Sle

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI CATANIADIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE

STATI LIMITE D’ESERCIZIO

Con le verifiche allo stato limite di esercizio ci occupiamo di ciò che accade per carichi usuali. Per questo motivo i carichi permanenti sono considerati nel loro valore caratteristico Gk, mentre per i carichi variabili si considerano tre possibili combinazioni:

- COMBINAZIONE FREQUENTE

- COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE

- COMBINAZIONE RARA

∑=

+n

iiKK QG

1,2ψ

∑=

++n

iiKKK QQG

2,21,1 ψψ

∑=

++n

iiKKK QQG

2,01, ψ

Essendo Ψ2 < Ψ1 < Ψ0 le tre condizioni corrispondono a carichi via via più bassi e quindi con maggiore probabilità di presenza.


STATI LIMITE D’ESERCIZIO

Nel cemento armato abbiamo tre stati limite di esercizio.

• STATO LIMITE DI FESSURAZIONE

• STATO LIMITE DI TENSIONI DI ESERCIZIO

• STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE

In ogni caso si ipotizza una relazione σ – ε lineare elastica in quanto siamo lontani dal comportamento ultimo.

Semplici criteri progettuali possono garantire un buon comportamento della struttura agli SLE.


CLASSI DI ESPOSIZIONE AMBIENTALE

Nelle verifiche per lo stato limite di tensioni di esercizio e in quelle allo stato limite di fessurazione si fa riferimento a diverse classi di esposizione ambientale.

La normativa italiana distingue in ambiente poco, mediamente o molto aggressivo senza però fornire ulteriori dettagli.

L’ EC2, invece, al prospetto 4.1 prevede 5 classi di esposizione:

• CLASSE 1: AMBIENTE SECCO (interni di abitazioni o uffici)

• CLASSE 2: AMBIENTE UMIDO(esterno di una abitazione, interno di cucine…)•2a: SENZA GELO•2b: CON GELO

• CLASSE 3: AMBIENTE UMIDO CON GELO E SALINITÀ (per ritardare il gelo)

• CLASSE 4: AMBIENTE UMIDO CON SALINITÀ MARINA•2a: SENZA GELO•2b: CON GELO (mari freddi del nord)

• CLASSE 5: AMBIENTE CHIMICAMENTE AGGRESSIVO


STATO LIMITE DI FESSURAZIONE

Prima dell’applicazione dei carichi la trave è integra, e quindi nel 1° stadio; dopo raggiunge il 2° stadio con un passaggio brusco per la sezione ma graduale per la trave.

CASO II:CASO I:ε

ε-

+

Al primo stadio:

sc nAAN+

=σ

kctf ,=σTrovo Nfes quando

( )sckctfess nAAfN += ,

yIM

−=σ Con I inerzia della sezione omogenizzata

Trovo Mfes quando kcff ,=σ

kcffes fyIM ,= con kctkcf ff ,, 2.1=


MOMENTO DI DECOMPRESSIONE

Presenza contemporanea di N<0 ed M. Sia N=costante; facciamo crescere linearmente M

Al primo stadio vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

σ =

σ N σ M

- + =

+

-

Per M=0 la sezione è tutta compressa, se aumento M arrivo ad un valore per cui la tensione al lembo inferiore è nulla. Parliamo quindi di MOMENTO DI DECOMPRESSIONE.

Se incremento ancora M arrivo ad un valore per cui la tensione al lembo inferiore è pari a fcf,k. Parliamo quindi di MOMENTO DI FESSURAZIONE.


DOMINI M-N

yIM

AN

−=σLa presenza contemporanea di pressione e flessione porta ad avere:

N

MSe pongo σ=0 trovo, fissato N, il momento di decompressione;

Se pongo σ=fcfk trovo, fissato N, il momento di fessurazione.

Sezione interamente compressa

Sezione parzializzata ma non fessurata


ESEMPIO APPLICATIVO

L

f

q

catena

q = 50 kNm-1 SLU q = 35 kNm-1 SLE raraq = 24 kNm-1 SLE quasi permanente

L = 10 m Rck = 25 Mpaf = 3 m FeB 44K

fqLH8

2

=Forza di trazione nella catena:

H = 208.3 kN SLU H = 145.8 kN SLE raraH = 100.0 kN SLE quasi permanente

Catena realizzata con una sezione 20 x 20 armata con 4Φ14

VERIFICA SLU:NRD=As·fyd = 4 x 1.54 x 373.9 x 10-1 = 230.3 kN > 208.3 kN

FESSURAZIONE:n= Es/Ec =206000/28500 = 7.23 fctk =1.62 MpaNfes = fctk (Ac +nAs) = 1.62 (400 + 7.23 x 6.16) x 10-1 = 72 kN


ESEMPIO APPLICATIVO

La sollecitazione è uguale in tutte le sezioni Si fessura la sezione in cui il cls è più debole

Immediatamente prima della fessurazione: σc= fctk= 1.62 Mpaσs= n·σc= 11.7 MPa

Immediatamente dopo la fessurazione, nella sezione che si è fessurata: σc= 0σs= Nfes/As= 116.9 MPa

σc

σs

In corrispondenza della fessura il cls non reagisce e la forza assiale di trazione è trasmessa dall’armatura (II stadio)


ESEMPIO APPLICATIVOL’armatura tende ad allungarsi e, allontanandosi dalla fessura, per aderenza si ha trasmissione delle tensioni fb tra acciaio e calcestruzzo.

L’ acciaio si scarica mentre il cls va in trazione. Indicata con Ac,eff l’area di cls coinvolta, ad una distanza ∆x dalla fessura si ha:

fbk

σc= 0σs= 116.9 MPa

∑ πφ∆=σ xfA bkeffcc ,

ρφ

∆=

φ∆

=φ

πφ∆=πφ

∆=σ

xfAAxfn

Axf

nA

xf bk

effc

sbk

effc

bk

effc

bkc

444/

4/

,

2

,,

effc

s

AA

,

=ρ

Essendo Σπφ il perimetro delle barre

si trova:Ponendo

ρφ

=bk

ctk

ff

L41

La tensione σc ritorna al valore fctk ad una distanza L dalla fessura, ottenuta da:

σc

σs

L


FESSURE SUCCESSIVE

Sotto uno sforzo assiale che cresce di pochissimo si formano altre fessure. Ciascuna sarà a distanza non inferiore a 2L e non superiore a L.

L’ EC2 sulla base di questi ragionamenti e di risultati sperimentali indica come distanza media tra due fessure, espressa in mm, la quantità:

k1= 0.8 per barre ad aderenza miglioratak1= 1.6 per barre liscek2= 0.5 per struttura inflessak2= 1.0 per struttura tesa

Poiché in corrispondenza della fessura l’armatura si allunga, è importante che questa rimanga in campo elastico dopo l’incremento di tensione che la riguarda in seguito alla fessurazione della sezione.

ρφ

+= 2125.050 kkSRm

K1 traduce il rapporto tra fctk e fbk; k2 tiene conto della sollecitazione; 50 traduce i risultati sperimentali. Infatti:

Per sollecitazioni intermedie k2 = (ε1+ε2)/(2ε2) con ε1,ε2 deformazioni di trazione agli estremi della sezione.

effc

s

AA

,

=ρCon: e Ac,eff=2.5xcxb

b

2.5c


AMPIEZZA DELLE FESSURE

In modo semplificato, cioè trascurando le tensioni trasmesse per aderenza, nel tratto di lunghezza Srm l’armatura si allunga mentre il cls tra le fessure è scarico. L’ampiezza tra le fessure è quindi la differenza tra l’allungamento delle barre e il non allungamento del cls.

L1 L2

L1 L2∆L

s

ss E

σ=ε

rms SW ε=

Indicando con σs la tensione nell’acciaio dopo la formazione della fessura si ha:

E quindi l’ampiezza della fessura sarebbe:



Fino a quando il calcestruzzo non si è fessurato la deformazione dell’acciaio e quella del calcestruzzo sono entrambe pari a:

N

ε

I stadio

II stadio

( )scccs

N=ε=ε 11 nAAE +

Superato lo sforzo normale di fessurazione, invece, si avrebbe:

sss AE

N=ε 202 =εc

Nel ragionamento ideale, quindi, avrei un salto brusco. N

ε

I stadio

II stadio

Nfes

Nel caso dell’esempio precedente:I stadio: εs=0.57x10-4 εc=εs εs-εc=0II stadio: εs=5.67x10-4 εc=0

Valore medio nel tratto L:εsm=3.12x10-4 εcm=0.28x10-4

εsm- εcm =2.84x10-4



In questo modo viene trascurato il TENSION STIFFENING cioè il contributo della porzione di calcestruzzo tra le fessure che continua a lavorare a trazione.

Bisogna quindi considerare le deformazioni in termini medi:Il calcestruzzo si allunga mediamente di: βε1L’acciaio di: εs1+(1-β)(εs2- εs1)= εs2-β(εs2- εs1)

εcm

εsm

L

Dopo la fessurazione:Infatti prima della fessurazione:

ssmss EAN ε=;11 csccccc EAEAN ε=ε= ssss EAN 1ε= ;1 cccc EAN εβ=

Infatti dall’uguaglianza tra lo sforzo normale immediatamente prima e dopo la fessurazione si ha:( ) ( )

ss

cccs

ss

cccssssm AE

EAAE

EAEA 11

11 11 ε

β−+ε=β−ε+ε

=εssmscccsssccc EAEAEAEA ε+βε=ε+ε 111



Quindi superato Nfes, l’acciaio si allunga ulteriormente di (1-β)(εs2- εs1). Poi, al crescere di N il comportamento tende asintoticamente a quello del secondo stadio perché il contributo del calcestruzzo diviene sempre meno rilevante e si ha:

N

ε

Nfes

I stadio II stadio

(1-β)(εs2- εs1)

β(εs2- εs1)

∆ε

( ) ( )[ ]N

NNN fes

fessfess 12 ε−εβ=ε∆

( ) ( ) ( )

ε−

+εβ−+ε=

ε−ε+εβ−+ε=ε 1

11

1111 11 s

ss

cscss

ss

sssssscccssm N

NAE

EnAAAE

EAEAEA

troviamo:( ) ;1scc

s nAAEN

+=ε

sss AE

N=ε 2 ( ) ( )[ ]1211

1

211 11 ssss

s

ssssm ε−εβ−+ε=

ε−

εεε

β−+ε=ε

Se indico con εs1(N) ed εs2(N) le deformazioni che si avrebbero al primo e secondo stadio nell’acciaio sotto lo sforzo normale N trovo che:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]N

NNNNN fesssfessfess 1212 ε−ε=ε−ε e quindi:

( ) ( )[ ]2

12

ε−εβ=ε∆

NNNN fes

ss

Sommando e sottraendo EsAsεs1 si trova:

Ma poiché:



Sotto l’azione di un generico sforzo normale N>Nfes si ha:

L’ampiezza delle fessure è pari alla differenza tra l’allungamento dell’acciaio e quello del calcestruzzo:

β−ε=

βε−

βε+

βε−ε=

2

2

2

1

2

1

2

22 1N

NSN

NN

NN

NSW fessrm

fess

fess

fesssrmm

σσ

β−σ

=2

1 sr

s

srmm E

SW

( ) ( )[ ]2

1222

ε−εβ−ε=ε∆−ε=ε

NNNN fes

sssssm

( ) ( )2

11

βε=βε=ε

NNN

NNN fes

sfes

fesscm

La normativa dice che l’ampiezza media delle fessure è:

σσ

ββ−σ

=2

211 sr

s

srmm E

SW

Esprimendo l’ampiezza media delle fessure in termini di tensioni si ha il vantaggio di poter utilizzare la stessa relazione anche per elementi inflessi.

β2 = 1 per carichi di breve durata (comb rara);β2 = 0.5 per carichi di lunga durata (q.perm) o ciclici.

β1 = 1 per barre ad aderenza migliorata;β1 = 0.5 per barre lisce.

mk WW β=L’ AMPIEZZA CARATTERISTICA delle fessure è:

con β = 1.7 per fessurazione indotta da carichi o da deformazione impedita per sezioni con Lmin>800mm; 1.3 per fessurazione da deformazione impedita per sezioni con Lmin<=300mm.


LIMITI DI NORMATIVA

Questo limite, che può essere ampliato per ambienti di classe 1, è facilmente soddisfatto se si rispettano alcune indicazioni costruttive:

La normativa italiana agli stati limite fornisce indicazioni sulle ampiezze massime delle fessure. L’eurocodice, invece, dice che l’ampiezza delle fessure deve essere stabilita dal committente.In mancanza di precise prescrizioni si ritiene accettabile una ampiezza, per edifici in ambiente di classe di esposizione 2-4: mmWk 3.0<=

EVITARE LO SNERVAMENTO DELL’ARMATURA SUBITO DOPO LA FESSURAZIONE

In generale si può quindi dire che:

Quindi, per sollecitazioni di trazione si ha: Nc=σcAcs

ccs

AAσ

σ≥

per sollecitazioni di flessione si ha: Nc=σcAc/2s

ccs

AAσ

σ≥

2

cs

ccs KAA

σσ

≥ con Kc coeff. che tiene conto della sollecitazione

s

tesoceffctcs

AKfKA

σ≥ ,,

essendo Ac l’area di calcestruzzo teso

Dove Kc = 1 per trazione;Kc = 0.4 per flessione.

La normativa pone:

K = 0.5;1 tiene conto delle deformazioni impresse. Noi consideriamo 1 a vantaggio di sicurezza.Il NAD pone σs= 0.9fyk L’eurocodice pone fct,eff = 3 MPa

Per sezioni inflesse l’area di calcestruzzo teso è circa bh/2 per cui trovo: As> 1.6%0 Ac


ALTRE INDICAZIONI PROGETTUALIL’ampiezza delle fessure dipende non solo dalla deformazione dell’armatura ma anche dalla distanza media tra le fessure:

È PREFERIBILE UTILIZZARE BARRE DI DIAMETRO PIÙ PICCOLO

ρφ

+= 2125.050 kkSRm

Se uso, a parità di area di acciaio, ferri di diametro maggiore aumenta Srm e quindi Wk

L’ eurocodice al punto 4.4.2.3 riporta una tabella in cui entrando con la tensione nell’armatura dopo la fessurazione trovo limiti sui diametri massimi e sulle distanze tra le barre per avere W< 0.3 mm

1252001220240 Mpa

……………

1502501625200 Mpa

2003002532160 Mpa

Trazflessc.a.pc.a.

d max (mm)φ max (mm)σs

Tensioni ottenute nell’armatura con la combinazione di carico QUASI PERMANENTE

Nel caso di flessione posso ottenere in prima approssimazione la tensione nell’armatura come:

s

fess dA

M9.0

=σ

Altri limiti sono imposti per le staffe.


STATO LIMITE DI DEFORMAZIONELa deformazione deve essere limitata per motivi funzionali e per evitare lesioni nei tramezzi.Consideriamo una trave appoggiata appoggiata.

L

q

Mfes

EIqLf

4

3845

=

Si può ragionare con schemi limite in cui considero Imine diversi valori di armatura, calcolare la freccia e confrontarla con i limiti di normativa.

250Lf ≤ per combinazione di carico quasi permanente

500Lf ≤∆ per incrementi di carico

Questi limiti sono raddoppiati per gli sbalzi.

Il primo problema è definire l’inerzia della trave. Se suppongo armatura costante ho comunque inerzia variabile perché dove M<Mfes ho sezione interamente reagente (I stadio), oltre ho sezione parzializzata (II stadio) con contributo del calcestruzzo per il tension stiffening.

Se la verifica non è soddisfatta bisogna operare in modo rigoroso. Nell’appendice l’EC suggerisce di valutare una media pesata tra le frecce in condizioni limite (con il peso fornito dal tension stiffening).


STATO LIMITE DI DEFORMAZIONE

Dalle limitazioni sulla freccia si possono trovare indicazioni sul valore del rapporto L/h. Studi statistici hanno permesso di trovare in funzione del grado di vincolo e della sollecitazione nel calcestruzzo i valori di L/h che, se rispettati, permettono di evitare la verifica

La distinzione tra calcestruzzo poco o molto sollecitato è fatta mediante la percentuale di armatura presente e serve perché nel secondo caso la freccia aumenta per effetti viscosi.

As/(bd)=0.015As/(bd)=0.005

CLS MOLTO SOLLECITATO

CLS POCO SOLLECITATOSCHEMA

STRUTTURALE

10≤hL 7≤

hL

25≤hL 18≤

hL

32≤hL 23≤

hL

35≤hL 25≤

hL


S.L. TENSIONI DI ESERCIZIOTensioni elevate nelle strutture in cemento armato comportano diversi problemi:

1. Il calcestruzzo ha deformazioni viscose pari a circa 2-3 volte quelle elastiche. Tensioni forti incrementano tali deformazioni e nono si potrebbe più tener conto di queste negli stati limite di deformazioni.

2. Tensioni forti causano fessurazioni nel calcestruzzo per compressione.3. Tensioni forti nelle armature causano lesioni in queste.

Nella verifica delle sezioni il comportamento è quello nel II stadio e il NAD fissa n = 15

VISCOSITÀ: combinazione di carico QUASI PERMANENTEClasse 1 – 2: ckc f45.0≤σ

Classe 3 – 4: ckc f40.0≤σ

FESSURAZIONE PER COMPRESSIONE: combinazione di carico RARAClasse 1 – 2: ckc f60.0≤σ

Classe 3 – 4: ckc f50.0≤σ

yks f70.0≤σTENSIONE NELLE ARMATURE: combinazione di carico RARA

N.B. Limiti imposti dal NAD che ha abbassato quelli proposti nell’ eurocodice.


NECESSITÀ DELLA VERIFICAI carichi per le verifiche alle T.A. sono analoghi a quelli per le verifiche d’esercizio (combinazione rara con un solo carico variabile); mentre nella combinazione di carico frequente e quasi permanente si hanno carichi minori.

MPacc 5.8=σ≤σMPass ...=σ≤σ

I limiti alla T.A. per calcestruzzo Rck 25Mpa e acciaio FeB44K sono:

Mentre per i medesimi materiali agli S.L.E. si ha:cls combinazione rara:cls comb. quasi permanente:acciaio combinazione rara: MPaf yks 3014307.070.0 =⋅=≤σ

MPafckc 37.1075.205.050.0 =⋅=≤σMPafckc 3.875.204.040.0 =⋅=≤σ

Se trascuro l’armatura in compressione S.L.U. e T.A. danno gli stessi risultati quindi poiché i limiti agli S.L.E. sono maggiori di quelli alle T.A. la verifica è automaticamente soddisfatta.

Se invece ho considerato una forte armatura compressa la verifica va fatta.

Allo S.L.U. la normativa prevede la possibilità di ridistribuzione. Poiché ciò non è consentito agli S.L.E. posso avere verifiche più gravose in alcune sezioni.

L’ EC in una nota diceva che le verifiche alle tensioni di esercizio potevano non essere fatte anche per progetti con piccole ridistribuzioni perché i limiti erano maggiori. Questo non è previsto nel NAD

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