Corso diCorso di

TECNICA DELLE COSTRUZIONITECNICA DELLE COSTRUZIONI

POLITECNICO DI TORINO

II Facoltà d’IngegneriaII Facoltà d’Ingegneria

(Vercelli)

Docente:

Rosario Ceravolo

Dip. Ingegneria strutturale e geotecnica

PARTE 4:PARTE 4:

COSTRUZIONI IN CEMENTOCOSTRUZIONI IN CEMENTO

ARMATOARMATO

STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO STATO LIMITE ULTIMO PER SFORZO

NORMALE E MOMENTO FLETTENTENORMALE E MOMENTO FLETTENTEIdealizzazione del legame σ – ε per il conglomerato

cementizio (D.M.’96).

Si osserva che, in presenza del solo sforzo normale,

la deformazione non può superare il 2%o , in

quanto, in base al diagramma reale non è

possibile una ulteriore traslazione del

diagramma che porterebbe a instabilità (ad undiagramma che porterebbe a instabilità (ad un

aumento della deformazione media si avrebbe

una diminuzione della risposta).

Diagramma parabola – rettangolo (D.M.’96).

( )Rf

CK

CC

CK 83,085,085,0

⋅=γγ

per il D.M. è pari a 1,6

tiene conto della lunga

permanenza del caricopassaggio dalla

resistenza cubica a

quella cilindrica

Eurocodice 2:

Coefficiente 0.85: omesso

γc = 1.5

Il D.M. dà altresì la possibilità di considerare distribuzioni ulteriormente semplificate:

Idealizzazione del diagramma σ – ε per l’acciaio

da C.A. (D.M.’96).

mmE KNs

2/206tan ==α

γ s

yK

yd

ff = con γs = 1,15 da D.M.

Eurocodice 2 : i limiti dell’acciaio non esistono più

Ipotesi di base per l’analisi a rottura a Ipotesi di base per l’analisi a rottura a

momento e sforzo normalemomento e sforzo normale

� Mantenimento delle sezioni piane;

� Le armature subiscono le stesse deformazioni del calcestruzzo adiacente;

� Il conglomerato reagisce soltanto a compressione;

� Le massime deformazioni del calcestruzzo si assumono pari al 3,50/00 a flessione e presso

flessione, si assumono pari al 2 0/00 quando l’asse neutro tende all’infinito

� La massima deformazione dell’acciaio si assume pari a 100/00 nel caso di acciaio ordinario,

mentre nel caso di acciaio per calcestruzzo precompresso pari a εP50 + 0,010 essendo la

deformazione impressa preventivamente. (nell’Eurocodice 2 detti valori non sono

Si individuano 5

campi di possibile

rottura da cui il

diagramma di Rush.

deformazione impressa preventivamente. (nell’Eurocodice 2 detti valori non sono

specificati).

� Campo 1: trazione con debole eccentricità; è assente il contributo del

calcestruzzo;

� Campo 2: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio;

� Campo 3: pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale di entrambi i

materiali;

� Campo 4: pressoflessione con sfruttamento incompleto dell’acciaio;

� Campo 5: compressione con debole eccentricità.

Si osserva come il campo, e dunque la qualità del collasso, sia individuato

univocamente dall’ordinata x che individua la posizione dell’asse neutro.univocamente dall’ordinata x che individua la posizione dell’asse neutro.

E’ possibile scrivendo le equazioni di equilibrio tipiche dei diversi campi, risalire alle

superfici di interazione nello spazio (N, M) o (N, Mx , My) nel caso generale di

flessione composta.

CAMPO 1

ove:

)'(111

ddAeNM RdRd−=⋅= σ

0111 >≤= σεσ conf ydsE

d

d

X

X

++

⋅='

010,01ε

112 σAfAN ydRd +=

CAMPI 2 - 3 - 4 - 4a

2 12 10,85

Rd s scdx bfN A Aα σ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +

1 10,85 ( ) ( ')Rd Rd cd

e x xb d d df AM N α β σ= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

εc = εc(x) ⇒ α, β tabellati in

funzione di x/d = ξ.Nei campi 3 - 4 - 4a:

εc = 0.0035� ⇒ α, β cost.

α = 0,8095 e β = 0,4160

da eq. congruenza

CAMPO 5

σα 221185,0

ssydscdRd AfAfhbN ++⋅= ⋅⋅⋅

)'()( 11185,0 ddfAhdfhbydscd

eNM RdRd−+−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅= βα

( )dxhx

ε

ε

=

−=

−

2

1

002,0

'

7

3

002,0

( )

sssd E

dxhx

εσ

ε

⋅=

−=

−

2

7

3

002,0

α1 e β1 sono tabellati.

Diagrammi d’interazioneDiagrammi d’interazioneLe relazioni possono essere scritte in forma adimensionale, ponendo:

d

x

fdb

fA

fdb

fA

fdb

N

fdb

M

cd

yds

cd

yds

cdcd

=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

ξ

ωω

νµ

''

2: momento e sforzo normale ridotti

: rapporti meccanici d’armatura

: posizione relativa asse neutrod

Si trovano così i diagrammi d’interazione:

Nel caso di flessione deviata (ν, µx, µy) spesso si

usano speciali diagrammi a rosetta che

informano per valori convenzionali prefissati di

ν e che favoriscono l’interpolazione.

µx

µ

µyµy

µ µ

µx

µx

ν=1 ν=0

.cos2

1

21

t

tot

=

+=

ωω

ωωω

Molto comodo risulta anche il 2° metodo di Bresle

(norme paesi dell’est):

M’yd e M’xd: valori sugli assi in corrispondenza di valori

prefissati di νd.

µyµy µx

νd

M'yd

M yd M xd

M'xd

ove α proviene dalla sperimentazione.

1''

≤

+

αα

xd

xd

yd

yd

M

M

M

M

Progetto: duttilità e sfruttamento dell’acciaioProgetto: duttilità e sfruttamento dell’acciaioNel caso di una sezione con armatura doppia (ω, ω’) soggetta a µ e ν assegnati, le incognite del

problema restano ξ, ω e ω‘. Avendo due equazioni di equilibrio, potrei imporre ω/ω‘ e

trovare ω e ω‘, oppure imporre ξ e trovare ω e ω‘.Il dimensionamento, nella sua accezione classica, consisterebbe nell’aggiunta di una

condizione di minimo di che permetterebbe di trovare ω, ω’, e ξ ottimi.

E’ tuttavia necessario fare alcune considerazioni sulla duttilità, con riferimento al

comportamento di una trave in calcestruzzo armato sollecitata sino al collasso per

flessione.

Trave da esperimenti

V

F

2

F

2

� Curva A: Sezione non armata o armatura molto debole, il collasso è duttile

ma repentino nel calcestruzzo dovuta ad una brusca diminuzione di ξ;� Curva B: Si sfrutta la capacità plastica dell’acciaio, non quella del

calcestruzzo;

� Curva C1: Si sfrutta sia l’acciaio che il calcestruzzo (campo 3) dove avviene

il collasso;

� Curva C2: Sezione bilanciata (limite campo 3);

� Curva D-E: Armature forti. ξ elevato, quindi la duttilità diminuisce.

L’abbassamento del baricentro delle compressioni diminuisce il braccio diL’abbassamento del baricentro delle compressioni diminuisce il braccio di

leva e l’efficienza della armatura. La situazione è migliorabile con

l’inserimento di armatura superiore ω’ che tende l’acciaio inferiore.

a) Duttilità della sezione;

b) Sfruttamento completo della capacità resistente dell’armatura.

Il dimensionamento delle armature deve dunque garantire:

1) Capacità di ridistribuzione , ad esempio per i cedimenti;

2) Collasso duttile;

3) Buon comportamento rispetto ad urti e azioni impulsive;

4) Buon comportamento sotto azioni sismiche.

La duttilità della sezione porta molteplici vantaggi:

Il progetto duttile si realizza collocando il collasso nei campi 2 o 3 (in modo che

l’acciaio raggiunga lo snervamento), ossia si deve verificare che:

s dxxε

ξξε +

=<⇒⋅+

=< 0

lim

0

lim,%5,3

%5,3

%5,3

%5,3

ysys

s dxxε

ξξε +

=<⇒⋅+

=<0

lim

0

lim,%5,3%5,3

Inoltre si osserva che, all’aumentare di

x, oltre all’aumento della risultante

di compressione, si fa sentire anche

la diminuzione del braccio de leva.

Si cerca xlim (con ω’ = 0) tale che:

hxxfxbdx

d

dx

dM Hcd ⋅=⇒=

−⋅⋅⋅⋅⇒= 601,0085,00 lim

2βα

massimo del momento rispetto al baricentro costante nel campo 3

Si individua dunque:

PROGETTO A FLESSIONE SEMPLICE

( ) xxx csoptx limlimlim ;min ==

Operativamente:

noti νd, µd, ω’=0ξ ≤ ξlim ⇒ progetto corretto

ξ > ξlim ⇒ si deve disporre ω’≠ 0

Equazioni nei campi 2 – 3 – 4 (per ora ω’ = 0):

=−ωαξ 085,0

=−

=−

µβξαξωαξ

)(

0

185,0

85,0

dove α e β sono funzioni note di ξ.Noto ξlim ⇒ µlim, ωlim

In sede di progetto:

µ ⇒ ξSe ξ ≤ ξlim ⇒ ω ovvero µ ≤ µlim ⇒ ω (da tabelle)

Se ξ > ξlim ⇒ è necessario servirsi di armatura superiore ω’ per mantenere ξ = ξlime riferendoci alle eq. in forma più generale con la ω’:

ove .

=−+−

=+−

µδωβξαξωωαξ

)'1(')(

0'

185,0

85,0

d

d ''=δ

Ponendo ξ = ξlim, si osserva che imponendo armatura inferiore ωlim+∆ω e superiore

∆ω, ξ rimane invariato uguale a ξlim.

=−∆+−

=∆+∆−−

µδωβξαξ

ωωωαξ

)'1()(85,0

085,0

limlim

limlim

1

)'1(lim

δωµµ −∆=−

)'1(lim

δµµ

ω−−

=∆

da cui:

=( )βξαξ −185.0 lim limµ

PROGETTO A PRESSOFLESSIONE - TENSOFLESSIONE

Se si aggiunge o si toglie un’armatura inferiore pari a ν per coprire lo sforzo

normale, il procedimento rimane uguale a quello per la flessione semplice, a patto

di considerare:

−= − '2

dh

NMM ddsd

M

MSd

Nd

Md

Nd

d'

d

αξ ω ω' v ν

αξ( βξ ) ω'( δ') µ

,

,

− + + =

− + − = 1

0 85

0 85 1

Cenni al metodo “n” (tensioni ammissibili)Cenni al metodo “n” (tensioni ammissibili)E’ un metodo classico per il progetto e verifica a flessione e pressoflessione delle

travi in C.A.

Il metodo ipotizza comportamento elastico lineare dei materiali e parzializzazione del

cls. E’ il metodo di solito più utilizzato per le verifiche alle tensioni ammissibili.

NAAxb

SSSS

C =⋅−⋅+⋅⋅

σσσ

''2

( ) MddAx

dxb

SS

C =−⋅⋅+

−⋅⋅⋅

'''32

σσ

Eq. equilibrio traslazione

Eq. equilibrio rotazione

C

S

SS

C

E

Endove

xd

n

dx

n

x=

−=

−=

σσσ

'

'

Eq. congruenza (ipotesi di Navier)

M

b

d

AS

N

A'S

x

d'

σC

σ'S

σS

ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE A SLU

⇒ da tabella ω = 0,294 ⇒ ( )16781,13 φω =⋅⋅⋅=yd

cd

sf

fdbA

Rck 250 ⇒

Feb44k ⇒

Msd = 2⋅105 N ⋅ m ⇒

2130

6,1

25083,0

cm

Kgff cd ≅

⋅=

23826

15,1

4400

cm

Kgff yd ≅=

242,02

=⋅⋅

=cd

sd

fdb

Mµ

MSd

30

46

4

AS

SeMsd = 3⋅105 N ⋅ m: ⇒ ( ) 325,044363,0 lim2=>=

⋅⋅= kFeb

fdb

M

cd

µµ

Cominciamo a dimensionare sulla base di µlim ⇒ ωlim = 0,445

2

lim 86,20 cmf

fdbA

yd

cd

ottimale =⋅⋅⋅= ω

Per mantenere invariata la giacitura, ossia ξ = ξlim (valore ottimale) si aggiunge

superiormente ed inferiormente ∆ω, ove:

⇒=

−

−=

−

−= 04160

46

41

32503630

1

lim ,,,

δ')(

µµ∆ω

( )( )

=∆=

=∆+=2

2

lim

97,1''

83,22

cmAA

cmAA

ss

ss

ω

ωω

ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE

301,02

=⋅⋅

=cd

sd

fdb

Mµ

Rck 250 ⇒

Feb44k ⇒

Msd = Nd ⋅ (e+d) = 350000 ⋅ 0,71 = 2,485 ⋅ 105 N ⋅ m

2130

6,1

25083,0

cm

Kgffcd ≅

⋅=

23826

15,1

4400

cm

Kgff yd ≅=

f⇒ ω ≅ 0,395 ⇒ ( )1675,18 φω =⋅⋅⋅=

yd

cd

sf

fdbA

Acciaio per coprire lo sforzo normale (da aggiungere inferiormente):

23500009,15

38260d

s

yd

NA cm

f∆ = = =

* 218,5 9,15 9,35s yd

s s

cd

A fA A cm

b d f∆

⋅= − = − =

⋅ ⋅

ESEMPIO: PROGETTO A PRESSOFLESSIONE CON ARMATURA DOPPIA

Rck 250 ⇒

Feb44k ⇒

Msd = Nd ⋅ (h/2+e) = 50 ⋅ 0,50 = 25

2130

6,1

25083,0

cm

Kgffcd ≅

⋅=

23826

15,1

4400

cm

Kgff yd ≅=

425,0

256,02

=

=

⋅⋅=

ω

µcd

sd

fdb

M

425,0

256,0

=

=

⋅⋅=

ων

cd

d

fdb

N

66,21=⋅⋅⋅=yd

cd

totf

fdbA ω

( )18583,10 2

infsup φcmAA ==

ESEMPIO: PROGETTO A FLESSIONE COMPOSTA

50 Ma

30

Mb

db

Rck 250 ⇒

Feb44k ⇒

Nd = 400000 N Ac = 50 ⋅ 30 cm2

Mad = 2⋅ 105 N ⋅ m As,tot = 8 ⋅ AsMbd = 1⋅ 105 N ⋅ m da = 5 cm

db = 3 cm

2130

6,1

25083,0

cm

Kgffcd ≅

⋅=

23826

15,1

4400

cm

Kgff yd ≅=

8,0

228,0

211,0

253,0

2

2

=⇒⇒>⇒

=⋅⋅

=

=⋅⋅

=

=⋅⋅

=

ϖµµ

ν

µ

µ

rosettaadiagramma

fdb

N

fdb

M

fdb

M

ba

cd

d

cd

sdb

cd

sda

27,36 cmf

fdbA

yd

cdtot =⋅⋅⋅=ω ( )266,4

8

7,36 2 φcmA ==⇒

30db = 3 cm

TABELLA RELATIVA AGLI ESEMPI SVOLTI

Per comodità si riportano i valori di µopt,s ed i corrispondenti ωopt,s per gli acciai

italiani (fyk, fyd in Kgf/cm2):

Analogamente si mettono in evidenza i valori di µopt,s e ωopt,s per i valori di δ= 0,955Analogamente si mettono in evidenza i valori di µopt,s e ωopt,s per i valori di δ= 0,955

e 0,90:

In definitiva in Italia si può assumere come valore limite µopt,c = µopt,s il valore 0,31 a

cui corrisponde ω = 0,42 per qualunque acciaio con δ = 0,95.

Sezioni a T sollecitate a flessione o Sezioni a T sollecitate a flessione o

pressoflessione rettapressoflessione rettaPer il progetto di una sezione a T si possono usare le tabelle di seguito riportate, il

metodo approssimato o quello generale. Si fa riferimento alla figura.

La lunghezza bef ammissibile nei calcoli vale:

bl

bb wef ≤+=5

0

dove l0 è la distanza fra i punti di

METODO GENERALE

Si calcola il momento Msd rispetto alle armature tese:

0

momento nullo, e b è la larghezza reale.

sddsd yNMM ⋅−=cd

d

cd

sd

fdb

N

fdb

M

⋅⋅=

⋅⋅= νµ

2

Se non necessitano di armature compresse (µsd < µlim), la percentuale ω relativa

all’armatura tesa si legge da tabelle in funzione di µsd (Nd negativo se di

compressione):

yd

d

yd

cd

sl

w

f

f

N

f

fdbAViene

b

be

d

h+

⋅⋅⋅=

ω.

Se necessitano di armature compresse (µsd > µlim), si calcola:

limµµµ −=∆ sd

yd

d

yd

cd

slf

N

f

fdb

d

dA +⋅

−

−+=

2

limlim

1

µµω

L’armatura tesa necessaria risulta:

L’armatura compressa necessaria invece risulta:L’armatura compressa necessaria invece risulta:

yd

cd

slf

fdb

d

dA ⋅⋅⋅

−

−=

2

lim

1

µµ

METODO APPROSSIMATO

L’ipotesi di base è la trave snella, ossia:

S’ipotizza che la sola piattabanda sopporti tutto lo sforzo di compressione interno.

Occorre peraltro adottare, se b è molto grande, il valore beff prima indicato.

Con le premesse fatte risulta As2 = 0.

M 1

5≥wb

b

Deve inoltre esse verificato che risulti:

ydf

sds

fN

hd

MA

1

2

1 ⋅

+

−

=

cd

f

f

sd

cd f

hbh

d

M⋅≤

⋅⋅

−

= 85,0

2

σ

METODO TABULATO

STATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOSTATO LIMITE ULTIMO PER TAGLIOLo studio non può esser confinato in una sezione ma deve essere esteso ad un tratto di trave;

quindi lo studio è assai complesso.

Parametri determinare il comportamento a taglio della trave:

- La disposizione delle armature longitudinali e trasversali;

- L’aderenza acciaio-calcestruzzo;

- Il tipo e la posizione dei carichi;

- Il tipo di appoggi;

- La forma della sezione.

Prima della fessurazione si fa un’analisi elastica lineare per determinare lo stato tensionale.Prima della fessurazione si fa un’analisi elastica lineare per determinare lo stato tensionale.

Dopo la fessurazione si ha un comportamento non lineare ed evolutivo fino alla rottura.

La rottura a taglio è estremamente pericolosa perché ha spesso carattere di fragilità,

con modestissime deformazioni e dunque senza segni premonitori.

Tipi di rottura nelle travi con armatura a taglio osservati sperimentalmente:

- Rottura per flessione pura (1): duttile o fragile (travi molto resistenti a- Rottura per flessione pura (1): duttile o fragile (travi molto resistenti a

taglio);

- Rottura per taglio dovuta a fessura obliqua (2): in presenza di insufficiente

armatura d’anima; duttile o fragile se l’armatura a taglio è al di sotto delle

percentuali minime;

- Rottura per taglio-flessione (3): la fessura di flessione è inclinata dall’effetto

di taglio e penetra nella zona compressa riducendone l’efficacia;

- Rottura per compressione d’anima (4): per compressione obliqua nel caso

di travi a T ad anima stretta; fragile;

- Rottura per scorrimento dell’armatura (5): scorrimento dell’ancoraggio

delle armature tese in prossimità dell’appoggio; fragile.

Le sperimentazioni su questo tipo di trave hanno mostrato che esse forniscono una

buona resistenza al taglio. Si è visto inoltre che, dopo la formazione delle fessure

sub-verticali, il funzionamento della trave non segue lo schema arco-tirante, ma i

regimi di sollecitazione della fase elastica vengono approssimativamente

mantenuti grazie ad effetti supplementari (effetto ingranamento, effetto spinotto

o effetto DOWEL , ecc…).

ELEMENTI STRUTTURALI PRIVI DI ARMATURA TRASVERSALE A TAGLIO

La rottura avviene quando si

innesca una fessura inclinata

che s’insinua nella zonache s’insinua nella zona

compressa, per cui gli effetti

supplementari diminuiscono, lo

sforzo nel tirante aumenta e si

determina il collasso.

In presenza della fessura inclinata:

Gli esperimenti hanno mostrato che

il valore di τu al quale s’innesca

la fessura obliqua dipende:

- Dall’armatura longitudinale

( )d

axMN l

S ⋅

+≅

9,0

( )etraslaziondellaregola

daSe l ⋅≅⇒°≅ 5,130θ

M(x+al) è il momento relativo alla posizione

(x+al). Per conoscere Ns in x non mi rifaccio

al momento M in x ma ad M in (x+al).

- Dall’armatura longitudinale

As1, specie se ben ancorata e

di piccolo diametro;

- Dalle dimensioni dell’inerte

(inerti di grossa dimensione

migliorano l’ingranamento);

- Dall’altezza della trave, in

quanto al crescere di d

diminuisce l’ingranamento

(denti più flessibili);

- Dal rapporto a/l (vicino gli appoggi si ha un effetto arco). db

Vuu ⋅⋅=

9,0τ

La verifica di sicurezza di travi senza armatura trasversale si traduce dunque in un a

verifica a taglio sul conglomerato e in una verifica a flessione con la regola della

traslazione del diagramma dei momenti.

- VERIFICAARMATURALONGITUDINALE

Tale armatura dovrà essere preferibilmente continua su tutta la luce e dimensionata

con:

( )( )momentodiagrammaetraslaziondellaregola

dVMVM ddd ⋅⋅+= 5,1

- VERIFICADEL CONGLOMERATO- VERIFICADEL CONGLOMERATO

In base a considerazioni sperimentali si assume che la

fessura che porta al collasso si verifiche quando:

( )..9,025,0 0

0

rettsezdhconfhb

Tctd ⋅=⋅=

⋅=τ

( ) δρ ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=≤ dbrfVV wlctdRSd 50125,0

bw

h0d

( )lρ⋅+501 Effetto spinotto

δ Effetto ingranamento

Ove:

d = altezza utile;

bw = larghezza membratura resistente al taglio;

fctd = resistenza di calcolo del calcestruzzo a trazione;

d ≤ 0,6 m (espressa in metri);( )dr −= 6,1

in presenza di sforzo normale di trazione; 0

02,0≤⋅

=db

A

w

Sl

lρ Percentuale armatura tesa

ASl = area armatura longitudinale di trazione ancorata al di là dell’intersezione

con la fessura a 45°;

M0 = momento di decompressione riferito alla fibra estrema su cui agisceMsdu;

MSd = momento agente massimo di calcolo nella regione ove si effettua la

verifica a taglio (MSd ≥ M0).

in presenza di sforzo normale di trazione;

in presenza di sforzo normale di compressione;

in assenza di sforzo normale;

+=

1

1

0

0

SdM

Mδ

)cot(cot βα ggs

zm +⋅=

Teoria classica del traliccio di MTeoria classica del traliccio di MöörschrschE’ la teoria di riferimento per il progetto e verifica alle tensioni ammissibili.

ed il rapporto tra armatura ed unità

di volume:

αρ

sensb

ASww ⋅⋅

=

Si definisce molteplicità del traliccio:

Facendo gli equilibri:

αsensbww ⋅⋅

( )( ) ββσ

ασ

sensbAconTsenAm

TsenAm

wCwCwMCw

SwMSw

⋅⋅==⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

,

,

ove:

� σSw,M = tensione nell’armatura trasversale;

� σCw,M = tensione nella biella di cls;

� ASw = area dell’armatura trasversale;

� ACw = area della biella di cls.

Da cui, sostituendo m e ACw:

( )

( ) ( ) ααβρτ

ααβαα

τ

ααβασ

2

,

cotcotcotcot

cotcot

senggsengg

sensb

senA

senggAs

z

T

senAm

T

w

w

Sw

SwSw

MSw

⋅+⋅=

⋅+⋅⋅⋅

⋅

=⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=

avendo definito l’indicatore di sollecitazione a tagliozb

T

w ⋅=τ

zbw ⋅

( )

( )

( ) βαβτ

βαββ

βαββσ

2

,

cotcot

cotcot

cotcot

sengg

senggsenzbz

s

T

senggAs

z

T

senAm

T

w

CwCw

MCw

⋅+=

=⋅+⋅⋅⋅⋅

=⋅+⋅⋅

=⋅⋅

=

Usualmente si può porre:

z ≅ 0,9⋅d e β = 45°

Nel caso specifico delle staffe con α = 90°, dunque:

( )..9,0

ATverificadiformula

staffeareaA

staffebraccin

staffepassos

doveAnd

sT

st

st

Sw

=

=

=

⋅⋅⋅⋅

=σ

9,0 And ⋅⋅⋅⋅ σ

( )..

9,0

9,0

ATprogettodiformule

nd

sTA

T

Ands

S

st

Sst

⋅⋅⋅⋅

=

⋅⋅⋅⋅=

σ

σ

L’attendibilità dello schema di Mörsch è stata studiata mediante una serie di campagne

sperimentali condotte presso diverse università ed istituti di ricerca.

Esse hanno riguardato diverse problematiche:

- Efficacia differenti armature d’anima:

- Barre rialzate (fenomeno negativo dello splitting; poco efficaci);

- Staffe verticali chiuse (mediamente efficaci);

- Staffe inclinate chiuse (molto efficaci);

- Influenza della larghezza d’anima (Vd = Vωs,M + ∆, con ∆ che decresce col rapporto

b/bw);

- Inclinazione delle fessure d’anima (varia col rapporto b/bw);

- Armatura necessaria per la resistenza a taglio;- Armatura necessaria per la resistenza a taglio;

Nel caso di travi con poca armatura trasversale si osserva una diminuzione di β (da

40° ÷ 45° ⇒ 30° ÷ 35°): si rileva dunque come la struttura poco armata riduce gli

sforzi d’anima caricando ulteriormente le armature del corrente teso.

- Inclinazione del corrente compresso;

Una quota di taglio viene trasferita sull’appoggio direttamente da tale effetto, essendo

sottratta allo schema di Mörsch. Ne consegue una diminuzione del braccio di leva

ed un aumento dello sforzo nel corrente inferiore ⇒ regola della traslazione.

Vd : taglio assorbito

Vws,M: taglio assorbito secondo il modello di MORSCH

- Sforzi nelle bielle compresse;

Esse risultano superiori a quelle previste dallo schema di Mörsch. Il traliccio

reale è iperstatico; le bielle compresse sono più rigide e si caricano di più;

le bielle tese si scaricano, anche a causa degli effetti supplementari.

( )

( )

0,5 45

0,9 30

S

S

S

MV con trave molto armata a taglio

zN

MV con trave poco armata a taglio

z

β

β

+ ⋅ ≅ °

≅ + ⋅ ≅ °

Eurocodice 2: applico metodo con β variabile

le bielle tese si scaricano, anche a causa degli effetti supplementari.

- I carichi prossimi agli appoggi si scaricano direttamente riducendo

drasticamente gli sforzi sulle armature trasversali.

Dallo schema di Mörsch si trovano i seguenti tagli resistenti di calcolo:

( )

( ) compressebiellesenggfdbV

tesebiellesenggfds

AV

cdMdS

ydSw

MdS

ββα

αβα

ω

ω

2

,2

,1

)(cot)(cot9,0

)(cot)(cot9,0

⋅+⋅⋅⋅⋅=

⋅+⋅⋅⋅⋅=

Influenza della larghezza d’anima:

Lo schema modificato deve tener conto dei risultati sperimentali, ed in particolare:

- La sottostima degli sforzi nelle bielle compresse e la sovrastima in quelle tese;

- Le resistenza al taglio supplementare offerta dall’inclinazione del corrente

compresso ed altri effetti;

- L’aumento di sforzo nei correnti tesi (regola di traslazione dei diagrammi

momento);

- Verifica del conglomerato (normativa Italiana):

( )( )splittingtimorepiegatiferriestaffedbfV

inclinatestaffegbdfV

wcdd

wcdd

⋅⋅⋅≤

+⋅⋅⋅⋅≤

30,0

1cot30,0 α

Derivano direttamente da Vcωd2,M imponendo β = 45° e limitandosi ad una

resistenza del cls a compressione pari a 2/3 fcd (tiene conto della sottostima

operata dallo schema di Mörsch);

- Verifica armatura trasversale (normativa Italiana):

( )

δ

αα

⋅⋅⋅⋅=

+⋅⋅

⋅⋅=

+≤

dbfV

sens

dfAV

VVV

wCtdCd

ydSSd

CdSdd

60,0

cos90,0

- Almeno il 40% di VSd deve essere affidato alle staffe;

- Verifica dell’armatura longitudinale:

- Traslazione del diagramma dei momenti flettenti nel verso che dà luogo ad

un aumento del valore assoluto del momento della quantità:

( ) dgda ⋅≥−⋅⋅= 2,0cot19,01 α

( ))(cot1 αg− dalla teoria di MORSCH

STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.STRUTTURE DI FONDAZIONE IN C.A.- Fondazioni isolate – plinti;

- Travi o reticoli di fondazione;

- Platee;

- Pozzi di fondazione;

- Fondazioni su pali.

PlintiPlintiDistribuzione delle tensioni: a) su sabbia b) su argilla

In generale la situazione è

intermedia e non facilmente

prevedibile.

a) su sabbia

rifluimento plasticizzazione

b) su argilla

h

l

SNELLI l/h ≥ 2PLINTI MEDI O TOZZI 0,5 < l/h < 2

NONARMATI l/h ≤ 0,5

Modelli di calcolo:

PLINTO SNELLO

c

⇐ Modello a 4 mensole se c/b > 0,2

b

c

0,15 c

⇐ Modello a 2 mensole se c/b ≤ 0,2 (a favore di stabilità)

Andamento delle sollecitazioni flettenti:

Il momento si concentra sulla linea del pilastro, dove sarà consigliabile un

infittimento dell’armatura.

circa 45°

⇐ Punzonamento (verifica al taglio):

Si suppone 45° anche se nella realtà è

circa 33°

perimetrowcondw

TC =≤

⋅= 0ττ

circa 70% ATot

h/2

N

Se la verifica precedente non è soddisfatta conviene aumentare l’altezza del plinto (più

economico). Solo in ultima istanza si prevedono ferri piegati: in tal caso il plinto

sarà più deformabile e soggetto a fessurazioni.

ARMATURE

30 cm

almeno 3

staffe

todini φ12

hI

10 cm

Copr.

5 cm

Staffoni

Staffoni e ferri

piegati

PLINTO MEDIO

b

Il colletto va di circa 5 cm per poter casserare il

pilastro.

Trazione: necessaria armatura.

b

b

N2

βN2

Si calcola T, (tiro nell’armatura) da cui la verifica.

Sono automaticamente soddisfatte le verifiche a

punzonamento o taglio.

N2

β

T

C

PLINTO NON ARMATO

Non è necessaria armatura specificatamente progettata per assorbire le sollecitazioni.

Tuttavia è necessario predisporre 30÷40 Kg d’armatura al m3 di cls, per assorbire

fessurazioni dovute al ritiro.

N2

b

α 50°

trazione

nel cls

Reticoli di fondazione e travi rovesceReticoli di fondazione e travi rovesceTelai deformabili (esempio edifici tozzi)

Sforzi provenienti dal telaio

Modello di riferimento: trave su

appoggio elastico

Telai rigidi (esempio zona sismica)

La fondazione si muove rigidamente

Nei casi intermedi: inviluppo delle sollecitazioni provenienti

dai 2 modelli.