Spazio e tempo II

Nelle prime lezioni abbiamo usato un modello molto semplice della realtà:

Si può descrivere lo spazio con un sistema di coordinate fatto da metri, e questi non dipendono da noi in nessun modo, ma sono una cosa “per conto loro”, è la stessa cosa per il tempo, che viene misurato con un orologio tutto indipendente da noi.

In parte questo concetto viene espresso in modo scientifico con le trasformazioni di Galilei

Galileo Galilei (1564-1642): matematico, filosofo, fisico (ha studiato anche medicina), “…il suo contributo più importante consiste nel suo nuovo punto di vista della natura della conoscenza fisica…”. Al suo tempo era anche considerato un criminale asociale, minacciato con la tortura e chiuso gli ultimi 8 anni della sua vita in casa – nonostante avesse promesso di migliorare.

x

y

etcxx ,,

y

dt

dxx

S

S’

Attenzione!: nella discussione della relatività si usa chiamare le variabili

Non si tratta però della derivata x

x

è solo un nome

xpunto

In S il punto ha le coordinate:

=> In S’ il punto ha:

trasformazione di Galilei

tyx ,,

,tvxx ,yy tt

S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S

0tt 0xxper

x

yy

S

S’ x

,tvxx

,yy tt

Con le trasformazioni di Galilei, la lunghezza di un oggetto non cambia, non dipende dal osservatore

12 xxx 121212 xxtvxtvxxxx

1x 2x

x

yy

SS’ xv

E le velocità – che sono velocità relative -, si sommano:

Un oggetto si muova nel sistema S’ con velocità v’ (più precisamente: un osservatore che sta fermo in S’, usando S’ per descrivere la posizione di un punto, misura che detto oggetto si muove a velocità v)

1x 2x

Partenza dell’oggetto in S (al tempo t): tvxx 11

Arrivo (al tempo t+t): )(22 ttvxx

vvvt

xx

t

tvxx

t

xx

121212

t

xxv

12

Visto da S, l’oggetto si muove a velocità:

Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galilei, velocità si sommano, non sono una proprietà del oggetto, ma dipendono dal sistema di riferimento scelto dall’osservatore – e non c’è nessun limite di velocità.

Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galileiuna velocità assoluta non è prevista, non è possibile, non è pensabile

Esiste invece una cosa che ha una sua velocità:

La luce. Viaggia sempre con velocità s

kmc 000.300

c

c

c

ccv 21

c

cv 21 cv 2

1

c

x

yy

S

S’

xx x

S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S

punto(1) punto(2)

Se un segnale di luce, che viaggia

da punto (1) a punto (2)

viene osservato da S e da S’ con la stessa velocità = c

segue qualitativamente che la lunghezza di un metro e/o la velocità di cammino di un orologio devono essere diverse per S e S’.

Per una discussione quantitativa usiamo un “orologio di luce”:

tic

tac

Un raggio di luce rimbalza fra due specchi,

Quando viene riflesso in alto, il orologio fa “tic”, quando viene riflesso in basso, fa “tac”.

l’osservatore S la vede come segue:

x

y

vista da S, la luce ha una velocità veff per superare la distanza l di

l

c

lt 0

c

veffv

22 vcveff

L’orologio viaggia con S’ a velocita’ v ed e’ fermo rispetto a S’

=> (“t0“ perche x(tic) = x(tac))c

lt 0

)()( tacxticx

x

y

c

veffv

22 vcveff

22 vc

lt

1

1

1

2

222

22

0

c

vvc

c

c

lvc

l

tt

c

lt 0

22 vcveff Con:

20

1 cv

tt

21

1

cv

0tt con Dilatazione

del tempo

0:00

0:00

5:30

6:00

v

orologio B

orologio A

orologio B

orologio C

fermo

fermo

vOrologi in movimento sono più lenti,

per un fattore

2

2

1

1

cv

5:00

0:30

5:00

ding -dongding -

dong

6:00

0:00

Quando avete suonato le campane?

Un ora fa

Strano, loro suonano le

campane alle

5.30

Eventi che succedono contemporamente per l’osservatore “fermo”, non succedono contemporamente per l’osservatore in viaggio

E: Le particella muoni sono instabili, con

Vita media di 2.200 s (muoni fermi, orologi fermi in laboratorio)

Se invece i muoni sono in movimento attraverso il laboratorio (con velocità v=0.9994c)

la vita media misurata con gli orologi del laboratorio diventa:0tt

87.28

9994.01

1

1

122

cv

sstt 51.63200.287.280

E:

La vostra navicella spaziale si allontana dalla Terra con velocità relativa di 0.9990 c. Dopo aver viaggiato per 10.0 anni (secondo il vostro orologio, “x(tic)= x(tac)”) vi fermate (sempre rispetto alla terra) alla Stella XY, girate e tornate in dietro in direzione della Terra con la stessa velocità relativa (in modulo). Il viaggio di ritorno dura altri 10.0 anni.

Quanto e’ durato l’intero viaggio secondo una misurazione fatta sulla Terra?

(si trascurino le fasi di accelerazione)

Andata: t0 = 10.0 anni

Con v = 0.9990 c:

aaat

tcc

cv

2240.1037.22999.01

0.10

1 22

0

Nel viaggio di ritorno tutti i dati rimangano gli stessi, la durata complessiva secondo voi e’ di 20 .0 anni, ma

aattot 4482242

1

0 LLcontrazione della lunghezza

Se l’astronave viaggia dalla terra alla stella XY,

L’orologio fermo, t0, e’ nella astronave ( x(tic)=x(tac) )

Ma il metro fermo, L0, e’ quello della terra (distanza terra-stella)

11

00 LtvtvL

Visto dall’ astronave

Visto dall’ astronave

Una astronave di lunghezza 100 m (L0) passa a velocità v=0.9*c

Che lunghezza osserviamo noi?

1

0 LL

Con v=0.9*c => mmmL 6.43436.010081.01100

2

2

1

1

cv

2

2

1c

vper :cv in diventa 0

visto dall’“osservatore fermo” il tempo del viaggiatore “si ferma”.

per cv 2

2

1c

v

2

2

1c

vin diventerebbe negativo

=> Niente può avere una velocità più alta di c,

non esistono velocità infinite.

Non per l’esame:

La “ragione pratica” del perchè velocità infinite non possono essere raggiunte sta nel fatto che aumentando l’energia cinetica di un corpo (con una forza che lo accelera) anche la sua massa aumenta.

Spingendo più forte un corpo che ha quasi la velocità della luce, questo corpo non aumenterà di tanto la sua velocità, ma invece la sua massa.

2

0

2

2

202

1

cm

cv

cmcmE

E vale 2220

2 )()( cpcmE

vmp

2

2

1cv

tvxx

yy zz

2

2

2

1

)(

cv

xcvt

t

Trasformazioni di Lorentz

La teoria di Relatività non è una cosa accademica, che riguarda solo particelle che viaggiano ad altissime velocità,

ma invece ha applicazione molto pratiche e quotidiane – infatti noi probabilmente non esiteremmo senza gli effetti protettivi della relatività.

un flusso di elettroni viaggia in un filo di metallo:

Ogni volta che un elettrone esce dalla fine del filo, un altro elettrone entra all’ inizio del filo, cosi che il numero totale di elettroni rimane costante.

Normalmente ci sarà un numero di ioni positivi nel filo uguali al numero di elettroni in moto, cosi il filo è neutrale.

Un altro elettrone distante dal filo non sentirà nessuna forza

Detto più precisamente:

Il numero di elettroni rimane costante, e il filo in totale non diventa

carico perchè allo stesso tempo quando entra un elettrone nel filo, ne esce un altro elettron

Un elettrone entra nel filo a tempo ta

Un elettrone esce dal filo a tempo tb

ta = tb

Anche per il elettrone distante – che non si muove rispetto al filo : ta = tb

n n+1 n+m

Teoricamente, gli elettroni possono anche essere numerati: ci sono sempre m elettroni nel filo

xa xb

n n+1 n+m

Se invece l’elettrone distante si muove a velocità v, la situazione cambia: ta e tb (visto dal elettrone in moto) non saranno più uguali.

Vuol dire: per l’elettrone distante, quando l’elettrone “n” entra nel filo, l’elettrone n+m non esce ancora

Per l’elettrone distante, il filo adesso contiene più di m elettroni.

=> Per l’elettrone, il filo e’ carico:

L’elettrone in moto viene spinto via dal filo

(o attratto, dipende dalla direzione del suo viaggio)

xa xb

Visto che in generale l’elettrone si muove lentamente, v<<c, questo effetto relativistico è molto piccolo. Però, come vedremmo in seguito, la forze elettrica è molto forte, e ci sono tantissimi elettroni nel filo….

Non per l’esame,

Ma solamente per dimostrarvi che anche voi con alcune ore di lezione in più potreste capire in dettaglio anche queste cose estremamente avanzate, scriviamo la formula precisa:

Per ta=tb l’elettrone in viaggio trova (dalle equazioni di Lorenz):

2

2

2

1

)(

cv

acv

aa

xtt

2

2

2

1

)(

cv

bcv

ab

xtt

01 2

22

cv

bacv

ba

xxtt e da ba tt segue direttamente che il

numero totale di “carica in eccesso”, è di conseguenza la forza che agisce sul elettrone in viaggio

Forze gravitazionale e elettrica

I campiSi parla di un campo, quando ad ogni punto dello spazio si può associare una grandezza. Se questa grandezza e’ un vettore, il campo si chiama vettoriale.

Si può illustrare un campo vettoriale con le linee di campo: le linee di campo vanno nella direzione dei vettori, e la distanza fra le linee indica la grandezza di questi vettori, esempio:

Campo di velocità di un fiume: ad ogni punto nel fiume, l’acqua ha una certa velocità.

Dove la sezione del flusso si abbassa, per esempio per la metà, le densità delle linee di flusso raddoppia per ragioni di geometria.

(spazio e tempo III)

=> Il fatto che una massa (per esempio la terra) ne attiri un’altra (per esempio una mela) può anche essere descritto in termini di un campo vettoriale.

Per cominciare la discussione in modo più semplice possibile, assumiamo che questa seconda massa sia molto piccola, così che non faccia un contributo rilevante al campo creato dalla massa primaria.

Nel nostro esempio: la mela viene attirata dalla terra, ma senza modificare il campo della forza di gravità.

Il campo di forza intorno alla massa potrebbe essere così:

M

Vogliamo però anche assumere, che rotare la massa non cambia il campo:

Adesso, rotando in

la densità delle linee

non cambia

Caso bi-dimensionale:

Lo spazio abbia solamente due direzioni, x e y:

Non sappiamo dire un numero assoluto per le linee di campo, ma sicuramente

per ogni circonferenza di 2r troveremo lo stesso numero di linee di campo

che vuol dire che la densità della linee di campo si abbassa con r

come

x

y

r

r

1

Nel caso tri-dimensionale:

Il numero di linee di campo è la stessa per ogni sfera di raggio r.

Superficie della sfera: 24 r => densità delle linee di campo diventa 2

1

r

=>La forza (che è proporzionale alla densità delle linee) diventa 2

1

r 2

1

rF

Altra assunzione ancora:

I campi di due masse si sovrappongono, senza disturbarsi a vicenda –

La forza creata da due masse è il doppio della forza creata da una massa

Esempio: Con un insieme di masse Mi, che sono una sempre la metà

Dell’altra, come

Si può creare una qualsiasi massa, così come si può creare un qualsiasi numero con i numeri digitali

121

ii MM

E perciò è vero: se la doppia massa crea la doppia forza, in generale deve essere vero, che la forza è proporzionale alla massa MF

Il campo gravitazionale esploriamo con una piccola massa di prova, m.

Dal precedente lucido e’ chiaro, che anche per esse deve essere vero, che la forza che sente, e’ proporzionale alla sua massa, m.

In somma: la forza che crea una massa M su una massa m deve essere proporzionale a

2

1

rF

MF

mF

2r

mMGF

Mm

E ovviamente deve essere: forza= -controforza

Se vogliamo considerare anche il carattere vettoriale del campo, usiamo semplicemente la riduzione del vettore r stesso

r

r

r

mMGF

2

Mantenendo la nostra assunzione, che i campi di due sorgenti si sovrappongono senza disturbarsi è vero anche:

1) La massa di prova può anche essere grande, senza che F cambi. Scriviamo invece di M e m più in generale m1 e m2.

2) Le linee del campo saranno una sovrapposizione dei due campi che m1 e m2 avrebbero separatamente (e che sono separatamente simmetrici in ), e in conseguenza il campo risultante totale non potrà avere più simmetria rotatoria

Segue la legge della gravità:

221

r

mmGF

2

311

2

211 107.6107.6

skg

m

kg

mNG

Ad oggi, G non può essere ottenuto da considerazioni generali, ma deve essere misurato

(I.Newton)

x

y

a

2a

Tre particelle con m1=6.0 kg, m2=m3=4.0 kg, a=2.0cm

Qual è la forza di gravità netta F1 esercitata su m1 dalle altre masse?

m2

m3m1

Na

mmGF 6

221

12 100.4

Na

mmGF 6

231

13 100.1)2(

NFFF 6213

2121 101.4

Segue la legge della gravità:

221

r

mmGF

2

311

2

211 107.6107.6

skg

m

kg

mNG

Ad oggi, G non può essere ottenuto da considerazioni generali, ma deve essere misurato

In prossimità della superficie terrestre, questa forza diventa uguale alla forza peso, che abbiamo già discusso nel precedente

gmr

mmGF terra

2 m = “massa di prova”

2r

mGg terra

r = raggio della terra

(I.Newton)

Date le masse dei nove pianeti del sistema solare ed i loro raggi, completare la tabellina, calcolando l’ accelerazione di gravità sulle loro superfici

Pianeta Raggio (Km)

Massa (kg)

Mercurio 2433 3,2.1023

Venere 6080 4,9.1024

Marte 3386 6,4.1023

Giove 71370 1,9.1027

Saturno 60369 5,7.1026

Urano 24045 8,7.1025

Nettuno 22716 1,0.1026

Plutone 5700 1,1.1024

L’ accelerazione di gravità alla superficie è circa:

G è la costante universale di gravitazione: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2

Sostituendo a R il raggio riportato nella prima tabellina, a M la massa del particolare pianeta, si ottiene:

2R

MGg

Pianeta Raggio (Km)

Massa (kg)

g (m/s2)

Mercurio 2433 3,2.1023 3,60

Venere 6080 4,9.1024 8,84

Marte 3386 6,4.1023 3,72

Giove 71370 1,9.1027 24,87

Saturno 60369 5,7.1026 10,43

Urano 24045 8,7.1025 10,04

Nettuno 22716 1,0.1026 12,92

Plutone 5700 1,1.1024 2,26

f

i

xdxF

)( Lavoro svolto dalla forza su una particella che si muove dal punto i al punto f

f

i

xdxFU

)(Variazione di energia potenziale subita dal sistema

Per forze conservative:

Velocità di fuga

Lavoro per portare una massa, m, da R al infinito:

2r

mmGF terra

R

drrF )(

con

Rterra

R

terra

R rmmGdr

rmmGdrrF

11)(

2

R

mmG terra

Se mettiamo lo zero dell’ energia potenziale all’ infinito:

R

mmGU terra

R

mmGvm terra 2

21Velocità di fuga:

skm

R

MGv 2.11

2

Giove ha diversi satelliti. Si consideri il satellite Io: esso orbita intorno a Giove in 42h 28m 16s, ad una distanza da Giove di 430000 km. Calcolare la massa di Giove

Dalle leggi di Newton abbiamo:

Cancellando la massa di Io ad entrambi i membri e tenendo conto della velocità angolare di Io:

E della distanza da Giove si ha:

RMR

MMGF Io

IoG 22

sradT

/101,4152896

22 5

kgRG

MG2732 102

1

Perciò dalla forza fra cariche elettriche segue una legge della stessa forma, sono diversi solo le unità e la costante

Con l’unica differenza, che esistono due tipi di carica elettrica – positiva e negativa -,

così la forza può essere attrattiva o repulsiva,

mentre la forza di gravità è sempre attrattiva

221

r

qqkF

2

29100.9

C

mNk

La carica elettrica, q, ha come unità il Coulomb (definito fra poco)

Tutti argomenti presentati riguardano solo lo spazio –

Segue, che anche per altre “proprietà” e non solo per la massa, questa legge deve essere valida (a parte la costante),

se i campi si sovrappongono e se la sorgente del campo è simmetrica sotto rotazioni.

Charles Augustin Coulomb (1785)

Con costante elettrostatica:

Per ragioni storiche la costante elettrostatica spesso viene espresso come

04

1

k

0 “costante dielettrica del vuoto”

Alcune osservazioni

221

r

mmGF

1) spesso, la sorgente del campo non è simmetrica verso rotazione, per esempio la pianeta terra non è una sfera perfetta. Perciò vale solo in approssimazione

2) Anche non è sempre vero che campi si sovrappongano senza disturbarsi. Per esempio per la forza forte questo non è vero. Il campo della forza forte è sorgente del campo di forza forte: ogni volume di campo crea un altro campo, che interagisce con il campo da cui è stato creato, creando un altro campo, che a sua volta ….

3) Non sappiamo di sicuro, cosa vuol dire “m” e “r” quando ,m 0r

Paragone di forze

221

r

qqkF

2

21

r

mmGF

2

29100.9

C

mNk

Dato una certa distanza, r, la forza F dipende da “G” e “m” o “k” e “q”

m viene misurato in chilogrammi: un chilogrammo è circa la massa di una busta di mele

q viene misurato in Coulomb: 1 Coulom è la carica elettrica che fluisce attraverso una piccola lampadina ogni secondo (1 Coulomb = 1 Ampere per 1 secondo)

=> Sia m sia q vengono espresso in unità “quotidiane” che corrispondono alla nostra esperienza nel mondo macroscopico

2

211107.6

kg

mNG

Il fatto, che le costanti G e k siano molto differenti vuol veramente dire, che la forza elettrica è molto, molto più forte della forza di gravità.

221

r

qqkF

Se dividiamo il campo di forza

per la “carica di prova” 2q

Otteniamo un campo che descrive solo l’effetto della carica q1

Lo chiamiamo campo elettrico, E