1. Sistemi di coordinate nello spazio

La longitudine e la latitudine vengono comunemente impiegate per la localizzazione dei punti sulla

superficie terrestre, l’ascensione retta e la declinazione per la descrizione del moto del Sole, degli altri corpi

corpi celesti e dei satelliti artificiali rispetto alla Terra.

Il sistema longitudine-latitudine L - è mostrato in fig. 1.1

Fig. 1.1 Sistema di coordinate longitudine – latitudine

Il piano equatoriale coincide con il piano x,y ed il centro della Terra con l’origine del sistema; l’asse x passa

per il meridiano di Greenwich. A tale meridiano si attribuisce per definizione la longitudine 0°. L’asse z

coincide con l’asse di rotazione terrestre ed è diretto verso il nord e l’asse y forma una terna destrorsa con

gli altri due.

Si definisce latitudine di punto P l’angolo fra il piano equatoriale e la congiungente centro della Terra – P

misurata lungo il meridiano passante per P (ovvero il meridiano locale). Usualmente la latitudine assume

valori fra 90° (polo Nord) e -90° (polo Sud). Si definisce longitudine di un punto P l’angolo fra il meridiano di

Greenwich ed il meridiano locale di P. Usualmente la longitudine è positiva per i punti ad est di Greenwich

ed assume valori da 0° a 180° e negativa ad ovest, valori da 0° a -180°. Nelle applicazioni in programmi

numerici è preferibile sia definire la longitudine da 0° a 360° misurata in direzione Est da Greenwich sia

esprimere gli angoli in radianti anziché in gradi.

La geometria del moto relativo Terra – Sole è mostrata in fig. 1.2, il piano dell’eclittica è il piano descritto

dal movimento della Terra intorno al Sole.

Fig. 1.2 Moto relativo Terra – Sole

A rigore si dovrebbe dire il piano medio del moto orbitale della Terra intorno al Sole, ma le perturbazioni,

come si vedrà anche in seguito, possono essere trascurate.

Si definisca un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della Terra e con l’asse X definito

dalla intersezione dei piani dell’eclittica e dell’equatore nell’equinozio di Primavera, cioè nell’istante in cui il

cui il Sole attraversa l’equatore nel suo movimento apparente in direzione Sud – Nord.

Il verso positivo dell’asse X è nella direzione della Terra verso il Sole. La direzione così individuata è detta

primo punto d’Ariete ed è rappresentata col simbolo T; essa è a circa 15° ovest della costellazione delle

Pleiadi. Anche in questo riferimento l’asse Z coincide con l’asse di rotazione terrestre ed è diretto verso il

Nord e l’asse Y forma una terna destrorsa con gli altri due.

Si definisce sfera celeste una sfera di raggio apparentemente infinito che contiene le stelle fisse (fisse nel

senso che il moto delle stelle sulla sfera celeste è trascurabile rispetto ai tempi caratteristici dei fenomeni

che stiamo studiando) e rispetto alla quale il Sole, la Luna, i pianeti ed i satelliti artificiali sembrano

muoversi rispetto ad una osservazione dalla Terra. Il primo punto d’Ariete è ovviamente un punto della

sfera celeste. L’intersezione del piano dell’equatore terrestre con la sfera celeste è detta equatore celeste

e, equivalentemente a quanto già detto, la traccia del Sole nel suo moto apparente annuale sulla sfera

celeste è detta eclittica. L’angolo acuto fra l’equatore celeste e l’eclittica, detto obliquità dell’eclittica, è di

circa 23°.44. I piani e le direzioni di riferimento stabilite dipendono dal moto relativo della Terra intorno al

Sole ed intorno al proprio asse. In realtà a causa principalmente dell’asimmetria della forza gravitazionale

del Sole, dell’asimmetria della forma della Terra, degli effetti gravitazionali della Luna e degli altri pianeti, la

Terra è interessata da un moto di precessione. A causa di esso l’asse terrestre ruota nello spazio con un

moto conico intorno alla verticale al piano dell’eclittica al rapporto di circa 50.25 secondi di arco in un anno,

anticipando l’equinozio di Primavera di circa 20 minuti all’anno. Questo movimento di rotazione, che sposta

verso ovest la posizione del primo punto d’Ariete, richiede circa 25725 anni per ogni ciclo ed è detto

precessione degli equinozi.

Si definisce precessione la velocità angolare dell’asse di rotazione di un corpo rigido ruotante, che nasce in

seguito all’applicazione di una coppia esterna sul corpo. Per la precessione degli equinozi la componente

lungo il meridiano celeste è di 20” per anno, quella lungo l’equatore celeste di circa 46”.1 per anno. Un

effetto secondario addizionale è la variazione dell’obliquità dell’eclittica che diminuisce di circa 47 secondi

di arco per secolo. Considerando la vita operativa della gran parte dei satelliti artificiali orbitanti intorno alla

Terra, tali moti possono essere trascurati e le direzioni definite possono essere considerate fisse.

La posizione di un punto P sulla sfera celeste (ad es. il Sole o un satellite) è definita da due angoli:

l’ascensione retta misurata lungo l’equatore celeste partendo da T, positiva verso est, e la declinazione

declinazione misurata rispetto all’equatore celeste, positiva verso Nord (fig. 1.3).

Fig. 1.3 – Sistema di riferimento per la definizione dell’ascensione retta e della declinazione

I sistemi – e L - hanno entrambi il piano equatoriale come base e differiscono solo per la scelta degli

assi x – y. Si noti che l’ascensione retta e la declinazione, sebbene introdotte per definire punti della sfera

celeste, possono essere anche impiegate per individuare punti sulla superficie terrestre e che, mentre

l’ascensione retta è definita rispetto ad una direzione fissa nello spazio, la longitudine è definita rispetto ad

un punto della Terra. Il sistema anche se ha la propria origine coincidente col centro della Terra (e

quindi ruotante intorno al Sole) è, rispetto ad un osservatore terrestre, un sistema inerziale perché i suoi

assi sono puntati in direzioni fisse dello spazio (nelle ipotesi prima viste); il sistema L - è invece un sistema

ruotante intorno all’asse terrestre. Naturalmente la Terra non è esattamente un sistema inerziale, ma per

gli obiettivi che ci si propone la si può considerare tale.

Il moto del Sole o di un satellite artificiale nella sfera celeste è più agevolmente descrivibile nel sistema

inerziale in termini di ; invece la definizione della traccia sulla superficie terrestre del moto orbitale di

un satellite è chiaramente preferibile ottenerla in termini di L - . Pertanto è indispensabile trovare una

relazione fra i due sistemi e necessariamente tale relazione deve tenere conto della posizione del

meridiano di Greenwich rispetto a T. Bisogna quindi fissare un sistema di riferimento per la misura dei

tempi.

2. Sistemi di riferimento per la misura dei tempi

Fissare un sistema di riferimento per la misura dei tempi vuol dire fissare un evento iniziale ovvero un

punto di partenza e una serie di eventi periodici come unità di misura. La grandezza tempo introdotta in

in questi termini è indispensabile in quanto variabile indipendente delle equazioni dinamiche. Si noti, sia

sia pure per inciso, che le misure del tempo effettuate con questa logica esistono a livello di definizione e

e che queste definizioni diventano imperfette e creano discrepanze se applicate in situazioni particolari. Per

Per i problemi che ci si propone di affrontare è comunque adeguata tale definizione. Si noti che questi

problemi e le relative definizioni ed equazioni coinvolgono studi vastissimi che partendo dalle osservazioni

astronomiche arrivano sino alle problematiche di meccanica relativistica. Un approfondimento di questi

argomenti, ricavabile peraltro da una vasta bibliografia specialistica, è al di fuori degli obiettivi di queste

note; pertanto nel seguito verranno date solo le definizioni indispensabili per la descrizione della dinamica

orbitale di un satellite terrestre.

Convenzionalmente esistono due vie per la definizione di un sistema per la misura dei tempi nel sistema

Terra – Sole – sfera celeste: tempo sidereo e tempo solare.

Il giorno sidereo è basato sul moto delle stelle. Per definizione il giorno sidereo è l’intervallo di tempo fra

due passaggi consecutivi del primo punto di Ariete su uno stesso meridiano della Terra. In realtà non è

costante, a causa della precessione degli equinozi, ma, come sempre, per i fini proposti lo si può ammettere

tale. Il tempo solare è governato dalla rotazione della Terra intorno al Sole.

Per definizione il giorno solare è l’intervallo di tempo fra due passaggi consecutivi del Sole su uno stesso

meridiano della Terra. Il giorno sidereo è circa 4 minuti minore del giorno solare, ciò perché in un giorno il

Sole si è spostato di un grado lungo l’eclittica e la Terra deve ruotare un po’ più di 360° per seguire il Sole.

Inoltre, poiché la traiettoria della Terra è ellittica ed il piano dell’eclittica non coincide con il piano

dell’equatore, il giorno solare è solo approssimativamente costante.

Per eliminare il problema si definisce un tempo solare medio relativo ad un sole medio fittizio che si muove

nel piano equinoziale (proiezione dell’equatore sulla sfera celeste) ad un rapporto angolare costante pari al

rapporto medio apparente del moto del sole reale, in modo da fornire una misura uniforme dei tempi. Pur

con tutte le approssimazioni introdotte il tempo solare medio è stato accettato da tutti i popoli come base

per la misurazione del tempo. Per definizione si assume il giorno solare medio, comunemente giorno, pari a

86400 secondi solari medi, comunemente secondi.

L’anno siderale è relativo al moto della Terra rispetto alle stelle fisse, l’anno tropicale rispetto al Sole.

Si definisce anno tropicale l’intervallo di tempo fra due equinozi di primavera consecutivi. A causa degli

effetti degli altri pianeti del sistema solare non è costante, ma decresce linearmente col tempo di .53

secondi/secolo; oggi lo si può assumere approssimativamente lungo 365.242 giorni. Ciò comporta i noti

problemi ed una serie di imperfezioni (anno bisestile, etc.) nei calendari. Ad esempio nel 1582 un decreto

emanato da Papa Gregorio XIII stabilì che il giorno successivo al 4 Ottobre 1582 sarebbe stato il 15 Ottobre

1582, eliminando così 10 giorni. Ancora nel 1752 in Gran Bretagna furono soppressi 11 giorni.

Relativamente alla misura del tempo in giorni solare medi esistono due sistemi di riferimento: il tempo

universale (UT) e la data Giuliana (JD). Il tempo universale è la base del tempo civile. E’ espresso in ore,

minuti e secondi, ovvero in frazioni di giorno. Lo zero UT è la mezzanotte del meridiano di Greenwich. Per

Per questo motivo e poiché è riferito al sole medio fittizio questo tempo viene spesso definito

equivalentemente Greenwich Mean Time (GMT). Nel settore spaziale viene anche definito Zulu o Z.

Introducendo il concetto di angolo orario, cioè l’angolo valutato dal meridiano dell’osservatore fino al

meridiano del corpo celeste osservato, positivo verso ovest e misurato in ore (1 ora corrisponde a 15 gradi

e quindi 1 grado a 4 minuti), il tempo GMT è l’angolo orario del sole medio osservato da Greenwich in ore

più 12 ore, modulo 24.

La data giuliana, di grande importanza in astronomia, computa i giorni solari medi consecutivamente con

l’origine sufficientemente lontana (1 Gennaio 4713 a.C.) in modo da poter attribuire, in linea di principio,

una data giuliana certa a tutti gli eventi astronomici registrati. Un anno giuliano è composto da 365.25

giorni. La trasformazione fra una data espressa in UT e JD può essere ricavata dalle tabelle riportate su

appositi almanacchi astronomici. E’ comunque agevole sviluppare un programma di calcolo che effettui la

trasformazione basandosi sul valore 2433282 JD relativo allo 0 Gennaio 1950 (oppure sul valore 2415020

JD relativo allo 0 Gennaio 1900) e sommando sequenzialmente i giorni tenendo conto della lunghezza dei

mesi e degli anni bisestili. In tab. 2.1 si riportano, ad esempio, alcuni dei valori relativi ai mesi di Dicembre

1984 e Gennaio 1985.

ore 0:00 UT - Dicembre 1984 JD 5 2446039.5

10 2446044.5 15 2446049.5 20 2446054.5 25 2446059.5 30 2446064.5

ore 0:00 UT - 0 Gennaio 1985 (31 Dicembre 1984) 2446065.5

5 2446070.5 10 2446075.5 15 2446080.5 20 2446085.5 25 2446090.5 30 2446095.5

Tab. 2.1 – Valori della data giuliana in corrispondenza di date UT

Per attribuire ad un unico giorno giuliano le osservazioni che si effettuano nel corso di una notte gli

astronomi hanno fissato l’inizio e la fine del giorno giuliano a mezzogiorno di Greenwich. In altri termini

un’osservazione effettuata alle ora 23 del 31 Dicembre UT ed una alle ore 2 del 1 Gennaio UT vengono

effettuate nello stesso giorno giuliano, quello che va dalle 12 del 31 Dicembre alle 12 del 1 Gennaio UT.

Pertanto la JD 2433282.0 corrisponde allo 0 Gennaio 1950 ovvero alle 12 del 31 Dicembre 1949, mentre la

la JD 2433282.5 corrisponde alle ore 0:00 del 1 Gennaio 1950 UT. Anche se ad un osservatore abituato ai

ai calendari potrebbe apparire complessa, la data giuliana ha degli indubbi vantaggi connessi con la

numerazione consecutiva dei giorni.

Si consideri il seguente esempio: calcolo della JD corrispondente al 1 Gennaio 1985 UT alle ore 9:45.

Poiché la data giuliana è misurata partendo dal mezzogiorno, le ore 0 del 1 Gennaio (ovvero la mezzanotte

del 31 Dicembre) cadono a metà della data Giuliana relativa al 31 Dicembre. Quindi dalla tabella 2.1:

0 Gennaio 1985 = mezzogiorno del 31 Dicembre 1984 = 2446066.0 JD

e quindi

ore 0:00 del 1 Gennaio 1985 UT = 2446066.5 JD

Convertendo 9 ore e 45 minuti in giorni si ha

9/24 + 45/(60 x 24) = 0.406

che sommato al valore precedente fornisce

JD = 2446066.906 = 1 Gennaio 1985 ore 9:45 UT

3. Relazione fra longitudine ed ascensione retta

Nel riferimento inerziale precedentemente definito, l’angolo g, cioè l’ascensione retta di Greenwich, è una

misura del tempo siderale di Greenwich poiché individua la posizione del meridiano di Greenwich rispetto

alle stelle fisse. In maniera analoga il tempo siderale del meridiano dell’osservatore generico sarà

individuato dall’angolo . Pertanto tempo locale siderale ed ascensione retta sono misure equivalenti di

una posizione angolare. La longitudine dell’osservatore L (che comunemente si misura verso est) sarà

quindi legata alle due ascensioni rette dalla relazione (3.1)

g + L

a meno di multipli di 360°

Fig. 3.1.a – Relazione fra l’ascensione retta di Greenwich, quella di un meridiano generico e la longitudine di quest’ultimo

Fig. 3.1.b

I problemi a cui ci si trova comunemente di fronte sono due: nota la longitudine di un punto ed il tempo UT

ricavare la ascensione retta ovvero il tempo locale siderale e nota l’ascensione retta di un punto ad un

tempo UT ricavarne la longitudine. Il secondo caso, come apparirà più evidente nei paragrafi successivi, è

quello che riveste maggiore interesse nei problemi di dinamica orbitale di un satellite terrestre.

La relazione che si sfrutta in entrambi i casi è la (3.1), in cui è necessario però caratterizzare g.

La relazione fra ascensione retta e data Giuliana, ricavata da studi astronomici è (3.2)

g,0 = 99°.6909833 + 36000°.7689 T + 0°.00038708 T 2

dove g,0 è l’ascensione retta di Greenwich alle ore 0:00 UT e T è il tempo espresso in secoli giuliani a

partire dallo 0.5 Gennaio 1900 (si ricordi che un anno giuliano è 365.25 giorni e quindi un secolo è 36525

36525 giorni) ovvero (3.3)

Nella relazione (3.2) il termine di secondo grado in T tiene conto delle piccole variazioni periodiche della

velocità di rotazione della Terra. Si noti che l’espressione di g,0 non è una funzione continua di T perché la

(3.2) vale solo per le ore 0:00 UT ovvero la data Giuliana assume solo il valore XXX XXXX.5

La relazione che lega g (ascensione retta di Greenwich in un qualunque istante del giorno) con g,0

(ascensione retta di Greenwich alle 0:00 UT) è ovviamente la seguente (3.4)

dove è la velocità angolare di rotazione della Terra; poiché il Sole compie una rotazione

apparente di 360° intorno alla Terra in 365.24219879 giorni solari medi, la Terra ruota intorno al proprio

proprio asse di

gradi per giorno solare medio, ovvero

0.25068477 gradi per minuto solare medio, ovvero

4.3752695 x 10-3 radianti per minuto solare medio

è la differenza degli UT fra quello attuale e quello alle ore 0:00 UT

Si noti che la sia la differenza che la velocità angolare della terra sono misurate rispetto al tempo

solare medio. Quindi il prodotto è la differenza di tempo siderale fra l’istante t relativo ad e t0

relativo ad g,0.

Per chiarire la sequenza delle operazioni descritte si riporta un esempio.

Determinare il tempo locale siderale del punto di longitudine

L = 198°.2213 al tempo UT

12:15:30 del 12 Ottobre 1962

Innanzitutto è necessario calcolare la data giuliana:

2437938.0 + data giuliana relativa alle 12:00 del 30 Settembre 1962, cioè allo 0 Ottobre

0.5 + per ottenere le 0:00 del 1 Ottobre 1962

11.0 + per ottenere le 0:00 del 12 Ottobre 1962

___________

2437949.5

Il tempo in secoli giuliani è dato dalla (3.3)

e quindi sostituendo nella (3.2) si ha

L’ascensione retta di Greenwich alle 0:00 UT del 12 Ottobre 1962 (sono stati eliminati i multipli interi di

360°)

t0 = 0:00 = 0 minuti

t = 12:15:30 = (12*60 + 15 + 30/60) minuti = 735.5 minuti

e quindi

ed in infine dalla (3.1)

(sono stati eliminati i multipli interi di 360°)

Si noti che il tempo siderale è espresso in angoli, ma è agevolmente trasformabile in ore, ponendo 360° =

24h si ha:

In ogni caso è bene evitare confusioni fra il tempo siderale espresso in ore così calcolato ed il tempo medio

solare a cui si è abituati a riferirsi.

Anche se nelle tabelle astronomiche l’ascensione retta è più frequentemente espressa in ore, minuti e

secondi, nella dinamica orbitale si preferisce adottare come unità di misura i gradi o i radianti.

Lo schema a blocchi della procedura è riportato in figura seguente

UT L

JD

g,0 (3.2)

g (3.4)

(3.1)

In maniera perfettamente analoga è possibile calcolare la longitudine relativa ad un punto di assegnata

ascensione retta ad un tempo UT assegnato. Ad esempio: determinare la longitudine del punto sub-satellite

(punto della superficie terrestre la cui verticale locale passa per il satellite stesso) quando il satellite ha

ascensione retta 72°.19 alle 10:18:23 del 15 Giugno 1982 UT.

Per il calcolo della data giuliana si ha

2445121.0 + data giuliana relativa alle 12:00 UT del 31 Maggio 1982, cioè allo 0 Giugno

0.5 + per ottenere le 0:00 del 1 Giugno 1982

14.0 + per ottenere le 0:00 del 15 Giugno 1982

___________

2445135.5

Il tempo in secoli giuliani è dato dalla (3.3)

e quindi sostituendo nella (3.2) si ha

t = 10:18:23 = (10*60 + 18 + 23/60) minuti = 618.38 minuti

e quindi

ed infine dalla (3.1)

4. Latitudine geocentrica e geodetica

E’ noto che la Terra non è perfettamente sferica. Ad un primo livello di approssimazione viene

comunemente considerata tale nei calcoli di dinamica orbitale. Ma per migliorare l’accuratezza dei risultati,

soprattutto quando entrano in gioco problemi di puntamento, navigazione, osservazione della superficie

terrestre dallo spazio, è necessario tenere conto dello schiacciamento polare. Un eccellente modello per la

descrizione della superficie terrestre è l’ellissoide terrestre, cioè l’ellissoide generato dalla rotazione di un

ellisse intorno all’asse minore.

Questo modello non è rigorosamente valido, ma per un gran numero di applicazioni lo si può ritenere tale

con ottima approssimazione e così verrà fatto nel seguito del discorso. Il semiasse maggiore dell’ellissoide è

il raggio equatoriale re, mentre il semiasse minore è il raggio polare rp.

Si definisce appiattimento o ellitticità f (flattening) il rapporto tra la differenza tra il raggio equatoriale

meno il raggio polare ed il raggio equatoriale.

Tali valori sono relativi all’ellissoide internazionale o di Hayford, impiegato comunemente per scopi

cartografici.

Si consideri la sezione ellittica del modello adottato della Terra con un piano passante per l’asse terrestre

(fig. 4.1). In fig. 4.1 e nelle successive le proporzioni reali sono volutamente alterate per maggiore

chiarezza.

Fig. 4.1 – Latitudine geocentrica e geodetica

Si definisce latitudine geocentrica di un punto P della superficie terrestre l’angolo acuto misurato

perpendicolarmente al piano dell’equatore fra l’equatore e la congiungente il centro dell’ellissoide, origine

del sistema di riferimento, col punto P.

Si definisce latitudine ellissoidica o geografica o geodetica del punto P l’angolo acuto ’ misurato

perpendicolarmente al piano dell’equatore fra l’equatore e la normale al piano tangente all’ellissoide in P.

Nelle applicazioni topografiche e cartografiche si impiegano più frequentemente gli aggettivi ellissoidica o

geografica, in alcuni testi tecnici italiani si parla anche di latitudine corrente o semplicemente di latitudine.

Nella dinamica orbitale, soprattutto nei testi anglosassoni, è adottata più frequentemente la dizione

geodetica.

La latitudine introdotta nel paragrafo 1. è evidentemente la latitudine geocentrica, si noti che essa per i

punti della superficie terrestre coincide con la declinazione.

Le curve sull’ellissoide a latitudine costante, dette paralleli ed ottenute intersecando l’ellissoide con piani

normali all’asse di rotazione, sono circonferenze, mentre le curve a longitudine costante, dette meridiani ed

ottenute intersecando l’ellissoide con piani contenenti l’asse di rotazione, sono ellissi.

La relazione che lega e ’ per punti sull’ellissoide terrestre è la seguente:

Si notino in fig. 4.2 gli angoli , declinazione di un satellite in orbita terrestre ad un certo istante di tempo e

e ’ rispettivamente latitudini geocentriche e geodetiche del punto sub-satellite. In ipotesi di Terra sferica

i tre angoli sarebbero evidentemente coincidenti.

Fig. 4.2 – Declinazione di un satellite, latitudine geocentrica e geodetica del punto sub-satellite