S O P R A ALCUNE FUNZIONI A N A L O G H E

A L L A FUNZIONE DI GREEN P E R UN P A R A L L E L E P I P E D 0 RETTANGOLO.

Nota di Luoiano Orlando, in Pisa.

A d u n a n z a del t 3 n o v e m b r e xgo 4.

Alcune recenti osservazioni *) hanno mostrato c h e l a funzione di GREEN e le analoghe per alcuni campi hanno intimo nesso coll'integra- zione delle equazioni d'equilibrio elastico, nei casi che possiamo chiamare misti, o, secondo il SOmGLIANA, alterni. Da ci5 principalmente true op- portunita il presente studio.

In coordinate cartesiane ortogonali, siano x = h~, x = - - b , y = b~, y = - h~, Z ~ h 3, ~ - h 3 le rispettive equazioni delle sei facce det paraltelepipedo. Se poniamo

,%,o = [x - - 2 a b - - ( - - i)~ + [y - - 2bh~ - - ( - - ,)~yo] ~

+ [ ~ - ~ch 3 - ( - ~)~

e intendiamo che x, y, ~ denotino le tre coordinate d'un punto A, varia-

bile nello spazio S occupato dal parallelepipedo, poi Xo, Yo, ~o le tre coor- dinate d'un polo Ao, interno a S, e che ognuna delle tre lettere a, b, c assuma tutti i valori interi, positivi e negativi, compreso zero; con ci6

Ia grandezza ro .... , che possiamo anche, senza rischio d'ambiguit~, indi- care soltanto con r, misura la distanza d i d da do , e le altre r,,,b,o mi- surano le distanze di d da tutti i punti dedotti da _d o con successive immagini rispetto ai piani delle facce del parallelepipedo.

*) SOMIGLIANA, Rend. dei Lincel, I9O2-i9o4; ~JARCOLONGO, ibidem., 19o2 e Manuale Hoeph sull'eqmlibrlo dei corpi elast~ci. Ve& anche tre miel lavon: Nuovo

Cimento z9o4, Giorn. di Batt. 19o 4.

SOPRA ALCUNE FUNZIOIqI ANALOGHE ALLA FUNZIONE DI GREEN: ETC, 6~

S e t denota una ad arbitrio fra le tre lettere x, y, K, p o i k corri- spondentemente una delle tre lettere a, b, c, poi ~ corrispondentemente

uno dei tre numeri ~, 2, 3, otteniamo

O I t - - 2kha - - ( - - I)kto 3 0 ~ t ~'a,b,c ~',,l~,c

Evidentemente questa grandezza, se k non rappresenta zero, com-

porta il segno di k.

Ora noi esaminiamo le espressioni

_ _ a I + I +axr_ ' Sit --'- C~ X ~'o,b,c ll~x Yv,b,~

a I _j_ ~---[---[-ayr,, ~,, sb - - c9 y r ..... ~=, r~,~,, - '

3 I _jr_ I -~ -3z , ro-]. ' S, ~ 0 7, ~'.,b,o v=~ r~,b,v , ,--v

dove noi sostituiremo collo zero, ove mai si presentino, le derivate di I

Per esempio l'espressione s, , che ~ funzione di b e di c, man- 7-o,%o "

cher,h det primo termine quando a b e a c si attribuisca stmultaneamente

il valore zero. Una semplice osservazione geometrica mostra che le serie, indicate

helle precedenti espressioni dai segai ~, risukano formate con termini di segni akerni, di valori assoluu decrescenti. Noi potremo scrivere

I X - Xol X - - 21J I -q- X o X + 2h, .Af_ Xo ' Isol < ~ + -k r' t ro, b,~ 1 r[b,, "_~.~,,

~Y-Y~ + y--~h.+yo Isbl <

- - 2 b3 q-- ~o1

I Ora per /J. e v interi, non negativi, e per

+ ] y + = h . + y o F3

ajb~--i

Ibl > 2t ~ -t- x, [cl > 2 ~ + x, e per h non piO grande di h~ n~ di b3, ~ valida la tripla relazione, facile a verificarsi,

~'o,b,c f r~,b,o ~ -Jc 4 b l / ~ --[-- v ' , 7"__I,b~ a

64 LUCIANO ORLANDO.

o anche, per una semplice osservazione d'aritmetica,

?'ojb,c I r--x,b,c

dunque, se s la serie ~o

e prescindiamo dai termini, di valor finito, dovuti a Ib I <[ 3, noi vediamo subito che questa serie ~ in condizioni di convergenza pifi s dell'altra

2 , = , (i + j)3, la quale, come 6 noto, + convergente, se ] rappresenta, come qui sup- poniamo, un numero non negativo. Se ora formiamo la serie

S a, b,c. ~ ~ - S a, b

anche questa risulta in condlzioni di convergenza non meno favorevoli c h e l a serie

I

della quale ~ ben facile a riconoscersi la convergenza. Ci6 avviene comunque A vari in S. Non ~ difficile vedere che, per x = h ~ e per x = - - b ~ , la serie

0 I so, b, c assume il valore, che, nelle medesime condizioni, assume

c~x r Ora noi integriamo, termine a termine, rispetto alla variabile x, la

serie s~, uniformemente convergente in S, e determiniamo opportuna- mente *), valendoci delia posizione di A o o dt quella dei simmetrici di _//o rispetto ai piani coordinati, il limite inferiore dell'integrazione. Chia- meremo !l'o quest'integrale di s,. Poi integreremo, per termini, rispetto a x , la serie s~,b, e n e chiameremo I ' ,~ l'analogo integrale; poi ancora, nello stesso modo integreremo Ia serie s,,b, ~ e ne chiameremo .T, ,b, ~

Hntegrale. Posto 2 /a2 ~2

?.,b,o - - 4 k n~ + b ~ b: + c ~ b~), risulta

*) Vedi un mio lavoro in questi Rendiconfi, t. XVII (19o3), pp. 335-352.

SOPRA ALCUNE FUNZIONI ANALOGHE ALLA FUNZIONE DI GREEN~ ETC. 6~

Questa serie T~,v,~ verificherA, per x ---~ h o per x = - - h,, l'equazione

c3 T c3 i

In modo perfettamente analogo ricaveremo due altre serie ~/'b ..... :Ta, b, che, rispettivamente per y = h 2 o y ~ - - b~, e per z = b 3 o

< = ~ b3, ven6cheranno le equazioni

Ma non 6 difficile a provarsi la coiucidenza di T.,b,e, Tb ..... To, a,b, ed a ci6 bastano alcune nozioni elementan sui limiti. Se noi dunque poniamo

2(' ' ) . . . . . . . . . . . ro[ ,o + ostante, + b + # ol,

e determiniamo opportunamente *) la costante, avremo c h e l a G 6 una

funzione analoga a quella di GReE~r per il parallelepipedo rettangolo: quella che lascia risolvere il problema di determinare in ogni punto Ao,

interno a S, il valore di una funzione armonica, della quale si cono- sca in ogni punto del contorno (compatibilmente con una nota condi- zione) il valore della derivata secondo ]a normale.

Le altre s analoghe alia s di GReeN si discutono pifi facilmente. La

a~--o= b~--o~ e=--c= ~'a, bjc

(dove -r assume il valore p -~- q + ~, -[- I quando a, b, c assumono rispettivamente 1 valori 2 p 0 2 p - - I , 2 q 0 2 q - - I , 2 r 0 2 r - I )

I d i v e n t a - - per x~---b~ 0 per y - - b = , 0 per < = b 3 , e f o r n i s c e l a d e -

rivata secondo la normale sulle tre altre facce. La discussione relativa alia convergenza si semplifica in grazia dei segni. Ma nelle cose fin qui dette 6 indicata la via per determinare e discutere anche le ahre; e noi

non insistiamo sulla questione, la quale assume ormai l'aspetto d'un esercizio.

Marina di Caronia, settembre i9o 4.

LUCIANO ORLANDO.

*) M~.RCOLO~GO, Teorm matematica dell'equihbrio dei corpi elastici, pag. 29, Hoepli, 19o4.

.Rend. Ctrr Matem. Palermo, t . X I X (x 9 o $ ) . ~ St~tmpato *1 a2 d tcembre xgo 4. 9