Geometria dello spazio

R. Notari

1

1. Piani.

Proposizione 1 Ogni piano di R3 si rappre-

senta tramite un’ equazione della forma

ax + by + cz + d = 0.

Viceversa, il luogo dei punti di R3 descritto

dall’ equazione precedente e un piano orto-

gonale al vettore→v = (a, b, c).

Proposizione 2 Siano A, B, C tre punti di R3.

I tre punti non sono allineati se, e solo se,

dimL(→

AB,→

AC) = 2. In questo caso, il piano

per i tre punti ha equazione→

AP ·→

AB ∧→

AC= 0

dove P (x, y, z) e il punto generico di R3, ovve-

ro i tre vettori→

AB,→

AC,→

AP sono linearmente

dipendenti.

2

2. Rette.

Proposizione 3 Siano A, B due punti distinti

e sia r la retta da essi individuata. P ∈ r se,

e solo se, i vettori→

AP,→

AB sono linearmente

dipendenti.

Proposizione 4 Siano α e β due piani, orto-

gonali ai vettori→v = (a, b, c) e

→u= (a′, b′, c′),

rispettivamente. L’ intersezione di α e β e

una retta se, e solo se, dimL(→v ,

→u) = 2. In

questo caso, la retta r = α ∩ β e parallela al

sottospazio L(→v ,

→u)⊥ = L(

→v ∧ →

u).

Proposizione 5 Sia

r :

{ax + by + cz + d = 0a′x + b′y + c′z + d′ = 0

una retta. I piani che contengono r sono tutti

e soli quelli di equazione

λ(ax+by+cz+d)+µ(a′x+b′y+c′z+d′) = 0.

3

3. Mutua posizione di due rette.

Proposizione 6 Siano

r :

{ax + by + cz = da′x + b′y + c′z = d′

ed

s :

{ex + fy + gz = he′x + f ′y + g′z = h′

due rette, e sia AX = B il sistema che de-

scrive la loro intersezione. r ed s sono co-

incidenti se r(A) = r(A|B) = 2, sono inci-

denti se r(A) = r(A|B) = 3, sono parallele

se r(A) = 2, r(A|B) = 3, sono sghembe se

r(A) = 3, r(A|B) = 4.

Teorema 7 Siano r ed s due rette sghembe.

Allora esiste un unico piano contenente r (ri-

spettivamente s) e parallelo ad s (risp. r).

Infine, esiste un’ unica retta ortogonale ed

incidente sia r sia s.

4

4. Distanze.

Proposizione 8 Sia A un punto di R3, e sia

r una retta. Allora

d(r, A) =|→

BA ∧ →v |

| →v |

dove B ∈ r, e→v e un vettore parallelo ad r.

Proposizione 9 Sia A(xA, yA, zA) un punto

di R3 e sia α : ax + by + cz + d = 0 un

piano. Allora d(α, A) = |projL(→v )

(→

BA)| =

= |axA+byA+czA+d|√a2+b2+c2

dove B ∈ α e→v e un vet-

tore ortogonale ad α.

Proposizione 10 Siano date le rette sghem-

be r ed s. Allora

d(r, s) =|→

AB ·→

BC ∧→

CD |

|→

AB ∧→

CD |dove A, B ∈ r e C, D ∈ s.

5

5. Sfere.

Proposizione 11 Ogni sfera si rappresenta

tramite un’ equazione della forma

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0.

Viceversa, ogni equazione della foma prece-

dente rappresenta una sfera reale se

a2 + b2 + c2 − 4d > 0.

Proposizione 12 Sia σ la sfera di centro C

e raggio R, e sia A ∈ σ. Una retta r per A

e tangente a σ se, e solo se, d(C, r) = R,

ovvero se, e solo se, la proiezione ortogonale

di C su r coincide con A. L’ insieme delle rette

tangenti a σ in A forma il piano tangente che

e l’ unico piano per A ortogonale al vettore→AC .

6

6. Circonferenze.

Proposizione 13 Ogni circonferenza e l’ in-tersezione di un piano e di una sfera, e quindie della forma{

a′x + b′y + c′z + d′ = 0x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0.

Data una circonferenza γ della forma prece-dente, il piano che la contiene e unico, mentreogni sfera che la contiene ha equazione dellaforma

x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d+

+t(a′x + b′y + c′z + d′) = 0

al variare di t ∈ R. I centri di tali sfere sonotutti allineati.

Proposizione 14 Sia α un piano e sia σ lasfera di centro C e raggio R. α ∩ σ e unacirconferenza se d(C, α) < R. In questo caso,il centro della circonferenza e la proiezioneortogonale di C su α mentre il raggio dellacirconferenza e

R′ =√

R2 − d(C, α)2.

7