+

Stringhe Relativistiche Classiche

Gabriele Pompa 11/11/2010

+UNIFICARE

  1819 - Oersted: Campo orientante generato da spira percorsa da corrente.

  1831 - Faraday: Campo magnetico variabile nel tempo genera campo elettrico.

Ridurre più cose o parti a un tutto unico, riunirle insieme in un tutto omogeneo (fonte: Enciclopedia Treccani)

  1865 - Maxwell: Equazioni della Elettrodinamica.

  Primi del ‘900 - Einstein:   Spazio e Tempo: Nozioni correlate.

  E = mc2 Energia �massa

  Anni ‘20 - Meccanica Quantistica: Osservabili Operatori

  Oggi:   Modello Standard

  Gravità classica

versione quantistica della gravità per:   Universo primordiale

  Buchi neri

+UNA PROPOSTA

  Unico ente fondamentale: Stringa ⇒ particelle ≡ modi vibrazionali

  Non contiene parametri variabili

  Dimensionalità spazio - tempo dedotta: 10-D � a bassa energia: 4-D

  Predice esistenza gravità: gravitone è un modo vibrazionale.

  MA: (ad oggi) non esistono verifiche sperimentali

La Teoria delle Stringhe

+SOMMARIO 1.  Nozioni di geometria differenziale

2.  Linguaggio relativistico

3.  Elettrodinamica relativistica

4.  Meccanica lagrangiana

5.  Foglio - universo

6.  Invarianza di Lorentz

7.  Azione di Nambu-Goto

8.  Invarianza per riparametrizzazione

9.  Equazioni del moto

10.  Condizioni al bordo

11.  Gauge statico

12.  Stringa statica

+NOZIONI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE   varietà M, d-dim � carta ( Up,f ) locale: Up � x � ( x1, …, xd ) � Ad � Rd �

ATLANTE( domini ricoprono Md )

  struttura differenziabile: diffeomorfismo CAMBIO di COORDINATE di classe C∞: y = y( x1, …, xd ) =1,…,d

  SUPERFICI:   sub-varietà 2-dim immersa in spazio d-dim: foglio-universo

  equazioni cartesiane regolarità da: rg = 2

  SPAZIO TANGENTE: TpM � vettori tangenti in p

  FIBRATO TANGENTE: � TpM = TM � campo vettoriale: x�M � dX � T

  Linee coordinate �, � vettori X e X’ tangenti in p: rg( J ) = 2 �p � { X, X’} base puntuale su TpM:

dX = X d� + X’ d = — d��

f

X0 = X0 (�, )

Xd = Xd (�, )

…

∂�X0 ∂�Xd

∂ X0 ∂ Xd

…

…

P�M

.

. .

. ∂X

∂��

+LINGUAGGIO RELATIVISTICO   Estensione formalismo di Einstein a spazio-tempo (1+9) – dim

  Sistemi inerziali: vale primo principio dinamica

  Trasformazione di Lorentz

•  c: costante universale indipendente da S.I. •  trasformazioni unitarie: preservano norma di

Minkowski: ∆s2 = - ( c∆t )2 + ∑ ( ∆xi )2

  Invarianza di Lorentz della distanza tra punti rispetto a S.I. scelto per misurarla

  Tensore metrico: � = diag ( -1, 1, 1, 1 ) � ds2 = � dx dx

  Suddivisione causale spazio-tempo: quadri-vettori genere

i

tempo ( c∆t )2 > ∑ ( ∆xi )2 luce spazio

i

+ELETTRODINAMICA RELATIVISTICA   Sistema di Heaviside-Lorentz: c = h = 1 � L = T = E-1

  Equazioni di Maxwell: omogenee non omogenee

  Campi derivabili da potenziali: 4-vettore potenziale: A = ( -�, A )

  Tensore elettromagnetico: F = ∂A - ∂A

  Eq. omogenee in forma covariante T� = ∂�F + ∂F� + ∂F� = 0 identicamente soddisfatte da A

  T� totalmente anti-simmetrico: = 4 eq. indipendenti: le eq. di Maxwell omogenee

  Densità di corrente J = ( �, J ) � ∂F = — J

  Estensioni di E e B a più dimensioni

� × E = - — —

�·B = 0

1

c

∂B

∂t �·E = �

� × B = — J + — — 1

c

∂E

∂t

1

c

4

3

1

c

+MECCANICA LAGRANGIANA

  Sistema puntiforme

  Lagrangiana: L { x, ∂tx } = 0, …, d

  � = { x(�) } : linea-universo � orientamento: futuro

  Azione: S = ∫ L ds = ∫ L {x, ∂tx } d�

  Variazioni del cammino: nulle agli estremi temporali

  Principio di Hamilton: moto fisico � �S = 0 � { x} soddisfa equazioni moto

� �i

�f

+FOGLIO - UNIVERSO

  topologicamente: striscia / tubo

  stringa: X0 = cost

  localmente: piano tangente

•  direzioni space-like: definiscono stringa (eventi simultanei in un S.I.)

•  direzioni time-like: definiscono direzione moto fisico

impossibile tracciare traiettoria singoli punti

  esistenza direzioni space-/time-like in ogni punto: condizione moto fisico

- � = ( X · X’ )2 - || X||2 || X’||2 > 0

�

. .

+INVARIANZA DI LORENTZ

  Equazioni del moto invarianti per trasformazioni di Lorentz: valide in un sistema di riferimento � valide sempre

  Azione � scalare di Lorentz

  punto materiale ( 0 – dim ): tempo proprio dtp � lunghezza propria: c dtp = ds

  Stringa ( 1 – dim ): area propria dA

Moto “fisico” in un S.I. ( � risolve eq. del moto), “proibito” per altro osservatore.

ALTRIMENTI

2 osservatori d’accordo: Azione su quella linea-universo è stazionaria per entrambi

linea-universo soddisfa eq. del moto in entrambi i sistemi di riferimento

PRINCIPIO DI HAMILTON

+AZIONE DI NAMBU-GOTO

  Parametrizzazione foglio-universo: �� (�i , �f ) , � ( 0 , 1 )

  Punto p � TpM � { X, X’} su TpM � parallelogramma di lati X d� e X’ d

  Identifico: dA � area parallelogramma = d� d √� dove: �=

  Tuttavia: � < 0 � Area propria = ∫ d� d √ -�

  Dimensione: [ ] = L , [ � ] = T , [ � ] = # � [A] = L2 � [Azione] = E T = # L2

  tensione di stringa: [ T0 ] = N = M #

  Azione di Nambu-Goto: SN-G = - # ∫ d� d √ -�

.

X · X’

X · X’

|| X’||2

|| X||2

.

.

.

.

L4

T2 L2

M

T

L

T2

T0

c

+INVARIANZA PER RIPARAMETRIZZAZIONE

  Fisso osservatore � ¿ Azione dipende da parametrizzazione ( �, ) scelta?

  � = det ( { ��� } ) � { ��� } : metrica indotta su superficie del foglio-universo dalla metrica definita nello spazio tempo

  Riparametrizzazione con matrice Jacobiana: � = # , �-1 = #

  {��� } = (�-1)T {�ij } �-1 � � = det(�-1)T �’ det(�-1) � integrando: √-� = √-�’$det(�-1)|

  Elemento di superficie: d�d = $det(�)|d�’ d ’

  ∫ d� d √ -� = ∫ d�’ d ’ $det(�)|√ -�'$det(�-1)| = ∫ d�’ d ’ √ -�’

Intuitivamente: NO! SN-G � Area

�’ = �’( �, )

’ = ’( �, )

∂��

∂�’ i

∂�’ i

∂��

+EQUAZIONI DEL MOTO

  Forma del foglio-universo tale che: �SN-G = 0

  Densità di Lagrangiana: £ ( X, X’ ) = - # √-�( X, X’ ) � SN-G = ∫ d ∫ d�£ ( X, X’ )

  Variazioni nulle agli estremi temporali: �X( �i , ) = �X( �if, ) = 0

  Definisco: P � = # e P = #

  �SN-G = ∫ d [ �X P � ] + ∫ d� [ �X P ] - ∫ d� ∫ d �X ## + ##

  Equazioni del moto stringa relativistica: ## + ## = 0 = 0, …, d

T0

c 0

1

�i

�f

∂£

∂X

∂£

∂X’

0

1

�i

�f

�i

�f

0

1

0

1

�i

�f ∂ P�

∂�

∂ P

∂

CONDIZIONI INIZIALI E FINALI CONDIZIONI DI BORDO EQUAZIONI DEL MOTO

∂ P�

∂�

∂ P

∂

. . .

.

+CONDIZIONI AL BORDO

  2 ( d+1 ) condizioni:   di Dirichlet:

•  Variazione nulla coordinate spaziali estremi stringa •  ≠ 0 : se � varia, t varia

  ad estremi liberi: •  Non impongono alcun vincolo alla variazione degli estremi •  Coordinate temporali soggette solo a queste

  Stringhe:   Chiuse: non hanno estremi � nessuna condizione al bordo

  Aperte: condizioni di Dirichlet � estremi giacciono in una D-brana

spazio d-dim: n coordinate spaziali vincolate � estremi ancorati a una ( d-n ) - brana

+GAUGE STATICO

  Azione di Nambu-Goto invariante per riparametrizzazione

  Parametrizzazione parziale:  

•  Stringa aperta: � [ 0, 1 ] •  Stringa chiusa: � [ 0, C

] : identificazione ( �, ) � ( �, + C )   �

•  X0 = cost : fotografa stringa a tempo t0

  Semplificazioni: X � c, #

X’ � 0, #

Gauge statico: due punti t – simultanei siano immagine di due punti �- simultanei

t � � � punto del foglio-universo

∂X

∂�

∂X

∂�

.

+LA STRINGA STATICA

  Applicazione gauge statico ( t ��): •  Stringa aperta allungata lungo asse X1 tra 0 e a •  X1 ( t, ) � X1 ( ) = f ( ) con:

•  Statica: X2, …, Xd = 0 � ( t, )

  Ulteriore semplificazione: X � c, 0, 0, …, 0

d-1 indipendenti da �� t

X’ � 0, f’, 0, …, 0

  Equazione del moto della stringa statica nel gauge statico: ## = 0 = 0, …, d

f(0) = 0 f( 1) = a f’ > 0

Mappa invertibile tra [ 0, a ] e [ 0, 1 ]

∂ P

∂

.

+LA STRINGA STATICA CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE

  ¿ questa configurazione è fisicamente realizzabile? SI! •  Soddisfa equazioni del moto •  Soddisfa condizioni di Dirichlet: estremi ancorati ad una (d-1)-brana

  Avevamo lasciato in sospeso: •  Segno negativo davanti alla azione di Nambu-Goto

•  T0 come tensione di stringa

  T = 0 � L = -V � - ∫ V dt

SN-G = - ∫ T0 dt

  Conclusioni:   Segno negativo corretto, pena V < 0 : Assurdo!

  T0 dimensionalmente corretto, meccanicamente corretto : T0 a = Epotenziale

ti

tf

ti

tf V = T0 a

+