StatI Cours6

8/17/2019 StatI Cours6

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Dispersion Asymétrie Résumé Données groupées

Statistiques I

Alexandre Caboussat

[email protected] : Mercredi 8h15-10h00

Salle: C114http://campus.hesge.ch/caboussata

A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 1 / 45

http://-/?-


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Exemple de quantiles

Données:

1, 5, 7, 12

α = 27



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Exercice 4.7

Le nombre d’abonnés au haut débit en Suisse a évolué de la

manière suivante:Anńee [mois=décembre] xDSL Câble2000 4416 520002001 42935 1143292002 199144 2600002003 487497 3500002004 802000 480000

Calculer pour les deux séries de données xDSL et Câble, lamoyenne, la médiane, l’étendue, les quartiles

Construire le Boxplot (bôıte à moustaches) pour chacune des

deux séries de donnéesCommenter les Boxplot obtenus (Les distributions sont-ellesde même dispersion?, Y a-t-il de l’asymétrie?)



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Exercice 4.7





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Exercice 4.7



0 e + 0 0

2 e + 0 5

4 e + 0 5

6 e + 0 5

8 e + 0 5

DSL

1 e + 0 5

2 e + 0 5

3

e + 0 5

4 e + 0 5

Cable


Di i A ´ i R´ ´ D ´ ´


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Exercice 4.8

N Valide 15Manquant 0

Moyenne 1999Médiane 2000Mode 2002Ecart-type 3.742Variance 14Minimum 1994Maximum 2005

Percentiles 25 199550 200075 2002


Di i A t́ i R´ ´ D ´ ´


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Dispersion Asymetrie Resume Donnees groupees

Définitions

La variance d’une population, notée σ

2

, est la moyenne des carrésdes écarts à la moyenne

σ2 = 1

N

N i =1

(x i − µ)2,

où N est le nombre d’individus et µ la moyenne de la variable x .

L’écart-type d’une population, noté σ, est défini par la racinecarrée de la variance:

σ =√

σ2 =

1N

N i =1

(x i − µ)2 = 1

N (

N i =1

x 2i − N µ2)




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Définitions

La variance d’un échantillon, de taille n, notée s 2, est

s 2 =

1

n

−1

ni =1

(x i − x̄ )2,

L’écart-type d’un échantillon de taille n , noté s , est

σ = √ σ2 =

1

n − 1n

i =1

(x i − x̄ )2 =

1

n − 1 (n

i =1

x 2i − nx̄ 2)




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Attention!

La variance d’un échantillon n’est pas définie de la même manière

que la variance d’une population.

En effet, la formule utilise la moyenne de l’échantillon au lieu de lamoyenne de la population (qui est inconnue puisque l’on a recoursà un échantillon!).

Or la moyenne de l’échantillon est (par définition) parfaitementcentrée au milieu de l’échantillon, ce qui n’est en général pas toutà fait le cas avec la moyenne de la population. Par conséquent, lerésultat obtenu aura tendance à être ĺegèrement inférieur à celuique l’on aurait obtenu en utilisant la moyenne de la population. Lecalcul de la variance d’un échantillon utilise donc n − 1 commediviseur et non pas n pour corriger ceci.




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Exemple

Population: {3, 5, 5, 7, 10}.µ = 6, σ2 =

28

5 = 5.6, σ 2.37.




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Exemple

Echantillon: {3, 5, 7} ⊂ {3, 5, 5, 7, 10}.Si on divise par n:

x̄ = 5, s 2 = 8

3 2.67.

Si on divise par n − 1:x̄ = 5, s 2 =

8

2 = 4.




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p y g p

Remarque

Calculatrices:

le plus souvent écart-type associé à un échantillon

Attention de bien contrôler sur votre machine quelle formule estutilisée!




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p y g p

Coefficient de variation

Définition

Le coefficient de variation (CV) est le ratio entre l’écart-type et lamoyenne, exprimé en pourcent.

Population Echantillon

100σ

µ 100

s

x̄

Le coefficient de variation permet d’obtenir un indice général,indépendant des unités de mesure employées, contrairement àl’écart-type qui dépend de la moyenne et de l’unité de mesureutilisée.




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Coefficient de variation : Exemple

En finance, le CV mesure le risque relatif d’un portefeuille.

Supposons que le portefeuille A contient un ensemble d’actions etd’obligations donnant un rendement moyen de 12%, avec unécart-type de 3% (risque); un portefeuille B a un rendement moyende 6% avec un écart-type de 2%. Le coefficient de variationassocié à chaque portefeuille est :

CV (A) = 100 3

12 = 25% CV (B ) = 100

2

6 = 33%




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Indicateurs de Dispersion

Mesures d’asymétrie et d’aplatissement




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Objectif

Connâıtre et savoir interpréter:

la mesure d’asymétrie: Skewness la mesure d’aplatissement: Kurtosis




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Mesure d’asymétrie : Skewness

Définition

Le coefficient d’asymétrie skew est calculé ainsi

skew = n

(n − 1)(n − 2)n

i =1

(x i − µ)3σ3

où σ est l’écart-type de la population, et µ la moyenne.




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Valeurs d’asymétrie

skew 0

Étalement à gauche Étalement à droite

Commandes Informatiques

skewness (package fbasics) (R)coefficient.asymetrie (Excel FR)

skew (Excel AN)




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Mesure d’asymétrie : Exemple

Les pointures de chaussures d’un groupe de personnes sont

résumées dans le diagramme en bâtons suivant:




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Mesure d’asymétrie : Exemple

Les pointures de chaussures d’un groupe de personnes sont

résumées dans le diagramme en bâtons suivant:

La moyenne de ces 25 observations est de 36.8, l’écart-type de5.55,et le skew est de 486, ce qui correspond bien à un étalement à

droite.A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 17 / 45


M d’ l i K i


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Mesures d’aplatissement : Kurtosis

Définition

Le coefficient d’aplatissment kurtosis est calculé ainsi

kurt = An

i =1

(x i − µ)4σ4

− 3B

où σ est l’écart-type de la population, µ la moyenne, et

A = n(n + 1)

(n − 1)(n − 2)(n − 3) B = (n − 1)2

(n − 2)(n − 3)

sont des constantes d’ajustement.

Commandes Informatiqueskurtosis (R)

kurtosis (Excel FR)

kurt (Excel AN)A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 18 / 45


V l d’ l i


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Valeurs d’aplatissement

kurt > 0 kurt


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Exemple

La distribution du nombre de tasses de café bues en une journée à

la terrasse d’un bistro est :

11, 13, 18, 20, 21, 23, 25, 25, 27, 28,31, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 46, 54, 93



E l


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Exemple

La distribution du nombre de tasses de café bues en une journée à

la terrasse d’un bistro est :

11, 13, 18, 20, 21, 23, 25, 25, 27, 28,31, 34, 35, 41, 42, 43, 44, 46, 54, 93

On voit que cette distribution a une queue épaisse, à cause de lavaleur à 93. Pour cette distribution kurt=6.1. Si on remplace lavaleur 93 par 33, on obtient kurt=-0.38.



R´ ´


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Resume

Les mesures d’asymétrie Skewness et d’aplatissement Kurtosis sont

utiles pour déterminer la forme de la distribution. Ces mesuresutilisent dans leur calcul l’écart-type.



Synthèses numériques : Résumé


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Syntheses numeriques : Resume

Mesures de tendance centrale (positionnement)

Mode : valeur la plus fréquente (tous types de variables).

Moyenne arithmétique, moyenne tronquée (variablesquantitatives).

Médiane : 50% au dessous, 50% au dessus (variables

quantitatives et qualitatives ordinales).Mesures de dispersion (variables quantitatives uniquement) :

l’́etendue.

les quartiles et l’écart interquartile.

le boxplot.

l’écart-type et la variance d’une population vs dun échantillon.

Le coefficient de variation.



Synthèses numériques : Résumé


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Syntheses numeriques : Resume

Les mesures d’asymétrie Skewness et d’aplatissement Kurtosispermettent de connâıtre des caract’eristiques supplémentaires de la

distribution. Leurs calculs utilisent la moyenne et l’écart-type.

skew 0Étalement à gauche Étalement à droite

kurt > 0 kurt


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Données numériques groupées



Exemple


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Exemple

Délai d’expédition de l’entreprise Sun4all en février

classe fréquencei ni

1 [0 - 3[ 12 [3 - 6[ 03 [6 - 7.5[ 64 [7.5 - 9[ 75 [9 - 12] 5



Objectifs


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Objectifs

Avec des données numériques groupées, savoir déterminer

la classe modale

la moyennela médiane et les quartiles

l’écart type (et la variance)



Classe modale


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Classe modale

Définition

La classe modale est la classe ayant la plus grande fréquence.



Exemple: classe modale


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Exemple: classe modale


classe fréquencei ni

1 [0 - 3[ 1

2 [3 - 6[ 03 [6 - 7.5[ 64 [7.5 - 9[ 75 [9 - 12] 5

La classe modale est la classe [7.5 - 9[



Médiane


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Mediane

Définition

La classe médiane est la classe contenant la médiane. Parmi les

classes ordonnées, c’est la première dont la fréquence relativecumuĺee dépasse 0.5.

La médiane des données groupées est ensuite approchée parinterpolation linéaire.



Exemple: Médiane


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Exemple: Mediane


classe fréq. fréq. relative fréq. rel.x i ni f i = ni /n cumuĺee

1 [0-3[ 1 0.0526 0.0526

2 [3-6[ 0 0 0.05263 [6-7.5[ 6 0.3158 0.36844 [7.5-9[ 7 0.3684 0.73685 [9-12] 5 0.2632 1.0000

n=195

i =1

f i = 1

La classe médiane est donc [7.5 - 9[



Exemple (suite)


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Exemple (suite)

med (delai) = 7.5 + 0.5 − 0.36840.7368 − 0.3684 1.5 = 8.04

La vraie médiane est 8 (cf. chapitre précédent).



Cas particulier


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p

L’une des classes a une fréquence relative cumulée égale à 0.5,

alors la médiane est égale à la borne supérieure de cette classe.

La médiane vaut 170



Exemple (fictif)


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p ( )

classe fréq. fréq. relative fréq. rel.x i ni f i = ni /n cumuĺee

1 [0-3[ 1 0.1 0.12 [3-6[ 0 0 0.1

3 [6-7.5[ 4 0.4 0.54 [7.5-9[ 2 0.2 0.75 [9-12] 3 0.3 1.0

n=105

i =1

f i = 1

La classe médiane est donc [6 − 7.5[. La médiane est 7.5.



Moyenne


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y

Convention: chaque observation d’une classe est égale à la valeurcentrale de cette classe.

x =

c i =1

ni x i

n

c : nombre de classesni : fréquence de la i -ième classex i : valeur centrale de la i -ième classen : nombre total de données.



Exemple: Moyenne


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p y

Délai d’expédition de l’entreprise Sun4all en février.

classe fŕeq. val. centralex i ni x i

1 [0-3[ 1 1.52 [3-6[ 0 4.53 [6-7.5[ 6 6.75

4 [7.5-9[ 7 8.255 [9-12] 5 10.5

n=19

delai =

152.25

19 = 8.01


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