STRUTTURE IN LEGNO I -...

Sussidi didattici per il corso di

STRUTTURE IN

Sussidi didattici per il corso di COSTRUZIONI EDILI

Prof. Ing. Francesco Zanghì

STRUTTURE IN LEGNO I

AGGIORNAMENTO 14/01/2013

II

Corso di COSTRUZIONI EDILI Prof. Ing. Francesco Zanghì

2

FLESSIONE SEMPLICE RETTA La verifica a flessione retta è soddisfatta quando:

m

dmSd

k

f

W

M ,≤=σ che può essere scritta nella forma

1,

≤dm

mf

kσ

h

M

km

dm kfk

fγ

,mod

,

⋅=

km è un coefficiente convenzionale che tiene conto del diverso comportamento del legno a trazione e

compressione e della disomogeneità del materiale. Vale km=0.7 per sezioni rettangolari e km=1 per le altre sezioni.

kh è un coefficiente che incrementa la resistenza quando la dimensione della sezione Lmax, parallela al piano di sollecitazione, è inferiore a 15 cm per legno massiccio o 60 cm per il lamellare.

= 3.1;

150min

2

hkh se Lmax < 15 cm per legno massiccio

= 1.1;

600min

2

hkh se Lmax < 60 cm per legno lamellare


3

FLESSIONE SEMPLICE DEVIATA

Scomponiamo il momento flettente totale, agente sulla sezione, nelle due componenti parallela e perpendicolare al sistema di riferimento locale x-y della sezione:

αcos⋅= MM x αsin⋅= MM y

Calcoliamo i moduli di resistenza Wx e Wy della sezione rettangolare:

6

2hbWx =

6

2bhW y =

Calcoliamo le tensioni di progetto nelle due direzioni:

x

xx

W

M=σ

y

y

yW

M=σ

Calcoliamo le resistenze di progetto nelle due direzioni, valutando il coefficiente kh in funzione della dimensione della sezione :

xh

M

km

dxm kfk

f ,

,mod

,,γ

⋅= yh

M

km

dym kfk

f ,

,mod

,,γ

⋅=

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, considerando il coefficiente km agente in modo alternato nelle due direzioni, la verifica a flessione deviata risulta positiva se sono soddisfatte le due diseguaglianze:

1,,,,

≤+dym

y

dxm

xm

ffk

σσ

1,,,,

≤+dym

y

m

dxm

x

fk

f

σσ

α

s

s

x

y

M

Mx

My

α

F


4

ESEMPIO N°2

Progettare gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che il manto di copertura è realizzato mediante tegole marsigliesi (G2=0.45 kN/m2), e che il sovraccarico accidentale per neve vale Q=0.70 kN/m2. La luce degli arcarecci è pari all’interasse fra le capriate cioè 3.00 m. L’interasse fra gli arcarecci è di 80 cm.

Predimensioniamo gli arcarecci tramite, la tabella di prontuario, scegliendo l’interasse minimo di 1.20 m, luce pari a 3.00 m e carico compreso tra 1.40 e 1.60 (0.45+0.70=1.15 kN/m2):

Arcarecci 12x18 cm

Analisi dei carichi per metro di trave

• Peso proprio arcareccio: (0.12 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 G1 = 0.09 kN/m

• Peso proprio copertura: 0.45 kN/m3 x 0.8 G2 = 0.36 kN/m

• Sovraccarico accidentale (neve): 0.70 kN/m3 x 0.8 Q = 0.56 kN/m

Calcolo sollecitazioni allo SLU:

( ) ( ) ( ) mkNQGGq sd /50.156.05.136.05.109.03.15.15.13.1 21 =⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=


5

⇒==⋅

== kNcmkNmql

M sd 16969.18

350.1

8

22

Verifica a flessione deviata:

Calcolo dei moduli di resistenza:

322

6486

1812

6cm

hbWx =

⋅== ;

322

4326

1218

6cm

bhW y =

⋅==

Calcolo delle resistenze di progetto nelle due direzioni:

- Il direzione x, kh,x = 1 perché 18>15 cm

2,

,mod

,, 120.115.1

4.27.0

cm

kNk

fkf xh

M

km

dxm =⋅⋅

=⋅

=⇒γ

- Il direzione y, poiché 14<15 cm:

[ ] 30.13.1;56.1min3.1;120

150min3.1;

150min

22

, ==

=

=

hk yh

Calcolo delle tensioni di progetto nelle due direzioni:

2248.0

648

161

cm

kN

W

M

x

xx ===σ 2

123.0432

53

cm

kN

W

M

y

y

y ===σ

Verifica:

124.0456.1

123.0

120.1

248.07.0 ≤=+ 128.0

456.1

123.07.0

120.1

248.0≤=+ VERIFICA POSITIVA

kNcmMM x 16118cos169cos ≈°⋅=⋅= α

kNcmMM y 5318cos169sin ≈°⋅=⋅= α

2

,mod

,, 456.130.15.1

4.27.0

cm

kNk

fkf h

M

km

dym =⋅⋅

=⋅

=⇒γ


6

1,

,

2

,0,

,0, ≤+

dm

dm

m

dc

dc

fk

f

σσ

PRESSO-FLESSIONE SEMPLICE

Applicando, anche in questo caso, il principio di sovrapposizione degli effetti, procedendo con la stessa logica adottata per la verifica a compressione e a flessione, la verifica a presso-flessione semplice risulta positiva se è soddisfatta la diseguaglianza indicata a lato.

Nel calcolo della tensione di progetto a compressione, in direzione parallela alla fibratura, dc ,0,σ , occorrerà tenere conto dell’instabilità, come già visto in precedenza.

PRESSO-FLESSIONE DEVIATA

Stessa logica. Questa volta occorrerà soddisfare due diseguaglianze:

1,,

,,

,,

,,

2

,0,

,0, ≤++

dym

dym

dxm

dxm

m

dc

dc

ffk

f

σσσ

1,,

,,

,,

,,

2

,0,

,0, ≤++

dym

dym

m

dxm

dxm

dc

dc

fk

ff

σσσ

TENSO-FLESSIONE SEMPLICE

1,

,

,0,

,0, ≤+dm

dm

m

dt

dt

fk

f

σσ

TENSO-FLESSIONE DEVIATA

1,,

,,

,,

,,

,0,

,0, ≤++dym

dym

dxm

dxm

m

dt

dt

ffk

f

σσσ

1,,

,,

,,

,,

,0,

,0, ≤++dym

dym

m

dxm

dxm

dt

dt

fk

ff

σσσ


7

ESEMPIO N°3

Verificare la catena di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che lo sforzo di trazione su di essa agente è pari a +75 kN.

La catena, di dimensioni 14x21, è soggetta a TRAZIONE, quale componente del sistema reticolare della capriata e a FLESSIONE SEMPLICE RETTA, quale trave isostatica in semplice appoggio, di luce l=8.00 m , soggetta al proprio peso pari a:

( ) mkNq sd /16.02.400.121.014.03.1 =⋅⋅⋅⋅=

Verifica a tenso-flessione retta

Il momento flettente massimo allo SLU è: Il modulo di resistenza, per sezione rettangolare, è:

Poiché l’altezza è > di 15 cm il coefficiente kh vale 1. La resistenza di progetto per flessione, per legno di classe C24, è:

2

,mod

, 120.115.1

4.27.0

cm

kNk

fkf h

M

km

dm =⋅⋅

=⋅

=γ

La resistenza di progetto a trazione è:

2

,0,mod

,0, 653.05.1

4.17.0

cm

kNfkf

M

kt

dt =⋅

=⋅

=γ

Le tensione di progetto a trazione e a flessione valgono rispettivamente:

2,0, 255.0294

75

2114

75

cm

kN

A

NSddt ==

⋅==σ 2, 125.0

1029

128

cm

kN

W

M Sddm ≈==σ

Verifica:

1,

,

,0,

,0, ≤+dm

dm

m

dt

dt

fk

f

σσ 1468.0

120.1

125.07.0

653.0

255.0<=+ VERIFICA POSITIVA

kNcmkNmql

M sd 12828.18

816.0

8

22

==⋅

==

322

10296

2114

6cm

hbW =

⋅==


8

ESEMPIO N°4

Verificare il puntone di cui all’ESEMPIO 1 sapendo che lo sforzo di compressione allo SLU, calcolato risolvendo lo schema di trave reticolare, vale -70 kN.

Il puntone, di dimensioni 14x18, è soggetto a COMPRESSIONE, quale componente del sistema reticolare della capriata e a FLESSIONE SEMPLICE RETTA, quale trave isostatica in semplice appoggio, di luce l=2.80 m , soggetta al proprio peso e alle azioni concentrate trasmesse dai due arcarecci che gravano sull’asta.

Analisi dei carichi SLU

Il valore allo SLU del carico concentrato trasmesso dall’arcareccio si ricava facilmente da calcoli eseguiti nell’ESEMPIO 2. Il carico ripartito calcolato vale 1.50 kN/m e la luce dell’arcareccio è 3.00 m.

- peso proprio puntone allo SLU: 1.3 x (0.14 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 = 0.14 kN/m

- carico concentrato arcareccio: (1.50 x 3.00)/2 = 2.25 kN

- sforzo di compressione puntone: 70 kN


9

Calcolo delle tensioni e delle resistenze

FLESSIONE

Il momento flettente massimo allo SLU è:

kNcmkNmFlql

M sd 22424.23

80.225.2

8

80.214.0

38

22

==⋅

+⋅

=+=

Il modulo di resistenza, per sezione rettangolare, è:

Poiché l’altezza è > di 15 cm il coefficiente kh vale 1. La resistenza di progetto a flessione, per legno di classe C24, è:

2

,mod

, 120.115.1

4.27.0

cm

kNk

fkf h

M

km

dm =⋅⋅

=⋅

=γ

Le tensione di progetto a flessione vale:

2, 296.0756

224

cm

kN

W

M Sddm ===σ

COMPRESSIONE + INSTABILITÁ Il puntone si considera incernierato agli estremi pertanto la lunghezza libera di inflessione l0=l=2.80 m.

43

min 411612

1418cmJ =

⋅= ⇒ cm

A

Ji 04.4

252

4116minmin === ⇒ 31.69

04.4

280==λ

3.0175.17400

2131.69

05,0

,0,

, >===ππ

λλ

E

f kc

crel ⇒ ( ) ( )

28.12

175.13.0175.12.01

2

3.01 2,

2

, =+−+

=+−+

=crelcrelc

kλλβ

322

7566

1814

6cm

hbW =

⋅==


10

33.0175.128.128.1

11

22,

22, =

−+=

−+=

crel

ccrit

kkk

λ

La resistenza a compressione parallela alla fibratura vale, pertanto:

2

,0,mod,

,0, 323.05.1

1.270.033.0

cm

kNfkkf

M

kcccrit

dc =⋅⋅

=⋅⋅

=γ

Le tensione di progetto a compressione vale:

2,0, 278.0252

70

cm

kN

A

N Sd

dc ===σ

Verifica a presso-flessione retta

1,

,

2

,0,

,0, ≤+

dm

dm

m

dc

dc

fk

f

σσ 193.0

120.1

296.07.0

323.0

278.02

<=+

VERIFICA POSITIVA


11

TAGLIO

Ipotizzando per semplicità che la sezione sia di materiale omogeneo, calcoleremo la massima tensione tangenziale agente sulla sezione applicando la nota formula di Jourawski (vedi dispensa “Sollecitazioni semplici”). La verifica a taglio retta è soddisfatta quando:

M

kvSdfk

Jb

SV

γτ ,mod ⋅

≤⋅

⋅=

Per sezioni rettangolari, la massima tensione tangenziale può essere facilmente espressa in funzione del taglio e delle dimensioni della sezione. La formula di verifica diventa:

M

kvSdfk

hb

V

γτ ,mod

2

3 ⋅≤

⋅=

ESEMPIO N°5

Verificare a taglio gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 2. Il taglio massimo di progetto massimo allo SLU è:

Verifica:

2

,mod

2max 12.05.1

25.07.0016.0

1812

25.2

2

3

2

3

cm

kNfk

cm

kN

hb

V

M

kvSd =⋅

=⋅

<=⋅

⋅=⋅

=γ

τ VERIFICA POSITIVA

kNql

Vsd 25.22

350.1

2=

⋅==


12

VERIFICHE DI DEFORMABILITÁ ALLO SLE

Generalmente la verifica consiste nel calcolare la freccia per elementi inflessi e controllare che questa rientri entro valori accettabili in relazione alla funzionalità dell’opera. Le deformazioni dovute a sforzo normale possono essere ritenute trascurabili. Quelle dovute a flessione sono determinanti in relazione al valore relativamente basso del modulo elastico del legno e alla notevole influenza dell’umidità e degli effetti viscosi (fluage), cioè quei fenomeni che implicano il progredire lento, nel tempo, delle deformazioni per i carichi permanenti.

La freccia finale, δfin, sarà ottenuta sommando alla freccia iniziale, istantanea, δin, il valore dell’incremento

δdif dovuto all’umidità e alla viscosità.

δfin = δin + δdif

• δin verrà calcolato con riferimento alla combinazione di carico RARA: QGGFd ++= 21

• δdif verrà calcolato con riferimento alla combinazione di carico QUASI PERMANENTE: QGGFd ⋅++= 2121 ψ

Inoltre il modulo elastico del legno dovrà essere corretto secondo la seguente espressione:

Tabella per il calcolo del coefficiente kdef

def

mean

difk

EE

+=

1

,0


13

Tabella per il calcolo del coefficiente ψ21

La freccia calcolata dovrà essere confrontata con i limiti riportati nella seguente tabella:

Elementi strutturali δfin Strutture a sbalzo senza carichi mobili L/150 Elementi di copertura (esclusi solai) L/200 Solai, travi che non sostengono tamponature, sbalzi con carichi mobili L/300

Travi che sostengono tamponature o carichi mobili L/400

N.B. Allo SLE, il calcolo delle frecce elastiche verrà effettuato con riferimento al modulo elastico medio parallelo alle fibre (E0.mean) e non quello caratteristico (E0,05), utilizzato per le verifiche allo SLU.


14


15

ESEMPIO N°6

Verificare a deformazione gli arcarecci di cui all’ESEMPIO 2.

Si riporta per maggior chiarezza l’analisi dei carichi per metro di trave già effettuata in precedenza:

Analisi dei carichi per metro di trave

• Peso proprio arcareccio: (0.12 x 0.18 x 1.00) x 4.20 kN/m3 G1 = 0.09 kN/m • Peso proprio copertura: 0.45 kN/m3 x 0.8 G2 = 0.36 kN/m • Sovraccarico accidentale (neve): 0.70 kN/m3 x 0.8 Q = 0.56 kN/m

Combinazione di carico SLE RARA:

cm

kN

m

kNQGGq Rsd 0101.001.156.036.009.021, ==++=++=

Combinazione di carico SLE QUASI PERMANENTE:

Dalla tabella di normativa, per strutture di copertura ψ21=0:

cm

kN

m

kNGGq QPsd 0045.045.036.009.021, ==+=+=

Calcolo delle frecce:

FRECCIA INIZIALE

333

583212

1812

12cm

hbJ x =

⋅== ; 2,0 110011000

cm

kNMPaE mean ==

cmE

lq

mean

Rsd

in 17.0 83251100

3000101.0

384

5

J384

54

,0

4

, =⋅

⋅=

⋅

⋅=δ


16

FRECCIA DIFFERITA

Per legno massiccio, in classe di servizio 2, kdef=0.8, pertanto il modulo elastico corretto per effetto dei fenomeni lenti sarà:

cmE

lq

cm

kN

k

EE

dif

QPsd

dif

def

mean

dif 14.0 832511.611

3000045.0

384

5

J384

511.611

8.01

1100

1

44

,

2

,0 =⋅

⋅=

⋅

⋅=⇒=

+=

+= δ

Verifica:

cmL

cmdifinfin 5.1200

300

20031.014.017.0 ==<=+=+= δδδ VERIFICA POSITIVA


17

TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE CAPRIATE SEMPLICI (per luci fino a 7.00 m)

TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DEGLI ARCARECCI


18

TABELLA PER IL PREDIMENSIONAMENTO DELLE CAPRIATE COMPOSTE (per luci da 7.00 a 14.00 m)


19

Fonti

• D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.) Norme tecniche per le Costruzioni”

• Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 – Suppl. Ord.) “Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.

• U.Alasia – M.Pugno – Corso di Costruzioni 4 – SEI 2010

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