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Trasformazioni tra sistemi di riferimento

in moto relativo roto-traslatorio

x1

x3

x2 O u1 u2

u3

traiettoria di P

r (t) = OP = S i xi u i = OO‟ + O‟P == Si xiui + S xi‟ ui‟

r(t)=(x1, x2, x3)

P

x1‟

x2‟

x3‟

Vo‟(t)

O’

r‟(t)=(x1‟,x2‟,x3‟)

u1‟

u2‟

u3‟

OO‟(t)= ( x1 , x2 , x3 )

w(t)

Vo‟ v‟

v(t) = v‟(t) + Vo‟ + ( w r‟ )

w u‟ i

(vedi slide

successiva)

w r‟

“velocità di

trascinamento”

i i

iii

ii

i

dt

tudxu

dt

tdxu

dt

td

dt

POOOd

dt

tOPdtv

)('''

)(')()''()()(

x

i i iiii

ii

i uxudt

tdxu

dt

td'''

)(')( w

x

U.Gasparini, Fisica I

Rotazione del vettore A intorno ad un asse, con velocità angolare di rotazione :

A dA

dJ

j

wJ

d

dtJ w

Moto di “precessione” di un vettore :

Vale la formula di Poisson:

dA

dtA

w

Infatti: dA A d sinj J

dA

dtA

d

dtA A

Jj w j wsin sin

Inoltre dA ^ A, w ed il suo verso coincide con quello di

w A

Per un sistema di riferimento in rotazione con velocità angolare w, ciascuno dei versori dei suoi assi coordinati compie un moto di precessione :

u1

u2

u3

du

dtui

i

w

w

U.Gasparini, Fisica I 3

“Velocità di trascinamento”:

E‟ la velocita‟ che un punto, fermo nel sistema di riferimento “relativo”

(ossia in moto ), possiede rispetto al sistema di riferimento “fisso” (“assoluto”),

per effetto del moto roto-traslatorio del sistema relativo.

Il passeggero seduto in treno (→ fermo nella carrozza del treno)

ha una velocita‟ di trascinamento (rispetto al marciapiede della

stazione) uguale a V.

vtr(t) Vo‟ + ( w r ‟ )

Esempio: treno in moto rettilineo con velocita‟ V ( → w = 0 )

x

y’ y

x ’

V


“Velocità di trascinamento” (2)

Esempio: bambino seduto sulla macchinina di una giostra che ruota

con velocita‟ angolare w (centro della giostra fermo: Vo‟ = 0 )

O‟

w

r’ vtr = w r ‟

La velocita‟ di trascinamento

per il bambino e‟:

Esempio: velocità di trascinamento nel moto della Terra

Sole

vtr = Vo‟ + w r‟

Vo‟

velocità rispetto al Sole di

un punto P fermo sulla superficie della Terra

P

O‟

O

OO‟(t)

Vo‟ w

r‟(t)

x‟

y‟

z‟

x y

z

w r‟

asse di rotazione

terrestre

Trasformazione delle accelerazioni:

dt

'rd + 'r

dt

d

dt

Vd

dt

'vd

'r + V+ 'vdt

d

dt

vd =

O'

O'

ww

w a

ao‟

d

dt

dx '

dtu '

d x '

dtu '

dx '

dt

du '

dt

ii

ii

i i

2

2

'v ' + a

'=udt

'dx' + a

')u (dt

'dx' + a=

ii

ii

w

w

w

=

=

=

d

dtx 'u '

dx '

dt u ' x '

du '

dt

v' x '( u ')

=v' x 'u '

= v' r'

i i

ii i

i

i i

i i

w

w

w

'''' ' rvrdt

dav' + a=a O

ww

ww

'''2 ' rrdt

dav' + a=a O

ww

ww


Sistema “assoluto”: Sistema “relativo”:

v, a v‟, a‟

v = v‟ + vtr = v‟ + VO‟ + w r‟

a = a‟ + atr + aCo

a Co = 2 w v‟ “accelerazione complementare”

o “di Coriolis”

vtr = VO‟ + w r‟ “velocità di trascinamento”

Riepilogo: leggi di trasformazione delle velocita‟

ed accelerazioni

“accelerazione di

trascinamento”

''' rdt

dra=a Otr

www


“Accelerazione di trascinamento”

''' rdt

dra=a Otr

www

L‟ accelerazione di trascinamento:

ha per le accelerazioni lo stesso significato fisico che la velocita‟ di

trascinamento ha per le velocita‟:

è l‟ accelerazione che un punto, fermo nel sistema in moto, possiede nel sistema

assoluto per effetto del moto del sistema relativo

Esempio:

oggetto fermo su una piattaforma

rotante con velocita‟ angolare w w

z ’

y ’ x ’

r’ O‟ 'r

w

'ratr

ww

Vista dal sistema di riferimento “fisso” (x,y,z),

atr e‟ l‟ accelerazione centripeta di un punto

che sta compiendo una traiettoria circolare di raggio r‟.

x

z

y

w = costante

N

S

piano dell‟eclittica

O’ aO’ (verso il Sole)

P

r’

w w r‟ )

w

Accelerazione di trascinamento: a a rtr o ' ( ' )w w

vO’

Esempio di trasformazione delle accelerazioni : il moto della Terra

av

R

Km s

Kmcm s go

o'

' ( / )

,, /

2 2

8

2 330

15 100 6 10

distanza Terra-Sole

All‟equatore:

)cos(

)2/sin()'(

2

2

w

www

T

T

R

Rr

P

raggio della Terra

w 2 24 0 4%)R cm s gT / ( ,

N

S

latitudine

w w ( ' )r


Esempio: dipendenza dalla latitudine

dell‟ accelerazione di gravità

( w = costante, aO‟ trascurabile )

g0 = g + w w r‟ ) + 2 w v‟

accelerazione assoluta (che si osserverebbe se la Terra non ruotasse: diretta verso

il centro della Terra)

accelerazione relativa

Accelerazione osservata in un sistema solidale con la Terra:

g = g0 - w w r ‟) - 2 w v‟

g go

- w w r‟ )

w

w r‟

z (Alto)

x (Sud) y(Est)

r‟

la componente verticale gz

dell‟accelerazione di gravità

osservata g

aumenta con la latitudine

( è minima all‟Equatore;

al polo coincide con g0 )


Dipendenza dalla latitudine

dell‟ accelerazione di gravità

g go

- w w r’ )

w

w r’

z (Alto)

x (Sud) y(Est)

r‟

w

ww

22 cos

cos)'(

TR

r

Al Polo:

A Padova:

All‟ Equatore:

2

0

0 /83,9~)90( smgg 20 /81,9~)45( smg

22

0

0 /78,9~)0( smRgg Tw

Nota: nella caduta di un grave,

atr ha anche una componente verso

Sud (nell‟ emisfero Nord)

pari a w sincos2

TR

w 22

0 cos)( TRgg

|w×r’| =wr‟sin(/2-) =wr‟cos

r‟≡RT

|w×(w×r‟)|=w2RTcos

Accelerazione di Coriolis su un grave in caduta libera

g go

- w w r )

w

2w v‟

z (Alto)

x (Sud) y(Est)

RT

aCo=2w×v‟

entra nel piano del foglio -2w×v‟ diretta verso Est

(esce dal piano del foglio)

v’

Il corpo in caduta con velocità v’ passa da un punto iniziale P ad altezza h

in cui la velocità di rotazione è w(h+RT)cos ad un punto finale P‟ (base della torre),

in cui la velocità della superficie terrestre è minore: wRTcos

P

P’

l‟oggetto in caduta sopravanza (verso Est) la base della torre

h


Accelerazione complementare (“di Coriolis”)

w

z ’

y ’ x ’

v’ O‟

'2 v

w

Esempio: una persona cammina in direzione radiale con velocita‟ v’

su una piattaforma rotante

Nell‟ avvicinarsi al centro della piattaforma, l‟uomo va in regioni della

piattaforma per le quali la velocita‟ di rotazione del pavimento, wr‟, e‟ via via piu‟

piccola; per rimanere sulla linea radiale della piattaforma, l‟uomo deve avere nel

sistema “assoluto” (x,y,z) un‟ accelerazione tangenziale al moto di rotazione

opposta alla rotazione stessa, data da aCo

z

y

x

O


Effetti dell‟ accelerazione di Coriolis:

B A v‟

w

-2( w × v‟)

vortice ciclonico

(bassa pressione)

(alta pressione)

Nell‟ emisfero settentrionale (meridionale)

i vortici ciclonici atmosferici ruotano in

senso antiorario (orario)

Rotazione apparente del piano di oscillazione del “pendolo di Foucault”

piano di oscillazione

w

E

w

N

v’

Est -2 w v’

v‟

-2 w v’

rotazione apparente

del piano di

oscillazione Nell‟esperienza di Faucault

( Parigi, Pantheon,1850): T

gs

22 20

w

Pendolo di Faucault

)100( m

Sistemi di riferimento in moto relativo puramente traslatorio ed uniforme :

O x

y

z

z‟

y‟

x‟

O’

vO‟

VO‟ = costante

aO’ = 0, w = 0

Nota : le trasformazioni galileiane, che postulano un tempo “assoluto”, contraddicono il principio di invarianza della velocità della luce

(sperimentalmente osservato). [ Per trattare correttamente velocità relative prossime alla velocità della luce,

è necessario utilizzare le trasformazioni della meccanica relativistica (trasformazioni

di Lorentz ) ]

Trasformazioni galileiane

“Trasformazioni galileiane”:

)(')(

)(')(

)(')(')(')(

'

'

tata

Vtvtv

tVtrtOOtrtr

O

O

le accelerazioni sono invarianti

per trasformazioni galileiane


Scegliendo uno degli assi coordinati parallelo alla velocità relativa

di traslazione : x, x ’ // vO‟

O x

z z‟

x‟

y‟ O’

vO‟

y

tVtrtr O ')(')(

x t x t V t

y t y t

z t z t

O( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

'

P

r r’

Trasformazioni galileiane

v t v t V

v t v t

v t v t

x x O

y y

z z

( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

'

')(')( OVtvtv

a t a t

a t a t

a t a t

x x

y y

z z

( ) ' ( )

( ) ' ( )

( ) ' ( )

)(')( tata


Sistemi inerziali e trasformazioni galileiane

L „invarianza delle accelerazioni per trasformazioni galileiane implica che

se un sistema di riferimento è “inerziale” (ossia in esso valgono

il principio di inerzia e le legge di Newton), ogni altro sistema in

moto relativo uniforme rispetto ad esso è un sistema di

riferimento inerziale:

F= m a = ma‟ essendo a = a‟ .


O

traiettoria di P P

a

F = ma

Sistema inerziale: F ma

Vo‟(t)

O’

w(t)

Sistema non inerziale:

Sistemi non inerziali

a a a atr Co'

F ma m a a atr Co ( ' )

F m a a matr Co ( ) 'Forze apparenti in un

sistema di riferimento non inerziale: F ma' '

equazione formalmente

uguale alla legge

di Newton avendo definito la “forza”:

forza reale “forza fittizia” (ad es., forza “centrifuga”)

)(' Cotr aamFF


“forza centrifuga” su una piattaforma rotante

w

r

w r

a rtr w w( )

Equilibrio sulla piattaforma:

a ' 0

F F ma matr' ' 0

F m

Esempio di forza apparente:

La forza reale : F ma m rtr w w( ) 0

equilibra la forza “centrifuga”: F m rcentrifuga" " ( ) w w

Il sistema non è un sistema inerziale (in esso non vale la legge di Newton) :

F ma ' ( )0 F a‟=0

Credits: www.nasa.gov

Esempio di forze apparenti: “assenza di peso” in navicelle

spaziali in orbita terrestre

x’

y’

z’

0'' amamgmF tr

RT u

r

mMgm

2

uR

v

Rtr ur

va

2

-atr

h≈350 km

kmhRr T 6700

r

vrg

2

)( hkm

skmrrgv

/27700

/7,7)(

Effetti della

“microgravita’ ”

sulla

Terra

nella

ISS

F’

2

2

0 8,8)(

ms

R

rgrg

T

22 8,9/ msRM TT

g(r) =g0 R2

T /r2

~ 8.8 m/s2

g0

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