Sistemi trifase

Parte 2Cenni sull’analisi sequenziale

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 20-10-2013)

2

Terne simmetriche e omopolari

● Una terna di grandezze sinusoidali isofrequenziali è detta simmetricase può essere espressa nei modi seguenti

● Una terna di grandezze sinusoidali identiche è detta omopolare

)cos(2)(

)cos(2)(

)cos(2)(

32

dd3d

32

dd2d

dd1d

tAta

tAta

tAta

)cos(2)(

)cos(2)(

)cos(2)(

32

ii3i

32

ii2i

ii1i

tAta

tAta

tAta

Terna di sequenza diretta Terna di sequenza inversa

)cos(2)(

)cos(2)(

)cos(2)(

oo3o

oo2o

oo1o

tAta

tAta

tAta

Terna di sequenza omopolare

3

Terne di sequenza

4

Terne pure e spurie

● Una terna di grandezze sinusoidali isofrequenziali è detta purase ha somma nulla per ogni t

● Una terna che non soddisfa questa condizione è detta spuria

Le terne simmetriche dirette e inverse sono esempi di terne pure

Una terna omopolare è un esempio di terna spuria

0)()()( 321 tatata

5

Operatore di rotazione

● Nello studio delle terne di sequenza, conviene introdurre l’operatore di rotazione , definito come

ha modulo unitario e operauna rotazione di 120° in sensoantiorario

● Con successive applicazioni dell’operatore si ottengono rotazioni di multipli di 120°

● L’operatore ha quindi periodicità 3

2

3

2

13

2

jej

Z kkkk 223133 1

1033

22

je

6

Operatore di rotazione

● Si può verificare che risulta

● Inoltre valgono le seguenti relazioni

● Mediante l’operatore si possono rappresentare in questo modo le terne unitarie di sequenza

diretta

inversa

omopolare

33131 2626 jeejj

01 2

,,1 2

2,,1

1,1,1,, 000

7

Operatore di rotazione

● Una terna di sequenza è individuata dal primo fasore

Posto

è possibile esprimere una generica terna simmetrica diretta, simmetrica inversa o omopolare nel modo seguente

oidooiidd

jjj eAeAeA AAA

1,1,1,,

,,1,,

,,1,,

oo3oo2oo1o

2ii

23ii2ii1i

2dd3dd

22dd1d

AAAAAAA

AAAAAAA

AAAAAAA

8

Teorema di Fortescue

● Ogni terna di fasori A1, A2, A3 può essere espressa univocamen-te come somma di

una terna simmetrica diretta: Ad1,2, una terna simmetrica inversa: Ai1,,2 una terna omopolare: Ao1,1,1

● I tre fasori Ad, Ai, Ao sono detti componenti sequenziali o componenti simmetriche della terna A1, A2, A3

oi2

d3

oid2

2

oid1

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

9

Teorema di Fortescue

10

Teorema di Fortescue - dimostrazione

● La dimostrazione del teorema è immediata se si osserva che le espressioni dei fasori A1, A2, A3 in funzione delle componenti simmetriche costituiscono un sistema di tre equazioni nelle tre incognite Ad, Ai, Ao che ammette sempre soluzione

● Questo risultato mostra anche che per una terna pura la componente omopolare è sempre nulla

32131

o

322

131

i

32

2131

d

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

oi2

d3

oid2

2

oid1

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

ΑΑΑΑ

11

Matrice di sequenza

● Introdotti i vettori

e la matrice di sequenza S

le relazioni tra una terna di fasori e le sue componenti sequenziali possono essere espresse nella forma

111

1

1

3

1

1

1

1112

2

1

2

2 SS

o

i

d

S

3

2

1

A

A

A

A

A

A

A

A

ASASAA 1SS

12

Carico trifase con neutro

● In un sistema trifase con neutro, un carico generico può essere considerato un triplo bipolo (tre porte)

● La relazione tra le tensione stellatee le correnti di linea, in generale puòessere espressa in termini di matricedi impedenza o ammettenza

333231

232221

131211

333231

232221

131211

3

2

1

3

2

1

YYY

YYY

YYY

Y

ZZZ

ZZZ

ZZZ

Z

I

I

I

I

E

E

E

E

IZE

EYI

13

Carico trifase senza neutro

● Per un carico a tre terminali è sempre possibile definire la matrice di ammettenza considerando i potenziali dei terminali rispetto ad un punto O scelto in modo arbitrario (cioè scegliendo arbitrariamente il centro delle tensioni stellate)

● Al variare di O non variano le correnti,perché non variano le tensioni conca-tenate

● In questo caso la matrice di ammet-tenza è sempre singolare, quindi nonesiste la matrice di impedenza

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

E

E

E

YYY

YYY

YYY

I

I

I

14

Carico trifase senza neutro

● Per determinare gli elementi della matrice Y si può applicare una tensione arbitraria tra uno dei terminali e il punto O e collegare gli altri due terminali al punto O

● Ad esempio, considerando il terminale 1 si ha

001

331

001

221

001

111

3

2

3

2

3

2

EE

EE

EE E

IY

E

IY

E

IY

15

Carico trifase senza neutro

● Dato che la somma delle correnti è uguale a zero, dalle relazioni precedenti si ricava che la somma degli elementi di ogni colonnaè uguale a zero

(relazioni simili valgono per le altre due colonne)

● Nel caso in cui le tensioni stellate hanno uguale valore E, le tensioni concatenate sono nulle, di conseguenza anche le correnti si annullano

Quindi anche la somma degli elementi di ogni riga è uguale a zero

0001

321312111

3

2

EEE

IIIYYY

3,2,10321 iiiii EYYYI

16

Simmetria

● Un triplo bipolo è simmetrico se uno scambio sequenziale delle porte (es. 12, 23, 31) non altera le tensioni e le correnti ai terminali

● Questo richiede che i coefficienti della matrice di ammettenza soddisfino le condizioni

● Di conseguenza la matrice ammettenza è una matrice circolante

prq

qpr

rqp

YYY

YYY

YYY

Y

322113

312312

332211

YYY

YYY

YYY

17

Reciprocità

● Un triplo bipolo è reciproco se la risposta alla porta i dovuta all’applicazione di un ingresso alla porta j è uguale alla risposta prodotta alla porta j dallo stesso ingresso applicato alla porta i

● Se il triplo bipolo è reciproco, gli elementi della matrice di ammettenza devono soddisfate le relazioni

● Un triplo bipolo costituito dall’interconnessione di bipoli è sempre reciproco

● Un triplo bipolo che rappresenta il circuito equivalente di una macchina rotante in generale non è reciproco

1331

3223

2112

YY

YY

YY

18

Esempio - Stella spuria

c

b

a

00

00

00

Y

Y

Y

Y

19

Esempio - Stella pura

)(

)(

)(1

baccbca

cbcabba

cabacba

cba YYYYYYY

YYYYYYY

YYYYYYY

YYYY

20

Esempio - Triangolo

cbbc

baa

caca

YYYY

YYYY

YYYY

Y b

21

Ammettenze alle sequenze

● Si considera un carico trifase rappresentato mediante la matricedi ammettenza Y

● Si esprimono le tensioni stellate e le correnti di linea in funzione delle componenti sequenziali

● La relazione tra le componenti sequenziali delle correnti e delle tensioni è

● Per un carico generico ogni componente sequenziale delle correnti di linea dipende da tutte le componenti sequenziali delle tensioni stellate

SSS11

S EYYSESYESI

ESEISI 1S

1S

EYI

22

Ammettenze alle sequenze

● Se il carico è simmetrico, la matrice YS risulta diagonale

o

i

d

rqp

r2

qp

rq2

p

2

2

prq

qpr

rqp2

2

S

00

00

00

00

00

00

1

1

111

111

1

1

3

1

Y

Y

Y

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

Y

23

Ammettenze alle sequenze

● In queste condizioni, ciascuna delle componenti sequenziali delle correnti di linea dipende unicamente dalla corrispondente componente sequenziale (componente omologa) delle tensioni stellate

● In queste espressioni, Yd, Yi e Yo rappresentano le ammettenze alle sequenze

ooo

iii

ddd

EYI

EYI

EYI

rqpo

r2

qpi

rq2

pd

YYYY

YYYY

YYYY

24

Ammettenze alle sequenze

● Se il carico è anche reciproco le ammettenze alla sequenza diretta e alla sequenza inversa sono uguali

● Per un carico privo di neutro, dato che la somma degli elementi di una riga o di una colonna della matrice Y è uguale a zero, l’ammettenza alla sequenza omopolare è uguale a zero

idrq YYYY

00 orqp YYYY

25

Impedenze alle sequenze

● Per un triplo bipolo simmetrico che ammette la rappresentazione in termini di matrice di impedenza

procedendo in modo analogo, si ricavano anche le relazioni

dove Zd, Zi e Zo rappresentano le impedenze alle sequenze

ooo

iii

ddd

IZE

IZE

IZE

rqpo

r2

qpi

rq2

pd

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

IZE

26

Impedenze alle sequenze

● Evidentemente le impedenze e le ammettenze alle sequenze sono legate dalle relazioni

Per un carico simmetrico privo di neutro, anche se la matrice diimpedenza non è definita, si possono definire comunque le impedenze alla sequenza diretta e alla sequenza inversa

● In questo caso, l’impedenza alla sequenza omopolare è infinita

oo

ii

dd

111

ZY

ZY

ZY

27

Esempio - Stella spuria regolare

Y

Y

Y

Y

00

00

00

YY

YY

YY

o

i

d

28

Esempio - Stella pura regolare

YYY

YYY

YYY

Y

32

31

31

31

32

31

31

31

32

0

1

31

31

32

o

231

31

32

i

231

312

31

32

d

YYYY

YYYYY

YYY

YYYY

29

Esempio – Triangolo regolare

YYY

YYY

YYY

Y

2

2

2

02

32

313

2

o

2i

2

2d

YYYY

YYYYY

YYY

YYYY

30

Sistema simmetrico ed equilibrato

● Se un carico simmetrico è alimentato mediante una terna di tensioni simmetrica (diretta o inversa), le correnti di linea costituiscono una terna equilibrata

In queste condizioni il carico risulta equivalente ad una stella di impedenze di uguale valore 1/Yd o 1/Yi

● Se il carico non è reciproco le stelle equivalenti per la sequenza diretta e per la sequenza inversa sono diverse

1d1dd3d

1d2

1d2

d2d

1dd1d

IEYI

IEYI

EYI

1i2

1i2

i3i

1i1ii2i

1ii1i

IEYI

IEYI

EYI

31

Reti monofase di sequenza

● Si considera un sistema trifase in cui tutti i carichi sono simmetrici, alimentato con terna generiche di tensioni

● Le tensioni e le correnti possono essere determinate analizzandotre reti ridotte monofase

rete monofase di sequenza diretta: formata dalle impeden-ze o ammettenze alla sequenza diretta e avente come ingres-si le componenti di sequenza diretta delle tensioni di alimenta-zione

rete monofase di sequenza inversa: relativa alle sole com-ponenti di sequenza inversa

rete monofase di sequenza omopolare: relativa alle sole componenti di sequenza omopolare

32

Reti monofase di sequenza

● Per costruire le reti monofase di sequenza diretta o inversa si rappresentano tutti i carichi mediante circuiti equivalenti a stella e quindi si procede come già visto per la rete ridotta monofase di un sistema simmetrico ed equilibrato

In questo caso tutti i centri delle stelle sono allo stesso potenziale, quindi la presenza del conduttore neutro èirrilevante

Se il sistema è reciproco, le reti di sequenza diretta e inversa differiscono solo per quanto riguarda l’alimentazione

● Nella rete monofase di sequenza omopolare le stelle prive di neutro, che hanno ammettenza alla sequenza omopolare uguale a zero, non vengono considerate

33

Esempio

34

Reti monofase di sequenza diretta e inversa

35

Rete monofase di sequenza omopolare

oBCZ

oBCZ

36

Potenza complessa

● La potenza complessa di un carico trifase con neutro è

● Esprimendo le tensioni e le correntiin termini di componenti simmetrichesi ricava

● Questo risultato vale anche per un caricoprivo di neutro In questo caso la terna delle correnti

di linea è pura e quindi la componenteomopolare delle correnti Io è nulla

Un’eventuale componente omopolare delle tensioni stellate non ha effetto sul valore della potenza complessa (in accordo col fatto cheil centro di fase può essere scelto in modo arbitrario)

*33

*22

*11 IEIEIEN

*oo

*ii

*dd 333 IEIEIEN

*ii

*dd 33 IEIEN

37

Determinazione dell’espressionedella potenza complessa

● Si inseriscono le espressioni delle tensioni e delle correnti (tenendo conto del fatto che * 2)

● Si combinano gli operatori di rotazione

● Quindi (dato che 1 ++2 0) si ottiene

)()()(

)()()(

)()()(

*o

*i

*d

2o

*o

*i

*d

2i

2*o

*i

*d

2d

*o

*i

2*do

*o

*i

2*di

*o

*i

2*dd

2

*o

*i

*do

*o

*i

*di

*o

*i

*dd

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIEN

)()()(

)()()(

)()()(

*o

*i

*d

2o

*o

2*i

*di

*o

*i

2*dd

*o

*i

2*do

*o

*i

*d

2i

*o

2*i

*dd

*o

*i

*do

*o

*i

*di

*o

*i

*dd

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIEN

*oo

*ii

*dd 333 IEIEIEN

38

Potenza attiva e reattiva

● La potenza attiva e la potenza reattiva possono essere espresse nella forma

dove d, i, o rappresentano gli angoli di sfasamento tra le componenti sequenziali omologhe delle tensioni e delle correnti

cos3cos3cos3 iiiddd IEIEIEP

sen3sen3sen3 iiiddd IEIEIEQ

39

Potenza fluttuante

● Si indicano le tensioni stellate e le correnti di linea con

● La potenza istantanea assorbita dal carico trifase è

● Il primo termine corrisponde alla potenza attiva P

● Il secondo termine rappresenta la potenza fluttuante pF(t) ed è dato dalla somma delle potenze fluttuanti alle tre porte del carico

)(

)2cos(

)2cos()2cos(

coscoscos

)()()()()()()(

F

3I3E33

2I2E221I1E11

333222111

111111

tpP

tIE

tIEtIE

IEIEIE

titetitetitetp

)3,2,1()cos(2)(

)cos(2)(

ktIti

tEte

kkk

kkk

40

Potenza fluttuante

● La potenza fluttuante è una funzione sinusoidale con pulsazione 2

● Alla potenza fluttuante si può associare un fasore PF definito dalla relazione

● Procedendo come nel caso della potenza complessa, si può ricavare che l’espressione della potenza fluttuante in funzione delle componenti simmetriche delle tensioni e delle correnti è

● Nel caso di un sistema privo di neutro alimentato con una terna simmetrica la potenza fluttuante si annulla se e solo se il carico dàluogo a correnti simmetriche della stessa sequenza delle tensioni di alimentazione

)2cos(

)2cos()2cos()(

3I3E33

2I2E221I1E11f

tIE

tIEtIEtp

332211F IEIEIEP

oodiidF 333 IEIEIEP

41

Determinazione dell’espressionedella potenza fluttuante

oodiid

oi2

doo2

idioid2

d

oid2

ooi2

dio2

idd

oidooidioidd

oi2

dooi2

di2

oi2

dd

oid2

ooid2

ioid2

d2

oidooidioiddf

333

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

IEIEIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIE

IIIEIIIEIIIEP

42

Calcolo delle tensioni e correnti di guasto

● Si considera una rete trifase simme-trica, in una sezione della quale siverifica un “guasto” (ad esempio uncortocircuito tra due o più conduttori)

● In genere il guasto rende la rete dis-simmetrica, quindi non si può applica-re direttamente il metodo delle com-ponenti di sequenza

● E’ possibile, però, rappresentare lacondizione di guasto imponendo op-portune tensioni e correnti alle rete in corrispondenza della sezione di guasto

● In questo modo, dalla sezione di guasto la rete può essere vista come un triplo bipolo simmetrico a cui, per effetto del guasto, sono applicati sistemi dissimmetrici di tensioni o correnti

43

Calcolo delle tensioni e correnti di guasto

● Il triplo bipolo può essere studiato con il metodo delle reti monofase di sequenza

● Per ciascuna componente si può determinare un bipolo equivalente di Thévenin

● In assenza di guasto il triplo bipolo, e quindi le reti monofase sono a vuoto (e le correnti alle porte sono nulle)

● I guasti impongono vincoli alle tensioni e correnti alle porte che possono essere rappresentati medianti opportuni collegamenti fra le tre reti monofase

44

Cortocircuito tra fase e neutro

● Le tre reti di sequenza sono in serie e collegate a un cortocircuito

● La corrente comune è pari a un terzo della corrente di guasto Ig

0

0

32

1

1

II

II

E

g

01oid EEEE

g1oid 3

1

3

1ΙIIII

45

Impedenza “di guasto” Zg tra fase e neutro

● Le tre reti di sequenza sono in serie e collegate a un’impedenza 3Zg

● La corrente comune è pari a un terzo della corrente di guasto

032

g1

gg1

II

II

IZEgg1oid IZEEEE

g1oid 3

1

3

1ΙIIII

46

Cortocircuito fra due fasi

● Le reti di sequenza diretta e inversa sono in parallelo● La rete di sequenza omopolare è a vuoto

32

1

32

0

II

I

EE

0223

1o

d222

31

i

22

231

d

d222

131

i

22

2131

d

III

IIII

III

EEEEE

EEEE

47

Cortocircuito tra due fasi e neutro

● Le tre reti di sequenza sono in parallelo

0

0

1

32

I

EE 131

oid EEEE

01oid IIII

48

Cortocircuito fra tre fasi

● Le reti di sequenza diretta e inversa sono in cortocircuito● La rete di sequenza omopolare è a vuoto

0321

321

III

EEE

11113

1o

112

131

i

12

1131

d

0

0

EEEEE

EEEE

EEEE

032131

o IIII

49

Cortocircuito fra tre fasi e neutro

● Le tre reti di sequenza sono in cortocircuito

0321 EEE 0oid EEE

50

Equilibratura di un carico monofase

● Si considera una linea trifase alimentata mediante una terna simmetrica diretta a cui viene collegato un carico monofase (Z = R + jX)

0

)1(

3

2

2

1

I

IIZ

EII

EE

EE

EE

3

22

1

0

1

1

32131

o

231

322

131

i

31

32

2131

d

IIII

IIIII

IIIII

Correnti di linea

Componenti simmetriche

51

Equilibratura di un carico monofase

● Si può equilibrare il carico collegando alla linea una stella di impedenze (Z1, Z2, Z3) cha assorbano correnti uguali e opposte alle componenti della terna inversa dovuta all’impedenza Z

III

III

III

231

i2

3

31

i2

231

i1

1

1

d

231

3

d22

31

2

d31

1

1

1

III

III

III

52

Equilibratura di un carico monofase

● Le tensioni sulle impedenze della stella (irregolare) sono date dalla somma delle tensioni dei generatori (componente diretta) e di una tensione che rappresenta lo spostamento del centro di fase (componente omopolare Eo)

● Quindi devono valere le condizioni

i2

3o

i2o2

i1o

IZEE

IZEE

IZEE

(sistema di 3 equazioni complessein 4 incognite: Eo, Z1, Z2, Z3)

53

Equilibratura di un carico monofase

● Si moltiplica la seconda equazione per 2 e la terza per (in modo da eliminare a secondo membro), quindi si sommano membro a membro le tre equazioni

● Escludendo l’impiego di componenti attivi, per soddisfare questa condizione si devono utilizzare tre bipoli puramente reattivi

i3o2

i2o2

i1o

IZEE

IZEE

IZEE

0321 ZZZ

)( 2133

22

11

XXjjX

jX

jX

Z

Z

Z(Imponendo valore nullo alla parte realedi Z1 e Z2 si eliminano due incognite reali, quindi si ha un’unica soluzione)

54

Equilibratura di un carico monofase

● Dalla prima equazione si ricava l’espressione di E0

● Si sostituisce nella seconda

Quindi si ottiene

)1(

3221

Z

jXjX

i1o IEE jX

Z

EIE

22213

1231

212 11)1( jXjXjXjX

RXjXRj

jXRjXjjX 3333

321

23

2322

321

1

XX

XRX

XRX

2

3

3

3

2

1

(La terza equazione è stata sostituita dalla relazione Z1 + Z2 + Z3 0, che è stata ottenuta come combinazione delle tre equazioni)

55

Equilibratura di un carico monofase - Nota

● Il tripolo utilizzato per equilibrare il carico è alimentato con una terna simmetrica diretta ed ha correnti che costituiscono una terna simmetrica inversa

Il tripolo equilibrante non assorbe né potenza attiva né potenza reattiva, ma solo una potenza fluttuante opposta a quella assorbita dal carico monofase

Il carico risultante assorbe la stessa potenza attiva e la stessa potenza reattiva del carico monofase, mentre la potenza fluttuante si annulla

00003333 **oo

*ii

*dd iIEIEIEIEN

ioodiidF 3333 EIIEIEIEP ),( iid IIEE