohn, ma sarebbe tutt'oggi un esercizio teoricosenza procue applicazioni pratiche se non fosse stato per l'ansatz di Kohm eSham, che ha permesso di ricavare informazioni su un sistema di molti corpi in-teragenti risolvendo un problema ttizio a particelle indipendenti. Cos la DFT diventata lo strumento principale per il calcolo di strutture elettroniche nellamateria condensata e per studiare molecole e altri sistemi niti.

1.1 Formulazione di Hohenberg e Kohn

Assume un ruolo cruciale la densit di particelle nello stato fondamentale perchviene presa come la "variabile base" da cui dipenderanno tutte le propriet delsistema. La formulazione di Hohenberg e Kohn muove i passi da due teoremi:

Teorema 1 Per ogni sistema di particelle interagenti in un potenziale esterno

Vext(r), Vext(r) determinato univocamente, a meno di una costante, dalladensit di particelle del ground state n0(r).

Corollario 1 Dato che l'hamiltoniano totalmente noto, a meno di una co-

stante, tutte le propriet del sistema sono completamente determinate solo una

volta nota la densit del ground state n0(r).

1Tutto quanto viene esposto in questa sezione pu essere trovato in maniera pi estesa inMartin, Richard M., Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods [?]

Teorema 2 Un funzionale universale per l'energia E[n] in termini della densitn(r) pu sempre essere denito ed valido per ogni potenziale esterno Vext(r).Per un particolare Vext(r), l'esatto ground state dell'energia del sistema ilminimo globale di questo funzionale e la densit n(r) che minimizza E[n] esattamente la densit dello stato fondamentale n0(r).

Corollario 2 Il solo funzionale E[n] suciente per determinare l'esatto groundstate di energi e densit. In generale invece gli stati eccitati devono essere

determinati in altri modi

Per delle dimostrazioni dei due teoremi si rimanda a Electronic Structure diRichard Martin [?], pagg. 123, 124.

1.2 Formulazione alternativa di Levy e Lieb

Levy e Lieb proposero una nuova formulazione del funzionale che conduce allastessa densit dello stato fondamente del metodo Hohenberg e Kohn, ma, ri-spetto a quest'ultimo, ne estende il range di denizione, specica un modo perricavarne un valore esatto, almeno il linea di principio, e inoltre questa formu-lazione applicabile anche agli stati degeneri. La procedura di Levy e Liebprevede di minimizzare il funzionale energia in due step: si parte dalla solitaespressione per l'energia in termini delle funzioni d'onda a molti corpi, per an-zich minimizzarla rispetto a tutte le lo si fa solo rispetto a quelle che hannola stessa densit n(r). Cos l'energia totale per ogni funzione d'onda pu esserescritta come

E = |T |+ |Vint|+

d3rVext(r)n(r) (1)

Se ora si minimizza E rispetto alle funzioni d'onda della stessa densit n(r), sipu denire un'unica energia minima per quella densit

ELL[n] = minn(r)

[|T |+ |Vint|] +

d3rVext(r)n(r) + EII

= FLL[n] +

d3rVext(r)n(r) + EII

ove EII l'energia di'interazione tra gli ioni ed stato introdotto il funzionaledi Levy-Lieb

FLL[n] = minn(r)

[|(T + Vint)| (2)

In questo modo risulta evidente che E[n] un funzionale della densit e lo statofondamentale si trova minimizzandolo. Da qui si pu apprezzare l'utilit dellavoro di Levy e Lieb infatti stata data una denizione operativa del funzionale:il minimo della somma delle energie cinetiche pi quelle d'interazione per tuttele possibili funzioni d'onda relative alla stessa densit n(r) data.

1.3 L'ansatz di Kohn-Sham

Tutto quanto detto nora risulta di poca utilit pratica perch, a meno che nonsi conoscano le funzioni d'onda del sistema a molti corpi, non sappiamo come

2

calcolarci il funzionale. Ciononostante, grazie al lavoro di Kohn e Sham, la DFTrisulta oggi uno dei metodi pi utilizzati per il calcolo di strutture elettroniche.Il loro approccio di sostituire il complicato problema a molti corpi interagen-ti con un problema ausiliario di pi facile risoluzione. Data l'arbitrariet sullascelta del problema ausiliario, Kohn e Sham optano per uno che prevede particel-le indipendenti in cui tutta la dicolt rappresentata dalla mutua interazione racchiusa in un funzionale energia di correlazione-scambio Exc[n]. L'ansatzfondamentale, per, che la densit del ground state del sistema a particelleindipendenti sia la stessa del sistema originale a molti corpi, perci, risolvendoun problema ausiliario relativamente facile, si riesce a risalire all'informazioneincognita del problema di partenza, pi dicile da trattare. Il funzionale ener-gia del ground state nell'approccio di Kohn-Sham dipende dalla densit ed dato da

EKS [n] = Ts[n] +

d3rVext(r)n(r) + EHartree[n] + EII + Exc[n] (3)

ove Ts[n] l'energia cinetica di particelle indipendenti, Vext(r) un potenzialeesterno dovuto ai nuclei e a qualsiasi altro campo esterno, EHartree[n] l'e-nergia Coulombiana classica della densit n(r) interagente con s stessa, EII l'energia d'interazione tra i nuclei, ma il termine pi importante Exc[n] che l'energia di correlazione-scambio. Se Exc[n] fosse noto, si potrebbe minimizzareEKS [n] per trovare la densit di ground state. La correttezza dei risultati diquest'approccio sta tutta nella scelta di un'energia di correlazione-scambio cherappresenti nel miglir modo possibile il sistema originale a molti corpi. Sceltediverse di Exc[n] conducono ad approssimazioni diverse. Una molto nota la"Local Density Approximation" (LDA) in cui Exc[n] in ogni punto funzionesolo della densit elettronica in quel punto e il valore di Exc[n] quello cheavrebbe l'energia di correlazione-scambio di un gas omogeneo di elettroni condensit pari alla densit in quel punto. Altre molto note sono le "Generalized-Gradient Approximations" (GGAs) in cui Exc[n] dipende anche dal gradientedella densit di elettroni e in base alla dipendenza che si sceglie si giunge a GGAdiverse.

2 Introduzione

Nel seguito stato eseguito uno studio delle propriet di materiali in 2D, inparticolare della loro struttura a bande, con il metodo della DFT. Per i calcolici si serviti del softwere Quantum Espresso

P. Giannozzi et al., J. Phys.:Condens. Matter 21 395502 (2009);URL http://www.quantum-espresso.org

Tutti i le di input sono riportati in appendice 8.

3

http://www.quantum-espresso.org

3 Grafene

Figura 1: Grafene

Il grafene uno strato di grate dello spessore di unatomo, perci pu essere considerato un materiale bi-dimensionale. E' formato da un reticolo di Bravaisesagonale con due atomi di carbonio per cella, dandocos vita al cosiddetto "honeycomb lattice"

Per giungere al calcolo della struttura a bande so-no stati necessari dei passi preliminari. Si cercatal'energia di cuto delle funzioni d'onda e la costantereticolare ottimale. A tal proposito sono stati eseguitiuna serie di calcoli "Self Consistent Field" (scf) sce-gliendo diversi valori dell'energia di cuto e dierenticostanti reticolari e per ogni coppia di parametri stata calolata l'energia totale del sistema. L'intentoera quello di determinare la costante reticolare che minimizzasse l'energia totalee lo si fatto assumendo che intorno al minimo l'energia potesse essere interpo-lata adeguatamente da un polinomio di secondo grado. Dopodich estrapolandoil minimo di tale parabola si sarebbe risaliti al valore della costante reticolarecercato. Un esempio riportato in gura 2.

Figura 2: Esempio di interpolazione dei dati di Quantum Espresso per trovare lacostante reticolare che minimizzi l'energia totale. In questo caso Ecutoff = 60Ry

Ottenuta una serie di dati di energia di cuto e corrispondente costantereticolare, stato costruito un graco per valutarne l'andamento. Figura 3ae 3b. Poi si scelto un valore dell'energia che non implicasse un tempo dicalcolo troppo elevato, ma che prevedesse un valore portato a convergenza dellacostante reticolare.

4

(a) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in LDA

(b) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in GGA

(c) Convergenza della costante reticolare a infunzione della distanza tra i piani c in LDA

(d) Convergenza della costante reticolare a infunzione della distanza tra i piani in LDA

5

Dato che il codice prevede un calcolo utilizzando onde piane per rappresen-tare le funzioni d'onda necessario imporre condizioni al contorno periodiche(Periodic Boundary Conditions, PBC) nelle tre dimensioni. Questo introduceun'articiosa periodicit lungo l'asse z ed stato necessario determinare una mi-nima distanza tra i piani in modo che le loro propriet non venissero perturbatedagli altri. A tal proposito stato seguito un procedimento analogo a quelloprecedente: sono state scelte varie distanze e per ognuna di esse si cercata lacostante reticolare che minimizzasse l'energia e inne si optato una distanzaragionevole che presentasse un valore portato a convergenza della costante re-ticolare. Figura 3c e 3d. In tutto ci sono stati scelti diversi pseudopotenzialiche hanno condotto a calcoli sia in LDA che in GGA. Di seguito si riportanoi valori di cuto e lo spazio tra i piani scelti e la costante reticolare associata,confrontata con valori trovati in letteratura [2].

Ecutoff (Ry) a() c()

PZ 60 2.44 10.58PBE 70 2.48 13.23

PBElett 2.4

Conclusa questa parte di calibrazione si passati alla ricerca delle ban-de. Sono state calcolate nei tre punti speciali del reticolo reciproco (0; 0; 0),M(1/2; 0; 0) e K(1/3; 1/3; 0), espressi in unit dei vettori primitivi, che possonoessere visti come i vertici di un triangolo. Se i suoi lati vengono suddivisi in 30parti uguali, ad ognuna di queste pu essere associato un punto k dello spazioreciproco e le bande sono state calcolate anche su ciascuno dei k ottenuti conquesta costruzione.Il risultato riportato in gura 4 ove lo zero dell'energia stato scelto in corrispondenza del Valence Band Maximum (VBM). Quanto sitrova in letteratura conferma i risultati [2].

6

Figura 4: Comparazione tra le bande del grafene calcolate in LDA e in GGA

La particolarit della struttura a bande del grafene che la banda di valenzae la banda di conduzione si toccano in punto, detto punto di Dirac, e per questoil grafene classicato come un semiconduttore con bandgap nulla. Nell'intornodel punto di Dirac la relazione tra energia e norma dei vettori d'onda lineare,dando vita a quel che in tre dimensioni detto Cono di Dirac. La formula recita

E(k) = hvF k (4)

dove k il modulo dei vettori d'onda presi con l'origine nel punto di Dirac, h la costante di Plank mentre vF la velocit di Fermi. Perci con un t linearesi pu facilmente risalire ad una stima di vF . Il risultato qui ricavato

vF (m/s)

PZ 0.83 106PBE 0.71 106

LDAlett1 0.95 106LDAlett2 0.85 106

ed stato confrontato con quanto si pu trovare in letteratura [2], [3].

4 Nitruro di Boro

Figura 5: Nitruro di Boro(BN) (B in viola e N inazzurro)

La struttura del Nitruro di Boro molto simile a quel-la del grafene, come si pu apprezzare in 5. Anche quiil reticolo di Bravais esagonale con una base di due

7

(a) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in LDA

(b) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in GGA

(c) Convergenza della costante reticolare a infunzione della distanza tra i piani c in LDA

(d) Convergenza della costante reticolare a infunzione della distanza tra i piani in LDA

atomi e anche qui il materiale pu essere consideratobidimensionale.

Le procedure preliminari che hanno portato a set-tare nella maniera pi consona possibile i parametridel Nitruro di Boro sono le stesse descritte nel para-grafo del grafene 3, pertanto se ne riportano solo irisultati. 6a, 6b, 6c e 6d.

Ecutoff (Ry) a() c()

PZ 60 2.54 9.53PBE 70 2.49 9.53PZlett 2.489GGAlett 2.50

8

Figura 7: Comparazione tra le bande del nitruro di boro calcolate in LDA e in GGA

ove gli apici lett si riferiscono a vari risultati trova-ti in letteratura [4], [5]. Dopodich il calcolo dellastruttura a bande ha portato a 7. Il bandgap diret-to calcolato nei punti K riportato in tabella, dove stato aggiunto il risultato riportato da Furthmller et al. [6], in cui per necessario far notare che il bandgap stato calcolato in M .

Ebandgap(eV )

PZ 4.411PBE 4.400

LDAlett 4.5

5 Disolfuro di Molibdeno

Figura 8: Disol-furo di Molibde-no (MoS2) (Mo inviola e S in giallo)

Il Disolfuro di Molibdeno leggermente diverso rispetto ai due materialistudiati nora. Presenta sempre un reticolo di Bravais esagonale, ma la cellaunitaria ha tre atomi, uno di Molibdeno e due di Zolfo che si dislocano dal piano

9

che contiene il Molibdeno in modo simmetrico, aggiungendo cos un grado dilibert in pi al sistema, g. 8.

Data la maggiore complessit della struttura rispetto a quelle precedenti, stato eseguito un calcolo "relax" per ottimizzare la posizione degli atomi di S.Dopodich si proceduto con la gi descritta ricerca dell'appropriata energia dicuto, g. 9a e 9b. I risultati e il confronto con la letteratura [7] sono riportatiin tabella:

Ecutoff (Ry) a() c()

PZ 60 3.153 15.765PBE 60 3.153 15.765

PBElett 3.122

10

(a) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in LDA

(b) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in GGA

(c) Convergenza della costante reticolare a in fun-zione di Ecutoff in GGA con pseudopotenziale FullRelativistic

11

Figura 10: Bande di MoS2 in LDA e GGA

Successivamente si passati al computo delle bande e le si ha confrontatetra loro, g. 10. Il bandgap calcolato nel punto K viene riportato di seguitoinsieme a dati presenti in letteratura [8]

Ebandgap(eV )

PZ 1.8068PBE 1.7687

LDAlett 1.87

Per il MoS2 stata eettuata nuovamente la procedura che ha condotto al calcolodelle bande, impostando per uno pseudopotenziale Full Relativistic perch interessante osservare come si splittino a causa dell'interazione dovuta allo spin.Nel sito di Quantum Espresso non vi era a disposizone uno pseudopotenziale FullRelativistic che fosse anche Normconserving, come quelli utilizzati nora, perci stato necessario sceglierne uno Ultrasoft. Ci ha richiesto una modica anchedel parametro ecutrho nel codice, che rappresenta l'energia di cuto utilizzatada Quantum Espresso per calcolare la densit di carica e il potenziale. Nel casoNormconserving l'impostazione di default prevedeva ecutrho = 4 ecutwfc,mentre ora ecutrho = 8 ecutwfc, dunque basta comunque studiare solo laconvergenza dell'energia di cuto per le funzioni d'onda, dato che quella per ladensit di carica dipende da questa.

12

Si scelto di utilizzare i valori riportati in tabella

Ecutoff (Ry) a() c()

Rel-PBE 75 3.682 18.41LDAlett 3.129HSElett 3.179

Da notare che la costante reticolare a risulta signicativamente pi grande delcalcolo eettuato senza lo spin-orbit coupling e di quanto si trovi in letteratura(con lo spin-orbit coupling) [9] e [10]. Il calcolo delle bande, mostrato in gura11, permette di apprezzare lo splitting.

Il gap in corrispondenza al VBM dovuto all'interazione di spin-orbita presentato in tabella insieme a quanto si trova in letteratura [9], [10]

ESO

PBE Full Rel 0.1622LDAlettFull Rel 0.146

HSElett 0.188

Figura 11: Bande di MoS2 in GGA con pseudopotenziale Full Relativistic

13

6 Diseleniuro di Tungsteno

Figura 12: Diseleniuro diTungsteno (WSe2) (W inviola e Se in giallo)

Il WSe2 molto simile al MoS2. Anch'esso presentaun reticolo di Bravais esagonale con una base formatada un atomo di Tungsteno e due di Selenio che si stac-cano dal piano che contiene i W in modo simmetrico.Come enegia di cuto per il calcolo in LDA e GGAsono stati scelti i valori riportati in tabella assiemealle corrispondenti costanti reticolari e alcuni valoritrovati in letteratura [11], [12]

Ecutoff (Ry) a() c()

PZ 60 3.296 16.48PBE 60 3.334 16.67

PBElett 3.310PBElett 3.32

Per quanto riguarda le bande, sono state riportatein gura , e si ricorda che si scelto come valore 0dell'energia il VBM.

Inne, come per il MoS2, anche qui c'era l'inten-to di introdurre lo spin-orbit coupling per mezzo diuno pseudopotenziale Full Relativistic, ma il sito diQuantum Espresso non ne ore per il W. Perci stata compiuta la scelta di impostare uno pseudopotenziale PBE Scalar Rela-tivistic, come quelli utilizzati in precedenza, per il W e uno Full Relativistic(Ultrasoft) per il Se. Il risultato quello presentato in g. 15 e, nonostante siapresente lo splitting atteso, la forma complessiva delle bande non del tuttosoddisfacente. .

14

(a) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in LDA

(b) Convergenza della costante reticolare a infunzione di Ecutoff in GGA

(c) Convergenza della costante reticolare a in fun-zione di Ecutoff in GGA con pseudopotenziale FullRelativistic

15

Figura 14: Bande di WSe2 in LDA e GGA

Figura 15: Bande di WSe2 in GGA con pseudopotenziale Full Relativistic

16

7 Bibliograa

Riferimenti bibliograci

[1] Martin, Richard M. (2004), Electronic Structure: Basic Theory andPractical Methods, Cambridge University Press, Cambridge

[2] Trevisanutto P. et al., Phys. Rev. Lett. 101, 226405 (2008).

[3] Yang Li et al., Phys. Rev. Lett. 103, 186802 (2009).

[4] Kern G. et al., Phys. Rev. B 59, 8551 (1999).

[5] Huda M. N., Kleinman L., Phys. Rev. B 74, 075418 (2006).

[6] Furthmller J., Hafner J. e Kresse G., Phys. Rev. B 50, 15606 (1994).

[7] Cooper R. C. et al., Phys. Rev. B 87, 035423 (2013)

[8] He Z., Que W., Applied Materials Today 3 (2016) 23-55

[9] Kormanyos A. et al., Phys. Rev. B 88, 045416 (2013)

[10] Zahid F. et al., AIP Advances 3, 052111 (2013)

[11] Zhu Z. Y., Cheng Y. C. e Schwingenschlgl U., Phys. Rev. B 84, 153402(2011)

[12] Ramasubramaniam A., Phys. Rev. B 86, 115409 (2012)

8 Appendice

17

&control calculation='bands' restart_mode='from_scratch', pseudo_dir = './', outdir='./' prefix='graf' tstress = .true. tprnfor = .true. / &system ibrav=4, celldm(1) =4.613362047, celldm(3)=4.335233133, nat=2, ntyp=1, ecutwfc = 60, occupations='smearing', smearing='methfessel-paxton', degauss=0.02, / &electrons conv_thr = 1.0e-8 mixing_beta = 0.7/ ATOMIC_SPECIESC 12.0107 C.pz-vbc.UPFATOMIC_POSITIONSC 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0 0 0C 0.500000000 0.288675135 0.000000000K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&control calculation='bands' restart_mode='from_scratch', pseudo_dir = './', outdir='./' prefix='graf' tstress = .true. tprnfor = .true. / &system ibrav=4, celldm(1) =4.692823266, celldm(3)=5.32728351, nat=2, ntyp=1, ecutwfc = 70, occupations='smearing', smearing='methfessel-paxton', degauss=0.02, / &electrons conv_thr = 1.0e-8 mixing_beta = 0.7/ ATOMIC_SPECIESC 12.0107 C.pbe-hgh.UPFATOMIC_POSITIONSC 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0 0 0C 0.500000000 0.288675135 0.000000000K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&control calculation='bands' prefix='hBN_2D', pseudo_dir = './' outdir='./'

/&system ibrav = 4, celldm(1) = 4.703451057, celldm(3) = 3.826977209, nat= 2, ntyp= 2,

ecutwfc = 60, occupations='smearing', smearing='methfessel-paxton', degauss=0.02,/&electrons conv_thr = 1.0e-8 mixing_beta = 0.7/ATOMIC_SPECIES B 10 B.pz-vbc.UPF N 14 N.pz-vbc.UPFATOMIC_POSITIONS {crystal}B 0.6666667 0.3333333 0.0000000N -0.6666667 -0.3333333 0.0000000K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&control calculation='bands' prefix='hBN_2D', pseudo_dir = './' outdir='./'

/&system ibrav = 4, celldm(1) = 4.792810656, celldm(3) = 3.7556251, nat= 2, ntyp= 2,

ecutwfc = 60, occupations='smearing', smearing='methfessel-paxton', degauss=0.02,/&electrons conv_thr = 1.0e-8 mixing_beta = 0.7/ATOMIC_SPECIES B 10 B.pbe-hgh.UPF N 14 N.pbe-hgh.UPFATOMIC_POSITIONS {crystal}B 0.6666667 0.3333333 0.0000000N -0.6666667 -0.3333333 0.0000000K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&CONTROL calculation = 'bands' restart_mode='from_scratch', prefix='mos2', pseudo_dir = './' outdir = './' / &SYSTEM ecutwfc = 60 celldm(1) = 5.959013539 ibrav = 4, celldm(3) = 8.0 nat = 3, ntyp = 2, nbnd = 14, / &ELECTRONS conv_thr = 1.0d-08 mixing_beta = 0.7 /ATOMIC_SPECIES Mo 95.94 Mo.pz-hgh.UPF S 32.065 S.pz-hgh.UPFATOMIC_POSITIONS {crystal}Mo 0.333333333 0.666666667 0.000000000 0 0 0S 0.666666667 0.333333333 0.061743932S 0.666666667 0.333333333 -0.061743932K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&CONTROL calculation = 'bands' restart_mode='from_scratch', prefix='mos2', pseudo_dir = './' outdir = './' / &SYSTEM ecutwfc = 60 celldm(1) = 5.959013539 ibrav = 4, celldm(3) = 8.0 nat = 3, ntyp = 2, nbnd = 18, / &ELECTRONS conv_thr = 1.0d-08 mixing_beta = 0.7 /ATOMIC_SPECIES Mo 95.94 Mo.pbe-sp-hgh.UPF S 32.065 S.pbe-hgh.UPFATOMIC_POSITIONS {crystal}Mo 0.333333333 0.666666667 0.000000000 0 0 0S 0.666666667 0.333333333 0.061704860S 0.666666667 0.333333333 -0.061704860K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

&CONTROL calculation = 'bands' restart_mode='from_scratch', prefix='mos2', pseudo_dir = './' outdir = './' / &SYSTEM

celldm(1) = 6.957232048, ibrav = 4, celldm(3) = 8, nat = 3, ntyp = 2, nbnd = 32, noncolin = .true. lspinorb = .true.

ecutwfc = 75, ecutrho = 600, / &ELECTRONS conv_thr = 1.0d-8 mixing_beta = 0.7 /ATOMIC_SPECIES Mo 95.94 Mo.rel-pbe-spn-rrkjus_psl.0.2.UPF S 32.065 S.rel-pbe-n-rrkjus_psl.0.1.UPFATOMIC_POSITIONS {crystal}Mo 0.333333333 0.666666667 0.000000000 0 0 0S 0.666666667 0.333333333 0.062382138S 0.666666667 0.333333333 -0.062382138K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

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&control calculation='bands' restart_mode='from_scratch', pseudo_dir = './', outdir='./' prefix='ws2' / &system ibrav=4, celldm(1) =6.5812, celldm(3)=5.0 nat=3, ntyp=2, ecutwfc = 80.0, ecutrho = 640.0, occupations='smearing', smearing='methfessel-paxton', degauss=0.02, noncolin = .true, lspinorb = .true, / &electrons conv_thr = 1.0e-8 mixing_beta = 0.7/ATOMIC_SPECIES W 183.84 W.pbe-mt_fhi.UPF Se 78.96 Se.rel-pbe-n-rrkjus_psl.0.2.UPFATOMIC_POSITIONSW 0.000000000 0.000000000 0.000000000 0 0 0Se 0.500000000 0.288675135 0.491431555Se 0.500000000 0.288675135 -0.491431555K_POINTS { crystal_b } 4 0. 0. 0. 30. 0.5 0. 0. 30. 0.333333333 0.333333333 0. 30. 0. 0. 0. 30.

Density Functional TheoryFormulazione di Hohenberg e KohnFormulazione alternativa di Levy e LiebL'ansatz di Kohn-Sham

IntroduzioneGrafeneNitruro di BoroDisolfuro di MolibdenoDiseleniuro di TungstenoBibliografiaAppendice