Studii sulle equazioni per riguardo ai loro

differenziali lineari, integrali normali.

(Di ULISSE DrsI, a Pisa.)

1. N e l l a Memoria pubbticata a pag. 179 e segg. del T. XII, Serie III di questi Annali al § ~0, che fa seguito ad altre collo stesso titolo, ho dato un teorema generale relativo agli integrali normali delle equazioni lineari generali

E (y, z) ~ ao y(,O _]_ a, y(.-l) _~_ as y("-~) - ~ . . . -i-- a,,_l y" -~ a . y ~ X, (1)

quando in esse i primi n coefficienti no, al, a~,..., a,,_l sono funzioni della sola x regolari (nel senso iuteso nelle Memorie precedenti) in tutto un in- tervallo dato (a, b) (gli estr. incl.) almeno iino alle derivate n", ( n - - 1 ) ' , (n - - 2)e,..., 1.a respeLtivamente, e a,, ~ g ? (z) -b l, essendo ? (z) una funzione intern del parametro z, e g, l e X funzioni della x continue o no nello stesso intervallo (a, b) ma finite ea t t e alla integrazione in questo intervallo, e delle quali la prima non cambia mai di segno e non ~ d'integrale hullo in nessuna porzione dell'iutervallo medesimo.

E si suppone inoltre hello stesso teorema c h e l a equazi0ne data (1) sin di quelle per le quali, la equazione omogenea corrispondente E(y, z)~O, almeno per un valore particolare y del parametro z, se non per qualunque valore di questo parametro, si riproduce nella sun aggiunta; come si sup- pone anche che si riscontrino soddisfatte certe condizioni speciali nelle quali figurano insieme i valori dei primi n coefficienti della equazione data ai li- miti a e b dell°intervallo e i coefficienti delle condizioni date per gl'integrali a questi limiti quando queste condizioni vi siano.

Questo teorema, in forza del quale si pub affermare che sotto l 'una o sotto l'altra delle due ipotesi generali contenute nell 'enunciato del teorema stesso dovr~ essere X~--0 in tutto Fintervallo (a, b), d~ luogo in sostanza a due casi veramente distinti nei quali si applica.

Anuali di Matematica, Serie III, Tomo XVII. 33

~60 D i n i : S tudi i sulle equazioni differenziali lineari,

L'una di tali ipotesi infatti ~ quella di essersi assicurati in un modo qualsiasi della esistenza di un integrate normale della nostra equazione (1) che come funzione di z ~ funzione intera, e come funzione di x ~ regolare fino alle derivate n ~, per ogni valore di z, in tutto l'intervallo d a a a b (gli estr. incl.); e non si esclude che nello stesso intervallo il coefficiente ao possa anche divenire infinitesimo in qualche punto inferno o agli estremi.

L'altra di tall ipotesi invece ~ quella ehe siano soddisfatte certe condi- zioni speciali indicate nell 'enunciato del teorema stesso dalle quali consegue appunto la esistenza dell'integrale normale che ha le indicate particolarit~ rispetto ad x e a X; ma allora fra le condizioni speeiali che si richiedono vi ha quella che nell'intervallo d a a a b e anche negli estremi, il coefliciente ao sia sempre diverso da zero; per quanto, in una nota al prineipio del § 34~, io facessi rilevare che tale condizione veniva posta specialmente allo scopo di semplificare le considerazioni che allora si fecero, mentre salvo leggiere modificazioni avrebbero potuto considerarsi anche alcuni casi nei quali ao fosse zero in alcuni punti fra a e b o a uno o a tutti e due i punti estremi.

Per le applicazioni dunque il primo di questi casi avrh pifi specialmente interesse quando, pei dati della questione da trattarsi, ci si debba neeessa- riamente mantenere cbn x in ul~ intervallo (a, b) nel quale ao non ~ sempre

diverso da zero; e ora in vista di questo ci fermeremo appunto sul caso in cui questa circostanza si presenta, supponendo perb che lo stesso coefli- ciente ao divenga iniinitesimo soltanto in uno o in ambedue gli estremi a e b. E negli studi che ora faremo ammetteremo dapprima in modo pi~ ge- nerale che nella equazione (1) che considereremo tutti i coefficienti dopo il primo possano anche contenere il parametro z essendo per5 funzioni intere di questo parametro, e rispetto ad x i primi n coefficienti ao, a~, a~,..., a,,_~

nell'intervalto dato (a, b), non esclusi gli estremi, siau, o ancora funzioni re- golari fino alle derivate n ~, ( n ~ 1)', (n - - 2)',.. . , i. ° respettivamente, mentre per a,, e per X e per le varie derivate d'ordine pifi alto delle quali si am- m e r e la esistenza per gli altri coeflicienti baster~ richiedere che siano finite e atte alia integrazione fra a e b; e all'infuori di queste non faremo altre ipotesi sulla nostra equazione.

Sotto queste condizioni rispetto alla equazione data, troveremo alcuni casi nei quali, pure essendo ao infinitesimo a uno o a tutti e due gli estremi dell 'intervallo dato (.a, b) esiste un integrale che rispetto ad x ~ regolare fino alle derivate n ~ fra a e b (gli estr. incl.) e rispetto a z ~ sempre una fimzione intera; dopo di ch~, timitandosi allora alle equazioni alle quali si

pet" r iguardo ai loro integraIi nor,mall. o~61

riferisce il teorema" del § 40 della Memoria p receden te (*), q u a n d o ai l imiti a e b si abb iano le particolaritfi, di cui nel t e o r e m a stesso, si potr~ affermare che per la equaz ione co r r i sponden te si ha X - = 0 in tu t to l ' interval lo (a, b).

2. Cib posto, a m m e t t i a m o d u n q u e che per es. : a sin u n p u n t o d'inli- n i t es imo di no, e b lo sin pure o no ; e osse rv iamo allora che bisogner~t per p r ima cosa ass icurars i della es is tenza di integral i della nos t ra equaz ione (1) che s iano regolari, r ispet to ad x anche nel p u u t o a, e lo s iano pure in b se anche b sar~ come a u n in i in i tes imo di no, e al t emp o siano funzioni intere di z per ogni valore di x fra a, b (a e b incl.); dopo di che vo lendo che siano, anche integral i no rma l i bisogner~t cercare se sia possibi le di soddisfare anche nile condiz ioni che si r i ch iedono per quest i integrali .

I nd ich iamo perci5 ancora con w,, w~,..., w,, n integral i fondamen ta l i della equ/tzione o m o g e n e a E (y, z ) = 0 per ogn i valore di, x fi~a a e b, ad es.: un s i s tema di quelli che si o t t engono col soliti processi dalle formole general i delle mie Memorie pl"ecedenti di ques t i Anna l i sulle equazioni dif- ferenzial i lineari, p a r t e n d o cio~ da u n p u n t o qualsiasi :¢ fra ~ a e b Che ora dovr~t suppors i diverso da a, e diverso anche d a b q u a n d o anche b sia u n p u n t o d ' inf ini tes imo di no, pe r modo che in quelle formole i l imiti inferiori degli integral i s iano tut t i ugual i ad % e p r eu d en d o v i le solite c,, c~,..., c,, success ivamente tu t te eguali a zero fuorch~ u n a che sar~ presa ugtmle ad uno.

Quest i integral i si m a n t e r r a n n o regolar i r i spet to ad x fino alle der ivate n *, nel l ' in terval lo (a, b), anche pei valori di x vicini q u a n t o si vuole ad a e a b; e per gli stessi valori di x s a r a n n o anche funzioni intere di z. Alcuni poi degli integrali medes imi p o t r a n n o res tare regolar i anche tino in a sebbene ora in a l'a0 divent i inf ini tesimo, come lo r i m a r r a n n o tut t i fino a b se b non sar~t un in i in i tes imo di a0 ; e quelli fra essi che s a r anno regolari iino ad u n o o a tut t i e due quest i es t remi inc lus ivamente per quan to si disse in genera le al § 6 della Memoria p receden te r i m a r r a n n o funzioni in tere di z per tut t i i valori di x nel l ' in terval lo (a, b) n o n esctusi gli es t remi.

3. Ci6 premesso , s u p p o n i a m o per maggior chiarezza che fra gr in tegra l i w,, w~,... , w,, ve ne s iano i, per es.: w,, w~,.. . , ~v,, che g o d o n o della parti-

(~) Ci limiteremo cio~ allora a considerare le equazioni (i) helle quali z figura soltanto in a,, e si ha a,~ ~ g ? (z) + l, essendo g e 1 le solite funzioni di x finite eatte alla integrazione fra a e b delle quali la prima non cangia mai di segno in qaesto intervallo, eil primo membro E(y, z) delle stesse equazioni, almeno per un valore particolare 7 di z, si riproduce nella solita equazione aggiunta.

~6~ Din i : Studii sulle equazioni differenziali lineari,

colari ta di non avere s ingolar i ta in a, e non averle n e p p u r e in b q u a n d o anche b sia u n inf ini tesimo di ao; ve ne s iano i~, ad es.: w~+~, w~+~,..., 'wi+~., che le h a n n o in a e non in b; ib, ad es.: wi+~+~, w~+~+~,..., w~+~o+.~, che le h a n n o in b e n o n in a ; e i r imanen t i i~,~ -~ n - - (i -4- i~ -~- ib) le abb iano tan to in a che in b, s e n z a escludere che per valori speciali di z quegli integral i che o rd ina r i amen te h a n n o s ingolar i ta in a o in b possano perder le e divenire anch 'ess i regolari in q u e s t i punt i , e senza esc ludere inol t re che alcuni di ques t i n u m e r i i, i . , i~, i~,~ possano anche essere zero; ma non po tendo perb essere zero c o n t e m p o r a n e a m e n t e i, e i.,~, perch~ a ~ un inf ini tesimo di ao, se

sara j aoa-~' d x ~ - ~ ; e n o n po tendo essere zero ins ieme i~ e i°,~ se anche a

b

b ~ un inf ini tes imo d i a o e se sara . ~ d x = - - ~ . ( V . n o t a a l § 18 della

Mere. preeed.). Allora per ogni integrale y della nos t ra equazione eomple ta E (y, z) = X,

tineh~ x ~ fra a e b (gli es t remi al pifl esetusi) po t r emo sempre serivere

essendo Y il solito integrale par t ieolare della equazione s tessa che diviene zero ins ieme alle sue p r ime n - - 1 der ivate nel p u n t o ~, e pel quale si ha

dove D~,,, ~ il e o m p l e m e n t o algebrieo di n,(~ -" nel solito d e t e r m i n a n t e fonda- menta le D relativo agli integral i w~, w, , . . . , w,,, e per sempliei t~ di ser i t tura si in tende pos to come nella Memoria p reeeden te al § 17

x

0~--~- - - e ($o

essendo c u n n u m e r o qualsiasi fra a e b pel quale ao non 6 zero; e noi te- nendo eonto dei dat i ehe abb iamo dovremo ora eercare come debbano essere prese le c,, c~,..., c,, o a quali condizioni debbano soddisfare, s i a pure fa- cendo qualche l imi tazione nel[a equaz ione (1) da considerars i , per far si ehe y sia un integrale no rma le ehe ha tu t te le particolarit '~ volu te r ispet to a z e r i spet to ad x in tu t to l ' interval lo (a, b), non eselusi ora gli es t remi a e b.

per r iguardo ai loro integral i normal i . 263

4. Ammet t e r emo percib senz'al tro, anche allo scopo di semplicizzare le nos t re considerazioni , che se anche tut te o a lcune delle /)8,. o le

I J c ao - - e D.,. o oc De,. h a n n o qualche singolarith per x ~ a o per x ~ b, esse 0~ o

per6 moltiplicate per X rest ino tu t te at te alia integrazione anche negli in-

a o di b, per modo quindi che gli integrali ~(.)oXD,,. torni di d x anche !

al t endere di x ad a o a b e a questi es t remi si man t engano de te rmina t i e finiti, ci6 che il pifi spesso avverra quando negli intorni di a, e in quelli

di b se anche b ~ un iniinitesimo di a0, X sia delle forme ( x - - a ) a~(x) o (b - - x ) , ~ (x) essendo ;~ e V-numeri positivi sufl icientemente grandi, e essendo ? (x) e ~ (x) funzioni di x cont iuue o no ma atte alla in tegrazione negli in-

torni di a e b respet t ivamente , e che se anche divengono infinite res tano atte alla integrazione anche rid0tte ai valori assoluti.

Per x fra a e b (a esc]. e b pure escl. se anche b sara uu infinitesimo di a0) po t remo scrivere per y

y ~ s - ~ s ~ , - ~ s ~ + s o , ~ ,

e per le derivate y(") degli ordini r =-1, 2, . . . , n - - 1 avremo

y(,.) ___ s (,-) _~_ s(~ ) -~- s(~ ) ~ ,.(,.) I - °a~b

le s, s~0, s~, s°,~ essendo somme tut te della forma :~ ,w., e.,-t- o~. X D ...... d x

e le s ('), s ~)", s~ ), o~,~o('~ indieando non le derivate r ~ di s, s . , s~, s~,~ ma sol tanto

( ( ) le somme della forma vwg) e,.-~- o o X D ...... d w , q u e s t e s o m m e p e r s e s (~) a

per so e s(~ ~, per s~ e s(~ > e per s~,,~ e s(.~ essendo estese respe t t ivamente agli integrali w,~ ehe non hanno singotarit~ n~ in a n~ in b, a quelli ehe le hanno in a e non in b, a quelli ehe le hanno in b e non in a, e a quelli ehe le hanno si

in a e h e in b; per modo ehe se b non sar~ ua infinitesimo di ao i due termini o(~) in p (') m a n e h e r a n n o senz'altro. s~ e s~,~ in y e i due ccr r i spondent i s(~ ~ e °o,~

Segue d~ ci6 che sa remo ce r t amente sicuri che y sia un integrale che si mant ieue finito ahneno fino alle derivate ( n - 1) ° n e l . p u n t o a, e cosi pure

nel punto b se anche b sara un infinitesimo di a,,, quando le s, , s~ e so,~ e

o<~ per r ~ l , 2,. , n - - 1 si man tengano iiuite per x = a cosi le s(~ ), s'~ ) e o~.b ..

26~ D i n i : Studii sulle equaziorti differenziali Iineari,

e x ~ b; e ~ il caso pifi semplice nel quale ques to avverr~t sar~ quello nel q~

quale le c,, ,- t-fo~XD ...... d x t endano a zero di per s~ e anche moltiplicate

~ p e r w., e per w~ Jeon r = l, 2, . . . , n - - 1 al tendere di x ad a se s i t rat ta

~ dei termini eorr ispondent i a s,, al tendere di x a b se si t ra t ta di quelli

~ eorr ispondent i a s~, e al tendere di x si ad a e h e a b se si t ra t ta di quelti

~ eorr isponden[ i a so,~ (*),, ; per modo ehe l imitandoei per semplieit~ a eon-

s iderare sol tanto ques to easo , pei termini di s, dovremo infanto avere

~.~=i'O~XD ...... d x ; per quelli di s~ dovremo avere c .~=(ooXD ...... dx; e per

a b

quelli di s,,~ dovremo avere

"o~XD ..... d x d a b

cib che por ta in par t icolare che se a, sar~ intinitesimo tanto in a c h e in b,

e se vi sa ranno integrali w,, ehe abb iano singolarit~ in ambedue quest i 'punt i , b

foo per e iaseuno di quest i integrali w,,~ dovremo avere X D ...... d x - = 0 se si

vorr~ ehe tu t te le eondizioni ehe ora poniamo siano soddisfatte.

5. Ammesso ora ehe tut to ques to avvenga, e nella espress ione preee-

dente di y eambiando per eomodo le pr ime i delle c,,, (eiog quelle ehe t igurauo

in s) in c,,, -~-fo~ X D ..... d x, si vede ehe sar~ a

y-~-~,w,,~ c,~-}- X D ...... d x --t-~.w,~ o o X D ..... dx-+- 1

x

b a

(~) Evidentemente queste condizioni sono soltanto sulticienti. Noi le poniamo perchg son'o le pifi sempliei, ma basterebbe ad es.: anehe supporre ehe, seinpre tendendo a zero le

c,,, + f O ~ x D , , , , , , d x al t ende re di x ad a o a b nei r i spe t t iv i easi , t endesse ro poi a quant i f f t

t t

f ini te q u a n d o sono mol t ip l i ca te pe r w,~ e per ~v~ ).

per riguarda ai loro integraIi normali. 265

dove s ' in tende che x°, xb, x~,~ si e s t endano r e spe t t ivamen te alla w,. che h a n n o le s ingolar i th so l tanto in a, o sol tanto in b, o che le h a n n o ad u n t e m p o in

" anche sost i tuirs i l 'al tro f a e b, e ne l l 'u l t ima s o m m a al l ' in tegrale t potr~ ; a b

e u n a fo rmola simile l ' av remo per y(") per r ~ 1, 2 , . . . , n - - 1 m u t a n d o sol- tanto , sot to le var ie s o m m e che f igurano in y, le w,,, in wE ).

E in ques to integrale y .della equaz ione comple ta E (y, z ) = X e nelle sue p r ime n - - 1 der ivate y('), delle c, r i m a r r a n n o d u n q u e inde t e rmina t e sol- t an to le p r ime i c,, c~,..., c,., cio~ tan te quan t e sono gli. integrali w , della equaz ione o m o g e n e a co r r i sponden te E (y, z ) ~ 0 che sono regolari contem- p o r a n e a m e n t e in a e b, e non ve ne r imarr~ ne s suna q u a n d o di quest i in- tegral i non ve ne sieno, cio~ q u a n d o sia i : 0 ; e per eib che r iguarda le der ivate lo s tesso in tegrale y le avrb~ iinite e con t inue a lmeno fino a quelle del l 'ordine ( n - 1) in tu t to l ' in terval lo (a, b), non esclusi gli es t remi a e b, men t re le der ivate n ° ehe si d e t e r m i n e r a n n o per mezzo della equaz ione da ta e ehe s a r anno sempre finite (cont inue per6 o no perch~ non si r ichiede la cont inu i t~ per le funzioni a , e X) nei pun t i interni fra a e b, p o t r a n n o essere infinite o anche manca re affatto a quest i es t remi a e b.

E inoltre, s empre sot to le varie eondizioni che abb iamo poste, q u a n d o nel caso di i ~ 0 , pe r l e c , , %,. . , c, r imaste f inora inde te rmina te vengano poi scelte fuuzioni in tere di z, lo s tesso integrale y e le sue p r ime n der ivate r ispet to ad x, pe r q u a n t o d i cemmo in m o d o genera le nella Memoria prece- dente , s a r anno funzioni intere di z per ogni valore di x fra a e b (gli estr. a e b at pifl esclusi per le sole der ivate n~); m e n t r e se sar~t i = 0 l ' integrale s tesso (~), nel quale al lora verrfi a manca re il p r imo t e rmine del secondo membro , avr'h gi~ la indica ta particolarit 'h r i spet to ad x e a z finch~ x ~ fra a e b (a e b a l pifl escl.), e sarb~ qu ind i senz 'a l t ro l ' in tegrale cercato se non vi s a ranno altre condizioni speciali ai l imiti alle quali esso debba soddisfare.

6. Volendo ora che quest i integrali s iano anche integral i normal i della nos t r a equaz ione comple t a E (y, z) ~ X, osserv iamo che nel easo di i ~ 0 la de te rminaz ione delle c~, c~,..., c, dovr~ farsi pe r mezzo delle condizioni ai l imiti che sa ranno state date, e che p o t r a n n o anche non esserci (V. ~ 21 della Mem. precedente) se ao sarh zero ai d u e es t remi a e b e s e a l t empo stesso

a quest i es t remi sar~ |a~_ dx- - - 0 o ; e s e

ko y. + k, y'. + k~ y"~, -+- • • • + /~ ._ , ~o~,~""~) = 0 (3)

266 D i n i : St.udii sulle equazioni differenziedi lineari,

sarh una qualsiasi delle condizioni ai limiti che pot ranno esserci per x = a, e

ho Yb -4- h, y'~ -1-- h~ y"~ - 7 - . . . -t- h,,_, y(d -'~ ~ 0 (4~)

sar~ una di quelle che po t ranno esserci per x-----b, per ciascuna di queste condizioni dovremo avere respet t ivamente le formole

(~] ~s $ 1 ) a C9 \ . I) '

,,',,-1 ,, l , , - i ( 5 )

,,t:,)..+ t - , , , -4- c~ h~ • "" -i-c, h. n,'~ ) ~ - - ) ,.b /1>

essendo b

b

h~ "<') . X D ...... d I '

(6)

dove la somma ~ in K,, s ' intende estesa ai termini nei quali figurano le w,,, the hanno le singolarit& soltanto nel punto b, e l'altra ,~,~ in IL, s ' intende estesa ai termini nei quali figurano le i--~i,, w,,, che non hanno singolarit'~ hello stesso punto b; e di qui risulta intanto che onde, colle eondizioni poste, l ' integrale cercato possa esistere, bisogner& che le eondizioni date ai limiti a e b fra tut te non siano pih di i, cio6 non siano pi6 del numero degli in- tegrali distinti w, , w~,. . . , iv, che non hanno singolarit'& n6 in a n6 in b, a meno che, quando le eondizioni stesse ai limiti siano pi6 di i, aleune di quelle simili alle (5) ehe ne verranno risultino identicamente soddisfatte qualunque sia z o r ientrino l 'una nell 'altra in forza della na tura stessa degli integrali w,, w~,..., n,,, della equazione omogenea dai quali si parte.

Ricordando dunque il processo ehe t enemmo nei §§ 3~ e segg. della Me- moria precedente per la trattazione del problema analogo quando ponevamo la condizione che ao fosse sempre diversa da zero fra a e b e a questi estremi, si vede ora ehe salva l ' indicata limitazione nel numero delle indeterminate c~ e in quelle delle eondizioni ai limiti a e b the possono aneora aversi, e salvo la s0stitdzione di K,, e It,, alle quanti t~ 0 e Ir~ the figuravano allora nei seeondi membri delle formole (36) della Memoria stessa, the sono quelle alle quali ora eorr ispondono le precedenti (5), il nostro problema attuale

per r iguardo ai loro integrali normali. ~67

pel caso di i > 0 resta ora ridotto a quelto gi~ studiato nella detta Memoria, e quindi per trattarto completamente baster~t seguire la via che tracciammo allora.

Nel caso poi di i = 0, non avendosi affatto indeterminate co, e l 'integrale cercato y, come abbiamo detto, risultando gi~ pienamente determinato colle (2), se saranno date anche condizioni ai limiti come l e (3) o (4), bisogner~ assi- curarsi che queste vengano rese identiche dall'integrale stesso y, per essere certi che questo integrale ~ l ' integrale normale cercato, e i l problema con cib in qUesto caso di i = 0 rimarr~ completamente esaurito.

7. Portata dunque la questione a questo punto non ~ il caso di fer- marsi pifi oltre sul problema attuale che, quando si voglia, potr'h ora essere svolto completamente con tutta facilifft, seguendo la via che indicammo; e solo, siccome il caso che pifi comunemente si presenta ~ quello delle equa- zioni del second'ordine, esporremo con dettaglio te varie particolarit'h che meritano di essere segnalate pel caso di queste equazioni, il che faciliter'h anche la trattazione, quando voglia farsi, dei casi di equazioni di ordini su- periori.

Consideriamo dunque la equazione del second'ordine

~o y" -~- a, y' -~ a.~ y == X, (7)

nella quale supporremo che i coefficienti ao, a, , a~ c X abbiano le solitc particolarit'~, e indichiamo con w~ e w~ i due integrali fondamentali chc si ottengono coi soliti nostri processi generaii partcndo da un punto ~. tYa a e b diverso da questi estremi.

Le condizioni poste sopra in generale al principio del § ~ rispetto agli

. fo~XD ...... dx , estesi a intorni (a, x), (x, b) dei punti a eb , e agli integrali

stessi integrali moltiplicati per w,~, w',~, w",, , . . . , w(,,, " ' ) si r idurranno ora a quclla che anche quando gli estremi a e b sono punti d'intinitcsimo (li ao, per qualunque .valore di z le funzioni ( % X w , c o, Xw,~ siano scmpre intc- grabili negli intorni di a e d i b, e i loro integrali da a ad x o da .~ a b (x compreso fra a e b) col tendere di x ad a e a b tendano a zero an('lm mol- tiplicati respcttivamente per w,~ e .w'.~, e per ~v, e w",; e oltre a ¢.ib quando tanto a the b siano irflinitesimi di a,, e uno almeno dcgli ildcgrali w, c w,~ per es. w~ abbia singolarit'h sl in a the in b, per quanto dh:emnm in line

b

dello stesso § 4 bisognerfi, che per l'altro n,, si abbia t o , , X w , dx=:O; e noi,

Annali di Matematica, Serie Ill , Tomo XVII. 34

268 Di~ti: Studii sulle equazioJsi differenziali lineari,

quand 'anche non si dica esplicitamente, ammet t e remo sempre di avere ve- rificato che queste condlzioni siano soddisfatte nei varii casi che conside- reremo.

Indicheremo poi con

koy~-~k~y'=O, e hoyb+h~y'~--O (8)

le condizioni ai limiti a e b che po t ranno essere date pei nostri integrali da determinarsi y, senza escludere che possan 0 anche ridursi a una sola o non esserci affatto, nei quali casi per6 potremo scriverle ancora ambedue inten- dendo allora c h e s e una o tut te e due dovranno mancare siano zero i coef- ficienti k o h corrispondenfi ; e rispetto ad i considereremo i varii casi che ora possono presentarsi , che saranno quelli di i----O, i-----1, e i = 2, e li tratte- remo separatamente, osservando che in ogni caso l 'integrale corr ispondente (2) avr'h ora nel secondo membro uno o due termini soltanto.

8. Incominciando dal primo caso quel lo cioi~ di i = 0 osserviamo che esso si suddivide in pih altri, ma baster~ na tura lmente considerare i due se- guenti, che indicheremo successivamente, cio~:

1. ° il caso in cui i due integrali w, e w, sono regolari l 'uno soltanto in a e l 'altro soltanto in b, per es. w, ~ regolare sottanto in a, e w~ lo soltanto in b, nel qual easo la formola (2) ei darer per l ' integrale

b a

e le eondizioni ai limiti (8) se vi saranno por te ranno ehe debbano essere soddisfatte qualunque sia z le due eondizioni eorr ispondenti

b b

( l (kow,-l:'-h,w',). o. Xw~dx=O, (how~-I-hlw'~),, O~Xwldx=O; (10) a a

taleh~ in questo easo, se le eondizioni ai limiti (8) vi saranno una o tut te e due, l ' integrale normale eereato vi sar'h e sara dato dalla (9) quando siano soddisfatte ident ieamente qualunque sia z una o tutte e due le eondizioni eorrispondenti (10), e in partieolare quindi quando siano soddisfatte le due

b b

(11) a

per riguardo ai loro integralg normali. 269

o q u a n d o le w, e w~ soddisf ino esse pu re alle condiz ioni ai l imiti pe r quello dei l imiti a o b nel quale sono regolar i ; men t r e se le condiz ioni ai l imiti (8) n o n ci s a ranno l ' integrale cercato esister~ e ,sar~t dato dalla (9) senz'al tro.

2. o il caso in cui a m b e d u e gli integral i w~ e w~ h a n n o sin golaritb. in uno stesso dei l imiti per es. in a, le abb iano essi o no anche in b, nel qual caso la formola (2) ci dar~ sempre per l ' integrale y

3~ ~3

y - - - - - w , O~Xw~dx-~w~

e ora la condiz ione al l imite a se anclle ci sarh r isul ter~ soddis fa t ta da s~. Invece quel la al l imite b se ci sar'~ darb~ luogo al l 'a l t ra

b b

'% t w',)~ l ('), X d 0 (13) ( / toW~-~h, w2) O~Xw, d x - - ( h o w ~ + h , w~ x = -

che dovrfi, e sse re soddis fa t ta iden t i camen te q u a l u n q u e sia z, e r imarr~ sot to ques ta f onna se w, e w~ non av ranno singolari t~ nel p u n t o b.

Se poi sa remo nel caso che uno o tut t i e due gli integrali w, e w~ ab- b iano singolarifft anche in b, al lora per le condizioni pos te in generale 11el pa ragra fo p receden te oltre a queste , av remo u n a o tu t te e due te altre

b b

IO,, X wl dff~ = O~ {'o c X ~v,,d x = O,

che sono ancora le (11), per m o d o che q u a n d o ques te s ingolar i th in b le abb iano a m b e d u e gli integrali w~ e w~ av remo ques te due condizioni cio5 le (11), e al lora la (13) verr~ soddisfa t ta da s~ q u a l u n q u e s iano le condizioni ai l imiti date, m e n t r e se per es. so l tan to la w, avrh s ingolar i th anche in b av remo la seconda delle (11) e invece della (13) av remo l 'al tra

b

) a

(l&)

e quindi o dovr'h essere soddis fa t ta anche la p r ima delle (11), o d o v r e m o avere (ho w~ ~ - h , w'~) = O, cio~ per 1 m t % r a l e w~ che al lora non ha singola- rit~ in b dovrh essere soddisfa t ta la condiz ione al l imite corrispo.ndente.

270 Di.ni: Studii sulle equazioni differenziali lineari,

9. Passiamo ora a considerare il easo di i = 1, e supponendo ehe per es. w~ sia quello dei due integrali w, e w~ ehe sar'h regolare in a e b qua- l u n q u e sia z, osserviamo ehe allora w~ dovr'~ neeessar iamente avere singo- larit~ in uno o in ambedue gli stessi punt i a e b; e noi per essere pifi ehiari, eonsidereremo separatamente questi due easi ammet tendo dappr ima ehe w~ abbia singolarit~t soltanto in un punto per es. in a, e poi ehe le abbia in ambedue gli stessi punt i a e b.

1. ° caso. Essendo ora w~ regolare in a e in b, e w~ essendo regolare soltanto in b, la formola (2) ei darer

( ; ) y--~w~ c~-- ooXw2dx , -I-w2j'O~X o~ o,

w ~ d x , (15)

e la c, dovr~t essere determinata dalle eondizioni ai limiti (8), una almeno delle quali ora supp0rremo sempre ehe vi sia perch, , se non vi fosse, questa formola per qualunque funzione intera di z ehe si prendesse come valore di c, darebbe subito un integrale eolle partieolarit~ volute.

Ora le dette eondizioni ai limiti daranno luogo respet t ivamente alle due

(ko w, + k~ w'~)~ c, ----- O,

( h o w , + h , w ' , ) ~ c , - - X w ~ d x --~(h0w~-]-h,w~)b OoX 6b 65

w~ d x = 0 06)

ehe dovranno essere soddisfatte qualunque sia z, e quindi poichg per la prima di queste eondizioni, se ei san:t, si potr~ sempre prendere c, = 0 qua- lunque sia la espressione (ko w, -1- kl w',)°, eosi quando ei saranno ambedue queste eondizioni vi soddisfaremo sempre col prendere c~ ~---0 se per qua- lunque valore di z risulter~ soddisfatta ident ieamente la condizione

b b

(ho w~ -~- h, w ~)b ~ X w, d x - - = 0 (17)

alla quale si ridurr~ al lora ' la seconda delle precedenti (16), e ehe combina colla (13); e quando questo avvenga, come quando la condizione al timite b mauchi (il che del resto corrisponde a un caso d'identifft di questa equa- zione), l ' iutegrale normale cercato y esister~ effettivamente e sarb~ dato dalla

per riguardo ai loro integrali normali. 27I

formola x

y-~---w~ O~Xw~dx-~-w~ O~Xw~dx a ¢$

( i s )

che eombina eolla (12). E poich~ la condizione (17) sar'h sempre soddisfatta identicamente quando

lo siano le (tl), cosi anche in questo caso l'essere soddisfatte le dette con- dizioni (11) porta subito all'esistenza dell'integrale y, vi siano o no le con- dizioni ai limiti o qualunque esse siano.

Se poi la condizione (17) non sar'h identieamente soddisfat~ta qualunque sia z, ma l'integrale w, che noi supponiamo regolare in a e b soddisfar~ esso qualunque sia z alla condizione data al limite nel punto a, allora non essendo pifi necessario di prendere c, ~ 0 per soddisfare alla prima delle (16), potremo talvolta soddisfare alla seconda di queste col prendere per c, una conveniente funzione intera di z diversa da zero.

In questo caso infatti se sar~ nullo il secondo termine

b

(h° w~ ÷ h, w'o.)~joo_ X w, d x (lO)

della condizione (16) qualunque sia z, allora si potr~ prendere 0,

venendo quindi l'integrale sotto la forma

b

x x

y = - l'o,, x d x ÷ w.: i'e, X d ;

mentre se la stessa espressione (19)non sar~ identicamente nulla e al tempo stesso non lo sar~ l'altra (h0 w,-t-h~ w',)~ che iigura nel primo termine della seconda della (16) stessa, allora sar~ ancora possibile di trovare per c~ una funzione intera di z che renda identicamente soddisfatta la seconda della (16) tutte le volte che gli infinitesimi a distanza iinita che abbia la espressione suddetta (ho w, -~ h~ w'~)~ si trovino, e almeno allo stesso ordine, anche nella espressione (19); e quando questo avvenga l'integrale normale cerca'to y sadt quello dato dalla (15) netla quale c, abbia per valore la funzione intera di che risulterfi dalla seconda della (16). E in partieolare se gli infinitesimi a di-

272 D i n i : S tud i i sulle equazioni differenz~ali lineari,

stanza finita della espressione (h0 w~ 4- hi w'l)b saranno tutti del prim'ordine, baster~ che essi si trovino anche nell 'una o nell'altra delle due espressioni

b

h, w'~)b e ~oo X, d x w a un ordine qualsiasi. (ho ~)~ +

Quando poi non essendo identicamente nulla la espressione (~9), lo fosse la espressione (howl-4zh, w',)~, o se per questa espressione non fosse sod- ffisfatta la condizione ora indicata rispetto ai suoi infinitesimi, allora l'inte- gr~Ie normale eercato y colle eondizioni date al limite b non potrebbe esistere per qualunque Valore di z. Esso esisterebbe perb aneora, e per qualunque valore ehe si pren.(fesse per cl, per quei valori ~ particotari di z che soddi- sfacessero la seconda delTe (16), ma per gli studii che ora facciamo questa p,artmo.[urltt~ a n urla gioverebbe.

2. ° c aso. Essendo ora, w, regolare nei due punti a e 5, e w~ invece avendo singolarit~ in ambed~:e questi punti, ao dovr'~ essere iniinitesimo nell 'uno e nelt'altro degli stessi ptmti, e si avr~ ancora la formola (15) come nel caso precedente; e poich~ in forza delle condizior~i' generali ehe abbiamo

b

t ' % X w ~ d w poste nel § 7 dovr~ essere ---0 qualunque sia ~, nell'ultimo ter-

O5 O5

mine della formola stessa (15) all'integrale j'-_ potr'~ anehe sostituirsi l'altro |.~_ a b

Ne segue the per le eondizioni ai limiti a e b quando vi siano, si avranno aneora le (16), riducendosi perb ora la seeonda di queste atl'altra pb5 sem- pliee

( t ° ) - - "0 c X ~'v2 d x O, (h0 w, -~- h, w',)b c,

e quindi si avranno ancora, ma con maggiore semplicith, e senza veru,l caso di eccezione, i risultati stessi del caso precedente, po[ch~ si potr~ prendere an- cora cl-~ 0 qualunque sia la condizione al limite a, se sara identicamente nulla qualunque sia z la espressione

b 1

(hoWl -~h~ w'~)b l OoX w~ d x

per r,iguardo ai lovo integrtdi nor.mali. 273

che ~ pifl.semplice di quella che figura nel Primo membrodetlacondizione,(l .7), e allora l 'integrale y sar~ dato dalla (18), e se sar~ identicamente nulla qua-

b

, ~"Oe lunque sia z la espressione (ko w, -4- k, w ,). si potra prendere c~ ------- Xw~ d x a

venendo allora l 'integrale sotto la forma (20). E eosi in par tieo!are anche in questo caso se saranno soddisfatte am-

bedue le condizioni (11) esistera sempre rintegrale normale eercato y e avra la forma (I8) che eoncorder~ anche colla (S0), qualunque siano le condizioni date ai limiti che potranno anche non esservi.

I0. P.assiamo infine a considerare il caso di i ---- 2, e allora osserviamo ehe venendo ad essere .w~ e w, ambedue regolari ai due estremi a e b, la formula (2) si ridurrfi alia seguente

( j ) ( j " ) "O, X w , d x -t-w2 c~ "0~ X n'l d x (21) y ~ ~Vl C1 - - , - -

e le condizioni ai limiti a e b quando ci siano porteranno alle formole

(ko w, -4- kl w',). (h -~- (ko w~ + h, w'~). c2 = 0,

S (ho w, + h, w'~)b c~ + (ho w~-~- h~ w'~)b c~ = - - (h° Y - ~ h, Y'),,, (22)

dove Y ~ il solito .integrale particolare

X

a

~v, d x, (~3)

che si annulla insieme alle derivate prime per x ~ -a ; e poich~ queste for- mole sono queile stesse precise che s iavevano nella Memoria precedente pel caso allora considerato pel quale si supponeva che ao fosse sempre diverso da zero fra a e ~b e anche agli estremi, e che vi fossero due ~condizioni ai limiti, cosi, auche ora che si suppone che a0 si annulli a u n o o a tutti e due gti e~tremi ,a e b, se malgrado questo gti integrali ~v, e w~ saranno .re- golari a questi estremi qualunque sia z, e si avranno ancora effettivamente due condizioni ai limiti, otterremo gli stessi risultati della Memoria stessa, quando la espressione

' ,' w ' , ) , , ( ~ ) (ko w, -~- k, w ,)~, (ho,~V~ -t-,h, w'~)~ - - (ko W~ -F k, n ~). (ho w, -4- h,

27~ D i n i : Studi i sulle equazioni dif[erenziali lineari,

non sar~t ident icamente nulla qualunque sia z, o essendolo non lo sara~mo contemporaneamente anche le due espressioni

(ko w~ + I~ w'~)~, e (ko ~,~ -~ k~ w'~)~,, (~5) o le due

(ho w, + h, w',)~ e (ho ~v~ ÷ h, ~v'~)~. (26)

Se poi mancher~ ad es. la condizione al limite a (cib che allora non fu supposto), o se essendovi anche questa condizione le due espressioni (25) saranno ambedue identicamente zero (il che ora pub ammettersi che possa avvenire perch~ ao ~ zero per x~---a), allora non avremo che la seconda delle condizioni (22), e quindi se una almeno delie espressioni ( 26 )non sar~ ident ieamente nulla qualunque sia z, avuto r iguardo al valore (23) di Y si vede subito che per soddisfare alta stessa condizione con valori di c, e c~ che siano ihnzioni intere di z, baster '~ prendere

b

~v~ d ~ - - (h. ~,~ ~ - h, ~,'.),, ,~ ( 6 ,

b

c~ = - - t O~ X ~v~ d x -~ (ho ~v~-b h~ w'~)l, + (z) t~

essendo ~ (z) una funzione intera qualsiasi di z; e, come ora apparisce ben naturale, risultati simili si avranno se mancher~ la condizione al limite b, o se non mancando saranno ident icamente nulle qualunque sia z le due espres- sioni (26) senza che lo siano ambedue ]e (25), bas tando allora di prendere

°t c , = - - (ko ~v~. d - h, ~v 2),, + (z),

essendo ancora + (z) una funzione intera qualsiasi di z; .come se mancheranno ambedue le condizioni ai limiti a e b, o se saranno identicamente nulle qua- lunque sia z le quat tro espressioni (25) e (26) i valori di c, e c~ r imarranno completamente indeterminati , e pot remo prendere per essi funzioni intere qualsiansi di z.

E infine se saranno ancora soddisfatte le condizioni (11), allora avendosi Yt,-- 0 e Y'~, = O, le due condizioni (22) saranno sempre soddisfatte da c, = 0 e c.~ = 0 e talvolta anche da infiniti altri sistemi di valori di queste quan-

per riguardo ai loro integrcdi normaIi. 275

tit~ cl e c~ che av ranno maggiore o mino re arbi t rar ie t~ a seconda dei va- lori delle quant i t~ (25) e (26).

l l . R i a s s u m i a m o ora i r isul tat i qui o t t enu t i e quelli della Memoria p receden te nelle loro pa t t i pifi notevoli , me t tendo l i in relazione col t eo rema gi'~ r icorda to del § ~ delia. Memoria stessa, e enune iando l i ora come pro- prieth della funz ione X e degli integral i della equaz ione o m o g e n e a

(y, z) = a0 y" + al y ' + a~ y = 0, ($7)

q u a n d o in ques ta equaz ione ao si aunu l l a o p u s annul la rs i fra a e b ma sol- t an to in u n o o in tu t t i e due gli es t remi a e b, e il p a r a m e t r o z s ' in tende ora che tiguri sol tanto in a.~, e sia a~ ~ g z -~- l, e ssendo g e 1 come la X le solite funzioni della sola x con t inue o no ma finite e atte alia in tegraz ione fra a e b, e delle quali la p r ima non cambia mai di segno in ques to intervallo, e non ~ d ' integrale null() in nessuna porz ione di esso (*).

Ino l t re per la equaz ione da ta (27) a m m e t t i a m o : A) che w~ e w~ s iano due suoi integral i fondamen ta l i o t tenut i con pro-

cessi qualsiansi , ma sempre tali che pei valori di x fra a e b (gli estr. al pifi esclusi) s iano funzioni regotar i di x fino alle der ivate seconde e s iano fun- zioni intere di z, come sono quelli che si o t t engono net solito m o d o colle solite nos t re formole genera l i ;

B) che quando , essendo ao inf ini tes imo in uno o in tut t i e due i pun t i a e b, gli s tessi integrMi w~ o w~ p resen t ino singolarit 'h in quest i pun t i d'in-

f ini tesimo di ao, gli integral i _( oo X w~ d x ,e _feo X w~ dx, estesi agli in torn i

(a, x) e (x, b) dei pun t i s tessi, abb iano u n significato, e sl essi che i loro pro- dott i per.w~ e w'~, e per w, e w'~ r e spe t t ivamen te t e n d a n o a zero all ' impic- colire indef in i t amente degli in to rn l medes imi come si disse in m o d o generale al § 7;

C) che q u a n d o degli stessi integral i w, e w~ uno a lmeno, per es. w~, abbia s ingolar i th in a m b e d u e gli es t remi a e b, al lora per t 'altro in tegrale w,

b

[e~ Xw, d x = 0 q u a l u n q u e sia z; si abbia /

(*) Non si accenna qui alla condizione ehe la equazione data (~7) si riproduca nella sua aggiunta, perch~ essendo del second'ordine si pus sempre ridurre a soddisfare a questa con-

~ al d: t dizione moltiplicandola pel fattore 1 a0 - - e senza cambi~/re i suoi integrali.

a O

Annali di Matematica, Serie IIi, Tomo XVII. 35

276 D i n i : Studii sulle equazioni differenziali lineari,

D) e infine che siano

hoy.-t-k~y'.~--O, e h o y b - ~ h , y ' b ~ O

le solite equazioni ai limiti a e b, l 'una delle quali o anche tutte e due po- tranno mancare, il che perb non sar~ ora da noi esplicitamente indicato nei nostri enuuciati, intendendo che questi casi, quando si presentino, corrispon- dano a quelli pei quali ko e k~ insieme, e ho e h~ insieme sono zero.

Con questi daft si potr~ ora affermare che: 1. ° Se qualunque sia z, gli integrali w~ e w~ sono regolari ai due estremi

a e b, essendo o no ao infinitesimo in uno o in tutti e due questi estremi, e al tempo stesso :

a) se la espressione

(ko wl ÷ kl w',),, (ho ~v~ -~- h, w'~)~ - - (k° ~v~ ÷ k, w'~),, (h° w~ ÷ h, w',)~ (28)

non ~ identicamente nulla qualunque sia z, e i suoi iniinitesimi a distanza finita (quando vi sono) sono tutti del prim'ordine, e per ciascuno :~ di questi

b

i o . y y infinitesimi ~ sempl'e zero l 'espressione X d x, dove ~ un integrale

della equazione E(y , ~.~)~0 che al limite b soddisfa alia condizione ho y~ -~ hl y'~ ~ 0; o :

b) se essendo ta espressione (28) identicamente nulla qualunque sia z, senza che lo siano insieme le due

o le due

(ko wl -t- k~ w'1)~, e (ko w~ -]- kl w'~)~,, (29)

(howl -~ h, w'l)~ e (ho w2 -~- hj w'~),, , (30) b

risulti pure identieamente nulla qualunque sia z la espressione X y d x, a

dove y ora ~ un integrale della equazione E (y, z)~--0 che al limite b sod- disfa alia condizione h0 yb-~ h, yb ~ 0, sempre qualunque sia z, o:

c) se sono identicamente nulle qualunque sia z le due espressioni (29) o le due (30) o anche tutte e quattro insieme, o anche infine:

b

d) se siano zero qualunque sia z gli integrali I -O~Xwl d x e

per riguardo ai loro integrali normali. 277

b b

jO~X,v, dx, o (il c h e ~ lo s t e s s o ) s i a zero ra l t ro ~ooXwdm per qualsiasi a

in tegrale w della equaz ione E (y, z)---~ 0; o,lloro, sar& sempre X-~-0 per og~i vaIore di x da a a b (§ 10 e Mere. preced., §§ 35 a 43)(*).

2. ° Se quo, lunque sia z l ' in tegrale w, ~ regolare in a e b, e w, lo so l tan to in uno di ques t i es t remi per es, in b, e ino l t r e :

a) se sa ranno iden t i camen te null i q u a l u n q u e sia z i due soliti inte- b b b

gro,li (ll) cio~ f o ~ X w , dx e f o c X w ~ d x , o l'altro f o , , X w d x per qual- fb a ~o

siasi in tegrale w della E (y, z ) ~ 0; o pifi g e n e r a h n e n t e : b) se sadt iden t i camen te nul la q u a l u n q u e sia z la espress ione (17) o

b b

ct

o se to s a r anno ins ieme le due espress ioni

b

(ko w, -1-/~, w',)~ e (ho w~ --k h, w',)~ o, X w, d x; (32)

o o,nche : c) se di ques te u l t ime espress ioni la p r ima (ko w, -[- k, w',),, sar'h iden-

t i camen te zero q u a l u n q u e sia z, e te due

b

" f { (ho w, -f- h, w',),, e (h,o ~v~ ÷ h, ~,~ ~)~ ~,, X w, d x (33)

a

non lo sa ranno , ma gli in i ini tes imi a d is tanza iinito, della p r ima di ques te espress ioni o .ppar ter ranno tut t i e a lmeno allo s tesso ordine anche alla se- condo.: a l lora sar~ X = O p e r ogni valore di x da a a b (§ 9, 1. ° caso).

3. ° Se q u a l u n q u e sia z l ' integrale w, ~ regolare in a e in b e w. non lo ~ n~ in a n~ in b, al lora se oltre ad essere nul to q u a l u n q u e sia z (come gih

(~) Poich~ non si esciude che X possa essere discontinua fra a e b purch~ sempre finita e atta alla integrazione, diciamo una volta per tutte che col dire in questi enunciati che

~( sadt sempre X-~ 0 per ogni valore di x da a a b ~> si fa sempre astrazione da una fun- zione d'integrale hUllO alia quale potrebbe anche essere uguale X.

278 D i ~ i : S tud i i sulle equazioni differenziali lineari,

b

ammesso che in questo caso debba essere) l ' iutegrale | o . X w~ d x, abbiamo a

b

lo sar~t anche ra l t ro ~ o ~ X w ~ d x , o invece di questo sar~t nul la identica- a

mente qua lunque sia z l 'una o l 'al tra delle due espressioni

la fu~zione X sara zero per ogni valore di x f ra a e b (§ 9, 2. 0 caso). 4. ° Se w, e w~ sono regolari soltanto in uno dei due es t remi a e b

allora

a) nel caso che questo es t remo non sia lo stesso pei due integrali e per es. w, sia regolare in a e non in b e w~ sia regoiare in b e non in a, se sa ranno ident icamente nulle le due espressioni

b b

a a

b) e nel easo che l 'es t remo nel quale i due integrali w, e w~ sono regolari sia lo stesso per tut t i e due e sia per es. b se sara ident icamente nulla qua lunque sia z la espressione (13) cio~

b b

(ho w~ -~- h~ w'2)b oo X w~ d x - - (ho w, + h~ w'~)b Oo X w, d x , (36) f$ a

e cosi in part icolare in ambedue questi casi se saranno nulli ident icamente qua lunque sia z i due soliti integrali (11) la funzibne X sara ancora zero per qualunque valore di x f ra a e b (§ 8, 12 e 2. o caso).

5. ° E he1 caso che uno degli stessi integrali w, e w~ per es. wl abbia

singolarit$ in ambedue gli es tremi a e b e l 'altro w, le abbia solo in uno di questi es tremi per es. in a, al lora se avverr~ che oltre ad essere identi-

b

I ~Oc eamente nutlo (come gi~ sappiamo ehe dovr~ essere) l ' integrale X w~ d x, v

a

sara pure ident ieamente nulla la espressione

b

(ho w, -~- hi w',)b~Oc X w, d a

per riguardo ai Ioro integrali normali. 279

e cosl anche ora in particolare quando siano identicamente nulli insieme i due integrali (11), la funzione X sara zero per qualunque valore di x f ra a e b (§ 8, 2. ° aso).

6. ° Infine se w, e w~ avranno entrambi singolarifft sl in a c h e in b, allora quartdo risultino ancora soddisfatte tutt~e le eondizioni generali poste in principio di questo paragrafo, avendosi di necessit~ le (11) qualunque sia z, la funzione X sa.r~ pure sempre nulla per tutti i valori di x f ra a e b (§ 8, ~.o).

E cosi, col riprendere in esame tutte le condizioni trovate in questi varii casi, si vede in particolare che sl avr~ sempre X -~ -0 per tutti i valori di x f ra a e b quando insieme alle condizioni generali A), B) e C) poste in principio di questo paragrafo, sia soddisfatta l'altra che per qualsiasi integrale w della

b

nostra equazione (27) si abbia |(% X w d $ -~- O qualunque sia ~ ; e cib indi- t

pendeutemente dall'esservi o no le coudizioni (8) ai limiti a e b, e qualunque siano queste condizioni quando vi sono.

12. Seguendo i processi che abbiamo indicato, studii simiti potrebbero farsi per le equazioni di 3. ° e &o ordine e in generale per quelle di ordine superiore, come si fecero in lille della Memoria precedent6 per l'appticazione del teorema del § 40 della Memoria stessa; e dopo per ogni equazione che venisse data basterebbe cercare come si comportano nei punti estremi a e b gli integrali fondamentali dai quali si parte, e tenere conto delle condizioni ai limiti che fossero date per vedere quale dei teoremi che abbiamo dato precede~temente per le equazioni del second'ordine, e di quelli analoghi che potrebbero aversi per le al[re equazioni, siano da applicarsi per potere glum gere, quando ne sar~ il caso, a concludere the deve essere sempre X ~ 0 fra a e b.

E per le condizioni ai limiti, nel caso test6 ricordato delle equazioni del

second'ordine, si pus osservare in modo generate che se ad un estremo a o b, o a tutti e due, ao sarh zero, allora per l 'applicazione del teorema del § 40 della Memoria precedente e quindi anche di quelli del § 11 di questa non occorreranno condizioni al limite o ai limiti corrispondenti, mentre do- vranrm sempre esservi (sebbene con coefficienti costanti qualunque h o k) al limite o ai limiti stessi quando in essi ao non sia zero.

E quando ao sia zero ad ambedue gli estremi a e b, per potere conclu- dere che X-~ 0 per ogni valore di x in questo intervallo baster~ verificare

280 D i n i : Studii sulle equazioni differenziali lineari, ecv.

se siano soddisfatte le condizioni generali poste in principio del § 11, senza curarsi delle condizioni ai limiti che particolari circostanze permettessero di porre, e delle condizioni particolari che nei varii teoremi sarebbero conse- guenza di queste condizioni ai limiti, perch~ l'integrale corrispondente al ~aso the non yi siano queste condizioni sarebbe gi~ una funzione intera di z; mentre se ao sar~ diverso da zero a uno o a tutti e due gli estremi a e b, allora oltre ch~ delle condizioni generali poste in principio del § 11 che si avranno sempre, baster~ occuparsi di quel le particolari dei teoremi corri- spondenti che si riferiscono all 'estremo o agli estremi a e b dove a0 ~ di- verso da zero.

E nel easo delle equazioni di ordine superiore, anehe quando ao ~ zero ai due estremi a e b e a fortiori quando non lo ~, per quanto si vide in fine della Memoria precedente potr~ essere necessario di porre condizioni ai limiti per gli integrali da considerarsi onde potere fare l'applicazione del teorema del § 40 della Memoria stessa, e giungere cosi a eoneludere che deve essere sempre X = O fra a e b.

Tutto questo pel caso delle equazioni del second'ordine apparir~ chia- ramente dalle applicazioni che faremo ~l caso. di alcune delle stesse equazioni in altra Memoria ehe pubblicheremo fra breve.

Pisa, Luglio 1910.