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Febbraio 2015 Introduzione alla statistica per le scienze economiche e sociali 1 Nome corso

Corso di Laurea in Marketing e Organizzazione dImpresa

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA PER LE SCIENZE ECONOMICHE E SOCIALI

Franco Torelli

([email protected])

Anno Accademico 2014/2015

Dipartimento di Comunicazione ed Economia

Febbraio 2015 Introduzione alla statistica per le scienze economiche e sociali 2

Obiettivi formativi

Fornire gli strumenti quantitativi essenziali e favorire la comprensione delle metodologie statistiche di base nel contesto delle scienze economiche, sociali aziendali e delle pubbliche amministrazioni.

Favorire ladozione di approcci corretti nei confronti delle indagini di tipo quantitativo, nellinterpretazione dei risultati e nella relativa esposizione e comunicazione.

Evidenziare, per mezzo di un profilo di concretezza del corso, come limpiego di opportuni metodi statistici consenta di risolvere svariate tipologie di problemi.


Introduzione al ruolo e al linguaggio della statistica

Parte I: Statistica descrittiva Classificazioni dei dati e rappresentazioni grafiche Rapporti statistici e numeri indici Misure di posizione, di variabilit, di concentrazione Analisi bivariata: correlazione e regressione lineare semplice

Contenuti

Parte II: Probabilit e statistica inferenziale Nozioni elementari di probabilit Distribuzioni di probabilit Distribuzioni campionarie e intervalli di confidenza Stime puntuali e stime per intervallo Metodi di campionamento Verifica delle ipotesi: i test statistici


1 INTRODUZIONE AL RUOLO E AL LINGUAGGIO DELLA STATISTICA


Il significato di statistica

Si tratta di un insieme di metodologie che hanno come scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi

Collettivi di stato: individuabili in modo preciso solo se riferiti a uno specifico momento (es. popolazione residente)

Collettivi di movimento: individuabili in riferimento a un periodo (prodotti venduti, nascite)


Tipologie di fenomeni collettivi

I fenomeni collettivi che sono tali perch riguardano una collettivit di casi singoli. Per esempio, le caratteristiche comportamentali della popolazione dellEuropa centro-orientale.

I fenomeni relativi a un solo caso, alla cui conoscenza si pu pervenire solo con la ripetizione delle misurazioni (collettivit di osservazioni): per esempio, la quantit di bario liberata ad alta quota da una determinata apparecchiatura allo scopo di creare nubi artificiali.


Collettivit di osservazioni

Ripetendo lo stesso esperimento o la stessa misurazione, non si ottiene lo stesso risultato .

per la presenza di errori casuali di misurazione

Si tratta di errori non eliminabili completamente, che non assumono dimensioni macroscopiche

Derivano dallimpossibilit di considerare le numerose caratteristiche che influenzano il fenomeno


Errori casuali e distorsioni

Mentre gli errori casuali a volte aumentano, a volte diminuiscono il valore reale, le distorsioni operano sempre nella stessa direzione e influenzano quindi la media

La singola misurazione quindi uguale al valore reale + lerrore casuale + leventuale distorsione


Statistica descrittiva e statistica inferenziale

Lo studio dei fenomeni collettivi pu essere svolto sull'intera collettivit, oppure solo una sua parte

Se si utilizzano informazioni su una parte per trarre conclusioni o deduzioni sullintera collettivit, il campo della statistica chiamato statistica inferenziale o inferenza statistica

Al contrario, la statistica descrittiva ha come oggetto la semplice descrizione quantitativa delle caratteristiche di una collettivit, sia essa intera o parziale


Alcune definizioni Popolazione e unit

Popolazione statistica: loggetto di una indagine, linsieme degli elementi che ci interessano ai fini dell'indagine; viene utilizzato come sinonimo il termine universo statistico (per esempio, tutti i visitatori di una fiera)

Unit statistiche: sono i singoli elementi che compongono la popolazione statistica, sui quali si effettua la misurazione delle variabili (i singoli visitatori)


Alcune definizioni fenomeni e modalit

Fenomeni statistici (o variabili statistiche o caratteri statistici): sono le caratteristiche rilevate per ogni unit statistica (per esempio, la tipologia di visitatori); si distinguono in fenomeni qualitativi e fenomeni quantitativi

Modalit: sono i diversi valori che pu presentare un fenomeno (per esempio, riguardo alla tipologia di visitatore: italiano o straniero; appartenente a un settore industriale o terziario, ecc.)

Le modalit di un carattere devono essere esaustive (ossia, rappresentare tutti i possibili modi in cui un fenomeno si pu presentare)


I fenomeni qualitativi

Presentano modalit espresse con parole (es.: stato civile); sono chiamati anche mutabili. Si suddividono in ordinai e nominali.

Fenomeni ordinali: fra le modalit si pu stabilire un ordine logico (crescente o decrescente): per esempio, livello di accordo con la depenalizzazione del suicidio

Fenomeni nominali: fra le modalit si possono instaurare solo relazioni di uguale o diverso, senza che si possa adottare un ordine logico: per esempio, tipologia di negozio preferito


Ancora sui fenomeni nominali

Spesso, per praticit di elaborazione, si attribuiscono codifiche numeriche alle diverse modalit dei fenomeni nominali.

Per esempio, se si studiano i gruppi etnici di appartenenza nellAsia Centrale:

1 Kazaki 2 - Uzbeki 3 Turkmeni 4 ecc.

In questo caso, i dati che si ricavano sono

chiamati dati nominali; si tratta di dati che non provengono da operazioni di misurazione o di conteggio, ma da una codifica.


Ancora sui fenomeni ordinali

Sempre per praticit di elaborazione o di formulazione della risposta, si attribuiscono codifiche numeriche anche alle diverse modalit dei fenomeni ordinali.

I dati che si ricavano sono chiamati dati ordinali; anche in questo caso, sono dati che non provengono da operazioni di misurazione o di conteggio.

Per esempio, relativamente al livello di stagionalit di un prodotto:

1 molto contenuto 2 contenuto 3 n contenuto, n elevato 4 elevato 5 molto elevato


I fenomeni quantitativi

Presentano modalit espresse con numeri, che derivano da un'operazione di misura o di conteggio; sono chiamati anche variabili.

Fenomeni discreti: le modalit sono costituite da un numero finito di valori, che possono variare tra loro solo per un ammontare fisso (per esempio, il numero di referenze su uno scaffale di un negozio; i dipendenti di unazienda)

Fenomeni continui: la scala delle possibili modalit continua: allinterno del campo di variazione, il numero delle modalit teoricamente infinito (le modalit possono differire tra loro per entit variabili). Per esempio, la distanza tra il luogo di acquisto e la residenza dellacquirente; la statura.


Discreti e continui

Nel caso di fenomeno discreto, le modalit possono essere poste in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri interi.

Nel caso di fenomeno continuo, le modalit possono essere poste in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri reali.


Ancora sui fenomeni continui

Il loro numero di modalit teoricamente infinito.

Nella realt, pu esistere una discontinuit sperimentale, dovuta alla pi o meno accentuata sensibilit dello strumento di misurazione (per esempio, lanemometro nel caso del vento)

Uno strumento dotato di sensibilit infinita potrebbe fornire valori con un numero infinito di cifre.


Scale di intervallo

Una scala di intervallo ha il punto di origine fissato convenzionalmente, come punto di riferimento (per esempio, scala dei gradi centigradi per la temperatura: il punto zero non significa assenza di temperatura).

In queste scale, hanno significato le differenze, ma non i rapporti: tra due temperature, possiamo affermare che una inferiore allaltra, ma non conosciamo il loro rapporto.


Scale di rapporto

Una scala di rapporto ha il punto di origine legato in modo naturale allassenza di valore, come punto di riferimento (per esempio, lavanzamento della linea di terra alla foce di un fiume, per effetto dei sedimenti: il punto zero ha il significato di assenza di avanzamento).

In queste scale, hanno significato sia le differenze, sia i rapporti: tra due fiumi, possiamo affermare che uno presenta un avanzamento della linea di terra corrispondente a due terzi dellaltro.


I descrittori

Un parametro un valore numerico che descrive una caratteristica della popolazione; per esempio, laspettativa media di vita alla nascita di una intera popolazione, la deviazione standard dellet di una popolazione, ecc. Si rappresenta solitamente con una lettera greca.

Una statistica un valore numerico che descrive una caratteristica del campione. Per esempio, la media e la deviazione standard di un campione di studenti in riferimento al punteggio con cui si sono diplomati. Si rappresenta solitamente con una lettera romana.


Le fonti statistiche


Dati primari e dati secondari

Dati primari: devono essere costruiti, per

mezzo di una indagine sul campo

Dati secondari: sono gi stati costruiti da altri e sono reperibili tramite ricerche desk

Prima di procedere a una rilevazione diretta dei dati, indispensabile esaminare le informazioni gi esistenti:

il costo per costruire dati primari in genere superiore al costo per raccogliere dati secondari

i dati secondari possono costituire una base conoscitiva per impostare la rilevazione dei dati primari


I fornitori dei dati secondari

Sono gli enti, le istituzioni, gli organismi che, a titolo diverso, effettuano rilevazioni (fonti statistiche)

I dati possono essere su supporti realizzati dalla stessa fonte statistica, oppure realizzati da altri (mezzi di informazione statistica)

Per valutare la qualit di un dato, particolarmente utile effettuare incroci tra i dati delle diverse fonti


Parametri per valutare la qualit di un dato

Accessibilit

Attendibilit e metodologie utilizzate

Completezza

Livello di aggiornamento

Grado di dettaglio

Esistenza di interessi da parte della fonte


Gli accorgimenti per lo svolgimento di una indagine statistica


Limportanza di impostare correttamente una indagine statistica

Per ottenere risultati affidabili occorre seguire procedure rigorose e controllare (limitare) i fattori di disturbo dellindagine

Occorre soprattutto partire da unottica corretta e non distorta

Per esempio, se si effettua uno studio su due gruppi di soggetti, per ottenere risultati comparabili necessario le caratteristiche dei due gruppi siano corrispondenti


Alcuni casi - 1

Poliomielite: gli studi sugli effetti del vaccino

Mezzo milione di bambini venne vaccinato (gruppo di trattamento)

Per mezzo milione di bambini la famiglia rifiut la vaccinazione (gruppo di controllo)

1 milione non fu deliberatamente vaccinato (gruppo di controllo)

il problema: la poliomelite colpiva maggiormente i

benestanti, e nel gruppo di trattamento erano pi frequenti i benestanti


Alcuni casi - 2

Per verificare leffetto di un farmaco, non dovrebbero essere i pazienti a scegliere il gruppo in cui entrare (di trattamento o di controllo)

Si avrebbe il rischio di una sproporzione di pazienti pi attivi, meno rassegnati, pi attenti, pi consapevoli nel gruppo di trattamento

Occorre un esperimento controllato, dove la casualit statistica a stabilire chi far parte del gruppo dei due gruppi

Conviene utilizzare anche dei placebo, e sia i pazienti, sia i medici dovrebbero essere alloscuro del gruppo di appartenenza (esperimento double blind)


Alcuni casi - 3

Gli studi sulleffetto del fumo sono studi sul campo (i soggetti stessi si assegnano alluno o allaltro gruppo)

Si osserva una forte associazione tra fumo e malattie cardio-circolatorie

Attenzione, per: gli uomini, pi forti fumatori rispetto alle donne, sono comunque pi esposti a disturbi di tipo cardio-circolatorio


Alcuni casi - 4

Lo Stato della California aveva valutato lefficacia di un programma di riabilitazione dopo luscita dal carcere, con lobiettivo di ridurre il tasso di recidivi.

Il programma, la cui adesione era su base volontaria, prevedeva anche alcuni anni di addestramento in stile militare, improntato a una severa disciplina.

I primi risultati sembravano indicare un buon funzionamento del metodo, che riduceva la probabilit di rientro in carcere entro due anni dal rilascio.

Ma il problema era ladesione volontaria, che rendeva i due gruppi non comparabili.


Alcuni casi - 6

Obiettivo: misurare leffetto dellavanzamento dellet sulla statura

In un determinato momento, laltezza delle persone anziane inferiore allaltezza delle persone giovani, non solo perch i soggetti calano con il passare degli anni, ma soprattutto perch appartengono a generazioni diverse

Indagine cross section: in un determinato momento

Indagine longitudinale: i soggetti vengono seguiti nel tempo


Indagini longitudinali

Per studiare statisticamente il fenomeno delle carriere criminali (dallaggressivit e disonest nellinfanzia alla violenza adulta), per analizzare limportanza, migliorativa o peggiorativa, della prima condanna

fondamentale realizzare indagini longitudinali


2 CLASSIFICAZIONI DEI DATI E RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE


La classificazione delle unit statistiche

Classificazioni unidimensionali, basate su un singolo fenomeno (distribuzioni di frequenze)

Classificazioni bidimensionali, basate su coppie di fenomeni (tabelle a doppia entrata o incroci)

Classificazioni multidimensionali, basate su pi di due fenomeni (tabelle a entrata multipla)


Le distribuzioni di frequenza

Una distribuzione di frequenza registra ogni modalit con cui il fenomeno si presenta e il corrispondente numero di volte in cui la singola modalit si presenta

La frequenza il numero di volte con cui una modalit si presenta: per la modalit i, indicata con fi

La frequenza cumulata la frequenza con cui si presentano le modalit di ordine inferiore o uguale a una certa modalit. Si indica con fi

La frequenza relativa di una modalit la frequenza di questa modalit, rapportata al totale delle frequenze. Si indica con rfi (pu essere su scala 1 o su scala 100, in questo secondo caso si tratta di una frequenza relativa percentuale)


Distribuzioni di frequenza: alcune modalit operative

Nel caso di un fenomeno quantitativo continuo, occorre scegliere classi di opportuna ampiezza

Ampiezza di una classe: differenza tra l'estremo superiore e l'estremo inferiore

Per convenzione: lintervallo comprende l'estremo inferiore, ma non quello superiore (intervallo aperto a destra e chiuso a sinistra)

Aumentando il numero delle classi (e riducendone quindi l'ampiezza) si raggiunge una maggior precisione, ma si attenua la sintesi del fenomeno

Quando possibile, le classi devono essere di uguale ampiezza


Le tabelle a doppia entrata: i contenuti

I numeri all'interno della tabella sono le frequenze di casella

Al margine di ogni riga si trovano i totali marginali di riga

Al margine di ogni colonna si trovano i totali marginali di colonna

Nell'ultima riga dell'ultima colonna si trova il totale generale


Le tabelle a doppia entrata: categorie

Una tabella a doppia entrata con almeno un fenomeno qualitativo si chiama tabella di contingenza

Se entrambi i fenomeni sono quantitativi, si parla tabella di correlazione


Le tabelle a entrata multipla

Il numero di caselle di una tabella a pi di due entrate uguale al prodotto del numero delle modalit (o classi) di ciascuno dei fenomeni considerati

Cresce quindi molto rapidamente con l'aumentare del numero di fenomeni che si vuole considerare

Il rischio quello di ottenere tabelle di difficile lettura

inoltre, probabile che in molte caselle la frequenza sia uguale o prossima allo zero


Limpostazione del database

Per elaborare correttamente una base di dati, fondamentale impostarla efficacemente ...

... cercando gi a priori di capire quali elaborazioni saranno opportune.

Un database in excel normalmente viene impostato con ogni unit statistica in riga e ogni fenomeno statistico in colonna. Il contenuto delle caselle corrisponde alle singole modalit


Un esempio di impostazione: visitatori di una fiera

Num progr. giorni di ingresso

padiglioni visitati

altre fiere visitate della stessa

tipologia et

1 3 3 3 43

2 4 4 5 46

3 4 4 8 36

4 4 4 5 18

5 4 5 6 43

6 4 6 8 28

7 3 3 4 45


Le rappresentazioni grafiche

Un grafico un modo immediato per presentare le informazioni

Un grafico pu essere costruito anche per analizzare i dati: pu suggerire ipotesi sulla distribuzione dei dati, porre in luce relazioni tra pi fenomeni, come nel caso riportato di seguito


Due categorie di grafici

Grafici universali, applicabili a una infinit di casi; per esempio:

Spezzate

Grafici a settori circolari

Grafici a radar

Grafici a barre

Istogrammi

Ideogrammi, contenenti figure e immagini relative all'argomento trattato


Fosforo totale in superficie e sul fondo alla stazione di rilevazione di Cesenatico (mg/mc)


Grafico a radar: numero giornaliero di scontrini di tre ipermercati

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

luned

marted

mercoled

gioved venerd

sabato

domenica

A

B

C


Grafico a settori circolari: ripartizione delle italiane appartenenti

alla fascia det 18-39 che ricordano un messaggio pubblicitario


Grafico a barre: emissioni di carbonio da parte di alcuni paesi (milioni tonnellate)


Istogramma

una tra le rappresentazioni grafiche universali pi utilizzate

un grafico adatto ai fenomeni continui, in cui i rettangoli hanno basi uguali o diverse tra loro, e ogni rettangolo ha unarea proporzionale alla corrispondente frequenza

I rettangoli sono affiancati (e non separati)

fondamentale impostare correttamente gli assi


Fenomeni quantitativi con classi di uguale ampiezza

I rettangoli dellistogramma hanno altezza corrispondente alla frequenza e base corrispondente allampiezza della classe

Larea e laltezza sono proporzionali alla frequenza


Esempio

Altezze (centimetri) p%k

155-160 5

160-165 10

165-170 15

170-175 25

175-180 20

180-185 15

185-190 10

TOTALE 100


Distribuzione campione per statura


Fenomeni quantitativi con classi di differente ampiezza

I rettangoli dellistogramma hanno altezza corrispondente alla densit di frequenza (rapporto tra la frequenza e l'ampiezza della classe) e base corrispondente allampiezza della classe

Larea (e non laltezza) proporzionale alla frequenza

Questo consente le giuste proporzioni tra le frequenze delle classi e le aree dei rettangoli


Esempio di distribuzione di frequenza di un fenomeno continuo: pressione sanguigna sistolica in un campione di soggetti

Pressione (millimetri di mercurio - mmHg)

%

90-95 4

95-100 7

100-110 19

110-120 21

120-130 27

130-150 17

150-180 5

TOTALE 100


Rappresentazione non corretta: altezza del

rettangolo proporzionale alla numerosit


Rappresentazione corretta: area del rettangolo proporzionale alla numerosit (altezza proporzionale alla densit)


3 RAPPORTI STATISTICI E NUMERI INDICI


Rapporti statistici


La possibilit di comparare i dati

Unoperazione che spesso si compie sui dati statistici il confronto tra i valori di un fenomeno quantitativo, con riferimento a diverse unit statistiche.

Il raffronto diretto ha per significato solo a parit di circostanze.

Ad esempio, il confronto tra la produzione mensile di rifiuti urbani da parte di due famiglie non ha molto significato se non si considera il numero di componenti.


Le principali categorie

In questi casi, meglio non utilizzare i valori originari, bens i quozienti tra essi e una opportuna grandezza, considerata come indice di dimensione.

Tali quozienti vengono denominati rapporti statistici.

Le principali categorie di rapporti statistici sono:

- i rapporti di composizione;

- i rapporti di densit;

- i rapporti di derivazione;

- i rapporti di coesistenza.


I rapporti di composizione

Rappresentano una quota dell'ammontare complessivo di un fenomeno.

Il rapporto di composizione infatti il quoziente tra l'ammontare riferito a una modalit del fenomeno e il totale del fenomeno stesso

oppure tra lammontare riferito a una singola unit del collettivo e il totale del fenomeno.

Esempio: quoziente tra il numero di europei cattolici protestanti e tutti gli europei cattolici


I rapporti di densit - 1

Sono il quoziente tra il valore di un fenomeno quantitativo e un indice che pu essere considerato come il suo campo di riferimento.

Per confrontare le popolazioni di due paesi, si pu porre a confronto il numero degli abitanti.

In questo modo, per, linformazione che si ottiene indica solo quale il paese pi abitato (popolazione pi numerosa)

Pu essere pi utile conoscere quale il paese pi popolato, ossia con la popolazione pi fitta.


A questo fine, occorre rapportare il numero degli abitanti all'estensione del territorio. Si calcola cio la densit della popolazione, che il quoziente tra numero di abitanti e la superficie (espressa, di norma, in km quadrati).

Si potrebbe rapportare la popolazione alla parte abitabile del territorio (escludendo, per esempio, le superfici occupate dai laghi).

Altri esempi di rapporti di densit sono la superficie forestale per 100 abitanti, la quantit di nitrati per 1000 litri di acqua, la spesa per acquistare carburante per abitante, ecc.

I rapporti di densit - 2


I rapporti di derivazione

Sono il quoziente tra le entit di due fenomeni, di cui uno costituisce il presupposto dellaltro.

Per esempio:

il quoziente di natalit (rapporto tra il numero dei nati vivi in un certo anno e la popolazione)

il quoziente di fecondit (rapporto tra il numero di nati vivi in un anno e il numero medio di donne in et feconda nello stesso anno)


I rapporti di coesistenza

Sono il quoziente tra le entit di due fenomeni, posti a raffronto al fine di valutare l'eventuale squilibrio.

Lindice di vecchiaia un esempio tipico: il quoziente tra la popolazione di 65 anni e oltre e la popolazione sino a 14 anni

Un ulteriore esempio, relativo alle foreste tropicali, il quoziente tra ettari disboscati ed ettari rimboscati (pari a circa 12 in Africa, a 25 in Asia, ecc.)


Numeri indici


Definizione

i numeri indici sono rapporti finalizzati a confrontare le intensit di un fenomeno o pi fenomeni in tempi diversi oppure in situazioni diverse (ad esempio, in differenti regioni)

si hanno infatti numeri indici temporali e numeri indici territoriali

i n. i. servono quindi a misurare variazioni relative


Variazioni assolute e relative

Se analizziamo una serie storica, le variazioni da un periodo all'altro possono essere misurate in termini assoluti (differenze) o relativi (rapporti)

Le differenze assolute dipendono dall'ordine di grandezza e dallunit di misura

Le variazioni relative, nella maggior parte dei casi, sono pi efficaci


Il calcolo dei numeri indici

Per trasformare una serie storica in una serie di numeri indici, si devono dividere i termini xt (t = 1, 2, ... , n) per un denominatore, appartenente alla stessa serie, e moltiplicare i quozienti per 100

Si chiama base il termine assunto come denominatore dei rapporti


Numeri indici a base fissa

Si ottengono quando tutti i termini della serie vengono rapportati alla stessa base (spesso, il primo termine della serie)

xt

1 I t = ________

x1

Il simbolo a sinistra di I indica il periodo base, quello a destra indica il periodo di riferimento del calcolo


Linterpretazione

Sottraendo 100 da un numero indice a base fissa si ottiene la variazione percentuale del fenomeno rispetto al tempo base


Cambio base

I numeri indici con una base fissa, ad esempio

con base x1, possono essere trasformati in

numeri indici con diversa base fissa, ad esempio

con base x2, dividendoli per 1I2

1 I t

_____ = 2 I t

1 I 2


Numeri indici a base mobile

Si ottengono quando ogni termine della serie viene rapportato al termine precedente

xt

t-1 I t = _____

xt-1

Il numero indice a base mobile relativo al primo anno della serie storica non pu essere determinato non essendo noto il valore del fenomeno nell'anno precedente

Sottraendo 100 da un numero indice a base mobile, si ottiene la variazione percentuale del fenomeno rispetto al tempo precedente


Da base fissa a base mobile

Per passare da una serie di indici a base fissa alla corrispondente serie di indici a base mobile, sufficiente dividere ciascun indice a base fissa per lindice immediatamente precedente

1 I t

_____ = t-1 I t

1 I t-1


Da base mobile a base fissa

Per passare da una serie di indici a base mobile alla corrispondente serie di indici a base fissa, ad esempio a base x1, occorre moltiplicare fra loro gli indici a base mobile dal tempo 2 fino al tempo considerato

1It = 1I2 2I3 ... t-1 I t


Una avvertenza

Tutte le operazioni sui numeri indici devono essere effettuate dopo avere diviso per 100 i numeri indici

stessi

In altri termini, le operazioni devono avvenire sugli indici rapportati a 1, non a 100


I numeri indici composti

Si utilizzano per sintetizzare, mediante un'unica serie di numeri indici, le variazioni relative di diverse serie storiche

Nella maggior parte dei casi, opportuno assegnare un peso (g) a ciascuna serie, calcolando quindi una media ponderata (si veda il capitolo sulle misure di posizione)


Due tecniche per calcolare numeri indici composti ponderati mediante i valori

Laspeyres: il sistema di pesi (il paniere) viene mantenuto fisso (solitamente, quello del tempo base) per tutti i periodi della serie storica: se stiamo calcolando l'indice composto dei prezzi del 2014 con base 1995, utilizziamo il paniere del 1995

Paasche: il paniere variabile di anno in anno: se stiamo calcolando l'indice composto dei prezzi del 2014 con base 1995, utilizziamo il paniere del 2014


Le due formule

Indice di Laspeyres

[(1 I t ) g1]

1 I t composto = __________________________

g1

Indice di Paasche

[(1 I t ) gt]

1 I t composto = __________________________

gt


Indici composti: un esempio - dati di base

Numeri indici della salinit del mare in corrispondenza dellimmissione del Po

Anni Goro Adria

2009 100,0 100,0 2010 99,4 100,4 2011 103,5 101,2 Portata del fiume (mc/sec)

Anni Goro Adria

2009 240 185 2010 248 187 2011 261 191


0,994 240 + 1,004 185

09 I10 = __________________________________ 100

240 + 185

1,035 240 + 1,012 185

09I11 = __________________________________ 100

240 + 185

Indici composti: un esempio il calcolo con il metodo di Laspeyres


Indici composti: un esempio il calcolo con il metodo di Paasche

0,994 248 + 1,004 187

09 I10 = __________________________________ 100

248 + 187

1,035 261 + 1,012 191

09I11 = __________________________________ 100

261 + 191


Il calcolo dellinflazione

Uno dei casi pi significativi di applicazione dei numeri indici composti il calcolo dell'inflazione

Si utilizza un campione rappresentativo di prodotti (paniere), ma non si attribuisce la stessa importanza alla variazione di prezzo di prodotti le cui vendite hanno differente rilevanza

indispensabile un sistema di ponderazione relativo alla dimensione delle vendite dei diversi beni


Deflazionamento

Gli indici dell'inflazione sono uno strumento per deflazionare i prezzi e per calcolare l'indice del potere di acquisto della moneta

Deflazionare significa depurare l'andamento di un prezzo dalle variazioni dovute allinflazione ..

.. e valutare quindi l'evoluzione di quel prezzo in termini reali, passando dai valori in moneta corrente ai valori in moneta costante

il deflazionamento consiste nel dividere i prezzi

del prodotto considerato per gli indici dell'inflazione


4 MISURE DI POSIZIONE E MISURE DI VARIABILITA


Misure di posizione


Il calcolo di una media

Ha lo scopo di rappresentare con un solo indicatore un insieme dei dati, evidenziando quindi l'ordine di grandezza

Le medie possono essere distinte in:

medie ottenute in base a un vincolo analitico

medie che fanno riferimento alla posizione dei valori


MEDIE

ANALITICHE

(su fenomeni quantitativi)

aritmetica

geometrica

quadratica

ecc.

DI POSIZIONE

mediana (su fenomeni quantitativi e qualitativi ordinali)

moda (su tutti i fenomeni)


Le medie analitiche

Il calcolo di una media analitica consiste nel determinare un'opportuna operazione che viene applicata all'insieme dei valori

importante individuare l'operazione pi opportuna per la specifica situazione


Le principali medie analitiche

Media aritmetica (l'operazione la somma dei valori)

media aritmetica semplice

media aritmetica ponderata

Media geometrica (l'operazione il prodotto dei valori)

Media quadratica (l'operazione il quadrato dei valori)


La media aritmetica

__

La media campionaria si indica con X

La media della popolazione si indica con

In tanti casi, per indicare in modo generico la media aritmetica si utilizza M


La media aritmetica semplice

Somma dei valori divisa per il numero dei valori

x1 + x2 + ... xi + ... xn xi ____________________________ = __________

n n


La media aritmetica ponderata: quando viene utilizzata

Quando i dati sono presentati in una distribuzione di frequenze, dove a ogni modalit corrisponde una certa numerosit di unit statistiche (pesi)

In generale, quando si ritiene utile (o necessario) ponderare i valori con un opportuno sistema di pesi, in quanto ragionevole dare a ogni valore un proprio livello di importanza


Media aritmetica ponderata

Somma dei prodotti di ogni valore con il relativo peso (p),

divisa per la somma dei pesi

x1 p1 + x2 p2 + .. + xi pi + ... xn pn

_______________________________________________________

p1 + p2 +. + pi + + pn

(xi pi)

________________

pi


Primo esempio di media aritmetica ponderata - dati di partenza: numero di acquirenti di un prodotto per durata del

processo decisionale in minuti

Minuti (xi) Acquirenti

(n)

1 71

2 77

3 98

4 88

5 95

6 49

7 22


Primo esempio di media aritmetica ponderata: calcolo

(1 71) + (2 77) + (3 98) + (4 88) + (5 95) + (6 49) + (7 22) M = 71 + 77 + 98 + 88 + 95 + 49 + 22

1794 M = = 3,588 500


Secondo esempio di media aritmetica ponderata - dati di partenza: velocit del vento rilevata ed estensione dellarea coinvolta

Aree rilevate Velocit del vento (km/ora)

Area coinvolta

(000 kmq)

Estremo nord 221 17,7

Nord est 215 11,0

Ovest costiero 193 4,5

Ovest interno 160 9,9

Sud peninsulare 202 4,2

Sud insulare 204 7,8


Calcolo della media aritmetica ponderata

221 17,7 + 215 11,0 + ..........

______________________________________________ =

17,7 + 11,0 + .........

11168,8

= ____________ = 202,70

55,1


Calcolo della media aritmetica ponderata per un fenomeno continuo

Se il fenomeno in classi ed continuo, non si hanno i valori precisi degli xi

Si considerano come xi i valori centrali delle classi

Per eventuali classi aperte, si fissano nel modo pi ragionevole possibile gli estremi


Propriet della media aritmetica

La media di un gruppo di valori sempre compresa tra il valore minimo e quello massimo

La somma degli scarti dalla media sempre pari a zero


MEDIA QUADRATICA (rms) (root mean square)

utile quando ci sono valori negativi e valori positivi, che darebbero una media aritmetica molto prossima allo zero

maggiore o uguale alla media aritmetica

Si alzano al quadrato i valori

Si calcola la media dei quadrati

Si estrae la radice quadrata di questa media

rms = radq [ (xi)2 / n]


Esempio di media quadratica - dati di partenza: precipitazioni piovose a Bombay

Anni Scostamento dalla media (mm)

1971 173

1972 83

1973 -16

1974 13

1975 -137

1976 -116


Esempio di media quadratica - calcolo

(173)2 + (83)2 + (-16)2 + (13)2 + (-137)2 + (-116)2

rms = ____________________________________________________________

6

69468

rms = radq __________ = radq (11578) = 107,601

6


La media geometrica (Mg)

Radice n-esima del prodotto degli n valori:

Si utilizza per il calcolo della media del tasso di interesse, oppure del tasso di incremento o di decremento

In questi casi, la somma non idonea a fornire il reale ordine di grandezza del fenomeno

nnxxx ...21


Esempio di calcolo di una media geometrica

La vendita in valore di un prodotto mostra da un anno allaltro le seguenti variazioni %:

2010: -0,6%

2011: -3,2%

2012: +1,7%

2013: +0,3%

Mg= (0,994 * 0,968 * 1,017 * 1,003)1/4

= 0, 9953 (decremento medio annuo dello 0,47%)


Le principali medie di posizione

Mediana (Me) (la modalit che si colloca al centro della successione dei termini, ordinati in senso non decrescente)

Moda (Mo) (la modalit pi frequente)


La mediana

La mediana di n osservazioni di un fenomeno quantitativo oppure qualitativo ordinale, la modalit che nella successione dei valori, ordinati in senso crescente, occupa il posto centrale

preceduta dal 50% dei valori, seguita dal 50% dei valori


La mediana: il calcolo

Con n dispari: una sola mediana

Il valore corrispondente allunit (n+1)/2

Con n pari: due mediane

I valori corrispondenti alle unit: n / 2 (n / 2) + 1


La mediana primo esempio

Relativamente alla classificazione trofica, la mediana la modalit mediocre Per quanto riguarda la temperatura, le mediane sono 16,4 e 16,5 Per il pH, la mediana 8,27

Stazione Classificazione trofica C Salinit pH

Lido di Volano Scadente 17,6 27,4 8,24

Porto Garibaldi

Scadente 16,4 28,9 8,29

Casalborsetti Mediocre 16,4 30,2 8,30

Marina di Rav. Mediocre 16,5 31,9 8,27

Lido Adriano Mediocre 16,4 31,6 8,28

Cesenatico Mediocre 16,2 32,8 8,19

Rimini Buona 16,6 33,4 8,27

Cattolica Buona 16,5 34,0 8,24


La mediana secondo esempio

(5 insegne della grande distribuzione)

Istituti n. promozioni

ultimo mese

Entit delle

promozioni

A 46 Forte

B 54 Media

C 35 Ridotta

D 40 Ridotta

E 62 Fortissima

Relativamente al numero di promozioni, la mediana 46 Per quanto riguarda lentit delle promozioni, la mediana la modalit media"


La mediana terzo esempio (dati in distribuzione di frequenza:

numero di comuni della Lombardia nord-occidentale per

numerosit di incendi nellultimo decennio)

La mediana il valore assunto dal fenomeno in corrispondenza di p'x = 0,5

Nellesempio, = 4, in quanto px = 0,5 cade nella quarta classe (considerando le prime tre insieme, infatti, non si arriva a 0,5, ma solo a 0,482)

N. incendi

(xi)

unit (frequenze)

fx

frequenze cumulate

fx

px

1 71 71 0,139 2 77 148 0,290

3 98 246 0,482 4 102 348 0,682

5 95 443 0,869 6 55 498 0,976

7 12 510 1,000

TOTALE 510


Media e mediana nelle distribuzioni asimmetriche

Nella distribuzione di una popolazione o di un campione, la media non separa in due parti uguali le unit statistiche (tranne quando la media coincide con la mediana).

La media risente del fatto che alcuni valori siano molto distanti dalla media stessa, mentre la mediana non ne risente

Se una coda della distribuzione dei valori molto allungata, la media spostata verso questa coda, in confronto alla mediana, la quale non d cos importanza ai valori estremi della distribuzione


Tipi di asimmetria

Asimmetria negativa: coda pronunciata verso sinistra, quindi maggiore concentrazione verso le modalit maggiori

Asimmetria positiva: coda pronunciata verso destra, quindi maggiore concentrazione verso le modalit minori

Lasimmetria si misura con lindice di asimmetria di Fisher ( un indicatore di variabilit, che sar affrontato in seguito):

(xi - )3 / n ]

________________

3


Esempio di distribuzione asimmetrica: et dei decessi per cause naturali (asimmetria negativa)


I percentili

Cosa sono?

Il percentile di ordine p (100p) il valore xp che divide in due parti la distribuzione (ordinata), in modo che il p% dei valori sia prima di xp

Esempio

Il primo percentile il valore in corrispondenza del quale si raggiunge l1% delle unit

Il decimo percentile il valore in corrispondenza del quale si raggiunge il 10% delle unit


I percentili: casi particolari

Il cinquantesimo percentile corrisponde alla mediana

Il decimo percentile corrisponde al primo decile, il ventesimo percentile al secondo decile, ecc.

Il venticinquesimo percentile corrisponde al primo quartile (Q1), il settantacinquesimo percentile corrisponde al terzo quartile (Q3)


Una applicazione: rilevazione del fosforo reattivo alla stazione di Cattolica su 365 giorni (mg/mc)

100p mg (xp) 3 1,89 10 1,97 25 2,43 50 2,81 (mediana)

75 3,51 95 4,62 99 7,16

Come si interpretano?

Il 3% delle rilevazioni ha un valore < 1,89

Il 10% delle rilevazioni ha un valore < 1,97

Il 5% delle rilevazioni ha un valore > 4,62


% delle rilevazioni che hanno un valore

1,97, ma < 4,62 85%

una rilevazioni che ha fatto rilevare un valore = 1,91 in corrispondenza del

_______ percentile? Approssimativamente il quinto

100p mg (xp) 3 1,89 10 1,97 25 2,43 50 2,81

75 3,51 95 4,62 99 7,16


Box Plot

un grafico atto a rappresentare:

Una misura di posizione, solitamente la mediana (qui nellesempio indicata con Q2)

Una misura di variabilit, ossia la differenza interquartile, che in seguito approfondiremo (differenza fra Q3 e Q1)

Il valore massimo e quello minimo


La moda (Mo)

la modalit alla quale corrisponde la massima frequenza

La moda interessante quando n piuttosto elevato e quando una modalit ha frequenza molto pi elevata delle altre

Programmazione delle aperture notturne delle grandi superfici di vendita: livello di accordo

Livello di accordo n. testimoni interpellati

Accordo incondizionato 19

Accordo parziale 98

N accordo, n disaccordo 35

Disaccordo parziale 55

Disaccordo incondizionato 16

Moda: accordo parziale


Misure di variabilit


Il significato di variabilit

Una media sintetizza un gruppo di dati in un unico valore; questa operazione comporta tuttavia una perdita di informazioni

Due campioni possono fare riscontrare la stessa media, pur a fronte di situazioni molto diverse

Le misure di variabilit sono indicatori in grado di valutare in modo sintetico le differenze tra i valori di un gruppo di dati

Non assumono mai valori negativi Sono pari a zero se il fenomeno non presenta

variabilit Presentano valori crescenti all'aumentare

della variabilit


Il campo di variazione (range)

la differenza tra il valore massimo xmax e il valore minimo xmin tra quelli osservati:

xmax - xmin

Ha il difetto di tenere conto soltanto dei valori estremi, non essendo sensibile alle modificazioni nei valori intermedi (che alterano comunque la variabilit globale)


La deviazione standard o scarto quadratico medio

Si basa sugli scarti tra i singoli valori e la loro media aritmetica:

xi - M

Non sarebbe possibile utilizzare la media aritmetica degli scarti, poich la loro somma algebrica sempre nulla

Si pu invece impiegare la media dei quadrati degli scarti (rms)


Simbologia

La deviazione standard campionaria si indica con s

La deviazione standard della popolazione si indica con

Spesso, per indicare in modo generico a deviazione standard, si utilizza SD


SD: il calcolo

Si dice deviazione standard la media quadratica degli scarti di ogni valore dalla media aritmetica

SD = radq [ (xi - M)

2 / n]

La deviazione standard espressa nella stessa unit di misura dei valori del fenomeno

Il numeratore che troviamo sotto la radice quadrata, ossia (xi - M)

2 , chiamato devianza


Alcune propriet della media aritmetica e della deviazione standard

Se a tutti i valori di una serie viene sommato un numero, la media aumenta di questo valore, la deviazione standard non cambia

Se tutti i valori di una serie vengono moltiplicati per una costante, la media e la deviazione standard risultano moltiplicate per questa costante


Caso 1

1, 3, 4, 5, 7 6, 8, 9, 10, 12

(y = x + 5)

media 4 9

SD 2 2


Caso 2

1, 3, 4, 5, 7 3, 9, 12, 15, 21

(y = x 3)

media 4 12

SD 2 6


Caso 3

5, - 4, 3, - 1, 7 - 5, 4, - 3, 1, - 7

(y = -x)

media 2 - 2

SD 4 4


La varianza

La varianza il quadrato della deviazione standard

Non espressa nella stessa unit di misura del fenomeno, ma nel quadrato di questa unit di misura


Altre misure di dispersione

Differenza interquartile (utile soprattutto quando la distribuzione dei valori non approssimabile con la distribuzione normale)

la differenza tra il 75esimo percentile e il 25esimo percentile


Gli indici relativi di variabilit

Quando due fenomeni hanno unit di misura diverse, il confronto diretto in termini di variabilit non proponibile

In altri casi, il confronto tra la variabilit di due fenomeni pu essere poco utile per il diverso valore medio dei fenomeni (per esempio, redditi e spesa per generi farmaceutici)

Altre volte, si vorrebbe sapere se la variabilit forte oppure debole

Per affrontare questi problemi, si utilizzano gli indici relativi di variabilit, da cui viene eliminata l'influenza dell'unit di misura e della dimensione media dei fenomeni considerati


Gli indici di variabilit rapportati a un valore medio

Il pi utilizzato il rapporto tra la deviazione standard e la media aritmetica

Si ricava in questo modo il coefficiente di variazione (CV):

CV = _____

M

Solitamente, CV viene moltiplicato per 100, per agevolarne la lettura; si interpreta quindi come la % della sulla media


Obiettivi del calcolo del CV

Confronto tra variabilit calcolate su fenomeni con unit di misura diverse o con ordini di grandezza molto differenti

Il CV pu presentare valori superiori all'unit (o a 100, se stato moltiplicato per 100), quando la deviazione standard maggiore della media

Il CV perde di significato se il fenomeno pu presentare valori negativi e positivi; in questo caso, la media pu risultare molto prossima a zero


Gli indici di variabilit rapportati al loro massimo

Sono idonei a rispondere a una domanda di questo tipo:

La variabilit espressa da una deviazione standard, o da una varianza, forte o debole?

Si calcolano indicatori il cui campo di variazione standard (solitamente, l'intervallo 0 1)


Il procedimento

Si identifica la situazione di massima variabilit (presente quando il fenomeno assume soltanto i due valori pi distanti tra loro)

Come individuare il massimo valore che la deviazione standard pu assumere? Si calcola il campo di variazione teorico (differenza tra il valore massimo possibile e il valore minimo possibile) e si divide per due

Si rapporta la deviazione standard effettivamente ottenuta al valore massimo che esso pu assumere


Un problema

A volte, si ha difficolt a individuare in maniera oggettiva il valore minimo teorico e soprattutto il valore massimo teorico che il fenomeno pu assumere

In questi casi, come valore massimo teorico si adotta semplicemente il valore pi alto tra quelli osservati


5 LA CONCENTRAZIONE


Il significato di concentrazione

un caso particolare di variabilit, in cui il fenomeno:

perfettamente trasferibile

assume soltanto valori non negativi

Fra le diverse misure di concentrazione, l'indice pi utilizzato il rapporto di concentrazione


Persone con un particolare stile di vita in Nord Europa

Paesi ni 000 persone (xi)

Finlandia 1 57

Estonia 1 35

Norvegia 1 42

Danimarca 1 30

Svezia 1 48

TOTALE 5 212


Il metodo - 1

Per calcolare il rapporto di concentrazione occorre ordinare i valori in senso crescente (o per lo meno in senso non decrescente, se compaiono valori uguali)

In secondo luogo, necessario calcolare le frequenze relative (fi) ossia il rapporto tra ni e il numero di valori considerati (nellesempio, 5)

Si calcolano poi le quantit relative (qi) ossia xi / xi (nellesempio, xi = 212)


Il metodo - 2

Successivamente, si calcolano le frequenze relative cumulate e le quantit relative cumulate

La frequenza relativa cumulata (fi) in corrispondenza di ogni ni, si ottiene sommando la frequenza relativa corrispondente allni in esame e tutte le frequenze relative precedenti

La quantit relativa cumulata (qi) in corrispondenza di ogni ni, si ottiene sommando la quantit relativa corrispondente allni in esame e tutte le quantit relative precedenti


Frequenze e quantit relative

ni xi fi qi f i q i

1 30 0,2 0,1415 0,2 0,1415

1 35 0,2 0,1651 0,4 0,3066

1 42 0,2 0,1981 0,6 0,5047

1 48 0,2 0,2264 0,8 0,7311

1 57 0,2 0,2689 1 1

Totale 5 212 1 1


Equidistribuzione

Se il fenomeno equamente distribuito tra le diverse unit statistiche, abbiamo:

f1 = q1 f2 = q2 . . . . . . fn = qn

di conseguenza:

f'1 = q'1 f'2 = q'2 . . . . . . fn = q'n

In caso contrario (come nella realt solitamente avviene):

f'1 > q'1 f'2 > q'2 . . . . . . f'n-1 > q'n-1 f'n = q'n


In termini grafici

Si disegna un diagramma con i punti individuati dalle coppie (f'i, q'i)

Si pone convenzionalmente

f'0 = 0 e q'0 = 0

Si ottiene in questo modo una spezzata di concentrazione, contenuta in un quadrato di lato unitario, con la concavit rivolta verso l'alto


0

1

0 1

Spezzata di concentrazione

q'1

f'1

B

q'4

q'3

q'2

O

A

f'4 f'3 f'2


La curva di Lorenz

Quando n pi elevato rispetto al caso considerato come esempio, si possono unire i punti della spezzata con una linea smussata

Si ottiene cos la cosiddetta curva di concentrazione o curva di Lorenz

La situazione di equidistribuzione corrisponde alla diagonale, i cui punti hanno ascissa e ordinata uguali

La superficie delimitata dal segmento di equidistribuzione e dalla spezzata (o dalla curva) di concentrazione, larea di concentrazione


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Curva di Lorenz

area residua

B

O

A

area di con-

centrazione


Il rapporto di concentrazione di Gini

area di concentrazione R = ____________________________________________

area di massima concentrazione

Ovvero, in termini matematici: R = 1 - [(q'i + q'i-1) fi]

area di massima concentrazione: triangolo OAB


Linterpretazione

R oscilla tra i seguenti limiti:

R = 0, nel caso di equidistribuzione

R = 1, nel caso di massima concentrazione

Ad esempio, R = 0,6 significa che la concentrazione pari al 60% del massimo possibile


Alcune propriet di R

Rimane invariato moltiplicando ciascun valore per una costante > 0 (es: redditi prima in euro, poi in dollari)

Sommando una costante c a ogni valore, diminuisce se c > 0, aumenta se c < 0, con il vincolo (xi + c) > 0

Infatti, se c > 0, l'aumento risulta in termini relativi pi elevato per i valori piccoli (per esempio, un aumento di stipendio di ammontare identico per ogni occupato)

L'opposto si verifica se c < 0 (per esempio, una tassa di ammontare uguale per tutti i redditi)


6 ANALISI BIVARIATA: CORRELAZIONE E REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE


Correlazione


Correlazione: qualche definizione preliminare

Correlazione: studio della relazione tra due fenomeni quantitativi

Alcuni valori di X si associano frequentemente a specifici valori di Y?

Conoscendo il valore di X per una unit statistica, si pu predire il valore di Y?


Dipendenza e interdipendenza

Relazioni di dipendenza: quando un fenomeno un antecedente (temporale, logico o di altro genere) rispetto a un altro

Relazioni di interdipendenza: i fenomeni si collocano sullo stesso piano, non esistendo tra loro un fenomeno antecedente e un fenomeno conseguente


Lanalisi di correlazione

finalizzata allo studio dellassociazione esistente tra due fenomeni quantitativi, in termini di interdipendenza


I primi passi

Rappresentazione grafica dei dati con un diagramma di dispersione

Calcolo degli scostamenti di ogni valore dalla media:

se a scostamenti positivi di un fenomeno corrispondono scostamenti positivi dell'altro, allora esiste una relazione diretta

altrimenti, la relazione inversa (a scostamenti positivi delluno corrispondono scostamenti negativi dellaltro)


La covarianza

un primo indicatore in grado di fornire informazioni sull'intensit e sulle caratteristiche delle relazione esistente tra due fenomeni quantitativi

COV (X,Y)

la media dei prodotti dei rispettivi scostamenti dalla media (x'i e y'i)

(x'i y'i)

COV (X,Y) = ______________

n


Il problema della covarianza

Quando la covarianza assume valori positivi, si in presenza di una relazione diretta

Valori negativi segnalano una relazione inversa

Valori della covarianza pari a 0 corrispondono all'assenza di una relazione lineare tra i due fenomeni

Il problema della covarianza legato al fatto che questo indicatore espresso in termini del prodotto delle unit di misura di X e di Y


Il coefficiente di correlazione lineare

la covarianza calcolata sugli scostamenti standardizzati:

[z (xi) z (yi)]

r = ________________________

n

Cosa sono gli scostamenti standardizzati? sono gli scostamenti dalla media rapportati alla deviazione standard; ad es., per X:

xi - M(X) z (xi) =

______________

SD (X)


Una formula alternativa per il calcolo di r

COV (X,Y)

r = ______________________

SD (X) SD (Y)


Linterpretazione del coefficiente di correlazione - 1

Esprime laddensamento dei punti attorno alla retta

Misura lintensit del legame delle due variabili

sempre compreso tra 1 e + 1


pari a 1 quando si in una situazione di perfetta correlazione positiva

pari a 1 quando si in una situazione di perfetta correlazione negativa

Tende invece ad avvicinarsi a zero quando la relazione piuttosto debole

Linterpretazione del coefficiente di correlazione - 2


r invariante per cambiamenti di scala

Non cambia se si aggiunge una costante a tutti i valori di una variabile

Non cambia nemmeno se si moltiplicano tutti i valori di una variabile per una costante positiva


Associazione e causalit non sempre coincidono

L'esistenza di un elevato valore di r pu essere attribuita:

a una relazione di interdipendenza

a una relazione di dipendenza

alla dipendenza di entrambi i fenomeni da un terzo fenomeno (correlazione spuria)


Un esempio: diffusione e durata di una specie

La diffusione geografica di una specie e la sua durata nel tempo risultano tra loro associate piuttosto precisamente.

Una specie diffusa sopravvive a calamit naturali locali?

Una lunga durata tende a favorire una pi ampia diffusione geografica?

maggiore la reperibilit di fossili di specie diffuse, e ci lascia erroneamente ipotizzare una durata prolungata?


Regressione lineare


In molti casi si considerano:

Una variabile dipendente (Y): regredendo

Una variabile indipendente (X): variabile esplicativa o regressore

Solitamente, X un antecedente logico o temporale


Scopi dellanalisi di regressione

Studiare come un fenomeno dipende dall'altro

Comprendere se si pu predire la variabile dipendente (Y) partendo dalla variabile esplicativa (X)

Ad esempio, l'interesse di un ricercatore pu riguardare lindividuazione dellintensit delle polveri totali sospese in corrispondenza di diversi gradi di usura del manto stradale (e quindi dei relativi residui)


Con la regressione, quindi,

si cerca di capire quanto aumenta o diminuisce la variabile dipendente

in corrispondenza di un aumento unitario della variabile indipendente

Per esempio, lentit delle modificazioni nello strato di ozono rispetto a un incremento unitario di clorofluorocarburi diffusi nellalta atmosfera


Linterpolazione lineare

Occorre una funzione interpolante, una funzione analitica che sia il pi possibile vicina ai punti (xi,yi)

Interpolazione di una successione di punti: adattamento ai valori osservati di una opportuna funzione

Limitando lanalisi all'interpolazione lineare, si hanno funzioni del tipo:

y = a + b x

A volte, i simboli utilizzati sono: y = 0 + 1 x


I parametri della funzione

L'intercetta a (0) il valore teorico della variabile dipendente in corrispondenza di un valore nullo della variabile esplicativa (in sintesi, il valore di Y quando X = 0); ha la stessa unit di misura di y

La pendenza b (1) (o coefficiente angolare) l'entit della variazione teorica della variabile dipendente in corrispondenza di un incremento di una unit della variabile esplicativa quindi espressa in termini di unit di Y / unit di X: infatti, la variazione verticale / variazione orizzontale


Interpolazione ed estrapolazione

Lutilizzo della funzione per predire valori di Y nellintervallo osservato dei valori di X chiamato interpolazione

Lutilizzo della funzione per predire valori di Y allesterno dellintervallo osservato dei valori di X chiamato estrapolazione


Il calcolo dei parametri

r SD (Y) b = ___________________

SD (X)

a = MY (b MX)

Per determinare i parametri della funzione

interpolante, si ricorre alla condizione dei minimi quadrati

La funzione interpolante infatti quella che rende minima la somma dei quadrati delle distanze tra i valori effettivamente rilevati di Y e i valori di Y) che possono essere dedotti dalla funzione


Esempio riferito alla percentuale di frequentatori di supermercati che ricordano la marca di un prodotto e allestensione del lineare

occupato da questo prodotto sugli scaffali (metri)

y = 17,5 + 5,3 x

r = + 0,874

17,5 (%) la quota di frequentatori che ricordano

comunque la marca di quel prodotto nellipotesi di assenza di questo prodotto dagli scaffali

5,3 (%) laumento dellla quota di frequentatori

che ricordano la marca di quel prodotto in corrispondenza di un incremento del lineare di 1 metro


Il coefficiente di determinazione (r2)

Indica la validit (o bont) della funzione adottata

il quadrato del coefficiente di correlazione (r2)

r2 esprime la quota di variabilit del fenomeno Y che spiegata dalla retta di regressione

Indica quanto la retta riassume l'effettivo legame tra i due fenomeni

Assume valori compresi tra 0 e 1

Pi si avvicina all'unit, migliore l'adattamento della retta ai valori osservati


RMSE (root mean square error) o errore standard della stima

la media quadratica dei residui (e) Si calcola agevolmente con:

RMSE = SD (Y) radq (1-r2)

Si indica anche con sy|x

Si tratta di una misura di quanto i valori osservati variano intorno alla retta di regressione

un concetto analogo allo scarto quadratico medio in riferimento alla media


RMSE rappresenta lerrore che si commette nel predire Y con laiuto di X

espresso nella stessa unit di misura di Y

Il valore di Y previsto per un determinato soggetto con laiuto della retta di regressione si discoster in media da quello effettivo per unentit pari al RMSE


Studio sulla associazione tra consumo di gelato e temperatura

X: temperatura

Y: consumo gelato (grammi/mese procapite)

X : media 25; SD 4,87

Y : media 309; SD 48,67

r: + 0,975

Pendenza 48,67 0,975 / 4,87 = 9,74

Intercetta 309 25 9,74 = 65,58

RMSE = 10,83 significa che il consumo previsto per una determinata temperatura tender a scostarsi dal valore effettivo in media per 10,83 grammi unit


Lapplicazione alle serie storiche


Definizione di serie storica

Per serie storica di un fenomeno quantitativo D si intende una successione dei valori dt (t = 1, 2, ..., n), assunti dal fenomeno in tempi (o intervalli temporali) successivi


Le finalit dellanalisi

Descrizione in termini sintetici dell'evoluzione temporale di un fenomeno

Formulazione di proiezioni sul futuro del fenomeno considerato

soggette a una importante condizione: la permanenza delle condizioni che hanno concorso a determinare l'evoluzione precedente


La stima del trend con il metodo della regressione

Il trend: la tendenza di fondo di una serie storica

Per mezzo della regressione si vuole stimare la funzione pi in grado di esprimere la relazione tra il fattore tempo e il fenomeno oggetto di studio

per poi predire il fenomeno in esame a partire dalla scansione dei tempi


Il fattore tempo come variabile indipendente

Consideriamo il fattore tempo come la variabile indipendente (x) e il fenomeno in esame (D) come la variabile dipendente (y)

Possiamo effettuare una normale analisi di regressione lineare, identificando sia la retta di regressione, sia il relativo coefficiente di determinazione (r2)


La semplificazione della scala temporale

Per semplificare i calcoli, gli anni possono essere trasformati in una unit di misura pi semplice .

. non tanto 2009, 2010, 2011, 2012, ecc. .

. quanto 1, 2, 3, 4, ecc.


La funzione y = a + b x

Esprime l'ipotesi di variazioni di ammontare costante fra due tempi consecutivi (espresse nella stessa unit di misura del fenomeno analizzato), uguali alla pendenza

Lintercetta indica il valore assunto teoricamente dal fenomeno (stimato secondo la retta interpolante) quando x = 0, ossia nel tempo immediatamente precedente al primo dei tempi presi in considerazione


Un esempio: casi di pubblicit comparativa in un determinato settore, tra il 2005 e il 2011

Anni (x) n. (y)

2005 1 28

2006 2 31

2007 3 32

2008 4 36

2009 5 36

2010 6 39

2011 7 41


r = 0,9877

pendenza pari a 2,107

intercetta pari a 26,286

y = 26,286 + 2,107 x

r2 = (0,9877)2 = 0,9756

RMSE = 4,267 radq (1 0,9756) = 0,666


Secondo la funzione lineare ricavata, si hanno

quindi variazioni di ammontare costante (in numero di casi), pari a +2,107 fra due anni consecutivi

Il numero teorico di casi quando x pari a zero (ossia, nellanno 2004) di 26,286


r2 = 0,9877

Una elevata quota di variabilit del fenomeno Y spiegata dalla retta di regressione

Quindi, la retta di regressione idonea a riassumere l'effettivo legame tra il fenomeno considerato e il fattore tempo, anche

In altri termini, tenere conto dellevoluzione della serie storica aiuta nella predizione dei valori futuri


RMSE = 0,666 significa che il numero di casi previsto per un determinato anno si discoster da quello effettivo in media per 0,666

Il confronto con la SD (Y), molto pi elevata, consente di affermare che con lutilizzo del fattore tempo nel ruolo di variabile indipendente, la capacit di predizione di Y migliora sensibilmente

In altri termini, lerrore medio di predizione con limpiego di X si riduce In misura consistente


La proiezione

Utilizzando la funzione interpolante, possibile effettuare proiezioni sul futuro del fenomeno considerato

Per esempio, per il 2013 (x = 9), possibile fare questa proiezione:

y = 26,286 + 2,107 9 = 45,25


Trend non lineari

Anche nello studio delle serie storiche, r prossimo a zero non necessariamente significa assenza di relazione (possiamo essere in presenza di una associazione non lineare)

Per esempio, la % di tannino estraibile dalla felce aquilina ha questo trend nei mesi da maggio a ottobre:


7 NOZIONI ELEMENTARI DI PROBABILITA


Definizione di probabilit

Secondo la teoria frequentista, adatta per esempio ai processi che si possono ripetere tante volte:

la probabilit di un evento la percentuale dei casi in cui tale evento pu verificarsi, sul totale dei

casi possibili


Simboli

La probabilit che si verifichi levento E si indica con P(E)

La probabilit che si verifichi levento contrario (non E) si indica con P(non E)

P(E) = [1 - P(non E)]

levento impossibile ha probabilit pari a zero


Spazio degli eventi

importante, per ogni esperimento, definire lo spazio degli eventi (S), che comprende tutti i possibili eventi. Si utilizzano solitamente le parentesi graffe per indicare tutti gli eventi possibili. Per esempio:

S = { x: 15 < x < 30}

Ogni elemento dello spazio degli eventi detto evento semplice (un evento semplice definito da una sola caratteristica)

Un qualsiasi insieme di eventi semplici detto evento congiunto o composto (un evento congiunto definito da due o pi caratteristiche)


Eventi compatibili e incompatibili

Due eventi sono incompatibili quando il verificarsi delluno esclude il verificarsi dellaltro

Due eventi sono compatibili quando il verificarsi delluno non esclude il verificarsi dellaltro


EVENTI INCOMPATIBILI

F

E


EVENTI COMPATIBILI

F

E


Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi sono indipendenti quando la probabilit che il secondo si verifichi la stessa, indipendentemente dal verificarsi o meno del primo

es.: estrazione con reimmissione

Due eventi sono dipendenti quando la probabilit che il secondo si verifichi diversa, a seconda che si sia verificato o meno il primo

es.: estrazione senza reimmissione


Probabilit condizionata

Ha significato solo nellambito degli eventi dipendenti

la probabilit che si verifichi un secondo evento (F), quando si impone una condizione sul primo evento (E)

P (F | E) (si legge: probabilit di F dato E)


Esempio di probabilit condizionata

Si stima che un complesso idrovoro sia in grado di fronteggiare una determinata piena del fiume con una probabilit del 94%.

Nel caso che si verifichi levento sopra esposto (C, ossia capacit di fronteggiare la piena), si stima che lintera area golenale sar preservata dalla piena nel 62% dei casi.

La probabilit condizionata, in questo caso, la probabilit che lintera area golenale sia preservata. La indichiamo con P(G).

P (G | C) = 0,62


Secondo esempio di probabilit condizionata

Su tutte le azioni di vendita diretta tramite Internet, un 5% dei soggetti raggiunti acquista sul momento, un altro 6% il giorno successivo.

La probabilit che i soggetti non acquistino il giorno successivo, nel caso che non abbiano acquistato durante la vendita diretta, pari a:

P (Dopo | Durante) = 89/95 = 0,937


La propriet moltiplicativa

La probabilit che si verifichino due eventi (entrambi) si indica con:

P (E e F) oppure con P (E F)

(probabilit dellintersezione degli eventi

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