Slides - Introduzione all'astrofisica

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Corsi di Astrofisica

e di Introduzione all’ Astrofisica

prof. Paolo de Bernardis

a.a. 2013-2014

• Programma: 5 parti– Parti 1,2,4,5 per tutti– Parte 3 per astrofisici (ma non è vietata ai fisici !)– Gli astrofisici fanno anche la prova scritta (o due

esoneri), i fisici no.

1) Fisica e Astrofisica– spazio e tempo, dimensioni – particelle e forze– Teorie della Gravita'. Equazioni di Einstein e loro uso

in astrofisica e cosmologia– Osservazioni e misure fisiche rilevanti per l' astrofisica– I ruoli delle osservazioni nelle diverse bande spettrali

• Programma: 5 parti2) Stelle e spettri stellari:

fondamenti fisici– spettroscopia, spettri di

emissione e di assorbimento, spettri

– continui e di righe– spettri atomici rilevanti per

le atmosfere stellari– spettri molecolari e bande

rilevanti per le atmosfere stellari

– statistica di Boltzmann, equazione di Saha

– Interpretazione degli spettri stellari

– Eq. trasporto radiativo

• Programma: 5 parti3) Materia Interstellare

– gas interstellare neutro: l' idrogeno interstellare, la riga a 21 cm,

– le nubi molecolari, le principali righe molecolari

– gas ionizzato: regioni HII, radiazione di free-free, radiazione di sincrotrone

– polvere interstellare: caratteristiche osservate, fondamenti fisici di estinzione, arrossamento, polarizzazione, emissione IR

• Programma: 5 parti4) Le Galassie e la Struttura a

Grande Scala dell' Universo– Struttura e Fenomenologia

delle Galassie Normali– Dinamica delle Galassie ed

evidenze di materia oscura– Ammassi di Galassie, ulteriori

evidenze di materia oscura– Galassie Attive, Radiogalassie,

QSO– Redshift, Espansione dell'

universo, legge di Hubble– Evidenze per una espansione

accelerata dell' Universo

5) Cosmologia– Evidenze sperimentali per un universo omogeneo e isotropo;

Principio Cosmologico; Metrica FRW, Equazione di Friedmann

– Composizione dell' Universo: radiazione, materia, energia– Parametri cosmologici– Storia Termica dell' universo nelle sue diverse fasi:

nucleosintesi, equivalenza, ricombinazione e trasparenza, fase di vuoto ed energia oscura

– Fondo Cosmico a Microonde, Disomogeneita' nell' Universo, Anisotropie del Fondo a Microonde, Effetto Sunyaev-Zeldovich, Inflazione cosmica

– Formazione delle Strutture Cosmiche, Teoria di Jeans e sua generalizzazione

– Determinazione dei parametri cosmologici

2

• L’ astrofisica usa le leggi della fisica per descrivere i fenomeni celesti :

– Come brucia una stella: lo si può capire solo se si usa la meccanica quantistica

– Lo spettro di righe del sole: lo si può interpretare solo alla luce della fisica atomica

– L’ emissione termica di Marte: la si può interpretare solo usando la teoria del corpo nero

– ….

Fisica & Astrofisica sono complementari

• D’ altra parte l’ astrofisica fornisce alla fisica un laboratorio con dimensioni e condizioni non riproducibili sulla terra :– Il vuoto che c’è nello spazio non è nemmeno

lontanamente simulabile con le pompe da vuoto piùavanzate

– La dinamica dei pianeti e delle galassie permette di verificare la gravità e le leggi della dinamica su distanze molto maggiori di quelle utilizzabili in laboratorio

– Le condizioni di energie estremamente elevate verificatesi vicino al Big Bang non sono riproducibili nemmeno dai più potenti acceleratori di particelle.

– ….

Fisica & Astrofisica sono complementari

arXiv:1109.4897

3

Dopo tutte le correzioni del caso l’ anticipo da 1048.5 ns si riduce a 60.7 ns :

E includendo l’ errore stimato sommando quadraticamente tutti gli errori sulle stime degli effetti sistematici :

• Non è questa la sede per discutere nel dettaglio la stima degli errori sistematici.

• Una revisione delle procedure ha poi identificato l’ origine di questo risultato in un connettore mal connesso …

• Quello che voglio mostrare, invece, è che l’astrofisica ha già fornito informazioni utili sulle velocità di propagazione di neutrini e fotoni:

SN1987AFebruary 23, 1987 Before

SN1987AFebruary 23, 1987

168000 ly

4

Due conti• Ipotizzata differenza percentuale tra

velocità della luce e velocità dei neutrini: +2.5x10-5

• Quindi se la distanza è 168000 anni luce, i neutrini dovrebbero arrivare 4.2 anni prima dei fotoni :

ytcct

cc

tt

cst 2.4−=

Δ−=Δ→

Δ−=

Δ→=

E invece:• Approximately three hours before the visible light from SN

1987A reached the Earth, a burst of neutrinos was observed at three separate neutrino observatories.

• This is likely due to neutrino emission (which occurs simultaneously with core collapse) preceding the emission of visible light (which occurs only after the shock wave reaches the stellar surface).

• At 7:35 a.m. Universal time, Kamiokande II detected 11 antineutrinos, IMB 8 antineutrinos and Baksan 5 antineutrinos, in a burst lasting less than 13 seconds.

• Approximately three hours earlier, the Mont Blanc liquid scintillator detected a five-neutrino burst, but this is generally not believed to be associated with SN 1987A.[6]

Spazio e Tempo

• I nostri sensi percepiscono l’ estensione delle cose (spazio), e il nostro cervello percepisce il divenire come successione di eventi diversi (tempo).

• La Fisica descrive la natura in termini matematici.

• E’ naturale quindi che siano stati sviluppati strumenti matematici per descrivere lo spazio, il tempo, e successivamente lo spazio-tempo.

Il gran libro della Natura …• Leonardo Da Vinci: “Nessuna umana

investigazione si puo’ dimandare umana scienzia , s’essa non passa per le matematiche dimostrazioni”

• Galileo Galilei: “La filosofia e’ scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’ universo) ma non si puo’ intender se prima non si impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’quali e’ scritto. Egli e’ scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi e’impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi e’ un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto”

… e’ scritto in termini matematiciGalileo Galilei 1564-1642

Leonardo Da Vinci 1452-1519

Geometriae distanze

• La parola geometria, dal Greco, significa “misura della Terra”.

• La geometria serve a misurare le cose (lunghezze, aree, volumi…)

• I mesopotami trovarono sperimentalmente la regola della distanza nel piano:

• Circa 1000 anni dopo i greci la derivarono da assiomi astratti (Elementi di Euclide, Teorema “di Pitagora” della Scuola Pitagorica)

222

21 HLLL =+

• Nel 1637 Descartesunifico’ l’ algebra e la geometria, inventando la geometria analitica: piano cartesiano.

Geometria e distanze

• Nel sistema cartesiano i punti sono individuati dalle loro coordinate.

• La distanza tra due punti puo’ essere calcolata usando ancora il Teorema di Pitagora, e costruendo la “funzione distanza” nel piano cartesiano (detto anche piano euclideo) :

• La funzione distanza viene anche detta “metrica”: il teorema di Pitagora puo’anche essere chiamato metrica del piano euclideo.

212

212

2 )()( yyxxL −+−= • Questa metrica funziona benissimo fino a che non ci si avvicina a zone dello spazio dove la gravita’ e’molto forte.

• Ma questo fu scoperto solo nel ‘900 da Einstein.

5

Distanze in astrofisica• Sono distanze molto grandi rispetto agli standard

terrestri. Quindi il metro, l’ unita’ di misura corretta nel Sistema Internazionale, non e’ molto pratico:– Diametro della Terra: 1.275 x 107 m– Diametro del Sole: 1.392 x 109 m– Semiasse maggiore orbita Terrestre: 1.496 x 1011 m– Semiasse maggiore orbita di Plutone : 5.914 x 1012 m– Distanza della stella piu’ vicina: 3.97 x 1016 m– Distanza del Sole dal centro della Via Lattea 2.4 x 1020 m– Diametro della Via Lattea 8 x 1020 m– Distanza tipica tra due galassie 3 x 1022 m– Diametro tipico di un ammasso di Galassie 1024 m– Raggio dell’ Universo Osservabile 1.3 x 1026 m

L’ anno luce• Distanza percorsa dalla luce in 1 anno :

– Diametro della Terra: 1.38 x 10-9 ly– Diametro del Sole: 1.47 x 10-7 ly– Semiasse maggiore orbita Terrestre: 1.58 x 10-5 ly– Semiasse maggiore orbita di Plutone : 6.25 x 10-4 ly– Distanza della stella piu’ vicina: 4.2 ly– Distanza del Sole dal centro della Via Lattea 25 kly– Diametro della Via Lattea 80 kly– Distanza tipica tra due galassie 3.3 Mly– Diametro tipico di un ammasso di Galassie 100 Mly– Raggio dell’ Universo Osservabile 14 Gly

mssmctD 158 1046.9606024365/10997.2 ×=×××××==

Il parsec.• Il raggio dell’ orbita terrestre R e’ di 149.6

milioni di km (1 U.A.).• Per angoli piccoli, la relazione tra angolo p

sotteso dal raggio dell’ orbita terrestre e distanza della stella dal Sole d e’ semplicemente p=R/d.

• Il parsec e’ una unita’ di misura delle distanze, presa convenzionalmente pari ad 1 quando la parallasse annua e’ di 1 secondo d’ arco (1/3600 di grado, o 4.85×10-6 radianti, o 100 lire a 5.6 km di distanza).

• 1 parsec = R / 1” = 3.06×1013 km = 3.26 anni luce

• la distanza di una stella in parsec e’semplicemente l’ inverso della sua parallasse misurata in secondi d’ arco: d(pc)=1/p(”) .

p

R

d

Tempo• Provare a definire il tempo e’ difficile.• Il nostro cervello lavora tramite una

sequenza di atti di attenzione. Questa sequenza e’ controllata da un “orologio interno”, e definisce i nostri concetti di “prima” e “dopo”.

• Vediamo che le cose cambiano: movimento, eventi, le cose erano in una certa configurazione prima e in un’ altra dopo.

• Sembra che il tempo esista semplicemente perche’ le cose cambiano.

Tempo• Aristotele lo dice chiaramente: “Il tempo e’ la misura

del moto nella prospettiva del prima e del dopo” PHYSICA ΔII, 219b 1-2

• Galileo e Newton assumono l’ esistenza di un tempo assoluto (e di uno spazio rigido).

• Questa concezione rimane fino all’ inzio del ‘900, quando, dopo lo sviluppo dell’ elettromagnetismo, si deve modificare per tener conto dell’ invarianzadella velocita’ della luce, dimostrata sperimentalmente da Michelson e Morley fin dal 1879 e per risolvere il “problema dell’ etere”.

• Secondo Minkowski ed Einstein, il tempo assoluto non esiste: il tempo dipende dallo stato dell’osservatore.

Orologi• Per i fisici “il tempo e’ cio’ che viene misurato dagli

orologi” . Un orologio e’ una apparecchiatura che svolge la stessa operazione in modo ciclico e regolare.

• Esempi: – Il pendolo– La vibrazione di un cristallo piezoelettrico– L’ oscillazione di onde elettromagnetiche generate da atomi

eccitati• Sembra una definizione circolare: per definire il tempo si

usano i concetti di regolare, ciclico o periodico…• In realta’, una volta che un orologio viene definito come

standard, il tempo e’ cio’ che quell’ orologio misura, e non e’ nemmeno essenziale che i cicli di quell’ orologio siano esattamente uguali.

6

L’ orologio a fotone

• L’ orologio piu’semplice che possiamo immaginare e’ un fotone che rimbalza tra due specchi paralleli separati da una distanza h.

• Se h=15 cm, il periodo TR per una oscillazione completa e’ circa 1 ns: il fotone fa un miliardo di oscillazioni al secondo.

• Contando il numero di oscillazioni tra due eventi, possiamo misurare accuratamente il tempo intercorso.

γ

specchio

specchio

h=15 cm

chTR

2=

Orologio in movimento

• Se l’ orologio si muove a velocita’ costante v, il tempo impiegato per una oscillazione, visto da un osservatore esterno, fermo, e’ piu’ lungo.

• Questo e’ una diretta conseguenza della costanza della velocita’della luce c.

• Il periodo dell’ orologio in moto TM si puo’stimare cosi’:

γ

specchio

specchio

v

Orologio in movimentomirror

mirror

t=0

v

mirror

mirror

mirror

mirror

t=0 t=TM/2

Orologio in movimento v

mirror

mirror

mirror

mirror

mirror

mirror

t=0 t=TM/2 t=TM

Orologio in movimento v

mirror

mirror

mirror

mirror

mirror

mirror

vTM

γ

v

t=0 t=TM/2 t=TM

Orologio in movimento

7

mirror

mirror

mirror

mirror

mirror

mirrorvTM/2[h

2 +(vT M/2)2 ]1/2

γ

( )22

22

v2

2/v2

−=⇒

+==

chT

cTh

csT M

MM

h

vTM

Orologio in movimento v Orologi in movimento• Un osservatore che si muove a velocita’ costante

insieme all’ orologio, vedrà l’ orologio fermo, e misurera’ un periodo TR=2h/c

• Ma l’ osservatore fermo, osservando l’ orologio misurera’ un tempo piu’ lungo:

• Se la velocita’ della luce e’ costante, indipendente dal sistema di riferimento, e se vale la relativita’Galileiana, allora il tempo non e’ assoluto, e dipende dal movimento dell’ osservatore.

2222 /v1v2

cT

chT R

M−

=−

=

Orologi in movimento• Questo concetto non e’ familiare e sembra contrario ai nostri sensi, solo perche’ non siamo abituati a velocita’vicine a quella della luce.

• L’ effetto di dilatazione del tempo per orologi in movimento e’stato misurato in un grande numero di esperimenti ed e’ stato sempre confermato.

0.01 0.1 1

1

2

3

4

5

6

T Mov

ing /

TR

est

v/c

Trasformazioni di Lorentz

• Quello che abbiamo visto è solo uno dei risultati della relatività ristretta di Einstein.

• I risultati più generali si derivano dalle trasformazioni di Lorentz, le trasformazioni di coordinate spaziali e temporali che sono compatibili con l’ invarianza della velocita’ della luce , e piu’ in generale con la covarianza delle equazioni dell’ elettromagnetismo di Maxwell.

Per sistemi in moto relativo uniforme(velocita’ w diretta lungo gli assi x e x’, assi y e y’, z e z’ paralleli)

Trasformazioni di Galileo (TdG) Trasformazioni di Lorentz (TdL)

Le equazioni di Newton della meccanica sono covarianti per TdG

Esiste un tempo assolutoLa velocita’ della luce non

e’ indipendente dal sistema

Le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo sono covarianti per TdL ; La velocita’della luce e’ invariante

Non esiste un tempo assoluto (gli orologi in moto rallentano)

Le lunghezze in moto si contraggono

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

−=

ttzzyy

txx

'''

w'

cxc

ttzzyy

txx

w1

1

'''

)w('

2

=

−=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==

−=

β

βγ

βγ

γ

Metri in movimento• Consideriamo una sbarra ferma nel sistema S’, estesa da

xB’=0 a xA’= l’,e supponiamo che venga misurata nel sistema S, al tempo t=0, mentre si muove con velocita’ w lungo l’ asse x :

• Quindi la lunghezza misurata mentre la sbarra e’ in movimento e’ inferiore a quella misurata a riposo !

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==

−=

xc

ttzzyy

txx

βγ

γ

'''

)w('

γγ

γγ

/')(''

''

ll =−=−

⎩⎨⎧

==

ABAB

BB

AA

xxxxxxxx

8

Orologi in movimento• Consideriamo una orologio fermo nel sistema S’, che

misura l’ intervallo tra due eventi A e B che avvengono nello stesso punto x’A=x’B=0. Avremo t’A=0 e t’B=τ’.

• Gli stessi eventi, osservati in S, avvengono agli istanti tAe tB che si calcolano dalle trasformazioni inverse:

• Quindi il tempo misurato dall’ osservatore fermo mentre l’ orologio e’ in moto e’ piu’ lungo di quello misurato dall’ osservatore che si muove con l’ orologio !

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

==

+=

''''

)w'(

xc

ttzzyy

txx

βγ

γ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

'''

0''

γτβγ

βγ

BBB

AAA

xc

tt

xc

tt'γττ =−= AB tt

Esempio: vita media del muone

• Gli effetti di allungamento dei tempi e di contrazione delle distanze non sono apprezzabili nella vita di tutti i giorni

• Ma sono evidenti e fondamentali per le particelle elementari che si trovano a viaggiare a velocita’vicine alla velocita’ della luce.

• Ad esempio i muoni.• Sono particelle cariche, pesanti

circa 207 volte piu’ degli elettroni. Si formano nell’ alta atmosfera dalle interazioni dei raggi cosmici primari con i nuclei dell’ aria.

vita media del muone• Da un primario si forma uno

sciame costituito da un grande numero di particelle.

• Alcune sono pioni (π), che decandono velocemente in muoni (μ) e neutrini (ν).

• I muoni sono anch’essi instabili, e decadono in un elettrone e due neutrini.

• Dopo essere stati prodotti, di solito ad una quota di circa 9000 metri, viaggiano a velocita’relativistiche, e possono arrivare fino a terra prima di decadere.

• La vita media del muone “fermo” puo’ essere misurata con un esperimento relativamente semplice costituito da uno scintillatore e da un fotomoltiplicatore.

• Si selezionano i muoni che perdono tutta la loro energia cinetica interagendo con un nucleo dello scintillatore (producendo un primo impulso luminoso), e quindi si fermano. Dopo un tempo legato alla loro vita media, questi decadono e producono un secondo impulso.

• Per selezionare questi eventi (rari), si selezionano solo gli impulsi che sono seguiti da un secondo impulso entro una data finestra di tempo (ad es. 20 μs). Si misura l’ intervallo di tempo per ciascuno di questi eventi doppi. Dall’ istogramma di questi intervalli di tempo si puo’stimare la vita media del μ nel sistema di riferimento proprio.

0 5 10 15 200

50

100

150

200

250

300

350

num

ero

di e

vent

i

ritardo tra i due impulsi (μs)

τ=2.2 μs

bkgT

o NeNTN += − τ/)(

Nbkg

• Ma con una vita media cosi’ breve e’ sorprendente che arrivino muonia terra !

• Se vengono formati ad h=9000m, e decadono in 2.2 μs, anche viaggiando alla velocita’ della luce potrebbero percorrere tipicamente

• Il numero di quelli con vita 9000/660=13.6 volte piu’ lunga della vita media, che quindi possono arrivare a terra, e’ minuscolo:

• Cioe’ uno ogni milione che parte. Invece ne vediamo molti di piu’. Dov’e’ l’ errore ?

mssmcd 660102.2/103 68 =×××== −τ

• Stiamo osservando un orologio in movimento velocissimo !• Dobbiamo vederlo battere piu’ lento. Quindi la sua vita (osservata da

noi) deve essere piu’ lunga di un fattore

• Per i muoni dei raggi cosmici, la velocita’ tipica e’ 0.98c, quindi

γτ

τ=

−=

22 /v11

cobs

6102.1 −−−×≈== ττ c

ht

o

eeNN

5≈γ

9

• Quindi noi li vediamo decadere in 2.2 μs x 5 = 11 μs, durante i quali percorrono una distanza cinque volte maggiore di quanto abbiamo stimato prima.

• Il numero di quelli che possono arrivare a terra aumenta molto :

• Cioe’ 65000 per ogni milione che parte. Questo e’ consistente con i risultati sperimentali.

• Il primo esperimento di questo genere fu fatto da Bruno Rossi nel 1941 [Rossi, B. and Hall, D. B., Phys. Rev. 59, 223 (1941)]

• Se consideriamo il problema nel sistema di riferimento del muone, qui il tempo di vita medio e’ proprio τ = 2.2 μs.

• Ma la distanza che deve percorrere si riduce, proprio dello stesso fattore γ, per effetto della contrazione delle lunghezze. Quindi il numero medio di muoni che arriva a terra e’ di nuovo quello calcolato sopra.

065.0≈==−−

τγγτ cht

o

eeNN

2000 m10000 m10000 m

2.2 μs11 μs2.2 μs

Relativistico(oss. μ)

Relativistico(oss. fermo)

Classico

τ

h

1 65000 65000τchoeNN /−=

)10( 6=oN

Metrica dello spazio-tempo• Le trasformazioni di Lorentz valgono per sistemi in moto

uniforme. Quindi in assenza di forze (come la gravita’) che accelerano il moto.

• In queste condizioni non si conservano le distanze.• Quello che rimane invariante e’ la combinazione

• Questa puo’ essere considerata la metrica di uno spazio a quattro dimensioni, di coordinate : x0= ict, x1=x, x2= y, x3= z. La distanza infinitesima in questo spazio puo’essere definita come

dove

2222222222 '''' tczyxtczyx −++=−++

∑=

=−−−=3

0,

232221202 )()()()(ji

jiij dxdxgdxdxdxdxds

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

1000010000100001

ijgMetrica di Minkowski (o Euclidea). Valida in assenza di forze gravitazionali.

Metrica dello spazio-tempo• Vedremo piu’ avanti che in Relativita’ Generale (la piu’

moderna teoria della forza gravitazionale) l’ effetto delle masse e’ una modifica della metrica dello spazio-tempo.

• Le leggi che descrivono le forze gravitazionali possono essere rappresentate da una opportuna geometria (metrica) non euclidea dello spazio-tempo, molto meglio che non dalle leggi di Newton.

• Sara’ ancora

ma con

∑=

=3

0,

2

ji

jiij dxdxgds

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

44434241

34333231

24232221

14131211

gggggggggggggggg

gij Metrica generica. Descrive lo spazio-tempo in presenza di forze gravitazionali.

SpazioTempo• Albert Einstein ha dimostrato

che le misure del tempo e delle lunghezze dipendono dal moto dell’ osservatore.

• La concezione di Newton di spazio rigido e tempo assoluto non sono applicabili ad osservatori che si muovono velocemente. Spazio e tempo sono collegati e la simulteneita’ non e’assoluta.

• Minkowski (1908): “Hereafter space and time alone will fade as shadows, and only their union willmantain its independence”

Il paradosso dei gemelli• Il gemello A resta sulla

Terra, mentre il gemello B si imbarca su una astronave che deve raggiunge una stella distante 4 anni luce, e torna indietro, viaggiando sempre a velocità di 0.8c.

• Quando il gemello B torna, trova il gemello A più vecchio di lui.

B A AB

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Il paradosso dei gemelli

• Fenomeno visto dal gemello A:– B deve percorrere 8 anni luce viaggiando a

0.8c, quindi deve impiegare un tempo pari a 8/0.8 anni = 10 anni. Quindi A rivedrà B quando A sarà più vecchio di 10 anni.

– Però il tempo di A visto da B (a terra) èmaggiore del tempo proprio di A. A terra si misurano 10 anni mentre sull’ astronave si misurano 10/γ anni = 6 anni. Quindi, secondo A, B invecchierà solo di 6 anni. E, infatti, quando arriva, B è più giovane di A.

γτ=t


• Fenomeno visto dal gemello B: – B vede la distanza stella-terra muoversi a 0.8c rispetto a lui.

Quindi la distanza non è 5+5 anni luce, ma (5+5)/γ = 4.8 anni luce. Quindi lui impiegherà 4.8/0.8 anni = 6 anni del suo tempo a percorrerla, e invecchierà di 6 anni nel viaggio.

– Questa conclusione di B non è in contrasto con la conclusione di A. Ambedue (se credono alla relativitàgenerale) arrivano alla stessa conclusione. B sarà piùgiovane di A quando torna.

• Domanda : ma se mi metto fermo nel sistema di riferimento del viaggiatore B, e penso che A faccia un viaggio insieme alla terra, non dovrei concludere che quando B incontra nuovamente A, troverà A piùgiovane di lui ?

γ/Δ=D


• Risposta: I due osservatori non sono equivalenti. • L’ osservatore B sente forti accelerazioni (alla

partenza, quando inverte la velocità vicino alla stella, e al ritorno). Viaggia in un sistema di riferimento non inerziale.

• L’ osservatore A non sente alcuna accelerazione. Viaggia in un sistema di riferimento inerziale.

• E’ durante le fasi di accelerazione che i due tempi si sfasano in modo che non può essere descritto dalle trasformazioni di Lorentz. Per questo motivo B non può, usando solo le trasformazioni di Lorentz, fare previsioni sul tempo di A.

1

Corsi di Astrofisica e Introduzione all’ Astrofisica – AA 2013-2014prof. Paolo de Bernardis

Testi di riferimento :• An introduction to modern astrophysics,

– Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie, – Addison Wesley, 1996. – Codice Biblioteca Fisica: 523,03 Carr

• Fundamentals of Cosmology, – James Rich, – Springer, 2001– Codice Biblioteca Fisica: 523.1 Rich

• Queste slides :– http://oberon.roma1.infn.it/lezioni/corso_astrofisica/corso_astrofisica_2013

• Corso di laboratorio di Astrofisica– Sito del Dipartimento -> Didattica -> Dispense -> Astrofisica– Oppure ai chioschi gialli, stampate

Per sistemi in moto rettilineo uniforme (velocita’ di trascinamento w=βc)

• Trasformazioni di Lorentz

• Le equazioni dell’ elettromagnetismo sono covarianti per trasformazioni di Lorentz

• La velocita’ della luce e’ invariante, uguale in tutti i sistemi di riferimento

• Le equazioni di Newton della meccanica invece erano covarianti per trasformazioni di Galileo. Quindi NON sono covariantiper trasformazioni di Lorentz.

• Se quelle di Lorentz sono giuste, cosa cambia per la meccanica ?

• Succede che tutto va come se la massa non fosse invariante. Per vederlo consideriamo un problema di urto.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

==

+=

''''

)'w'(

xc

ttzzyy

txx

βγ

γ

Per sistemi in moto rettilineo uniforme (velocita’ di trascinamento lungo assi x e x’ : w=βc)

• Composizione delle velocità :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

==

''''

v''v x

'x

dxc

dtdtwdtdxx

dtdx

dtdx

βγγ

( )⇒

+

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+==

''1

''

''

''''v x

dtdx

c

wdtdx

dxc

dt

wdtdxdtdx

ββγ

γ

'v1

'vvx

xx

c

wβ

+

+=⇒

ma dalle trasformazioni di Lorentz :

e quindi :

Per sistemi in moto rettilineo uniforme (velocita’ di trascinamento lungo assi x e x’ : w=βc)

• Composizione delle velocita’

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

−=

+

−=

+

+=

'v1

1'vv

'v1

1'vv

'v1

w'vv

x

2

zz

x

2

yy

x

xx

c

c

c

ββ

ββ

β

• Per il modulo della velocita’si ottiene :

[ ]2222

x

22222 v'v'v'

v'1

1vvv zyxzyx c

c

c −−−+

−=−−− β

β

2

2

x

2

2

2 v'1v'1

1v1c

cc

−+

−=− β

β

Urto tra particelle identiche (massa a riposo mo)• Supponiamo che nel sistema S’ in moto con velocita’

w rispetto a S le particelle convergano verso l’origine con velocita’e abbiano ancora masse uguali, ma a priori diverse dalla massa a risposo mo

• Abbiamo cioe’ scelto w in modo da rendere le due velocita’ simmetriche. Se la massa dipende dal modulo della velocita’ (energia) e non dalla direzione, rimane comunque uguale per le due part.

'v've'v'v 21 −==

'v'v'v'v 21 −==

S’wS

Urto tra particelle identiche (massa a riposo mo)• Nel momento dell’ urto la velocita’ del sistema

delle due particelle in S’ sara’ V’=0, e quindi, vista da S sara’ V=w.

• Invece in S le due particelle avranno velocita’prima dell’ urto diverse (v1 e v2), e quindi, in linea di principio, masse m1 e m2 diverse

M=m1+m2

m2

S’wS

2

Urto tra particelle identiche (massa a riposo mo)• Nel sistema S la conservazione dell’ impulso

sara’:

M=m1+m2

m2

S’wS

( )wwvv 212211 mmMMVmm +===+

Urto tra particelle identiche (massa a riposo mo)• Nel sistema S la conservazione dell’ impulso

sara’:

• Usando le formule di composizione delle velocita’si ha:

• E inserendole nella eq. sopra si ottiene:

( )wwvv 212211 mmMMVmm +===+

'v1

w'v-

'v1

w'vv;'v1

w'v

'v1

w'vv2

22

1

11

ccccββββ

−

+=

+

+=

+

+=

+

+=

( )w'v1

w'v-

'v1

w'v2121 mm

c

m

c

m +=−

++

+

+ββ

'v1

'v1

2

1

c

cmm

β

β

−

+=

Urto tra particelle identiche (massa a riposo mo)

• Combinando questa equazione con la trasformazione del modulo delle velocita’

• si ha:

• e quindi

'v1

'v1

2

1

c

cmm

β

β

−

+=

2

2

x

2

2

2 v'1v'1

1v1c

cc

−+

−=− β

β

2

22

2

21

2

22

2

21

2

1

v1

v1

v1

1

v1

1

c

mc

m

c

cmm

o

o

−

−=

−

−=

2

2

2

21

2 v'1v1

1v'1

cc

c−

−

−=+

ββ

2

2

2

22

2 v'1v1

1v'1

cc

c−

−

−=−

ββ

Nel sistema S le due particelle hanno velocita’ diverse, e quindi masse diverse.

Dipendenza della massa dalla velcita’• Abbiamo quindi ottenuto come scala la massa di una

particella con la sua velocita’rispetto all’ osservatore:

• Effetto piccolo nell’ esperienza comune: la variazione percentuale di massa non supera il milionesimo finche’la velocita’ non supera 400 km/s. La massa aumenta con la velocita’, e per velcità tendenti a quella della luce tende all’ infinito.

• Possiamo a questo punto pensare di modificare l’equazione di moto di Newton in

2

2v1c

mm o

−

=

( ) Fmdtd rr

=v

Energia di una particella• Il lavoro infinitesimo fatto dalla forza F durante il moto della particella (caso

unidimensionale, per semplicita’) e’

• Ma

• quindi

( )2

2v1dovev

c

mmFmdtd o

−

==rr

vv1

1vvvvv)v(v2

22 dmdmdmdmdtmdtddtFFdsdL o +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=+====

β

23

2

22

23

2

22

2

22

cv1

vv1

cv1

vv22

1

cv1

11

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

dc

dc

ddβ

)(1

1

cv1

vv

cv1

cv1v

vv

cv1

vv

cv1

vv1v

2

2

20

23

2

2

0

23

2

2

2

2

2

2

02

1

2

20

23

2

22

2

mcddLdcmdm

cdmdmd

cmdL o

=⇒⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

β

Energia e Massa

• Integrando tra i tempi t1 e t2 si ottiene che• Nella meccanica newtoniana valeva il teorema dell’ energia cinetica: L=T2-T1.

La relazione sopra ci suggerisce di assumere per l’ espressione dell’ energia cinetica

dove abbiamo scelto la costante k in modo che l’ energia cinetica sia nulla per una particella ferma.

• Inserendo l’ espressione per m in funzione di β si verifica facilmente che per velocita’ piccole rispetto a c torna la formula classica T=(1/2)mv2.

• L’ acquisto di energia cinetica da parte di un corpo comporta una variazione della sua massa. Ma l’ energia cinetica di un corpo puo’ trasformarsi in altre forme di energia (potenziale, termica, elettromagnetica, chimica etc.).

• Quindi generalizziamo dicendo che ad una quantita’ di energia E corrisponde una massa m secondo la relazione di Einstein

• Viceversa, ad ogni massa (o sua variazione) e’ associata una energia (o variazione) data dalla stessa formula.

)( 2mcddL =

12)()( 22

tt mcmcL −=

mccmmckmcT o Δ=−=+= 2222

2mcE =

3

Ciclo Protone-Protone

HHHeHeHeHeHH

eHHH

++→+

+→+

++→+ +

433

32

2

γ

ν

(Sole)Ciclo Protone-Protone

(Sole)

Massa del protone = 1.6725 10-27 kgMassa del neutrone = 1.6748 10-27 kg

Massa del nucleo di deuterio = 3.3434 10-27 Kg

Differenza di massa = -0,0039 10-27 kg = -2,22 MeV

Usando E=mc2


HHHeHeHeHeHH

eHHH

++→+

+→+

++→+ +

433

32

2

γ

ν

(Sole)

ΔM=5.49 MeV

ΔM=12.86 MeV

Massa Relativistica ?• Quindi, riassumendo: e’ possibile riscrivere la legge di

Newton F=ma in forma covariante per trasformazioni di Lorentz: si deve scrivere

e’ la “massa relativistica” e mo e’ la massa a riposo.• Queste relazioni ci hanno consentito di arrivare alla

importante formula E=mc2=γmoc2.• Combinandola con p=mv=γmov si ottiene la relazione

relativistica tra energia e impulso:

( ) oo mmmm

dtd

dtpdF γ

β=

−===

21dovevr

rr

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⇒

−=

−=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

−==

22222

2

22222

2

222

2

2

22

)(

1

1

1v

1 cmpcEcmcp

cmE

cmmp

cmcmE

oo

o

oo

oo

ββ

β

ββγ

βγ

Massa Relativistica ?• Ad es. per i fotoni mo=0 e quindi si ottiene la relazione

gia’ trovata in elettromagnetismo per le onde elettromagnetiche:

• Questa trattazione ha seguito un articolo originale di Einstein del 1905 “Does the inertia of a body depend on its energy content ?” (la risposta di Einstein era “si”); un articolo di Lorentz del 1904 “Electromagnetic phenomenain a a system moving with any velocity less than that of light”, e lo sviluppo della meccanica relativistica di Planck, Lewis e Tolman (1905-1909).

• Questa trattazione non e’ in se’ sbagliata, ma e’ obsoleta.

cEpcmpcE o =⇒==− 0)( 22222

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski• Nel 1908 Minkowski introdusse una formulazione

quadridimensionale delle leggi fisiche nello spazio-tempo.• Le coordinate di un evento sono un vettore

quadridimensionale X=(x1, x2, x3, x4)=(x,y,z,ict)• Le trasformazioni di Lorentz sono rappresentate dalla

matrice A tale che

• Risulta

1

0001000010

00

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

= AA

i

i

A T

γβγ

βγγ

AXX ='

4

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski• Una quadrivettore F si dice covariante se trasforma come il

quadrivettore delle coordinate, cioe’ se

• I quadrivettori covarianti si dicono tetravettori. Un’equazione in cui compaiono grandezze covarianti e invarianti e’ covariante.

• Si definisce la tetravelocita’ come la derivata della posizione rispetto al tempo proprio. La posizione e’covariante, il tempo proprio e’ invariante, quindi la quadrivelocita’ cosi’ ottenuta e’ covariante.

• Per trovare il tempo proprio basta imporre l’ invarianzadell’elemento quadridimensionale:

γττ /v11 2

22

22

23

22

2122 dtd

cdt

dtcdxdxdxdtd =→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−=

jiji FAFAFF =↔= ''

2223

22

21

22 τdcdxdxdxdtc =+++

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski• La tetravelocita’ e’ quindi

• Imponendo che trasformi come un quadrivettore si trova subito la legge di composizione delle velocita’

• Analogamente la tetraaccelerazione e’

• E la tetraforza e’ definita come

• Avendola definita con quantita’ covarianti e invarianti, la legge di Newton relativistica e’ covariante.

• L’ impulso e’viene chiamato vettore impulso-energia

( )icddx

ddx

ddx

ddx γγ

ττττη v4321 r

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

dtdic

dtd

dda γγγ

τη vr

amF o=

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2vv cm

cimicmmmp ooooo γγγγη rr

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski

• Infatti, la quarta componente del tetraimpulso e’ l’ energia:

• E quindi

• Abbiamo quindi ritrovato il risultato di Einstein

• La conservazione del tetraimpulso esprime contemporaneamente le due leggi di conservazione dell’impulso e dell’ energia.

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=== 2vv cm

cimicmmmp ooooo γγγγη rr

( ) ( )ττ

γτ

γττ d

dEciF

ci

dpd

cim

dd

cicm

dd

ci

ddp

oo =⋅=⋅=⋅==rv

rvrv vvvv24

2244 cmcm

ci

icp

icEE

cip oo γγ ===→=

2

2

1 β−=

cmE o

W

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski• In condizioni relativistiche, la forza e l’ accelerazione non

sono sempre parallele. Dalla legge per i quadrivettori si puo’ estrarre la legge per i vettori tridimensionali:

dove F,a,v sono vettori a 3 componenti e 1 e’ la matrice unitaria 3x3. Da queste relazioni si vede che e’ piu’ “facile”accelerare un corpo in direzione ortogonale a quella nel moto che non in direzione del moto.

• Se la massa inerziale dovesse essere l’ unico fattore di collegamento tra forza e accelerazione, dovremmo concludere che non solo dipende dalla velocita’, ma anche dalla sua direzione. E’ piu’ corretto quindi usare il termine massa solo per la massa a riposo mo , lasciar perdere il pedice, e usare le equazioni qui sopra per la legge di Newton.

( ) ( )o

o mm

γγγ Fvv1aavv1F

tt2 ⋅−

=⇔⋅+=

Il formalismo quadridimensionale di Minkowski• In questo formalismo – che e’ quello in uso oggi e che fu

alla base dello sviluppo della relativita’ generale - non c’e’bisogno di introdurre la massa relativistica: l’ unica massa utile e’ la massa “a riposo” (e quindi non c’e’ bisogno di specificarlo). Il fattore γ viene dalla velocita’.

• Mentre il concetto di massa relativistica viene ancora usato specialmente nella divulgazione, tra i fisici non se ne parla quasi piu’: la massa e’ solo quella a risposo e come tale e’ ritenuta un invariante relativistico. La dipendenza dalla velocita’ delle leggi fisiche in cui compare la massa e’ assorbita in un vettore (o matrice) separato.

• E’ un approccio piu’ rigoroso ed elegante, e si puo’ dire così che la massa e’ un invariante relativistico come l’altra caratteristica intrinseca della particella, la carica.

Spazio e Materia

• Nella scorsa lezione e in questa abbiamo iniziato a vedere quali sono gli strumenti matematici per descrivere lo spazio, il tempo, lo spazio-tempo, soprattutto in assenza di materia.

• Oggi cominciamo a vedere cos’e’ la materia che riempie lo spazio, e quali sono le forze con cui interagisce.

5

Particelle Elementari• Sono le unita’ fondamentali costitutive della

materia.• Gli ultimi 50 anni di sperimentazione e

teorizzazione della fisica fondamentale mostrano che sono di due tipi:– QUARK: si combinano insieme per formare particelle

composte (come neutrone e protone)– LEPTONI: sono particelle semplici che non si

combinano tra loro.• Secondo il “Modello Standard” esistono

6 QUARK e 6 LEPTONI, ed altrettante antiparticelle, con le seguenti caratteristiche:

Particelle elementari

neutrino tau(ντ)< 24 MeV

neutrino (νμ)muonico< 0.17 MeV

neutrino (νe)elettronico< 15 eV

0

tau (τ-)1.777 GeV

muone (μ-)0.106 GeV

elettrone (e-)0.511 MeV

-1

bottom (b)4.3 GeV

strange (s)0.25 GeV

down (d)10 MeV

-1/3

top (t)180 GeV

charm (c)1.2 GeV

up (u)6 MeV

+2/3

3a generazione2a generazione1a generazionecarica

Quark

Leptoni

famiglia

Per ciascuna esiste una antiparticella con stessa massa e carica opposta:

In blu: massa

antiParticelle elementari

antineutrino tau ντ

< 24 MeV

antineutrino muonico νμ

<0.17MeV

antineutrino elettronico νe

< 15 eV

0

tau+ (τ+)1.777 GeV

Muone+ (μ+)0.106 GeV

positrone (e+)0.511 MeV

+1

antibottom(b) 4.3 GeV

antistrange(s) 0.25 GeV

antidown (d) 10 MeV

+1/3

antitop (t)180 GeV

anticharm (c)1.2 GeV

antiup ( u )6 MeV

-2/3

3a generazione2a generazione1a generazionecarica

AntiQuark

AntiLeptoni

famiglia

In blu: massaAntimateria nell’ Universo ?

• Nel nostro ambiente l’ antimateria che conosciamo viene prodotta negli acceleratori (o nei raggi cosmici)

• La mancanza di radiazione di annichilazione nel mezzo intergalattico implica che tutte le galassie siano fatte di materia

• Perche’ nell’ universo manca l’ antimateria ? • Esperimenti come AMS studiano l’ antimateria

nell’ universo.

AMS Alpha Magnetic Spectrometer

Le particelle composte

Barioni:composti da

3 Quark

Mesoni:composti da1 Quark e

1 Antiquark

Adroni

....0 dsKsuKdudu

=

=

=

=

+

−

+

π

π

−+

−+

KKK ,, Kaoni ,,, Pioni

0

0πππEs.Es.

np Neutrone

Protone

....sssuds

uddnuudp

=Ω

=Λ==

−

6


HHHeHeHeHeHH

eHHH

++→+

+→+

++→+ +

433

32

2

γ

ν

(Sole)

Massa• Le masse a riposo sono espresse come energie (in

eV). Per ottenere i grammi, m=E/c2 m(g)=….E(eV)• E’ importante notare la gerarchia di masse. Particelle

di massa piu’ alta possono decadere trasformarsi in particelle di massa piu’ bassa e rilasciando energia.

• Per i Quark, le masse aumentano nella sequenza up down strange charme bottom top

• Un quark strange puo’ decadere in un up perdendo energia

• Le particelle formate da quark up sono le piu’ stabili, perche’ si deve fornire energia per trasformarle in qualcos’ altro: non decadono spontaneamente.

Spin• E’ un’ altra caratteristica delle particelle elementari,

analoga al (ma non e’ il) momento angolare. • L’ analogia consiste nel fatto che gli spin si combinano

come i momenti angolari (come le rotazioni…).• Lo spin e’ misurato in unita’ di h/2π (costante di

Planck h=6.67x10-34 J s )• Tutti i QUARK e i LEPTONI hanno spin ½• I bosoni vettori (vedi dopo) hanno spin 1 o 2.• Particelle ed antiparticelle hanno spin uguale, l’ unica

eccezione e’ il neutrino: neutrino ed antineutrino hanno spin opposti. Usando l’ analogia delle rotazioni, si potrebbe dire che il neutrino si muove nello spazio come una vite destrorsa, e l’ antineutrino come una vite sinistrorsa.

Numeri• Le particelle interagiscono secondo regole, e, a

seconda del tipo di interazione o reazione, si conservano o no alcune quantita’ globali di tutte le particelle coinvolte. Es: carica, energia, …

• Il numero di Quark: vale 1/3 per ogni quark presente e –1/3 per ogni antiquark presente.

• Il numero Leptonico L : vale 1 per ogni leptonepresente e –1 per ogni antileptone presente. I quark ed i bosono vettori hanno L=0 perche’non sono leptoni.

Interazioni Fondamentali• Le forze sono “le cause delle accelerazioni e delle

deformazioni”.• Possono essere tutte ricondotte a 4 interazioni fondamentali tra

particelle:

a

110-15 mForte10-1310-17 mDebole10-2∞Elettromagnetica10-39∞Gravitazionale

Intensita’relativa

Raggio d’ azione

Interazione:

7

Interazioni Fondamentali• Le forze sono “le cause delle accelerazioni e delle

deformazioni”.• Possono essere tutte ricondotte a 4 interazioni fondamentali tra

particelle:

• Le interazioni avvengono per scambi di particelle particolari senza massa e carica, dette “bosoni vettori”

110-15 mForte10-1310-17 mDebole10-2∞Elettromagnetica10-39∞Gravitazionale

Intensita’relativa

Raggio d’ azione

Interazione:

1Gluone1W+,Z0

1Fotone2Gravitone

spinBosoneVettore

Higgs• Secondo il modello standard ci deve essere

un quinto tipo di interazione, necessaria per spiegare come si formano le masse delle particelle elementari.

• Si pensa che esista una ulteriore forza, la forza di Higgs, ed una particella, il bosone di Higgs responsabile della forza.

• Il bosone di Higgs e’ stato osservato per la prima volta quest’anno al CERN. La sua massa è di 125 GeV. Una grandissima conferma del modello standard.

Il gravitone manca.Non e’ mai stato osservato e non e’considerato parte del modello standard, anche a cause delle difficolta’ di costruire una teoria quantistica della gravitazione.

1

Spazio e Materia• Lo spazio quadridimensionale e’ riempito con particelle e

forze.

• Il primo tipo di aggregazione di particelle di interesse astrofisico che studiamo sono le stelle, non dal punto di vista della loro fenomenologia e classificazione (vedi corso di astronomia) ma dal punto di vista dei processi fisici che avvengono al loro interno.

Barioni:composti da

3 Quark

Mesoni:composti da1 Quark e

1 Antiquark

Adroni

Particelle Composte

Stelle in Sagittario

STELLE

• Alcune sono piu’ brillanti, altre meno.• Alcune sono piu’ rosse (meno calde), altre piu’ blu (piu’

calde).• Sappiamo che, come il sole, le stelle sono enormi sfere di

gas incandescente. • Talmente grandi che temperatura e densita’ al centro sono

altissime: si riportano in unita’ di milioni di gradi.• Tali condizioni fisiche permettono l’ accensione di

reazioni termonucleari, che producono energia bruciando gli elementi costitutivi delle stelle.

• La pressione interna puo’ cosi’ bilanciare l’ enorme autogravita’, che tenderebbe a far collassare la stella su se stessa.

• In questo equilibrio, la stella vive la fase piu’ lunga della sua vita.

• Le stelle hanno quindi una vita: – si formano aggregando materia che si scalda via via – fino ad accendere le reazioni nucleari quando nel

centro temperatura e la densita’ sono sufficienti. – Bruciano elementi semplici e ne creano via via di piu’

complessi. – Muoiono quando hanno bruciato completamente gli

elementi bruciabili.– Disperdono nel mezzo interstellare le loro ceneri, che

daranno vita a nuove generazioni di stelle.• I dettagli dell’ evoluzione stellare sono complicati

e dipendono dalla composizione e dalla massa della stella (vedi corso Astronomia).

Ciclo delle stelle di massa solare: protostella, stella di sequenza principale, gigante rossa, nebulosa planetaria, nana bianca, nana bruna(e materiale espulso)

Ciclo delle stelle di alta massa: protostella, stella di sequenza principale, gigante rossa, supernova, oggetto collassato (e materiale espulso)

2

• Ne vediamo di diversi tipi perche’ hanno diversa massa, composizione, eta’, e quindi le osserviamo in diversi stadi della loro evoluzione.

• La loro eta’ e’ proporzionale alla loro Massa e inversamente alla loro luminosita’. Ma puo’ essere di miliardi di anni.

• Si arriva a questa conclusione perche’sappiamo che reazioni nucleari avvengono nelle stelle e sappiamo quanta energia producono.

• Il gas ionizzato delle stelle e’ formato principalmente da idrogeno ed elio.

• I protoni singoli sono in continua agitazione termica.

• La densita’ e’ cosi’ alta che capita spesso che due protoni si avvicinino molto tra loro, abbastanza da legarsi e formare un nucleo.

• La massa del nucleo e’ inferiore alla somma delle masse delle particelle componenti.

• La differenza Q=Δm c2 e’ l’ energia di legame nucleare B, che viene rilasciata facendo funzionare la stella.

• E’ questa l’ energia che move il sole e l’ altre stelle.

v1 v2

+ν+e+

E

Energie di legame nucleari

7.571801.70238U8.79492.2656Fe8.55342.0540Ca7.98127.6216O7.6892.1612C7.0728.304He1.112.222D

B/A (MeV)B (MeV)Nucleo

L’ energia nucleare puo’ essere rilasciata o fondendo nuclei piu’ leggeri del Fe(fusione nucleare) o separando nuclei piu’ pesanti del Fe(fissione nucleare).La fusione e’ piu’ efficiente.Nelle stelle, partendo da H e He si realizzano diverse fasi che fondono i nuclei fino a convertire tutto in Fe.

• I valori di B danno l’ energia che si libera per ciascun evento, e sono noti da misure di laboratorio per tutte le reazioni interessanti.

• Ma l’ energia che si libera in totale dipende anche da quanto probabili sono gli eventi.

• E’ interessante notare che la formazione dei nuclei avviene nonostante la presenza della forza elettrostatica (repulsiva) che si oppone all’ avvicinamento delle due cariche :

• La probabilita’ di fusione e’ quindi molto bassa.• E’ dominata da un effetto quantistico (effetto

tunnel).

v1 v2

Fc

Fc

Tassi di reazione• Il numero di reazioni che avviene per unita’ di tempo (tasso di

reazione, o “reaction rate”) e’ proporzionale alla sezione d’ urto della reazione (che in generale dipende dalla energia), alle densita’dei due tipi di particelle che interagiscono, e alla velocita’ media relativa delle due specie di particelle:

• In un gas stellare le velocita’ (energie) delle particelle hanno una distribuzione φ(v). Allora nel calcolare il rate si dovra’ mediare sulla distribuzione delle velocita’:

• La quantita’ tra parentesi <σv> e’ il tasso di reazione per coppia di particelle. Il prodotto NxNy e’ la densita’ di coppie di particelle non identiche X e Y. Nel caso di reazioni tra particelle identiche va diviso per 2, altrimenti ciascuna coppia si conta due volte. Quindi

( )vvσyx NNr =

( ) ( ) ( ) vvvvvv0

dNNNNr yxyx σφσ ∫∞

==

( ) ( ) 1xy1vv −+= δσyx NNr

3

Tassi di reazione• Nelle stelle normali la distribuzione di velocita’ φ(v) delle particelle

e’ quella di Maxwell. Si trova quindi

• La sezione d’ urto σ(E) dipende da quanto e’ facile per due particelle unirsi (a parita’ di condizioni di “avvicinamento”). I processi che la determinano possono essere complessi e di diversi tipi:– Reazioni non-risonanti

• Indotte da neutroni• Indotte da particelle cariche

– Reazioni risonanti• Risonanze Isolate e Strette• Risonanze Larghe• Risonanze Sottosoglia

• L’ astrofisica nucleare studia in laboratorio e teoricamente le sezioni d’urto di tutte le reazioni di interesse. Vediamo qui il caso piu’ semplice.

( )( )

( ) dEkTEEE

kT ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

02/3

2/1

exp18vv σπμ

σ

Potenziale• Nell’ interazione tra due particelle cariche il potenziale e’ la somma – di quello

Coulombiano (rosso, tipo Vc(r)=Z1Z2e2/r)

– Di quello della Forza Forte (blu) , che agisce tra nucleoni. Questo e’ fortemente positivo (repulsivo) a distanze << 1fm, ha un minimo negativo a 2 fm, e si azzera esponenzialmente per distanze maggiori.

0

V(r)

r

Vc(r)

VN(r)

• Una volta attraversata la barriera si forma un nucleo stabile (fusione nucleare) e viene rilasciata l’ energia di legame nucleare B.

B

Potenziale• Nell’ interazione tra due particelle cariche il potenziale e’ la somma – di quello

Coulombiano (rosso, tipo Vc(r)=Z1Z2e2/r)

– Di quello della Forza Forte (blu) , che agisce tra nucleoni. Questo e’ fortemente positivo (repulsivo) a distanze << 1fm, ha un minimo negativo a 2 fm, e si azzera esponenzialmente per distanze maggiori.

0

V(r)

r

• Per arrivare nella zona di legame stabile (potenziale combinato negativo) le due particelle devono superare una barriera di potenziale positiva. Classicamente questo e’ possibile solo se hanno una energia cinetica (temperatura) sufficiente.

Vc(r)

VN(r)

Potenziale• Possiamo calcolare l’ordine di grandezza della barriera di potenziale schematizzando il potenziale in modo piu’grossolano:

• Alla distanza di un raggio nucleare (rN=2fm) si ottiene Vc(rN)=550keV

• Classicamente, una particella con energia cinetica E<Vc(rN) esaurirebbe la sua energia al “punto di inversione” rT e non potrebbe attraversere la barriera

0

V(r)

r

• Se assumiamo una distribuzione di Maxwell delle velocita’ delle particelle, solo quelle nella coda estrema della distribuzione avrebbero energia E > Vc(rN). Per una T di circa 107K si calcola una probabilita’ di penetrazione di 10-275 !

Vc(r)

VN(r)

rN

E

rT

Potenziale• Possiamo calcolare l’ordine di grandezza della barriera di potenziale schematizzando il potenziale in modo piu’grossolano:

• Alla distanza di un raggio nucleare (rN=2fm) si ottiene Vc(rN)=550keV

• Classicamente, una particella con energia cinetica E<Vc(rN) esaurirebbe la sua energia al “punto di inversione” rT e non potrebbe attraversere la barriera

0

V(r)

r

• Quantisticamente, il quadrato della sua funzione d’ onda ha un valore non zero anche ad rN e quindi si ottiene una probabilita’ di penetrazione molto maggiore di quella classica.

Vc(r)

VN(r)

rN

E

rT

|ψ|2

Probabilita’ di penetrazione• L’ equazione di

Schroedinger per un potenziale coulombiano ha la seguente soluzione (Bethe, 1937):

• Si ottengono quindi le seguenti probabilita’:

• Per una temperatura di 107K (1keV) la probabilita’ di penetrazione e’solo 10-9. Ma e’sufficiente !

( )( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−

−−==

EEK

rr

rrrr

KrrrP

c

c

n

nc

ncc

c

n

2

2

1/1/arctan

2exp

h

μ

ψψ

1 10 10010-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

P

P

E (keV)

4

Basse Energie• A basse energie si ha l’ approssimazione di Gamow:

• Per questo motivo la sezione d’ urto per reazioni indotte da particelle cariche cade rapidamente per energie sotto alla barriera Coulombiana:

• Di solito si scrive

• Dove la funzione S(E) (il cosiddetto fattore-S) contiene tutti i fattori strettamente nucleari, e il termine 1/Eproviene dalla lunghezza d’ onda di De Broglie delle particelle. S(E) varia molto piu’ lentamente di σ.

( ))()(

229.31

v2exp 21

221

keVEumaZZeZZP μ

πηπη ==−=

h

( )πησ 2exp)( −≈E

)(exp1)( ESE

bE

E ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=σ

Picco di Gamow

( )( )

( ) dEkTEEE

kT ∫∞

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

02/3

2/1

exp18vv σπμ

σ

• Usando l’ espressione precedente, l’ equazione

si riscrive:

• L’ andamento e’ schematizzato a fianco:

( )( )

dEEb

kTEES

kT o ∫∞

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

02/3

2/1

exp)(18vvπμ

σ

• L’ energia Eo alla quale c’e’ massima probabilita’ (picco di Gamow) e’ l’ energia media efficace per reazioni nucleari alla temperatura T. E’ >> kT e << Ec .

Ec

)(exp1)( ESEb

EE ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=σ

6.2x10-23923716O+16O3.0x10-5756α+12C1.8x10-2726.5p+14N1.1x10-65.9p+p

<σv>(Eo)Eo(keV)reazione

Per T=1.5x107 K (sole) :

• <σv> decresce via via che il numero atomico delle specie in questione aumenta.

• Quindi sono le specie con numero atomico inferiore che produconola maggior parte dell’ energia – e quindi si consumano prima.

• Quando finiscono la stella perde la sua pressione interna, quindi si contrae, il nucleo si scalda, e si cominciano a fondere i nucleisuccessivi in ordine di peso. Si ristabilisce cosi’ l’ equilibrio.

• Si hanno cosi’in successione: fusione dell’ H, fusione dell’ He, fusione degli ioni pesanti.

H

He

raggio (m)

100%

50%

concentrazione 4.6x109 anni fa

Composizione chimica del Sole

7x10102x108

H

He

raggio (m)

100%

50%

concentrazione 4.6x109 anni fa

Composizione chimica del Sole

7x108

oggi

2x108

Durata della fase di sequenza principale

• Massa della stella M• Frazione della massa di idrogeno che brucia: f• Energia totale prodotta E=fMc2 .• Tempo impiegato per bruciare tutto l’ H : T • Luminosità della stella L quindi T=E/L=fMc2/L• Durata della sequenza principale: proporzionale alla

massa e inversamente proporzionale alla luminositàdella stella

• Per il Sole T = 1010 anni.

5

Durata della fase di sequenza principale

• D’ altra parte L va come M3.5 (vedi dati sperimentali in figura)

• Quindi T va come M-2.5.• T=1010 anni per il sole normalizza la relazione.


HHHeHeHeHeHH

eHHH

++→+

+→+

++→+ +

433

32

2

γ

ν

(Sole)Processo 3-alfa

α (nucleo di He)

α (nucleo di He)

α (nucleo di He)

nucleo di Be

nucleo di C

(Stelle massiccie)

Ciclo di fusionedel Carbonio

Sirio

1

Il problema dei neutrini solari• Le reazioni nucleari nel nucleo del sole producono

neutrini.• Ad esempio la prima reazione del ciclo p-p

produce neutrini elettronici

eeHHH ν++→+ +2

• Il modello standard del sole prevede una produzione di neutrini che è funzione della temperatura del nucleo.

• Questi neutrini escono tranquillamente dal sole e arrivano anche a terra (e la attraversano). Si può quindi tentare di misurarli e vedere se il flusso misurato è consistente con quello previsto.

scmSSMTOT //104.6 211, ν⋅=Φ

99,77%p + p → d+ e+ + νe

0,23%p + e - + p → d + νe

3He+3He→α+2p 3He+p→α+e++νe

~2×10-5 %84,7%

13,8%

0,02%13,78%3He + 4He →7Be + γ

7Be + e- → 7Li + νe7Be + p → 8B + γ

d + p → 3He +γ

7Li + p ->α+α

pppp I I pppp IIIIIIpppp IIII hephep

8B → 8Be*+ e+ +νe2α

I neutrini hanno diversa energia perché sono prodotti da reazioni diverse:

Rivelatori C2Cl4

−+→+ ee ArCl 3737 ν

h = -1478 m

• A seconda del processo fisico utilizzato si misurano neutrini di energia diversa.

• Ad esempio il primo rivelatore, realizzato negli anni ’60 in sud Dakota (miniera di Homestake), utilizzava 380 metri cubi di tetracloroetilene. I neutrini di energia maggiore di 0.9 MeVinteragiscono (poco) con il Cl, provocando la reazione:

• Si misura l’ argon prodotto ogni qualche settimana, rivelando i suoi decadimenti.

1 SNU = 10-36 eventi/s

Nel recipiente di Homestake ci sono 1030 nuclei di ClQuindi ci si aspetta un evento ogni qualche giorno.

Dalle misure, risultano solo 3 SNU di flusso. Meno del previsto.

Molti altri esperimenti• Kamiokande in Japan• SAGE in the former Soviet Union,• GALLEX in Italy, • Super Kamiokande, in Japan, • SNO (Sudbury Neutrino Observatory) in Ontario,

Canada.

• Il deficit di flusso rispetto al modello standard èconfermato, e interpretato come dovuto ad oscillazioni del neutrino (Pontecorvo 1957, 1967), dovute a tre autostati di massa (non nulla !) della particella. (premio Nobel nel 2002)

2

Spettri Stellari• La maggior parte delle nostre conoscenze sul

funzionamento delle stelle proviene dallo studio degli spettri stellari.

Spettro = Flusso Specifico vs. lunghezza d’ onda.

• Lo spettro dipende dalle condizioni fisiche e dalla composizione degli strati piu’ superficiali delle stelle (fotosfera)

• All’ interno della stella infatti i fotoni interagiscono continuamente con gli elettroni del gas ionizzato, cambiando continuamente direzione. Il risultato e’ che camminano per brevi tratti, cambiando continuamente direzione. L’ ultima diffusione avviene vicino alla superficie, e noi riceviamo quei fotoni che nell’ ultima interazione sono stati deflessi verso di noi.

• Lo spettro stellare ha due componenti: continuo e righe.

Piccola porzione dello spettro del Sole

Spettro di emissione

Spettro di assorbimento

Fotoni e materia.• L’ ipotesi dei fotoni e la spiegazione dell’ effetto

fotoelettrico valsero il premio Nobel ad AlbertEinstein.

• L’ ipotesi dei fotoni consente di spiegare la curva di corpo nero della radiazione termica e innumerevoli altri fenomeni di interazione tra la luce e la materia.

• Nel 1814 il maestro ottico Tedesco JosephFraunnhofer aveva rifatto l’ esperimento di Newton di scomporre la luce del Sole nei suoi colori tramite un prisma. Stavolta aveva ingrandito moltissimo lo spettro colorato risultante.

• Scopri’ che lo spettro colorato era interrotto da piu’ di 600 righe scure che oggi chiamiamo righe spettrali (oggi ne conosciamo circa un milione !).

•50 anni dopo Fraunnhofer i chimici scoprirono che si potevano generare spettri di righe simili a quello del Sole anche in laboratorio.

•Nel 1857 a Heidelberg il chimico tedesco Robert Bunsenaveva inventato una fiamma senza colore, che permetteva di scaldare le sostanze senza contaminarle, e quindi di analizzare la fiamma prodotta da queste sostanze.

• Il suo giovane collega GustavKirchhoff propose di analizzare la luce prodotta da queste fiamme attraverso un prisma.

Il metodo spettroscopico

• Bunsen e Fraunnhoferscoprirono che lo spettro delle fiamme era una serie di righe brillanti su sfondo scuro.

•L’ analisi della sequenza di righe nello spettro permetteva di identificare univocamente le sostanze componenti. Una volta catalogati gli spettri degli elementi conosciuti, si cominciarono a trovare spettri nuovi e quindi elementi sconosciuti.

•Si scopri’ che il Sole era fatto soprattutto di Idrogeno, e nel 1868 si scopri’ un nuovo elemento nello spettro del Sole, che venne chiamato Elio.

Il metodo spettroscopico• Nel 1860 erano conosciute le seguenti leggi di Kirchoff dell’analisi spettrale:

•Un oggetto caldo o un gas denso e caldo producono uno spettro continuo (tipo corpo nero) : un arcobaleno continuo senza bande nere.

•Un gas caldo e rarefatto produce uno spettro di righe brillanti e nessun continuo.

•Un gas freddo di fronte a un oggetto con emissione continua produce uno spettro con bande di assorbimento (come quello del Sole).

Risultati del metodo spettroscopicoCorpo Nero

Nubedi gas

Prisma

Prisma

Prisma

Spettro continuo

Spettro di emissione di righe

Spettro di assorbimentodi righe

3

• Come interpretare una fenomenologia cosi’ variegata dell’interazione tra la luce e la materia ?

•Al tempo di queste scoperte si sapeva che la materia era costituita di atomi. Un atomo e’ la piu’piccola parte di un elemento chimico che ha ancora le proprieta’chimiche caratteristiche di quell’elemento.

•Le righe corrispondono quindi ad interazioni della luce con gli atomi, e sono caratteristiche di ciascun elemento.

•Perche’ gli atomi assorbono e emettono solo luce di lunghezze d’onda ben precise (quelle delle righe spettrali) ?

Interpretazione ?Corpo Nero

Nubedi gas

Prisma

Prisma

Prisma

Spettro continuo

Spettro di emissione di righe

Spettro di assorbimentodi righe

• In qualche modo i fotoni dovevano cedere o acquistare energia dagli atomi costituenti la materia.

•La cosa strana era che solo certe energie ben precise venivano scambiate (quelle delle lunghezze d’onda delle righe) mentre le altre non interagivano per niente.

•Il modello di atomo di Ruthefordcon un nucleo centrale intorno a cui orbitavano elettroni come pianeti intorno al Sole non poteva spiegare le righe spettrali.

•Gli elettroni girando intorno al nucleo potevano avere qualunque energia, e quindi scambiare energia con fotoni di qualunque lunghezza d’onda.

Interpretazione ?

Le risposte arrivarono solo all’inizio del 900, con la scoperta della fisica atomica quantistica.

L’ atomo di Rutheford

• Il fisico danese Niels Bohr, collaboratore di Rutheford dal 1911, fu capace di riconciliare le leggi di Kirkhoff con la teoria atomica.

•Egli comincio’ a cercare di spiegare la struttura dello spettro dell’idrogeno, l’atomo piu’ semplice e piu’ leggero: un elettrone ed un protone (che forma il nucleo).

•Lo spettro dell’ idrogeno era costituito da piu’ serie di righe piuttosto regolari, che vanno infittendosi verso le brevi lunghezze d’ onda. Le lunghezze d’ onda erano descritte dalla formula empirica di Balmer.

•Bohr voleva derivare la formula di Balmer usando le leggi della fisica.

Interpretazione ?

Spettro della stella HD193182, che mostra le righe della serie di Balmer dell’ Idrogeno.

)141( 1

2nR −=

λLa formula di Balmer chepermette di calcolare le lunghezze d’ onda delle righedella serie

• Bohr ipotizzo’ che gli elettroni orbitassero intorno al nucleo solo su certe ben precise orbite, mentre non potevano (per motivi ignoti) utilizzare orbite intermedie.

•Gli elettroni potevano passare da un’orbita a un’ altra cedendo o assorbendo una ben precisa quantita’di energia (la differenza di energia del moto nelle due orbite).

•Questa energia E poteva essere ottenuta da o ceduta a fotoni di ben precisa lunghezza d’ onda: E=hc/λ.

•Il fotone veniva assorbito cedendo tutta la sua energia all’ elettrone, oppure poteva essere emesso quando l’ elettrone saltava in modo inverso.

Interpretazione ?

L’ atomo di Bohr

• Scrivendo matematicamente queste idee, Bohr riusci’ a ritrovare la formula di Balmer.

Piccola porzione dello spettro del Sole con identificazione degli elementi responsabili delle righe

Nello spettro del Sole sono stati identificati migliaia di diversi elementi, neutri (es. FeI) o ionizzati (es.FeII e’ionizzato una volta).

Classificazione Spettrale• La classificazione degli spettri

delle stelle ha occupato gli astronomi per quasi due secoli.

• Il primo a cercare di classificare sistematicamente gli spettri delle stelle fu padre Secchi.

• Classifico’ le stelle in 4 classi: – Stelle blu-bianche (come Sirio:

Tipo 1)– Stelle gialle (sole, capella,

procione, arturo, aldebaran: Tipo 2)

– Stelle come Betelgeuse, con bande larghe (Tipo 3)

– Stelle scure-rosse con bande del Carbonio (Tipo 4)

4

Classificazione di Harvard• La classificazione divenne matura con Huggins (UK), Henry Draper (USA) e

Annie Cannon (USA) e sotto la guida di Edward Pickering, direttore dell’osservatorio di Harvard, intorno al 1910, e delle donne che aveva assunto come calcolatrici.

Annie Cannon e Cecilia Payne• Annie Cannon introdusse la classificazione O-

B-A-F-G-K-M usata ancora oggi, e classifico’in 4 anni 225300 spettri stellari dal 1911 al 1915 (30 per ogni ora di lavoro) basandosi sulla loro morfologia.

• Solo nel 1925 Cecilia Payne mostro’ che tutte le stelle hanno piu’ o meno la stessa composizione, e mise in relazione le diverse intensita’ delle righe con l’ effetto di densita’ e temperatura tramite l’ equazione di Saha dell’equilibrio di ionizzazione.

LA SEQUENZA SPETTRALE

Classe Carattersitiche dello Spettro Colore Temperatura

O ELIO NEUTRO E IONIZZATO, IDROGENO DEBOLE blu sopra 31,000 K

B ELIO NEUTRO, IDROGENO PIU’ FORTE blu-bianco 9750-31,000 K

A IDROGENO FORTE, METALLI IONIZZATI bianco 7100-9750 K

F IDROGENO DEBOLE, METALLI IONIZZATI giallo-bianco 5950-7100 K

G IRDOGENO PIU’ DEBOLE, METALLI IONIZZATI E NEUTRI giallo 5250-5950 K

K IDROGENO DEBOLE, METALLI NEUTRI arancio 3950-5250 K

M POCO O NESSUN IDROGENO, METALLI NEUTRI, MOLECOLE rossiccio 2000-3950 K

L NESSUNI IDROGENO, METALLI IDRATI, METALLI ALCALINI rosso-IR 1500-2000 K

T BANDE DEL METANO IR 1000 K

Righe Stellari• Il maggior costituente

delle stelle e’ l’ idrogeno, che e’ anche l’ elemento piu’ semplice.

• I livelli energetici possibili per l’ elettrone dell’ atomo di idrogeno sono quantizzati, come previsto dal modello di Bohr.

• Massa ridotta:

r

-e

e

eee

ee

pe

pe mmm

mmmm

mm9994556.0

18361836

=+

=+

=μ

Modello di Bohr

222

42

9222

2

2

22

22

222

2

2

22

2

22

16.13122

1

1029.5;e

evv

212

2

21v

21)(v

neVE

ne

reE

cmrnrnr

rnnrnrL

reKKKUKE

Kr

eU

reKCGS

re

rFma

nn

n

oon

−=→−=−=

×===→

==→==

−=−=−=+=

−=−=

==→=→=

−

h

h

hhh

μμ

μμμ

μμ

Raggio di Bohr

r

-e

eHp: quantizzazione momento angolare

Livelli Energetici Quantizzati

Cla

ssic

amen

teQ

uant

istic

amen

te

Righe Stellari• L’ emissione di energia

(sottoforma di fotoni) avviene quando l’ elettrone salta da un livello ad energia piu’ alta ad un livello ad energia piu’bassa.

• L’ energia dei fotoni emessi e’ ΔE e la loro lunghezza d’ onda e’λ=c/ν=hc/ΔE

• Viceversa l’ assorbimentodi fotoni alle stesse lunghezze d’ onda provoca il salto dell’ elettrone da un livello ad energia piu’bassa ad un livello ad energia piu’ alta.

5

Serie di Righe

( )( )1

10327

41028

3

4

223

4

223

4

222

4

22

4

5.109677/1099792458.2/100545725.14

10803206.410109390.99994555.04

114

1114

112

12

−

−

−−

=

×⋅×⋅

×⋅×⋅==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

Δ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=Δ→−=

cmRscmserg

esugc

eR

nnce

nne

hE

nneE

neE

H

H

baabba

abab

baabn

ππμ

πμ

λπμν

μμ

h

hh

hh

Costante di Rydberg

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

2222

6

2211

17640.911110117640.9

111

ababbaH

ab

nn

nm

nn

cm

nnR

λ

Serie di Righe dell’ H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

2222

6

2211

17640.911110117640.9

111

ababbaH

ab

nn

nm

nn

cm

nnR

λ

1 2 3 412 121.573 102.57 656.474 97.25 486.27 1875.635 94.98 434.17 1282.17 4052.286 93.78 410.29 1094.12 2625.887 93.08 397.12 1005.22 2166.138 92.62 389.02 954.87 1945.10

λ (nm)

Serie di Lymanna=1 UV

Serie di Balmerna=2 V

Serie di Paschenna=3 IR

Serie di Righe dell’ H

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

2222

6

2211

17640.911110117640.9

111

ababbaH

ab

nn

nm

nn

cm

nnR

λ

1 2 3 412 121.573 102.57 656.474 97.25 486.27 1875.635 94.98 434.17 1282.17 4052.286 93.78 410.29 1094.12 2625.887 93.08 397.12 1005.22 2166.138 92.62 389.02 954.87 1945.10

Serie di Lymanna=1 UV

Serie di Paschenna=3 IR

λ (nm)

Serie di Balmerna=2 Visibile

HαHβHγ

1

23

4

Hα

Hβ

nLnL ...2,1,0)1(; =+=≠ lhllh

• Oggi sappiamo che il modello di Bohr e’ sbagliato. La quantizzazione corretta (soluzione dell’ equazione di Schrodinger) e’

• L’ elettrone non percorre orbite intorno al protone, c’e’ piuttosto una densita’di probabilita’ |ψ|2 di trovare l’elettrone in una certa posizione intorno al protone.

• Questa densita’ di probabilita’ e’ una funzione (orbitale) che dipende dallo stato quantico dell’ atomo.

• n e’ solo uno dei 4 numeri quantici che caratterizzano lo stato dell’ atomo di idrogeno. Gli altri sono l, ml,ms .

• La formula di Bohr prevede correttamente i livelli energetici quando l’ atomo e’ isolato. Per ora ci basta.

2

16.13n

eVEn −=

Spettri Stellari• Gli spettri delle stelle hanno un

continuo che segue approssimativamente la legge di corpo nero: il continuo ci dice quindi qual’e’ la temperatura dello strato superficiale.

• Anche le righe di assorbimento dell’ idrogeno sono piu’ o meno marcate a seconda della temperatura.

• Quelle della serie di Balmer(transizioni da n=2 agli altri n), che capitano tutte nel visibile, hanno massima intensita’ per temperature superficiali di circa 9500K (stelle A0).

• Perche’ ?

Spettri di stelle di sequenza principale

λT=0.29 cm K

T>10000K

T=7000K

T=4000K

Righe Stellari• La intensita’ delle righe

dipendera’ da due fattori:– Nell’ atmosfera della stella in

questione, in quali orbitali e’piu’ probabile che si trovino gli elettroni ?

– In che rapporto stanno le densita’ dei diversi elementi nei loro diversi stati di ionizzazione ?

• Vogliamo rispondere quantitativamente a queste due domande, usando la fisica atomica e la meccanica statistica.

Spettri di stelle di sequenza principale

T=7500K

T=5200K

6

Distribuzioni di equilibrio• Per un gas in equilibrio termico il numero di particelle con velocita’

tra v e v+dv e’ dato dalla funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann:

• La velocita’ piu’ probabile e’• la velocita’ media (rms) e’• La coda ad alte velocita’ e’ quella che permette le reazioni nucleari

al centro delle stelle. Ma sulla superficie siamo a temperature molto piu’ basse (T=1000K-30000K).

• Gli atomi dell’ atmosfera stellare collidono continuamente e si scambiano cosi’ continuamente energia.

• In questo modo si realizza una situazione di equilibrio con una ben definita distribuzione degli elettroni nei diversi possibili orbitali.

• Questa dipende dall’ energia termica disponibile e dai livelli energetici dei diversi orbitali.

vv42

v)v( 22/v2/3

2

dekT

mndn kTm ππ

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mkTPP /2v =mkTRMS /3v =

• Sia sa il set di numeri quantici che definiscono lo stato a , ad energia Ea, e sia sb lo stato b ad energia Eb.

• Ad es. per l’H se sa e sb sono i due stati ad energia piu’ bassa si ha:– sa =(n=1, l=0, ml=0, ms=1/2) con Ea = -13.6 eV– sb =(n=2, l=0, ml=0, ms=1/2) con Eb = -3.4 eV

• Secondo la distribuzione di Boltzmann le probabilita’ di occupazione degli stati a e b stanno nel rapporto

• Puo’ succedere che (come nell’ atomo di H) gli stati siano degeneri, cioe’ ci siano piu’ stati con la stessa energia. Se ci sono ga stati degeneri ad energia Ea e gb stati degeneri ad energia Eb, la probabilita’ di ottenere uno qualsiasi degli stati ad energia Ea e quella di ottenere uno qualsiasi degli stati ad energia Eb stanno nel rapporto

kTE

kTE

a

ba

b

ee

sPsP

/

/

)()(

−

−

=

kTEa

kTEb

a

ba

b

egeg

sPsP

/

/

)()(

−

−

=

• Quindi per gli atomi di un dato elemento, in un dato stato di ionizzazione, il rapporto tra il numero Nb di atomi con energia Eb e il numero Na di atomi con energia Ea e’

• Ad esempio, per l’ atomo di idrogeno (ovviamente non ionizzato) e per i livelli energetici n=1 (-13.6 eV) ed n=2 (-3.4 eV)

( ) kTEE

a

bkTE

a

kTEb

a

b ab

a

b

egg

egeg

NN /

/

/−−

−

−

==

( ) ( ) )(/)6.13(4.3/

1

2

1

2

28

12 eVkTkTEE eegg

NN −−−−−− ==

• Notiamo per che avere N2=N1 dovrebbe essere T=85400K : per ottenere un numero significativo di atomi di H nel primo stato eccitato la temperatura dovrebbe essere altissima !

A temperature ragionevoli, il numero di atomi di H eccitati e’ una frazione piccola del totale. La frazione cresce monotonamente all’aumentare della temperatura. Ma allora perche’ la massima profondita’ delle righe di Balmer (n=2 -> n=n’) si ha per T circa 9500 K ? A temperature piu’ alte non dovrebbero esserci piu’ atomi con n=2 ?

Ionizzazione• Bisogna tener conto dalla ionizzazione.• Quando all’ atomo viene fornita energia maggiore di quella del

livello energetico, l’ elettrone viene strappato via dall’ atomo. Si dice che l’ atomo viene ionizzato. Ad esempio per urto con una particella energetica. Piu’ e’ alta la temperatura, piu’ violenti sono gli urti, piu’ probabile e’ che gli atomi vengano ionizzati.

• Per ionizzare l’ H nello stato fondamentale sono necessari χ=13.6 eV. Da HI diventa HII.

• Ma non e’ detto che gli atomi iniziale e finale siano nello stato fondamentale. Per fare il calcolo, si dovra’ fare una media sulle energie dei diversi orbitali atomici possibili, sia per l’ atomo iniziale che per quello finale.

• Si deve utilizzare la funzione di partizione Z, cioe’ la somma pesata del numero di modi in cui un atomo puo’ disporre gli elettroni con la stessa energia. I pesi per le diverse energie sono dati dal fattore di Boltzmann (che pesa meno le energie maggiori, in quanto meno probabili per una data T).

Ionizzazione• La funzione di partizione e’ definita come

• In condizioni di equilibrio, se Zi e Zi+1 sono le funzioni di partizione dell’ atomo prima e dopo la ionizzazione, il rapporto tra gli atomi nello stato di ionizzazione i+1 e quelli nello stato i e’ dato dall’ equazione di Saha (1920):

∑∞

=

−−+=2

/)(1

j

kTEEj

ijeggZ

kTe

ie

i

i

i ieh

kTmZn

ZN

N /2/3

211 22 χπ −++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Inversamente proporzionale al numero di elettroni liberi, che favoriscono la ricombinazione degli ioni

Aumenta con T Diminuisce fortemente all’aumentare dell’ energia necessaria per il singolo evento di ionizzazione

7

• Spesso si introduce la pressione degli elettroni Pe=nekT :

• Per una pressione tipica di 200 dyne/cm2 si ha il seguente risultato:

• Sotto 5000K l’ H e’ tutto neutro, e sopra 10000 e’ praticamente tutto ionizzato ! Nelle stelle c’e’ solo una piccola buccia in cui l’idrogeno e’ parzialmente ionizzato (zona di ionizzazione parziale), con una T dell’ ordine di 10000K per una grande varieta’ di parametri stellari.

Ionizzazione

kTe

ie

i

i

i ieh

kTmZP

kTZN

N /2/3

211 22 χπ −++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Intensita’ delle righe• Quindi:

– per temperature basse, il numero di atomi eccitati e’ basso, e quindi le righe sono poco intense.

– Per temperature alte, il numero di atomi eccitati potrebbe essere alto, ma la maggior parte di essi sono gia’ ionizzati e quindi non possono produrre righe.

• Ecco perche’ c’e’ una T ottimale, che per H e’ 9500K.• La intensita’ delle righe di Balmer dell’ H dipende dalla frazione di

tutti gli atomi di H (includendo quelli ionizzati) che si trova non ionizzata e nel primo stato eccitato:

IIIIII

I

totale NNNNNN

NNN

NNN

NN

/11

/1/

12

12

21

22

+⋅

+=

+⋅

+=

Frazione degli atomi neutri che si trova nel primo stato eccitato

Frazione degli atomi di H che e’neutra

Dall’ eq. di Boltzmann

Dall’ eq. di Saha

• Il numero di atomi che produce righe di Balmer e’ una piccola frazione del totale, che e’ massima proprio a 9500 K.

• Sopra 9500K il numero di atomi utili per la produzione di righe diminuisce a causa del rapido aumento della ionizzazione.

Elementi diversi• Nelle atmosfere stellari non c’e’ solo H. Ad esempio nel sole c’e’ un

atomo di He ogni 10 atomi di H. La presenza di He ionizzato rende disponibile un maggior numero di elettroni con cui gli ioni di Hpossono ricombinarsi, e quindi ci vuole una temperatura maggiore per arrivare allo stesso livello di ionizzazione.

• Lo stesso ragionamento si puo’ fare per elementi diversi dall’ H.• Ad es. nel Sole (5700K) e’ presente Calcio, e le righe del CaII sono

particolarmente intense, molto piu’ di quelle della serie di Balmerdell’ H. Questo perche’ l’ E di ionizzazione del Ca e’ 6.11 eV: questo comporta che gia’ a 5700K praticamente tutto il Ca e’ ionizzato. Inoltre, il CaII e’ praticamente tutto nello stato fondamentale, e puo’formare le righe H e K.

• Nonostante la densita’ numerica del Ca sia circa 1 milionesimo di quella dell’ H, tutti gli atomi di Ca sono disponibili per formare le righe.

• Quelli dell’ H che possono formare righe di Balmer devono essere non ionizzati ed avere n=2, e sono solo 1 su un miliardo. Quindi le righe del CaII sono circa 1000 volte piu’ intense di quelle di Balmer.

Esercizio• Calcolare quantitativamente il rapporto tra il numero di atomi di H

disponibili per produrre righe di Balmer e quello di atomi di Caionizzato una volta (CaII) disponibili per produrre righe H e K.

• Servono:– Energia di ionizzazione dell’ H: χH=13.6eV– Energia di ionizzazione del Ca: χCa=6.11 eV– Densita’ relativa (numerica) di Ca rispetto a H nella fotosfera solare: 1/500000– Temperatura della fotosfera: 5700 K– Pressione elettronica nella fotosfera: 15 dyne/cm2

• Formule:

∑∞

=

−−+=2

/)(1

j

kTEEj

ijeggZ kTe

ie

i

i

i ieh

kTmZP

kTZN

N /2/3

211 22 χπ −++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) kTEE

a

bkTE

a

kTEb

a

b ab

a

b

egg

egeg

NN /

/

/−−

−

−

==

8

Effetto della densita’• La temperatura e’ il principale fattore che definisce lo

spettro stellare.• Ma anche la densita’ degli strati piu’ esterni della stella ha

un effetto sullo spettro.• Le stelle giganti e supergiganti hanno una atmosfera

molto rarefatta. Per questo motivo le interazioni tra atomi sono poco frequenti, e quindi le righe dell’ H sono strette.

• Nelle stelle di sequenza principale, invece, le collisioni sono molto piu’ frequenti. Cio’ aumenta la dispersione di velocita’degli atomi e quindi, per effetto Doppler, la larghezza delle righe.

• Quindi dallo spettro si puo’ capire non solo la T, ma anche, a parita’ di temperatura, se una stella e’ di sequenza principale, o gigante, o supergigante, o una nana bianca.

Stelle di sequenza principale con temperatura maggiore di 10000 gradi

Gli spettri salgono verso il blu.

Stelle piu’ fredde hanno righe dell’ H sempre piu’profonde (minore ionizzazione)

Sequenza Principale

Da 7000 K (F7) a 4000 (K5).

La profondita’ delle linee dell’H diminusce al diminuire della T perche’ l’ energia non e’sufficiente a eccitare collisionalmente i livelli piu’energetici dell’ atomo di H.

Si cominciano a vedere righe dei metalli, in particolare, CalcioII(righe H and K intorno a 3900A), ma anche Magnesio I (5150A) e le righe D del sodio (5800A).

Sempre stelle di Sequenza Principale, in un intervallo piu’ stretto di T (da 5200 a 7500 K).

Si vede ancora l’andamento generale delle linee “metalliche”(elementi piu’ pesanti dell’ elio) che aumentano di intensita’ mentre decresce l’ intensita’ delle righe dell’ H.

Una collezione di righe di assorbimento concentrata intorno a 4100A produce la cosiddetta banda-G

Giganti Blu:

Stelle massive che iniziano a lasciare la sequenza principale verso la zona delle giganti rosse.

Assorbimento dell’ H con righe piu’ strette, perche’ la densita’ dell’ atmosfera e’bassa.

Notare come diminuisce l’assorbimento dell’ H ad alte temperature, a causa della ionizzazione.

30000K

6000K

Giganti Rosse fredde

Sembrano simili alle stelle di sequenza principale con le stesse temperature, ma le righe sono piu’ strette.

Inoltre e’ caratteristico il tripletto del Ca a 8500A, con righe molto piu’ profonde che nella sequenza principale.

9

Giganti rosse molto fredde

Per T < 3500 K l’ eccitazione e’ cosi’ bassa che si possono formare delle molecole.

Il grande numero di livelli rotazionali e vibrazionaliforma delle bande di assorbimento profonde, larghe fino a 300A.

I dati che mancano dipendono dall’ assorbimento dell’atmosfera terrestre, che a particolari frequenze diventa critico quando il flusso stellare e’ basso.

Le giganti piu’ fredde conosciute.

La struttura a bande molecolari e’evidentissima, specialmente al lunghezze d’ onda maggiori di 7000A.

1

Esercizio• Calcolare quantitativamente per il sole il rapporto tra il numero di

atomi di H disponibili per produrre righe di Balmer e quello di atomi di Ca ionizzato una volta (CaII) disponibili per produrre righe H e K.

• Servono:– Energia di ionizzazione dell’ H : χH=13.6 eV– Energia di ionizzazione del Ca : χCa=6.11 eV– Densita’ relativa (numerica) di Ca rispetto a H nella fotosfera solare : 1/500000– Temperatura della fotosfera : 5700 K– Pressione elettronica nella fotosfera : 15 dyne/cm2

• Formule:

∑∞

=

−−+=2

/)(1

j

kTEEj

ijeggZ kTe

ie

i

i

i ieh

kTmZP

kTZN

N /2/3

211 22 χπ −++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) kTEE

a

bkTE

a

kTEb

a

b ab

a

b

egg

egeg

NN /

/

/−−

−

−

==

Esercizio• Densita’ numerica di atomi di idrogeno che sono neutri

e nel primo livello eccitato:– Si determina il rapporto tra atomi ionizzati e atomi neutri

usando l’ equazione di Saha:

– Quindi l’ H nella fotosfera e’ sostanzialmente tutto neutro

( )5

15

2/3

227

11628

2

116

/2/3

2

1047.757701062.8

6.13exp

1063.657701038.11011.92

215157701038.12

22

−−−

−

−−−

−

−−

−

×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−×

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×

××××××

××

××××=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

KKeVeV

sergKKergg

cmdyneKKerg

eh

kTmZP

kTZNN kTe

Ie

II

I

II I

π

π χeVkTeVEE

geggZj

kTEEjI

j

5.02.10perche'

2

12

12

/)(1

1

≈>>=−

=≈+= ∑∞

=

−−

ZII=1 perche’un protone singolo puo’avere qualsiasi energia e quindi non c’e’degenerazione

Esercizio• Densita’ numerica di atomi di idrogeno che sono neutri e

nel primo livello eccitato:– Si determina poi con l’ equazione di Boltzmann il rapporto tra

atomi nel primo livello eccitato e atomi nello stato fondamentale:

– Quindi l’ H nella fotosfera e’ sostanzialmente tutto nello stato fondamentale. Solo un atomo su 202 milioni e’ nel primo stato eccitato e quindi capace di generare righe di assorbimento di Balmer.

( )( )

9

152

2

/)(

1

2/

/

1

2

1

2

1096.4

57701062.86.134.3exp

1222

12

1

2

−

−−

−−−

−

×=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡××

+−−×

××

=

===

KKeVeVeV

egg

ee

gg

NN kTEE

kTE

kTE

Esercizio• Densita’ numerica di atomi di calcio che sono ionizzati una volta e

sono nello stato fondamentale (in modo da poter produrre righe H e K):– Si determina il rapporto tra atomi ionizzati una volta e atomi neutri

usando l’ equazione di Saha:

– Quindi il Ca nella fotosfera e’ sostanzialmente tutto ionizzato una volta.

( )903

57701062.811.6exp

1063.657701038.11011.92

32.11530.257701038.12

22

15

2/3

227

11628

2

116

/2/3

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

−×

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×

××××××

××

××××=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

−

−−−

−

−−

−

KKeVeV

sergKKergg

cmdyneKKerg

eh

kTmZP

kTZNN kTe

Ie

II

I

II I

π

π χ

ZII=2.30 e ZI =1.32 sono lunghi da calcolare ma esistono tabelle (es. Aller 1963)

Esercizio• Densita’ numerica di atomi di calcio che sono ionizzati

una volta e sono nello stato fondamentale (in modo da poter produrre righe H e K):– Si determina poi con l’ equazione di Boltzmann il rapporto tra

atomi ionizzati nel primo livello eccitato e atomi ionizzati nello stato fondamentale:

– Quindi anche il Ca ionizzato una volta nella fotosfera e’sostanzialmente tutto nello stato fondamentale: quindi tutto contribuisce a generare righe H e K.

( )( )

3

152

2

/)(

1

2/

/

1

2

1

2

1077.3

57701062.812.3exp

1222

12

1

2

−

−−

−−−

−

×=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡××

−×××

=

===

KKeVeV

egg

ee

gg

NN kTEE

kTE

kTE

Esercizio• Quindi per il Calcio

• Per l’ H, invece, anche se ci sono 500000 atomi di H per ogni atomo di Ca, solo 4.96x10-9 di questi producono righe di Balmer.

• Il rapporto numerico degli atomi che producono le due righe e’quindi

• Ci sono circa 400 atomi di calcio (ionizzato una volta) che producono righe H eK per ogni atomo di idrogeno che produce righe di Balmer.

• Le profondita’ delle righe quindi scalano di conseguenza. Tutto a causa dalla forte dipendenza dell’ equazione di Saha dall’ energia di ionizzazione.

995.09031

9031077.31

1/1

1/1

/3

12

121 =+

⋅×+

=+

⋅+

= −IIICaIItotale NNNN

NNN

N

40010025.01096.4500000 9 =≈×× −

2

Effetto della densita’• La temperatura e’ il principale fattore che definisce lo

spettro stellare.• Ma anche la densita’ degli strati piu’ esterni della stella ha

un effetto sullo spettro.• Le stelle giganti e supergiganti hanno una atmosfera

molto rarefatta. Per questo motivo le interazioni tra atomi sono poco frequenti, e quindi le righe dell’ H sono strette.

• Nelle stelle di sequenza principale, invece, le collisioni sono molto piu’ frequenti. Cio’ aumenta la dispersione di velocita’degli atomi e quindi, per effetto Doppler, la larghezza delle righe.

• Quindi dallo spettro si puo’ capire non solo la T, ma anche, a parita’ di temperatura, se una stella e’ di sequenza principale, o gigante, o supergigante, o una nana bianca.

La spettroscopia richiede moltissimi fotoni, quindi grande area del telescopio e lungo tempo di integrazione.



3

La spettroscopia richiede moltissimi fotoni, quindi grande area del telescopio e lungo tempo di integrazione. Stelle di sequenza

principale con temperatura maggiore di 10000 gradi

Gli spettri salgono verso il blu.

Stelle piu’ fredde hanno righe dell’ H sempre piu’profonde (minore ionizzazione)

Sequenza Principale

Da 7000 K (F7) a 4000 (K5).

La profondita’ delle linee dell’H diminusce al diminuire della T perche’ l’ energia non e’sufficiente a eccitare collisionalmente i livelli piu’energetici dell’ atomo di H.

Si cominciano a vedere righe dei metalli, in particolare, CalcioII(righe H and K intorno a 3900A), ma anche Magnesio I (5150A) e le righe D del sodio (5800A).

Sempre stelle di Sequenza Principale, in un intervallo piu’ stretto di T (da 5200 a 7500 K).

Si vede ancora l’andamento generale delle linee “metalliche”(elementi piu’ pesanti dell’ elio) che aumentano di intensita’ mentre decresce l’ intensita’ delle righe dell’ H.

Una collezione di righe di assorbimento concentrata intorno a 4100A produce la cosiddetta banda-G

Giganti Blu:

Stelle massive che iniziano a lasciare la sequenza principale verso la zona delle giganti rosse.

Assorbimento dell’ H con righe piu’ strette, perche’ la densita’ dell’ atmosfera e’bassa.

Notare come diminuisce l’assorbimento dell’ H ad alte temperature, a causa della ionizzazione.

30000K

6000K

Giganti Rosse fredde

Sembrano simili alle stelle di sequenza principale con le stesse temperature, ma le righe sono piu’ strette.

Inoltre e’ caratteristico il tripletto del Ca a 8500A, con righe molto piu’ profonde che nella sequenza principale.

4

Giganti rosse molto fredde

Per T < 3500 K l’ eccitazione e’ cosi’ bassa che si possono formare delle molecole.

Il grande numero di livelli rotazionali e vibrazionaliforma delle bande di assorbimento profonde, larghe fino a 300A.

I dati che mancano dipendono dall’ assorbimento dell’atmosfera terrestre, che a particolari frequenze diventa critico quando il flusso stellare e’ basso.

Le giganti piu’ fredde conosciute.

La struttura a bande molecolari e’evidentissima, specialmente al lunghezze d’ onda maggiori di 7000A.

Profili di riga• Che informazioni ci puo’ dare la

forma della righe ?• La larghezza della riga viene descritta

dalla FWHM (larghezza totale a meta’altezza)

• L’ intensita’ della riga viene descritta dalla sua larghezza equivalente:

Lunghezza d’ onda

1Fλ/Fc

(Δλ)1/2=FWHM

Wλo

λλ dF

FFW

c

c∫−

=

• W e’ la larghezza (in lunghezza d’ onda) di un rettangolo che ha la stessa area della riga spettrale, e che e’ alto quanto il continuo nell’ intorno della riga.

Largezza naturale di riga• Le energie dei diversi livelli atomici non possono essere definite esattamente.• L’ elettrone occupa un orbitale eccitato per un tempo breve Δt e poi ricade

“naturalmente” al livello fondamentale, piu’ conveniente energeticamente.• Per il principio di indeterminazione di Heisenberg l’ incertezza in energia dell’

orbitale e’ δE=h/2πΔt. • Per il livello fondamentale il tempo di occupazione e’ infinito, quindi ΔE=0.• Quando l’ elettrone transisce da un livello i ad un livello j, l’ energia coinvolta nella

transizione e’ incerta e quindi e’ incerta la frequenza del fotone associato alla transizione:

• Dove Δto e’ il tempo di attesa per la transizione spontanea. Ad esempio per la transizione da n=3 a n=2 dell’ H, Δto = 10-8 s, e quindi Δλ = 5x10-4 A , estremamente stretta !.

• La distribuzione delle durate produce una distribuzione delle frequenze emesse con un profilo di Lorentz:

oo

ij

oij

ij

tthhE

tE

hE

Δ=

Δ=

Δ=Δ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

Δ=Δ

Δ=

πδ

νδ

ν

21h

h

( )( )22 4/)(

2/πγνν

πγνφ+−

=o

Allargamento Doppler• Se l’ atomo e’ in movimento rispetto all’ osservatore (ad es. lungo l’ asse z, con

velocita’ vz), la frequenza percepita dall’ osservatore ν e’ diversa dalla frequenza naturale νo emessa dall’ atomo:

• Il numero di atomi con velocita’ tra vz e vz+dvz e’ proporzionale (secondo la distribuzione di Maxwell delle velocita’) a

• Usando le relazioni Doppler:

• Si ottiene l’ intensita’ della riga tra ν e ν+dν :

• Si tratta quindi di un profilo gaussiano con larghezza a meta’ altezza

cz

o

o v=

−ν

νν

( )m

kTc

o 2ln22νν =Δ

Effetto Doppler

zza d

kTm v2

vexp2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

oz

o

oz

dcdcνν

ννν

=−

= vv

( )oo

oa dkT

cmAνν

ννν

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −− 2

22

2exp

Allargamento Doppler• Se oltre alle velocita’ termiche ci sono turbolenze nell’ atmosfera della

stella, anche esse gaussiane con dispersione vturb, la formula dell’allargamento Doppler si puo’ modificare sommando in quadratura le due dispersioni di velocita’:

• Per l’ idrogeno nella fotosfera del Sole (T=5770K, riga Hα a 656.5 nm) l’ allargamento Doppler vale

• Quindi 1000 volte di piu’ dell’ allargamento naturale di riga (ma 10000 volte meno della lunghezza d’ onda, quindi riga ancora visivamente molto sottile).

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=Δ 2v22ln2

turbo

mkT

cνν

( ) Am

kTc H

o 427.02ln22==Δ

λλ

5

Allargamento Collisionale (Pressione)• Gli orbitali di un atomo vengono perturbati in presenza del campo

elettrico di uno ione che ci passa vicino. Il risultato e’ che i livelli energetici e quindi le frequenze dei fotoni emessi sono anch’esse perturbate.

• L’ effetto di tanti eventi individuali viene chiamato allargamentocollisionale. Se gli eventi sono frequenti si parla di allargamento da pressione.

• Il tempo medio che intercorre tra due collisioni successive dipende dalla densita’, dalla sezione d’ urto e dalla velocita’ media delle particelle:

• Analogamente all’ allargamento naturale otteniamo un profilo Lorenziano con larghezza

kTm

nnt

21

v1

v σσ==≈Δ

l

mkT

cn

tcmkTn

t221 22

πσλ

πλ

ννλλ

πσ

πν =

Δ≈

Δ=Δ→=

Δ≈Δ

Allargamento Collisionale (Pressione)• Numericamente, nel caso della fotosfera solare:

• che e’ confrontabile con il valore della larghezza naturale.• Sembrerebbe quindi che sia l’ allargamento naturale che quello

collisionale fossero trascurabili rispetto a quello Doppler.• In realta’

– L’ allargamento collisionale aumenta (anche un fattore 10) per pressioni maggiori di quella dell’ esempio

– Il profilo di Lorentz decresce lentamente lontano dal centro della riga, mentre quello Doppler decresce esponenzialmente. Quindi lontano dal centro della rigadomina comunque il profilo Lorenziano.

Ascmscm

cmcmcmA

skmg

KKerg

cn

mkT

cn

T

T

410

2163175

28

116

22

1036.2/98000014159.3/10997.2

105.3105.110565.66565

/8.91011.91800

57701038.12v

v2

−−−−

−

−−

×=×××

×××××=Δ

=××

×××=

==Δ

λ

πσλ

πσλλ

profilo Gaussiano

profilo Lorentziano

Profilo di Voight• Si puo’ scrivere il profilo complessivo come una media di profili

Lorentziani mediati sulle diverse velocita’ degli atomi, con pesi pari alla probabilita’ Maxwelliana che gli atomi abbiano quella velocita’:

• E’ stata definita una Funzione di Voight come:

• Quindi

dove ΔνD e’ la larghezza Doppler della riga.

( )( ) ( ) z

zo

z dc

kTmkTm v4//v-2/vexp2/

4)( 222

o

2

2 ∫+∞

∞− Γ+−

−Γ=

πνννπ

πνφ

( )( )

dyyua

yauaH ∫+∞

∞− −+−

= 22

2exp),(π

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−

ΔΓ

Δ=

D

o

DD

Hννν

νπνπνφ ,

41

41)(

Ma quanto sono profonde le righe ?• Se misuriamo la profondita’ delle righe (ad esempio dalla larghezza equivalente W),

possiamo stabilire qual’e’ la densita’ colonnare di atomi di quella specie. Questo puo’ essere fatto per piu’ righe dello stesso elemento.

• Quindi ci deve essere una relazione (non necessariamente lineare) tra le larghezze di riga misurate, W, e le densita’ colonnari, N.

• Se ci sono pochi atomi del’ elemento considerato, la riga sara’ poco profonda e quindi la larghezza equivalente sara’ piccola. W crescera’ all’ aumentare della densita’ colonnare. La curva che descrive l’ aumento di W con N si chiama curva di crescita.

Lunghezza d’ onda

1Fλ/Fc

(Δλ)1/2=FWHM

W

λo

λλ dF

FFW

c

c∫−

=

nl

∫= lndN

6

Rig

a ot

ticam

ente

sotti

le

Riga saturata

Larghezza dominata dalle code: allargamento di pressione

Curva di crescita generale per il Sole. N e’ la densita’ colonnare in atomi per cm2, f e’ l’ intensita’ di oscillatore (che e’ diversa per le diverse transizioni dei diversi atomi e viene calcolata dalla fisica atomica). Esempio di uso:

Esempio• Trovare la densita’ colonnare di atomi di sodio al di

sopra della fotosfera Solare dalla intensita’ delle righe a 3302.38A (W1=0.088A) e a 5889.97A (W2=0.730A).

• Dalle tabelle (vedi ad es. http://www-cfadc.phy.ornl.gov/databases.html) troviamo f1=0.0214 e f2=0.645. Per la fotosfera solare, inoltre, T=5800K e p=0.01N/m2.

• Le due righe corrispondono a transizioni dallo stato fondamentale per l’ atomo di sodio neutro NaI. Quindi hanno ambedue lo stesso Na (densita’ colonnare di atomi che sono nello stato fondamentale).

• Dalla figura si legge fNa:

7

8.14)log(1024.197.5889

730.0

2.13)log(1066.238.3302

088.0

24

2

2

15

1

1

=→×==

=→×==

−

−

a

a

NfW

NfW

λ

λ

Esempio• Quindi

• Da ambedue le righe viene giustamente lo stesso risultato: ci sono 1015 atomi per cm2 di NaI neutro e nello stato fondamentale, tra il fondo della fotosfera solare e noi.

• Per trovare il numero totale di atomi di sodio si devono usare le equazioni di Saha (per la ionizzazione) e Boltzmann (per gli atomi in stati eccitati) come nelle scorse lezioni.

• Dall’ eq. di Boltzmann si conclude che praticamente tutti gli atomi di NaI sono nello stato fondamentale:

99.14)645.0log(8.14)log()log()log(05.15)0214.0log(2.13)log()log()log(

22

11

=−=−==−=−=

fNfNfNfN

aa

aa

212

411

1048.1)/exp()/exp(

1045.5)/exp()/exp(−

−

×=−=Δ−

×=−=Δ−

kThckTE

kThckTE

λ

λ

Esempio• Dall’ eq. di Saha

• si conclude che la maggior parte dell’ Na e’ ionizzato:

• Quindi la densita’ di atomi di Na ionizzati una volta e’circa 2.4x1018cm-2.

• Se si sommano le densita’ degli atomi di Na nei diversi stati di ionizzazione, si trova la densita’ totale di Nasopra la fotosfera solare.

• Si possono poi confrontare le densita’ dei diversi elementi, rifacendo lo stesso lavoro per le loro righe caratteristiche. Si trovano cosi’ le “abbondanze solari”:

243014.5;0.1;4.2 =→===I

IIIII N

NeVZZ χ

kTe

ie

i

i

i ieh

kTmZn

ZN

N /2/3

211 22 χπ −++ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Per il Na, 2.3x1018 atomi/cm2 x 22.98 x1.67x10-24g=9x10-5 g/cm2

1

Materia Interstellare

• La materia nell’ Universo emette, assorbe e diffonde fotoni.

• Lo studio di questi processi permette di capire il funzionamento degli astri.

• Esempio: una foto nel visibile di un campo di 1.5ox2.0o in Orione.

Nel campo della foto siamo testimoni di diversi fenomeni fisici.

1. La stella Alnitak, a circa 250 pc di distanza da noi, e’ la sorgente piu’ luminosa, talmente brillante da sovraesporre una grossa zona della CCD che ha preso l’immagine.


2. Le nebulose brillanti e oscure che riempiono l’immagine si trovano invece dietro alla stella, a circa 500 pc da noi (quindi non c’e’relazione fisica tra la stella e le nebulose, sono solo prospetticamente sovrapposte)


2. Le nebulose brillanti sono tenui nubi di gas che emettono luce (NGC 2024 e IC434)



3. Ci sono anche nubi di granellini solidi (la polvere interstellare) che riflettono la luce blu (NGC2023)



3. Ci sono anche nubi di granellini solidi (la polvere interstellare) che riflettono la luce blu (NGC2023)

4. Oppure assorbono la luce retrostante

2

In queste lezioni vogliamo imparare a studiare quantitativamente i processi di

• Emissione• Diffusione (Scattering)• Assorbimento

1. Quando un raggio di luce passa attraverso la materia, puo’ venirgli aggiunta energia per emissione, o sottratta energia per assorbimento.

2. In piu’ c’e’ il fenomeno della diffusione (scattering) cioe’ della deflessione dell’ energia del raggio verso altre direzioni, o anche dell’aumento dell’ energia del raggio grazie ad energia proveniente da altre direzioni.

Tratteremo prima i fenomeni del p.to 1.

Luce e materia (trattazione macroscopica)

• Si definisce il “coefficiente di emissione spontanea” jν come l’ energia emessa per unita’ di volume, angolo solido, tempo e frequenza:

• jν ha unita’ di misura W/m3/sr/Hz• Se il raggio di luce ha una sezione dA e

percorre un tratto ds nel mezzo emittente, occupa un volume di materia dV=dAds e l’aumento di intensita’ (brillanza) del raggio e’

Emissione

νν dtddVdjdE Ω=

dsjdsddtdVd

dEdddtdAd

dEddI ννν=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=

• Si definisce il “coefficiente assorbimento” ανche rappresenta la perdita percentuale di energia (brillanza) del raggio in un ds:

• αν ha unita’ di misura m-1 ed e’ legato alla densita’ n ed alla sezione d’ urto σν degli elementi del mezzo assorbente:

• Il numero di assorbitori nell’ elemento di volume dAds e’ ndAds, e l’ area presentata da questi “ostacoli” e’ σνndAds. Questa ridurra’ l’area in uscita disponibile per la radiazione:

Assorbimento

dsIdI ννν α−=

ds

dA

I dAI dA’

→−==−=−=

)1()()('

dsndAIdsdAndAINdAIdAI

νν

ννννν

σσσ

νσ

dA

νννν

νννν

σασσ

νndsnIdI

dAdsIndAIdAI=⇒−=⇒−=−'

'dA

• Se nel mezzo attraversato dalla luce ci sono contemporaneamente assorbimento ed emissione, si possono combinare le due espressioni precedenti trovando

• Questa equazione permette di trattare quantitativamente il passaggio di radiazione nella materia.

• A seconda del tipo di materia e della frequenza della radiazione avverranno processi fisici diversi, e quindi i coefficienti e saranno differenti, ma l’ equazione e’ sempre la stessa.

Equazione del trasporto radiativo

νννν α jI

dsdI

+−=

νανj

3

• L’ equazione del trasporto assume una forma piu’semplice se invece della variabile s si usa la variabile τν, detta spessore ottico, e definita da

• Un mezzo viene detto otticamente spesso quando τν > 1 ; otticamente sottile quando τν << 1.

• Infatti, dall’ equazione del trasporto senza emissione

• Quindi se il mezzo e’ otticamente spesso la radiazione non riesce ad attraversarlo (mezzo opaco), se e’ sottile invece passa quasi tutta (mezzo trasparente).

Spessore Ottico

νν

τν

α

νν

νν

ννν

ν αα

−∫−

==

⇒−=⇒−=

esIesIsI

dsI

dIIdsdI

o

ds

o

s

os )()()(

∫=⇒=s

so

dssdsd νννν ατατ )(

Legge diAssorbimentoEsponenziale

• Introducendo lo spessore ottico nell’ equazione del trasporto si ottiene:

• Sν e’ detta funzione sorgente; • La soluzione formale dell’ equazione e’

Equazione del Trasporto Radiativo

ν

νννν

ν

ν

ν

νν

ν

νννν

ν

ατ

ααα

jSSIddI

jIds

dIjIdsdI

≡+−=

⇒+−=⇒+−=

;

∫ −−− +=ν

ννν

τ

ννντττ

ννν τττ0

'')( )()0()('

dSeeII


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∫

∫

∫

−−− +=

⇒+=

⇒ℜ+ℑ=ℑ⇒ℜ=ℑ

⇒ℜ=+=ℑ

⇒=ℜ=ℑ

+−=⇒+−=

ν

ννν

ν

νν

ν

νν

νν

ννν

τ

ννντττ

ννν

ν

τ

νντ

ννντ

ν

τ

ννν

ν

ντν

τ

ν

ντ

ντ

τν

τν

ν

ντνν

ν

ν

τττ

τττ

ττττ

ττ

ττ

0

'')(

'

0

'

'

0

'

)()0()(

0

0

;

'

'

dSeeII

dSeIIe

ddd

ddIeIe

dd

SeIe

eSeIddIeSI

ddI

definendo• L’ intensita’ dopo un tratto s (e quindi uno

spessore ottico τν) e’ la somma di due termini:– L’ intensita’ iniziale diminuita dall’ assorbimento– La funzione sorgente integrata nel cammino (e

diminuita anch’essa per l’ assorbimento)• Esempio: se la funzione sorgente e’ costante


∫ −−− +=ν

ννν

τ

ννντττ

ννν τττ0

'')( )()0()('

dSeeII

ντ−e

[ ]νν τν

τννν τ −− −+= eSeII 1)0()(

( )νννν

ννννννν

ττττττ

SISII

≅⇒>>+−≅⇒<<

)(11)0()(1

• Lo spessore ottico e’ legato al cammino libero medio dei fotoni, cioe’ alla distanza percorsa in media dai fotoni nella materia prima di essere assorbiti.

• Dalla legge di assorbimento esponenziale

si vede che la probabilita’ che un fotone viaggi senza essere assorbito nella materia fino ad uno spessore τν e’

• Quindi lo spessore ottico medio percorso dai fotoni e’

Cammino Libero Medio

ντντ −= eII )0()(

ντνν ττ −== eIIP )0(/)()(

1)(00∫∫∞

−∞

=== ντ

ννννν ττττττ ν dedP

• Ma

• Quindi il cammino libero medio percorso dai fotoni prima di essere assorbiti e’ inversamente proporzionale alla densita’ del mezzo ed alla sezione d’urto delle particelle del mezzo.

Cammino Libero Medio

1)(00∫∫∞

−∞

=== ντ

ννννν ττττττ ν dedP

νννν σ

σατn

n 11 =⇒=== lll

4

• E’ la radiazione emessa da materia in equilibrio termodinamico. Un caso particolare e’ la radiazione di corpo nero, radiazione essa stessa in equilibrio termodinamico.

• Il corpo nero e’ la radiazione che riempie una cavita’isoterma.

• Questa e’ indipendente dalle proprieta’ della cavita’, e dipende solo dalla temperatura T.

• Per dimostrarlo basta considerare due cavita’ con proprieta’ fisiche diverse, ma alla stessa temperatura, e connesse tra loro da un filtro F che lascia passare solo la frequenza ν.

Radiazione Termica

FI(ν) I’(ν)

T T

• Se fosse scorrerebbe spontaneamente energia da una cavita’ all’altra. Siccome le due cavita’ sono alla stessa temperatura, questo violerebbe il secondo principio della termodinamica.

• Quindi deve essere • B(ν,Τ) e’ una funzione universale valida per

qualsiasi cavita’, detta funzione di Planck

Radiazione Termica

FI(ν) I’(ν)

T T

)(')( νν II ≠

),()(')( TBII ννν ==

Radiazione di Corpo Nero

• Le curve a diverse Temperature non si intersecano mai !

• Il massimo di emissione si ha per

•

KcmT 290.0max =λ

1

12),(

1

12),(

5

2

2

3

−=

−=

λ

ν

λλ

νν

kThc

kTh

e

hcTB

echTB

kTh

kTc

TB

<<

≈

ν

νν 2

22),(

• Inseriamo del materiale con funzione sorgente Sνe temperatura T dentro il corpo nero.

• La radiazione che entra nel materiale e’ B(ν,T). La radiazione che esce deve essere anch’ essa B(ν,T),perche’ la nuova configurazione e’ anch’essa un corpo nero.

• Quindi l’ equazione del trasporto si scrive

Radiazione Termica B(ν,Τ)

T

B(ν,Τ)

ν

ννν

ν

ν

αννν

τjTBTBSSTB

ddI

==⇒+−== ),();,(),(0

Sν

Legge di Kirchhoff

• L’ equazione del trasporto per radiazione termica si scrive quindi

• All’ interno di una cavita’ di corpo nero, cioe’ per radiazione di corpo nero

• Per radiazione termica (anche fuori dalla cavita’)

Radiazione Termica

),( TBS νν =

),( TBIddI ντ ν

ν

ν +−=

),( TBI νν =

• L’ atmosfera isoterma e’ un esempio di emettitore di radiazione termica.

• Inoltre trasmette parzialmente anche la radiazione che viene dall’ esterno.

• Supponiamo che lo spessore ottico di uno strato dell’atmosfera sia dτν .

• Se il raggio di luce forma un angolo θ con la verticale• dτν (θ) =ανdl(θ)= ανdz/cos θ= dτν,Ζ /cos θ .• τν (θ) =τν,Ζ /cos θ

Esempio: Atmosfera Isoterma

dz

θdl

zenith Linea di vista

5


dz

θdl


( ) ( )

)1)(,( : omog.non part. sol.

0 :omogenea sol.

),(),(

ν

ν

τν

τνννν

ν

ν

νν

νν

ν

ν

ν

ττ

ντ

ντ

−

−

−=

=⇒−=

=+⇒+−=

eTBI

eIIdI

dI

TBIddITBI

ddI


dz

θdl


( ) )1)(,(0)( : totalesol. νν ττννν ντ −− −+= eTBeII

Brillanzamisurataa terra

Brillanzaprovenienteda fuori

Attenuazioneatmosferica

Brillanza emessadall’ atmosfera


dz

θdl


( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−−θ

τθ

τ

ννν

νν

ντ

θ

coscos,,

1),(0)(

: zenitale angolo dell' funzionein ZZ

eTBeII

Brillanzamisurataa terra, ad un angoloθ dalla verticale

Brillanzaprovenienteda fuori

Attenuazioneatmosferica

Brillanza emessadall’ atmosfera


( )

( )θ

τν

θτ

ττ

νττ

ντ

νννννν

ννν

θτ

θτ

ννν

νν

cos),(

cos10)(1

),()(1

1),(0)(

,,,

,

coscos,,

ZZZ

Z

TBII

TBI

eTBeIIZZ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒<<

=⇒>>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

−−

Opacita’ totale, l’ atmosferaa queste ν e’ un corpo nero

Finestra atmosferica: l’ atmosfera a queste ν e’abbastanza trasparente

10

10-9

10-8

10-7

203

Bril

lanz

a A

tmos

feric

a (W

/cm

2 /sr/

cm-1

)

numero d' onde (cm-1)

Corpo nero a 250K

Atmosfera 1 mm PPWV

W1

W2

W3W4

λ=1 mm

λ=2 mm

λ=0.8 mm

λ=0.7 mm

Esempio: Atmosfera Isoterma ( )

( ) ( )θ

τνθτ

θτ

νθ

τθττ

ννννν

νννννν

cos]0),([0)}({

cos),(

cos10)}({1

,

,,,

Z

ZZZ

ITBII

TBII

−+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒<<

• Se si potesse fare l’ osservazione per si otterrebbe la radiazione proveniente da fuori!

• Non si puo’ fare (al minimo vale 1) ma si puo’estrapolare:

• Legge di cosecante:

0cos

1→

θ

θcos1

10 2 3 4

)}({ θτννI

)0(νIRadiazione provenienteda fuori dell’ atmosfera

Massad’aria

Relazione linearein 1/cosθ

6

( )

( ) ( )θ

τνθτ

θτ

νθ

τθττ

ννννν

νννννν

cos]0),([0)}({

cos),(

cos10)}({1

,

,,,

Z

ZZZ

ITBII

TBII

−+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒<<

A seconda del valore di la pendenza della retta può essere positiva o negativa

( )]0),([ νν ITB −

Esempio 1: osservazioni del fondo a microonde: Iν(0) è un corpo nero a 2.725K, mentre B(ν,T) è un corpo grigio a 240K, quindi il coefficiente è positivo.Esempio 2: misura del flusso di una stella: Iν(0) è un corpo nero alla temperatura della stella, mentre B(ν,T) èun corpo grigio a 240K, che a frequenze ottiche è completamente trascurabile. Quindi la pendenza è negativa.

θcos1

10 2 3 4

)0(νI

θcos1

10 2 3 4

)0(νI

νI

Esempio: misura dello spettro della CMB da terra

( ) ( )θ

τνθτ ν

νννν cos]725.2),([725.2)}({ ,Z

atm KBTBKBB −+=

• Legge di cosecante (ottenuta con un “tipper”)

θcos1

10 2 3 4

)}({ θτννI

)725.2( KBoffset

ν

=ZatmTB

pendenza

,),( ντν=

Astro-ph/0211134

Astro-ph/0211134

1

• Si definisce il “coefficiente di emissione spontanea” jν come l’ energia emessa per unita’ di volume, angolo solido, tempo e frequenza:

• jν ha unita’ di misura W/m3/sr/Hz• Se il raggio di luce ha una sezione dA e

percorre un tratto ds nel mezzo emittente, occupa un volume di materia dV=dAds e l’aumento di intensita’ (brillanza) del raggio e’

Emissione

νν dtddVdjdE Ω=

dsjdsddtdVd

dEdddtdAd

dEddI ννν=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=

dsjdsddtdVd

dEdddtdAd

dEddI ννν=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

Ω=

dsjdsdVdEds

dsdAdEds

dsdIdI ν====

E se avessi scritto

dsjdsdVdEds

dsdAEdds

dAEd

dsdds

dsdIdI ν=====

32

Ma in realtà

Equazione incriminata

• Introducendo lo spessore ottico nell’ equazione del trasporto si ottiene:

• Sν e’ detta funzione sorgente; • La soluzione formale dell’ equazione e’


ν

νννν

ν

ν

ν

νν

ν

νννν

ν

ατ

ααα

jSSIddI

jIds

dIjIdsdI

≡+−=

⇒+−=⇒+−=

;

∫ −−− +=ν

ννν

τ

ννντττ

ννν τττ0

'')( )()0()('

dSeeII

( )

( ) ( )θ

τνθτ

θτ

νθ

τθττ

ννννν

νννννν

cos]0),([0)}({

cos),(

cos10)}({1

,

,,,

Z

ZZZ

ITBII

TBII

−+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⇒<<

A seconda del valore di la pendenza della retta può essere positiva o negativa

( )]0),([ νν ITB −

Esempio 1: osservazioni del fondo a microonde: Iν(0) è un corpo nero a 2.725K, mentre B(ν,T) è un corpo grigio a 240K, quindi il coefficiente è positivo.Esempio 2: misura del flusso di una stella: Iν(0) è un corpo nero alla temperatura della stella, mentre B(ν,T) èun corpo grigio a 240K, che a frequenze ottiche è completamente trascurabile. Quindi la pendenza è negativa.

θcos1

10 2 3 4

)0(νI

θcos1

10 2 3 4

)0(νI

νI

In queste lezioni vogliamo imparare a studiare quantitativamente in processi di

• Emissione• Diffusione (Scattering)• Assorbimento

• equazione del trasporto radiativo (senza scattering):

• Sν e’ detta funzione sorgente;• τν e’ detto spessore ottico.• La soluzione dell’ equazione nel caso di funzione sorgente costante

e’

dsdjSSIddI

jIdsdI

ννν

νννν

ν

ν

νννν

ατατ

α

=≡+−=

+−=

;;

Assorbimento Emissione

[ ]νν τν

τννν τ −− −+= eSeII 1)0()(

( )νννν

ννννννν

ττττττ

SISII

≅⇒>>+−≅⇒<<

)(11)0()(1

Variazione dellaIntensità nel ds

2

Esercizio : • Un oggetto sferico e opaco emette come un corpo nero a temperatura Tc. E’circondato da un guscio sferico di gas in equilibrio termico a temperatura Ts< Tc

• Questo guscio assorbe in una banda molto stretta di frequenze: il suo coefficiente di assorbimento e’ molto alto solo vicino aνο , e trascurabile a frequenze diverse:α(νο )>>α(ν1) ~0.

• Se si osserva l’ oggetto alle due frequenzeνο e ν1 , e lungo i due raggi A e B, a quale frequenza la brillanza lungo A sara’maggiore della brillanza lungo B ?

• E se Ts> Tc ?

A B

Tc

Ts

νο ν1 ν

α

Soluzione• Alla frequenza νo il gas e’ opaco:

• quindi IA=IB

[ ][ ] ),(1),(

),(1),(),(

sosoB

sosocoA

TBeTBI

TBeTBeTBIBo

AoAo

νν

νννν

νν

α

αα

≈−=

≈−+=−

−−

l

ll

1;1 >>>> BA ooll νν αα

A

B

Tc

Ts

νο ν1 ν

α

Soluzione

[ ]

[ ] ),(1),(

),(),(1),(),(

11

11

11

1

1

1

11

sBsB

sAc

scA

TBeTBI

TBTBeTBeTBI

B

AA

ναν

ναννν

να

ν

αα

ν

νν

l

l

l

ll

≈−=

+≈−+=

−

−−

1;111

<<<< BA ll νν αα

A

B

Tc

Ts

• Alla frequenza ν1 il gas e’ trasparente:

• quindi IA>IB

• Se Ts>Tcnon cambia nulla, a meno che non sia Ts>>Tc

νο ν1 ν

α • Centro che emette come un corpo nero a temperatura Tc .

• Guscio sferico di gas in equilibrio termico a temperatura Ts.

• Spettro in direzione A (verso il centro della sorgente) :A

Tc

Ts

[ ]

⎩⎨⎧

=⇒>>+=⇒<<

−+= −−

),(1),(),(1

1),(),(

sAA

sAcAA

scA

TBITBTBI

eTBeTBI AA

νανανα

νν

ν

νν

αα νν

l

ll

ll

• Il guscio assorbe in una banda molto stretta di frequenze: il suo coefficiente di assorbimento e’ molto alto solo vicino aνο , e trascurabile a frequenze diverse:α(νο)>>α(ν1)~0.

[ ]

⎩⎨⎧

=⇒>>+=⇒<<

−+= −−

),(1),(),(1

1),(),(

sAA

sAcAA

scA

TBITBTBI

eTBeTBI AA

νανανα

νν

ν

νν

αα νν

l

ll

ll

ν

α(ν)

νο

ν ννο νο

Tc>Ts : riga di assorbimento

),( cTB ν

),( sTB ν ),( cTB ν

),( sTB ν

Tc<Ts : riga di emissione

IA(ν) IA (ν)

Log Fν

Log ν

B(Tc)

B(Ts)

3

Log Fν

Log ν

B(Tc)

B(Ts)

τ>>1

τ>>1

τ>>1

τ>>1

• Caso tipico con Tc>Ts: – Bande di Fraunnhofer– Righe di assorbimento nello spettro visibile delle

stelle

• Fraunnhofer (1814) vide circa 600 righe scure. • Oggi nello spettro del sole si conoscono piu’ di

1 milione di righe di assorbimento !

Spettro del Sole (a dispersione elevata)

• La maggior parte delle stelle mostrano uno spettro continuo con righe di assorbimento

• Il continuo, approssimativamente di corpo nero, viene generato dalle regioni piu’ interne della stella, dove lo spessore ottico diventa >>1, piu’ calde e opache dello strato superficiale.

• Le righe di assorbimento sono dovute agli atomi che si trovano nello strato piu’superficiale, parzialmente trasparente, e piu’ freddo.

T>

T<

• Esistono anche stelle con righe di emissione (stelle Wolf-Rayet) .

• In casi particolari le righe di emissione sono dovute ad un meccanismo laser naturale.

• Sono state scoperte 130 anni prima dell’ invenzione del laser !

T<

4

WR104

WR124 + M1-67

• Finora abbiamo fatto una trattazione macroscopica del trasferimento radiativo.

• Ma la legge di Kirchhoff che descrive la relazione tra emissione ed assorbimento per un emettitore termico, implica una relazione tra emissione ed assorbimento anche a livello microscopico

• Einstein derivo’ questa relazione in un caso semplice di interazione della radiazione con un atomo.

I coefficienti di Einstein

),( TBj νανν =

• Einstein considero’ un caso semplice in cui il sistema ha solo due livelli energetici:

– Livello 1 con energia E e peso statistico g1;– Livello 2 con energia E+ΔE e peso statistico g2.

• Il sistema compie una transizione da 1 a 2 assorbendo un fotone di energia hνο=ΔΕ, ed una transizione da 2 a 1 emettendo un fotone della stessa energia.


hνo hνo

E+ΔE , g2

E , g1

emissione

assorbimento

• Einstein identifico’ 3 processi:1) Emissione spontanea: il sistema si diseccita

spontaneamente dallo stato 2 e cade nello stato 1 emettendo un fotone. La probabilita’ di transizione da 2 a 1 per unita’ di tempo per emissione spontanea viene indicata con A21 e ha dimensioni s-1.


hνo hνo

E+ΔE , g2

E , g1

emissione

assorbimento

• Einstein identifico’ 3 processi:2) Assorbimento: il sistema transisce dallo stato 1 allo stato

2 quando assorbe un fotone. La probabilita’ di transizione da 1 a 2 per unita’ di tempo per assorbimento sara’ proporzionale alla densita’ Jνο di fotoni di energia hνo presenti. Viene scritta di solitoB12Jνο (e ha dimensioni s-1).


hνo hνo

E+ΔE , g2

E , g1

emissione

assorbimento

• Einstein identifico’ 3 processi:3) Emissione stimolata: In presenza di una certa densita’ di

fotoni di energia hνo il sistema transisce dallo stato 2 allo stato 1 emettendo un fotone.La probabilita’ di transizione (e quindi di emissione di fotoni stimolata dalla presenza di altri fotoni uguali) e’proporzionale alla densita’ Jνο di fotoni di energia hνopresenti. Viene scritta di solito B21Jνο (e ha dimensioni s-1).


hνo hνo

E+ΔE , g2

E , g1

emissione

assorbimento

5

• Einstein dovette assumere l’ esistenza dell’emissione stimolata, meno intuitiva delle due precedenti, per poter derivare la legge di Planck (in assenza di emissione stimolata si ottiene la legge di Wien, che vale solo per energie alte).

• L’ emissione stimolata produce fotoni precisamente della stessa frequenza e nella stessa direzione di quelli presenti (stesso stato).


hνo hνo

E+ΔE , g2

E , g1

emissione

assorbimento

• In condizioni di equilibrio il numero di transizioni per unita’ di tempo da 1 a 2 deve eguagliare il numero di transizioni da 2 a 1:

• Inoltre in equilibrio termodinamico la popolazione dei livelli sara’ data dalla statistica di Boltzmann:

• E quindi


( )( ) 1///

211221

2121212212121 −

=⇒+=BBnn

BAJJBnAnJBnooo ννν

kTh

kThE

kTE

o

oe

gg

eg

egnn ν

ν2

1

2

1

2

1 == +−

−

1

/

212

121

2121

−=

kTh oo

eBgBg

BAJ νν

• In condizioni di equilibrio sappiamo che deve essere

• Confrontando con quanto trovato

• Si ottengono le relazioni di Einstein:

che sono indipendenti da T e quindi devono valere in generale.

• Dato un coefficiente di Einstein, dalle relazioni di Einstein si trovano subito gli altri due.


1

/

212

121

2121

−=

kTh oo

eBgBg

BAJ νν

112),( /2

3

−== kTh

oo oo ec

hTBJ νννν

1;2

212

1212

3

21

21 ==BgBg

ch

BA ν

• La quantita’ di energia emessa per unita’ di tempo, frequenza, volume e angolo solido (coefficiente di emissione, jν) si calcola dal numero di diseccitazioni dal livello 2 al livello 1:

• La quantita’ di energia sottratta al beam di intensita’ Iν a causa di assorbimento da parte del sistema a due livelli si calcola dal numero di passaggi da 1 a 2 nel volumedV=dAds:

Coefficienti di Einsteine Trasporto Radiativo

2214nAhj

πν

ν =

112112 441 nBhdsnBIhdI

πνα

πν ννν =⇒−=

• Si deve poi considerare l’ energia aggiunta al beam dalle diseccitazioni stimolate dalla presenza del beam stesso (emissione stimolata). Questa e’ proporzionale all’intensita’ del beam, ed e’ quindi analoga ad un assorbimento di segno negativo:

• Quindi il coefficiente di assorbimento, corretto per l’emissione stimolata, vale

• A questo punto siamo in grado di riscrivere l’ equazione del trasporto radiativo:


221221 441 nBhdsnBIhdI S

πνα

πν ννν −=⇒=

)(4 221112 nBnBh

−=πναν

• Equazione del trasporto radiativo nel mezzo a due livelli in termini di Coefficienti di Einstein:

• e, usando le reazioni di Einstein:


221221112 4)(

4nAhInBnBh

dsdI

jIdsdI

πν

πν

α

νν

νννν

+−−=

⇒+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−==

−

12

21112

1

21

122

3

221112

221

14

12

ngngnBh

ngng

ch

nBnBnAjS

πνα

να

ν

ν

νν

Legge di Kirkhhoffgeneralizzata

6

• Quando le materia e’ in equilibrio termico• Quando invece si ha emissione non termica.• Per un sistema in equilibrio termico

• A volte e’ possibile (in situazioni di non equilibrio) mandare nel livello superiore un numero di atomi talmente elevato che

• In questo caso si parla di inversione delle popolazioni, ed il coefficiente di assorbimento e’ negativo:


kTh

egg

nn ν

2

1

2

1 =

kTh

egg

nn ν

2

1

2

1 ≠

2

2

1

1

21

12 1gn

gne

gngn kT

h

>⇒<=−

ν

2

2

1

1

gn

gn

<

νννν

ν απνα jI

dsdI

ngngnBh

+−=<⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ;01

4 12

21112

• In questo caso si parla di inversione delle popolazioni, ed il coefficiente di assorbimento e’ negativo:

• Quindi Iν aumenta attraversando il mezzo. Si parla di laser o maser : light (microwave) amplification bystimulated emission of radiation.

• Uno spessore ottico negativo genera una amplificazione della brillanza

• Sono noti sia laser che maser astrofisici.


!0014 12

21112 >−=⇒<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−= dsIdI

ngngnBh

νννν απνα

100−≈= ∫ dsνν ατ4310≈− ντe

Nube molecolare W43A nella costellazione Aquila

Immagine IR di ESO

3x104 Jy@ 22 GHz

!!!!

Nel radio, a 22 GHz si vede un grande numero di sorgenti estremamente intense.

Non puo’ essere emissione termica !• Una emissione di 30000 Jy a 22 GHz da una sorgente

di dimensioni inferiori a 0.1” e’ cosi’ alta che per essere di origine termica dovrebbe provenire da un oggetto a temperatura estremamente alta.

• Siccome non si vede emissione a frequenze alte (visibile, UV, X, γ) se ne conclude che si tratta di emissione non termica.

• Esercizio: – Calcolare la temperatura che dovrebbe avere un corpo nero

per produrre il flusso misurato a 22 GHz. – Calcolare a che frequenza si avrebbe la massima emissione

Non puo’ essere emissione termica !

HzsrmW

rad

HzmW

FB

JyHzmWJyF

oo

29

2

222

226

105.1

/3.57/'60/'"60"1.0

4

103

1030000

−

−

−

×=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

××

×=

Ω=

×=

πν

ν

ν

Per un corpo nero a temperatura T nella regione RJ

)(105.12 219

2

2

KTKHzsrm

WkTc

BB −×==ν

ν

Quindi per generare il flusso osservato la temperatura dovrebbe essere

!!!!!10105.1105.1)( 10

19

9

KKKT =××

= −

−

7

MASER astrofisiciconosciuti

Scattering• Finora abbiamo trascurato la possibilita’che l’ intensita’ del fascio luminoso cambi a causa di diffusione della luce da o verso altre direzioni (scattering).

• Supponiamo che la diffusione sia isotropa, cioe’ che la probabilita’ di diffusione sia la stessa verso qualunque direzione, e che l’energia totale emessa per unita’ frequenza sia uguale a quella assorbita per unita’ di frequenza (scattering elastico o coerente).

• Indichiamo con σν il coefficiente di assorbimento del processo di scattering (coefficiente di scattering). Il coefficiente di emissione dovuto allo scattering e’ ∫ Ω=

πννν π

σ44

1 dIj

Scattering• Quindi l’ equazione di trasporto radiativo

nel caso di scattering puro (senza assorbimento) si scrive

• E’ un’ equazione integro-differenziale nella variabile Iν !

• Difficile da risolvere, non vale la soluzione formale vista la volta scorsa.

• Esistono metodi di soluzione approssimata (es. approssimazione di Eddington) che esulano da questo corso.

νννν α jI

dsdI

+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω−−= ∫

πννν

ν

πσ

441 dII

dsdI

Scattering e “Random Walk”• Per fare conti di ordini di grandezza e’ utile considerare un

approccio probabilistico.• Ad es. abbiamo visto che la legge di assorbimento

esponenziale poteva essere vista come la probabilita’ che un fotone penetrasse uno spessore ottico τ.

• Analogamente, quando la radiazione viene diffusa in modo isotropo si puo’ pensare che ciascun fotone abbia uguale probabilita’ di venire diffuso in angoli solidi uguali (indipendentemente dalla loro direzione).

• In questo modo si puo’ ricavare una traiettoria “tipica” per un fotone, e le intensita’ misurate si otterranno da una media sulle possibili traiettorie di un grande numero di fotoni che si muovono su queste traiettorie.

Scattering e “Random Walk”• Consideriamo un fotone che si muove in un mezzo

omogeneo, infinito e diffondente in modo omogeneo.• Si muove di , poi viene diffuso e si muove di in un’

altra direzione, poi ha un ulteriore scattering e si muove di in una direzione ancora diversa, e cosi’ via.

• Dopo N diffusioni sara’ arrivato nella posizione

• Per stimare approssimativamente , cioe’ la distanza netta percorsa in media dopo N diffusioni, dobbiamo fare il valore quadratico medio:

1rr

3rr

NrrrrrR rrrrrr+++++= ...4321

Rr

( )221 ... NrrrR rrrr

+++=

2rr

Scattering e “Random Walk”

• Dove e’ il cammino libero medio di un fotone nel mezzo.

• Siccome il fotone cambia ogni volta direzione a caso, dopo N diffusioni invece di essersi allontanato dalla posizione iniziale di , si e’ allontanato solo di

• Un processo di questo genere e’ detto di “random walk”. E’ quello che succede, ad esempio, ai fotoni generati dalle reazioni nucleari all’ interno del Sole.

( )

lr

l

rrrrrrr

rrrr

NRN

rrrrrrr

rrrR

N

N

=⇒=

=+⋅+⋅++++=

=+++=

2

312122

22

1

221

....22...

...

l

lNlN

8

Scattering e “Random Walk”

• Questa equazione puo’ essere utilizzata per valutare quanti scattering deve subire un fotone prima di uscire da un mezzo diffondente:

• Se il mezzo ha dimensione L, ed alto spessore ottico, dovra’ essere

• D’ altra parte

e quindi• Se invece la probabilita’ di avere anche un solo

scattering e’ piccola, pari a

lr

NR =

( )2/ ll LNNL =⇒=

LLdsl

1=≅= ∫ ννν αατ

)1(2 >>≈ νν ττN1<<ντ

ντ τν ≈− − )1( e

Scattering e Assorbimento• Supponiamo che in un mezzo avvengono simultaneamente

scattering e assorbimento. • Supponiamo che l’ assorbimento e l’ emissione governate da αν

siano di tipo termico, e che lo scattering sia isotropo e governato daσν.

• L’ equazione del trasporto si scrivera’ ora

dove

e quindi

dove

( ) ( )

Ω=

−−−−=

∫ dIJ

JIBIds

dI

πνν

ννννννν

π

σα

441

( )( )

νν

ννννν

ννννν

σααα

σα

++

=

−+−=

JBS

SIdsdI

Scattering e Assorbimento

• Il coefficiente di assorbimento complessivo e’• Quindi lo spessore ottico puo’ venire definito

che viene anche detto coefficiente di estinzione.• Il cammino libero medio di un fotone prima di uno scattering o di un

assorbimento sara’

• La probabilita’ che un cammino libero medio finisca in un vero assorbimento sara’

( )( )νν

ννννννννν

ν

σααασα

++

=−+−=JBSSI

dsdI ;

νν σα +

( )dsd ννν σατ +=

ννν σα +

=1

l

νν

νννν σα

ααε+

== l

Scattering e Assorbimento• La probabilita’ che un cammino libero medio finisca in un vero

assorbimento sara’• Mentre quella che finisca in uno scattering sara’

che viene anche detta albedo di singola diffusione.• Il random walk di un fotone iniziera’ con una creazione per

emissione termica, ed andra’ di diffusione in diffusione verso la fine per assorbimento (distruzione).

• La probabilita’ che ci siano N scattering prima della distruzione sara’ P(N)=(1-ε)N . E quindi il numero medio di scattering prima della distruzione sara’ <N>=ΣNP(N)=1/ε .

• Si ottiene allora la lunghezza di diffusione

νν

νννν σα

ααε+

== l

νν

ν

νν

νν σα

σσα

αε+

=+

−=− 11

( )νννννν

νν

σαασαασα

+=

++

==11

lNL

Diffusione dei fotoni nel Sole• L’ energia viene generata dalle reazioni

nucleari nel Core, dove la temperatura e’di 16 milioni di gradi e la densita’ 160 g/cm3.

• L’ energia viene trasportata verso l’esterno radiativamente dai fotoni (nella zona radiativa).

• Nel 30% piu’ esterno il trasporto di energia dominante e’ invece la convezione (zona convettiva).

• L’ energia arriva cosi’ alla fotosfera, dove la densita’ si riduce moltissimo (questa e’ la superficie visibile del Sole)

• Al di sopra della fotosfera c’e’ uno strato molto tenue e caldo, detto cromosfera, ed al di sopra uno ancora piu’ tenue e caldo detto corona.

Diffusione dei fotoni nel Sole• Le reazioni nucleari che avvengono

nel nucleo del Sole generano fotoni γe neutrini.

• Alla velocita’ della luce, basterebbero 2.3 secondi per uscire dal Sole.

• Ma i fotoni hanno un cammino libero medio di solo 1 cm.

• Quindi vengono diffusi ed anche spezzati in piu’ fotoni di energia piu’bassa (luce visibile).

• Il loro random walk li porta ad uscire dal Sole circa 30000 anni dopo la loro generazione.

• I neutrini invece escono subito, a causa della loro bassissima sezione d’ urto (che li rende anche difficilissimi da rivelare !)

1

Interazione tra fotoni ed elettroni• Finora abbiamo considerato in generale il

processo di trasporto radiativo, lasciando ad un parametro (il coefficiente di assorbimento o di emissione) la descrizione dell’ interazione tra luce e materia.

• Oggi cominciamo a studiare in dettaglio questa interazione, cominciando dal problema dell’interazione dei fotoni con gli elettroni liberi.

• Questo e’ un caso di grande importanza in astrofisica (es. Regioni HII)

Regioni HII :

La nebulosa Aquila

Regioni HII : IC434dietro allaTesta di Cavallo

Regioni HII :• La regione HII e’ una nuvola di idrogeno ionizzato dai fotoni ultravioletti (hν>13.6 eV) di stelle O e B che si trovano al suo interno.

• Le stelle O e B hanno ancora intorno a loro una regione ad alta densita’ di idrogeno neutro della nube molecolare dalla quale si sono formate (regione HI)

• Parte della nube viene ionizzata dai fotoni UV (regione HII).

• Comunque gli elettroni ed i protoni che si sono liberati hanno una certa probabilita’ di ricombinarsi. Di solito si ricombinano ad uno stato eccitato da cui poi decadono ai livelli piu’ bassi.

• La luminosita’ rossa che si osserva nelle immagini visibili e’ dovuta alla ricaduta, dopo la ricombinazione, da n=3 a n=2 (riga di Balmer, Hα a 660 nm)

HII

HI

0 eVn=1

n=2

n=3n=4

10.19 eV

12.07 eV12.97 eV

ioni

zzaz

ione

ricombinazione

Hα

• Il flusso di fotoni ionizzanti iniziera’a ionizzare il primo strato di spessore pari al cammino libero medio λ=1/nσph intorno alla stella.

• I fotoni successivi passeranno senza alcun assorbimento nello strato ionizzato e ionizzeranno il secondo strato, e cosi’ via.

• Il processo continuera’ ad allargare la regione ionizzata, fino ad un raggio massimo dove le ricombinazioni compensano le ionizzazioni.

• Nel generico guscio di raggio R:

HII

HI

peH nnRdtdRRnN αππ 32

344 +=&Luminosita’ di fotoni

ionizzanti (γ/s)

Numero di atomi che per unita’ di tempo si aggiungono daionizzare

Numero di ricombinazioniper unita’di tempo

2

• L’ equilibrio si raggiunge dove dR/dt=0. Quindi

• il “Raggio di Stromgren” della regione HII e’

• Numeri tipici:

HII

HI

peS nnRN απ 3

34

=&

31

43

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

peS nn

NRπ

&

2RS

pcRscm

cmnnn

sN

S

Hpe

ion

6105.2

)10(

/10

1313

232

48

=⇒×=

=≈

=

−−−

−

α

γ&

• In realta’ la situazione e’ piu’complicata perche’

1. Spesso la ricombinazione fornisce un fotone ionizzante, quindi ci sono in giro piu’ fotoni ionizzanti di quelli considerati sopra. Il raggio della regione HII sara’maggiore.

2. Abbiamo trascurato l’ equilibrio delle pressioni tra il gas HII e il gas HI. La HII ha densita’ maggiore della HI, e temperatura molto maggiore: T(HI)=70K, T(HII)=7000K. La pressione va come nT e quindi quella della regione HII non puo’ essere compensata da quella della HI: la regione HII si deve espandere.

HII

HI

2RS

Scattering Thomson e Compton• Quando della radiazione elettromagnetica

incide su una nube di elettroni liberi, gli e-

reagiscono al campo cosi’ velocemente che rigenerano, oscillando, un campo EM con la stessa frequenza di quello incidente.

• L’ assorbimento e’ di solito trascurabile: si ha praticamente tutto scattering (diffusione)

Er

Er

kr

e-

Scattering Thomson e Compton• Se il problema puo’ essere trattato

classicamente (si dice Scattering Thomson)• Se il problema deve essere trattato

quantisticamente (si dice Scattering Compton)• La lunghezza d’ onda di transizione e’ detta

lunghezza Compton dell’ e-:

2cmh e<<ν

2cmh e>≈ν

nmcm

hcmhccmhe

cec

e 24.022 ==⇒=⇒= λλ

ν

Scattering Thomson• Per sia il campo elettrico dell’

onda incidente su una carica Ze. imprimera’una accelerazione della carica Z pari a

• Si trascura la forza di Lorentz dovuta al campo magnetico dell’ onda EM perche’ per frequenze basse v e’ piccola.

• Si crea quindi un dipolo oscillante • Quindi• Dall’ elettromagnetismo (potenziali ritardati) e’

noto che l’ energia irraggiata dal dipolo nel dΩintorno alla direzione n e’

2cmh e<<ν

EZeamrr

=

Er

Er

BZerr

∧v

rZed rr=

( ) mEZeaZerZed /2 rr&&r&&r ===

Ω⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∧= dnd

cdWirr

2

341 r&&r

π

Scattering Thomson• Quindi

( ) mEZed /2 r&&r =

( )Ω=Ω⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∧= d

cmEZednd

cdWirr θ

ππ2

32

242

3 sin44

1 r&&r

• L’ energia incidente sull’ elettrone per unita’ di superficie e’ data dal vettore di Poynting:

• Il rapporto tra dWirr e Winc e’ una superficie:

e-

E θonda incidente (k)

onda diffusa (k’)

2

4EcSWinc π

==

( )( )

Ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Ω== d

mcZe

Ec

dcmEZe

WdWd

inc

irrTZ θ

π

θπσ 2

2

2

2

2

232

24

sin

4

sin4

3

Scattering Thomson• Integrando su tutti gli angoli si ottiene

• Nel caso di un elettrone si ha la Sezione d’ urto Thomson :

• La distribuzione angolare dello scattering si ottiene dalla formula differenziale esprimendo l’ angolo θ tra campo e direzione diffusa in termini dell’ angolo Θ tra onda incidente e onda diffusa:

( ) ( ) 2

2

2

4

2

2

2

2

38sin ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=Ω⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∫ mc

ZedmcZe

TZπθσ

π

2242

2

2

1066.03

8 cmmce

T−×=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

πσ

e-

E θ

Θ

φsinΘ

cosθ

θ φ

φθ

φθ222 cossin1sin

cossincosΘ−=⇒

Θ=

Scattering Thomson• Quindi

– Se la radiazione incidente e’ non polarizzata, φ varia a caso tra 0 e 2π.

( ) ΩΘ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Ω⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= d

mced

mced T φθσ 22

2

2

22

2

2

2

cossin1sin

( )

( ) ΩΘ+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒

Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Θ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=ΩΘ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dmced

dmced

mced

unpT

unpT

22

2

2

,

22

2

222

2

2

2

,

cos121

2sin1cossin1

σ

φσ

e-Θ

unpTd ,σ

Massima diffusione in avanti e indietroMinima a 90 gradi dalla direzione di incidenza

Scattering Thomson• Se la radiazione incidente e’ perfettamente polarizzata,

(100% polarizzazione lineare) φ e’ costante.

e-Θ

Scattering nel pianodi vibrazione di E: φ=0o

( ) ΩΘ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= d

mced polT φσ 22

2

2

2

, cossin1

polTd ,σ

e- Θ

Scattering nel pianodi vibrazione di B:φ=90o

polTd ,σ

Esempio: la radiazione cosmica di Fondo a 3K

• L’ universo si e’ raffreddato espandendosi. • C’e’ stata un’epoca nel passato in cui l’ universo era talmente

caldo da essere ionizzato. • Questa fase e’ detta di “Primeval Fireball” e dura per i primi

400000 anni dal Big Bang.• In questa fase lo spessore ottico per scattering Thomson era

estremamente alto, ed i fotoni percorrevano un “randomwalk” da elettrone ad elettrone.

• Quando l’ universo si e’ raffreddato abbastanza da permettere la ricombinazione degli elettroni e protoni in atomi di idrogeno, la sezione d’ urto e’ diminuita drasticamente, e l’ universo e’ diventato trasparente.

LSS• I fotoni che erano in equilibrio con la materia (corpo nero) si propagano fino a noi, raffreddandosi con l’ulteriore espansione dell’ universo, ma mantenendo la forma di corpo nero. Radiazione cosmica di fondo, CMB.

• I fotoni della CMB subiscono il loro ultimo scattering Thomson quando l’ universo si raffredda a 3000K, ad un redshift zLSS~1100.

• Quindi i fotoni di CMB provengono da una “superficie di ultimo scattering” (last scattering surface) posta a z~1100.

• Questa superficie ha un certo spessore, perche’ l’ universo impiega tempo a diventare trasparente.

zLSS

ΔzLSS

H neutro (trasparente)

H ionizzato (opaco)

LSS (semitrasparente)

LSS• I fotoni che erano in equilibrio con la materia (corpo nero) si propagano fino a noi, raffreddandosi con l’ulteriore espansione dell’ universo, ma mantenendo la forma di corpo nero. Radiazione cosmica di fondo, CMB.

• I fotoni della CMB subiscono il loro ultimo scattering Thomson quando l’ universo si raffredda a 3000K, ad un redshift zLSS~1100.

• Quindi i fotoni di CMB provengono da una “superficie di ultimo scattering” (last scattering surface) posta a z~1100.

• Questa superficie ha un certo spessore, perche’ l’ universo impiega tempo a diventare trasparente.

zLSS

ΔzLSS

H neutro

H ionizzato

LSS

Random walk

Ultimo scattering

Propagazione libera

4

LSS• Lo spessore della superficie di ultimo scattering si

puo’ calcolare vedendo quanto e’ profonda la transizione da spessore ottico basso a spessore ottico maggiore di 1.

• In formule

• Dove x(z) e’ la frazione di idrogeno ionizzata.• La soluzione richiede l’ integrazione dell’

equazione di Saha per la frazione ionizzata.• Il risultato e’ un grafico del tipo

)()1()(

1)1()())(()(

3

02

)(

0

zxznzn

zzHcdzzndznz

oe

z

oTe

z

Te

+=

Ω++== ∫∫ σστ

l

ll

0 1000

τ(z)

z0

1

0.5

zLSS

ΔzLSS

2

1.5

)()()( ze ezn

dzzdN τ−∝

Densita’di diffusorial redshift z

Attenuazione

Numero difotoni cheprovengono da un redshift z

Oggi si conosce (WMAP)zLSS con grande precisione:zLSS=1089+1ΔzLSS=185+2 (FWHM)Bennet et al. 2003

Scattering Compton• Se il problema deve essere

trattato quantisticamente. • Il risultato piu’ importante e’ che lo scattering non e’

piu’ elastico, ed il fotone perde energia, cedendola all’elettrone.

• La nuova lunghezza d’ onda del fotone puo’ venire calcolata imponendo la conservazione dell’ energia totale e dell’ impulso.

• Si ottiene

• La sezione d’ urto dell’ effetto Compton e’ data dalla formula di Klein-Nishina. La sezione d’ urto Comptondiminuisce all’ aumentare dell’ energia.

• Ad energie si ha formazione di coppie e-e+.

MeVcmh e 5.02 =>≈ν

)cos1( θλλ −=−cm

h

eincidentediffusa

22 cmh e>ν

• La sezione d’ urto dell’ effetto Compton e’ data dalla formula di Klein-Nishina. La sezione d’ urto Comptondiminuisce all’ aumentare dell’ energia.

• Ad energie si ha formazione di coppie e-e+.22 cmh e>ν

Ammassi di galassie• Strutture legate gravitazionalmente

• Composte da– Materia oscura– Gas ionizzato – Galassie/Stelle

Con :• Mtot ~ 1015 Msun

• MDM ~ 10 Mgas

• Mgas ~ 10 Mstars A2218

A1689

Materia oscura negli ammassi

5

Gas ionizzato negli ammassi• La buca di potenziale dell’ammasso è cosìprofonda che il gas che vi cade acquista energia cinetica, scaldandosi a milioni di gradi :

• kT ~ 10 keV• Per questo motivo gli ammassi di galassie sono forti emettitori di raggi X

The center of the Phoenix Cluster, in X‐rays, and in visible light

S-Z

cluster

01.0500

52 =≈=

ΔkeV

keVcm

kT

e

e

νν

41001.001.0 −=×≈Δ

≈Δ

νντ

TT

Sunyaev R., Zeldovich Y.B., 1972, Comm. Astrophys. Space Phys., 4, 173Birkinshaw M., 1999, Physics Reports, 310, 97-195

Incoming CMB photons

• Effetto Compton Inverso sui fotoni CMB da parte delle particelle cariche presenti nell’ ammasso di galassie

• Spessore ottico dell’ ammasso: τ=nσll = alcuni Mpc = 1025 cmn < 10-3 cm-3

σ = 6.65x10-25 cm2

• Quindi τ = nσl < 0.01 : c’è una probabilità dell’ 1% che un fotone CMB che attraversa l’ ammasso incontri un elettrone

• Eelectron >> Ephoton, quindi l’ elettrone cede energia al fotone (effetto Compton inverso). Al primo ordine, il guadagno di energia del fotone è

• La variazione di temperatura del CMB è

ScatteredCMB photons

Brightne

ss

Tutti i fotoni diffusi aumentano la loro energia, ma il numero di fotoni

si conserva. Il risultato è uno spostamento dello spettro CMB da frequenze più basse a frequenze

più alte (nella direzione degli ammassi di galassie ricchi)

A decrement at lowfrequencies( <217GHz )

An increment at high frequencies( > 217GHz )

frequency

Effetto Effetto SunyaevSunyaev‐‐ZeldovichZeldovich EffectEffect

ISD Δ emission, 18K6 kJy/sr @ 150 GHz

Thermal SZ

Non-Thermal SZ

Kinematic SZ

Thermal SZ

• Essendo prodotto da diffusioni, l’ ampiezza del segnale SZ non dipende dalla distanza della sorgente.

• Dipende linearmente dalla densità del gas

• La brillanza X emessa, invece, dipende dal quadrato della densità, e il flusso diminuisce come 1/D2

Effetto Sunyaev‐Zeldovich

X‐rayS‐Z

X‐rayS‐Z

X‐rayS‐Z

SZ measurements• Single‐beam radio‐telescopes and radio‐

interferometers (70s)• Pronaos (balloon, first detection of positive

effect)• Single‐beam mm‐wave telescopes (MITO@TG,

SUZIE@CSO, multiband single‐pixel bolometers)

• Targeted observations of rich clusters• Now: Bolometer Arrays at large telescopes:

– South Pole Telescope– APEX– ACT– Green Banks (Mustang)

• Systematic blind‐surveys of large areas• WMAP & Planck

(satellites, multiband)• Forthcoming:

SZ‐Spectrometers

MITO

Pronaos

OVRO

CSO

6

SZ measurements, today• Large telescopes (10m class)

– Atacama Cosmology Telescope– APEX‐SZ– South‐Pole Telescope

• Arrays of TES Bolometers(cheap to replicate, lowpower dissipation in the cryostat) – order of 1000 pixels

'18000

22.12.1 ≈×

=≈mmmm

DFWHM λ

ACT

APEX-SZ SPT

Scattering Rayleigh• Supponiamo che l’ elettrone sia legato elasticamente all’

atomo invece che libero, e rifacciamo i conti che hanno portato alla sezione d’ urto.

• L’ equazione di moto sotto l’ azione del campo elettrico (trascurando la viscosita’, e quindi lontano dalla risonanza) e’

• La soluzione e’• Per cui si puo’ calcolare la derivata seconda del momento di

dipolo

• Per lo scattering Thomson avevamo• Quindi, rifacendo gli stessi conti

)cos( tEmerrrkEerm oo ωωrr&&rrr

&&r =+⇒−=

)/()/( 22 ωω −= oEmerrr

222 )/1/()/( ωωoEmered −==r

&&r&&r

Emeredr

&&r&&r )/(==4

222 )/1( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒

−= >>

oTR

o

TR o ω

ωσσωω

σσ ωω

Sezioned’ urtoRayleigh

Scattering Rayleigh• Il caso ωo>>ω e’ quello, ad esempio, degli elettroni

legati alle molecole che compongono l’ aria: la costante di richiamo k e’ molto forte, per cui ωo e’molto alta, maggiore delle frequenze della luce visibile. Vale allora:

• Quindi nell’ aria la luce di breve lunghezza d’onda (blu, 400nm) viene diffusa molto di piu’ di quella di lunghezza d’ onda piu’ lunga (rosso, 700nm):

4

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

oTR ω

ωσσ

10)(

)(44

≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

blu

rosso

rosso

blu

R

R

rossoblu

λλ

ωω

σσ

Scattering Rayleigh

Luce blu,molto diffusa

Luce rossa,poco diffusa

Luce Solareelettronelegato

Guardando lontano dalSole, il cielo appare blu

Guardando verso ilSole, il cielo appare piu’rosso, specialmente altramonto (molto spessoredi atmosfera)

10)(

)(44

≅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

blu

rosso

rosso

blu

R

R

rossoblu

λλ

ωω

σσ

Scattering Rayleigh

Luce blu,molto diffusa

Luce biancadiffusa dalparticolato

Luce Solareelettronelegato

Guardando lontano dalSole, il cielo appare blu

Di giorno invece domina loScattering di Mie da particelle(particolato atmosferico). Questonon e’ molto dipendente dallalunghezza d’ onda, e quindi si vede un alone bianco intorno al Sole.L’ alone diminuisce molto dove l’ aria e’ pulita.

1

Interazione tra fotoni e particelle solide• Nella scorsa lezione abbiamo studiato

l’ interazione tra fotoni ed elettroni – Liberi (Scattering Thomson o Compton)

• Nelle regioni HII• Nel plasma dell’ universo primordiale

– Legati (Scattering Rayleigh)• Nell’ atmosfera terrestre, colore blu del cielo

• Oggi studiamo l’ interazione dei fotoni con le particelle solide di piccole dimensioni (scattering di Mie)

• Questo e’ un caso di grande importanza in astrofisica (es. Polvere interstellare)

• Nelle ultime fasi della loro evoluzione le stelle sintetizzano elementi sempre piu pesanti.

• Il ferro e’ l’ elemento piu’pesante formabile con reazioni di fusione nucleare esoenergentiche. Dopo l’esaurimento degli elementi piu’ leggeri del ferro la stella collassa sotto il suo stesso peso.

• L’ esplosione di Supernova che ne deriva disperde nello spazio interstellare gran parte degli elementi pesanti formatisi nella stella, e permette la formazione di elementi ancora piu’ pesanti.

Esplosionedi SN1987A

Lo stesso campoPrima dell’ esplosione

Nubi di polvere interstellarein Aquila e in N81 (SMC)

• Questi elementi si possono aggregare in piccolissimi granelli solidi:– nello spazio interstellare– nelle atmosfere di stelle

giganti fredde– negli inviluppi delle

protostelle• Si formano cosi’ il gas e

la polvere interstellare.

• Le esplosioni di SuperNovaegenerano anche onde d’ urto nel gas interstellare preesistente: dove la densita’ diventa sufficientemente alta inizia il collasso che finira’ nella formazione di stelle.

Onde d’ urto nella Nebulosa Tarantola generate dalle SN dell’ ammasso Hedge301 (in basso a dx)

• Il ciclo vitale delle stelle quindi comincia e finisce nelle nubi di polvere interstellare.

Ciclo delle stelle di massa solare: protostella, stella di sequenza principale, gigante rossa, nebulosa planetaria, nana bianca, nana bruna(e materiale espulso)

Ciclo delle stelle di alta massa: protostella, stella di sequenza principale, gigante rossa, supernova, oggetto collassato (e materiale espulso)

2

Interazioni tra polvere e fotoni• Sono di tre tipi:

– Assorbimento e Scattering: diminuiscono il flusso delle stelle retrostanti (Estinzione Interstellare)

– Emissione: l’ energia assorbita riscalda i granelli che quindi riemettono radiazione termica (Emissione Interstellare)

• L’ estinzione e’ particolarmente efficiente nell’ UV e blu; l’ emissione nell’ infrarosso (lontano).

• Quindi ci si aspetta che le zone piu’ buie della Galassia (piu’ estinte dalla polvere) siano anche le piu’ brillanti nel lontano infrarosso (riemissionetermica della stessa polvere che ha assorbito la luce).

Interazioni tra polvere e fotoni• Immagine ottica della nostra Galassia (proiettata in

coordinate Galattiche): sono evidenti le zone del disco oscurate dalle nubi di polvere.

Interazioni tra polvere e fotoni• Immagine nel lontano infrarosso (12, 25, 60, 100 μm) della

nostra Galassia: le zone piu’ scure nel visibile sono le piu’brillanti nel lontano IR.

Interazioni tra polvere e fotoni• La nebulosa Aquila nel visibile e nel lontano infrarosso (ISO)

La curva di estinzione interstellare• L’ estinzione si misura in magnitudini e si indica con Aλ. In

formule:

• L’ estinzione Aλ si puo’ misurare confrontando lo spettro di una stella a che si trova dietro la nube di polvere con quello di una stella b della stessa classe spettrale e della stessa classe di luminosita’ (che quindi ha la stessa magnitudine assoluta Mλ):

• L’ estinzione risulta aumentare al diminuire della lunghezza d’ onda

)(086.1log5.2)()()(log5.2)()(

10

10)(

λτλτλλλλ

λ

λλλτ

=⇒=

=−=Δ=⇒= −

AeIImAeIIo

o

a

bba

bb

aa

ddmmA

dMmAdMm

log55log5

5log5+−=⇒

⎩⎨⎧

−+=+−+=

λλλλλ

λλλ

Esercizio• La luce di una stella X vicina al centro galattico e’

profondamente estinta (τV=6). La sua magnitudine apparente e’ mVX=20.2. Valutare se la stella X ha una luminosita’ intrinseca maggiore o minore di Vega.

• Dati: dGC=9kPc, mV,Vega=0.03, AV,Vega=0, dVega=8 pc• Soluzione:

• La stella X e’ intrinsecamente piu’ luminosa di Vega !

8.1086.1*68

9000log503.020

log5

5log55log5

,,,,

,,

,,

−=−−−=

=−−−=−

→⎩⎨⎧

−+=+−+=

XVega

GCVegaVXVVegaVXV

VegaVegaVVegaV

XGCXVXV

AddmmMM

dMmAdMm

λ

λ

3

Esercizio• La luce di una stella X vicina al centro galattico e’

profondamente estinta (τV=6). La sua magnitudine apparente e’ mVX=20.2. Valutare se la stella X ha una luminosita’ intrinseca maggiore o minore di Vega.

• Dati: dGC=9kPc, mV,Vega=0.03, AV,Vega=0, dVega=8 pc• Soluzione:

• La stella X e’ intrinsecamente piu’ luminosa di Vega !

8.1086.1*68

9000log503.020

log5

5log55log5

,,,,

,,

,,

−=−−−=

=−−−=−

→⎩⎨⎧

−+=+−+=

XVega

GCVegaVXVVegaVXV

VegaVegaVVegaV

XGCXVXV

AddmmMM

dMmAdMm

λ

λ

Parentesi:Le stelle vicine al centro galattico interessano perche’ dai loro movimenti si puo’ determinare la massa della massa attorno a cui orbitano. Animazione costruita da dati ottenuti nel vicino IR, dove l’assorbimento e’ debole.

I dati di una delle orbite mostrano che l’oggetto deve essere piùpiccolo di 17 ore luce. Assenza di emissione, massa e dimensioniindicano un buco nero molto massivo.

aproj=4.4 ldyT=14.4 yr

La curva di estinzione interstellare• Si trova che l’ estinzione e’ differente alle diverse lunghezze

d’ onda. L’ effetto generale e’ un arrossamento della luce stellare causato dalla polvere, che risulta estinguere maggiormente le lunghezze d’ onda piu’ brevi.

• Normalizzando ad es. al valore dell’ estinzione nella banda I (centrata a 880 nm) si trova la curva di estinzione normalizzata, che dipende solo dalle proprieta’ della polvere:

• Il parametro che misura la pendenza della curva di estinzione nel visibile (e quindi l’ arrossamento) e’:

IId

d

II dN

dN

AA

σσ

σ

σ

ττ λλλλ ≈==

∫∫

l

l

1.3550440

550

≈∞→

⇒−

≈−

=V

V

VB

VV R

RAA

AAA

ARPer sezione d’ urto geometrica, indip. da λ

In media per la polverenella nostra Galassia

Infr

aros

so

Vis

ibile

UV

Curva media

per la Galassia

550n

m

440n

m

Infr

aros

so

Vis

ibile

UV

Picco di estinzionea 218 nm (4.6 μm-1)

550n

m

440n

m

Continuazione a grandi lunghezze d’ onda:

4

Continuazione a grandi lunghezze d’ onda:

Picco di estinzionea 9.6 μm

L’emissione IR della polvere• I grani di polvere,

assorbendo fotoni UV e visibili, si scaldano, ad una temperatura che dipende dalla loro capacita’ termica (e quindi da dimensioni e materiale costituente)

• Per i grani piu’ grossi, che assorbono molti fotoni per unita’ di tempo, si giunge ad una temperatura di equilibrio dell’ ordine di 20K nel campo interstellare medio I(λ):

• Quindi questi grani emettono soprattuto nel lontano IR (λ>100 μm)

∫∫∞∞

=00

)(),()(),( λλσλλλσ λ dTBadIa gabsabs

Simulazione di circa 1 giorno per grani di diverse dimensioni

Esempio di emissione a 20K

30

30o• Immagine nel lontano

infrarosso (100 μm) della zona del polo sud galattico

• Sono evidenti le nubi (cirri) di polvere diffusa, che hanno una temperatura di circa 20K

• La loro emissione disturba la ricerca di radiazione diffusa extragalattica (come la CMB)

LMC

SCP

Esempio di emissione a 20K

30

30o• Immagine nel lontano

infrarosso (100 μm) della zona del polo sud galattico

• Sono evidenti le nubi (cirri) di polvere diffusa, che hanno una temperatura di circa 20K

• La loro emissione disturba la ricerca di radiazione diffusa extragalattica (come la CMB)

• Ma esistono squarci tra le nubi adatti alla ricerca cosmologica

LMC

SCP

5

L’emissione IR della polvere• Per i grani piu’ piccoli, che

assorbono un fotone ogni tanto, si ha una serie di transienti, che raggiungono temperature piu’ alte:

• Quindi questi grani piccoli possono emettere anche nel medio IR

Esempio di emissione nel medio IR per la nebulosa NGC7023

Dati di emissione nel medio e lontano IR (dati medi per la polvere diffusa nella Galassia)

Astro-ph/1101.2036 (Planck-HFI data)

• Come e’ fatta, e quali sono i costituenti della polvere interstellare ?

• A partire dalla curva di estinzione, dalle emissioni, e dagli elementi sintetizzati in abbondanza dalle stelle (Si, C, O) si possono avanzare diverse ipotesi:– Grafite, Carbone Amorfo (picco

di assorbimento della grafite a 218 nm)

– Granelli di silicati (assorbimento a 9.6μm) eventualmente con mantello di ghiaccio

– Molecole policiclichearomatiche idrogenate (PAH) “grafite sfaldata” (picchi di emissione nel vicino/medio IR)

HH

H

H

HHH

H

H

H

HH

0.0007 μm

0.014 μm

0.01 – 0.6 μm

CC C

C

CC

• C-H stretch : 3.3 μm• C-C stretch : 6.2 μm• C-C stretch : 7.7 μm• C-H bend (in plane): 8.6 μm• C-H bend (out of plane):

•11.3 μm (mono-H)•12.0 μm (duo-H)•12.7 μm (trio-H)•13.55 μm (quartet-H)

PAH

6

Esercizio• Una nube di grani di polvere interstellare si trova ad una distanza di 1000

UA (1.5x1014m) da una stella di tipo spettrale A5 ( Te = 8200K , R=1.9Rsun=1.3x109 m).

1. Assumendo che lo spettro di emissione della stella sia di corpo nero, e che i grani di polvere siano anch’essi corpi neri di forma sferica, calcolare la temperatura dei grani.

2. Calcolare la temperatura nel caso che i grani non siano corpi neri, ed abbiano un rapporto tra efficienza di assorbimento nell’ ultravioletto ed efficienza di emissione nel lontano infrarosso pari a eUV/eIR=2000.

3. Si supponga che la nube sia sferica, con un diametro di 200 UA e con una densita’ media di 10 grani/m3. Si supponga inoltre che i grani abbiano diametro di 0.1 μm e densita’ 0.2 g/cm3. Si valuti la stabilita’ gravitazionale della nube (k=1.38x10-23 J/K; G=6.67x10-11 N m2 /kg2).

4. Si valuti l’ attenuazione in magnitudini della luce stellare su una linea divista passante per il centro della nube.

5. Se una nube con la stessa temperatura e dimensioni fosse costituita di atomi di idrogeno (mH=1.67x10-27 Kg) invece che di grani di polvere, che si potrebbe dire della sua stabilita’ ?

24

2

24

2 44

4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

DRT

DRT

DLF e

e σππσ

π

22

42 rDRTrFW ea πσπ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

24 4 rTW ge πσ=

DRTTr

DRTrTWW egegae 2

4 22

424 =→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=→= πσπσ

KKTg 17105.12

103.18200 14

9

=××

×=

2.1) Flusso dalla stella alla distanza D:

Potenza assorbita dal grano:

Potenza riemessa dal grano a temperatura Tg :

Il grano e’ all’ equilibrio quando le due potenze sono uguali:

42

2424

24

IR

UVegeUVgIR D

RTTrDRTrT

εεπσεπσε =→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

KKTg 114200017 4 ==

2.2) La formula dell’ equilibrio diventa

2.4) Assorbimento:

56.22086.1086.1 ≅==Δ Rnm στ magnitudini .

2.3) e 2.5) tra qualche lezione

1

Globulo di Bok

IC2944

MSX Spitzer - 8.28 μm – 5ox10o

η-CarinaeCirrus clouds

Teoria di Mie• Dobbiamo sviluppare una teoria quantitativa per

descrivere gli effetti osservabili (assorbimento, scattering, emissione) nei vari casi, e vedere quale descrive meglio le osservazioni.

• Alla base di questa descrizione e’ la teoria di Gustav Mie (1908) dell’ interazione dei fotoni con piccole particelle solide, con dimensioni anche confrontabili con la lunghezza d’ onda.

• Mie ha studiato la diffrazione delle onde elettromagnetiche da parte di un piccolo corpo sferico omogeneo, risolvendo le equazioni di Maxwell con condizioni al contorno appropriate sulla superficie del corpo.

Teoria di Mie• I parametri che entrano nella teoria sono

– L’ indice di rifrazione complesso n=n-ik– Il raggio del grano a ( tramite il parametro

adimensionale α = 2πa/λ )– Il campo dell’ onda EM incidente Eo (polarizzata

linearmente) e quello dell’ onda EM diffusa ad un angolo Θ da quella incidente:

Θ

⊥E

⊥oE

//E

2a

//oE Piano di diffusione

Teoria di Mie

• I risultati per i campi uscenti sono dati sottoforma di espansione in serie.

• Il calcolo del vettore di Poynting e l’ integrazione su tutte le direzioni da’ le quantita’ di energia assorbita e diffusa dal grano, e quindi le sezioni d’ urto Ci :

Θ

⊥E

⊥oE

//E

2a

//oE Piano di diffusione

IncidenteEnergiaAssorbitaEnergiaC

IncidenteEnergiaDiffusaEnergiaC

CCC

abs

sca

absscaext

=

=

+=

Teoria di Mie• Si definiscono anche i fattori

di efficienza, pari al rapporto tra sezione d’ urto effettiva e sezione d’ urto geometrica:

• Se la densita’ numerica di grani e’ Nd , la diminuzione di intensita’ di un raggio luminoso sara’ descritta dal coefficiente di assorbimento:

absscaext

absabs

scasca

QQQa

CQ

aCQ

+=

=

=

2

2

π

π

dext NQak

dskI

dI

)(2 λπλ

λ

=

−=

2

Risultati della Teoria di Mie• p(Θ) e’ la funzione di diffusione o di fase,

che descrive l’ intensita’ normalizzata in funzione dell’ angolo di diffusione.

• Ad es. p(Θ)=1/4π per scattering completamente isotropo.

• Per α piccolo lo scattering e’ simmetrico avanti e indietro (max. a 0o e 180o, min. a 90o).

• Questa funzione e’ in generale asimmetrica: il parametro di asimmetria confronta lo scattering in avanti con quello all’ indietro

• g=0 per scattering isotropo.• g>0 per scattering in avanti.• g<0 per scattering indietro.

∫∫ ΩΘΘ=Θ= dpg cos)(cos

Θ

α = 2πa/λ<<1

p(Θ)Risultati per particelle sferiche

1. Qext tende a 2 per λ<< a. 2. ha delle risonanze per λ=a, λ=a/33. per λ ∼ 2πa , Qext va come λ−1

4. per λ >> a , Qext va come λ−4 (Rayleigh)• Esempio: n=1.33 (acqua):

12

34

λπα a2

=

2

Risultati per particelle sferiche

• E’ evidente che la curva di estinzione interstellare puo’ essere ottenuta solo con una combinazione di particelle di diverse dimensioni.

• Comunque l’ andamento a grandi lunghezze d’ onda (maggiori delle piu’ grandi dimensioni dei grani) e a lunghezze d’ onda dell’ ordine delle dimensioni dei grani e’ abbastanza consistente con il risultato della teoria.

• Per spiegare il picco di estinzione interstellare a lunghezza d’onda di 2200A, si potrebbe ipotizzare l’ esistenza di grani di quelle dimensioni tipiche, che producono una risonanza proprio li’. Ma non c’e’ il picco a frequenza doppia ! L’ interpretazione moderna e’ piuttosto che il picco e’ dovuto ad una proprieta’intrinseca dei grani

• La luce diffusa verso Θ=0 (in avanti) da particelle sferiche non e’polarizzata, per questioni di simmetria (tutti i piani di diffusione sono equivalenti).

• Invece la luce di stelle che si trovano dietro nubi di polvere risulta parzialmente polarizzata. Quindi i grani non sono sferici !

Θ=0⊥E

⊥oE

//E

2a

//oE Piano di diffusione(indefinito per Θ=0)

Risultati per particelle asimmetriche

Fig.1.11 pg.15

• Si pensa che il meccanismo di polarizzazione sia lo scattering da parte di particelle di polvere asimmetriche, allineate dal campo magnetico della Galassia.

• Si possono studiare con la teoria di Mie particelle a forma di cilindri o di ellissoidi. Si parla di quando il grano ha il suo asse maggiore al campo elettrico dell’ onda incidente; di quando l’ asse maggiore e’ ortogonale al campo elettrico.

Θ=0⊥E

⊥oE

//E//oE Piano di diffusione(indefinito per Θ=0)


Fig.5.20 pg.321

//Q⊥Q

Cilindrilunghi Ellissoidi

• Il grado di polarizzazione si puo’ scrivere

• Mentre l’ estinzione, per polarizzazione debole, si puo’scrivere


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−≅

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

−=+

−=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ +−=−=

⊥+

−

⊥+

−−−

−−

⊥

⊥⊥

⊥

2)()(086.1log5.2

2coshlog5.2

2log5.2

)(2

)(2

)(

log5.2)()(log5.2

//210

//21010

1010

//

////

//

λτλτ

ττ

λ

λλ

λλ

ττ

ττττ

ττ

λ

e

eee

I

eIeI

IIA

o

oo

o

)(086.1log5.2 ////

10 ⊥⊥

−=−=Δ ττIIm p

3

• Per una nube di particelle con grado di allineamento f(f =1 per particelle tutte perfettamente allineate, f =0 per particelle disposte a caso)

• D’ altra parte l’ estinzione e’

• e quindi


ldp NCCffm )(086.1)(086.1 //// ⊥⊥ −=−=Δ ττ

[ ] ldNCCA ⊥⊥ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ////

2086.1

2086.1 ττ

⊥

⊥

+−

=Δ

CCCCf

Am p

//

//2λ

Quantita’ misurabili: il rapporto vale in media 0.03

Asimmetriadei grani

dipende dalmeccanismo di allineamento

• La quantita’ Δmp/Aλ dipende dalla lunghezza d’ onda:

• La teoria di Mie ha permesso di calcolare il rapporto dei Q in funzione della lunghezza d’ onda:

• Ci si aspetta quindi un massimo di polarizzazione per una lunghezza d’ onda tale che il parametro α vale circa 2-3.


)()()()(2

)()()()(2

//

//

//

//

λλλλ

λλλλ

λ ⊥

⊥

⊥

⊥

+−

=+−

=Δ

QQQQf

CCCCf

Am p

• In effetti e’ proprio quello che si osserva:

• Si puo’ quindi ricavare la dimensione tipica dei grani:


maa

osservatamassima

μλ

π 2.05.22≈⇒≈

Risultati per particelle asimmetriche• Per migliorare il fit a tutti i dati osservati si usano delle

distribuzioni di dimensioni, che comunque sono piccate intorno a0.2 μm.



QuestigraniproduconoLa polarizzazioneinterstellare



Questigraniproduconole bandedei PAH

4

Esercizio: Massa in polvere di una regione HII• A lunghezze d’ onda lunghe (λ >> della dimensione dei grani) l’

efficienza di assorbimento (e di emissione) dei grani di polvere e’molto bassa.

• Quindi le nubi di polvere sono otticamente sottili.• In questa regione spettrale l’ emissione mm delle nubi permette di

stimarne la massa di polvere ivi presente:

κν=Sezione d’urto per unita’di massa

Ossenkopf & Henning, A&A 291. 943, 1994

dal flusso mm alla massa:

D

L

),( dTBI ντνν =Brillanza emessa sulla generica linea di vista (nube otticamente sottile):

Flusso misurato :

2),(),(DATBTBIF dd ντντ νννν =Ω=Ω=

Ma

ννννν κσρ

σρ

στAMn

AMLn

VMLn ====

E quindi:

),(),(

2

2d

d TBDFM

DATB

AMF

νκνκ

ν

ννν =→=

RCW38• Una grande regione

HII nel cielo del sud, dove e’ in corso formazione stellare.

• Sono disponibili immagini radio, ottiche e X, e se ne sa la distanza (D=1700 pc).

• Silvia Masi et al. ne hanno pubblicato recentemente misure di flusso millimetrico (BOOMERanG-03, astro-ph/0507509).





2.5’





Chandra





X (Rosso), IR (Verde), Radio (Blu)

5

IRAS 3000 GHz BOOM 150 GHz

B2K - Galactic Plane SurveyRCW38IRAS08576

Ast

ro-p

h/05

0750

9

Ast

ro-p

h/05

0750

9

),(

2

dTBDFMνκν

ν=

In RCW38 ci sono alcune centinaia di masse solari di polvere.

esercizi

Esercizio 2La stella che esplose in supernova nella Nube di Magellano e fu vista nel 1987 (SN1987A) aveva intorno a se’ tre anelli di materiale gassoso formati precedentemente all’ esplosione. In questo esercizio si assume che l’ anello piu’ piccolo sia perfettamente circolare, di raggio r, e centrato sulla stella, e che il suo piano sia inclinato di un angolo i rispetto al piano del cielo. 2.1) Dalla foto a fianco si ricavi il diametro angolare dell’ anello e l’ angolo i, sapendo che le distanze tra le stelle 1,2,3 sono rispettivamente d12=3.0”, d31=1.4”, d32=4.3”. 2.2) Tutte le parti dell’ anello si sono illuminate simultaneamente quando la luce della stella e’ arrivata alla distanza r dalla stella. Ma da Terra si e’ vista brillare per prima la parte di anello piu’ vicina a noi, e poi illuminarsi gradatamente le parti sempre piu’ lontane. Questo a causa della velocita’ finita della luce. La curva di luminosita’ complessiva dell’ anello e’ riportata nella figura a fianco. Da essa si ricavi l’ intervallo di tempo che intercorre tra l’ apparente accensione del primo pezzo di anello (il piu’ vicino a noi) e l’ accensione di tutto l’ anello.2.3) Da questo dato si ricavi il diametro lineare dell’anello. Dal diametro lineare e dal diametro angolare ricavato al punto 2.1 si ricavi la distanza della supernova da noi.

6

Soluzione esercizio 2

2.1) Con un righello si ricava che il semiasse maggiore dell’ anello (cioe’il suo diametro) sottende un angolo θa=(30mm/76mm)d32=1.69”, e che il semiasse minore dell’ anello sottende un angolo θb=(22mm/76mm)d32=1.24”. Quindi l’ angolo di inclinazione rispetto al piano del cielo e’ dato da cosi= θb / θa=0.73.

mxi

tcaiaiatc 162

2 103.1cos1

cos1sin =−

Δ=→−==Δ

kpckpcm

maDa

51/1008.3102.8

103.1166

16=

××××

== −θ

a

Linea di vista per l’ estremo dell’ anello piu’ vicino

Linea di vista per l’ estremo dell’ anello piu’ lontano

Linea di vista per la stella

i

Soluzione esercizio 22.2) L’ anello inizia ad illuminarsi al giorno 120 (vediamo luce arrivare dal suo lembo piu’ vicino a noi) e raggiunge la massima luminosita’ (illuminato completamente, cioe’ la luce arriva anche dal lembo dell’ anello piu’ lontano) al giorno 460. Quindi la distanza asini e’ percorsa dalla luce in 340 giorni.

2.3) Questo significa che

e quindi

asini

Esercizio 2L’ emissione di Marte è schematizzabile come quella di un corpo nero a To=230 K. Il raggio medio di Marte è di 3386 km.2.1) Calcolare la luminosità bolometrica di Marte (Watt emessi su tutte le lunghezze d’ onda e su tutto l’ angolo solido).2.2) Un telescopio spaziale, operante alla lunghezza d’ onda di picco di massima emissione di Marte, osserva in direzione di una stella che si trova ad una distanza di 24 pc. Il sistema è sensibile a flussi fino a 10-21 W/m2. E’ in grado di osservare l’ emissione di un pianeta di tipo marziano, in orbita intorno alla stella alla stessa distanza che ha Marte dal sole ? 2.3) Con una risoluzione di 0.1 arcsec è in grado di risolvere angolarmente il pianeta e la stella ? Costanti Utilic = 2.9979 × 108 m/sG = 6.67300 × 10-11 m3 kg-1 s-2

Msun = 1.989 × 1030 KgLa costante di Stefan Boltzmann vale a = 5.67×10−8 W m-2 K-4

1 pc = 3.08568025 × 1016 mL’ orbita di Marte ha un raggio medio di circa 230×109 m .

WTRL 1642 103.24 ×== σπ

2212 /103.3

4mW

DLF −×==

π

"06.0==DRθ

Soluzione 2

2.1) La luminosità è

2.2) Il flusso, da una distanza D=24 pc è

quindi il flusso è rivelabile con il sistema di ricezione usato.

2.3) Il raggio dell’ orbita del pianeta sottende un angolo

inferiore alla risoluzione di 1”: quindi il sistema di ricezione non può distinguere se il flusso proviene dalla stella o dal pianeta.

Esercizio 2 Dalla curva di rotazione della nostra galassia, riportata sopra:2.1) Determinare quanto tempo impiegherà il sole a compiere una intera orbita intorno al centro della galassia2.2) Sapendo che la regione HII RCW145 si trova a 2.7 kpc da noi, e approssimativamente nella direzione del centro della galassia, calcolare tra quanti milioni di anni, a causa della rotazione differenziale della galassia, si potrà riottenere questo allineamento.2.3) Determinare la massa galattica interna all’ orbita del sole e la massa interna all’ orbita di RCW145

Costanti utili:c = 2.9979 × 108 m/s1 pc = 3.08568025 × 1016 mG = 6.67300 × 10-11 m3 kg-1 s-2

Msun = 1.989 × 1030 Kg MyrsRT 224v

2

1

11 ==

π

MyrsRT 148v

2

2

22 ==

π

MyrsTT

TTt 43921

21 ≅−

=

GRRM

2v)( ≅< sunMRM 101 109)( ×≅<

sunMRM 102 106)( ×≅<

Soluzione 2

2.1) Sapendo che la distanza del sole dal centro della galassia vale R1=8kpc e stimando dalla figura v1=220km/s si stima

2.2) Alla distanza dal centro di RCW140 ( R2=(8.0-2.7)kpc=5.3kpc ) dal grafico si stima una velocità v2=220km/s e quindi un periodo

Siano θ1(t)=2πt/T1 e θ2(t)=2πt/T2 le posizioni angolari del sole e di RCW140 all’ istante t: per riottenere l’ allineamento dovrà succedere che θ1(t)-θ2(t)=2nπ . Per n=1 (primo riallineamento) questo implica

2.3) Da si ottiene

7

1. Osservando per lungo tempo il flusso della stella HD 209458 si ottiene il grafico mostrato in figura. Questo andamento si ripete ogni 3.52474 giorni. La stella ha un raggio di 1.18 Rsole . Assumendo che il transito del pianeta appaia proiettato sull’ equatore della stella, e che il pianeta percorra un’ orbita circolare:1.1) Calcolare il diametro del pianeta. 1.2) Calcolare la velocità del pianeta.1.3) Calcolare il raggio dell’ orbita del pianeta.1.4) Calcolare la massa della stella.

o

transitostellapianeta

stella

pianetastella

o

transito

FFRR

AAA

FF

−=→−

= 1

mmRpianeta88 1005.19835.0118.110 6.9599 ⋅=−⋅⋅=

skms

mtRVtransito

stella /14710700

18.110 6.959922 8

=⋅⋅

==

1.1) Il pianeta oscura parte del disco stellare. Di conseguenza il flusso al centro transito èinferiore al flusso della stella non oscurata. Il flusso ricevuto è proporzionale all’ area luminosa. Quindi il rapporto tra i due flussi sarà pari al rapporto tra l’ area del disco stellare meno l’area del disco del pianeta e l’ area del disco stellare. Si ha quindi

da cui

1.2) Siccome il raggio del pianeta è molto inferiore a quello della stella, e la distanza della stella da noi è molto maggiore della distanza del pianeta dalla stella, avremo approssimativamente

1.3) mmr 93

10 12.72

18.110 1476400852474.32vT

⋅=⋅⋅⋅⋅

==ππ

sunMkgG

rM 16.11031.2v 302

=⋅==1.4) 2. In figura è riportata l’ emissione

galattica diffusa in funzione del numero d’ onda (inverso della lunghezza d’ onda in cm) misurata dall’ esperimento FIRAS sul satellite COBE (curva continua superiore) . Supponendo che tale spettro sia prodotto da polvere interstellare isoterma:2.1) determinare approssimativamente la temperatura della polvere2.2) supponendo che l’ emissivitàsia del tipo ε=εoνα, determinare il valore dell’ indice spettrale α.2.3) determinare la lunghezza d’onda della riga di emissione visibile vicino al picco di emissione della polvere. Facoltativamente, dare una interpretazione della sua origine.

1.E’ stata scoperta recentemente una nana bianca che si trova in un sistema binario, ad una distanza di 650 parsec da noi, ha un raggio di 3500 km, ha una massa di 1.2 Msun, e ruota su se stessa con un periodo di 13 secondi.

1.Stabilire se con una rotazione così veloce la materia più esterna della stella può staccarsi dalla stella2.Calcolare approssimativamente l’ allargamento Doppler delle righe prodotte alla superficie della stella3.Se la stella acquisisce massa dalla compagna, ad una velocità di 1x10-8Msun/anno, tra quanto tempo potrebbe superare il limite di 1.4Msun ed esplodere come supernova ?4.Calcolare che flusso verrà registrato a terra, sapendo che la magnitudine visuale assoluta di una supernova di questo tipo è -19.35.L’ esplosione sarà visibile dai nostri discendenti ad occhio nudo ?

8

1.Un ammasso globulare formato da 2x103 stelle (che assumiamo tutte uguali) ha magnitudine apparente mV=4.3. Determinare la mV delle stelle componenti.

NmmFNFNFF VtotVooo 10101010 log5.2log5.2log5.2log5.2 +=→−−=−→=

55.12=Vom

•2. La somma dei flussi Fo delle singole stelle è pari al flusso totale Fdall’ ammasso, quindi se N è il numero di stelle si ha

E quindi

1

Radiazione non termica• Due tipi :– Radiazione di sincrotrone

(Bremsstrahlungmagnetica)

– Radiazione di free-free(Bremsstrahlung termica)

• Ambedue gli effetti sono estremamente importanti in astrofisica: ad esempio e’ di free-free l’ emissione delle regioni HII nel radio; e’ di sincrotrone l’emissione del gas interstellare ionizzato nel radio, o quella del fondo azzurro diffuso nella Nebulosa del Granchio.

• Ambedue queste forme di emissione vengono descritte come radiazione di “Bremsstrahlung”, che vuol dire radiazione di frenamento.

• Sono generate dalla accelerazione (o decelerazione) di particelle cariche (di solito e-).

• Nel caso della radiazione di sincrotronela variazione di velocita’ e’ dovuta alla forza di Lorentz generata da un campo magnetico su una particella relativistica.

• Nel caso della radiazione di free-free la variazione di velocita’ e’ dovuta allo scattering coulombiano della particella contro un’ altra particella carica.

• La carica accelerata produce radiazione elettromagnetica: la potenza irraggiata e’proporzionale al quadrato dell’accelerazione.

Bremsstrahlung

Br

vr

34 rrqQF

o

rr

πε=r

BcqF

rrr∧= v

• Consideriamo una carica che si muove con velocita’ v<<c in un campo magnetico uniforme diretto lungo l’ asse z.

• E’ soggetta alla forza di Lorentz in direzione perpendicolare alla velocita’ ed al campo magnetico.

• Quindi Fz=0 e il moto nella direzione del campo magnetico e’ rettilineo e uniforme

• Nel piano ortogonale al campo (xy) il moto ha il modulo della velocita’ costante, perche’l’ energia cinetica deve conservarsi (il campo magnetico non puo’ compiere lavoro). Un moto circolare uniforme puo’quindi soddisfare l’ equazione del moto, perche’ la forza di Lorentz e’ radiale come l’accelerazione centripeta. La frequenza del moto, detta frequenza di ciclotrone, e’ data da:

Radiazione di Ciclotrone

zBB ˆ=r

vr

BcqF

rrr∧= v

cmqB

rBcqrm

c

cc

=⇒

=

ω

ωω2

• La traiettoria della particella e’ quindi un’ elica intorno alla direzione del campo magnetico.

• La radiazione emessa ha quindi un’unica frequenza, indipendente dall’energia della carica:

• Inoltre e’ polarizzata in direzione ortogonale a quella del campo magnetico, perche’ l’ elettrone compie un moto accelerato (armonico) solo in quella direzione.

• La polarizzazione lineare e’ quindi una caratteristica peculiare della radiazione di ciclotrone.

Radiazione di Ciclotrone

cmqB

c πν

2=

vx

vz

ax

zBB ˆ=r

zBB ˆ=r

• Consideriamo ora una particella relativistica in moto nel campo magnetico

• L’ equazione relativistica del moto sara’

• Ed essendo v costante in modulo

• A parte il fattore γ , l’ equazione e’ identica a quella del ciclotrone. Il moto e’ quindi di nuovo un’ elica, con “frequenza di girazione” che stavolta dipende dall’energia dell’ elettrone:

Radiazione di Sincrotrone

Bcq

cm

dtdB

cq

dtpd rr

rrrr

∧=−

⇒∧= vv1vv

22

Bcq

dtdmB

cq

dtd

cm rr

rrrr

∧=⇒∧=−

vvvvv1 22

γ

mcqB

s (v)γω =

• Si potrebbe pensare quindi che l’ emissione di sincrotrone avvenga alla frequenza νs. Ma non e’cosi’.

• Per velocita’ relativistiche i due lobi di emissione di energia EM di una carica accelerata si deformano moltissimo nella direzione della velocita’.

• In pratica l’ irraggiamento avviene in uno stretto cono la cui semiapertura θ e’ tanto piu’ stretta quanto piu’ alta e’ la velocita’.


c<<v c→v

θvr

2

• Si puo’ trovare l’ ampiezza θ del cono di emissione notando che nel sistema solidale con la carica la massima emissione si ha ad un angolo θ’=π/2 dalla direzione della velocita’.

• Passando al sistema di riferimento in quiete l’angolo di massima emissione θ sara’ legato a θ’ dalla formula dell’ aberrazione:


c<<v c→v

θvr

θ’

γθ

θβθ

γθ 1

cos1sin1sin ≈⇒

′+′

=

c→

=′

v

,2πθ

θ

• Per questo effetto, un osservatore ricevera’radiazione di sincrotrone solo per il breve intervallo di tempo Δt in cui la sua posizione viene spazzata dal cono di radiazione emessa dalla carica.

qBmc

qBmcTt

Tt

s

221222

====Δ

⇒=Δ

γγω

ππθ

πθ

πθ


Δt’


• Se la radiazione iniziale e’ emessa in Po al tempo 0, durante Δt la particella percorrera’ un tratto L e arrivera’ in P1: qui emettera’ la radiazione finale. Ma la radiazione iniziale e’ passata in P1 all’ istante L/c, mentre quella finale viene emessa in P1 all’ istante L/v. Il ritardo tra la radiazione iniziale e quella finale e’ quindi L(1/v-1/c):

0 t

S

oss

P0

P1

L

L/c L/vΔt

• In realta’ l’ intervallo Δt viene percepito dall’ osservatore come piu’ corto, perche’ la carica si sta muovendo verso l’osservatore nel Δt, e quindi la radiazione emessa alla fine del Δt deve percorrere una distanza inferiore a quella percorsa dalla radiazione emessa all’ inizio del Δt.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −Δ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=Δ

ct

ct

cLt v11

v1v1

v1' durata percepita

dall’ osservatoreΔt’


• Se la radiazione iniziale e’ emessa in Po al tempo 0, durante Δt la particella percorrera’ un tratto L e arrivera’ in P1: qui emettera’ la radiazione finale. Ma la radiazione iniziale e’ passata in P1 all’ istante L/c, mentre quella finale viene emessa in P1 all’ istante L/v. Il ritardo tra la radiazione iniziale e quella finale e’ quindi L(1/v-1/c):

0 t

S

oss

P0

P1

L

L/c L/vΔt

• In realta’ l’ intervallo Δt viene percepito dall’ osservatore come piu’ corto, perche’ la carica si sta muovendo verso l’osservatore nel Δt, e quindi la radiazione emessa alla fine del Δt deve percorrere una distanza inferiore a quella percorsa dalla radiazione emessa all’ inizio del Δt.

22v1

21v1v1'

γt

cct

ctt Δ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −Δ≈⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −Δ=Δ durata percepita

dall’ osservatore

Radiazione di Sincrotrone• Quindi l’ osservatore percepisce una serie di impulsi di

radiazione, ciascuno di durata

• Lo spettro di potenza di questa serie di impulsi e’pressoche’ piatto, con una frequenza massima

• O anche

• Dove K e’ l’ energia della particella.

qBmctt 222

'γγ

=Δ

=Δ

ccsmcqB

tωωγωγγω >>===

Δ≈ 23

2

max '1

2

2

2

max '1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

Δ≈

mcK

mcqB

mcqB

tγω

Radiazione di Sincrotrone• Quindi gli elettroni che spiraleggiano nel campo magnetico

di una galassia, pur orbitando a frequenze basse (ωs), emettono radiazione di sincrotrone a frequenze che possono essere di molti ordini di grandezza superiori.

• Ad es. nei filamenti della Crab Nebula il campo magnetico e’dell’ ordine di 10-4 Gauss.

• Un elettrone non relativistico gira alla frequenza di ciclotrone

• Un elettrone relativistico invece emette radiazione di sincrotrone con frequenza massima di

HzHzcm

eB

ec 300

10103210108.4

2 2710

410

≈×××××

== −

−−

ππν

HzHzcm

KTeVE

GHzHzcm

KGeVE

ec

ec

142

5

122

2max

2

5

92

2max

106105

103001

6105

103001

×≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒=

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒=

νν

νν

Raggi X

Microonde

3

Radiazione di Sincrotrone• Il calcolo rigoroso permette di

ricavare lo spettro emesso da elettroni monoenergetici, che risulta essere uno spettro di righe a tutti i multipli di ωc

• Lo spettro si estende a frequenze talmente piu’ alte di ωc che a tutti gli effetti puo’essere considerato uno spettro continuo dato dall’ inviluppo di tutte le righe.

• La formula e’

• Dove p e’ data in fig. ed ha il max per ω=0.5ωmax.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

max2

3

max

16Pω

ωω

ω pmc

Be

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

maxωωp

maxωω

Sincrotrone da una nube di elettroni• Non tutti gli elettroni hanno la stessa energia. Elettroni con energie

E diverse produrranno frequenze ν diverse:

• Se gli elettroni hanno uno spettro di energie a legge di potenza:

• Si ottiene:

αβ

β νννν

νν

νν ≡∝∝∝∝+2

1

2/)( KKddK

dKdN

ddNhP

22

2max KmcK

mcqB

∝⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= νω

βKdKdN

∝

122

1−=⇔

+= αββα

6.28.02.14.3

−=⇔−=−=⇔−=

βααβ

Intorno del Sole

Galassia

Sincrotrone Galattico• Nel caso di una distribuzione quasiasi delle energie degli

elettroni, lo spettro di sincrotrone risulta dalla convoluzione(pesata con le abbondanze) di spettri monoenergetici.

• Per una legge di potenza nelle energie degli elettroni (come si verifica ad es. nei raggi cosmici), si ottiene una legge di potenza per lo spettro del sincrotrone.

• Nella radiazione galattica diffusa (regione radio)

• Ottenuto da survey a 408 MHz e 1420 MHz (Reich & Reich1986, 1988) http://www.mpifr-bonn.mpg.de/survey.html

• La radiazione di sincrotrone e’ linearmente polarizzata, con un grado di polarizzazione significativo.

( )1.08.0

I±−≈

≈α

νν α

10 - 4250 K@408MHz

6.0...3.0

2

2

−−=⇒∝→∝

∝+−−

ανν

νχχ IT

TI RJPolarizzazione lineare

• La riprova che la luce azzurrina proveniente dalla Nebulosa del Granchio sia di sincrotrone e’ data dalla sua polarizzazione.

• Per studiarla si prende un’ immagine della sorgente attraverso un filtro polarizzatore (un polaroid nel visibile, o una griglia di fili metallici nelle microonde..) che lascia passare solo la componente polarizzata lungo il suo “asse principale”.

• Si ruota il polarizatore e si studiano le eventuali differenze tra immagini ottenute per diverse orientazioni.

• Se non ci sono differenze, la radiazione non e’polarizzata. Se ci sono, lo e’.

4

Polarizzazione lineare• Si definiscono i parametri di Stokes come le differenze tra

le intensita’ misurate in direzioni ortogonali:

• Il grado di polarizzazione e’

• La direzione di polarizzazione e’

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

43I-

4I;

2I-I(0)Q πππ U

10Q 22

≤Π≤⇒+

=ΠI

U

UQarctg=χ

I(0)=I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2I πI⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

4I πI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

43I πI

QU

Polarizzazione lineare

I(0)=I ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2I πI⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

4I πI ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

43I πI

Mappadi I

Mappadi Π

Polarizzazione lineare• La radiazione di sincrotrone e’ molto polarizzata: il grado di

polarizzazione puo’ arrivare fino all’ 80%. • Tipiche sorgenti che esibiscono radiazione di sincrotrone con

alta polarizzazione sono i Nuclei Galattici Attivi, galassie nelle quali un buco nero centrale supermassivo provoca fenomeni di altissima energia.

• Lo studio della polarizzazione della radiazione di sincrotrone permette di inferire la direzione delle linee di forza del campomagnetico (ortogonali alla direzione della polarizzazione lineare) nella nostra Galassia. Il campo magnetico risulta allineato lungo le braccia della Galassia.

PianoGalattico

CoordinateGalattiche

• Si tratta dello scattering radiativo di particelle cariche (elettroni) nel campo elettrico di un nucleo: l’elettrone incidente viene deviato e quindi subisce una accelerazione; conseguentemente irraggia.

• Facciamo una teoria approssimata in regime non relativistico per ora.

• Sia b la massima distanza di avvicinamento tra e- e nucleo di carica Ze. In b l’ e- subira’ la forza massima e quindi la massima accelerazione

Radiazione di Free-Free

2

2

maxmaxmax 4;

bZeEE

mea

oπε== b

2

2

2

3

2

3

2max

2

max 466 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

bmZe

ce

caeW

ooo πεπεπε

• Il tempo durante il quale l’ accelerazione e’ dell’ordine di amax e’

• E quindi la quantita’ di energia irraggiata sara’ dell’ordine di

• Il pacchetto d’ onde emesso avra’ una durata dell’ordine di τ, e quindi una massima frequenza 1/ τ.


cbb

βτ 2

v2

==b

342

232

max1

434)(

bcmZeWbQ

o βπετ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

b2

bc

21

maxβ

τν ==

• Se supponiamo grossolanamente che l’ energia sia emessa in modo uniforme a tutte le frequenze avremo

• e quindi lo spettro di emissione sara’

• Nel caso di elettroni relativistici questa formula risulta essere valida lo stesso: si studia il problema nel sistema di riferimento dell’ elettrone poi si ritrasforma al sistema fisso: si vede che sia Q(b) che νmax vengono moltiplicati per γ.


max)()()( νννν∫ ≈= IdIbQ

2242

232

max

143

8)()(bccm

ZedbQdIo βπε

νν

νν ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

maxν

)(νI

5

• In una regione ionizzata c’e’ una distribuzione termica delle velocita’ degli elettroni. Ciascun elettrone perdera’ continuamente energia a causa della radiazione che emette, ma ne riacquistera’ a causa dell’ agitazione termica.

• Il calcolo dettagliato dell’ emissione e’ complesso, ma per l’ emissione totale si trovano i seguenti regimi:


Regime diautoassorbimento:lo spessore otticoe’ alto, e la regioneemette come uncorpo nero.

Qui lo spessore otticoe’ basso, e la regioneemette con uno spettro quasi piatto

Emissione Radio Continua di una regione HII:

1

Gas Interstellare• La nostra Galassia non e’ fatta solo di stelle.• C’e’ un mezzo interstellare complesso fatto di polveri

(come abbiamo visto) e di gas.• L’ elemento piu’ abbondante nel gas interstellare e’ l’

idrogeno nelle tre forme: – neutro (HI), – ionizzato (HII) – molecolare (H2).

• L’ idrogeno ionizzato si misura grazie alle righe di ricombinazione (tipicamente l’ Hα)

• L’ idrogeno neutro e’ difficile da misurare perche’ nelle condizioni di bassa densita’ e temperatura del gas interstellare gli atomi sono tutti nello stato fondamentale. Le transizioni verso gli stati eccitati richiedono fotoni UV che, lontano da stelle O e B, non sono abbondanti.

Idrogeno neutro

• L’ unico modo di studiare l’ HI e’ la misura della riga di spin-flip a 21.1 cm (1420.4 MHz).

• Servono grandi radiotelescopi per farlo.• E’ una riga molto particolare perche’ una

volta che e’ stato portato nel livello superiore, ci vogliono in media diversi milioni di anni prima che decada spontaneamente emettendo il fotone.

• Nel mezzo interstellare questo processo puo’ avvenire, perche’ le collisioni tra atomi, che potrebbero diseccitarlo, sono estremamente rare.

• In laboratorio non e’ possibile fare un vuoto cosi’ spinto da rendere le collisioni trascurabili: la riga a 21 cm dell’ H puo’ venire studiata solo nel vuoto cosmico.

E

Idrogeno neutro

• L’ idrogeno e’ talmente abbondante che nonostante la rarita’ dell’ evento la riga a 21 cm viene misurata facilmente. Nella nostra galassia ci sono 3 miliardi di masse solari in H neutro interstellare.

• La riga rimane otticamente sottile anche nelle regioni piu’ dense. Siccome la radiazione a 21 cm non e’ assorbita dalla polvere, possiamo studiare la struttura del gas in tutta la Galassia.

• La larghezza naturale di riga e’estremamente sottile (1/Δt); e’ allargata solo per effetto Doppler.

• Lo spessore ottico al centro della riga risulta essere proporzionale alla densita’colonnare di H (riga otticamente sottile):

E

)v()()(102.5

219

km/sKTcmNH

H Δ×=

−−τ

• Le nubi di H diffuso nella nostra Galassia hanno temperature da 30 a 80K, densita’ da 100 a 800 cm-3, masse da 1 a 100 Msun.

Idrogeno neutro• Quando si osserva una linea di

vista a 21 cm, si ottiene radiazione da tutti gli atomi di H che sono allineati lungo quella linea di vista.

• Se appartengono a nubi diverse, con diverse velocita’rispetto all’ osservatore, la loro lunghezza d’ onda verra’spostata per effetto Doppler, in modo diverso da nube a nube.

• Lo spostamento dalla frequenza naturale e’ dato dalla formula dell’ effetto Doppler, e viene indicato di solito direttamente in km/s.

ννο(=1420.4MHz)

v

v

Idrogeno neutrov

v

v

ννο(=1420.4MHz)

co

v=

Δν

ν

• Quando si osserva una linea di vista a 21 cm, si ottiene radiazione da tutti gli atomi di H che sono allineati lungo quella linea di vista.


• Lo spostamento dalla frequenza naturale e’ dato dalla formula dell’ effetto Doppler, e viene indicato di solito direttamente in km/s.

Idrogeno neutro• Quando si osserva una linea di

vista a 21 cm, si ottiene radiazione da tutti gli atomi di H che sono allineati lungo quella linea di vista.


• I profili della riga a 21 cm vengono usati per studiare la rotazione differenziale della nostra Galassia.

v

v

v

ννο(=1420.4MHz)

co

v=

Δν

ν

2

Idrogeno neutro• I profili della riga a 21 cm

vengono usati per studiare la rotazione differenziale della nostra Galassia.

vsunvD vD-vsunLinea di vista

La componente della velocita’ relativa lungo la linea di vista e’ negativa (avvicinamento)

vsunvB

vB-vsunLinea di vista

La componente della velocita’ relativa lungo la linea di vista e’ leggermente positiva (allontanamento)

vsunvC

vC-vsun

Linea di vista

La componente della velocita’ relativa lungo la linea di vista e’ positiva (allontanamento)

vsunvA

vA-vsun

Linea di vista

La componente della velocita’ relativa lungo la linea di vista e’ molto positiva (allontanamento)e la densita’ e’ maggiore

Formazione di Stelle• Nelle zone dove ci

sono alte densità di polveri e gas si vedono stelle giovani (classi spettrali O,B).

• Come e perchè si formano nuove stelle dalle nubi di gas ?

• Quand’è che l’attrazione gravitazionale prevale sulle altre forze e il gas converge in una zona facendo aumentare la densita’ ?

3

Dinamica del gas• Studiamo la dinamica di una nube di gas. Se il gas e’ neutro, la

forza dominante è la gravità. Si parla di nube auto-gravitante.• E’ importante il Teorema del Viriale, che descrive la

condizione media di equilibrio per un sistema stabile, legato gravitazionalmente (energia totale <0):

• Nel caso di una nube di gas, l’ energia totale è la somma – dell’ energia cinetica delle molecole, dipendente dalla

temperatura della nube, e che genera una pressione del gas – dell’ energia potenziale gravitazionale del sistema, somma

delle forze di attrazione gravitazionale di tutte le possibili coppie di molecole.

UEUK21;02 ==+

Energia Potenziale Gravitazionale• Consideriamo una nube

sferica, di densità uniforme, con massa totale Mc e raggio Rc.

• L’ energia potenziale gravitazionale di una buccia di spessore dr a distanza rdal centro e’

ρπρπ 32

34;4 rMdr

rrMG

rdmMGdU r

rrG =−=−=

c

ccG R

GMRGUdrrGdU2

522

422

53

1516

316

−=−=→−= ρπρπ

r

Rc

Energia Cinetica Totale• Se N è il numero totale di particelle della nube e T la

temperatura, l’ energia cinetica totale sarà

dove μ è il peso molecolare delle particelle e mH è la massa dell’ atomo di idrogeno.

• La nube sarà in equilibrio se la pressione risultante da questa agitazione termica potra’ contrastare la gravità. Questa condizione viene espressa dal Teorema del Viriale2K=-U.

• Se la pressione non è sufficiente, la nube collassa sotto la sua stessa gravità. La condizione per il collasso sarà 2K<-U e quindi

kTm

MkTNKH

c

23

23

μ==

c

c

H

c

RGMkT

mM 2

53

232 <

μ

Massa di Jeans

• Esprimendo il raggio in funzione della densità iniziale ρo:

si ottiene la condizione che deve soddisfare la massa perchè la nube collassi:

• Massa di Jeans (Sir James Jeans, 1877-1946): una nube di densitàρo e temperatura T collassa se la sua massa è maggiore di MJ .

c

c

H RGM

mkT

51

<μ

31

3

43

34

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=→=

o

ccocc

MRRMπρ

ρπ

21

23

3/1

3/1

435

51

43

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=>→<⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

oHJ

c

c

Ho mGkTMM

MGM

mkT

πρμμπρ

Lunghezza di Jeans• Se invece si esprime la massa in funzione del raggio

iniziale:

la condizione M>MJ diventa:

• Lunghezza di Jeans: una nube di densità ρo e temperatura T collassa se il suo raggio è maggiore di RJ .

occ RM ρπ 3

34

=

21

415

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=>

oHJ mG

kTRRρμπ

Esempio 1• Una nube di idrogeno diffusa, visibile grazie a misure a

21 cm, ha una temperatura tipica di 50 K ed una densitàtipica di 500 cm-3.

• La sua massa di Jeans e’ quindi

• Normalmente la massa di queste nubi e’ di 1-100 Msun: le nubi sono quindi stabili, non collassano.

sunoH

J MmG

kTM 15004

35 21

23

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

πρμ

4

Esempio 2• Il nucleo piu’ denso di una nube molecolare gigante ha

una temperatura tipica di 150 K ed una densità tipica di 108 cm-3.

• La sua massa di Jeans è quindi

• Questi nuclei hanno masse osservate di 10 - 1000 Msun : quindi sono instabili e possono collassare.

• In effetti sono i luoghi privilegiati dove si vedono formarsi stelle.

sunoH

J MmG

kTM 174

35 21

23

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

πρμ

Collasso della nube• Quando viene soddisfatta la condizione di Jeans la

nube inizia a collassare. • Per ipotesi siamo in una situazione in cui gli effetti

della pressione non sono importanti. Quindi le particelle sono sostanzialmente in caduta libera, attirate verso il centro della nube dalla massa della nube stessa.

• Il loro moto sarà descritto da

• Inoltre, la nube restera’ sostanzialmente isoterma almeno finche’ rimane otticamente sottile, perchè l’energia gravitazionale liberata dal collasso viene facilmente irraggiata via dalla nube.

22

2

rMG

dtrd r−=

Collasso della nube• Ci interessa seguire il collasso (sferico) della superficie

sferica di raggio r che racchiude la massa Mr . • Quindi Mr rimane costante durante il collasso, e pari al

suo valore iniziale:

• Possiamo moltiplicare ambo i membri per dr/dt e integrare:

• La costante C1 si ricava imponendo che la velocità del collasso sia 0 per t=0 e r=ro : si ottiene

22

2

rMG

dtrd r−=

2

3

22

2 13

4r

rGrMG

dtrd

oor ρπ

−=−=

1

32

2

3

2

2 13

4211

34 C

rrG

dtdr

dtdr

rrG

dtrd

dtdr

oo

oo +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡→−= ρπρπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=→−= 1

38

34 2

21 r

rrGdtdrrGC ooo

ooρπρπ

Collasso della nube• Per integrare l’ equazione si fanno le sostituzioni:

• E con la nuova sostituzione

• La C2 si trova imponendo che per t=0 , r=ro, cioè θ=1, cioe’ ξ=0. Quindi C2=0.

• L’ andamento di r con t derivato dalla soluzione èdecrescente, e arriva a r=0 (tutta la massa in un punto) in un tempo che chiamiamo tempo di caduta libera (free-fall).

113

8; −−=→≡≡θ

θρπθ KdtdGK

rr

oo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1

38 2

rrrG

dtdr ooo ρπ

ξξ

ξξξξξθξ

cossin

coscos1sincos2cos 2

22 KK

dtd

−=−

−=−→≡

22

22sin

41

22cos CtKK

dtd

+=+→=→ ξξξξ

Free-fall time• Per ottenerlo dobbiamo trovare tff che rende r=0, cioe’ θ=0,

cioe’ ξ=π/2. Quindi

• Ovviamente la situazione r=0 e’ non fisica (densità infinita) e cadono le condizioni di validità della nostra trattazione prima di arrivarci. Ma si può arrivare comunque a rf<<ro, e quindi il tff è una stima ragionevole del tempo impiegato ad arrivare ad una situazione di alta densità.

• tff è indipendente dal raggio iniziale della sfera. Quindi, se la densita’ della sfera è uniforme, la densità varia nello stesso modo dappertutto (collasso omologo).

• Ma se il centro e’ un po’ piu’ denso, tff sarà più breve al centro, e quindi la densità vicino al centro aumenterà piùrapidamente che nella periferia.

tK2

2sin41

2=+ ξξ

offff GK

ttKρ

πππ 1323

20

42==→+=

Esempio 3• Vediamo quanto impiega una GMC a collassare.

Considerando sempre una densita’ tipica di 108 cm-3 e quindi ρο=2x10-16g/cm3, si ottiene

• L’ andamento tipico del collasso è lento all’ inizio, e sempre più veloce poi:

anniG

to

ff 47001323

==ρ

π

ρ

ttff

5

Frammentazione• Se il collasso fosse davvero omologo, si formerebbe

una unica stella contenente tutta la massa della nube. Invece si osserva che le stelle nascono soprattutto in gruppi (da stelle binarie, a gruppi di stelle, ad ammassi che contengono anche centinaia di migliaia di stelle).

•

Frammentazione• Questo significa che la nube si frammenta durante il

collasso. Ci si può rendere conto di questo tornando all’equazione di Jeans.

• Quando la densità ρ durante il collasso aumenta di molti ordini di grandezza, ci saranno sottosezioni della nube che soddisferanno indipendentemente la condizione di Jeans. Quindi per ciascuna di queste sottosezioni (centrate in posizioni inizialmente leggermente più dense) cominceràun collasso locale, che produrrà sottonubi sempre piùmarcate.

• Se questa situazione continuasse, si genererebbe un numero sempre più grande di oggetti di massa sempre piùpiccola.

• Ma a un certo punto il collasso si ferma.

21

23

435

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

oHJ m

kTMπρμ

Frammentazione• Finora abbiamo assunto un collasso isotermo. Quindi nell’

equazione di Jeans

l’ unico termine che varia è la densita’ ρ . • L’ isotermicità si mantiene finchè l’ energia gravitazionale liberata

dal collasso viene irraggiata efficientemente (nube otticamente sottile).

• La situazione opposta è il collasso adiabatico, nel quale non c’èinterazione con l’ ambiente esterno e quindi tutta l’ energia gravitazionale si converte in energia termica, e T aumenta.

• La situazione reale sarà intermedia, e via via che la densità aumenta la nube diverrà sempre più otticamente spessa, e quindi ci si avvicinerà alla situazione adiabatica.

21

23

435

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

oHJ m

kTMπρμ

Fine della frammentazione• Nel caso adiabatico si può ricavare una relazione tra densità e

temperatura da

• Per un gas monoatomico γ=5/3 e quindi T aumenta con ρ .• Sostituendo nell’ espressione della massa di Jeans

• Per un gas monoatomico (es.H) si ha • Quindi, in condizioni adiabatiche, la massa di Jeans aumenta con la

densità.• La frammentazione che si aveva in condizioni isoterme cessa una

volta che si transisce al regime adiabatico.

11

1;/;;

−−

===→

∝===

γγ

γ

ρ

ργ

nRC

nRCV

nRPVT

VCCCPVnRTPV VP

( )2

43211

23

21

23 −

−−−∝∝∝

γγρρρTM J

ρ∝JM

Fine della frammentazione• La transizione da regime isotermo ad adiabatico è

graduale, e non sarà nemmeno completa, perchè un pò di irraggiamento verso l’ esterno della nube ci sarà sempre.

• Durante il collasso gravitazionale si libera energia. Se si parte da una situazione con tutte le masse a grande distanza tra loro e ferme, l’ energia totale iniziale è circa 0. Per il teorema del viriale l’ energia finale è

• Quindi la luminosita’ irraggiata durante il collasso sara’J

Jff R

GMUE

2

103

2−==

25

23

3

22

343

32103

332

103

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈==

Δ=

J

J

J

J

J

J

J

J

ff

Gff R

MGR

GMR

GMGR

GMtEL πππ

ρ

Fine della frammentazione• La luminosità irraggiata sarebbe di corpo nero per una

nube otticamente spessa in equilibrio termodinamico.• Ma qui non abbiamo nessuna delle due condizioni, quindi

la luminosità sarà inferiore a quella del corpo nero, di un fattore di efficienza 0<e<1 :

• Confrontando con

• si ottiene la condizione in cui gli effetti adiabatici diventano importanti:

25

23

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≈

J

Jff R

MGL

424 TeRLrad σπ=

2/3

42/92/542

25

23 44

GTeRMTeR

RMG J

JJJ

J σπσπ =→=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

6

Fine della frammentazione

• usando:

• si ottiene:

• Per T=1000K, μ=1, e=0.1 si ottiene una massa di 0.5Msunper la fine della frammentazione. Cioè non si formano strutture di massa molto più piccola di quella del sole.

• Questo è esattamente ciò che si osserva nella galassia: la maggior parte delle stelle ha massa simile o superiore a quella del sole.

2/3

42/92/5 4

GTeRM J

Jσπ

=

32

3/15

43;

43

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

HJ

JJ mG

kTMMRμπρπρ

4/92/1

4/1

sunmin)(03.0

μeKTMM J =

Formazione di una protostella• La trattazione fatta finora e’ molto semplificata:

– Il criterio di Jeans e’ stato usato in tutte le fasi dell’ evoluzione, mentre era stato derivato per una nube statica.

– Abbiamo trascurato i dettagli del trasporto radiativo entro la nube– Abbiamo trascurato fenomeni come l’ effetto della polvere (che

domina l’ opacita’) e la sua vaporizzazione quando la temperatura sale abbastanza

– Abbiamo trascurato fenomeni di ionizzazione degli atomi.– Abbiamo trascurato effetti dovuti alla rotazione della nube

(momento angolare), alle deviazioni dalla simmetria sferica, alla presenza di particelle cariche (e quindi forze elettriche e magnetiche)

• Quindi la nostra trattazione va considerata indicativa dell’ordine di grandezza dei risultati.

• Risultati piu’ quantitativi richiedono una integrazione numerica delle equazioni dell’ idrodinamica.

Osservazioni di una protostella• La protostella si forma nelle regioni piu’ profonde delle nubi

molecolari, schermata dalla polvere circostante. Quindi non si vede nel visibile.

• La si puo’ forse vedere come una piccola sorgente infrarossa.• Candidati:

– Oggetti T-Tauri– B335 (globulo di Bok nella costellazione dell’ Aquila)– Numerosi oggetti nella nebulosa di Orione

1

Idrogeno Molecolare• Se si confrontano, sulle stesse linee di vista:

– l’ emissione a 21 cm dell’ idrogeno atomico neutro (proporzionale alla densita’ di colonna NH)

– l’ estinzione della polvere (Av=1.086τ proporzionale alla densita’colonnare di grani di polvere Nd)

si trova una buona correlazione, almeno finche’ Av<1.• Questo suggerisce che gas e polvere siano ben mescolati

nelle nubi sottili.• Tuttavia, per nubi piu’ dense, la correlazione sparisce: la

colonna di HI non cresce piu’ proporzionalmente alla colonna di polvere.

• Le nubi otticamente spesse schermano l’ HI dall’emissione UV delle stelle. Si possono allora instaurare le condizioni per la formazione di molecole di idrogeno H2 .

Idrogeno Molecolare• Questo processo e’ aiutato non solo dall’ assenza di fotoni

UV che distruggerebbero le molecole, ma anche dalla presenza di grani di polvere, sulla cui superficie gli atomi di H adsorbiti possono migrare, incontrarsi e formare la molecola. Questa si stacca a causa del rilascio del calore di formazione.

• Si recupera una buona correlazione correlando Av e NHI+2NH2.

Emissione rotazionale• L’ H2 e’ difficile da rivelare, perche’ la molecola non

emette radiazione iperfina (spin-flip) e non ha momento di dipolo. Quando ruota l’ emissione di radiazione e’ dovuta solo al quadrupolo, estremamente debole. E comunque le righe rotazionali si trovano a lunghezze d’ onda dell’infrarosso termico, quindi molto difficili da misurare a causa dell’ emissione termica della nostra atmosfera.

• E’ piu’ facile osservare altre molecole biatomiche cositituite da atomi meno abbondanti (CO, CH, OH, CS, e anche C3H2.) con momento di dipolo non nullo.

H2 CH OH

d dd=0

Altre molecole. Emissione rotazionale• L’ energia rotazionale della molecola biatomica e’

dove L e’ il momento angolare. • Dalla meccanica quantistica il momento angolare e’

quantizzato:• Quindi le energie dei livelli energetici rotazionali sono

• Classicamente l’ emissione di radiazione da un dipolo rotante deve essere alla stessa frequenza a cui ruota il dipolo. Per riottenere questa proprieta’ quantisticamente si deve imporre la regola di selezione ΔJ=+1.

( )I

LII

IE22

121 2

22 === ωωm1 m2

r1 r2

)1(22 += JJL h

)1(22

22

+== JJII

LEJh

Altre molecole. Emissione rotazionale• Si ha allora ad es.

• Lo spettro rotazionale e’ quindi una sequenza di righe equidistanti a frequenze multiple di

• Le frequenze sono nel millimetrico e sub-mm:

m1 m2

r1 r2

[ ]

rot1

1

22

1 )1()1(2

ωω =≈=Δ

=

=−−+=Δ

−→−→

−→

IL

IJE

JI

JJJJI

E

JJJJ

JJ

h

h

hh

Iπ2/h

( ) ( ) ( ) JGHzHzJmr

hJI

JJJ ⋅≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

×=≈==

−−

−

10010107.12

1067.6222 28242

27

22ππππ

ων h

Altre molecole. Emissione rotazionale

• Nel caso del CO la distanza tra i due atomi e’ r = 0.12 nm, mentre le masse atomiche sono 12.000 (per il 12C), 13.003 (per il 13C), 15.995 per il 16O.

• I=μ r2 dove μ e’ la massa ridotta ottenuta dei due atomi.

• Per il CO lo spettro rotazionale e’ una sequenza di righe equidistanti a frequenze multiple di 115 GHz (lunghezze d’onda sottomultiple di λ=2.6 mm).

• Nelle condizioni delle GMC sono eccitati alcuni livelli rotazionali. Infatti:

m1 m2

r1 r2

221

21

222;

rJ

IJ

mmmm J

J πμππωνμ hh

===+

=

2

• La degenerazione dei livelli rotazionali e’ 2J+1 (tutti i valori che puo’ avere il numero quantico m).

• Quindi la popolazione dei livelli eccitati rispetto a quello fondamentale J = 0 e’data da

• Per il CO a T=50K sono eccitati solo i primi livelli, quindi si vedono soprattutto le righe a 2.6 mm (J=1->J=0) e 1.35 mm (J=2->J=1).

• Mentre la riga a 21 cm e’ proibita, queste sono righe permesse, quindi basta una densita’ colonnare di CO molto piu’ bassa di quella dell’ HI per ottenere lo stesso spessore ottico.

m1 m2

r1 r2

IkTJJ

kTE

JJ eJegg

nn 2

)1(

00

2

112 +

−Δ

− +==

h

basse T

alte T

0nnJ

J

Magnani, Lugo, Dame Astro-ph/0508571

Magnani, Lugo, Dame Astro-ph/0508571

Wilson et al. 2004, astro-ph/0411089 Dame et al. 2001, astro-ph/0002927

3

Nub

i Mol

ecol

ari G

igan

ti ne

lla G

alas

sia

Correlazioni

1221103.2 −−×= magcmatomsAN

V

H

( ) ( )CONHN 1242 10)6.025.1( ×±=

( )1221105.7 −−×=

−magcmatoms

VBENH

2HHIH NNN +=

NGC1232

NGC7742Rotazione Galattica

M31: La Galassia Andromeda

4

Riga a 21cm e curva di rotazione della GalassiaooRω

LOSRω

Ro

γ

δ

Sole

CentroGalattico

R

γωδω sinsin ooRRV −=

• Proiezione della velocita’ relativa lungo la linea di vista:

• ma

• Quindi

• Dove γ e’ la longitudine galattica della linea di vista.

• Da altre misure sappiamo che, nella posizione del Sole

γδ sinsin oRR =

( ) γωω sinoo RV −=

skmRkmkpcR

oo

o

/220106.25.8 17

=×==

ω

Riga a 21cm e curva di rotazione della GalassiaooRω

LOS

minmaxRω

Ro

γ

Sole

CentroGalattico

Rmin

• Se supponiamo (per analogia col moto Kepleriano) che la velocita’angolare decresca con la distanza dal centro, allora siamo sicuri che la massima velocita’ proiettata sia quella della nube in cui la velocita’ e’tangente al moto.

• In quel caso

• Quindi possiamo esaminare gli spettri presi a diverse longitudini e cercare la massima velocita’ presente in ciascuno di essi: questa ci dovrebbe dare la velocita’ di rotazione della galassia al raggio Rmin corrispondente a quella longitudine.

γsinmin oRR =

Riga a 21cm e curva di rotazione della Galassia

Riga a 21cm e curva di rotazione della Galassia

Si ottiene una curva di rotazione piatta fino a grandi distanze dal centro, dove la densita’ di stelle e’ diminuita moltissimo.Questo e’ una sorpresa.

NGC1232

5

NGC7742Rotazione Galattica

M31: La Galassia Andromeda

• Ci aspettiamo che la nube o una stella campione orbitino intorno al centro della galassia piu’ o meno come un pianeta intorno al sole.

• Ma qui la massa attraente non e’ tutta concentrata nel centro del sistema come accade nel sistema solare.

R = distanza dal centro

densita’ di stelle

Curva di rotazione

• In un sistema a simmetria sferica, la stella sente solo l’ azione della massa interna alla sua orbita (teorema di Gauss) come se fosse concentrata nel centro.

• Quindi se l’ orbita ha un raggio r relativamente piccolo, la stella sente solo poca massa.

Curva di rotazione• In un sistema a simmetria sferica, la stella sente

solo l’ azione della massa interna alla sua orbita (teorema di Gauss) come se fosse concentrata nel centro.

• Invece se l’ orbita ha un raggio r molto grande, la stella sente l’ azione di tutta la massa della Galassia.

Curva di rotazione

6

Moto di una stellina “di prova”di massa m soggetta all’ azione della massa di tutte le altre stelle:

M(r)

ma

F

v

Massa contenutafino al raggio r

rrGM

rmrGM

rm

)(v

)(v2

2

=⇒

=


densita’ di stelle⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≈⇒=

≈⇒===

=

∫rrrM

rMrM

drrrrM

rrGM

or

v3

4)(

1v)(4)()(

)(v

30

2

πρπρ

Caso particolare 1

Caso particolare 2

Moto di una stellina “di prova”di massa m soggetta all’ azione della massa di tutte le altre stelle:

Caso particolare 1

Caso particolare 2



r≈v r1v ≈

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≈⇒=

≈⇒===

=

∫rrrM

rMrM

drrrrM

rrGM

or

v3

4)(

1v)(4)()(

)(v

30

2

πρπρ

Esempi numerici

http://www.astro.queensu.ca/~dursi/dm-tutorial/rot-vel.html

Materia Oscura ?• Insomma, nella Galassia deve esistere della

massa addizionale, oltre alle stelle e al gas interstellare, per rendere conto delle alte velocita’orbitali degli oggetti distanti dal centro.

• Questa massa deve essere in una forma non facilmente visibile, se ha eluso la detezionefinora.

• Viene chiamata materia oscura.• La sua presenza e’ necessaria in tutte le galassie,

ed anche in altri sistemi autogravitanti.

Effetto Doppler per la luce stellare

Noi

redshiftblueshiftλ=λo

λ>λoλ<λo

λ=λo[1+(v/c)cosθ]

θ

• La misura viene meglio per galassie viste di taglio. Si misura la lunghezza d’onda apparente di una ben precisa riga spettrale in funzione della posizione per tutte le direzioni tra i due estremi della galassia.

7

NGC3198 NGC3198

NGC3198 NGC3198cv

=Δλλ

λλΔ

= cv

Baryonic matter only

8

Curva di Rotazione



velocita’ nel caso ci fossesolo la massa delle stelle

velocita’ effettivamenteosservata

⎩⎨⎧

≈≈

⇒≈⇒=

=

−

−

)()()()(

)(costantev

)(v

1

2

discorrsferarr

rrM

rrGM

ρρ

Rotazione delle Galassie• Per farlo si allinea la fenditura

di ingresso dello spettroscopio al disco (visto “edge-on”).

• La lunghezza d’onda della riga (e quindi la velocita’) varia in funzione della posizione lungo il disco:

Hα 6563ANII 6583A

Rotazione delle Galassie

• Altro esempio:• Risultano velocita’ di

rotazione dell’ ordine di 200-300 Km/s

Materia Oscura• Per farlo si allinea la fenditura

di ingresso dello spettroscopio al disco (visto “edge-on”).

• La lunghezza d’onda della riga (e quindi la velocita’) varia in funzione della posizione lungo il disco:

Hα 6563ANII 6583A

Invece, la luminosità …

arperrrj >>≈→ −4)(

(vedi ad es. Dehnen 1993, Tremaine et al. 1994)

Quindi se la luminosità fosse un buon indicatore della massa, ρ(r)andrebbe come j(r) e quindi come r-4 : quindi M(r) andrebbe come r-1

e avremmo curve di velocità decrescenti.

Osservativamente la densità di luminosità segue una legge del tipo :

9

Osservando una galassia con un radiotelescopio sensibile a frequenze intorno a 1420 MHz, si misura il profilo della riga a 21 cm riportato in figura. Si assuma che il radiotelescopio raccolga tutto il flusso proveniente dalla galassia.Dalla calibrazione dello spettrometro si sa che ogni unità sull’ asse orizzontale corrisponde a una variazione di frequenza di 10 kHz, e che 1420.4 MHz corrisponde all’ ascissa 256. 1.1) calcolare la larghezza della riga a 21 cm a metà altezza, indicata con W50 nella figura (usando le due linee verticali tratteggiate come riferimento convenzionale per gli estremi del profilo), e convertirla in km/s, supponendo che le variazioni rispetto alla frequenza di 1420.4 MHz siano dovute esclusivamente al movimento delle nubi di gas rispetto a noi (effetto Doppler). 1.2) calcolare la velocità media della galassia rispetto a noi (Vsys ) in km/s, sempre assumendo che gli spostamenti rispetto alla frequenza di laboratorio siano dovuti esclusivamente all’ effetto Doppler. 1.3) discutere l’ ipotesi che la forma della riga di figura sia dovuta alla rotazione della galassia osservata. In questa ipotesi, sapendo che la galassia è a spirale, che si trova ad una distanza di 8.2 Mpc e che la sua immagine può essere inscritta in una ellisse di 11 arcmin x 16 arcmin, stimare la sua massa.

Esercizio

cW 5050 v

=ν

skmMHz

kHzc

/20v4.1420

10)256266(vsys

sys ≅→×−

=Δ

=νν

1.1) Dalla figura W50 risulta essere di (347-185)=162 unità, e quindi pari a 1.62 MHz . Dalla formula dell’effetto Doppler

si ottiene v50=340 km/s. 1.2) Vsys corrisponde alla posizione 266 sulle ascisse, quindi a 10 unità dallo zero delle velocità relative. Si ricava quindi

e quindi la massa interna è

km/s250dd

2v/2)v(d

1

2501 ==

sunMGdRM

11

2250

107.2

)2/(v)(

×=

≅<

1420.4 MHz

1.3) Alla distanza D=8.2 Mpc, i due diametri angolari θ si convertono in diametri lineari d=Dθ pari a d1=26 e d2=38 kpc. Il secondo è il diametro della galassia, il primo è il diametro proiettato sul cielo a causa dell’ inclinazione della galassia. La velocità delle nubi più estreme della galassia è

d2 d1

LOS

vDoppler

v

Materia Oscura• A scale ancora maggiori c’e’ evidenza di

materia oscura negli ammassi di galassie. • Le galassie si muovono negli ammassi su

orbite disposte casualmente. La dispersione delle velocita’ osservata e’ dell’ ordine di 1000 km/s.

• Se gli ammassi non fossero strutture legate gravitazionalmente, le velocita’ osservate delle galassie scomporrebbero l’ ammasso in circa un miliardo di anni.

• Ma per tenere legate delle galassie con una dispersione di velocita’ cosi’ alta, e’necessaria una quantita’ di massa circa 10 volte superiore alla materia luminosa presente nell’ ammasso.(Zwicky, 1938 prima evidenza nell’ ammasso di Coma)

Materia Oscura• Teorema del Viriale: per una distribuzione autogravitante a simmetria sferica di

oggetti tutti della stessa massa l’ energia cinetica totale e’ uguale a meta’ dell’energia gravitazionale totale (cambiata di segno).

• Nel caso delle orbite delle Galassie nell’ ammasso possiamo scrivere

• E quindi applicando il Teorema del Viriale si ottiene

• Si puo’ quindi stimare la massa gravitante in un cluster dalla dispersione di velocita’ delle particelle di prova (le Galassie).

• Risulta che e’ necessaria almeno 10 volte piu’ della massa visibile.

tot

tot

tot

totii

RMG

RmNGU

MmT

222

22

21

21

v21v

21

−=−=

== ∑

GR

MR

MGMUT tottot

tot

tottot

222

v2

41v

21

21

=⇒=⇒−=

Dark Matter in Coma• Si tratta di misurare le velocita’ delle galassie,

e la loro distribuzione nello spazio. • Piu’ velocemente orbitano e piu’ ampio e’ il

volume che occupano, piu’ alta deve essere la massa che le attrae.

• E’ un test classico, introdotto per la prima volta da Zwicky (Ap.J., 86, 217, 1937).

Immagini di Comanel visibile nell’ X (Chandra ACIS, 0.2-10 keV)

Materia luminosa (stelle) Materia luminosa (gas caldo intergalattico)

10

Dark Matter in Coma

• Ci sono centinaia di galassie in Coma.• Biviano et al. (1995) hanno creato un catalogo di

velocita’ delle galassie nelle regioni centrali di Coma, misurando spettroscopicamente la velocita’ radiale di ciascuna delle galassie.

• Il catalogo si trova in rete:http://cdsweb.u-strasbg.fr/viz-bin/Cat?J/A%2bAS/111/265

• Contiene posizione, magnitudine e velocita’ radiale di 271 galassie.

http://www.ub.rug.nl/eldoc/dis/science/m.beijersbergen/c4.pdf

Massa di Coma• Dalla velocita’ media di allontanamento si ricava

il redshift e quindi la distanza dell’ ammasso.<v> = <cz> = (6977+53) km/s<D>= <cz> /Ho = (69.77+0.53) h-1 Mpc

• Questa distanza ci serve per stabilire la dimensione lineare dell’ ammasso partendo da quella angolare che si misura sull’ immagine.

• Dobbiamo poi utilizzare la dispersione di velocita’radiali σ=(950+39) km/s per stimare la dispersione di velocita’ tridimensionale.

• Con queste informazioni, usando il teorema del Viriale, si misura la massa di Coma

Teorema del Viriale• Consideriamo un sistema autogravitante, composto da

masse mα con posizioni xα .• La sua dinamica sara’ complessa, ma caratterizzata da due

tempi caratteristici:– Il tempo dinamico tdin=d/v=tempo necessario perche’ un

generico elemento del sistema lo attraversi tutto. Partendo da una configurazione quasiasi, si arrivera’ ad una configurazione stazionaria (proprieta’ globali costanti) dopo un tempo dell’ordine di tdin .

– Il tempo di rilassamento, cioe’ il tempo necessario affinche’ un generico costituente del sistema perda memoria delle condizioni iniziali. Si ha tril~0.1(N/lnN) tdin >> tdin .

• Quando di arriva ad una condizione stazionaria, vale il teorema del viriale: 2K+U=0

K = Energia cinetica totale U = Energia potenziale totale

Teorema del Viriale• Consideriamo il momento d’ inerzia del sistema:

• Derivando due volte

• L’ accelerazione gα della particella α dovuta alla gravita’delle altre particelle e’

ααα

α xxmIN rr

⋅≡ ∑=1

( )ααααα

αααα

α gvvv2v21

2

2

1

rrrrrr⋅+⋅≡⋅≡ ∑∑

==

NN

mdt

IdxmdtdI

3gαβ

αβ

αββα

xx

xxmG

N

rr

rrr

−

−= ∑

≠

11

Teorema del Viriale

• Interpretazione fisica :• Se le masse sono inizialmente a distanza infinita (U=0) e

ferme (K=0), e la gravita’ fa formare una struttura autogravitante, meta’ dell’ energia gravitazionale liberata nel processo di formazione diventa energia cinetica.

KUUKEUK −==+=→=+2

02

Sistema Sferico• Per un sistema a simmetria sferica virializzato di raggio R, l’

energia potenziale gravitazionale si puo’ sempre scrivere

• Dove M e’ la massa totale e α e’ una costante dell’ ordine di 1, che dipende dalla distribuzione della densita’ di massa al suo interno.

• In generale l’ energia cinetica del sistema puo’ essere espressa in termini della velocita’ quadratica media:

RGMU

2α−=

MM

dMx

M

dVxx

dVx

dVxx ∑∫∫∫

∫ ==== αααρ

ρ

ρ2

2222

vm)(v)()(v

)(

)()(vv

rrr

r

rr

22 v21vm

21 MK ==⇒ ∑

ααα

Sistema Sferico• Combinando

• Si ottiene

• Quando la densita’ decresce gradualmente con R, e’ difficile determinare il raggio del sistema. Si puo’ dimostrare che l’equazione sopra vale lo stesso usando il raggio mediano Rm (raggio che contiene meta’ della massa), con α=0.4:

RGMU

2α−= 2v

21 MK = KU

−=2

GR

MR

GMMα

α22

2v

v =→=

GR

M m2v5.2

=

Massa di Coma• Nel caso di Coma:

• La luminosita’ totale di Coma vale • Quindi

GR

M m2v5.2

=

222 )km/s950(33v == rσ( ) Mpc14.2Mpc7.0/5.1Mpc5.1 1 === −hRm

( )

o

o

MMkg

kgkg

kgM

1530

4545

11

16623

1036.3/109889.1

107.6107.6

10673.610086.31014.21095035.2

×=××

=×=

=⋅

×⋅×⋅×⋅⋅= −

oLL 13104.1 ×=

o

o

o

o

o γ240240104.11036.3γ 13

15

ComaComa

==××

==LM

LM

LM

Densita’ di Coma

( )327

Coma

324

3166

45

3

kg/m10

kg/m1078.210086.31014.214.3

34

2107.6

34

2

−

−

≈>>

×=×⋅×

×

===

c

m m

kg

R

M

VM

ρρ

πρ M/L Viriali

degli ammassi

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

Mpc1km/s10

v106.5 23

214 mRMM o

106MS1612+26

164MS1512+36

412MS1455+22

138MS1358+62

123MS1231+15

148MS1224+20

154MS1008-12

204MS1006+12

560MS0906+11

200MS0839+29

275MS0451-3

250MS0451+02

218MS0440+02

157MS0302+16

202MS0016+16

173A2390

M/L (unita’ solari)Ammasso

12

Massa Luminosa• Il rapporto M/L per la materia stellare nelle galassie dipende dal tipo

di stelle che vi si trovano.• Per le stelle di sequenza principale vale infatti una relazione tra

massa e luminosita’ del tipo

• Quindi

• Cioe’ γ>>γο per M<<Mο (stelle K,M,nane brune), e γ<<γο per M>>Mο (stelle O,B). Ne segue che le ellittiche, senza grande formazione stellare, hanno γ ~ 6.5 γo, mentre le spirali, dove sono abbondanti le stelle Oe B, hanno γ ~ 2 γo. Per le lenticolari γ ~ 5 γo

o

o

LMML

5.3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

oo

o

oo

o

o

o

o

o

o

γγ5.25.2

5.35.3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

MM

LM

MM

LM

MM

MM

LMM

MLM

Massa Luminosa negli Ammassi• Un ammasso regolare contiene tipicamente alcune centinaia di

galassie. • Queste sono

– ellittiche (con γ ~ 6.5 γo) per un ηE ~ 30%, – lenticolari (con γ ~ 5 γo) per un ηS0 ~ 45%, – spirali (con γ ~ 2 γo) per un ηS ~ 20%.

• Il rapporto M/L dell’ ammasso (per materia stellare, luminosa) sara’quindi:

• Quasi 2 ordini di grandezza inferiore a quello per tutta la massa, determinato grazie al teorema del viriale !

• Se ne conclude che un ammasso regolare e’ fatto sostanzialmente di materia oscura.

5γγγγ SS00E ≈++= SSE ηηη

Materia Oscura• Lenti Gravitazionali: Secondo la

relativita’ generale, una massa abbastanza grande devia in modo apprezzabile la traiettoria di un raggio di luce che ci passa accanto.

• Si vedono spesso immagini multiple di una sorgente lontana dovute alla deflessione della luce da parte di una galassia o di un ammasso di galassie interposto tra noi e la sorgente.

• Spesso queste immagini sono distorte in forma di archi o insiemi di archetti, a seconda della geometria relativa di sorgente, osservatore e massa deflettente.

• Anche qui si stima una massa >> di quella visibile

Noi

Galassia o ammasso

QSOo galassia

primordiale

0024+1654

A1689

Materia Oscura• Tutti gli ammassi di galassie sono forti emettitori di radiazione X, che non viene dalle galassie, ma dal gas presente tra una galassia e l’ altra, che ha temperature dell’ ordine di 10 milioni di gradi.

• Questo gas, con velocita’ termiche cosi’ alte, non potrebbe rimanere legato a lungo se nell’ ammasso non ci fosse molta piu’ massa di quella visibile.

• Si è scaldato così tanto a spese dell’energia potenziale gravitazionale, che quindi deve essere notevole. E quindi la massa deve essere notevole. Quantitativamente risulta molto più della massa visibile.

• Gli ultimi tre metodi esposti danno tutti stime consistenti per la materia oscura negli ammassi di galassie.

L’ ammassodella Verginenel visuale e nell’ X

7.5 ’

Oppure ammassi speciali …1ES0657-556

13

Le soluzioni• La soluzione ipotizzata e’ che ci sia una componente di materia

massiva e “oscura”, che non interagisce elettromagneticamente.• Puo’ quindi cominciare a gravitare e a formare strutture ben prima

di z=1000.• Puo’ formare aloni oscuri delle galassie e degli ammassi

permettendo le alte velocita’ delle particelle di prova• Weakly interacting massive particles = WIMPS• La densita’ attuale di materia oscura non barionica e’ stimata

essere dell’ ordine di Ω=0.3• Il modello standard delle particelle elementari non prevede nessun

WIMP: la loro esistenza e’ una richiesta della cosmologia.• La soluzione alternativa e’ ipotizzare l’ esistenza di un altro tipo di

forza (oltre alle quattro conosciute oggi) che agisca a lungo raggio. Oppure si puo’ pensare ad una modifica della legge di Gravitazione Universale a grandi distanze (in fondo non e’ mai stata verificata la sua validita’ nemmeno a distanze Galattiche) MOND.

1

Le Galassie• I mattoni costitutivi dell’ Universo visibile sono le galassie,

agglomerati autogravitanti di centinaia di miliardi di stelle.• Esistono con varie forme (ellittiche, a spirale, irregolari), masse,

luminosita’

NGC1232M87 NGC1232

Le Galassie• Le galassie contengono da 107 a 1013 M in stelle, gas

interstellare, polvere interstellare e materia “oscura”, per ora non identificata.

• Le distanze tipiche tra galassie sono dell’ ordine del Mpc. • 1 pc = 3.06×1013 km = 3.26 anni luce• La luminosita’ media di una galassia e’ di 2·1010L , dove L e’ la luminosita’ del sole L = 2.4·1045 eV/s = 3.8·1026

W.• Esercizio: Perche’si vedono le stelle della nostra galassia,

ma e’ difficile vedere le galassie ad occhio nudo ? Confrontare la potenza radiativa ricevuta da una tipica galassia a distanza di 1 Mpc con quella ricevuta da una stella simile al sole, e distante 10 pc. Distribuzione di 7822 galassie con distanza inferiore a 40 Mpc

Distribuzione delle galassie• Se guardiamo piu’ lontano, le galassie sono distribuite in

modo statisticamente isotropo sulla sfera celeste (distribuzione 2-D, in proiezione).

• In prima approssimazione il numero di Galassie che si contano in un grado quadrato di cielo segue una statistica di Poisson.

• Il numero medio dipende ovviamente da quanto e’sensibile l’ osservazione: osservazioni piu’ sensibili saranno piu’ profonde, e conteranno anche galassie molto distanti. Il numero medio sara’ maggiore.

• In approssimazione successiva, sono presenti correlazioni, e quindi leggere deviazioni dalla statistica Poissoniana. Nella distribuzione 2-D queste deviazioni sono minime, mentre sono molto importanti per la distribuzione 3-D.

Distribuzione (2-D) delle Galassie

APM (Automatic Plate Machine) survey di 106 galassieCopre circa 1/10 del cielo

2

Ammassi di galassie

• Le zone in cui la densita’ di galassie e’ piu’ alta sono dette ammassi di galassie. La sovradensita’puo’ raggiungere il 100%, mai molto di piu’.

• E’ piu’ facile vederli in X che in visibile, perche’negli ammassi, tra una galassia e l’ altra, e’presente del gas caldo (104K).

• Esistono anche zone sottodense di galassie, dette “vuoti”, ma la loro presenza e’ stata evidenziata solo con lo studio della distribuzione 3-D delle Galassie, quindi ci torneremo dopo

L’ ammasso di Galassie della Vergine

L’ ammasso di Galassie di COMA

Cluster X con galassie ottichesovrapposte

RXJ1347.5-1145

Misure di distanza• Non possiamo misurare le distanze cosmiche con

un righello, e quindi abbiamo bisogno di altre definizioni operative di distanza.

• Per le sorgenti piu’ vicine (all’ interno della nostra Galassia) si utilizzano metodi geometrici

• Per le sorgenti piu’ lontane si usa la distanza di luminosita’ (vedi dopo)

• Facciamo ora una rassegna di questi metodi, che permettono di costruire la “scala di distanze cosmologiche” (cosmological distance ladder).

Moti apparenti• Se si eseguono misure molto

accurate di posizione (astrometria), ci si accorge che il moto apparente di alcune stelle e’ la sovrapposizione di un moto rettilineo e di uno oscillatorio.

• Esempio: stella di Barnard.• Quello oscillatorio ha un

periodo di un anno. Si puo’pensare quindi che sia dovuto alla rivoluzione della Terra intorno al Sole.

La parallasse annua• Il moto oscillatorio annuale

e’ facile da spiegare, ed e’un moto apparente(chiamato parallasse annua) dovuto alla rivoluzione della Terra intorno al Sole.

• Le stelle piu’ vicine al sistema Terra-Sole appariranno proiettate in posizioni diverse dello sfondo di stelle lontane a seconda della posizione della Terra nella sua orbita.

Dicembre Giugno

Giugno

Dicembre

Vista daSopra

L’ effetto sara’ importantesolo per stelle alla cui distanzal’ orbita terrestre sottende unangolo misurabile. Le stelle moltolontane appariranno “fisse”.

3

Ordini di grandezza. Il parsec.• Il raggio dell’ orbita terrestre R e’ di 149.6

milioni di km (1 U.A.).• Per angoli piccoli, la relazione tra angolo p

sotteso dal raggio dell’ orbita terrestre e distanza della stella dal Sole d e’ semplicemente p=R/d.

• Il parsec e’ una unita’ di misura delle distanze, presa convenzionalmente pari ad 1 quando la parallasse annua e’ di 1 secondo d’ arco (1/3600 di grado, o 4.85×10-6 radianti, o 1€ a 5.6 km di distanza).

• 1 parsec = R / 1” = 3.06×1013 km = 3.26 anni luce, e la distanza di una stella in parsec e’semplicemente l’ inverso della sua parallasse misurata in secondi d’ arco: d(pc)=1/p(”) .

p

R

d

Come si misurano accuratamente le posizioni delle stelle

• Per secoli lo strumento astrometricoprincipale e’ stato il cerchio meridiano.

• Si tratta di un telescopio con un solo grado di liberta’, quello di declinazione. L’ asse di rotazione e’ accuratamente allineato nel piano orizzontale, e perpendicolare al meridiano nord-sud.

• Per la stella in studio, si registrano l’istante di transito al meridiano e la sua declinazione.

• In questo modo si usa la rotazione terrestre come un sensibilissimo strumento di misura dell’ ascension retta: l’ istante di transito puo’ essere determinato a mano con precisione di 0.1s, che corrisponde a 1.5” di A.R. Con cronometri elettrici o elettronici si puo’fare molto meglio.

Il telescopio a griglia• Un metodo elettro-ottico per misurare accuratamente il transito

delle stelle e’ basato su un telescopio corredato da una fitta griglia di fenditure nel piano focale, e da un rivelatore veloce di intensita’ luminosa (un fotomoltiplicatore).

foto

mol

tiplic

ator

e

TelescopioGriglia

focale

Il telescopio a griglia• Il moto angolare apparente della stella provoca il movimento

della sua immagine nel piano focale del telescopio. A causa della griglia (di passo P) la luce della stella arriva e non arriva al fotomoltiplicatore, producendovi un segnale alternato alla frequenza

foto

mol

tiplic

ator

e

TelescopioGriglia (passo P)

focale FP

FPxNf θ&&& ===

x

θ

• Il treno di impulsi alla frequenza f viene confrontato con un preciso orologio elettronico (clock) a frequenza ancora piu’ alta.

• Questo permette di ricavare l’ istante di passaggio della stella in ciascuna delle fenditure con precisione pari al periodo del clock (assumendo una griglia perfetta) o all’ imprecisione relativa del passo delle fenditure se la griglia non e’perfetta.

• Da questi dati si puo’ stimare il passaggio della stella al centro del telescopio con precisione pari alla precedente diviso per la radice del numero N di fenditure (che puo’ essere molto alto, alcune migliaia).

• La velocita’ angolare apparente della stella puo’ essere resa molto alta se si fa ruotare il telescopio, montandolo su un satellite nello spazio. ω=1 rpm, f > 160 Hz, T <6ms , dT < 10-4s

• E’ quanto e’ stato fatto con l’ esperimento Hipparcos (HIgh Precision PARallaxCOllecting Satellite) dell’ Agenzia Spaziale Europea.

• La precisione di determinazione delle posizioni delle stelle e’ risultata di circa 2 millisecondi d’ arco, ovvero l’ angolo sotteso da una monetina a 3000 chilometri di distanza.

Il telescopio a griglia, rotante

f

clock

N

Hipparcos• In Hipparcos vengono combinati sullo stesso piano focale a griglia i raggi di

luce provenienti da due telescopi puntati a 58o uno dall’ altro. • Il fotomoltiplicatore e’ “imaging”, cioe’ produce segnali indipendenti per

stimoli luminosi incidenti in posizioni diverse della sua area sensibile.• Con questo strumento, dallo sfasamento dei due segnali, si puo’ misurare con

grande precisione la posizione relativa di due stelle che si trovano a grande distanza angolare l’ una dall’ altra.

GrigliaPrincipale,2688 fenditure

Griglie secondariePer misurare anche l’ elevazione

Direzione scansionePiano focale del telescopio

25 mm

4

Risultati di Hipparcos• Lo strumento principale di Hipparcos ha prodotto un catalogo di 118218 stelle,

per ciascuna delle quali sono state determinate Ascension Retta, Declinazione, Parallasse Annua (e quindi la distanza), Moto Proprio con precisioni migliori di 2 millisecondi d’ arco. Il che vuol dire che si possono misurare con precisione del 10% distanze di stelle fino a circa 50 pc (circa 160 anni luce).

• Lo star-mapper ausiliario ha prodotto un catalogo (chiamato Tycho-2) con 2539913 stelle con precisione simile.

• I risultati sono disponibili a tutti tramite consultazione del sito web ESA di Hipparcos, e distribuiti su CD.

• Esempi: – Stella di Barnard = HIP87937:

• Parallasse annuale = (549.01+0.76) mas• μα = (797.84+0.95) mas/anno• μδ = (10326.9+1.1) mas/anno

– Proxima Centauri = HIP70890: • Parallasse annuale = (772.33+2.52) mas• μα = (-3775.64+1.52) mas/anno• μδ = (768.16+1.82) mas/anno

Risultati di Hipparcos• Le ricadute scientifiche sono state innumerevoli.

• Una molto affascinante e’ la misura della deviazione dei raggi di luce provenienti dalle stelle lontane a causa della curvatura dello spazio dovuta al campo gravitazionale del Sole. Questa fu la prima prova della teoria della relativita’ generale di Einstein, fatta nel 1917 con raggi di stelle che passano molto vicino al sole. In quel caso, l’effetto e’ di pochi secondi d’ arco.

• Con la precisione di Hipparcos, mille volte superiore, e’ possibile rivelare l’effetto anche per stelle a 90o dalla direzione del sole, cioe’ su decine di migliaia di stelle del catalogo principale, ottenendo cosi’ una elegante verifica della relativita’ generale.

1”

Terra

Sole

Luna (eclisse)

Gaia• La precisione nella

determinazione dei moti propri puo’ essere aumentata notevolmente ripetendo la misura a molti anni di distanza.

• Questo e’ uno dei motivi scientifici che hanno portato alla proposta della missione GAIA, un satellite per astrometriache permettera’ di misurare la posizione di un miliardo di stelle, anche molto distanti dal Sole.

Galassia con dentroCerchio di 150 ly

Immagine di Gaia

Il diagramma HR assoluto• Per le stelle misurate da Hipparcos e’ possibile misurare il

flusso e ricavare (sapendo la loro distanza) la loro luminosita’ assoluta.

• In terminologia astronomica: la magnitudine mV e’ legata al flusso misurato: mV=-2.5Log FVla magnitudine assoluta MV e’ legata alla Luminosita’ assoluta: viene convenzionalmente definita come la magnitudine apparente che avrebbe la stella a 10 pc di distanza: mV(10pc)=MV. Siccome il flusso scala come la distanza al quadrato, in generale MV = mV - 5Log(D(pc)/10)ovvero MV = -2.5Log{LV/[4π(10pc)2]} relazione che non si usa mai, ma che mostra che MV dipende solo dalla luminosita’ assoluta della stella

Il diagramma HR assoluto• Per le stesse stelle si puo’ inoltre misurare l’ indice di colore, ovvero il

rapporto tra i flussi ricevuti in due diverse bande di lunghezza d’ onda, ad esempio Blu (440nm) e Visuale (giallo/verde, 550 nm):

• B-V= mB-mV . • Questo e’ un indicatore della temperatura superficiale della stella.

Assumendo che una stella emetta come un corpo nero si ottiene B-V=-2.5Log[B(νB,T)/B(νV,T)]=-1.21+7090/T.

• Empiricamente si ha che B-V=-0.865+8540/T• Analoghe relazioni valgono per altri rapporti, come V-I etc.• Si puo’ allora costruire il diagramma HR assoluto (luminosita’

assoluta vs temperatura o, equivalentemente, magnitudine assoluta vsindice di colore)

• Questo diagramma posiziona stelle in diverse fasi della loro evoluzione in posizioni differenti, e dipende solo dalla fisica delle stelle, e quindi, in ultima analisi, dalle leggi fisiche che pensiamo siano le stesse ovunque nell’ universo.

• Il diagramma HR delle stelle misurate da Hipparcos e’ un diagramma assoluto.

• Puo’ essere confrontato con diagrammi relativi (basati sulle magnitudini apparenti) di gruppi di stelle piu’ distanti. La differenza tra i due diagrammi sara’ dovuta solo alla distanza, che potra’ quindi essere determinata dal confronto.

• Si usano gruppi abbondanti di stelle in modo da eliminare variazioni locali che possono modificare la relazione L(T) per la singola stella.

Il diagramma HR assoluto

5





SequenzaPrincipale (H)





Giganti (He)





Nane Bianche

Il diagramma HR e la distanza di LMC• Uno di questi gruppi di stelle

tutte piu’ o meno alla stessa distanza e’ la Grande Nube di Magellano, (LMC) una piccola galassia satellite della nostra.

Galassie satellitidi Andromeda

LMC

100000 anni luce = 1 miliardo di miliardi di Km 1 milione di anni luce = 10 miliardi di miliardi di Km

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Il diagramma HR e la distanza di LMC• Dal confronto tra il diagramma HR della LMC ottenuto da HST e

quello della nostra Galassia determinato di Hipparcos si ottiene la distanza della LMC con una precisione di circa 10% (comp.chimica):

• DLMC = 10pc 10(22-4)/5 = 50kpc o DLMC = 10pc 10(19.25-0.75)/5 = 50kpc

Le Cefeidi• Le variabili cefeidi sono stelle

pulsanti. Sono stelle che si trovano tra la sequenza principale e la branca delle giganti rosse. La pulsazione deriva dalla contrazione ed espansione dell’ involucro esterno della stella, che si scalda e si raffredda.

Qual’e’ la Cefeide ?

Le Cefeidi• In M100 sono visibili circa 30 cefeidi. • Nelle LMC e SMC molte centinaia !

Le Cefeidi• Osservando le cefeidi della

LMC (tutte piu’ o meno alla stessa distanza da noi), si e’visto che il periodo di pulsazione e’ ben correlato alla luminosita’ assoluta.

• La Calibrazione ottenuta in questo modo per le Cefeidifondamentali valeMV = -2.765 Log P(giorni)+ +17.044

• MV = –4, quindi sono circa 100 volte piu’ luminose delle giganti rosse del diagramma HR, e sono visibili fino a 50 Mpc di distanza, quindi in molte galassie anche lontane. Udalski et al. Acta Astronomica 49 201 (1999)

10 milioni di anni luce = 100 miliardi di miliardi di Km Distance Indicators

FLD

DLF L

L ππ 44 2 =→=θ

θ ll=→= A

A

DD

Knowna‐priori

measurable

Knowna‐priori

measurable

7

Distanza di Luminosita’• Per sorgenti piu’ lontane, si utilizza la Distanza di

Luminosita’: da F=L/4πD2 , con F=flusso misurato (in W/m2), L =luminosita’ intrinseca (in W), D=distanza (in m), si definisce DL= (L/4πF)1/2

• La maggior parte delle misure di distanza sono quindi basate su sorgenti di luminosita’ L nota a priori, dette “candele standard”.

• Le candele standard vengono calibrate utilizzando una sequenza di metodi di stima di distanze sempre piu’ grandi.

• Parallassi, Cefeidi, Tully-Fisher, Supernovae, Etc.• Questi metodi diventano sempre piu’ imprecisi all’

aumentare della distanza delle sorgenti.

Supernovae• Sono esplosioni di stelle che avvengono quando la

gravita’ non puo’ piu’ essere contrastata dalla pressione prodotta dalle reazioni nucleari interne.

• Il fato di una stella dipende dalla sua massa iniziale:– M<0.4M : troppo fredda per fondere He in C e O.

Finisce la sua vita come “nana bianca” di He.– 0.4M <M<4M : troppo fredda per fondere C e O in

elementi piu’ pesanti. Non arriva a creare Fe. Finisce la sua vita come “nana bianca” di C e O.

– M>4M : E’ abbastanza calda da fondere C e O in elementi piu’ pesanti. Le stelle molto massive(supergiganti) creano tutti gli elementi fino al Fe.

Supernovae• Si crea un nucleo di Fe con massa maggiore di 1.4 M

(limite di Chandrasekar) che collassa in meno di 1 s, arrivando a densita’ dell’ ordine di quelle del nucleo atomico.

• Qui la pressione ferma il collasso (stella di neutroni) ed il nucleo rimbalza indietro, formando un’ onda d’urto che si propaga agli strati piu’ esterni della stella, espellendoli.

• Questo viene visto dall’ esterno come supernova.• La luminosita’ dell’ evento e’ dell’ ordine di 1-4 miliardi di L .

• La SN brilla per circa 1-2 settimane, poi decade con una curva di luce molto caratteristica.

• Queste supernovae sono dette “di tipo II” e si riconoscono perche’ nello spettro mostrano righe dell’ H.

Dopo Prima

SN 1987A in LMC

Crab Nebula (1054)

Rotazione del Sole• Esposizione multipla

ottenuta con lo strumento MDI del satellite SOHO

• Sono sovrapposte le immagini del sole in alcuni giorni dell’ agosto 1999

• I gruppi di macchie ruotano con la fotosfera

• Periodo di rotazione: circa 1 mese (dipende dalla latitudine)

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Conservazione del momento angolare:le pulsar - 1

•Le stelle normali ruotano. •Quando finisce il combustibile nucleare, sparisce la pressione interna e la stella si puo’ contrarre fino a diventare una stella di neutroni, un oggetto compatto con diametro D = 10 km•Conservazione del momento angolare: Iω = costante, ma I va come D2 e ω va come 1/T, quindi D2/T deve rimanere costante da prima a dopo il collasso.

Conservazione del momento angolare: le pulsar - 2

• Il nuovo periodo puo’ essere ricavato da Dnuovo

2/Tnuovo= Dvecchio2/Tvecchio

• Con diametro Dvecchio=100000 km, e Tvecchio= 1 mese = 2592000 s.Si ottiene Tnuovo = 0.025 s, cioe’ circa 40 rotazioni al secondo !

• Devono quindi esistere piccole stelle ruotanti molto velocemente

• Questo e’ stato verificato sperimentalmente, sono le cosiddette PULSAR

Conservazione del momento angolare: le pulsar - 3

Immagine dell’ Hubble SpaceTelescope della pulsar nella nebulosa del granchio (CRAB nebula) T = 0.033 s

Generazione di impulsi luminosi nelle Pulsar

Esempi di segnali da diverse pulsar (solo 1 periodo)

Le Supernovae di tipo 1a• C’e’ un altro modo di superare il limite di Chandrasekhar: e’ quanto

avviene nelle SN di tipo I, che non hanno righe dell’H nello spettro.• Si pensa che siano esplosioni termonucleari di nane bianche, che

superano la massa di Chandrasekhar (1.4 M ) a causa dell’accrezione di materia o a causa della caduta su di esse di una compagna.

• Quando il limite viene superato, la stella inizia ad implodere e si scalda tanto da iniziare la combustione esplosiva di Carbonio/Ossigeno in 56Ni.

• La luminosita’ e’ creata dal decadimento di 56Ni in 56Co e poi in 56Fe. • Siccome la massa iniziale di 56Ni e’ sempre vicina alla massa di

Chandrasekhar, la loro luminosita’ e’ sempre la stessa. E’ anche stata trovata una relazione empirica tra luminosita’ al picco e durata della curva di luce, che permette di correggere piccole disomogeneita’ intrinseche.

• le SN1a sono quindi candele standard molto precise ed estremamente luminose (fino a migliaia di Mpc di distanza).

• Sono pero’ eventi molto rari (uno per secolo per galassia)

Le Supernovae

7 SN1a di cui si sa la distanza perche’ appartengono a galassie con Cefeidi

Luminosita’al massimoCurve di luce

Suntzeff et al. A.J. 117 1175 (1999)

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Le Galassie come candele standard• Le Galassie hanno una caratteristica che permette di

misurarne la luminosita’ assoluta: la dispersione di velocita’.

• La velocita’ di una sorgente e’ misurabile tramite l’effetto Doppler sulle righe spettrali di tale sorgente Δλ/λ = v/c : sorgenti composte da piu’ parti in movimento

mostrano quindi righe allargate.• D’ altra parte la dispersione di velocita’ e’ un indice della

massa di una galassia. Piu’ massa c’e’, piu’ velocemente le diverse stelle orbitano intorno al centro e quindi maggiore è la dispersione delle velocità.

• Ma anche, piu’ massa c’e’ e maggiore sara’ la luminosita’ della Galassia. Quindi Δv e MV devono essere proporzionali, come si verifica usando galassie con Cefeidi. Madore B.F. et al., Ap.J. 515 29 (1999)

La distribuzione 3D delle galassie• Avendo stabilito dei metodi per misurare le distanze,

potremmo cominciare a convertire la distribuzione 2D delle Galassie proiettate sul cielo in una distribuzione 3D delle galassie nello spazio

• In un sistema di riferimento polare la proiezione 2D da’le due coordinate angolari (es. ascension retta e declinazione), mentre la distanza da’ la coordinata radiale.

• Si dovrebbe quindi, per ogni galassia, vedere se c’e’una Cefeide, o una SN1a, o misurare la dispersione di velocita’ per applicare il metodo Tully Fisher etc.

• Gia’ Edwin Hubble nel 1930 si accorse che per le galassie c’e’ una correlazione tra distanza e velocita’relativa a noi.

Misure di velocita’: effetto Doppler• Le velocita’ si misurano

facendo la spettroscopia delle sorgenti. Gli spettri stellari e galattici mostrano serie di righe di assorbimento o emissione delle quali e’ ben nota la lunghezza d’ onda di laboratorio.

• Se la sorgente si muove rispetto a noi, con velocita’apprezzabile, le serie di righe appaiono spostate rispetto a quelle misurate in laboratorio. Δλ/λ = v/c;

• Si definisce Δλ/λ = z

Luce dalla stella

Prisma o reticolo

Lastra fotografica

rosso blu e violetto

z=0

z=0.158

Righe dell’ idrogeno

Esempi di misure di z

• Non e’ facile per galassie lontane, perche’ il rapporto segnale rumore per le righe puo’essere basso, e potrebbero capitare poche righe nella banda accessibile allo spettrometro. Vedi esercizio:

• http://www.astro.ucla.edu/~wright/Zguess.html

Velocita’ delle galassie• Se le velocita’ delle

galassie fossero distribuite a caso, come le molecole di un gas, si dovrebbero misurare velocita’ relative rispetto a noi sia positive che negative (alcune si allontanano e altre si avvicinano a noi).

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Velocita’ radiali delle galassie• Se le velocita’ delle

galassie fossero distribuite a caso, come le molecole di un gas, si dovrebbero misurare velocita’radiali (e quindi z) sia >0 che <0

• Si ha invece sperimentalmente che, a parte poche galassie molto vicine, z e’sempre >0 (redshift), e puo’ essere anche molto grande !

N(z)

z

Redshift delle galassiePSCzSaunders et al.MNRAS 200018351 galassieEntro circa 60 Mpc

0 20000 40000 600000

1000

2000

3000

N(z

)

cz (km/s)

• Le Galassie sembrano allontanarsi tutte da noi.

• E con velocita’sempre piu’ alta tanto piu’ sono distanti. nm

In the star which is at rest with respect to us, or in a laboratory standard, the line wavelengths are 393 & 397 nm from Ca II [ionized calcium]; 410, 434, 486 & 656 nm from H I [atomic hydrogen]; 518 nm from Mg I [neutral magnesium]; and 589 nm from Na I [neutral sodium].

Banda visibile

• Legge di Hubbleda misure di Cefeidi

• Legge di Hubble:cz=HoD

Madore B.F. et al., Ap.J. 515 29 (1999)

• Legge di Hubbleottenuta tramite il metodo di Tully-Fisher

• Legge di Hubbleottenuta tramite le Supernovae1a

Velocita’

dist

anza

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Riess et al.

La costante di Hubble• La costante Ho nella relazione cz=HoD e’ detta

Costante di Hubble e vale circa 70 km/s/Mpc, ovvero 1/(1.4x1010 anni).

• Siamo partiti per studiare la distribuzione nello spazio delle galassie e abbiamo trovato invece una legge fondamentale della dinamica dell’ Universo, a prima vista sorprendente.

• Rimandiamo la sua interpretazione, e torniamo alla distribuzione tridimensionale delle Galassie.

• Useremo lo spostamento verso il rosso per stimare la distanza: grazie alla legge di Hubble una misura di distanza si riduce ad una misura di posizione delle righe spettrali.

La distribuzione 3D: redshift

surveys• Alcuni telescopi sono

stati dedicati a misurare sistematicamente i redshift di un grande numero di galassie, in modo da costruire la loro distribuzione nello spazio

• Las CampanasRedshift Survey: circa 25000 galassie (1996)

La distribuzione 3D: redshift

surveys• Sloan Digital Sky

Survey: Redshift e immagini di circa un milione di galassie !

• 2DF survey: circa 250000 galassie.

Il Telescopio Anglo-Australiano (4 m)

Uno spettrometro a fibre ottiche automatizzato

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2dF multi-object facility at AAT Distribuzione delle Galassie:• da cosi’ (2D)

• a cosi’ (3D)

δ

α

z

Colles et al. 20012dF surveyPosizioni e redshift di 2x105 galassie(copre 2 gradi quadrati di cielo)

• Sloan Digital SkySurvey

• Telescopio dedicato e spettrometro a fibre ottiche.

• Piu’ di 1 milione di galassie !

http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/

Omogeneita’ ?• Abbiamo visto che la distribuzione delle galassie

in 2D e’ approssimativamente isotropa• La distribuzione in 3D sembra essere

approssimativamente omogenea; disturba pero’ il fatto che via via che si aumenta la sensibilita’ delle survey di galassie si scoprono strutture sempre piu’ grandi, e di solito confrontabili con le dimensioni stesse della survey.

• Possiamo concludere che l’ Universo e’ isotropo e omogeneo a grandi scale (principio cosmologico)? Prossima lezione.

1

Riassunto• A larga scala, le galassie sono distribuite in modo

approssimativamente isotropo sulla sfera celeste• la distribuzione a larga scala nel volume tridimensionale

si presenta come una spugna, con vuoti ed ammassi, ed anche ammassi di ammassi (superammassi) che formano filamenti grandi decine e anche centinaia di Mpc

• Le galassie hanno righe spettrali spostate verso il rosso, con spostamento percentuale z=Δλ/λ proporzionale alla distanza da noi: cz=HoD

• La legge di Hubble e’, per noi, empirica. Notate che non ho usato la formula dell’ effetto Doppler e non ho legato cz ad una velocita’. (Di solito invece trovate scritto v=HoD e i grafici sono spesso di D in Mpc in funzione di v in km/s).


Riess et al.

Toccare con mano:esercizio sulla legge di Hubble

http://oberon.roma1.infn.it/lezioni/corso_astrofisica_1/esercizio_legge_di_hubble.pdf

Applicazione: Legge di Hubble da z e DA

• Si hanno a disposizione immagini e spettri per un campione di galassie.

• L’ idea e’ che galassie morfologicamente simili dovrebbero essere il risultato di una evoluzione simile e quindi avere tutte dimensioni simili, anche se si trovano a distanze diverse da noi.

• Dalle immagini si misura la dimensione angolare θ=d/D• Dagli spettri si misura il redshift z=δλ/λ• Si grafica v=cz in funzione di D=d/θ. Dalla pendenza si

stima Ho.

Criteri di selezione• Vogliamo lavorare solo con galassie a spirale,

perche’:– E’ piu’ facile dire se ce n’e’ un gruppo tutto con la

stessa morfologia – per le ellittiche e’ difficile !– E’ piu’ facile confrontare gli spettri e vedere se ce n’e’

un gruppo con spettri simili. Per le spirali si hanno sia righe di assorbimento che di emissione, perche’ sono galassie in attivita’ di formazione stellare. Le ellittiche sono vecchie ed hanno soprattutto righe di assorbimento.

• Esempi:

2

Tipi

che

S pira

li

Righe di emissione

Tipi

che

E ll it

tiche

Righe di assorbimento

NGC2276

0.6 mrad

4.33 mrad

La scala dell’ immagine dipende dalla lunghezza focale del telescopio:

Scala(rad/mm)=1/f(mm)

Va cercato sempre l’ asse maggiore per evitare errori dovuti all’inclinazione della galassia

Per non sottostimare le dimensioni l’ asse maggiore deve arrivare fino all’ estremo limite dove ancora si vede luce.

Il diametro medio delle spirali di questo tipo e’ di 22 kpc

4.33 mrad

Le righe di assorbimento del calcio sono molto comuni, e ce ne sono due vicine.

In nero le lunghezze d’ onda di laboratorio.

La riga Hα dell’ idrogeno in emissione e’ anch’essa comune.

Per tutte le righe deve valere

....1labLyαy

Lyα

labH,Ca,

HCa,

labCaK,

KCa, ====+λλ

λλ

λλ

z

Righe piu’ comuni nei QSO• 6563A H alfa• 5007 OIII• 4956 OIII• 4861 H beta• 4363 OIII• 4340 H gamma• 4102 H delta• 3969 H epsilon• 3869 NeIII• 3728 OII• 2799 MgII

• 1909 CIII• 1549 CIV• 1402 SiIV OIV• 1241 NV• 1216 Ly alfa

3

Riga Ca K(dagli spettri)

DiametroAngolare(dalle immagini)

D(Mpc)=22/θ(mrad)z=(λobs-λlab)/λlab

QSO

• Mostrano righe di emissione• Hanno redshift alto z>1• Esempi: (dalla Sloan DSS)

Legge di Hubble e velocita’• Interpretando il redshift come effetto Doppler classico dovremmo

concludere che per le galassie piu’ lontane v>c :

• Oppure dovremmo usare la teoria special-relativistica dell’ effetto Doppler, concludendo che le galassie piu’ lontane recedono da noi a velocita’ vicine alla velocita’ della luce:

• Dove vr e’positiva lungo la linea di vista (allontanamento). Quindi

cc

z >→=Δ

=< vv1λλ

c

c

cu

cu

r

r

v1

v1

cos1

1 2

2

rest

obs

+

−=

+

−=

θνν

( )( ) 11

11vv1

v11 2

2

obs

rest

rest

obs

++−+

=→−

+===+

zz

cc

czνν

λλ

Il problema del Redshift

• Le velocita’ di allontanamento non sono velocita’ che corrispondono a spostamento di masse rispetto al sistema di riferimento.

• Si risolve con la relativita’ generale.• La soluzione e’ molto semplice: le

lunghezze d’ onda si allungano perche’ tutte le lunghezze si allungano !

Omogeneita’ ?• Abbiamo visto che la distribuzione delle galassie

in 2D e’ approssimativamente isotropa• La distribuzione in 3D sembra essere

approssimativamente omogenea; disturba pero’ il fatto che via via che si aumenta la sensibilita’ delle survey di galassie si scoprono strutture sempre piu’ grandi, e di solito confrontabili con le dimensioni stesse della survey.

• Possiamo concludere che l’ Universo e’ isotropo e omogeneo a grandi scale (principio cosmologico)? Prossima lezione.

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• <(δN/N)2> vale 0.4 per r=20h-1Mpc.

• Cioe’ spostando a caso una sfera di circa 30 Mpc di diametro non e’ difficile trovare zone molto sottodense δN/N=-1 (grandi vuoti) o molto sovradenseδN/N=+1 (ammassi di galassie).

• Secondo questo modello, a scale molto piu’ grandi (es. 300 Mpc) l’ universo dovrebbe essere molto piu’omogeneo: si trova infatti <(δN/N)2> < = 0.1 per r = 150Mpc.

Peacock and Dodds(1994, MNRAS, 267, 1020)

•Purtroppo le survey di redshift con profondita’ maggiore non sono ancora disponibili.

•Pero’ abbiamo dei conteggi proiettati a diverse profondita’. Oltre ad APM e SW ci sono:

• Distribuzione delle galassie di IRAS: campione selezionato in base al flusso limite.

• Sono stati misurati tutti i redshift. Contiene galassie fino a 300 Mpc; la maggior parte delle galassie e’intorno a 150 Mpc.

• Se si contano le galassie in scatole cubiche di lato 40 Mpc, si trova che la fluttuazione percentuale dei conteggi e’ del 50%:

δN/<N> = 0.5 + 0.1• A questa scala quindi le

fluttuazioni sono minori di quelle a scale piu’ piccole, dove avevamo visto fluttuazioni di densita’ delle galassie in corrispondenza di ammassi e di grandi vuoti dell’ordine del 100%

Saunders et al. 1991, Strauss et al. 1992.

Galassie di IRAS

www-astro.physics.ox.ac.uk/~wjs/pscz.html

• Distribuzione delle 30000 radio sorgenti piu’ brillanti a λ=6 cm (Gregory e Condon 1991).

• Sono in gran parte radiogalassie e quasar a distanze di migliaia di Mpc. (z=1 tipicamente)

• Sono quindi oggetti peculiari, estremamente piu’ brillanti delle galassie normali.

• Il campionamento e’ quindi molto profondo, ma anche molto sparso, e si perde il dettaglio fine della distribuzione delle galassie.

• La isotropia della distribuzione a larga scala e’ evidente.

Radiosorgenti

• Distribuzione in proiezione polare delle posizioni di 31000 radio sorgenti intense a 6 cm Il polo nord celeste e’ al centro del cerchio. Il cerchio piu’ esterno corrisponde a una latitudine di X gradi.

• Distribuzione del fondo di radiazione X tra 2 e 20 keV.

• E’ prodotto da miriadi di sorgenti non risolte presenti lungo la linea di vista fino a distanze di migliaia di Mpc. (z=1 tipicamente)

• La isotropia della distribuzione a larga scala (a parte il piano della nostra Galassia) e’ evidente.

• La densita’ colonnare di materia che emette su box di 3ox3o e’isotropa entro meglio del 3% .

• Per il fondo di radiazione a microonde che, vedremo, proviene ancora da piu’ lontano, l’ isotropia e’ migliore dello 0.01%.

Fondi di radiazione Dall’ isotropia all’ omogeneita’• La tendenza ad una distribuzione sempre piu’ isotropa con l’

aumentare della profondita’ del campione c’e’.• Questo e’ un segno di omogeneita’.• In realta’ potremmo costruire un modello di universo

isotropo ma non omogeneo, a simmetria sferica, in cui c’e’un gradiente di densita’ radiale. Questo sarebbe compatibile con le osservazioni, ma richiederebbe che la nostra posizione nell’ universo fosse vicino al centro di simmetria. Un altro osservatore lontano dalla nostra posizione osserverebbe un universo molto anisotropo.

• Dal punto di vista filosofico post-copernicano questo modello e’ molto insoddisfacente.

• Dal punto di vista fisico la migliore evidenza contro questo modello e’ la stabilita’ di <(δN/N)2> per conteggi sempre piu’ profondi.

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Un modello alternativo• E’ stato proposto un modello geometrico-frattale della

distribuzione delle galassie, che spiega correttamente la distribuzione a scale < 100Mpc.

• Un insieme frattale e’ una distribuzione irregolare• La geometria elementare descrive entita’ a dimensioni intere

(linee, di dimensione 1, figure su un piano, di dimensione 2, solidi di dimensione 3 etc.) ma non puo’ descrivere oggetti irregolari, come ad es. i cristalli di neve, o le nuvole.

• Questi sistemi hanno un numero di componenti presenti entro una certa distanza che non scala come una potenza intera della distanza. Ad esempio il numero di goccioline d’acqua in una nuvola non scala come il cubo del volume considerato, cioe’ come r3, ma scala piuttosto come r2.2. Si dice che la dimensione frattale della nuvola e’ 2.2.

Un modello alternativo• Il modello alternativo propone che le galassie siano

distribuite nello spazio con una dimensione frattale D=1.23.• Si puo’ dimostrare che a piccole scale il modello frattale e’

perfettamente equivalente ad un modello omogeneo con funzione di correlazione ξ(r)=(ro/r)γ e γ=3-D.

• La differenza e’ a grandi scale.• In un qualsiasi modello frattale la densita’ non e’ una

costante valida a qualsiasi scala. La densita’ definita come numero di particelle in un volume V dipende dal volume, ed in generale diminuisce all’ aumentare del volume.

• Questo permette di fare un test. Per il modello omogeneo la densita’ dovrebbe rimanere costante all’ aumentare del volume, mentre per il modello frattale dovrebbe diminuire.

Un modello alternativo• Ci potremmo trovare in una situazione di questo genere, dove il cerchio rosso

delimita l’ universo osservato:

• Per verificare il modello frattale occorre un campione molto piu’ ampio che non per il modello omogeneo

Modello frattale

Modello omogeneo

• Nell’ ipotesi frattale la distribuzione delle galassie non e’una distribuzione analitica.

• Concetti come la densita’ media dell’ universo e la funzione di correlazione perdono senso.

• L’ universo e’ fortemente inomogeneo, ma puo’ essere isotropo grazie all’ effetto di proiezione

• L’ universo e’ statisticamente lo stesso per diversi osservatori

• Per ora, le dimensioni del campione di galassie non sono sufficienti a discriminare tra i due modelli. Tutti i cataloghi profondi non sono angolarmente ampi, e tutti sono limitati in flusso, quindi alle piu’ grandi distanze selezionano solo le galassie intrinsecamente piu’luminose.

• Sia i dati SDSS che quelli della 2dF survey non sono consistenti con il modello frattale.

Non solo galassie• Vedremo che in realta’ l’ universo non e’ fatto di sole

galassie. La galassie visibili sono solo le punte degli Iceberg che formano l’ universo. La distribuzione della massa potrebbe essere diversa dalla distribuzione della luce, ed essere, in particolare, piu’ omogenea.

• Per ora, il modello frattale non e’ stato esteso in modo da spiegare queste cose, e nemmeno l’ evidente isotropia dei fondi di radiazione extragalattica (X e radio, che sono prodotti da sorgenti discrete non risolte, e a microonde, prodotto dal plasma primordiale). Sembra piuttosto improbabile che l’ elevatissima isotropia del fondo a microonde sia compatibile con la forte disomogeneita’ del modello frattale.

• Nel seguito assumeremo valido il Principio Cosmologico

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Principio Cosmologico

• L’ Universo e’ isotropo ed omogeneo a grandi scale (>100 Mpc)

• E’ un principio che permette di semplificare enormemente il modello di universo, definendo una densita’ media uguale ovunque, e funzione solo del tempo cosmico.

• Il principio e’ dimostrabile a partire dall’ isotropia e da considerazioni copernicane.

Isotropia ed omogenenita’

• Se, ad esempio, assumiamo che esistano due osservatori nell’universo che osservano un universo isotropo, dimostriamo facilmente che l’ intero universo deve essere omogeneo.

• L’ isotropia intorno a B implica che C,D,E hanno la stessa densita’. Ma allora tutto il volume tra le due sfere blu deve avere la stessa densita’, perche’ formato da sfere che intersecano la sfera rossa. Aumentando il diametro delle sfere si arriva a dimostrare che tutto l’ universo e’ omogeneo.

B

AC

E

D

Principio Copernicano

• Gli umani non sono osservatori privilegiati.• Vediamo miliardi di galassie nelle quali si

potrebbero formare le condizioni favorevoli per la vita e per avere osservatori simili a noi.

• Assumiamo che anche loro osservino un universo isotropo, e quindi che l’ Universo sia omogeneo.

Isotropia, omogeneita’ e legge di Hubble

• Ma le galassie non sembravano recedere tutte da noi ? Questo sembrerebbe un esempio di universo con simmetria radiale, isotropo ma disomogeneo.

• Non e’ vero. La recessione delle galassie e’ ben compatibile con l’ isotropia e con l’ omogeneita’.

• Consideriamo un osservatore che percepisca un universo isotropo. Non solo la densita’ deve essere solo funzione di r, ma anche non ci devono essere direzioni privilegiate per altre grandezze fisiche, come ad esempio la velocita’.

Isotropia e legge di Hubble• Il campo della velocita’ v in generale e’ funzione della

posizione vi=vi(x,y,z). Nell’ intorno dell’ osservatore potra’ essere decomposto in serie del tipo v=C+Dr+.. dove C e’ un vettore costante (C=0 se noi siamo a riposo) e D e’ un tensore formato dalle derivate parziali dvi/dxj .

• D puo’ essere sempre scomposto in una parte antisimmetrica Ω, corrispondente alle rotazioni, piu’una parte simmetrica Σ, detta tensore di shear: il vettore velocita’ al primo ordine puo’ essere scritto

v= Σ•r+Ω∧r.

Isotropia e legge di Hubble• v= Σ•r+Ω∧r. • Ma per rispettare l’ isotropia, Ω=0 (altrimenti ci sarebbe

una direzione privilegiata, quella attorno a cui si ruota) • Inoltre le componenti principali di Σ devono essere

uguali, altrimenti si avrebbero di nuovo direzioni privilegiate, quelle ad esempio di maggiore velocita’.

• Ne segue v= Η r dove H e’ una costante.• Quindi il campo di velocita’ di Hubble (in espansione o

contrazione) e’ l’ unico campo di velocita’ compatibile con l’ isotropia. Qualunque altro campo la violerebbe.

• Ad esempio un campo quadratico v=Hr2 non sarebbe compatibile.

7

Omogeneita’ e legge di Hubble

• Il campo di Hubble é anche compatibile con l’ omogeneità, perchè non abbiamo fatto nessuna ipotesi sulla posizione dell’ origine.

• Se supponiamo che valga per noi dr1/dt=Hr1 e anche dr2/dt=Hr2, allora anche d(r1-r2)/dt=H(r1-r2), cioè il generico osservatore sulla galassia 2 vede una espansione di Hubbleidentica a quella che osserviamo noi.

noi

1

2

r1

r2

r1-r2

Esempio del panettone che lievita. Il panettone prima della lievitazione ha un diametro di 20 cm; dopo 2 ore in forno ha un diametro di 40 cm. Indichiamo con una freccia la nostra uvetta di riferimento.

L’ uvetta che inizialmente era a 5 cm dalla nostra, dopo 2 ore si trova a 10 cm dalla nostra. La sua velocità di allontanamento e’ di 2.5 cm/ora.

L’ uvetta che inizialmente era a 10 cm dalla nostra, dopo 2 ore si trova a 20 cm dalla nostra. La sua velocità di allontanamento e’ di 5 cm/ora.

Distanza doppia implica velocita’ doppia di allontanamento: la Legge di Hubble è conseguenza naturale di una espansione isotropa dello spazio.

Avrei potuto scegliere un’altra uvetta di riferimento!

Densità e composizione dell’universo

• Vedremo che il principio cosmologico ci permettera’ di scrivere le proprieta’ geometriche dell’ universo (metrica) in modo estremamente semplice.

• Avremo bisogno però anche di una conoscenza piu’ precisa della composizione dell’ Universo.

• Cioè di che cosa contribuisce alla densità, oltre alle galassie di cui abbiamo parlato.

• In un universo in espansione, la densità e la velocità sono collegate. Utilizzeremo per ora un approccio Newtoniano, sulla cui validità ci sono molti dubbi.

1

Principio Cosmologico• Nella scorsa lezione abbiamo visto che le

osservazioni della distribuzione delle galassie, delle radiosorgenti, e dei fondi di radiazione, suggeriscono l’ isotropia dell’ Universo a grandi scale.

• Uniti a considerazioni di tipo Copernicano, queste osservazioni suggeriscono che l’ universo sia anche omogeneo a grandi scale.

• Da qui il Principio Cosmologico: L’ universo e’omogeneo e isotropo a grandi scale (>40 Mpc).

• Abbiamo anche visto che l’ espansione dello spazio espressa dalla legge di Hubble e’ compatibile con un universo omogeneo e isotropo.

Espansione e densita’

• Vogliamo ora studiare la dinamica di un universo omogeneo e isotropo, e legarla alle osservazioni, prima fra tutte quella dell’espansione cosmica, parametrizzata dalla costante di Hubble Ho (km/s/Mpc).

• Consideriamo quindi un universo riempito di materia. Date le proprieta’ particolarmente semplici di omogeneita’, le sue proprieta’ a grande scala sono descritte semplicemente da uno scalare, la densita’ ρ(t).

• Presa una origine qualsiasi, consideriamo uno strato sferico di raggio r e massa m, che partecipa all’ espansione cosmica.

• Durante l’ espansione deve conservarsi l’energia meccanica della massa m.

• L’ attrazione gravitazionale della massa interna a r fara’ diminuire l’ energia cinetica e aumentare quella potenziale.

r

m

O


• Avremo quindi

dove M e’ la massa interna ad r. La massa esterna ad r, infinitamente estesa, non da’ nessun effetto. Va anche notato che sia lo strato di massa m che la massa interna a m partecipano alla stessa espansione, quindi M non cambia, cioe’ ρr3 = cost.Quindi

• Qui C e’ una costante, proporzionale all’ energia totale, che per comodita’ prendiamo pari a

• Con ro raggio attuale della sfera, k una costante con dimensioni di una lunghezza-2, c velocità della luce.

rO

Er

MmGm =−2v21

CrGEr

mrGm =−→=− 223

2

38v

34v

21 ρπρπ

222222

38v oo rkcrGrkcC −=−→−= ρπ

M

m


• La dinamica del sistema dipende dalla costante k (cioè dall’ energia totale):– Se k>0, l’ energia totale è negativa, e la shell a un

certo punto terminerà l’ espansione e si contrarrà(vedi proiettile lanciato con velocità inferiore a quella di fuga)

– Se k <0, l’ energia totale è positiva, e l’ espansione continua senza limiti (vedi proiettile con velocitàmaggiore della velocità di fuga)

– Se k =0 l’ energia è nulla, e l’ espansione continua rallentando fino a fermarsi dopo un tempo infinito.

• Il principio cosmologico richiede che l’espansione proceda nello stesso modo per qualunque sfera. Ad es. il tempo necessario a raddoppiarne le dimensioni deve essere identico ovunque. Possiamo esprimere questa proprieta’introducendo il fattore di scala a(t).

r

m

O

2222

38v orkcrG −=− ρπ

Fattore di scala• Siccome l’ espansione e’ un fenomeno

globale, fattorizzeremo le distanze cosmiche r in un termine costante χ(che descrive le posizioni relative, e detto distanza comovente) per un termine dipendente dal tempo a(t) e comune a tutti gli osservatori (detto fattore di scala), che vale 1 oggi.

• Quindi, per la sfera che abbiamo considerato prima, χ e’ pari a ro, il raggio attuale della sfera: r(t)= ro

• L’ espansione di Hubble

• puo’ essere scritta • da cui

r1 (t) = χ1 a(t)

r2 (t) = χ2 a(t)

r3 (t) = χ3 a(t)

HrrHr =→= &vHaaaHHrra =→=== &&& χχ

oo a

aHaaH

&&== e

1

2

3

Equazione di Friedmann

• Inserendo le espressioni in termini di a :

nella

si ottiene

che, valutata oggi, da’

• Quindi

• ρc,o e’ detta densita’ critica.

2222

38

orkcrGr −=− ρπ&

HaaHrrarr o === && ;;

2222222

2 38

38 kcaGHrkcrG

rr

o −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −→−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− ρπρπ

&

22

38 kcGH oo −=− ρπ

oco

ooo GHGHsek ,

22

83

380 ρ

πρρπ ≡=→==

oco

oco

seksek

,

,

00

ρρρρ

<<

>>

3229, g/cm1088.1

km/s/Mpc100

h

hH

oc

o−×=

→=

ρ

2

• Il rapporto è detto parametro di densità.

• Tornando all’ Equazione di Friedmann:e ricordando che

si ottiene o anche

che possiamo integrare per trovare l’ evoluzione del fattore di scala a, nei tre casi k=0, k<0, k>0. La soluzione dipende dalle costanti k, Ho, Ωo ,ρo (delle quali solo due sono indipendenti).

22

38 kc

aGa o −=−ρπ

&

101010

<Ω<>Ω>=Ω=

o

o

o

sekseksek

GH

GH

ooc

oc

oo

cc

πρ

ρρ

πρ

ρρ

83;

83;

2

,,

2

==Ω

==ΩUniverso “piatto”

Universo “chiuso”

Universo “aperto”

dove

oc

oo

c ,

;ρρ

ρρ

=Ω=Ω

222

38 kcaGH −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − ρπ

ooo arr ρρρρ =→= 333

Da otteniamo inoltre22

38 kcGH oo −=− ρπ ( ) 22 1 kcH oo =−Ω

( ) ( )ooo H

aGa Ω−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− 11

38 22 ρπ

&

• Il valore di k (o equivalentemente quello di Ωo) è legato alla curvatura dello spazio.

• Per vederlo, dobbiamo lavorare sulla geometria dello spazio-tempo per un universo omogeneo e isotropo, e sulla relatività generale.

• La geometria dello spazio-tempo è caratterizzata dalla metrica, cioèdalla formula che descrive la distanza tra due eventi spazio-temporali.

• Nell’ 800 i matematici scoprirono che era possibile studiare spazi non euclidei, nei quali il normale teorema di Pitagora per l’espressione della distanza in funzione delle coordinate non vale.

• Questi spazi sono curvi.• Prendiamo come esempio di spazio curvo in 2 dimensioni la

superficie di una sfera di raggio R. Per accorgerci che siamo su uno spazio curvo, essendo vincolati a rimanere sulla superficie, dobbiamo lavorare sulle distanze.

Curvatura

• Sulla sfera la distanza tra due punti P1 e P2 e’ data da:

• Dove r e’ la coordinata polare radiale sul piano.

• Ma r=Rsinθ, e quindi

• in termini di coordinate polari sul piano

Curvatura

x y

zdl

P1P2θ

φ

R

( ) ( )222 ϕθ rdRdd +=l

( )222 /1cos

cos

Rr

drdrrR

RdrRd

dRdr

−=

−==

→=

θθ

θθ r

( )( )

( ) ( )22

2

2

2

2

2

1/1ϕϕ rd

Krdrrd

Rr

drd +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−=l

• dove con K=1/R2 abbiamo indicato la curvatura della sfera.

• Adesso consideriamo la generalizzazione ad uno spazio curvo con una dimensione in piu’ (il nostro spazio tridimensionale con in piu’la dimensione temporale).

• In termini delle coordinate sferiche a 3 dimensioni, la formula per la distanza spaziale tra due punti valida sulla superficie sferica bidimensionale

viene generalizzata passando a coordinate sferiche:

• Dove adesso r e’ la distanza dall’ origine in 3 dimensioni. Mentre per il caso bidimensionale avevamo potuto “uscire” dallo spazio e vedere la terza dimensione per derivare la metrica dal disegno, qui non ci e’ possibile fare una rappresentazione quadridimensionale.

Curvatura

( ) ( )22

2

2

1ϕrd

Krdrd +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=l

( ) ( ) ( )222

2

2 sin1

ϕθθ drrdKr

drd ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=l

• Adesso consideriamo la distanza totale (spaziale piu’ temporale) tra due punti (eventi) nello spazio a 4 dimensioni. Per il principiocosmologico, non c’e’ motivo che il tempo scorra in modo diverso in punti diversi. Il termine di distanza temporale e’ quindi semplicemente cdt. Avremo quindi

e, usando la

otteniamo

dove K (la curvatura dello spazio) e’ l’ inverso di una lunghezza e quindi dipende dal tempo come 1/a2.

Curvatura

( ) 2222lddtcds −=

( ) ( ) ( )222

2

2 sin1

ϕθθ drrdKr

drd ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=l

( ) ( ) ( )222

2222 sin

1ϕθθ drrd

Krdrdtcds −−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

• Adesso consideriamo la distanza totale (spaziale piu’ temporale) tra due punti (eventi) nello spazio a 4 dimensioni. Per il principiocosmologico, non c’e’ motivo che il tempo scorra in modo diverso in punti diversi. Il termine di distanza temporale e’ quindi semplicemente cdt. Avremo quindi

e, usando la

otteniamo

dove K (la curvatura dello spazio) e’ l’ inverso di una lunghezza e quindi dipende dal tempo come 1/a2.

Curvatura

( ) 2222lddtcds −=

( ) ( ) ( )222

2

2 sin1

ϕθθ drrdKr

drd ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=l

( ) ( ) ( )222

2222 sin

1ϕθθ drrd


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

X=(x1, x2, x3, x4)=(x,y,z,ict)Consistente, a meno di un segno, con Minkowski:

3

• A questo punto inseriamo il fattore di scala a(t), tale che r(t)=a(t)χ, dove χ e’ la coordinata comobile (costante).

• Otteniamo

• Definiamo inoltre k=Ka2. • k e’ costante, perche’ la curvatura scala come 1/a2. • Si ottiene la Metrica di Robertson-Walker:

Curvatura( ) ( ) ( )22

2

2222 sin

1ϕθθ drrd


⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−= 22

2

22

2222 sin)(1

)( ϕθχθχχ

χ ddtKa

dtadtcds

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−= 22

2

2

2222 sin1

)( ϕθχθχχ

χ ddk

dtadtcds

• In relativita’ generale e’ la metrica (geometria) che determina le forze e viceversa. Le Equazioni di Einstein infatti collegano la curvatura dello spazio alla

• Quando Friedmann utilizzò la metrica di RW inserendola nelle equazioni di Einstein, arrivò esattamente all’ equazione

• Il vantaggio, rispetto alla nostra derivazione Newtoniana, è che in questo contesto è chiaro il significato di k: si tratta della curvatura dello spazio.

Equazioni di Einstein

222

38 kcaGH −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − ρπ

Tc

GG 4

8π−=

Tensore di curvatura (derivato dalla metrica)

Tensore Impulso-Energia

( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−= 22

2

2

2222 sin1

)( ϕθχθχχ

χ ddk

dtadtcds

Equazione di Friedmann• Per trovare la soluzione a(t), dovremo specificare ρ(t), cioè definire le

diverse componenti dell’ universo e la loro densità.• Nel caso di materia non relativistica il numero di particelle si

conserva, quindi ρ(t) va come 1/R(t)3: quindi

• e, in termini di densità critica attuale

• Se questa fosse l’ unica forma di energia presente, avremmo Ωο =ΩΜοe l’ equazione di Friedmann

• diventerebbe

3

)(1)()( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tatt oMM ρρ

cMocc

oMoM

tt ρρρ

ρρ Ω==)()(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

232

22

32 1)1(11)1(13

)(8aa

Ha

Ha

tGaa

MoMooMoooMρπ&

)1(38 222

2

ooHkcaGaa

Ω−=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ρπ&

Equazione di Friedmann (n.r. matter)

• In questo caso, le soluzioni dell’ equazione sono di due tipi a seconda del valore di ΩMo. Si noti che ä<0 per ogni t: l’ espansione dell’ universo e’ comunque decelerata. Siccome oggi da/dt>0 si possono avere solo due casi:

• espansione infinita o espansione seguita da collasso.

(da/dt)o>0

to t

a(t)(da/dt)o>0

to t

a(t)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

232

2 1)1(1aa

Haa

MoMoo&


• Se ΩMo<=1, da/dt non puo’ annullarsi, si ha quindi una espansione eterna. L’ universo proviene da uno stato a densita’ infinita a t=0 (il Big Bang) ed espandera’ senza limite.– Se ΩMo=0 (universo “vuoto”) allora a(t)=ao[t / Ho

-1] (espansione a velocita’ costante). L’ eta’ dell’ universo e’ Ho

-1

– Se ΩMo=1 l’ equazione e’ integrabile facilmente e la soluzione e’a(t)=ao[t /(2/3)Ho

-1]2/3 . L’ eta’ dell’ universo in questo caso e’(2/3)Ho

-1 , minore del caso precedente perche’ la gravita’ la decelera: quindi l’ espansione doveva essere piu’ veloce nel passato che oggi, e l’ universo impiega meno tempo a raggiungere le dimensioni attuali.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

232

2 1)1(1aa

Haa

MoMoo&


• Se ΩMo>1, da/dt puo’ annullarsi: si ha quindi una espansione seguita da una contrazione. La massima espansione si raggiunge per da/dt = 0, che succede per a=amax tale che

cioe’ per

Abbiamo quindi il big bang seguito dal “big crunch”.• Quanto detto sopra vale solo se l’ universo e’ riempito sempre

e solo di materia non relativistica. Non e’ il caso reale !

01)1(12

max

3

max

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

aa MoMo

1max −ΩΩ

=Mo

Moa

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

232

2 1)1(1aa

Haa

MoMoo&

4

Il redshift• Consideriamo una sorgente in coordinata χ1• I fotoni emessi dalla sorgente si propagano radialmente

verso di noi lungo la coordinata χ, e occuperanno sequenzialmente tutte le coordinate tra χ1e 0.

• Dalla metrica FRW

• si avra’

21)(χχ

kdtacdt

−=

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−= 22

2

2

2222 sin1

)( ϕθχθχχ

χ ddk

dtadtcds

Il redshift• Supponiamo che una cresta dell’ onda luminosa sia

emessa al tempo t1 e ricevuta a to; la cresta successiva sara’ emessa a t1+λ1/c e ricevuta a to+λo/c. Siccome χ1 e’una costante, varra’

• Ma i tempi λo/c e λ1/c sono << di Ho-1, il tempo tipico di

variazione di a(t). Quindi si puo’ considerare a(t) costante all’ interno dei nuovi integrali. Si ottiene allora

• La lunghezza d’ onda dei fotoni si allunga quindi nello stesso modo delle distanze intergalattiche.

∫∫∫∫∫+++

+=⇒==

−

ct

t

ct

t

ct

ct

t

t

oo

o

ooo

tacdt

a(t)cdt

tacdt

a(t)cdt

kd ///

/0

2 )()(1

11

1111

1 λλλ

λ

χ

χχ

)1()()(

)()(1

11

1

1

ztata

ctac

ctac oo o

o

+==⇒=λλλλ

t1 t1+λ1/c to+λo/cto t

Componente Relativistica• Nell’ universo ci sono fotoni che sono evidentemente relativistici.

Anche i neutrini senza massa si comportano nello stesso modo. Chiameremo questa componente “radiazione”.

• Durante l’ espansione la densita’ di energia in radiazione si ridurra’per due motivi: – la diluizione delle particelle in volumi sempre piu’ grandi (a-3)– la diminuzione di energia di ciascuna particella dovuta all’

allungamento della lunghezza d’ onda (a-1)• Possiamo quindi scrivere ρR~a-4 cioe’

44

)(1)(

)(1)()( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω=Ω→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

tat

tatt RoRoRR ρρ

Costante Cosmologica

• Una ulteriore possibilita’ e’ che ci sia una forma di energia indipendente dal tempo, che non si diluisce con l’ espansione.

• Viene chiamata Costante Cosmologica e indicata con Λ. Fu introdotta in modo del tutto empirico da Einstein, ed e’ stata riesumata per spiegare il comportamento di supernovae ad alto redshift.

• Un esempio fisico di energia con queste proprieta’ e’ l’ energia del vuoto. Il modello standard della fisica delle particelle non riesce a calcolarla correttamente.

• In questo caso

ΛΛΛ Ω==G

Ht oo π

ρρ83)(

2

Equazione di Friedmann (generale)• Sommando le diverse componenti dell’ energia abbiamo

dove

• E’ utile differenziare l’ equazione di Friedmann per capirne l’andamento. Si moltiplica per [a/ao]2 ambo i membri

• e si differenzia rispetto a t:

• Si ha quindi

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 1)1(11aaa

Haa

oMoRoo&

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+Ω−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω= Λ

22

22 )1(11 aaa

Ha oMoRoo&

ΛΩ+Ω+Ω=Ω MoRoo

aaaa

Haa MoRoo &&&&⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−= Λ21122

232

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−= Λa

aaHa MoRoo

232 1

211

&&

Parametro di decelerazione

• E’ evidente che materia e radiazione tendono a decelerare l’espansione (quando sono dominanti, ä<0)

• Invece la componente di costante cosmologica tende ad accelerare l’espansione (quando e’ dominante, ä>0).

• E’ utile introdurre il parametro di decelerazione

• utilizzando le eq. precedenti per (da/dt) e ä, e valutandole per t=to si ottiene

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω−= Λa

aaHa MoRoo

232 1

211

&&

oo a

aaq 2&

&&−=

ΛΩ−Ω+Ω

= RoMo

oq2

5

Parametro di decelerazione• Si puo’ sviluppare in serie a(t) nell’ intorno di t=to:

• E quindi

• Quindi qo descrive le deviazioni dalla linearita’ nell’ espansione, e quindi nel diagramma di Hubble (distanza vs. redshift) :

( ) ( )

( ) ( ) ...211

....211)(

22

2

+−−−+=

=+−+−+=

ooooo

oooo

ttqHttH

ttattata &&&

( ) ( )[ ]{ }...1)( 2+−−−+= ooooo ttHqttHta

Il diagramma di Hubble• Consideriamo la solita sorgente in χ1 e supponiamo

che abbia luminosità L=hν(dN/dt). • Il flusso ricevuto da noi sarà F= hνο(dN/dto)/A dove

A è l’ area della sfera di raggio χ1 cioè A=[4π χ12]

• Quindi F=hνο(dN/dto)/[4π χ12].

• Ma hνο =hν/(1+z) e l’ intervallo di arrivo dei fotoni èdto=dt(1+z) per cui

F= L/[(1+z)24π (χ1)2]• La distanza di luminosità della sorgente è definita da

F = L/[4πD2L ] e quindi

DL = (1+z)χ1

Il diagramma di Hubble• DL = (1+z)χ1• Per ottenere il diagramma di Hubble DL(z) si dovra’

esplicitare la dipendenza da z di χ1

• Utilizzando le diverse espressioni dell’ equazione di Friedmann si ottiene

• Per sorgenti relativamente vicine (z<<1) si ottiene

∫∫+

==o

zo

o aa

t

t a(t)tacda

a(t)cdt

)1(1

1

)(&χ

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω=

1

)1(11 2/12342 ])1([z aaaa

daHc

oMoRooχ

][ ...2

111 ++

−= zqHzc o

o

χ

Il diagramma di Hubble• Per sorgenti relativamente vicine (z<<1)

si ottiene

• E quindi

• Nella quale si riconosce la legge di Hubble nel primo termine, ed una deviazione da essa a z maggiori.

• Costruendo sperimentalmente un diagramma di Hubble e’ quindi possibile determinare due parametri cosmologici importanti: Ho e qo.

][ ...2

111 ++

−= zqHzc o

o

χ

][ ...2

11 +−

+= zqHzc o

oLD

DL oppureM-m

z

qo<1

qo>1

qo=1

qui pendenza c/Ho

ΩΛ

ΩΜο

-qo

Che cos’e’ ?

Il diagramma di Hubble e ΩΛ• Abbiamo visto gia’ che la parte piu’

difficile dell’ esperimento consiste nella misura delle distanze: si devono trovare delle “candele standard” delle quali sia nota la luminosita’ assoluta, per cui dalla luminosita’ apparente si puo’ inferire la distanza DL.

• Negli ultimi anni le misure di supernovae di tipo 1a ad alto z hanno evidenziato una tendenza a disporsi piu’ sulla curva con qo<1 che su quella con qo>1, favorendo un valore di qo~ – 0.6.

• Questo fornisce un vincolo tra ΩMo e ΩΛ : qo = ΩMo /2 - ΩΛ (trascurando ΩR) che implica ΩΛ >0.

1

Evoluzione dell’ Universo Omogeneo e Isotropo

• Nella scorsa lezione abbiamo visto che l’ espansione dell’ universo e’ derivabile in modo Newtoniano studiando la dinamica di una distribuzione omogenea e isotropa di massa.

• L’ evoluzione del fattore di scala a(t) e’ determinata dall’ equazione di Friedmann.

• La relativita’ generale – la teoria corretta della gravitazione - da’esattamente la stessa risposta: l’ equazione di Friedmann puo’essere derivata dalle equazioni di campo di Einstein.

• Questa derivazione permette di collegare la curvatura dello spazio alla densita’ di massa-energia presente nell’ universo.

• Abbiamo anche visto che il redshift e’ una conseguenza necessaria dell’ espansione dell’ universo: le lunghezze d’ onda dei fotoni si allungano esattamente quanto le altre lunghezze presenti nell’universo. Questo fatto e’ indipendente dai parametri cosmologici.

Equazione di Friedmann (generale)• Tornando all’ equazione di Friedmann, e’ utile definire ΩKo=(1-Ωo)

• Si puo’ vedere che succede quando dominano le diverse densita’ di energia, che hanno dipendenza molto diversa dal fattore di scalaa(t): log ρ

log a

ρR~a-4

ρM~a-3

ρK~a-2ρΛ~a0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

Fase di radiazione

• Siccome [da/dt]o>0, l’ universo era piu’ “piccolo” in passato.

• Per fattori di scala abbastanza piccoli (e quindi abbastanza indietro nel tempo), indipendentemente dalla sua entita’attuale, domina la radiazione:

• e quindi

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

242

2 11⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

aH

aa

aH

aa

RooRoo&&

dtHadaa

Hdtda

aH

aa

RooRooRooo

Ω=⇒Ω=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=

11&

{ } ( ) 2/12/12

2)(2

tHtatHaoRoRoo Ω=⇒Ω=

Expansion vs Horizon

time

size of the considered region

Prima di una certa epoca, la velocità di espansione era maggiore della velocitàdella luce !!


time

size of the horizon


In a Universe made of matter and radiation, the expansion rate decreaseswith time.


time

size of the horizon



So a region as large asthe horizon when the CMB is released ….

380000 y

2


time

size of the horizon



… has never beencausally connectedbefore

380000 y


time

size of the horizon



… nor has beencausally connected tosurrounding regions

380000 y


time

size of the horizon


According to the inflationtheory ….

…had been causallyconnected to the surrounding regionsbefore inflation

380000 y

A region as large as the horizon when the CMB isreleased ….

time

size of the horizon


10-36 s

normal

evolution

Infla

tion:

expo

nent

ial

expa

nsio

n

time

size of the horizon


10-36 s

Here the horizoncontains all of the universe observabletoday

Infla

tion:

expo

nent

ial

expa

nsio

n

normal

evolution Fase di radiazione

• La fine dell’ epoca di radiazione ed il susseguirsi delle epoche successive dipende dalle entita’ relative di ΩRo,, ΩMo, ΩKo.

• Se ΩMo>> ΩKo dopo la fase di radiazione c’e’ una fase in cui domina la materia.

a(t)

Hot

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

3

Fase di materia

• Se ΩMo >> ( ΩKoa , ΩΛa3 ) e la radiazione e’ diventata trascurabile, (cioe’ a > aeq = ΩRo/ΩMo ), comincia una fase in cui domina la materia.

• Allora [da/dt/a]2 = Ho2 ΩMo[1/a(t)]3 e quindi a(t) ~ t2/3

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

a(t)

Hot

ΩRo/ΩMo

equivalenza

a

Hot

t1/2

t2/3

Dopo la fase di materia

• La fine della fase di materia dipende dai valori relativi di ΩKo=1-Ωo e ΩΛ .

• Primo caso: ΩΛ=0 (universi “aperti” e “chiusi” classici)• Se Ωo>1 e ΩΛ~ 0, allora l’ espansione raggiunge un massimo per

amax=ΩMo/(Ωo -1) e poi si inverte, ricollassando in una nuova era di radiazione (big crunch).

• Se Ωo<1 e ΩΛ~ 0, allora l’ epoca di materia e’ seguita da un’epoca di curvatura, in cui domina il termine (Ωo -1) e si ha una espansione libera:[da/dt/a]2 = Ho

2 ΩKo [1/a(t)]2 e quindi a(t) ~ t

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

ΩΛ=0a(t)

t

amax= ΩMo/(Ωo -1)

Ωο>1

Ωο=1

tta ∝)(

Ωο<13/2)( tta ∝

Dopo la fase di materia • Secondo caso: ΩΛ>0• Se Ωo<1 e ΩΛ> 0, allora l’ espansione e’ eterna. L’ epoca

di materia e’ seguita o da un’epoca di curvatura quando l’equazione di Friedmann e’ dominata dal termine (Ωo -1) oppure da un’epoca di “vuoto”, quando l’ equazione di Friedmann e’ dominata dal termine in ΩΛ.

La fase di vuoto • Se Ωo=1 e ΩΛ> 0, allora l’ espansione e’ eterna ed

esponenzialmente accelerata. [da/dt/a]2 = Ho

2 ΩΛ e quindi a(t) ~ exp[ Ho ΩΛ1/2 t ]

per a > aΛ = [ΩMo/ΩΛ]1/3

• Se Ωo>1 e ΩΛ> 0, allora l’ espansione puo’ non essere eterna (questo caso e’ sfavorito dalle osservazioni).

• Le misure di supernovae (ΩΛ> 0) e di anisotropie del fondo cosmico a 3K (Ωo=1) sembrano indicare che oggi ci si trovi gia’ in una fase di vuoto.

• Per specificare meglio quali sono le varie fasi e quando avvengono, dobbiamo fare un inventario della composizione dell’ universo in termini delle quattro componenti che compaiono nell’ equazione di Friedmann.

4



log a

ρR~a-4

ρM~a-3

ρK~a-2ρΛ~a0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2 111aaa

Haa

KoMoRoo&

Radiazione e Materia RelativisticaΩR

• Nell’ universo ci sono particelle relativistiche: fotoni, neutrini ed antineutrini.

• I fotoni piu’ abbondanti nell’ universo sono i fotoni del fondo cosmico a microonde (CMB = cosmic microwavebackground).

• I fotoni della CMB hanno uno spettro di corpo nero molto preciso, a Tγ=2.725K, e cioe’

411 γ/cm3.

0 5

brightness temperature of the sky (K)at ν=150 GHz

• The CMB dominates the sky brightness at mm wavelengths

• And is very much isotropic: the early universe was very homogeneous

Evoluzione di un corpo nero nell’universo in espansione

• La densita’ specifica di energia di un corpo nero e’:

• Quindi la densita’ di energia e’

• A causa di redshift e di espansione sappiamo che la densita’ di energia scala come a-4, mentre la lunghezza d’ onda scala come a-1: si ottiene quindi:

( )

( ) ( )18

18

18

118

53

4

3

3

3

2

−=

−==

−=

−=

kThckTh

kThkTh

ehc

echuu

ech

eh

cu

λννλ

ννν

λπ

λνπ

λν

νπνπν

4

; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

oooo aa

dudu

aa

oλλ

λλ

λ

λ

( ) λλ

πλ λλ de

hcdu kThc 18

5 −=

Evoluzione di un corpo nero nell’universo in espansione

aaTT o

o=( ) okThc

oo

okT

aahc

o

o

oo

kTaahc

oo

ooo

de

hcdu

d

e

hcdu

aad

eaa

hcaadu

aadu

ooo

oo

o

oo

o

λλ

πλ

λ

λ

πλ

λ

λ

πλλ

λλ

λλ

λλλ

18

1

8

1

8

5

5

55

44

−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

=⇒

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

• Uno spettro di corpo nero rimane uno spettro di corpo nero, ma varia la sua temperatura come l’ inverso del fattore di scala.

Radiazione e Materia RelativisticaSi pensa che i fotoni della CMB pervadano tutto l’ universo. Per vari motivi:

• La loro distribuzione angolare e’ incredibilmente isotropa.• L’ Universo e’ incredibilmente trasparente alle microonde.• Si misura l’ effetto Compton inverso che il gas presente

negli ammassi di galassie provoca sui fotoni della CMB (effetto Sunyaev-Zeldovich). Questo significa che i fotoni della CMB provengono almeno da piu’ lontano di z=0.1 (ammasso piu’ lontano in cui e’ stato osservato)

• Si misura l’ andamento della temperatura del fondo a microonde con il redshift. Questo segue l’ andamento aspettato per un fondo di radiazione che espande insieme all’ universo.

5

Noi

CMB

clusterad altoredshift

220 GHz

150 GHzCMBCMB

CMB

CMB

Effetto Sunyaev-Zeldovich:(Scattering compton inverso dei fotoni CMB da parte degli elettroni nel plasma che pervade l’ammasso di galassie)Si vede ad alti redshift (fino a circa z=0.8) quindi la CMB proviene da un redshift maggiore: non puo’ essere un fenomeno locale.

Radiazione e Materia Relativistica• L’ andamento della

temperatura con il redshift e’stato verificato sperimentalmente misurando la temperatura di eccitazione di alcune molecole in nubi dove l’ interazione con i fotoni del fondo cosmico e’l’ interazione dominante [vedi Srinand et al. Nature 408 931 (2000)].

• Un nuovo metodo, promettente, e’ quello di misurare la frequenza dello zero dell’ effetto SZ in ammassi ad alto redshift(Battistelli et al. 2003).

La CMB e’ di gran lunga il fondo di fotoni dominante. La sua energia e’ molto maggiore di quella emessa dalle stelle. Inoltre il fondo a microonde e’ dominante rispetto agli altri fondi extragalattici di radiazione.

Si puo’ calcolare quindi Ωγ=ΩCMB=5.06 10-5

[ao/a]4 Per calcolare ΩRdovremo sommare ΩCMBe Ων .

Radiazione e Materia Relativistica

1

Equazione di Friedmann e Ωi• Nella scorsa lezione abbiamo visto che l’ evoluzione del

fattore di scala a(t) e’ descritta dall’ equazione di Friedmann

• Questa equazione implica un universo non statico.• Abbiamo cominciato a vedere l’ effetto delle diverse forme

di massa-energia Ω. Abbiamo anche cominciato a valutare la loro entita’ nell’ Universo.

• Per la radiazione, abbiamo visto che la componente in fotoni e’ dominata dalla radiazione cosmica di fondo a 3K, con T=To(1+z) e To=2.725K, ovvero 411γ/cm3: Ωγ=ΩCMB=5.06 10-5 [ao/a]4

• Oggi vediamo le altre forme di massa-energia.

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2

aa

aa

aaH

aa o

Koo

Moo

Roo&

I neutrini• Un’ altra componente di massa-energia relativistica sono i

neutrini (anche senza massa). • Ci sono 3 specie (sapori) di neutrini, νe, νμ, ντ, ed i

corrispondenti antineutrini. Vengono creati in interazioni con i corrispondenti leptoni carichi e,μ,τ.

Decadimento β: (A,Z) ⇒ (A,Z+1) + e+ + νeDecadimento del π: π+ ⇒ μ+ + νμ

Decadimento del τ: τ+ ⇒ π+ + τ• I neutrini interagiscono molto poco con la materia, ma a

temperature T>1MeV lo fanno, quindi sono diventati termici nell’ universo primordiale. Vedremo che la loro temperatura attuale e’ di circa 1.9K.

• Nel caso di neutrini relativistici (senza massa o con bassissima massa), risulterebbe quindi Ων=1.15 10-5 [ao/a]4 .

v

I neutrini massivi• Si pensa che i tre sapori di neutrino νe, νμ, ντ siano in realta’ miscele

(quantomeccaniche) di tre neutrini di massa definita ν1, ν2, ν3, ovvero νf =Σi αfi νi dove f=e,μ,ν.

• Se questo e’ vero, devono avvenire delle oscillazioni da un sapore a un altro durante la propagazione dei neutrini (oscillazioni del neutrino).

• Ad esempio ad una certa distanza dalla sorgente un neutrino π ha una certa probabilita’ di trasformarsi in un neutrino μ.

• Gli esperimenti sui neutrini prodotti dal sole e su quelli prodotti nell’atmosfera terrestre hanno dimostrato che queste oscillazioni esistono.

• Dove L e’ la distanza percorsa in metri, E e’ l’ energia dei neutrini in MeV e la differenza di massa e’ in eV2.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Δ−=

→)48.2cos(1)2(sin

21 2

2'

ELmP ff θ

I neutrini massivi• Per i neutrini creati nell’ atmosfera dai raggi cosmici, attraverso i

processi

• Si puo’ calcolare (in assenza di oscillazioni) il rapporto tra flusso di neutrini muonici ed elettronici, con una accuratezza del 5%.

• Le misure di 4 esperimenti indipendenti mostrano che senza dubbio questo rapporto e’ minore di quanto ci si aspetta in assenza di oscillazioni: R=(Nμ/Ne)misurato/(Nμ/Ne)calcolato=0.65+0.04.

• La discrepanza e’ spiegabile assumendo che i neutrini oscillino e quindi i neutrini muonici scompaiano prima di arrivare al rivelatore, o che i neutrini elettronici appaiano, o che accadano le due cose insieme.

μ

μ

ννμνμπ

++→+→

ee

Il rivelatore SuperKamiokande:11000 fotomoltiplicatorie 25000 tonnellate d’ acquain profondita’. Si rivela laluce Cerenkov dei leptoniprodotti dai neutrini interagendo coi nucleonidell’ acqua.

I neutrini massivi• Per i neutrini emessi dal Sole (calcolabili in modo abbastanza

preciso dai modelli stellari) si osserva un deficit di flusso a terra, spiegabile solo se un certo numero di neutrini a cui l’ esperimento e’sensibile si trasformano in neutrini di altro sapore.

• Purtroppo questi esperimenti sono sensibili solo alle differenze dei quadrati delle masse dei diversi sapori, che risultano essere

• m32-m2

2~10-3eV2 e m22-m1

2~10-5eV2. Quindi differenze molto piccole. E sono solo dei limiti inferiori alle masse. Se si suppone una gerarchia di masse (come per i corrispondenti leptoni) m3>>m2>>m1, allora deve essere m2>0.002eV e m3>0.02eV.

• Questi neutrini sono non relativisitici oggi (mic2>kTν) e Ων>0.0004• D’ altra parte altri esperimenti mostrano che la massa dei neutrini

deve essere comunque < 2 eV (misure dirette) e probabilmente < 0.23 eV (da misure cosmologiche, indirette).

Materia nell’ Universo

Visibile Oscura

nell’ottico:

es. stelle,polvere

in altrebande e.m.

es. gasionizzato

in ammassi

non emette o assorbe

abbastanza daessere rivelata.es. buchi neri

barionica (ordinaria)

fredda,CDM

es. WIMPs, (mai rivelati

in lab.)

calda,HDM

es. neutrini

non barionica

misurata dalla radiazione che emette o assorbe

misurata dalle abbondanze dei diversi elementi tramite la teoria della nucleosintesi primordiale

misurata indirettamente, tramite i suoi effetti

gravitazionali

2

Materia Ordinaria (Barionica)• Per materia barionica in cosmologia si intende la materia

ordinaria, come protoni, neutroni ed elettroni (!).• I barioni luminosi sono quelli che producono luce nelle

stelle e nelle galassie. • Abbiamo visto che a grandi scale l’ universo e’ omogeneo,

con una densita’ di galassie ngal ∼0.005 Mpc-3, che corrisponde a una distanza tipica tra galassie di ∼ 6 Mpc. Questo se si considerano tutte le galassie brillanti.

• In realta’ esiste una popolazione abbondante di galassie a bassa luminosita’, che pero’ contribuiscono poco alla luminosita’ totale.

• La densita’ di luminosita’ media dovuta alle galassie e’J=Lgal ngal=0.005 Mpc-3 · 2 · 1010LA = 108LAMpc-3

Materia Ordinaria (Barionica)• Il rapporto massa/luminosita’ per la parte visibile

di una galassia e’ circa <M/L>=3 MA/LA. • Quindi la densita’ di massa “visibile” in galassie

e’ ρvis=<M/L>J = 3 ·108 LAMpc-3

• Ovvero Ωvis,o=ρvis/ρc=0.002• Ma nell’ universo c’e’ anche materia barionica

non luminosa (almeno nel visibile): polveri e gas interstellari, gas intergalattico. Quindi ΩBo > Ωvis,o

• Le stime di ΩBo provengono da diversi metodi indipendenti. Il piu’ robusto e’ quello della nucleosintesi primordiale.

Materia Ordinaria (Barionica)• Le materia barionica visibile e’ presente in diversi nuclei con

diverse abbondanze. Vedremo che per gli elementi piu’ leggeri (e piu’ abbondanti) e’ possibile stimare le abbondanze relative studiando la loro produzione, che avvenne tramite reazioni nucleari nell’ universo primordiale (nucleosintesi).

• Abbiamo visto che T=To(1+z): per z abbastanza alto la temperatura dell’ universo e’ superiore a 1 MeV, e quindi avvengono reazioni termonucleari di sintesi degli elementi.

• Risultano abbondanze primordiali (in massa) di circa il 75% per Idrogeno e il 25% per l’ Elio. Ma le velocita’ di reazione e quindi le abbondanze finali dipendono dalla densita’ di fotoni.

• Questa materia viene processata nelle stelle, che bruciano idrogeno per produrre elio e poi elementi sempre piu’ pesanti.

Materia Ordinaria (Barionica)• Si possono pero’ osservare

zone di universo in cui le abbondanze prodotte primordialmente non sono state contaminate da processi stellari.

• Confrontando le abbondanze misurate in queste nuvole con quelle primordiali calcolate si ottiene una stima di ΩBo.

• Si ottiene il miglior accordo per ΩBo =(0.04+0.01)

Materia Oscura• Ci sono varie evidenze per la presenza di materia oscura nell’

Universo.• La radiazione cosmica a microonde e’ estremamente isotropa. Per

T>3000K (z>1000) la materia barionica era ionizzata, e i fotoni del fondo cosmico erano fortemente in contatto con la materia grazieallo scattering Thomson. L’ altissima isotropia della radiazione di fondo implica quindi una altissima omogeneita’ della materia barionica nell’ universo primordiale.

• Oggi invece osserviamo strutture (galassie e ammassi di galassie) fortemente disomogenee. Si pensa che si siano formate per collasso gravitazionale partendo da piccole disomogeneita’ iniziali.

• Il problema e’ che in un universo puramente barionico (con barioni in quantita’ ΩBo =0.04) non c’e’ abbastanza tempo e nemmeno abbastanza gravita’ per formare le strutture galattiche tra z=1000 a oggi.

Censimento dell’ Universo : • Materia relativistica (fotoni e neutrini): dalla CMB i

fotoni, per i neutrini vedi dopo, comunque ΩRo<<1 oggi.

• Materia ordinaria (barioni, stelle, gas, etc.) da conteggi e da nucleosintesi ΩBo =(0.04+0.01).

• Materia oscura (non barionica) ? Dalle curve di rotazione, dalla dispersione delle velocità delle galassie negli ammassi, e dalla formazione delle strutture ΩMo=ΩBo +ΩNBo ~ 0.3.

3

Materia Non Barionica• Consideriamo prima un

universo critico (ρ=ρc) con una regione sovradensa (ρ>ρc). Nell’epoca dominata dalla materia la regione critica espandera’ piu’ o meno come t2/3, mentre quella sovracritica arrivera’ ad una espansione massima e poi collassera’, come un mini-universo “chiuso”, diminuendo le sue dimensioni e formando un oggetto gravitazionalmentelegato.

Ω>Ωc

Ω=Ωc

Materia Non Barionica• In un universo a bassa

densita’ la regione leggeremente sovracriticanon e’ abbastanza densa da ricollassare, e continuera’ la sua espansione eterna, seppur ad una velocita’leggeremente inferiore alle regioni circostanti.

• La leggera sovradensita’non e’ sufficiente a rendere l’ energia totale della regione negativa. Quindi non possono formarsi strutture legate.

Ω=0.05

Ω=ΩΒ=0.04

Materia Non Barionica• In un universo ad

alta densita’(sovracritica) la regione leggerementesovradensa non fa in tempo a collassare, perche’ anche il resto dell’ universo ricollassa, e la differenza di densita’ non e’ mai alta abbastanza da permettere la formazione di strutture.

Ω=1.4

Ω=1.3

Quanta Materia Oscura ?• A livello di galassie (curve di rotazione): la

massa oscura è circa 10 volte di più della massa luminosa (stelle).

• A livello di ammassi di galassie (viriale, lensing): la massa oscura è circa 20 volte di piùdella massa luminosa.

• A livello di universo, quindi, ci aspettiamo quindi ΩDM = 10-20 Ωb = 0.2-0.4

• Evidenze a livello globale : CMB, gravitationallensing.

intrinsic CMB anisotropy

Typical deflection: 2.5’

4

lensed CMB anisotropy

Typical deflection: 2.5’

Ωo

• Si puo’ misurare Ωo misurando la geometria dell’Universo: secondo la relativita’ generale la curvatura dello spazio e’ determinata dalla densita’totale di massa ed energia.

• Recenti misure di CMB hanno dimostrato che Ωoe’ molto vicino a 1.

• la somma di ΩBo , ΩMo , ΩRo ,dell’ ordine di 0.04+0.3+ 0.0001 non e’ sufficiente. Deve DAVVERO esistere una ulteriore componente, che potrebbe essere la componente di costante cosmologica ΩΛ=0.7 vista per il diagramma di Hubble delle SN1a.

Ωo

• Ωo , densita’ totale di massa ed energia nell’universo (normalizzata alla densita’ critica) e’ pari alla somma di tutte le densita’:

• Se consideriamo la materia nelle diverse forme che abbiamo incontrato abbiamo che la somma di ΩBo ,ΩMo , ΩRo e’ dell’ ordine di 0.04+0.3+ 0.0001 = 0.35

• Se nell’ universo ci fosse solo la materia (visibile, oscura, relativistica) l’ universo avrebbe densita’inferiore a quella critica (universo “aperto”, o, meglio, a curvatura negativa)

• Problema 1: l’ eta’ dell’ universo.

Eta’ dell’ Universo• Dall’ equazione di Friedmann:

• Il risultato dell’ integrale dipende molto poco dalla radiazione, perche’ la sue densita’ attuale e’ molto piccola rispetto a quella della materia, e quindi bisogna andare molto vicini a t=0 (a=0) perche’diventi il termine dominante nell’ integrale.

∫∫ −ΛΛ

−− Ω−Ω−+Ω+Ω+Ω==

1

02340 ˆ)1(ˆˆˆ

ˆ1aaaa

adHa

datMoMoRoo

a

oo

&

434 103ˆˆˆ −=

−=

−= ×≈

ΩΩ

=⇒Ω=ΩMo

RoMoRo aaa

Eta’ dell’ Universo

• Consideriamo prima il caso ΩΛ =0: L’ eta’ dell’universo e’ quindi funzione solo di ΩMo e Ho.

∫∫ −ΛΛ

− Ω−Ω−+Ω+Ω==

1

0230 ˆ)1(ˆˆ

ˆ1aaa

adHa

datMoMoo

a

oo

&

∫∫ −− Ω−+Ω==

1

0230 ˆ)1(ˆˆ

ˆ1aaa

adHa

datMoMoo

a

oo

&

5

Eta’ dell’ Universo• Risultati sperimentali recenti per Ho:• 1) Cefeidi osservate con Hubble Space Telescope

– Hubble distance scale key project: Ho=(72+8) km/s/Mpc– Sandage: Ho=(57+4) km/s/Mpc

• 2) Ritardi in lenti gravitazionali: Ho=(65+8) km/s/Mpc• 3) Effetto Sunyaev-Zeldovich: Ho=(61+8 + 18) km/s/Mpc• 4) CMB+SN1a: Ho=(71.0+3.5) km/s/Mpc• Evidentemente ci sono ancora parecchi effetti sistematici,

perche’ metodi indipendenti producono valori non compatibili tra loro statisticamente.

• Scegliamo per ora il valore 4: Ho=(71.0+3.5) km/s/Mpc• Vedi anche Altavilla et al. 2004 – astro-ph/0401273

0.1 0.2 0.3 0.4 0.510

12

14

16

18

ΩΛ=0

Ho=71 km/s/Mpc Ho=74.5 km/s/Mpc Ho=67.5 km/s/Mpc

eta'

(Mili

ardi

di a

nni)

ΩMo

• L’ eta’ dell’ universo non puo’ essere inferiore all’ eta’ delle stelle piu’antiche.

• Alcune di queste si trovano negli ammassi globulari nell’ alone della nostra Galassia. Dal diagramma HR di M68, per esempio, si nota che mancano tutte le stelle blu, luminose e massive della alta sequenza principale (B-V<0.4, MV<19). Queste infatti hanno una vita piu’breve (L ~ M3,τ ~ M-2) delle stelle leggere, rosse e deboli della bassa sequenza principale. E’ quindi un ammasso “vecchio”.

• Le isocrone mostrano che il diagramma HR di M68 e’compatibile con una eta’ di 11Gyr 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

10

12

14

16

18

ΩΛ=0


eta'

(Mili

ardi

di a

nni)

ΩMo

ESCLUSO

Eta’ dell’ Universo• Le cose cambiano se si considera la possibilita’ ΩΛ>0

• e quindi to=to (Ho,ΩMo, ΩΛ) e to Ho =f(ΩMo, ΩΛ)

• L’eta’ cresce con ΩΛ. Una accelerazione positiva implica una velocita’ piu’ bassa nel passato (a parita’ di velocita’ odierna Ho) e quindi piu’ tempo per arrivare da a=0 ad a=ao

∫∫ −ΛΛ

− Ω−Ω−+Ω+Ω==

1

0230 ˆ)1(ˆˆ

ˆ1aaa

adHa

datMoMoo

a

oo

&

0.1 0.2 0.3 0.4 0.510

12

14

16

18

ΩΛ=1-ΩM

ΩΛ=0


eta'

(Milia

rdi d

i ann

i)

ΩMo

ESCLUSO

6

• Si possono escludere due regioni del piano ΩMo, ΩΛ sulla base dell’ eta’ dell’ universo.

• Se ΩΛ e’ molto alto e positivo, da/dt e’ passata da 0 nel passato. Quindi l’ universo e’ partito con una fase di contrazione (da una dimensione iniziale infinita, infinito tempo fa). E’ arrivato da una dimensione minima amin (corrispondente a da/dt=0) ed ha rimbalzato riespandendosi. Questo implica un redshift massimo zmax=ao/amin-1.

• Dall’ equazione di Fridemann, trascurando ΩR,

• Siccome osserviamo sorgenti con z=5, si puo’ escludere la regione con zmax<5 e quindi f(ΩMo, ΩΛ) > 1/5, che e’ la regione esclusa in alto a sinistra nel piano ΩMo, ΩΛ.

),(

)1(0

min

2

min

3

min

Λ

−

ΛΛ

−

ΩΩ=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω−Ω−+Ω+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω==

Moo

oMo

oMoo

fa

a

aa

aaH

aa&

• Deve essere quindi to>τ con τ=11Gyr. Anche prendendo il valore piu’ basso di Hocompatibile con le misure (50km/s/Mpc), deve essere Ho to > 0.5.

• Viene quindi esclusa la regione in basso a destra del diagramma ΩMo, ΩΛ

• Se si sostituiscono i valori oggi preferiti ΩMo,=0.3, ΩΛ=0.7, Ho=70 km/s/Mps, si ottiene una eta’ dell’Universo to=14 Gyrs, ben compatibile con le eta’delle stelle piu’ antiche.

• Si noti che un universo con ΩΛ=0 , ΩMo=1, Ho=70 km/s/Mps avrebbe una eta’di 10 Gyrs, incompatibile.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.510

12

14

16

18

ΩΛ=0

Ho=55 km/s/Mpc Ho=51 km/s/Mpc Ho=59 km/s/Mpc

eta'

(Mili

ardi

di a

nni)

ΩMo

ESCLUSO

SE PERO’ LA COSTANTE DI HUBBLE FOSSE 55 km/s/Mpc …

1



log a

ρR~a-4

ρM~a-3

ρK~a-2ρΛ~a0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Ω=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Λ

2342

2

aa

aa

aaH

aa o

Koo

Moo

Roo&

Epoche e dimensioni caratteristiche

• Troviamo quantitativamente alcune epoche e dimensioni caratteristiche dell’ Universo:– Equivalenza– Ricombinazione– Trasparenza– Orizzonte– Curvatura

teq= t dell’ equivalenza• E’ l’epoca alla quale la densita’ di energia in radiazione (che

fino a quell’ epoca ha dominato l’ espansione) diventa uguale alla densita’ di energia in materia.

• Abbiamo visto che ΩR=Ωγ+Ων, dove il secondo termine rende conto dell’ energia in neutrini relativistici.

Ωγ=5.06X10-5 (ao/a)4= 5.06X10-5 (1+z)4

• Ων puo’ essere calcolato come segue.• Ad alte energie le tre specie di neutrini possono essere

prodotte e distrutte tramite la reazione

• Quindi per kT>1MeV i neutrini sono in equilibrio col resto del plasma primordiale, alla stessa temperatura: T=Tγ=Te=Tν.

−+↔ eeνν

teq= t dell’ equivalenza• Ma a kT = 2mec2 = 1 MeV la maggior parte delle coppie

e+e- si annichilano in fotoni, perche’ avviene la reazione

Dopo queste reazioni di annichilazione il numero di fotoni aumenta diventando maggiore di quello dei neutrini, ed i neutrini non interagiscono piu’: si “disaccoppiano”.

• Siccome le distribuzioni sono termiche con n ~ T3, risulta quindi Tγ>Tν per kT < 2mec2 = 1 MeV.

• La temperatura dei fotoni dipende dal numero di specie in equilibrio. Imponendo la conservazione dell’ entropia tra kT>1 MeV e kT<1 MeV si ottiene Tν=( 4/11)1/3Tγ , e nν=(3/11) nγ per ciascun sapore.

• Se i neutrini sono ancora relativistici oggi, Tν=2K e la densita’ di energia e’ ρν=3(7/8)( 4/11)4/3ργ =0.68ργ

γγ→−+ee

teq= t dell’ equivalenza• Allora ΩR=Ωγ+Ων=8.51X10-5 (ao/a)4

• Si puo’ quindi ricavare teq imponendo che ρR(teq)=ρM(teq) e quindi ΩMo (ao/aeq)3=ΩRo (ao/aeq)4, da cui (aeq/ao)= ΩRo / ΩMo=0.85X10-4/ΩMo

• e (1+zeq)= (ao/aeq) ~ 11000, (assumendo ΩMo=0.33, h=0.7), e anche Teq=To(1+zeq) ~ 32000K

• Dall’ equazione di Friedmann dominata dalla radiazione (da/dt/a)2=Ho

2 Ω1/2Ro (ao/a)4 si ricava

facilmente la soluzione t=(a/ao)2/(2HoΩ1/2Ro) da cui

teq~5X104 yrs.

trec= t della ricombinazione• E’ l’epoca alla quale il plasma primordiale si raffredda

abbastanza da diventare neutro, formando i primi atomi di idrogeno.

• elettroni e protoni possono combinarsi in atomi di idrogeno se l’ energia termica e’ inferiore all’ energia di legame: per lo stato fondamentale B=13.6eV.

• In realta’, perche’ si formi un numero rilevante di atomi, la temperatura deve essere molto inferiore a T=B/k=156000K.

• Infatti, l’ equilibrio tra elettroni, protoni, atomi di H e’descritto dall’ equazione di Saha, che si puo’ ricavare utilizzando la formula classica per l’ equilibrio termodinamico:

• dove i=e,p,H. L’ equilibrio e’ mantenuto dalla reazione

kTcmiii

iiehkTmgn /)(

2/3

2

2

2−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅ μ

π

γ+↔+ Hep

2

trec= t della ricombinazione

• Il bilancio del potenziale chimico in questa reazione implica μe+μp=μH . Usando le distribuzioni per gli ni, esprimendo i μi in termini delle densita’ numeriche ni, e definendo l’energia di legame dell’ idrogeno B=(mp+me-mH)c2 si trova l’ equazione di Saha:

• Se η e’ il rapporto tra barioni e fotoni =nb/nγ~5X10-10 , ed x e’ la frazione ionizzata x= ne/nb= np/nb si puo’ scrivere np=ne=xnb =xηnγ e nH=(1-x)nb =(1-x)ηnγ

kTB

eep

H ekTm

hnn

n /2/32

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

π

γ+↔+ Hep

trec= t della ricombinazione• Sostituendo nell’ equazione di Saha si ottiene

kTB

oe

oo

kTB

oe

oo

oo

kTB

e

ekTmTThnTf

TfTf

x

ekTmTThn

xx

TTnn

ekTm

hnx

x

/2/32

/2/32

2

3

/2/32

2

2)/()(con

)(21)(41

soluzione ha che2

)/(1

quindi e )/( ma

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅

−

πη

πη

πη

γ

γ

γγ

γ

2000 4000 6000 8000 100000.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

X

X

T(K)

trec= t della ricombinazione• Essendo η molto piccolo, la temperatura effettiva di ricombinazione e’

Trec~3000K invece che 156000K. Quindi (1+zrec)=Trec/To ~ 1100.• L’equazione di Saha vale per stati di equilibrio termodinamico, cioe’

finche’ la reazione di formazione dell’ idrogeno e’ in grado di mantenere l’ equilibrio.

• Il rate di reazione dipende dalla densita’ dei protoni, dalla velocita’media degli elettroni e dalla sezione d’ urto del processo: Γrec =np < vσH>.

• La sezione d’ urto del processo e’

• Mediando sulla distribuzione di velocita’

• Il rate Γrec va confrontato con ΓH=H=(da/dt)/a. Assumendo Ωo=1:

ΛΩ+Ω+Ω=Γ 34 )/()/( oMoRoH TTTTH

22

2

rec v4

mB

me

απσ =

smTeV /1104.1v 3

2/119

rec ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×= −σ

trec= t della ricombinazione• I due rates sono

uguali ad una temperatura di circa 2700K, quando la frazione ionizzata e’dell’ ordine di 5x10-4.

• Si puo’ quindi pensare che solo 10-4 dell’idrogeno rimanga ionizzato anche dopo la ricombinazione 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

1E-14

1E-13

1E-12

1E-11

1E-10

1E-9

ΓH

Γrec

Γ (s

-1)

T (K)

1E-61E-51E-41E-30.010.1

1

X

x

trec= t della trasparenza• Alla ricombinazione l’ universo diventa trasparente ai

fotoni. La trasparenza dipende dal numero di scattering. Se il rate di scattering Γγ diventa inferiore al rate di espansione ΓΗ =H, la propagazione e’ indisturbata, e il mezzo e’effettivamente trasparente.

• A queste energie i fotoni interagiscono tramite scattering Thomson con gli elettroni liberi (sezione d’ urto σT=6.65X10-25 cm2) e con scattering Raileigh con gli atomi (sezione d’ urto σR= σT (Eγ/B)4 ).

trec= t della trasparenza• Quindi Γγ=ΓT+ΓR=neσThc+nHσTh (kT/B)4c va confrontato

con ΓΗ =H=(da/dt)/a , ricordando che durante la ricombinazione sia T che ne che nH variano.

4

34

)/()()](1[

)()()/()/(

BkTcTnTx

cTnTxTTTTH

ThR

ThT

oMoRoH

ση

ση

γ

γ

−=Γ

=Γ

Ω+Ω+Ω=Γ Λ

3

trec= t della trasparenza

2000 4000 6000 8000 100001E-221E-211E-201E-191E-181E-171E-161E-151E-141E-131E-121E-111E-101E-91E-81E-7

ΓH

ΓTh

ΓR

Γ (s

-1)

T(K)

• Dal grafico risulta che Γγ e’sempre dominata dallo scattering Thomson.

• Dal momento in cui Γγ < ΓΗin poi i fotoni si propagano liberamente, e l’ universo diventa trasparente.

• Dal grafico risulta che la trasparenza inizia a T=3000K, cioe’z=3000/2.7=1100

• I fotoni presenti in equilibrio termico nell’ universo primordiale (CMB) subiscono l’ ultimo scattering a z =1100.

• Una sorgente sull’ orizzonte, a distanza comobile χ1 , emette fotoni nell’ istante t=0 e noi li riceviamo in χ=0 al tempo t=to. Per fotoni che si propagano radialmente (come avevamo visto per il redshift)

• D’ altra parte, la distanza propria tra noi e la sorgente che si trova in χ1 e’

Orizzonte delle particelle• A qualunque epoca t, sara’ possibile osservare solo oggetti distanti

meno della distanza percorsa dalla luce nel tempo passato dal Big-Bang. Questa distanza e’ detta “Orizzonte delle particelle”.

• Quindi c’e’ un volume di universo osservabile, limitato dall’orizzonte, che puo’ essere inferiore al volume totale dell’ universo.

• Vogliamo calcolare quanto e’ grande l’ orizzonte.

∫∫ −=→

−=

1

02

02 1)(1

)(χ

χχ

χχ

kd

tacdt

kdtacdt

ot

∫∫∫ =⇒−

==ot

oohooh tacdttatd

kdtadtd

002

0 )()()(

1)()(

11 χχ

χχ

l

• Durante la fase di radiazione

• Durante la fase di materia (che e’ molto piu’ lunga di quella di radiazione, quindi estendiamo lo stesso l’ integrale fino a 0)

• Nella scorsa lezione avevamo visto che durante la fase di materia, per un universo “piatto” (k=0) si ha

• Oggi (z=0)

Orizzonte delle particelle

2/3

3/23/2

)1(2)(

23

11

23)(

zHczdtH

ztHta

oh

oo

+=→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ctta

cdttatdttat

h 2)(

)()()(0

2/1 ==⇒∝ ∫

ctta

cdttatdttat

h 3)(

)()()(0

3/2 ==⇒∝ ∫

MpchH

czdo

h160002)0( −===

Orizzonte delle particelle

• Quindi l’universo potrebbe essere infinitamente esteso, ma noi oggi possiamo osservarne solo una parte, quella interna ad una sfera di raggio pari a dH(z=0).

MpchH

czdo

h160002)0( −===

dh

• In passato l’ orizzonte era piu’ piccolo. Via via che l’ orizzonte cresce, nuove sorgenti “entrano nell’orizzonte” e diventano osservabili dalla nostra posizione.

• Questo puo’ accadere prima o dopo a seconda della distanza comobileχ della sorgente in questione.

• Vedremo che questo e’importante per lo studio della crescita delle strutture cosmiche.

Storia dell’Orizzonte

Log[dH(t)] , Log[d]

Log(t)

2ct

3ct

t1/2

t2/3 χ1

t1/2

t2/3

χ2 > χ1

Universo dominato dalla materia

Universodominato dalla radiazione

Ingresso della sorgente 1 nell’ orizzonte

Equiv.


• Tutte le azioni a distanza (forze) si propagano alla velocita’ della luce. L’orizzonte delle particelle e’ detto anche orizzonte causale.

• L’ entrata nell’ orizzonte di una data posizione di nuove regioni di universo significa che la frazione di universo causalmenteconnesso con essa aumenta al passare del tempo.

• Ma questo vale per qualsiasi posizione nell’universo.

Storia dell’Orizzonte

Log[dH(t)] , Log[d]

Log(t)

2ct

3ct

t1/2

t2/3 χ1

t1/2

t2/3

χ2 > χ1

Universo dominato dalla materia

Universodominato dalla radiazione


Equiv.


4

• Andando a ritroso nel tempo, le distanze tra le sorgenti si riducono, ma l’ orizzonte si stringe piu’ velocemente di quanto non facciano le distanze.

• Avvicinandoci al Big Bang troviamo un universo diviso in un numero sempre maggiore di regioni causalmentedisconnesse.

• Come e’ possibile che abbiamo formato un universo omogeneo e isotropo, non avendo mai interagito prima ? Chi ha fatto in modo che le condizioni iniziali fossero esattamente le stesse in regioni non connesse tra loro ?

• Questo paradosso viene risolto dalla Teoria Inflazionaria. t

Paradosso degli Orizzonti Movimento dei fotoni• Durante il loro viaggio dalla sorgente in cui sono emessi

(coordinata comobile χ1) a noi che li riceviamo (χ=0), i fotoni occupano tutte le posizioni comobili intermedie χ : 0<χ< χ1 .

• Questo e’ vero anche nel caso dei fotoni provenienti dall orizzonte delle particelle.

• Pero’ e’ anche vero che la distanza fisica tra noi ed i fotoni al momento di emissione t=0 era 0: la sorgente 1 era infatti ad unadistanza : d=a(0)χ1=0χ1=0.

• E al momento della ricezione la distanza tra noi e gli stessi fotoni e’ di nuovo zero.

• Che distanza avevano questi fotoni negli istanti intermedi del loro viaggio verso di noi ? Assumendo k=0 e un universo dominato da materia per la maggior parte del tempo:

o

tt

Hcttd

tacdtk

kdtacdt 2)()(

)(0;

1)( 1

)(

02

1

−=−==→=−

= ∫∫ χχχχχ

χ χ

χ

Movimento dei fotoni

• Quindi, a causa dell’ espansione, che e’ estremamente veloce all’inizio, il fotone prima si allontana e poi si riavvicina !

)(2)()(

0;1

)( 1)(0

2

1

tH

ctdta

cdtkk

dtacdtot

t

χχχχχ

χ χ

χ

−=−==→=−

= ∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫

3/13/1

0

1222)(

2)(ooooo

t

o tt

Hc

tt

Hc

Hc

tacdt

Hctχ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

oooooo tt

tt

Hc

tt

Hc

ttttatd

3/23/13/2212)()()( χ

t/to

d/(2c/Ho)

0

0.1

10 0.5

Paradosso della Piattezza• Il parametro Ωο e’ legato alla curvatura dello spazio.• Infatti dall’ equazione di Friedmann al tempo attuale si

ricava la seguente relazione: inoltre

• Le misure piu’ recenti mostrano che Ωο =(1.02+0.02), quindi molto vicino (e compatibile) con l’ unita’. La curvatura sarebbe quindi minima, e il raggio di curvatura molto grande: se ad esempio fosse Ωο =1.02 si avrebbe un raggio di curvatura dell’ universo di

1sgnsgn1

2 −Ω==→=

ooc

c

kHc

kkR

Rk

MpchMpchRc1

1

21000102.1

3000 −−

≈−

≈

( ) 22 1 kcH oo =−Ω

Paradosso della Piattezza• Ma Ω non e’ , in generale, costante nel tempo:

• Inoltre:

• E siccome å/a diverge per t che tende a 0, nel passato Ω era molto piu’ vicino ad 1 che adesso.

• Questo ragionamento si puo’ invertire dicendo che per ottenere un valore circa 1 oggi, si deve partire con Ω =1 entro una precisione spaventosa all’ inizio (fine tuning). Chi ha regolato le condizioni iniziali cosi’ bene ? (paradosso della piattezza)

• Vedremo che anche questo problema viene risolto dalla teoria inflazionaria.

GtHt

c πρ

ρρ

8)()(3

==Ω

( ) 2

2

2

222 111

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+=Ω→=−Ω

aakc

HkckcH

&

• The CMB has beenserendipitouslydiscovered in 1964 by A. Penzias and R. Wilson, asa thermal noise at a temperature of 3K.

• Robert Dicke and hisstudent David Wilkinson, in Princeton, and Zel’dovich’s group in the Soviet Union werealready looking for thisradiation when it wasdiscovered.

• Earlier detections havebeen found a-posteirori.

5

Fluttuazioni di brillanza dell’ ordine di 1 parte su 100000, misurate nel CMB dall’ esperimento BOOMERanG. Il disco verde ha un diametro di 1 grado.

Cosmic Horizons• The very good isotropy (<10-5) of the CMB sky is

to some extent surprising.• The CMB comes from an epoch of 380000 years

after the Big Bang. (Recombination, z=1100).• So it depicts a region of the universe as it was

380000 years after the Big Bang. • The region we can map, however, is much wider

than 380000 light years. • So it contains subregions which are separated

more than the length light has travelled since the Big Bang. These regions would not be in causalcontact in a static universe.

T=30

00K

here, now

R= distance fromus = 14 Glyrs

But also distance in time: 14 Gyrs agoR & t

Transparentuniverse

Opaqueuniverse

T=30

00K

here, now


But also distance in time: 14 Gyrs agoR=14 Gly

Transparentuniverse

Opaqueuniverse

R=14

Glyseveral Gly

T=30

00K

here, now


But also distance in time: 14 Gyrs agoR=14 Gly

Transparentuniverse

Opaqueuniverse

R=14

Glyseveral Gly

r = 380 kly

r = 38

0 kly

Cosmic Horizons• We measure the same brightness

(temperature) in all these regions, and thisis surprising, because to attain thermalequilibrium, contact is required ! (through forces, thermal, radiative …).

• We live in an expanding universe. Regionsseparated by more than 380000 light years might have been in causal contact (and thus homogeneized) earlier.

6


time

size of the horizon




time

size of the horizon



So a region as large asthe horizon when the CMB is released ….

380000 y


time

size of the horizon



… has never beencausally connectedbefore

380000 y


time

size of the horizon



… nor has beencausally connected tosurrounding regions

380000 y

Cosmic Horizons• Hence the “Paradox of Horizons” : • We see approximately the same temperature

everywhere in the map of the CMB, but wedo not understand how this has beenobtained in the first 380000 years of the evolution of the universe.

• Was this temperature regulated everywhereab-initio ?

• Are our assumptions about the compositionof the universe wrong, and the universe doesnot decelerate in the first 380000 years ?

Flatness Paradox• The expansion of the Universe is regulated by the

Friedmann equation, directly deriving fromEinstein’s equations for a homogeneous and isotropic fluid.

• If the Universe contains only matter and radiation, iteither collapses or dilutes, with a rate depending on the mass-energy density.

• To get an evolution with a mass-energy density of the order of the observed one today, billions of years after the Big Bang, you need to tune it at the beginning very accurately, precisely equal to a critical value.

• How was this fine-tuning achieved ?

7

a(t)

t

Critical density, 1 ns after the Big Bang

Billion years

Cos

mic

dist

ance

s

Cosmological scalest=380000 y

density fluctuations

Sub-atomic scales

t=10-36sQuantum fluctuations of the field dominating the energy of the universe

Energy scale:1016 GeV

CosmicInflation

Inflation might be the solution

Cosmic Inflation:

A very fast expansionof the universe, drivenby a phase transition in the first split-second


time

size of the horizon


According to the inflationtheory ….

…had been causallyconnected to the surrounding regionsbefore inflation

380000 y

A region as large as the horizon when the CMB isreleased ….

time

size of the horizon


10-36 s

normal

evolution

Infla

tion:

expo

nent

ial

expa

nsio

n

time

size of the horizon


10-36 s

Here the horizoncontains all of the universe observabletoday

Infla

tion:

expo

nent

ial

expa

nsio

n

normal

evolution • Inflation– Provides a physical process to origin density fluctuations– Explains the flatness paradox– Explains the horizons paradox

• Is a predictive theory (a list of > models has been compiled..) – Predicts gaussian density fluctuations– Predicts scale invariant density fluctuations– Predicts Ω=1

• How can we test it ? • We still expect a difference between the physical processes

happening inside the horizon and those relevant outside the horizon.

• So we expect anyway that the scale of the causal horizon isimprinted in the image of the CMB.

• The angular size subtended by the horizons when the CMB isreleased is around 1 degree, if the geometry of space isEuclidean.

• We need sharp images of the CMB, so that we can resolvethe density fuctuations predicted by inflation.

8

θ

R

d

oo

lyly

aa

Rd 11100

01400000000380000

≈×≈×≈θ BigB

ang

(T=∞

)

T=30

00K

Here, now

1o

10o

R

COBE resolution

380000 lyrs

R= distancefrom us= 14 Glyrs

high resolution• The images from COBE-DMR were not sharp

enough to resolve cosmic horizons (the angularresolution was 7°).

• After COBE, experimentalists worked hard todevelop higher resolution experiments.

• In addition to testing inflation, we expected high resolution observations to give informationsabout

a) The geometry of spaceb) The physics of the primeval fireball.

a) The angle subteneded by the horizon can bemore or less than 1° if space is curved.

Critical density Universe

Ω>1

Ω<1

High density Universe

Low density Universe

1o

2o

0.5o

hori

zon

Ω=1

14 Gly

LSS

hori

zon

h ori

zon

Fluttuazioni di brillanza dell’ ordine di 1 parte su 100000, misurate nel CMB dall’ esperimento BOOMERanG. Il disco verde ha un diametro di 1 grado.

1

Il diagramma di Hubble• Consideriamo la solita sorgente in χ1 e supponiamo

che abbia luminosità L=hν(dN/dt). • Il flusso ricevuto da noi sarà F= hνο(dN/dto)/A dove

A è l’ area della sfera di raggio χ1 cioè A=[4π χ12]

• Quindi F=hνο(dN/dto)/[4π χ12].

• Ma hνο =hν/(1+z) e l’ intervallo di arrivo dei fotoni èdto=dt(1+z) per cui

F= L/[(1+z)24π (χ1)2]• La distanza di luminosità della sorgente è definita da

F = L/[4πD2L ] e quindi

DL = (1+z)χ1

Dalla lezione 16

Il diagramma di Hubble• DL = (1+z)χ1• Per ottenere il diagramma di Hubble DL(z) si dovra’

esplicitare la dipendenza da z di χ1

• Utilizzando le diverse espressioni dell’ equazione di Friedmann si ottiene

• Per sorgenti relativamente vicine (z<<1) si ottiene

∫∫+

==o

zo

o aa

t

t a(t)tacda

a(t)cdt

)1(1

1

)(&χ

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω=

1

)1(11 2/12342 ])1([z aaaa

daHc

oMoRooχ

][ ...2

111 ++

−= zqHzc o

o

χDalla lezione 16

Distanza di Diametro Angolare• Quando oggi (t0) guardiamo una sorgente lontana, la vediamo

come era all’ epoca t1 quando la luce e’ partita.• Se la sua dimensione fisica all’ epoca t1 e’ ΔS , e la sua

coordinata comobile e’ χ1 , la sua distanza fisica e’ χ1 a1, e la sua dimensione angolare apparente e’ Δθ = ΔS/[χ1a1]

• Definiamo distanza di diametro angolare DA = χ1 a1 , cosi’Δθ = ΔS / DA

• Questa e’ esprimibile in funzione della distanza di luminosita’che gia’ conosciamo: DL = (1+z1)χ1

• Quindi DA = χ1a1 = [DL /(1+z1)]a1 = DL /(1+z1)2. • Avevamo ricavato esplicitamente DL in funzione di z e dei

parametri cosmologici:

qui,oraΔθ ΔS

χ1a1

• Dall’ eq. di Friedmann risultava

• E quindi si puo’ esplicitare

• Casi particolari:

• I dati piu’ recenti di CMB e SN1a indicano Ωo=1, ma ΩΛ=0.7, quindi si deve usare la formula con l’ integrale.

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=+=

1

)1(11 2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆ

ˆ)1()1(

z aaaaad

HczzD

oMoRooL χ

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=

⇒+

+=

+=

1

)1(1

1

2/12342

22

]ˆ)1(ˆˆ[ˆˆ

)1(1

)1()1(

)1(

z aaaaad

Hc

zD

zz

zDD

oMoRooA

LA

χ

Distanza di Diametro Angolare

( )22 )1(

11)2(20z

zzH

cDo

ooo

oARo +Ω

−Ω+Ω−−Ω=⇒=Ω=ΩΛ

2/3)1(1121;0

zz

HcDo

AoRo +−+

=⇒=Ω=Ω=ΩΛ

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=

1

)1(1 2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆ

ˆ)1(

1z aaaa

adHc

zD

oMoRooA


• L’ andamento del diametro angolare di una sorgente di dimensioni lineari date in funzione del redshift mostra una caratteristica molto interessante: allontanandosi sempre di piu’, le dimensioni diminuiscono fino ad un valore minimo. Poi riaumentano !

• Il motivo e’ che la materia interposta tra noi e la sorgente agisce da lente gravitazionale, ingrandendola.

• Per un ammasso di galassie di diametro proprio pari a 1 Mpc, la minima dimensione angolare e’ dell’ ordine di 230”. Una galassia di 20 kpc ha una minima dimensione di 4”.

Log θ

Log zz =

1.5

NGC1357• Galassia a spirale

“relativamente vicina” :

z = 0.0071

• Se Ho=h7070 km/s/Mpc, Ωmat=0.27, ΩΛ=0.73

• DA = 30.15h70Mpc • Dltt = 30.40h70Mpc• Dnow = 30.40h70Mpc• DL = 30.60h70Mpc

2

1138-262• Galassia irregolare

z = 2.16


• DA = 1757 h70Mpc • Dltt = 3286 h70Mpc• Dnow = 5552 h70Mpc• DL = 17546 h70Mpc

High z in Aquarius• Galassia “lontana” :

z = 5.74


• DA = 1249 h70Mpc• Dltt = 3937 h70Mpc• Dnow = 8423 h70Mpc• DL =56773 h70Mpc

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=

1

)1(1 2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆ

ˆ)1(

z aaaaad

HczD

oMoRooL

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=

1

)1(1 2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆ

ˆ)1(

1z aaaa

adHc

zD

oMoRooA

∫∫∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω===

1

)1(1

0

1

0

1

2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆˆ

z aaaaad

Hc

aadac

adtcD

oMoRoo

t

t

t

tnow &

∫∫∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω===

1

)1(1

0

1

0

1

2/1234 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆˆ

z aaaaad

Hc

adacdtcD

oMoRoo

t

t

t

tltt &

Le tre figure sono diverse, quindi si potrebbe pensare di stabilire il modello (ad esempio se c’e’ ΩΛ o no, o quanto sia Ωο) osservando ad es. le dimensioni angolari di sorgenti a diversi z ma tutte appartenenti ad una classe ben precisa (es. galassie ellittiche, o spirali barrate o …) e quindi presumibilmente con le stesse dimensioni proprie. Per le galassie questi tentativi sono falliti a causa degli effetti evolutivi. Si deve cercare un “righello” diverso, sempre a grande redshift.

∫+

−Λ

−− Ω−+Ω+Ω+Ω+=

1

)1(1 2/12342 ]ˆ)1(ˆˆ[ˆ

ˆ)1(

1z aaaa

adHc

zD

oMoRooA


J.C.Jackson, J. Cosmol. Astropart. Phys. JCAP11 (2004) 007“Ultra-compact radio sources”

Ωm=0.24ΩΛ=0.76

Ωm=0ΩΛ=0

• Sorgenti radio ultracompatte (diametro apparente pochi millesimi di secondo d’arco, risolte solo con l’ uso di interferometri molto grandi, VLBI)

• a

Big

Ban

g(z

=∞)

Ric

ombi

nazi

one

(z=1

100)

qui, ora

Dimensionidell’ orizzonte alla ricombinazione:Rad. : 2ct (solo primi 50000 anni)Poi mat. (50000-380000 anni)In generale:

∫=rect

orech tacdttatd

0 )()()(

Misura degli orizzonti• L’ orizzonte alla ricombinazione e’ un righello osservabile e

lontanissimo (z=1100). E’ osservabile per il suo effetto sulla CMB: regioni che sono state causalmente connesse devono apparire diverse da quelle disconnesse.

• Nell’ immagine della CMB si deve quindi riconoscere una scala caratteristica: quella dell’ orizzonte alla ricombinazione.

3

• L’ orizzonte ha dimensioni fisiche dΗ(trec), e sottende un angolo θΗ che possiamo calcolare come θΗ =dΗ(trec)/DA

• In generale l’ angolo θΗ e’ una funzione delle due variabili ΩΜο e ΩΛ, ma sempre dell’ordine di un grado. Se Ω = ΩΜο + ΩΛ =1 (linea tratteggiata), θΗ e’indipendente dai valori relativi di ΩΜο e ΩΛ e vale circa 0.85 gradi (0.015 radianti).

r = 0r1

Δθ ΔS

∫+

−ΛΛ

− Ω−Ω−+Ω+Ω+=

1

)1(1 2/1232 ]ˆ)1(ˆ[ˆ

ˆ)1(

1z aaa

adHc

zD

MoMooA

ΛΩ−Ω

=2Mo

oq

∫=rect

orech tacdttatd

0 )()()(

Ω=1Ω=1.2

Ω=0.7

• L’ angolo di 0.015 radianti e’una specie di spartiacque: angoli maggiori corrispondono a Ω>1; angoli minori corrispondono a Ω<1.

• Misurando Δθ si puo’ quindi ricavare la densita’ media di massa-energia nell’ universo.

Which is the geometry of our Universe ?• According to General Relativity, the presence of mass and energy curves the

space (see e.g. gravitational lensing effects). Also, the large scale geometryof the Universe is affected by the average mass and energy: their presencecurves the background metric of the universe.

Flat space in 2-D

Flat space in 3-D

Curved space in 2-D(positive curvature)

Curved space in 3-D(positive curvature)

Curved space in 2-D(negative curvature)

Curved space in 3-D(negative curvature)

Ω > 1 Ω < 1Ω = 1P.de Bernardis Oct.2000

critical density Universe

Ω=1

Ω>1

Ω<1

High density Universe

Low density Universe

Ω>1 Ω=1 Ω<1

Ω and the typical angular dimensionsof the structures in the CMB

2o 1o

0.5o

High density Universe Critical density Universe Low density Universe

P.de Bernardis Oct.2000

• In Y2000, the breakthrough: wide, detailed images of the CMB

de Bernardis et al. 2000Hanany et al. 2000 0.5o

4

0 200 400 600 800 1000 12000

2000

4000

6000

8000 MAXIMA BOOMERANG DASI

l(l+1

)cl/2

π (μ

K2 )

multipoleGood global agreement (by eye); Beware of anti-correlations and binning effects

• Dalle misure di spettro di potenza e’ evidente un picco ad un multipolo di circa 200, corrispondente ad un angolo sotteso di circa 0.9 gradi.

• Questo significa che la maggior parte delle strutture ha dimensioni di circa 0.9 gradi.

• Questa misura ha un certo errore, per cui definisce non una singola linea, ma una area elongata nel diagramma ΩMo, ΩΛ.

• L’ area consistente con le misure (punti neri) comprende l’ universo critico (Ω=1, linea rossa), mentre non e’consistente con Ω=0.8 o con Ω=1.2 (linee blu tratteggiate)

• Possiamo quindi concludere che l’ universo ha parametro di densita’ (1.0+0.2).

WMAP & BOOM/98: Power Spectra

14 /

May

/ 200

9Thermal performance :Planck collaboration: astro-ph/1101:2023 components separation

),(),,(),,( bCbabT kjk

kj lll νν ∑=Δ

k = CMB,dust,synchrotron,…

j = 33, 44, 70 100, 143, 217, 353, 545, 857 GHz

Measured maps physicalcomponents

5

The CMB component

Best angular resolutionBest control of foregorunds

27

A precision measurement

over three decades in angle, with the same instruement(intercalibration!)

You see seven peaks by eye

28

6 parameters model(Λ‐CDM)

Ωo=1.02+0.02

6

Comological parametersbase‐model results

baryon densityCDM densitysound horizon (rad)reionization opacity

Primordial spectrum {Assumed Curvature: 0

http://arxiv.org/abs/1303.5076

Extensions of base model

http://arxiv.org/abs/1303.5076

LogN-LogS• Un altro classico test del modello cosmologico e’ quello del

conteggio di sorgenti in funzione del loro flusso.• Supponiamo di contare il numero N(m) di galassie piu’ brillanti

di una data magnitudine limite m , per unita’ di angolo solido.• Consideriamo un universo statico ed euclideo con galassie di

luminosita’ L distribuite uniformemente con densita’ n. • Il flusso ricevuto da una di queste galassie posta a distanza r

sara’ F tale che

• Quindi, dato un flusso limite F, conteremo tutte le galassie entro una sfera di raggio r(F), cioe’

• In un universo statico ed Euclideo il numero di sorgenti con flusso maggiore di F scala come F-3/2.

FLFrπ4

)( =

2/33

434)(

34)( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

FLnFnrFNπ

ππ

LogN-LogS

• Quindi se si fa un grafico di Log10N verso Log10F si dovrebbe ottenere una retta decrescente, con pendenza -1.5.

• Nell’ universo in espansione vale una legge simile:

• Dovremmo quindi contare un numero di galassie leggermente minore di quello statico-Euclideo.

• Il test e’ stato fatto usando galassie e radiosorgenti.• I risultati sono discrepanti, a causa di importanti fenomeni

evolutivi.

2/33

434)(

34)( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

FLnFnrFNπ

ππ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= ....

431

4)(

34)(

2/12/3

FL

cH

FLtnFN o

o πππ

Windhorst et al (1993) Ap.J. 405, 498 2/52/3)( −− ∝→∝ S

dSdNSSN


dSdNSSN

Andamento Euclideo per sorgenti forti

Conteggi Euclidei

7


dSdNSSN

Eccesso di sorgenti deboli

Conteggi Euclidei


dSdNSSN

Effetto dell’evoluzione (nascita della popolazione)

Conteggi Euclidei


dSdNSSN

Eccesso di sorgenti ultra-deboli (differente popolazione ?)

Conteggi Euclidei

Universo Primordiale e Nucleosintesi

• L’ Universo primordiale e’ dominato da un bagno di radiazione termica. La temperatura T cresce andando indietro nel tempo:

• Inoltre i fotoni sono un numero enorme rispetto ai barioni: ci sono circa 5 barioni ogni 1010 fotoni (come testimoniato dalla densita’numerica di fotoni CMB).

• Conseguenze:– Quando la temperatura e’ tale che l’ energia dei fotoni (hν dell’

ordine di kT) e’ maggiore dell’ energia di legame di una molecola (meV), o di un atomo (eV), o di un nucleo (MeV), lo stato legato non puo’ esistere a causa della fotoionizzazione.

– Quando la temperatura e’ tale che l’ energia dei fotoni (hν dell’ordine di kT) e’ maggiore della massa a riposo mc2 di una particella carica, l’ energia dei fotoni e’ sufficiente per creare coppie particella / antiparticella, con energia kT, e quindi ultrarelativistiche.

• In queste condizioni la teoria della nucleosintesiprimordiale permette di stabilire quali nuclei (e quanti) si formano nell’ Universo Primordiale.

( )zTa

TT oo +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 11

1012 K• Partiamo da un’ epoca in cui la T e’

1012 K (circa 0.1 ms dopo il Big Bang)• Questa T e’ molto alta, ma conosciamo

molto bene le interazioni tra particelle a queste energie perche’ le possiamo studiare negli acceleratori.

• kT = 1.4x10-11 J = 86 MeV

Tevatron IL-USA 1TeVLEP (CERN) 200 GeV LHC - CERN 7 TeV-570 TeV

ADA (Frascati) 200 MeV, 1965

8

1012 K• Partiamo da un’ epoca in cui la T e’ 1012 K (circa

0.1 ms dopo il Big Bang)• Questa T e’ molto alta, ma conosciamo molto

bene le interazioni tra particelle a queste energie perche’ le possiamo studiare negli acceleratori.

• Le particelle relativistiche presenti a quell’ epoca erano fotoni (γ), coppie elettroni e positroni (e-

e+), neutrini muonici ed elettronici (νe, νμ ed i corrispondenti antineutrini).

• Inoltre c’erano barioni, sottoforma di protoni (p+) e neutroni (n) : circa 5 ogni 1010 fotoni.

1012 K• Protoni e neutroni vengono continuamente convertiti gli uni negli

altri grazie alle reazioni:

• Queste reazioni sono facilmente realizzabili a questa temperatura, perche’ la differenza di massa tra p+ e n e’

• mentre l’ energia tipica delle particelle e’

• Si realizza quindi una situazione di equilibrio, per cui le densita’ di protoni e neutroni obbediscono alla statistica di Boltzmann.

• A 1012 K si avra’

−+

++

−+

+↔+

+↔+

++↔

epn

pen

epn

e

e

e

ν

ν

ν

MeVcmmE np 293.1)( 2 =−=Δ

EMeVkT Δ>>≈ 86

985.0/ ≈= Δ− kTE

p

n enn

1010 K• L’ universo si espande e la temperatura decresce lentamente.

L’ equazione di Boltzmann

continua a valere. Decrescendo la temperatura, la densita’ di neutroni diminuisce rispetto a quella dei protoni finche’, intorno a 1010 K (circa 1 MeV) avvengono due cose:– Ad energie poco superiori a 1010 K le sezioni d’ urto dei neutrini decrescono

molto: a questo punto non possono piu’ partecipare alle reazioni tra protoni e neutroni.

– L’ energia dei fotoni diventa inferiore a 1.022 MeV, cioe’ alla somma delle masse di e- ed e+: i fotoni non possono piu’ ricreare le coppie elettroni positroni che si annichilano. Rimane sono un piccolo eccesso di elettroni.

• Per questi due motivi, la conversione di p in n diventa un processo sempre piu’ raro, ed il suo rate diventa inferiore al rate di espansione dell’ universo ΓH .

• Il rapporto p/n arriva quindi al valore che ha a 1010 K:

kTE

p

n enn /Δ−=

223.0/ ≈= Δ− kTE

p

n enn

109 K• Da qui in poi non si creano piu’ nuovi neutroni. • Ma la reazione di decadimento beta del neutrone libero

rimane attiva, con un tempo di dimezzamento di 617 s. • La densita’ di neutroni diminuisce per questo motivo. • Solo a 109 K diventa possibile formare nuclei di deuterio 21H

tramite la reazione

perche’ l’ energia dei fotoni diventa sufficientemente inferiore all’energia di legame nucleare del deuterio, e le fotodissociazioni non sono piu’ efficienti.

• Per scendere da 1010 a 109 K l’ universo impiega un tempo determinabile dall’ eq. dell’ espansione dominata dalla radiazione:

γ+↔+ Hnp 21

eepn ν++→ −+

2

20

232

42

18

33

8

/1/

38

38

TGct

dtcG

TdT

TT

aaaTT

cTGG

aa

tT

o

rad

σπ

σπσπρπ

=→

=−→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−=→=

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫∫

∞

&&

&

+

109 K

• Quindi

• In questo periodo il numero di neutroni decade secondo la legge del decadimento radioattivo con tempo di dimezzamento τ1/2=617 s:

• Partendo da 223 n ogni 1000 p si arriva a 172 n ogni 1051 p.• Questa e’ l’ abbondanza di neutroni disponibile a T=109K, quando si

puo’ formare il deuterio tramite la reazione:

• La reazione e’ efficiente e quasi tutti i n producono nuclei di deuterio.

[ ] [ ]2220

2

2 1103.218

3KT

sTG

ct ×==σπ

sst 23010

110

1103.2 201820 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −×=Δ

172223)( 617/2ln230/2ln 2/1 ==→= −− eneNtN nt

oτ

γ+↔+ Hnp 21

Elio Primordiale• Dal Deuterio si forma l’ elio tramite le reazioni

• Queste reazioni sono diverse da quelle (p-p) che producono l’ elio nelle stelle: le reazioni p-p hanno una sezione d’ urto cosi’ bassa che possono funzionare solo alle densita’ enormi dei centri delle stelle.

HHeHHenHeHH

nHeHHHHHH

11

42

21

32

42

21

31

32

21

21

11

31

21

21

+↔++↔+

+↔++↔++

+

+

+

9

Elio Primordiale• Dal Deuterio si forma l’ elio tramite le reazioni

• Erano disponibili 172 n ogni 1051 p: da questi si formano 86 nuclei di elio, e rimangono 1051-172=879 protoni (nuclei di H). Quindi la frazione in massa di He rispetto al totale (H+He) dei prodotti dalla nucleosintesi primordiale e’

• Abbiamo trascurato altre reazioni che producono tracce di 3He e 7Li, oltre a lasciare anche tracce di deuterio.

HHeHHenHeHH

nHeHHHHHH11

42

21

32

42

21

31

32

21

21

11

31

21

21

+↔++↔+

+↔++↔+

281.0864879

8644

4=

×+×

=×+

×=

HeH

HeHe NN

Nf

Sintesi dei Nuclei Leggeri• Energie di legame nucleari :

• Ci si aspetta che, quando l’ universo si raffredda sotto ciascuna di queste energie, si possano formare i primi stati legati nucleari.

• Analogamente a quanto visto per la formazione dei primi atomi, acausa del bassissimo valore di η=nB/nγ, i nuclei si formano solo a temperature molto piu’ basse delle loro energie di legame.

• E’ importante calcolare come e con che abbondanze si formano, perche’ questo si puo’ confrontare con le osservazioni, fatte spettroscopicamente, su nubi in cui le abbondanze iniziali non sono ancora state modificate da fenomeni stellari.

28.3 MeV4HeElio-47.72 MeV3HeElio-36.92 MeV3HTrizio2.22 MeV2HDeuterio

Sintesi degli altri nuclei leggeri• Via via che le reazioni che producono 4He da 2H e 3H procedono, la

densita’ di 2H e 3H diminuisce, e di conseguenza diminuiscono le velocita’ di reazione Γ~XAηnγ<σv>.

• Molto presto queste reazioni si congelano, lasciando frazioni (abbondanze primordiali) intorno a XA~10-4 di 2H e 3H.

• Siccome Γ~η, e’ chiaro che le abbondanze primordiali (cioe’ i residui dalle reazioni) di 2H e 3H diminuiranno all’ aumentare di η.

• Invece l’ abbondanza di elio dipende soprattutto dall’ abbondanza di neutroni liberi a tHe, e quindi e’ abbastanza indipendente da η.

• La sintesi dei nuclei piu’ pesanti, che hanno energie di legame maggiori dell’ elio, e’ fortemente soppressa nell’ universo primordiale per due motivi:– Le reazioni dirette tra due nuclei di He oppure tra He e H producono nuclei con

masse 5 e 8, e siccome non ci sono isotopi stabili con tali masse, non portano a nulla. Nemmeno la reazione a tre corpi He+He+He=C produce nulla perche’ la densita’ di elio e’ ancora troppo bassa.

– La probabilita’ di tunnelling attraverso la barriera coulombiana e’ tanto piu’bassa quanto piu’ alto e’ Z. Questo impedisce la formazione di nuclei a Z alto.

Sintesi del Litio primordiale• Si formano piccoli quantitativi di 7Li attraverso due

processi:

• Il primo processo e’ dominante per η<3x10-10, il secondo domina per η>3x10-10.

• Per η=3x10-10 c’e’ un minimo nell’ abbondanza di 7Li primordiale.

• I quantitativi che si formano sono tracce, dell’ ordine di 10-9

10-10, ma risultano essere misurabili e importanti !

aelettronic catturaper in di odecadiment da seguito

77

734

734

LiBeBeHeHe

LiHHe+→+

+→+

γ

γ

NucleoSintesi primordiale• I due parametri cosmologici da cui dipende la nucleosintesi sono:• Il numero di gradi di liberta’ relativistici g alla temperatura di circa

1 MeV. Un aumento di g aumenta H a quella temperatura (H va come g1/2T2) e quindi le reazioni si congelano prima, portando ad una abbondanza maggiore di elio.

• Il parametro di entropia specifica η:– Se η e’ alto, si produrranno prima le alte abbondanze di 2H e 3H necessarie alla

formazione dell’ 4He, che quindi si formera’ prima, quando il rapporto nn/np e’piu’ alto: ne risulta un aumento dell’ abbondanza. Ma nn/np varia lentamente con il tempo (per T intorno a 0.1MeV), e quindi questa dipendenza non e’ molto forte.

– Le abbondanze di 2H e 3H residue, invece, dipendono fortemente da η, diminuendo come η-1/3.

• Tutto questo viene calcolato quantitativamente integrando numericamente le equazioni rilevanti date le velocita’ di reazione delle diverse reazioni importanti. Il parametro di fisica nucleare piu’incerto in questi calcoli e’ la vita media del neutrone, τ=(10.5+0.2)min! Quindi i calcoli sono abbastanza accurati.

η

• I risultati di queste integrazioni numeriche sono riportati nel grafico delle abbondanze finali XA in funzione di η.

• Sono evidenti: – il minimo del Litio – gli andamenti

decrescenti di 2H e 3He

– L’ andamento quasi costante di 4He intorno al 25%

Abbondanze primordiali

10

• Si osservano nubi di materia in cui non si sono ancora formate stelle.

• Queste nubi non sono luminose, ma vengono illuminate “da dietro” da QSO, che emettono un potentissimo continuo di radiazione visibile. La luce del QSO viene assorbita dalle nubi alle lunghezza d’ onda delle transizioni atomiche delle specie presenti nella nube, e con assorbimento proporzionale all’abbondanza.

• La stessa transizione, presente in nubi a redshift diverso, e’visibile a terra a lunghezze d’ onda differenti.

Come si misurano le abbondanze primordiali

TerraQSO z=1z4=0.34z3=0.22z2=0.17z1=0.15

F

λ

Lyman-α forest• La transizione Ly-α e’ molto potente. Nello spettro del QSO e’evidente a λo(1+z)=580 nm

• A lunghezze d’ onda inferiori, il continuo del QSO viene assorbito dalla riga Ly- α nelle nubi di idrogeno tra noi e il QSO:λnube/λQSO=(1+znube)/(1+zQSO).

• Nel pannello in basso a sinistra c’e’uno zoom su una riga di assorbimento risultante principalmente dall’H (che ha completamente oscurato il QSO) e anche dal deuterio, che ha una massa ridotta diversa.

• Le profondita’ di assorbimento di 2H e H permettono di stabilire l’abbondanza primordiale di deuterio.

Misure di abbondanze• Un grande numero di misure (non facili !) mostra che:

• 0.236<4He/H<0.254• 2H/H=3.4x10-5 oppure (altre misure)

2H/H=2.0x10-4

• 7Li/H=2x10-10(da misure su stelle con bassissima abbondanza di elementi pesanti)

• Queste misure sono consistenti con 10.3 min <τ<10.7 min e η=(1.5-6)10-10.

• Siccome η=2.68x10-10ΩBh2, queste misure implicano 0.011<ΩB<0.037 (punto di vista conservativo).

• Recentemente si e’ creata una preferenza per valori di 2H/H bassi, il che consente di arrivare a valutare ΩBh2=(0.020+0.002).

Nucleosintesi: final remarks• La teoria della nucleosintesi primordiale premette di arrivare a

conclusioni quantitative molto precise e confutabili.• Per ora la teoria e’ stata splendidamente confermata, implicando che

davvero l’ universo ha attraversato una fase iniziale densa e calda, e che la densita’ di barioni non e’ sufficiente a ottenere Ω=1.

• Nella teoria esposta tutto dipende dalla abbondanza n/p al congelamento. Abbiamo assunto un universo perfettamente omogeneo. Se ci fossero inomogeneita’ diverse nelle distribuzioni di n e p, i risultati della nucleosintesi sarebbero diversi in zone diverse dell’ Universo. Risulta comunque difficile a) ipotizzare modelli inomogenei ragionevoli b) una volta ipotizzati, arrivare a una densita’ di barioni critica.

• Siccome la produzione di elio dipende da g, dipende dal numero di specie di neutrini. L’ abbondanza osservata e’ perfettamente consistente con Nν=3, marginalmente consistente con Nν=4, e inconsistente con Nν>4.

1

Formazione delle Strutture• Mentre l’ universo a grande scala e’ omogeneo, a scale inferiori ai 10

Mpc vediamo significative disomogeneita’: superammassi e ammassi di galassie, galassie, stelle, etc.

• Una galassia ha una densita’ media 105 volte maggiore della densita’media dell’ universo (Δρ/ρ =105) !

• Quindi l’ universo attuale e’ molto piu’ disomogeneo dell’ universo primordiale che osserviamo tramite l’ anisotropia della CMB e che era estremamente omogeneo (Δρ/ρ =10-5).

• Si pensa che le disomogeneita’ siano cresciute a causa della gravita’.• Qui la situazione e’ diversa da quella studiata da Jeans, perche’ l’

universo si sta espandendo e c’e’ una forte pressione di radiazione: e’quindi piu’ difficile far crescere le fluttuazioni di densita’.

t

UniversoPrimordiale

UniversoStrutturato

Gravita’

vs. Espansio

ne

510−≈Δρρ

510≈Δρρ

millennium simulation:evoluzione

http://www.mpa-garching.mpg.de/galform/virgo/millennium/

millennium simulation:risultato finale

http://www.mpa-garching.mpg.de/galform/virgo/millennium/

Tipi di fluttuazioni di densita’• In un fluido di fotoni e materia (con fotoni molto piu’

abbondanti della materia) si possono avere due tipi di fluttuazioni di densita’:

• Fluttuazioni Adiabatiche: si hanno sia Δρb/ρb che Δργ/ργ , ma il rapporto nγ/nb rimane costante e pari al valore medio. In questo caso, siccome

• Fluttuazioni Isoterme: le fluttuazioni di barioni e fotoni alterano il rapporto nγ/nb .Queste fluttuazioni producono un aumento del potenziale gravitazionale che viene soppresso o “congelato” (isocurvatura)(il contrasto di densità totale dell’ insieme particelle + fotoni, Δρ/ρ e’ zero).

γ

γ

γ

γ

ρδρδδδ

ρδρ

433 ====

TT

nn

nn

b

b

b

b

43 ;; TTnnbb ∝∝∝ γγ ρρ

Evoluzione delle fluttuazioni• Consideriamo una fluttuazione di densita’ adiabatica, di dimensioni

inizialmente maggiori dell’ orizzonte, prima della ricombinazione. • Schematizziamo il caso piu’ semplice come una sovradensita’ sferica

(densita’ ρ’(t) ) immersa in un universo omogeneo a densita’ ρ(t)critica (universo piatto). Avremo ρ’(t) > ρ(t) =ρc(t) .

• Per la simmetria del problema, la sovradensita’ evolve come un mini-universo a densita’ piu’ alta di quella critica (la dinamica dipende solo dalla massa contenuta all’ interno della sfera, teorema di Birkhoff).

• Scrivendo l’ equazione di Friedmann nei due casi si ottiene:

22

22

22

2

83'

03

8

3'8

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

aa

Gkc

aaGH

kcaaGH

o

o

o

ρπρρρ

ρδρ

ρπ

ρπ

2

Evoluzione delle fluttuazioni

• Nell’ epoca dominata dalla radiazione quindi

• Nell’ epoca dominata dalla materia quindi

• La perturbazione quindi cresce fino al momento in cui l’ orizzonte supera le sue dimensioni. Si dice che la perturbazione “entra nell’orizzonte”. E diventa connessa causalmente. Da qui in poi la sua evoluzione dipende dalla sua massa e da come questa si confronta con la massa di Jeans.

22

83

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

aa

Gkc o

ρπρδρ

42/1 ; −∝=∝ ata radρρ

inin ttt

aa ρδρ

ρδρ

ρδρ

=→∝∝ − 2411

33/2 ; −∝=∝ ata matρρ3/2

3/223

11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→∝∝ −

inin ttt

aa ρδρ

ρδρ

ρδρ

Massa di Jeans nell’ universo primordiale• Avevamo gia’ trovato la massa di Jeans come soglia di instabilita’

gravitazionale per una nube protostellare:

• Questa puo’ essere riscritta in termini della velocita’ del suono adiabatica (con γ=5/3 per un gas ideale monoatomico):

• Nell’ epoca prima dalla ricombinazione, la pressione e’ fornita dai fotoni ed e’ molto alta: la velocita’ del suono risultante e’indipendente da T e pari a . Inoltre . Quindi:

21

23

435

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

πρμ HJ m

kTM

23

3 1v29

35v

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=→==

+γρπρ

μργ

Bs

BJ

Hs G

MmkTP

3/v cs =

32/34

32/3

3,

1v29 −

⋅+

∝∝⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= T

TT

GM

Bs

BradJ

γρπρ

33 TaB ∝∝ −ρ

Massa di Jeans nell’ universo primordiale• Dopo la ricombinazione cessa la pressione dei fotoni perche’ non

interagiscono piu’ con la materia. Quindi la densita’ di massa e’quella della materia che non dipende piu’ dalla temperatura dei fotoni. L’ unico termine della MJ dipendente (poco) da T e’ la velocita’ del suono. Quindi

• L’ andamento globale di MJ e’ quindi

2/323

3 1v29 T

GM

Bs

BJ ∝

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

+γρπρ

sole

J

MM

10log

)(log 10 KT

Ric

ombi

nazi

one

3−∝ TM J2/3TM J ∝

18

0

10 3

6

Evoluzione di una perturbazione adiabatica• Durante l’ epoca dominata dalla radiazione, la MJ e’ almeno 10 volte

maggiore della massa di barioni contenuti in una regione causalmenteconnessa. Quindi la crescita delle perturbazioni entrate nell’ orizzonte e’ soppressa e Δρ/ρ rimane costante.

• Nella successiva epoca dominata dalla materia la perturbazione oscilla sotto l’ effetto di gravita’ e pressione dei fotoni (oscillazioni acustiche) fino alla ricombinazione. Da qui in poi puo’ ricominciare a crescere.

sole

J

MM

10log

)(log 10 KT

Ric

ombi

nazi

one

3−∝ TM J

2/3TM J ∝

18

0

10 3

radiazione materiaEq

uiva

lenz

a

6

Evoluzione di una perturbazione adiabatica• Durante l’ epoca dominata dalla radiazione, la MJ e’ almeno 10 volte

maggiore della massa di barioni contenuti in una regione causalmenteconnessa. Quindi la crescita delle perturbazioni entrate nell’ orizzonte e’ soppressa e Δρ/ρ rimane costante.

• Nella successiva epoca dominata dalla materia la perturbazione oscilla sotto l’ effetto di gravita’ e pressione dei fotoni (oscillazioni acustiche) fino alla ricombinazione. Da qui in poi puo’ ricominciare a crescere.

sole

J

MM

10log

)(log 10 KT

Ric

ombi

nazi

one

3−∝ TM J

2/3TM J ∝

18

0

10 3

radiazione materia

Equi

vale

nza

6

• Le perturbazioni adiabatiche di dimensioni piu’ piccole non sopravvivono alla fase oscillatoria. Infatti i fotoni possono diffondere via dalle onde sopradense con lunghezza d’ onda breve (sovradensita’piu’ piccole).

• La perturbazione di densita’ sopravvive solo se le sue dimensioni sono maggiori del tratto che i fotoni con le loro continue diffusioni (random walk) riescono a percorrere durante la vita dell’ universo fino alla ricombinazione.

• Il cammino libero medio dei fotoni e’

• Quindi il numero di diffusioni e’

• E l’ allontanamento dalla posizione iniziale e’• Qui

Evoluzione di una perturbazione adiabatica

Thnσ1

=l

decdec ctn

ctN σ==

/l

σnctNd dec== l

H

recBo

H

Be m

zm

nn3)1( +

===ρρ

3

• La perturbazioni piu’ piccole che sopravvivono hanno dimensioni pari a quelle di una sfera di raggio d. Contengono quindi una massa minima pari a

• Quindi inizialmente si formano dalle perturbazioni adiabatiche solo strutture con la massa di piccoli ammassi di galassie o superiore.

• Strutture piu’ piccole possono formarsi solo dalle eventuali perturbazioni isoterme “congelate” durante la fase delle oscillazioni acustiche. Solo dopo la ricombinazione anche queste perturbazioni diventano reali fluttuazioni di densita’.

• Queste crescono se sono maggiori della massa di Jeans, che subito dopo la ricombinazione vale circa 106 Msole.

Dimensioni delle perturbazioni

soledecH

BB

B

decHB MctmctmdM 13

2/32/33

minad, 1033

434

34

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

σρπρ

σρπρπ

σnctNd dec== l

H

recBo

H

Be m

zm

nn3)1( +

===ρρ • Siccome possiamo osservare la ricombinazione misurando la mappa

della radiazione cosmica a microonde, ci dobbiamo chiedere quanto sono importanti le fluttuazioni di densita’ dei barioni a quell’ epoca, e che effetto producono sulla CMB.

• Dall’ esistenza di strutture con Δρ/ρ >1 a z=5, possiamo stabilire che

• La densita’ della materia va come a-3 e quindi come T3: quindi dovremmo misurare

• Invece le anisotropie di T della CMB sono almeno 10 volte inferiori, quindi la densita’ di barioni deve essere molto piu’ omogenea di quanto stimato sopra.

Entita’ delle perturbazioni alla ricombinazione

005.013/2

5

3/2

55

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=== z

rec

z

rec

zrec tt

tt

ρδρ

ρδρ

0015.031

≥=ρ

δρδTT

• Si pensa che la maggior parte della materia sia oscura e “debolmente interagente”: Weakly Interactive Massive Particles.

• Queste ipotetiche particelle interagiscono solo gravitazionalmente, e non interagiscono direttamente con la luce. Sono oscure. Sono previste nell’ estensione supersimmetrica del modello standard delle particelle elementari.

• La presenza di questa materia puo’ fornire la soluzione al problema delle perturbazioni: c’e’ troppo poco tempo perche’ le perturbazioni di materia barionica formino le strutture presenti ad alto redshift, a partire dalla situazione molto omogenea presente alla ricombinazione.

• La differenza tra perturbazioni barioniche e non barioniche e’ il loro comportamento prima della ricombinazione.

• A causa della forte interazione con la luce, la massa di Jeans per le perturbazioni barioniche diventa molto alta prima della ricombinazione (velocita’ del suono molto alta). Queste perturbazioni sono congelate.

Perturbazioni di WIMPs ?• Durante la fase dominata dalla materia, prima della ricombinazione, la

massa di Jeans per le perturbazioni di WIMPs e’ molto piu’ bassa, perche’ la velocita’ del suono e’ piu’ bassa.

• Le perturbazioni di WIMPs possono crescere secondo la legge

e arrivare a essere tra 0.001 e 0.01 alla ricombinazione.• Questo valore e’ sufficiente per formare le strutture che vediamo a

redshift < 10 nel tempo che intercorre. • Su queste buche di potenziale, dopo la ricombinazione, convergono i

barioni, e si possono cosi’ formare le strutture barioniche che osserviamo.

• Le perturbazioni di WIMPs interagiscono solo gravitazionalmente. Possono comunque lasciare una impronta nella CMB. Vediamo come.

Perturbazioni di WIMPs ?

3/2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

inin tt

ρδρ

ρδρ

• Siccome gli WIMPs non interagiscono elettromagneticamente, l’ unico effetto che producono sulla luce e’ tramite la loro gravita’.

• Questi effetti sono ben previsti (e verificati sperimentalmente) dalla teoria della relativita’ generale di Einstein.

• E si possono derivare in modo semplice dalle fondamenta della teoria, cioe’ dal principio di equivalenza:

• Tutti i laboratori in caduta libera e non rotanti sono completamente equivalenti per tutti gli esperimenti fisici (Einstein, 1907).

• L’ assenza di rotazione elimina gli effetti delle forze apparenti, e la caduta libera e’ un modo per eliminare gli effetti visibili localmente della gravita’.

• Secondo l’ esempio dell’ ascensore di Einstein: “una persona in un ascensore in caduta libera non sente il proprio peso, e non puo’ capire se l’ ascensore si trova sulla terra ed e’ in caduta libera, oppure se si trova nello spazio lontano da altre masse”. Qualunque esperimento faccia.

• Viceversa un ascensore fermo sulla terra è indistinguibile da un ascensore nello spazio in accelerazione a 9.8 m/s2.

Interazione tra luce e gravita’

4

• Possiamo costruire due esperimenti concettuali che ci permettono di valutare la portata del principio di equivalenza, e di stabilire che l’interazione gravitazionale deve agire anche sulla luce.

• Esperimento 1:• Montiamo nell’ ascensore un laser in modo che il fascio di luce

emesso sia orizzontale, e lasciamo cadere l’ ascensore.• La gravita’ e’ stata “abolita” nell’ ascensore, e per il principio d’

equivalenza l’ osservatore nell’ ascensore vedra’ il raggio di luce propagarsi lungo una linea retta parallela al pavimento dell’ascensore.

• Ma se questo e’ vero, l’ osservatore a terra, dove la gravita’ si sente, vedra’ il raggio di luce percorrere una curva ! Dalla composizione delmoto orizzontale della luce x=ct e del moto dell’ ascensore z=-(1/2)gt2 vediamo subito che il moto del raggio di luce nel riferimento terrestre e’ una parabola.

• La presenza di gravita’ deflette la traiettoria del raggio di luce.

Interazione tra luce e gravita’ Curvatura delle traiettorie luminosez

x

t=0 z

x

t=l/c

l

l2

21 gt

• L’ angolo di deflessione e’ dell’ ordine di

• Decisamente un esperimento concettuale !( ) arcsecrad

smmsm

cggt

101528

2

2

2

10210/10310/102

1−− ×≈≈

×

×≈≈≈

l

lϕ

La presenza di massa curva i raggi di luce !

• Il fenomeno e’ormai usuale nelle immagini dell’ HubbleSpace Telescope. Le sorgenti lontane appaiono deformate a causa delle masse interposte

• Lenti Gravitazionali

1”

terra

sole

Quigalassia QSO

Gravitational deflection of lightLRG 3-757

observer

Red galaxyL

Blue galaxyS

SL

LSLE dd

dc

GM2

4=θ

dS

dLdLS

ML can be computed frommeasured data :

Angular diameter distances are estimated from the measuredredshifts of L and S

θΕ is estimated from the image

ML = 5x1012 Msun

• Esperimento 2:• Stavolta montiamo sul pavimento dell’ ascensore un laser con

frequenza νo in modo che il fascio di luce emesso sia diretto verso l’alto, e lasciamo cadere l’ ascensore.

• La gravita’ e’ stata “abolita” nell’ ascensore, e per il principio d’equivalenza un rivelatore posto sul soffitto registrera’ , all’ arrivo della luce, la stessa frequenza νo .

• Ma per l’ osservatore a terra, il rivelatore si sta avvicinando verso il raggio di luce. All’ arrivo della luce, dopo un tempo h/c, il rivelatore ha guadagnato una velocita’ v=gt=gh/c verso il raggio di luce.

• Quindi dovrebbe vedere una frequenza spostata verso il blu di Δν/νο=v/c=gh/c2 . Se il principio di equivalenza e’ vero, questo non puo’ succedere.

• L’ unico modo per riconciliare questi due punti di vista e’ supporre che la gravita’ tenda a diminuire la frequenza della luce quando diminuisce il potenziale gravitazionale, compensando il blueshift.

• Si parla quindi di redshift gravitazionale.

Interazione tra luce e gravita’

2cgh

o

−=Δν

ν

• Questo esperimento e’ stato fatto davvero nel 1960 sulla torre dell’universita’ di Harvard (h=22.6m) da Pound e Rebka. +

• Nel loro esperimento hanno usato una sorgente di raggi gamma (quindi frequenza νο altissima), e hanno rivelato il minuscolo spostamento di frequenza grazie all’ effetto Mossbauer.

• Si puo’ misurare solo perche’ la riga gamma ha una larghezza estremamente piccola.

Redshift Gravitazionale

2cgh

o

−=Δν

ν

152 105.2 −×−=−=

Δcgh

oνν

5

• Se la luce deve evadere dal campo gravitazionale della sorgente (ad esempio di una stella), allora il redshift totale si puo’ trovare integrando l’ espressione sopra, tenendo conto della variazione dell’accelerazione di gravita’ con la distanza dal centro, e supponendo che il campo gravitazionale non sia troppo forte :

• Questo risultato puo’ essere riscritto in termini di variazione del potenziale:


2cgh

o

−=Δν

ν

22

222

1

ln

2

crGMz

crGMe

crGMdr

crGMd

oo

o

o

crGM

o

oor

o

oo

−≈−

=→−≈=

→−≈→−=

∞−

∞

∞∞

∫∫∞

ννν

νν

νν

ννν

ν

22 ccrGM

o

φνν Δ

−≈−≈Δ

• Per i fotoni del fondo a microonde, l’ uscita dalle buche di potenziale prodotte dalla materia oscura all’ epoca della ricombinazionecomporta una variazione percentuale della temperatura pari a

• Che possiamo osservare sperimentalmente: una mappa dell’anisotropia del fondo a microonde rappresenta una mappa delle fluttuazioni di potenziale gravitazionale generate dalla materia oscura all’ epoca della ricombinazione.


2cφ

νν Δ

−≈Δ

2cTT φ

νν Δ

−≈Δ

=Δ

• Una sovradensita’ fa perdere energia ai fotoni che provengono da essa, perche’ devono risalire la buca di potenziale. Per effetto del redshift gravitazionale si ha una temperatura apparente piùfredda:

• La sovradensita’ causa anche una dilatazione del tempo, per cui noi osserviamo un’ epoca piu’ primordiale (e quindi piu’ calda) laddove ci sono sovradensita’. In un campo gravitazionale piùforte il tempo scorre più lentamente:

• Ma, durante la fase di materia,

• Quindi in totale

2cTT Φ

−=δδ

2ctt Φ

−=δδ

23/2

32

32;/1

ctt

aa

TTtaaT Φ

=−=−=→∝∝δδδδ

231

cTT Φ

−=δδ

Effetto Sachs-Wolfe (1967)

Misura di WMAP• La mappa di anisotropie che possiamo misurare contiene contributi

da diverse scale angolari :

( ) ( )bTTdecRA

TT

TT

CMB

CMB

CMB

CMB

CMB

CMB ,or, lΔΔ

=Δ

Perturbazione “fredda”di grandi dimensioni

Piano Galattico

Perturbazione “calda”di piccole dimensioni

Hinshaw et al. 2006

6

Best angular resolutionBest control of foregorunds

The CMB component

33

A precision measurement

over three decades in angle, with the same instruement(intercalibration!)

You see seven peaks by eye

34

6 parameters model(Λ‐CDM)

Prossimi appuntamenti :• Venerdì 24/1/2014 ore 8:00 aula Amaldi: secondo

Esonero Astrofisica• 5/2/2014 ore 9:00 aula Conversi prova scritta di

Astrofisica (vale anche per recuperare esoneri)• 10/2/2014 ore 9:00 studio PdB inizio orali.

Segnarsi sui fogli per scegliere data orale.• 20/2/2014 ore 9:00 aula Conversi prova scritta di

Astrofisica (vale anche per recuperare esoneri)• 26/2/2014 ore 9:00 studio PdB inizio seconda

sessione orali. Segnarsi sui fogli per scegliere data orale.

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