Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 2 · Politecnico di Milano sede di...

Politecnico di Milano sede di Piacenza

Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 2



Esperimento aleatorio : esperimento il cui esito, non noto a priori, appartiene ad un determinato insieme di esiti plausibili.

Spazio degli esiti W : insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio.

Spazio degli eventi : ogni sottoinsieme F di P(W) che soddisfi le seguenti condizioni:

FFFF

FF

WW

i

121iv)i i i )

i i )i )

E,E,EEE

w

i



Evento elementare : ogni elemento di W Evento : ogni elemento di F

Evento certo : W Evento impossibile : ø

Eventi incompatibili : øEE 21

Evento elementare

E1 E2W



Esempi

Esperimento: durata (in ore) di una lampadina W=R+ F= P(W)

E1={100} evento elementare E2= [0 ; 500] evento

Esperimento: 3 lanci di una moneta W={CCC, CCT, CTC, TCC, CTT, TCT, TTC, TTT}

F= P(W) E1={ottenere tre croci} ={CCC} evento elementare

E2= {ottenere almeno due croci}={CCT, CTC, TCC, CCC} evento



W spazio degli esiti F spazio degli eventi

è una funzione di probabilità se:

i) P[W]=1

ii) E1, E2, … successione di eventi incompatibili ⇒

(W , F , P[.]) spazio di probabilità

10 ;:P F

11 iii

iEPEP



Proprietà di P[.]

212121

0

1

ø

EEPEPEPEEP)iii

P)ii

EPEP)i

E1 E2W



Esempio

Esperimento : estrazione di una pallina da un’urna contenente due palline rosse, unaverde e una blu.

W F= P(W)

P[ { } ] = 1/2 P[ { } ] = 1/4 P[ { } ] = 1/4

P[ { , } ]=3/4 P[ { , } ]=3/4 P[ { , } ]=1/2

P[W]=1 P[∅]=0

(W , F , P[.]) spazio di probabilità



Esempio

Esperimento : lancio di un dado.

W={1, 2, 3, 4, 5, 6} F= P(W)

A={ottenere un numero >4} B= {ottenere un numero pari}

P[ A] = P[ {5,6} ] = 1/3 P[ A ] = P[ {1,2,3,4} ] = 2/3

P[A∪B] = P[A]+P[B]-P[A∩B] = P[ {5,6} ] + P[ {2, 4, 6} ] - P[ {6} ] = 1/3+1/2 -1/6=2/3



(W , F , P[.]) spazio di probabilità A, B ∊ F P[B]>0

P[ A | B ] = probabilità di A a condizione di B ≝

BP

BAP

P[A] = 4/11 P[A|B] = 2/5



La funzione P[.|B] è una funzione di probabilità, in quanto soddisfa gli assiomi richiesti:

ii) E1, E2, … successione di eventi incompatibili :

Quindi (W , F , P[. |B]) è uno spazio di probabilità.

1

WW

BP

BP

BP

BPBPi)

11

111

1 ii

i

iiii

ii

i

ii

BEPBP

BEP

BP

BEP

BP

BEP

BP

BEPBEP



Esempio

Esperimento : 3 lanci di una moneta.

A = {almeno una T} B = {meno di due T}

T T T T C T T T C C T T C T C T C C C C T C C C

21

83

4

3

8

7

/

/

BP

ABPBAPAP

W

B

A



Teorema delle probabilità totali

Siano:(W , F , P[.]) spazio di probabilità

B1, B2, …, Bn ∊ F tali che ∀i P[Bi]>0 , ∀i ≠j Bi∩Bj=∅,

A ∊ F

Allora:

Dimostrazione

i

n

iB

1

W

i

n

ii BPBAPAP

1

i

n

ii

n

iii

n

ii

n

iBPBAPBAPBAPAPBAA

1111

B1

B2

B3

B4

A



Esempio

Esperimento : due estrazioni successive senza reimmissione di palline da un’urnacontenente due palline rosse, una verde e una blu.

A={ la seconda pallina estratta è rossa}

R={la prima pallina estratta è rossa}V={la prima pallina estratta è verde}B={la prima pallina estratta è blu}

P[A] = P[A|R] P[R]+ P[A|V] P[V]+ P[A|B] P[B]=

Eventi incompatibili e tali che W = R∪B∪V

2

1

4

1

3

2

4

1

3

2

2

1

3

1



1a estrazione

2a estrazione



Teorema di Bayes

Siano:(W , F , P[.]) spazio di probabilità

B1, B2, …, Bn ∊ F tali che ∀i P[Bi]>0 , ∀i ≠j Bi∩Bj=∅,

A ∊ F

Allora:

i

n

ii

kkkkk

BPBAP

BPBAP

AP

BPBAPABP

1

i

n

iB

1

W



Esempio

Esperimento : due estrazioni successive senza reimmissione di palline da un’urnacontenente due palline rosse, una verde e una blu.

A={ la seconda pallina estratta è rossa}

R={la prima pallina estratta è rossa}V={la prima pallina estratta è verde}B={la prima pallina estratta è blu}

3

1

21

41

32

AP

VPVAPAVP



1a estrazione

2a estrazione



(W , F , P[.]) spazio di probabilità A, B ∊ F P[A], P[B]>0

A e B stocasticamente indipendenti ⟺

Equivalentemente:

A e B stocasticamente indipendenti ⟺ P[A|B]=P[A] o P[B|A]=P[B]

NotaA e B indipendenti ⟺

BPAPBAP

tiindipenden B e A

tiindipenden B e A

tiindipenden B e A



Esempio

Esperimento : 3 lanci di una moneta truccata, con P[T] = 0.25 P[C] = 0.75

A = {esce sempre lo stesso risultato} = {T T T , C C C}

B = {esce al più una T} = {T C C , C T C , C C T , C C C}

A∩B={C C C}

P[A] = 0.253+0.753 = 0,422 P[B]=3(0.25)(0.75)2+0.753 = 0,659

P[A ∩ B]= 0,015625 ≠ (0,422) (0,659) quindi A e B sono dipendenti

Se la moneta fosse equilibrata: P[A] = 0.25 P[B] = 0.5 P[A ∩ B]= 0.125 = (0.25) (0.5)

quindi A e B indipendenti.

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