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Sistemi e FdT - 1

Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici L

Corso di Laurea in Ingegneria MeccanicaControlli Automatici L

Sistemi e Funzione di Trasferimento

Prof. Carlo RossiDEIS-Università di Bologna

Tel. 051 2093020Email: [email protected]

URL: www-lar.deis.unibo.it/~crossi


Sistemi e FdT - 2

Modelli matematici dei sistemi

Sistemi orientatiingressi (cause) e uscite (effetti): schematizzazione non sempre facile e non univoca, dipende dal problemaperché l’interpretazione causa-effetto abbia senso l’uscita non deve dipendere da valori futuri dell’ingresso: sistemi causalil’uscita può però dipendere dai valori passati dell’ingresso

regolazione della temperatura dell’acqua in una doccia!

Sistemi statici: l’uscita al tempo t dipende solamente dal valore dell’ingresso al tempo t

resistenza elettrica

Sistemi dinamici: l’uscita al tempo t dipende anche dai valori passati dell’ingresso

sistema massa mollalegami tra segnali e non tra singoli valori

Per descrivere il sistema si utilizza un modello matematico, cioè un insieme di relazioni matematiche che legano i segnali di uscita a quelli di ingresso


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Modelli matematici dei sistemi

Un modello matematico permette in linea di principio di calcolare l’uscita per ogni possibile segnale di ingresso

il numero di possibili segnali è infinitosi vuole caratterizzare il sistema senza dover analizzare tutte le possibili rispostestudio della struttura del modello matematico

Ci limiteremo a modelli dati da equazioni differenziali ordinarie lineari e stazionarie

ordinarie: non compaiono derivate parziali, l’unica variabile indipendente dei segnali è il tempo

Si: sistemi meccanici rigidi, sistemi elettrici a parametri concentrati, ecc..No: descrizione delle onde, modelli propagatori, ecc… Normalmente in questo caso si riesce a dare una descrizione dei fenomeni principali utilizzando un modello approssimato ai valori medi

lineari: ipotesi forte, cercheremo di giustificarla tra pocoSi: sistema massa mollaNo: pendolo


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Modelli matematici dei sistemistazionarie: i coefficienti dell’equazione lineare sono costanti e non dipendenti dal tempo

ipotesi ragionevole in moltissimi casi, specialmente se l’intervallo temporale non è molto lungo

detto u(t) l’ingresso e y(t) l’uscita, il modello generale è

L’enfasi è sulle proprietà del modello, non sulle soluzioni particolariordine dell’equazione: n,m, differenza n-mvalori dei coefficienti ai e bise il sistema e causale, si ha sempre n>m

1 2

1 2 1 01 2

1 2

1 2 1 01 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n n

n nn n n

m m m

m m mm m m

d y t d y t d y t d y ta a a a y td td t d t d t

d u t d u t d u t d u tb b b b b u td td t d t d t

− −

− −− −

− −

− −− −

+ + + + + =

+ + + + +

…

…


Sistemi e FdT - 5

Linearità e principio di sovrapposizione degli effetti

L’ipotesi di linearità permette semplificazioni notevolievoluzione libera ed evoluzione forzata

( ) ( )

0 0

( )

( )0

( ) ( )

(0) 0 0, , 1

(0) 0, , 1

n mi j

i f ji j

if

jj

a y t b u t

y i n

u u j m

= =

=

= = −

= = −

∑ ∑…

…

evoluzione forzata

( )

0

( )0

( ) 0

(0) 0, , 1

ni

i li

il i

a y t

y y i n=

=

= = −

∑…

evoluzione libera

( ) ( ) ( )l fy t y t y t= +

soluzione completa

( ) ( )

0 0

( )0

( )0

( ) ( )

(0) 0, , 1

(0) 0, , 1

n mi j

i ji j

ii

jj

a y t b u t

y y i n

u u j m

= =

=

= = −

= = −

∑ ∑……

problema iniziale


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Linearità e principio di sovrapposizione degli effetti

linearità applicata all’evoluzione forzata

1 2( ) ( ) ( )y t y t y tα β= + combinazione lineare delle risposte

( )( ) ( ) ( )1 2

0 0

( ) ( )1 1 0 2 2 0

( ) ( ) ( )

(0) (0)

n mi j j

i ji j

j jj j

a y t b u t u t

u u u u

α β= =

= +

= =

∑ ∑ risposta a combinazione lineare di due ingressi

( ) ( )1 1

0 0

( )1 1 0

( ) ( )

(0)

n mi j

i ji j

jj

a y t b u t

u u= =

=

=

∑ ∑ ( ) ( )2 2

0 0

( )2 2 0

( ) ( )

(0)

n mi j

i ji j

jj

a y t b u t

u u= =

=

=

∑ ∑


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Soluzioni di equilibrio

Data una equazione differenziale ordinaria, anche non lineare, ed un segnale di ingresso costante, una soluzione costante si dice soluzione di equilibrio

segnale di uscita costante, se condizione iniziale dell’uscita pari alla costante e condizioni iniziali su tutte le derivate dell’uscita nullele soluzioni di equilibrio possono non esistere, nel caso esistano possono non essere unichecalcolo semplice in linea di principio: si pongono tutte le derivate nulle nell’equazione differenziale e si risolve l’equazione algebrica risultante

può essere complesso per sistemi non linearibanale per sistemi lineari

Una soluzione di equilibrio si dice isolata se non ne esistono altre arbitrariamente vicine

per sistemi lineari con ingresso nullo, la soluzione y(t)=0 è sempre di equilibrio e può essere l’unica soluzione isolatase l’origine è soluzione isolata del sistema con ingresso nullo, allora con ingresso diverso da zero esiste una sola soluzione di equilibrio


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Soluzioni di equilibrio per sistemi non lineari

Data una equazione differenziale ed una soluzione di equilibrio

per piccoli spostamenti rispetto a questa soluzione nominale, lasoluzione è approssimabile con la soluzione di un’equazione lineare

sempre vero per tempi piccoli, ma interessante quando si rimane sempre nell’intorno della soluzione di equilibrio

( )( )

( ) ( 1) ( ) ( 1), , , , , , , , , 0 ( )

( ) 0,0, ,0, ,0,0, ,0, 0

n n m me

e e e

f y y y y u u u u u t u

y t y f y u

− − = =

= ⇒ =

… …

… …

0

( ) ( )(0) ( ) ( )( ) ( )

e

e e

e

u t u u ty y y y t y y tu t y t y

δδ δ

δ ε

⎫= +⎪= + ⇒ ≈ +⎬⎪⇒ − < ⎭

( ) ( )

0 0

( ) ( )0 0

( ) ( )

(0) (0)

n mi j

i ji j

j ij j

a y t b u t

u u y y

δ δ

δ δ δ δ= =

=

= =

∑ ∑


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Linearizzazione

Il processo che porta ad approssimare la soluzione nell’intorno dell’equilibrio con la soluzione di un’equazione lineare si chiama linearizzazioneLo studio dei sistemi lineari diviene importante per studiare anche l’evoluzione dei sistemi non lineari nell’intorno di soluzioni di equilibrio

sulla base della linearizzazione si può concludere anche se la soluzione non lineare si manterrà nell’intorno valido per l’approssimazione allo scorrere del tempo

sufficiente che la soluzione lineare non tenda all’infinito, ma rimanga limitatala proprietà precedente non dipende dall’ampiezza dell’ingressoil rimanere sufficientemente piccola dipende invece dall’ampiezza dell’ingresso per la proprietà di linearità, oltre che da quanto è lontana la condizione iniziale da quella di equilibrio

non è necessario risolvere l’equazione non lineareimportante perché non si conoscono metodi di soluzione generale per equazioni non lineari


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Punto di equilibrio

Esempio: linearizzazione pendolo inverso

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

sin1sin , ,

m

m m

M l t h l t M g l t C th gt t t C t f C

M l l M l

θ θ θ

θ θ θ θ θ

+ + =

= − − + =

( )( ) ( )0

sin

mC t C

t t

M g l C

θ θ θ

θ

=

= =

=

( ) ( ) ( ) ( )mt t C t C C tθ θ δθ δ= + = +

( )

0 0 0

2

1cos

m m m

mm

C C C C C C

m

f f f CC

h g CM l l M l

θ θ θθ θ θ θ θ θ

δθ δθ δθ δθθ

δθ δθ θ δθ δ

= = == = == = =

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂∂

= − − +

Sistema linearizzato


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Sistemi lineari

Nel corso ci si limita allo studio dei sistemi lineari stazionariTutto quello detto in precedenza vale anche se i segnali di ingresso e di uscita hanno dimensione maggiore di uno: si parla di sistemi MIMO (Multiplo Input Multiple Output)

Ci limiteremo allo studio di sistemi SISO (Single Input Single Output) in cui i segnali hanno dimensione unitaria

in realtà avremo sistemi con più ingressi, ma singolarmente la variabile manipolabile, i disturbi in ingresso ed in uscita ed il rumore di misura saranno monodimensionaliconsidereremo più propriamente sistemi costituiti da interconessione di sistemi elementari SISO, ed in cui gli ingressi ai singoli sottosistemi saranno somma di segnali monodimensionali

processo, controllore, sensoresi richiami lo schema in retroazione della introduzione

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T

q pu t u t u t y t y t y t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦… …


Sistemi e FdT - 12

Funzione di trasferimento

Sistema con modello matematico descritto da ODE lineare stazionaria

utilizzo della trasformata di Laplace per lo studiogià visto per il calcolo della soluzione ad ingresso fissatoenfasi sulla struttura delle soluzioni

Condizioni iniziali nulleapplicando la trasformata ad entrambi i membri si ottiene

( ) ( )

0 0 0

00 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

n m mi j j

i j ji j j

nn mii j

ii jii j

a y t b u t b sY s U s

a sa s Y s b s U s

= = =

== =

=

⇒ ==

∑ ∑ ∑

∑∑ ∑

10 1 1 0

11 1 0

0

( )( )( )

mj

j m mj m m

n n ni n

ii

b sb s b s b s b N sH s

D ss a s a s aa s

−= −

−−

=

+ + + += = =

+ + + +

∑

∑…

…

Funzione ditrasferimento

FdT


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Funzione di traferimento

Descrive l’uscita forzata di un sistemaZeri e poli della FdT si dicono rispettivamente zeri e poli del sistema

il termine costante è detta costante di trasferimentoinsieme alla conoscenza di poli e zeri descrive completamente la FdT

obiettivo: studiare le caratteristiche del sistema al variare del numero e della posizione dei poli e zeri e della costante di trasferimentoi poli definiscono la struttura delle risposte elementari del sistema, gli zeri come esse contribuiscono alla costruzione della soluzione complessiva, la costante di trasferimento quanto essa viene amplificata

( )

( )0 1

0 1

( )

mmj

jjj j

mn ni

i ii i

s zb sH s b n m

a s s p

= =

= =

−= = ≥

−

∑ ∏

∑ ∏


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Struttura della risposta forzata

Se la trasformata del segnale di ingresso è una funzione razionale fratta, anche la trasformata dell’uscita lo è

Caso generale: poli semplici nella Y(s) e non ci sono cancellazioni tra poli e zeri del sistema e dell’ingresso

l’uscita presenta parti dipendenti solo dai poli del sistema e parti dipendenti solo dall’ingresso

( )

( )

( )

( )

1 1

1 1

( ) ( ) ( )

u

u u

mm

j jj j

m mn n

i ii i

s z s zuY s H s U s b u

s p s pu

= =

= =

− −= =

− −

∏ ∏

∏ ∏

1 1

1 1

( ) ( ) ( )

( )

u

u u

ui i

u

nni i

m m m mi ii i

nnp t pu t

m m i ii i

k kuY s H s U s b u b u

s p s pu

y t b u k e ku e

= =

= =

= = +− −

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑

modi del sistema

modi dell’ingresso(forzanti)


Sistemi e FdT - 15


Nella risposta forzata sono presenti sia i modi del sistema, sia quelli dell’ingresso

se i modi del sistema tendono a zero, essi influiscono solamente sul transitorio della risposta

dopo un tempo sufficiente, sono presenti solamente i modi dell’ingresso: risposta in regime permanentei modi dell’ingresso sono moltiplicati per delle costanti (i residui) che stabiliscono quanto essi sono singolarmente attenuati o amplificati: i residui dipendono dagli zeri del sistema e della trasformata del segnale di ingressoil sistema si dice stabile: vero se tutti i poli del sistema hanno parte reale negativa

se i modi del sistema divergono, la risposta forzata del sistemadivergerà indipendentemente da quale ingresso sollecita il sistema

in questo caso il sistema si dice instabile

( ) ip ti im t k e= modo corrispondente ad un polo reale

modo reale corrispondente ad una coppia di poli complessa coniugata

( )( ) 2 cosi ti i i im t M e tσ ω ϕ= +


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Caso particolare: un modo dell’ingresso coincide con un modo del sistema (risonanza)

nello sviluppo in fratti semplici della risposta forzata compaiono poli multiplila risposta diverge anche quando la parte reale del polo è nulla

sistema instabile, nel senso che in presenza di un ingresso limitato la risposta può divergere, anche se la parte reale dei poli è nulla

Caso particolare: uno zero del sistema coincide con un modo dell’ingresso

il modo non è più presente sull’uscita: proprietà bloccante degli zeriin caso di sistema stabile, la risposta a regime permanente può essere nullala risposta in transitorio è comunque diversa da zero, i modi del sistema vengono eccitati e poi decadono naturalmente a zerose il sistema è instabile, l’uscita diverge poiché i modi instabili sono eccitati anche se l’eventuale modo divergente dell’ingresso è bloccato da uno zero del sistema


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Caso particolare: uno zero dell’ingresso coincide con un polo del sistema

il modo instabile del sistema non è più presente sull’uscita forzatavero in linea di principio, ma in realtà esiste sempre una componente di errore che anche se piccolissima porta l’uscita a divergerevedremo in seguito anche altre motivazioni: non è possibile evitare che l’uscita diverga in presenza di un modo instabile cancellando il modo stesso con uno zero dell’ingresso

Caso poli multipli nel sistemavalgono le stesse considerazioni, solamente che ora in presenza di poli multipli con parte reale nulla l’uscita diverge

matematicamente identico al caso della risonanzanon è necessario eccitare il modo del sistema con un modo analogo dell’ingresso


Sistemi e FdT - 18

Introduzione della risposta libera

La trasformata della risposta libera ha esattamente la stessa struttura della risposta forzata

Y0(s) è un polinomio di ordine n-1 i cui coefficienti dipendono dalle condizioni inizialiI poli della risposta libera sono esattamente, con la stessa molteplicità, i poli del sistemala risposta libera è data da una combinazione lineare dei modi del sistema

se i modi sono stabili, la risposta libera tende a zero e l’effetto delle condizioni iniziali non nulle si esauriscono nel transitoriose i modi sono instabili, l’uscita diverge comunque, indipendente dall’ingresso

prima ragione per cui la cancellazione del modo instabile con uno zero dell’ingresso non è fattibile

( ) 0 00

0

0

( ) ( )( ) 0 ( ) ( )

( )

ni

i nii

ii

Y s Y sa y t Y s L s

D sa s=

=

= ⇒ = = =∑∑


Sistemi e FdT - 19

FdT e caratteristiche della risposta

Struttura complessiva della risposta

Caratteristiche di stabilità del sistemaTutti i poli del sistema a parte reale negativa

risposta limitata ad un ingresso limitatodopo l’esaurimento del transitorio risposta a regime permanente

ingresso costante -> uscita costanteingresso sinusoidale -> uscita sinusoidale alla stessa frequenza (ma diversa ampiezza e fase)

Presenza di poli semplici con parte reale nullapossibile risonanza: esistono ingressi limitati che portano ad uscite divergenti

Poli multipli a parte reale nulla o poli a parte reale positival’uscita del sistema diverge indipendentemente dall’ingresso

00

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

Y sN sY s H s U s L s U sD s D s

= + = +


Sistemi e FdT - 20

Forme standard della FdT

Forma con poli e zeri

ρ costante di trasferimento, g tipo del sistema

αn,k , ωn,k pulsazioni naturali

ζk , δk coefficienti di smorzamento

µ costante di guadagno

Ti , ti costanti di tempo

( ) ( )( ) ( )

2 2, ,

2 2, ,

2( )

2i k n k n ki k

gi k n k n ki k

s z s sH s

s s p s s

ζ α αρδ ω ω

− + +=

− + +∏ ∏∏ ∏

( )

( )

2

2, ,

2

2, ,

11 1 2( )

11 1 2

ki i ii k

n k n k ig

kiii k

in k n k

sT s s Tz

H ss s tt s s p

ζα αµδω ω

⎛ ⎞+ + + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞ = −+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∏ ∏

∏ ∏


Sistemi e FdT - 21

Schemi a blocchi

Spesso il modello complessivo si può derivare come interconnessione di sistemi (FdT) elementari

Diviene importante definire come ricavare la FdT complessiva della conoscenza delle singole FdTEsempio: Altoparlante

e

e e

diL R i u e f k i e k vdt

M v hv f fx v f k x

+ = − = =

+ = −

= =

1L s R+

1M s h+

1s

ek

k

k

u

e

i f

ef

vx


Sistemi e FdT - 22

Algebra degli schemi a blocchi

Serie

Parallelo

1( )F s 2 ( )F s 1 2( ) ( )F s F s

1( )F s

2 ( )F s

1 2( ) ( )F s F s++


Sistemi e FdT - 23


Retroazione negativa

Retroazione positiva

1( )F s

2 ( )F s

1

1 2

( )1 ( ) ( )

F sF s F s+−

+

1( )F s

2 ( )F s

1

1 2

( )1 ( ) ( )

F sF s F s−+

+


Sistemi e FdT - 24


Spostamento nodo somma

1( )F s+ 1( )F s +

1( )F s

1u 1u

2u

2u

1( )F s + 1( )F s+

1

1( )F s

1u 1u

2u

2u


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Spostamento nodo diramazione

1( )F s1( )F s

1( )F s

1u 1u

2u

2u

1( )F s 1( )F s

1

1( )F s

1u 1u

2u

2u


Sistemi e FdT - 26

Esempio: altoparlante

1L s R+

1M s h+

1s

ek

k

k

u

e

i f

ef

vx

1L s R+

1M s h+

eks

k

k

u

e

i f

ef

v


Sistemi e FdT - 27


1L s R+ ( ) e

ss M s h k+ +k

k

u

e

i fv

kL s R+ ( ) e

ss M s h k+ +

k

u

e

fv


Sistemi e FdT - 28


( ) ( )( )e

k sL s R s M s h k+ + +

k

u

e

v

u( ) ( )( ) 2

e

k sL s R s M s h k k s+ + + +

v

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