Sintini Matematica No Problem

Carlo Sintini

Matematica ? … No problem !!!

Tutta la matematica di base

per i licei e il biennio universitario

No problem !!!

per i licei e il biennio universitario

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

2

Carlo Sintini

Matematica ? … No problem !!!

© Carlo Sintini / Matematicamente.it – febbraio 2011

www.matematicamente.it – [email protected]

Il presente libro è rilasciato nei termini della licenza

Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non

opere derivate 2.5 Italia, il cui testo integrale è disponibile in

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/legalcode

La versione digitale dell’opera è disponibile gratuitamente al

sito www.matematicamente.it

Stampa

Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

ISBN 978 88 96354 08 7


3

A mio nipote Samuele


4

INDICE

INTRODUZIONE 8

CAP. 1 - PREMESSE 9

Par. 1 - Proprietà delle potenze 9

Par. 2 - Proprietà dei radicali 10

Par. 3 - I prodotti notevoli 12

Par. 4 - Varie 13

Par. 5 – Le categorie numeriche 14

Par. 6 - Gli intervalli 19

Par. 7 - Le disuguaglianze e le disequazioni 22

Par. 8 - Le espressioni con modulo 30

CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E TRASLAZIONI 34

Par. 1 - I grafici nel piano cartesiano 34

Par. 2 - Il dominio 40

Par. 3 - Le simmetrie 44

Par. 4 - Le costanti additive e moltiplicative 48

Par. 5 - Le traslazioni 52

CAP. 3 - TRIGONOMETRIA 55

Par. 1 - La misura degli angoli in quadranti 55

Par. 2 - Le funzioni trigonometriche 58

Par. 3 - Le relazioni fondamentali 62

Par. 4 - Gli angoli notevoli 68

Par. 5 - La riduzione al primo quadrante 73

Par. 6 - Alcune formule importanti 75

Par. 7 - Le equazioni e disequazioni trigonometriche 79

CAP. 4 - LOGARITMI ED ESPONENZIALI 86

Par. 1 - La definizione di logaritmo 86

Par. 2 - Le equazioni esponenziali 87

Par. 3 - Le equazioni logaritmiche 89


5

Par. 4 - La funzione esponenziale 90

Par. 5 - La funzione logaritmica 92

Par. 6 - Le proprietà dei logaritmi 95

CAP. 5 - GEOMETRIA ANALITICA 100

Par. 1 - Prime formule 100

Punto medio fra due punti 100

Distanza fra due punti 100

Equazione retta passante per due punti 101

Par. 2 - Equazione della retta 102

Par. 3 - Ancora sulle rette 105

Fasci di rette 105

Parallelismo e perpendicolarità fra rette 106

Distanza di un punto da una retta 108

Angolo fra due rette 108

Par. 4 - La circonferenza 109

Par. 5 - La parabola 114

Par. 6 - L’ellisse 124

Par. 7 - L’iperbole 129

Par. 8 - Formule di rotazione 136

Par. 9 - La funzione omografica 139

Par. 10 - Le coniche generiche 142

Par. 11 - Le coniche degeneri 148

CAP. 6 - I LIMITI 153

Par. 1 - Premesse 153

Par. 2 - Il concetto di limite 157

Come si calcola un limite? 159

Par. 3 - Le forme indeterminate 160

Par. 4 - Teoremi sui limiti (senza dimostrazione) 163

Par. 5 - Limiti notevoli (senza dimostrazione) 164

Par. 6 - Confronto fra infinitesimi 165


6

Par. 7 - Funzioni continue 168

Par. 8 - Le discontinuità 171

CAP. 7 - LE DERIVATE 174

Par. 1 - Dal rapporto incrementale alla derivata 174

Par. 2 - Continuità e derivabilità 180

Par. 3 - Regole di derivazione 182

Par. 4 - Le funzioni composte 183

Par. 5 - La derivazione delle funzioni inverse 184

Par. 6 - Il teorema di Rolle 190

Par. 7 - Il teorema di Lagrange ( valor medio) 191

Par. 8 - Il teorema di Cauchy 191

Par. 9 - Il teorema di De l’Hospital 192

CAP. 8 - GLI INTEGRALI 195

Par. 1 - Il concetto di differenziale 195

Par. 2 - L’integrale definito 197

Par. 3 - Proprietà dell’integrale definito 200

Par. 4 - La funzione integrale 203

Par. 5 - Teorema di Torricelli-Barrow 203

Par. 6 - Integrali immediati 206

Par. 7 - Calcolo di un’area 207

Par. 8 - Integrazione per sostituzione 209

Par. 9 - Integrazione per parti 210

Par. 10 - Integrazione per scomposizione 211

Par. 11 - Teorema della media 214

Par. 12 - Volume di un solido di rotazione 215

Par. 13 - Integrali impropri 216

CAP. 9 - MATRICI 218

Par. 1 - Premesse sulle matrici 218

Par. 2 - Determinante di una matrice quadrata 219

Par. 3 - Proprietà delle matrici quadrate 222


7

Par. 4 - Operazioni fra matrici 226

Par. 5 - La regola di Cramer 228

Par. 6 - Il teorema di Rouché-Capelli 230

Par. 7 - I sistemi omogenei 233

CAP. 10 - CALCOLO VETTORIALE 237

Par. 1 - Elementi di calcolo vettoriale 237

Par. 2 - Prodotto scalare fra due vettori 242

Par. 3 - Prodotto vettoriale fra due vettori 244

Par. 4 - Proprietà ed esempi 248

CAP. 11 - GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO 256

Par. 1 – Rette e piani 256

Par. 2 - Parallelismo e perpendicolarità 262

Par. 3 - Le quadriche 269

Par. 4 - Invarianti 275


8

INTRODUZIONE

Questo testo non ha alcuna pretesa di costituire un’esposizione

rigorosa e completa degli argomenti trattati.

E’ soltanto un manuale di rapida consultazione per studenti

che, in alcuni punti, offre (forse) una spiegazione più chiara ed

intuitiva rispetto a quella normalmente presente nei testi

tradizionali.

Ho volutamente saltato molte dimostrazioni, preoccupandomi

però in molte occasioni di fornire una giustificazione logica di

quanto andavo affermando.

Come scelta consapevole (suggerita dalla mia esperienza di

docente di un liceo scientifico), preferisco usare il rigore

scientifico solo quando è necessario, ma non sempre.

Preferisco decisamente la semplicità e l’immediatezza ad un

rigore formalmente ineccepibile a spese della chiarezza.

Lo scopo di questi appunti è quello di fornire un valido

appoggio ai testi tradizionali presentando in modo sintetico e

chiaro tutti i punti fondamentali e tradizionalmente più ostici

per lo studente, insieme ad un repertorio abbastanza ampio di

esempi svolti.

Carlo Sintini [email protected]


9

CAP. 1 - PREMESSE

Par. 1 - Proprietà delle potenze

In questo primo capitolo passiamo in rassegna alcuni concetti

elementari che dovrebbero essere già noti, ma che spesso sono

(almeno in parte) del tutto dimenticati.

Cominciamo con un ripasso sulle proprietà delle potenze.

1) 1n = 1

2) a0 =1 (tranne che per a = 0 perché in tal caso il

risultato è indeterminato)

3) (a b c)n = a

n b

n c

n (Attenzione ! Gli elementi dentro

parentesi devono essere tutti moltiplicati fra loro: non

devono esserci segni di addizione)

4)

n n

n

a a

b b

=

(Attenzione! Anche qui gli elementi

dentro parentesi devono essere divisi fra loro: non

devono esserci segni di sottrazione)

5) am

an = a

m+n (Attenzione! La regola non vale se al

primo membro c’è am

+ an)

6) nm

n

m

aa

a −= (Attenzione! La regola non vale se al

primo membro c’è am

- an)

7) ( ) nmnm aa ⋅=

8) nn

nn

n

a

1

a

1

a

1a ==

=−

9) m nm

n

aa =

10) ( ) m nn

m aa =


10

Par. 2 - Proprietà dei radicali

Proseguiamo con le proprietà dei radicali:

1) 0 a = impossibile 1)a(con ≠

2) 0 1 = indeterminato

3) aa1 =

4) aan n =

5) pm pnm n aa⋅ ⋅= (Per esempio

15 1053 523 2 aaa == ⋅ ⋅)

Applicando questa regola al contrario (Per esempio

15 310 2a a= ) si dice che si è ridotto, semplificato, il radicale.

6) 3 223 23

6

3 26 bababa ==⋅ 6

7 2 6 1 2 2 2 23 3 3 33

6 23

a b a a b a a b a a b

a b (Attenzione ! Con i segni non è possibile

portare fuori di radice la potenza)

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

± ±

7) babaabaabaa 76233 ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅ ⋅

3a a b (Attenzione ! Anche in questi casi i segni

impediscono di portare la potenza sotto la radice)

± ⋅ ±

8) Prodotto o rapporto fra radicali con lo stesso indice:

3 23 233 223 23 2 babaaabaab ⋅=⋅=⋅=⋅

2 22 23 3 3 3

2

2 23 3

ab bab : a

a a

ab a (Attenzione! Al solito i segni

impediscono l'unione delle radici)

= =

± ±


11

Se i radicali sono moltiplicati o divisi fra loro ed hanno indici

differenti fra loro, si debbono prima trasformare in modo che

gli indici diventino uguali, e poi si procede come sopra. Per

esempio:

4 33 2 baaba ⋅⋅

Calcoliamo il m.c.m. dei tre indici (m.c.m.=12), e

trasformiamo i tre radicali applicando la regola 5) in modo che

assumano tutti lo stesso indice 12:

( ) ( ) ( )4 362 3 2 33 4 2 6 3 4 4 3

6 4 8 9 3 6 4 8 9 312 12 12 12

19 11 12 7 11 7 1112 12 12

a ab a b a ab a b

a a b a b a a b a b

a b a a b a a b

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

9)

3 2 3 2 42 2 24 24

4 4 83 3 2 6 62 24 2

ab ab ab

a b a b a b a b

⋅ ⋅

⋅

= =

= = =

3 4a b± (Ancora a causa dei segni ± non è possibile applicare la

regola.)

Fa eccezione il caso, detto dei radicali doppi, in cui i due

radicali abbiano entrambi indice 2, e la quantità a2-b sia un

quadrato perfetto.

In tale caso, ponendo a2-b=c

2, si ha

2

ca

2

caba

−±

+=±


12

Par. 3 - I prodotti notevoli Raggruppiamo in questo paragrafo sia i prodotti notevoli

classici, che quei criteri che permettono di trasformare un

polinomio in un prodotto di due o più fattori.

1) ( )22 2a 2ab b a b± + = ±

2) ( )33 2 2 3a 3a b 3ab b a b± + ± = ±

3) ( )22 2 2a b c 2ab 2ac 2bc a b c+ + + + + = + +

4) ( ) ( )2 2a b a b a b− = + ⋅ − (Attenzione! a2+b

2 non è

un prodotto notevole)

5) Il raccoglimento a fattor comune. Per esempio:

( )2 3 2 2 3 5 2 2 315a b 5a b 20a b 5a b 3b 1 4ab+ − = + −

6) Il doppio raccoglimento a fattor comune. Per esempio:

( ) ( )( )( )

2 2 2 23a ab 2b 3a 3ab 2ab 2b 3a a b 2b a b

3a 2b a b

+ − = + − − = + − + =

= − +

7) Ogni trinomio di secondo grado ax2+bx+c può essere

scritto nella forma ( )( )1 2a x x x x− − dove x1 e x2

sono le soluzioni dell’equazione ax2+bx+c = 0.

8) La divisione con il metodo di Ruffini.

Dato per esempio il

polinomio

3 2x 2x 5x 6 0− − + = esso,

vedi a fianco, si può scrivere

nella forma

( )( )2x 1 x x 6 0− − − =


13

Par. 4 - Varie

1) Razionalizzazione del denominatore di una frazione

(procedimento per eliminare un radicale dal

denominatore di una frazione). Ecco alcuni esempi fra i

più comuni:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3 3

3 2 2 33 3 33

2 2 3 2 3

33 3 3

3 3 3 2 3 2 3 2 3 2

2 2 42 4 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 1 2 2 1 222 2 1

1 2 11 2 1 2 1 2

⋅= =

⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = =

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ − ⋅ −= = = = ⋅ −

− −+ + ⋅ −

2) Confronto fra due frazioni per stabilire quale delle due

è più grande.

Basta moltiplicare in croce (con le frecce verso l’alto):

è più grande la frazione dalla cui parte si trova il

risultato maggiore. Per esempio, fra le due frazioni

sottostanti

e’ più grande il prodotto 25 e quindi è più grande la

seconda frazione.

3) Confronto fra due radicali. Si deve trasportare tutto

sotto la radice e poi trasformare gli indici in modo che

assumano lo stesso valore. Per esempio,

I due radicali 33 2 2 7


14

possono essere trasformati nel modo seguente: 3

32 3

3

3

2 3 3 23 2

6 6

3 2 2 7

3 2 2 7

9 2 8 7

18 56

18 56

5832 3136

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Da cui risulta che il primo radicale è più grande del

secondo perché il primo radicando (il numero sotto

radice), è maggiore.

Par. 5 – Le categorie numeriche

Ripercorriamo l’evoluzione del concetto di numero partendo da

quelli che per primi furono ideati dall’uomo: i numeri

NATURALI (o numeri interi)

… 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

che sono indicati simbolicamente con la lettera N.

Questi altri sono invece i numeri positivi e negativi (o numeri

RELATIVI)

… -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …

e sono indicati con la lettera Z.

Il segno più davanti ai numeri positivi è facoltativo ed in

genere viene messo solo quando la sua mancanza può generare

confusione. Lo zero è il solo numero a non avere segno: è

unico.

Fra un numero intero (positivo o negativo) e il successivo

possono essere inseriti infiniti altri numeri (i numeri decimali o

con la virgola)

… -5 … -4 … -3 … -2 … -1 … 0 … 1 … 2 … 3 … 4 … 5 …


15

in questo caso i numeri si chiamano RAZIONALI e vengono

indicati con la lettera Q.

Tutti i numeri razionali possono essere messi sotto la forma m

n

in cui m ed n sono entrambi numeri interi.

I numeri periodici appartengono alla categoria dei numeri

razionali perché possono essere trasformati nella loro frazione

generatrice.

Per esempio,

72,3333... 2, 3 2, (3)

3

1922,13333... 2,13 2,1(3)

90

2112,13131313... 2, 13 2, (13)

99

= = =

= = =

= = =

Il periodo (come mostrano il secondo e il terzo membro) può

essere indicato sia con una sopra-linea che con una parentesi.

La frazione generatrice di un numero periodico si può ottenere

applicando una semplice regola (che si insegna nelle scuole

medie), e che non è necessario spiegare in questo contesto: con

una calcolatrice tascabile è comunque possibile fare la

controprova e verificare che le frazioni corrispondono proprio

ai numeri periodici indicati.

E’ importante notare che anche i numeri naturali e relativi

possono essere considerati razionali perché è possibile metterli

sotto la forma m

n.


16

Per esempio,

55

1

00

1

4, 2 42 214,2

1 10 5

=

=

− = − = − = −

Esistono però altri numeri che non possono essere messi sotto

la forma m

n e per questa ragione sono detti IRRAZIONALI, e

sono caratterizzati dal fatto che hanno infinite cifre decimali

non periodiche.

Essi provengono da tutte le radici che non corrispondono a

potenze esatte 32 1,412413... 7 1,213921...= = ecc

dal rapporto di una circonferenza con il proprio raggio (il

famoso pi greco 3,1415...π = ), dal calcolo di quasi tutte le

funzioni trigonometriche (per esempio:

cos 25° = 0,906307…), e si potrebbe seguitare con molti altri

esempi.

I numeri razionali ed irrazionali costituiscono due insiemi

separati, nel senso che un numero non può assolutamente

appartenere ad entrambe le categorie: o può essere messo sotto

la forma m

n (ed allora è razionale), o non può essere messo

sotto tale forma (ed allora è irrazionale).

L’insieme costituito dall’unione dei due insiemi, quello dei

numeri RAZIONALI ed IRRAZIONALI costituisce una nuova

categoria numerica che prende il nome di insieme dei

NUMERI REALI e vengono indicati con la lettera R.


17

I numeri reali possono essere messi in corrispondenza con i

punti di una retta:

Ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta, e ad

ogni punto della retta corrisponde un numero reale: si ha una

CORRISPONDENZA che funziona in entrambe le

direzioni (cioè biunivoca).

Se tentassimo invece di mettere a confronto i numeri N, Z, Q

con una retta orientata, la corrispondenza funzionerebbe in una

sola direzione. Cioè a ciascuno di questi numeri

corrisponderebbe un punto sulla retta, ma ci sarebbero infiniti

punti della retta ai quali non corrisponderebbe alcun numero.

N.B. A proposito dei numeri razionali nella forma m

n occorre

precisare che

5impossibile (nessun numero moltiplicato per 0 è uguale a 5)

0

0indeterminato (ogni numero moltiplicato per 0 è uguale a 0)

0

=

=

quindi una frazione è nulla solo se il suo numeratore è

nullo.


18

Il discorso sulle categorie numeriche non è finito perché può

avvenire che sotto una radice quadrata (o comunque con indice

pari) ci sia un numero negativo, per esempio 4− .

Il risultato di queste radici può essere calcolato se si pone 2i 1 cioè i 1= − = − .

In tal caso si può scrivere

4 1 4 1 4 i 2 2i

13 1 13 1 13 i 13

− = − ⋅ = − = ⋅ =

− = − ⋅ = − =

I numeri di questo tipo prendono il nome di numeri

IMMAGINARI.

Questi numeri ovviamente non possono essere rappresentati

sulla retta orientata dei numeri reali.

A questo punto è possibile creare una nuova categoria

numerica detta dei NUMERI COMPLESSI.

Un numero complesso è formato da due parti unite da un segno

più o meno: la prima parte è un numero reale, la seconda parte

è un numero complesso (il segno più o meno è solo simbolico

perché non è possibile calcolare un risultato di una simile

somma algebrica).

Per esempio: 3 2i la parte reale è il numero 3, la parte immaginaria 2i

5 - 4i la parte reale è il numero 5, la parte immaginaria -4i

7 la parte reale è il numero 7, la parte immaginaria nulla

3i la

+

parte reale è nulla, la parte immaginaria 3i

In questo modo ogni numero può essere considerato come un

numero complesso.

Due numeri complessi con la stessa parte reale e con parte

immaginaria uguale e di segno opposto, vengono detti

COMPLESSI CONIUGATI fra loro.


19

Concludiamo osservando che ogni categoria numerica

comprende le precedenti come un sottoinsieme

Cioè i numeri naturali sono un sottoinsieme di quelli relativi,

quelli relativi sono un sottoinsieme di quelli razionali, e così

via.

Par. 6 - Gli intervalli

I numeri reali possono quindi essere messi in corrispondenza

con i punti di una retta orientata. Accade spesso di

prendere in considerazione tutti i numeri (o tutti i punti)

compresi fra due valori: si ottiene così un intervallo

I punti estremi di questo intervallo possono essere compresi o

esclusi dall’intervallo stesso, ed inoltre uno degli estremi può

coincidere con il punto all’infinito (a destra o a sinistra).

Chiariamo questo concetto con degli esempi. Siano dati due

numeri reali arbitrari che denominiamo simbolicamente con le

lettere a e b

Matematica ? No problem !!!

Concludiamo osservando che ogni categoria numerica

di quelli relativi,

di quelli razionali, e così

I numeri reali possono quindi essere messi in corrispondenza

con i punti di una retta orientata. Accade spesso di dover

prendere in considerazione tutti i numeri (o tutti i punti)

intervallo.

I punti estremi di questo intervallo possono essere compresi o

esclusi dall’intervallo stesso, ed inoltre uno degli estremi può

dere con il punto all’infinito (a destra o a sinistra).

Siano dati due

numeri reali arbitrari che denominiamo simbolicamente con le


20

Se a è minore di b (cioè se a < b), allora la differenza b-a

costituisce un intervallo formato da tutti i punti compresi fra a

e b, e tale differenza costituisce la lunghezza dell’intervallo,

ed è positiva qualunque sia la posizione di a e di b rispetto allo

zero (cioè anche se uno o entrambi sono a sinistra dello zero).

Per esempio:

se a 4 allora b-a 7-4 3 0

se b 7

se a -3 allora b-a 2-(-3) 2 3 5 0

se b 2

se a -9 allora b-a -5-(-9) -5 9 4 0

se b 5

== = >

==

= = + = >==

= = + = >= −

Se invece a è maggiore di b (cioè se a > b), allora la differenza

è sempre negativa.

L’intervallo è formato da tutti i punti compresi fra a e b, ma,

come abbiamo già detto, i punti estremi possono appartenere o

no all’intervallo.

Le varie situazioni possibili si indicano simbolicamente nei

modi seguenti

[ ]] [] ][ [

a;b se gli estremi a e b sono compresi nell'intervallo

a;b se gli estremi a e b sono esclusi dall'intervallo

a;b se l'estremo a è escluso e l'estremo b è compreso

a;b se l'estremo a è compreso e l'estremo b è escluso

In altre parole se la parentesi più vicina è nel verso giusto,

allora l’estremo corrispondente è compreso. Mentre se la

parentesi più vicina è rovesciata, allora l’estremo corrispon-

dente è escluso.


21

Oppure, usando una notazione differente, indicando con x un

punto generico della retta, questo appartiene all’intervallo se

rispettivamente si verifica che a x b (si chiama anche intervallo chiuso)

a x b (si chiama anche intervallo aperto)

a x b (si chiama anche intervallo aperto a sinistra)

a x b (si chiama anche intervallo aperto a destra)

≤ ≤

< <

< ≤

≤ <

Nel primo caso l’intervallo è chiuso perché ci sono un primo

punto (a) da cui inizia l’intervallo, ed un ultimo punto (b) con

cui finisce l’intervallo; nel secondo caso l’intervallo è aperto

perché non si può dire quali siano il primo e l’ultimo punto.

Nel terzo si conosce l’ultimo punto ma non il primo, e nel

quarto caso si verifica il contrario.

Talvolta si indica un intervallo anche usando una notazione

simbolica di questo tipo

[ ] { }a;b x:a x b= ≤ ≤

e il contenuto della parentesi graffa si legge: “qualunque sia x

compreso fra a e b (estremi inclusi)”.

Cioè “x:…” si legge “qualunque sia x tale che …”.

Dal punto di vista grafico indicheremo con un tondino un punto

appartenente all’intervallo, e con una crocetta un punto non

appartenente ad esso


22

Un estremo dell’intervallo può anche estendersi fino

all’infinito: infatti se fisso un punto sulla retta, tutti i punti a

sinistra (o tutti i punti a destra) di tale punto costituiscono

anch’essi un intervallo.

Indicheremo questi intervalli nel modo seguente

] ]] [[ [] [

;a oppure x a (se a appartiene all'intervallo)

;a oppure x a (se a non appartiene all'intervallo)

b; oppure b x (se b appartiene all'intervallo)

b: oppure b x

−∞ − ∞ < ≤

−∞ − ∞ < <

∞ ≤ < ∞

∞ < < ∞ (se b non appartiene all'intervallo)

ovviamente quando un estremo è l’infinito, il punto

corrispondente non può mai appartenere all’intervallo (perché

non è mai possibile raggiungere tale punto).

Par. 7 - Le disuguaglianze e le disequazioni

Siano a, b, c e d dei generici numeri reali. Per le

disuguaglianze valgono le seguenti proprietà

1) Se a < b e b < c allora è anche a < c

2) Se a < b, allora è anche a+c < b+c oppure a-c < b-c

3) Se a < b e c è positivo, allora ac < bc

4) Se a < b e c è negativo, allora ac > bc

5) Se a < b e c < d allora è anche

(sommando membro a membro) a+c < b+d

6) Se a < b ed a e b sono entrambi positivi o entrambi

negativi, allora è anche 1 1

a b>

In altre parole

1) Se due disuguaglianze sono consecutive (cioè se il

secondo membro della prima coincide con il primo


23

membro della seconda) e di segno concorde, allora si

può eliminare il valore intermedio.

2) Il verso della disuguaglianza rimane invariato se

sommiamo o sottraiamo lo stesso numero ad entrambi i

membri.

3) Il verso della disuguaglianza rimane invariato se

moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per uno

stesso numero positivo.

4) Il verso della disuguaglianza viene invertito se

moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri per uno

stesso numero negativo.

5) Due disuguaglianze con verso concorde possono essere

sommate membro a membro.

6) Si deve cambiare il verso di una disuguaglianza se i due

membri hanno lo stesso segno, e li sostituisco con i loro

reciproci.

Se nei due membri di una disuguaglianza ci sono due

espressioni algebriche (contenenti una lettera incognita x)

invece di due valori numerici, rimangono valide tutte le

proprietà precedenti, e la disuguaglianza prende il nome di

disequazione.

Per esempio: 2

32

3x 5 6(x 3) 5

4x 2x6x x 3

1 x

− > + +

−≤ − +

−

E’ sempre possibile trasportare tutti i termini nel primo

membro (cambiando i loro segni, come nelle equazioni). Nei

due casi precedenti si ha


24

2

32

3x 5 6(x 3) 5 0

4x 2x6x x 3 0

1 x

− − + − >

−− + − ≤

−

Possiamo quindi immaginare una disequazione come una

espressione algebrica che indicheremo simbolicamente con f(x)

nel primo membro, ed uno zero nel secondo membro.

Cioè una disequazione può sempre essere trasformata in modo

da apparire in una delle forme seguenti

f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0> ≥ < ≤

Stabiliamo di chiamare RIDOTTA una disequazione portata in

tale forma.

Come si risolve una disequazione?

Sviluppando i 5 punti seguenti:

1. Trasformare la disequazione e portarla in forma ridotta.

2. Risolvere l’equazione associata, cioè l’equazione che si

ottiene sostituendo il segno maggiore o minore con quello

di uguale. Si ottengono così gli ZERI dell’equazione, cioè

i valori che sostituiti nel primo membro dell’equazione

associata, la rendono uguale a zero. Si chiamano invece

POLI quei valori che rendono il primo membro uguale ad

infinito (per esempio quei valori che annullano l’eventuale

denominatore di f(x). Si capirà meglio studiando l’esempio

n. 3).

3. Riportare zeri (ed eventuali poli) su una retta orientata.

4. Stabilire quale segno assume la f(x) in ciascuno degli

intervalli che si vengono a formare. Per assolvere a questo

compito basta prendere dei valori di prova (arbitrari) in

ciascuno degli intervalli, e sostituirli questi nella f(x).

Questa operazione prende il nome di studio del segno.

5. Determinare le soluzioni della disequazione confrontando i

risultati del punto 4 con il verso della disequazione.


25

Vediamo di capire meglio quanto detto alla luce di alcuni

esempi.

ESEMPIO 1

{ }{ }

x 1 1 x3 x Disequazione iniziale

2 4

2x-2 12 4x 1-x

-x 9 0 Forma ridotta o anche f (x) 0

-x 9 0 Equazione associata o anche f (x) 0

− −+ ≤ +

+ ≤ +

+ ≤ ≤

+ = =

L’equazione ha un solo zero: x=9

Su una retta orientata si ha

Infatti sostituendo il valore di prova x = 0 nella forma ridotta si

ha come risultato 9 (numero positivo); quindi tutti i valori a

sinistra dello zero fanno assumere valore positivo alla forma

ridotta.

Sostituendo invece come valore di prova x = 10 nella forma

ridotta si ha come risultato –1 (numero negativo); quindi tutti i

valori a destra dello zero fanno assumere valore negativo alla

forma ridotta.

Questo studio del segno viene reso evidente nel grafico

precedente tracciando a tratto pieno l’intervallo a sinistra dello

zero, e tratteggiato l’intervallo a destra.

Le soluzioni della disequazione (vedi il segno della forma

ridotta) sono quei valori della x che rendono tale forma

negativa. Cioè tutti i valori a destra dello zero, con lo zero


26

incluso perché la disuguaglianza contiene anche il segno di

uguale.

Algebricamente dunque le soluzioni sono

x 9≥

ESEMPIO 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

{ }

2

2 2

2 2

2

2

2

2 x 1 3 x 1 2 x 3 3 x 28 Disequazione iniziale

2x 2 3 x 2x 1 2 3x-x 9 3x 28

2x 2 3x 6x 3 2x 18 28

x 8x 9 0

x 8x 9 0 Forma ridotta o anche f (x) 0

x 8x 9 0

⋅ + − ⋅ − > ⋅ + − −

+ − ⋅ − + > ⋅ + − −

+ − + − > − + −

− + + >

− − < <

− − = { } Equazione associata o anche f (x) 0=

Risolvendo l’equazione di secondo grado si trovano le due

soluzioni (i due zeri)

x 1 x 9= − =

Con i valori di prova si ottiene il grafico

Le soluzioni della disequazione (vedi il segno della forma

ridotta) sono quei valori della x che rendono tale forma

negativa. Cioè tutti i valori compresi nell’intervallo fra –1 e 9

(estremi esclusi perché la disuguaglianza non ha il segno di

uguale).

Algebricamente dunque le soluzioni sono

] [1 x 9 oppure 1;9− < < −


27

ESEMPIO 3

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

7 83- Disequazione iniziale

x-2 x-5

7 83 0

x-2 x-5

7 x 5 3 x 2 x 5 8 x 20

x 2 x 5

7x 35 3 x 7x 10 8x 160

x 2 x 5

15x 51 3x 21x 300

x 2 x 5

3x 36x 810

x 2 x 5

≤

− + ≤

⋅ − − ⋅ − − + ⋅ −≤

− −

− − ⋅ − + + −≤

− −

− − + −≤

− −

− + −≤

− −

( ) ( )

2

2

2

x 12x 270 Forma ridotta

x 2 x 5

x 12x 270 Equazione associata

x 7x 10

− +≥

− −

− +=

− +

Il numeratore ha come soluzioni

x 3 x 9= =

che sono due zeri perché rendono nullo il numeratore della

frazione e quindi la f(x) è nulla.

Il denominatore ha come soluzioni

x 2 x 5= =

che sono invece due poli perché rendono nullo il denominatore

della frazione e quindi la f(x) è infinita.


28

Sistemando i grafici del numeratore e del denominatore uno

sotto l’altro, e studiandone il segno con dei valori di prova, si

ha

Applicando la regola dei segni di Cartesio (nella

moltiplicazione e divisione due segni concordi danno risultato

positivo, mentre due segni opposti danno risultato negativo), si

trova il risultato indicato nell’ultima retta orientata.

A questo punto, poiché nella forma ridotta c’è il segno

maggiore o uguale, le soluzioni della disequazione sono gli

intervalli

x 2

3 x 5

x 9

<

≤ < ≥

dove i valori x=2 e x=5 sono esclusi perché sono poli e

rendono infinita la f(x).

Le soluzioni possono anche essere indicate con un’unica

espressione nel modo seguente

] [ [ [ [ [;2 3;5 9;−∞ ∪ ∪ ∞

In cui i tre intervalli sono indicati con le parentesi quadre

(diritte o rovesciate), e fra di essi c’è il simbolo di unione (la

U) che significa che le soluzioni sono costituite da tutti i valori


29

della x che appartengono al primo intervallo, o al secondo, o al

terzo.

ESEMPIO 4 3 2

3 2

x 2x 5x 6 0 Disequazione iniziale (in forma ridotta)

x 2x 5x 6 0 Equazione associata

− − + ≥

− − + =

Se la disequazione consiste in un polinomio di grado superiore

al secondo, provare a trasformare il polinomio in modo da

avere nel primo membro un prodotto di due o più fattori di

primo o di secondo grado. Se è possibile realizzare questa

trasformazione (per esempio applicando la divisione con il

metodo di Ruffini), allora diremo che si è ottenuta una forma

fattorizzata.

Nel nostro esempio il polinomio può essere diviso per x=1,

infatti

( ) 3f 1 1 2 1 5 1 6 1 2 5 6 0= − ⋅ − ⋅ + = − − + =

Dividiamo con Ruffini

Si ottiene

( )( )( )( )

2

2

x 1 x x 6 0 Forma fattorizzata

x 1 x x 6 0 Equazione associata

− − − ≥

− − − =

Lo studio del segno dei singoli fattori e della f(x), ottenuta

applicando la regola dei segni di Cartesio, fornisce


30

Le soluzioni della disequazione sono allora tutte le x comprese

nella unione dei due intervalli (zeri inclusi per via del segno di

uguale), in cui la forma fattorizzata assume segno positivo o

nullo

[ ] [ [2;1 3;− ∪ ∞

Par. 8 - Le espressioni con modulo

Quando un numero è compreso fra due barrette verticali a

vuol dire che va preso in modulo (o in valore assoluto).

Cioè se il numero è positivo, le barrette non hanno alcuna

funzione ed è come se fossero una comune parentesi. Se

invece il numero è negativo, allora il segno meno va eliminato.

Quindi

5 5 mentre invece 3 3= − =

Alcune proprietà dei valori assoluti:


31

nn

2 2

a a

ab a b da cui deriva che a a

aa

b b

a a perché a elevati al quadrato danno entrambi a

3 2 3 2a b a b infatti

5 3 5 ( 3) 5 3

− =

= ⋅ =

=

= ±

+ = ++ ≤ +

− = + − < + −

Vediamo ora come ci si comporta quando si deve risolvere una

equazione o una disequazione contenente uno o più valori

assoluti.

ESEMPIO 5

x 3 5− =

Si trova facilmente che il contenuto del modulo (si dice anche

l’argomento del modulo), si annulla per x = 3, è positivo per

valori maggiori e negativo per valori minori.

Si vengono a formare due intervalli (quello a destra e quello a

sinistra di 3), ed in ciascuno dei due intervalli la presenza del

modulo da origine ad una diversa equazione.

Risolvendole si ha

Quindi l’equazione ha due soluzioni x=-2 e x=8.


32

ESEMPIO 6

3x 6 x 2− = +

Studiando il segno degli argomenti di entrambi i moduli, si

possono individuare tre intervalli (o zone)

In questo caso non si deve applicare la regola dei segni di

Cartesio (le rette orientate non si riferiscono a due espressioni

moltiplicate o divise fra loro).

Nella zona 3 i segni sono entrambi positivi e quindi entrambi i

moduli è come se non esistessero; nella zona 1 i segni sono

entrambi negativi e quindi dovrei cambiare tutti i segni dei

termini contenuti in ciascuno dei due moduli. Questo equivale

a cambiare segno a tutti i termini dell’equazione, che quindi

rimane in sostanza invariata.

Ne deriva che nelle zone 1 e 3 l’equazione assume la forma

3x 6 x 2− = +

che risolta fornisce la soluzione

2x 8

x 4

=

=

Nella zona 2 invece solo il contenuto del primo modulo assume

valore negativo, ed allora si deve cambiare segno solo ai

termini contenuti nel primo modulo.

Si ha allora

3x 6 x 2

4x 4

x 1

− + = +

− = −

=

Quindi l’equazione iniziale ha come soluzioni x=1 e x=-4.


33

ESEMPIO 7

3x 6 x 2− ≤ +

Dall’esempio precedente abbiamo visto che si possono

individuare tre diverse zone. A differenza di prima le zone 1 e

3 non si equivalgono perché stavolta abbiamo a che fare con

una disequazione e non una equazione.

Abbiamo quindi tre diverse disequazioni (una per ciascuna

zona), che possono essere risolte

La zona 1 fornisce soluzioni che ricadono esternamente ad

essa, e quindi non sono accettabili.

Nella zona 2 risulta che le soluzioni sono tutte le x maggiori o

uguali ad uno (e minori di 2 perché occorre rimanere

all’interno della zona).

Nella zona 3 le soluzioni sono tutte le x minori o uguali a 4 (a

partire da 2 perché occorre rimanere all’interno della zona).

Per concludere le soluzioni sono quindi costituite da tutte le x

comprese nell’intervallo che va da 1 a 4, estremi compresi

(intervallo chiuso).

Algebricamente scriveremo: [ ]1;4 .


34

CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E

TRASLAZIONI

Par. 1 - I grafici nel piano cartesiano

I punti del piano possono essere messi in corrispondenza

(biunivoca, cioè funzionante nei due versi) con le coppie

ordinate di numeri reali.

Nella figura è rappresentato il punto P in cui a=3 e b=2. Ha

importanza anche l’ordine con cui vengono presi i due numeri,

infatti scambiandoli fra loro si ottiene generalmente un punto

differente dal precedente.

Una espressione algebrica qualsiasi (detta anche funzione)

contenente due incognite (dette anche variabili) x ed y, viene

indicata simbolicamente nei due modi seguenti

f (x, y) 0 funzione in forma implicita

y f (x) funzione in forma esplicita

=

=

Quando la funzione è messa in una di queste due forme, si dice

che è scritta in forma standard o ridotta.


35

Per il momento prenderemo in esame solo funzioni

algebriche, cioè quelle che nella forma implicita hanno nel

primo membro un polinomio, e dunque non contengono

logaritmi, esponenziali o funzioni trigonometriche.

Per esempio:

2 2

3 2

2

x 2y 6 0 funzione in forma implicita

1y x 3 funzione in forma esplicita

2

x 3y 2x y 8 0 funzione in forma implicita

x 4xy funzione in forma esplicita

x 5x 6

− + =

= −

+ − + − =

−=

− +

La funzione del secondo esempio è stata ricavata dalla prima.

Esse quindi si equivalgono fra loro: una stessa funzione può

dunque essere scritta sia in forma implicita che esplicita.

Ma non sempre ciò è possibile: la terza funzione infatti non

può essere messa in forma esplicita.

Vedremo fra poco quale sia la condizione necessaria perché

una funzione possa essere scritta in forma esplicita.

Occupiamoci ora di un aspetto diverso: una equazione con due

incognite non ha un numero limitato di soluzioni, ma infinite.

Esse possono essere ottenute assegnando ad una delle due

incognite dei valori numerici arbitrari e calcolando ogni volta il

corrispondente valore che assume l’altra.

Per esempio nella prima funzione

1y x 3

2= −


36

ponendo x 0 si ottiene y -3

1 5ponendo x 1 si ottiene y 3

2 3

ponendo x 2 si ottiene y 1 3 2

3 3ponendo x 3 si ottiene y 3

2 2

4ponendo x 4 si ottiene y 3 1

2

= =

= = − = −

= = − = −

= = − = −

= = − = −

e così via …

Interpretando queste soluzioni come coordinate di punti

( ) ( ) ( )5 30; 3 1; 2; 2 3; 4; 1 ...

3 2

− − − − −

ci si accorge che questi sono tutti allineati e formano una retta.

Si può dunque affermare che la funzione corrisponde nel piano

cartesiano ad una retta.

Più generalmente possiamo affermare che tutte le equazioni di

primo grado con due incognite x ed y corrispondono sempre a

rette nel piano cartesiano.

Perciò ogni funzione del tipo

y=mx+q


37

corrisponde nel piano cartesiano ad una retta e i coefficienti m

e q prendono rispettivamente il nome di coefficiente angolare

e ordinata all’origine (o segmento staccato dalla retta

sull’asse y a partire dall’origine).

Il coefficiente angolare ha questo nome perché indica il grado

di inclinazione della retta.

Due rette con lo stesso coefficiente angolare sono inclinate allo

stesso modo e quindi sono parallele fra loro.

Se m è positivo, la retta è inclinata verso l’alto. Mentre se m è

negativo, la retta è inclinata verso il basso.

Più alto è il coefficiente angolare e maggiore è l’inclinazione

della retta.

Il termine q invece indica la distanza AO (vedi figura), cioè il

punto in cui la retta taglia l’asse y.

Può però avvenire che una funzione in forma esplicita abbia nel

secondo membro una espressione che non sia un binomio di

primo grado, per esempio 2y x 5x 6= − +

In questo caso la funzione non è una retta, però con lo stesso

procedimento già visto possiamo calcolare alcuni suoi punti

prendendo dei valori arbitrari


38

ponendo x 0 si ottiene y 6

ponendo x 1 si ottiene y 1 5 6 2




po

= =

= = − + =

= = − + =

= = − + =

= = − + =

nendo x 5 si ottiene y 25 25 6 6= = − + =

e così via …

Interpretando queste soluzioni come coordinate di punti

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0;6 1;2 2;0 3;0 4;2 5;6 ...

Si vede che questi non sono allineati, ma formano una curva di

questo tipo

Questo metodo di studio per ottenere il grafico di una funzione,

si chiama metodo per punti, richiede molti calcoli se la

funzione è un po’ complessa, ma soprattutto non è molto

affidabile.

Infatti per esempio nel caso precedente la funzione in base ai

punti calcolati avrebbe anche potuto avere questo andamento


39

Vedremo in seguito come si deve procedere per raccogliere

informazioni sulla funzione in modo da poterla poi graficare

con sicurezza.

All’inizio del capitolo abbiamo affermato che non sempre una

funzione in forma implicita può essere trasformata e messa in

forma esplicita.

Perché la trasformazione sia possibile, deve essere soddisfatto

il principio della retta verticale.

Infatti dal punto di vista algebrico la funzione agisce come un

dispositivo (vedi figura a sinistra), in cui inserendo un valore

numerico x, si ha come risultato un altro valore numerico y.

Oppure nessuno, per esempio nel caso y 2 x= − se poniamo

x=3 si ha y=i, che non può essere messo sull’asse y.

Ma non può mai avvenire che inserendo un valore per la x, si

abbiano due o più valori per la y.


40

Per esempio, nella figura a destra si ha una funzione che non

può essere scritta in forma esplicita perché una retta verticale

taglia la funzione in più di un punto, e quindi per un opportuno

valore della x debbono potersi ottenere più valori della y

(nell’esempio sono tre).

Quindi una funzione può essere messa in forma esplicita se una

generica retta verticale la taglia in un solo punto (o nessuno).

Par. 2 - Il dominio

Data una funzione y = f(x) chiamiamo dominio (o insieme di

definizione della funzione), l’insieme di tutti i valori dell’asse

x la cui ordinata è reale e finita.

Vanno quindi esclusi dal dominio tutti i valori della x la cui

ordinata è immaginaria, o indefinita, o infinita.


41

ESEMPIO 8

Data la funzione

2x 6y

x 3

+=

−

si può facilmente constatare che qualunque valore di x fornisce

un corrispondente valore per la y.

Fa eccezione soltanto il valore x=3 per il quale la corrispon-

dente y è infinita (6

y0

= = ∞ ).

Il grafico della funzione (come vedremo meglio in seguito) è

Il dominio è costituito in questo caso da tutti i valori della x,

eccettuato il valore x=3 in cui la funzione è infinita.

Il dominio viene indicato algebricamente nel modo seguente

] [ ] [;3 3;−∞ ∪ ∞

cioè l’unione dell’intervallo che va da -∞ a 3 (estremi esclusi),

con l’intervallo che va da 3 ad ∞ (estremi esclusi).


42

ESEMPIO 9

Consideriamo invece la funzione 2

y 4 x= −

Il grafico della funzione è

(vedremo meglio in seguito che è

una semicirconferenza).

Se assegniamo alla x dei valori

minori di –2 o maggiori di 2, (per

esempio x=3) otteniamo per la y dei

valori immaginari

( y 4 9 5 i 5= − = − = ).

Quindi vanno esclusi dal dominio tutti i valori della x esterni

all’intervallo che va da –2 a 2.

Il dominio è formato in questo caso dall’intervallo (estremi

inclusi) [ ]2;2−

ESEMPIO 10 Sia data la funzione

( )

2x 3x 2y

2 x 1

− +=

−

Se poniamo x = 1 non si ottiene y = ∞ (come nell’esempio 8),

ma 0

y0

= che è una forma indeterminata (vedi riquadro con

N.B. nel primo capitolo).

Cioè per x=1 non è possibile calcolare un corrispondente

valore per la y.

La ragione di questa impossibilità si chiarisce se fattorizziamo

il numeratore


43

( ) ( )( )

x 2 x 1y

2 x 1

− −=

−

quando poniamo x=1 è il fattore (x-1) che si annulla sia nel

numeratore che nel denominatore, a dar luogo alla forma

indeterminata.

Ma la frazione può essere semplificata e si ottiene

x 2y

2

1y x 1

2

−=

= −

Dunque la funzione è una retta

Ma attenzione: la funzione assegnata è la ( )

2x 3x 2y

2 x 1

− +=

− ed

in questa espressione il valore x=1 fornisce una y indeter-

minata.

Quindi il grafico corrispondente è sì una retta, ma mancante di

un punto.

Il dominio della funzione è allora tutto l’asse x ad eccezione

del punto x=1.

] [ ] [;1 1;−∞ ∪ ∞


44

Par. 3 - Le simmetrie

Consideriamo un punto generico A nel piano cartesiano, con

coordinate arbitrarie.

• Il punto D è il simmetrico di A rispetto all’asse x. Si ottiene

D sostituendo –y al posto di y nelle coordinate di A.

• Il punto B è il simmetrico di A rispetto all’asse y. Si ottiene

B sostituendo –x al posto di x nelle coordinate di A.

• Il punto C è il simmetrico di A rispetto all’origine

(l’intersezione degli assi). Si ottiene C sostituendo –x e –y al

posto di x e y nelle coordinate di A.

Si capisce allora perché, data una funzione f(x;y)=0 si può

affermare che:

• è simmetrica rispetto all’asse x se sostituendo –y al posto di

y, questa rimane invariata.

• è simmetrica rispetto all’asse y se sostituendo –x al posto di

x, questa rimane invariata.

• è simmetrica rispetto all’origine se sostituendo –x e –y al

posto di x ed y, questa rimane invariata.


45

Nella figura sono indicate tre funzioni rispettivamente sim-

metriche rispetto all’asse x, all’asse y e all’origine.

ESEMPIO 11 2x y 2 0− − =

Risolvendo rispetto ad y si ha 2y x 2

y x 2

= −

= ± −

Con l’estrazione della radice quadrata abbiamo dovuto

introdurre il doppio segno ± che è un modo simbolico per

affermare che esistono due funzioni diverse

2- ye 2 −=−= xxy

che elevate al quadrato restituiscono la funzione implicita

iniziale.

Questo significa che la funzione data non è esplicitabile

rispetto alla y, cioè non può essere scritta nella forma y = f(x),

e non soddisfa quindi la regola della retta verticale.

Infatti ponendo per esempio x = 5 si ottengono due valori della

y ( y 3 e y 3= = − ).

Osserviamo che ponendo comunque nella funzione 2y x 2= − due valori numerici uguali e di segno opposto, si

ottiene in entrambi i casi sempre lo stesso risultato finale.

Algebricamente indichiamo questa proprietà scrivendo

f (x;y) f (x; y)= −

La funzione è dunque simmetrica rispetto all’asse x.

Non ci interessa per il momento ricavare il grafico della

funzione.


46

ESEMPIO 12 4 2

x 4x y 1 0− − + =

Questa funzione è invece esplicitabile (rispetto alla y) e

fornisce 4 2

y x 4x 1= − +

E’ facile verificare che ponendo al posto della x due valori

numerici uguali e di segno opposto, si ottiene in entrambi i casi

sempre lo stesso risultato finale.

La funzione è quindi simmetrica rispetto all’asse y.

Algebricamente indichiamo questa proprietà scrivendo

f (x; y) f ( x; y) oppure

f (x) f ( x)

= −

= −

Una funzione di questo tipo viene anche detta funzione pari

perché la x ha solo esponenti di grado pari; il termine noto

(quello senza la x) viene classificato di grado zero perché si

può immaginare moltiplicato per x0 (x

0=1) e lo zero viene

considerato numero pari.


funzione.


47

ESEMPIO 13 3

x 3x y 0+ − =

Anche questa funzione è esplicitabile (rispetto alla y) e fornisce3

y x 3x= +

Si può verificare che ponendo al posto della x un valore

numerico arbitrario si ottiene un corrispondente valore per la y:

sostituendo invece il valore –x si ottiene –y.

Cioè

f (x; y) f ( x; y) oppure

f (x) f ( x)

= − −

= − −

Una funzione di questo tipo viene anche detta funzione dispari

perché la x ha solo esponenti di grado dispari; il termine noto

(classificato, come si è visto nell’esempio precedente, di grado

pari), deve essere assente.


funzione.

Comunque, a titolo di curiosità, ecco i grafici relativi agli

ultimi tre esempi precedenti


Anche questa funzione è esplicitabile (rispetto alla y) e fornisce

che ponendo al posto della x un valore

numerico arbitrario si ottiene un corrispondente valore per la y:

funzione dispari

perché la x ha solo esponenti di grado dispari; il termine noto

(classificato, come si è visto nell’esempio precedente, di grado


à, ecco i grafici relativi agli


48

Par. 4 - Le costanti additive e moltiplicative

Si abbia una generica funzione y = f(x) di cui immaginiamo di

conoscere il grafico, senza per ora preoccuparci di come si

debba operare per ottenerlo.

Per fissare le idee prendiamo come esempio la funzione 4 2y x 5x 4= − + il cui grafico è tracciato qui sotto

Che effetto ha su di essa una costante?

Distinguiamo 4 casi fondamentali differenti ed importanti:

1. La funzione y = f(x)+c corrisponde ad una nuova

funzione identica alla precedente, ma spostata in alto o

in basso a seconda che c sia positiva o negativa. Infatti

nella nuova funzione si dovrà aggiungere la costante c

ad ogni y della funzione precedente.

Se per esempio c = 2 tutta la funzione risulta spostata

verso l’alto di 2 unità.

La funzione diviene 4 2y x 5x 6= − +

In altre parole si ha una traslazione verticale

funzione che però rimane invariata come forma.


f(x) di cui immaginiamo di

conoscere il grafico, senza per ora preoccuparci di come si

Per fissare le idee prendiamo come esempio la funzione

Distinguiamo 4 casi fondamentali differenti ed importanti:

corrisponde ad una nuova

funzione identica alla precedente, ma spostata in alto o

in basso a seconda che c sia positiva o negativa. Infatti

nella nuova funzione si dovrà aggiungere la costante c

utta la funzione risulta spostata

traslazione verticale della



49

2. La funzione y = f(x+c) corrisponde invece ad una

nuova funzione identica a quella iniziale, ma spostata a

sinistra o a destra a seconda che c sia positiva o

negativa.

Se per esempio c = 1 la funzione risulta spostata a

sinistra di una unità.

La funzione diviene 4 2y (x 1) 5(x 1) 4= + − + +

In altre parole si ha una traslazione laterale


3. La funzione y = c f(x) corrisponde ad una funzione

dilatata o compressa verticalmente.


corrisponde invece ad una

nuova funzione identica a quella iniziale, ma spostata a

sinistra o a destra a seconda che c sia positiva o

1 la funzione risulta spostata a

4 2y (x 1) 5(x 1) 4= + − + +

traslazione laterale della


corrisponde ad una funzione


50

Se per esempio c = 2 la funzione risult

verticalmente di un fattore 2 perché tutte le sue ordinate

risultano moltiplicate per 2.

La funzione diviene 4 2y 2 (x 5x 4)= ⋅ − +

Se la costante c assume valori compresi fra 0 ed 1,

allora si ha una compressione verticale, invece di una

dilatazione.

Se poi i valori di c sono negativi tutte le ordinate

risultano cambiate di segno ed oltre ad una dilatazione

o compressione verticale, si ha anche una rotazione,

un ribaltamento, rispetto all’asse x.

Infine, se c = -1, la funzione non ha deformazioni

verticali, ma solo il ribaltamento rispetto all’asse x.

4. La funzione y = f(c x) corrisponde infine ad una

funzione dilatata o compressa orizzontalmente.

Se per esempio c = 2 la funzione risulta dilatata

orizzontalmente di un fattore 2 perché tutte le sue ascisse

risultano moltiplicate per 2.

La funzione diviene ( ) ( )4 2

y 2 2x 5 2x 4 = ⋅ − +


2 la funzione risulta dilatata

verticalmente di un fattore 2 perché tutte le sue ordinate

y 2 (x 5x 4)

Se la costante c assume valori compresi fra 0 ed 1,

allora si ha una compressione verticale, invece di una

Se poi i valori di c sono negativi tutte le ordinate

risultano cambiate di segno ed oltre ad una dilatazione

o compressione verticale, si ha anche una rotazione,

deformazioni

verticali, ma solo il ribaltamento rispetto all’asse x.

corrisponde infine ad una

funzione dilatata o compressa orizzontalmente.

2 la funzione risulta dilatata

tutte le sue ascisse

y 2 2x 5 2x 4


51

Se invece la costante c assume valori compresi fra 0 ed 1,

allora si ha una compressione orizzontale, invece di una

dilatazione.

Se poi i valori di c sono negativi tutte le ascisse risultano

cambiate di segno ed oltre ad una dilatazione o compressione

orizzontale, si ha anche una rotazione, un ribaltamento, rispetto

all’asse y.

Infine, se c = -1, la funzione non ha deformazioni orizzontali,

ma solo il ribaltamento rispetto all’asse y.


Se invece la costante c assume valori compresi fra 0 ed 1,

allora si ha una compressione orizzontale, invece di una

negativi tutte le ascisse risultano

cambiate di segno ed oltre ad una dilatazione o compressione

orizzontale, si ha anche una rotazione, un ribaltamento, rispetto

1, la funzione non ha deformazioni orizzontali,


52

Par. 5 - Le traslazioni Si abbia un punto P con coordinate (a;b) e si voglia spostarlo

nella posizione P’

cioè si voglia portarlo nella nuova posizione con coordinate

(a+h;b+k).

In altre parole le coordinate x a

y b

=

= devono trasformarsi nelle

coordinate x ' a h

y ' b k

= +

= + o anche (sostituendo x ed y al posto di

a e b)

x ' x h

y ' y k

= +

= +

Queste formule di trasformazione permettono di ottenere le

nuove ordinate di un generico punto dopo uno spostamento

orizzontale e verticale analogo a quello applicato al punto P.

Le coordinate di un punto prima della traslazione sono (x;y) e

quelle dello stesso punto dopo la traslazione sono (x’;y’).

Riprendiamo in esame la funzione già vista nel paragrafo

precedente 4 2y x 5x 4= − +


53

Vogliamo spostare, traslare, la funzione in modo da portarla

verso destra di 3 unità e verso l’alto di 4 unità.

Quindi le formule di traslazione saranno

x ' x 3

y ' y 4

= +

= +

Modifichiamo le due equazioni esplicitandole rispetto ad x ed

y.

Otteniamo

x x ' 3

y y ' 4

= −

= −

Ora sostituiamo questi valori nella funzione 4 2y 4 (x 3) 5(x 3) 4− = − − − +

Semplificando si ottiene

( ) ( ) ( )( )( ) (

2 2 2

2 2 2

y 4 x 3 x 3 5 x 3 4

y x 6x 9 x 6x 9 5 x 6x 9 8

− = − − − − +

= − + − + − − + +

ed infine, sviluppando e semplificando ancora,


Vogliamo spostare, traslare, la funzione in modo da portarla

zioni esplicitandole rispetto ad x ed

)y x 6x 9 x 6x 9 5 x 6x 9 8= − + − + − − + +


54

4 3 2 3 2 2 2

4 3 2

y x 6x 9x 6x 36x 54x 9x 54x 81 5x

30x 45 8

y x 12x 49x 78x 44

= − + − + − + − + −

+ − +

= − + − +

Quest’ultima è l’equazione della nuova funzione traslata.


55

CAP. 3 - TRIGONOMETRIA

Par. 1 - La misura degli angoli in quadranti

Data una circonferenza, qualunque sia il suo diametro, il

rapporto fra il suo perimetro e il diametro è costante.

Questa costante è il famoso 3,1415...π = (numero irrazionale)

Se ora dividiamo per 2 sia il numeratore che il denominatore

della frazione, questa rimane invariata e quindi si ha anche

Ora prendiamo in considerazione il settore circolare colorato in

grigio


Data una circonferenza, qualunque sia il suo diametro, il

rapporto fra il suo perimetro e il diametro è costante.

(numero irrazionale)

Se ora dividiamo per 2 sia il numeratore che il denominatore

della frazione, questa rimane invariata e quindi si ha anche

Ora prendiamo in considerazione il settore circolare colorato in


56

L’angolo al centro prende il nome di radiante.

Quindi un radiante è quell’angolo al centro che delimita,

comprende, un arco lungo come il raggio.

Spesso conviene misurare gli angoli prendendo questo angolo

caratteristico come angolo unitario.

La sua ampiezza in gradi si ottiene dividendo l’angolo piatto

(180°) per π.

18057,...

°≅ °

π

Inizialmente la scelta di questo angolo come unità di misura

per gli angoli, può sembrare una complicazione.

Invece, come vedremo, è una scelta molto comoda:

• Un angolo di 180° corrisponde a π radianti (o

semplicemente π) • 360° corrispondono a 2 π radianti (o semplicemente

2π) • 90° corrispondono a π/2 radianti (o semplicemente π/2).

E così via.

Per trasformare un angolo da gradi in radianti (o viceversa)

basta risolvere una semplice proporzione fra l’angolo da

trasformare e l’angolo piatto.


57

Prima si misurano i due angoli in gradi e poi si misurano gli

stessi angoli in radianti.

Per esempio, si voglia trasformare in radianti l’angolo di 70°

70 :180 x :° ° = π

dove indichiamo con la x l’angolo da trasformare in radianti.

Risolvendo la proporzione si ha

70 7x

180 18

° ⋅ π= = π

°

Il risultato è sempre un numero intero o una frazione

moltiplicata per π. Che è molto più conveniente da usare nei

calcoli al posto di un angolo espresso in gradi, primi, secondi.

L’operazione si può fare anche al contrario per trasformare in

gradi un angolo espresso in radianti.

Per esempio, l’angolo 3

x5

= π a quanti gradi corrisponde?

Si ha

3: x :180

5

3180

35x 180 3 36 1085

π π =

π ⋅= = = ⋅ = °

π


gradi e poi si misurano gli

si voglia trasformare in radianti l’angolo di 70°

dove indichiamo con la x l’angolo da trasformare in radianti.

Il risultato è sempre un numero intero o una frazione

. Che è molto più conveniente da usare nei

calcoli al posto di un angolo espresso in gradi, primi, secondi.

L’operazione si può fare anche al contrario per trasformare in

a quanti gradi corrisponde?

x 180 3 36 108


58

Par. 2 - Le funzioni trigonometriche Data una circonferenza di raggio arbitrario, tracciamo una retta

qualsiasi passante per O e che formi con OC un angolo

Stabiliamo di misurare gli angoli (indifferentemente in gradi o

in radianti) a partire da OC, e di considerarli positivi se ruotano

in verso antiorario (come quello in figura), negativi se ruotano

in verso opposto.

I triangoli OAB, ODC, OEF sono tutti e tre simili fra loro in

quanto tutti e tre sono rettangoli e tutti e tre hanno un angolo

uguale ad α (il terzo angolo dovrà essere uguale per

differenza).

Definiamo le seguenti funzioni trigonometriche

ABsen

OA

OBcos

OA

α =

α =

DCtan

OC

EFctg

EO

α =

α =

Si noti che le funzioni trigonometriche sono tutti rapporti ed

adenominatore c’è sempre il raggio della circonferenza.


Data una circonferenza di raggio arbitrario, tracciamo una retta

siasi passante per O e che formi con OC un angolo α.

Stabiliamo di misurare gli angoli (indifferentemente in gradi o

in radianti) a partire da OC, e di considerarli positivi se ruotano

in verso antiorario (come quello in figura), negativi se ruotano

I triangoli OAB, ODC, OEF sono tutti e tre simili fra loro in

quanto tutti e tre sono rettangoli e tutti e tre hanno un angolo

(il terzo angolo dovrà essere uguale per

DC

OC

triche sono tutti rapporti ed

denominatore c’è sempre il raggio della circonferenza.


59

Le funzioni trigonometriche non dipendono dal raggio della

circonferenza, ma dipendono soltanto dall’ampiezza

dell’angolo αααα. Se la circonferenza ha raggio uguale ad uno (la chiameremo

circonferenza unitaria), le funzioni trigonometriche diventano

più semplicemente

sen AB

cos OB

α =

α =

tan CD

ctg EF

α =

α =

Analizziamo più in dettaglio ciascuna di queste funzioni,

immaginando per semplicità che la circonferenza utilizzata sia

quella unitaria.

Quando il punto A descrive tutta la circonferenza, cioè quando

l’angolo α varia fra 0° e 360° (e l’angolo α compie una

rotazione completa), possiamo riportare in ascissa su un piano

cartesiano i valori dell’angolo α, ed in ordinata i corrispondenti

valori di AB (cioè del seno di α).

Si forma una curva detta sinusoide che deve immaginarsi

prolungata all’infinito sia a destra che a sinistra, in quanto gli

angoli possono essere anche maggiori di 360° o negativi.

Ovviamente per tali angoli si ripeteranno ciclicamente sempre

gli stessi valori del ciclo fondamentale mostrato in figura.

Dalla osservazione della figura risulta evidente che il seno

un angolo non può mai essere maggiore di 1 o minore di


Le funzioni trigonometriche non dipendono dal raggio della

ono soltanto dall’ampiezza

Se la circonferenza ha raggio uguale ad uno (la chiameremo

), le funzioni trigonometriche diventano

dettaglio ciascuna di queste funzioni,

immaginando per semplicità che la circonferenza utilizzata sia

circonferenza, cioè quando

compie una

ta), possiamo riportare in ascissa su un piano

, ed in ordinata i corrispondenti

che deve immaginarsi

, in quanto gli

angoli possono essere anche maggiori di 360° o negativi.

Ovviamente per tali angoli si ripeteranno ciclicamente sempre

gli stessi valori del ciclo fondamentale mostrato in figura.

Dalla osservazione della figura risulta evidente che il seno di

un angolo non può mai essere maggiore di 1 o minore di –1.


60

In modo perfettamente analogo, per il coseno dell’angolo

possiamo ricavare la curva detta cosinusoide.

Anche questa funzione deve immaginarsi prolungata

all’infinito sia a destra che a sinistra, ripetendo ciclicamente

sempre gli stessi valori.

Si può osservare che la sinusoide è formalmente uguale alla

cosinusoide: basta spostare a destra l’asse y di 90° per passare

dalla prima curva alla seconda.

Anche il coseno di un angolo non può mai essere maggiore di 1

o minore di –1.

Per la tangente occorre fare un ragionamento leggermente

diverso


In modo perfettamente analogo, per il coseno dell’angolo α,

Anche questa funzione deve immaginarsi prolungata

sinistra, ripetendo ciclicamente

Si può osservare che la sinusoide è formalmente uguale alla

cosinusoide: basta spostare a destra l’asse y di 90° per passare

essere maggiore di 1

Per la tangente occorre fare un ragionamento leggermente


61

Si deve tracciare la retta tangente alla circonferenza nel punto

D: la tangente di α è rappresentata dal segmento CD (la

circonferenza è sempre unitaria. In caso contrario sarebbe

necessario calcolare il rapporto CD/OD, ma il valore numerico

ottenuto sarebbe lo stesso di quello ottenuto con la

circonferenza unitaria).

Quando la retta OC si trova nel secondo o nel terzo quadrante,

non si deve tracciare la retta tangente alla circonferenza nel

punto opposto a D, ma si deve individuare l’intersezione C fra

la retta passante per O e la retta passante per D (vedi figura

precedente).

I valori di tang α possono quindi assumere tutti i valori

compresi fra -∞ e ∞, e si ripetono ciclicamente dopo 180°.

Le rette tratteggiate verticali non fanno parte del grafico, si

chiamano asintoti, e la funzione tende ad avvicinarsi sempre

più ad esse.

Rimane da esaminare la cotangente.


E: la cotangente di α è rappresentata dal segmento EF (la




è rappresentata dal segmento CD (la

a. In caso contrario sarebbe



Quando la retta OC si trova nel secondo o nel terzo quadrante,

retta tangente alla circonferenza nel

punto opposto a D, ma si deve individuare l’intersezione C fra

la retta passante per O e la retta passante per D (vedi figura

possono quindi assumere tutti i valori

e si ripetono ciclicamente dopo 180°.

Le rette tratteggiate verticali non fanno parte del grafico, si

chiamano asintoti, e la funzione tende ad avvicinarsi sempre

irconferenza nel punto

è rappresentata dal segmento EF (la



62



circonferenza unitaria).

Quando la retta OC si trova nel terzo o nel quarto quadrante,


punto opposto a E, ma si deve individuare l’intersezione F fra

la retta passante per O e la retta passante per E (vedi figura

precedente).

I valori di ctg α possono quindi assumere tutti i valori compresi

fra -∞ e ∞, e si ripetono ciclicamente dopo 180°.

Anche qui vi sono delle rette verticali denominate asintoti.

Mentre per il seno e coseno avevamo constatato che i grafici

erano uguali con l’unica differenza di una traslazione laterale,

confrontando fra loro la tangente e la cotangente possiamo

vedere che le differenze sono più marcate.

Par. 3 - Le relazioni fondamentali

Passiamo ora alla elencazione di alcune proprietà molto

importanti delle funzioni trigonometriche, dette

fondamentali.

• Data una circonferenza (al solito quella unitaria, per

semplicità) ed un angolo α, applichiamoli teorema di

Pitagora al triangolo OAB




Quando la retta OC si trova nel terzo o nel quarto quadrante,


punto opposto a E, ma si deve individuare l’intersezione F fra

per E (vedi figura

possono quindi assumere tutti i valori compresi

Anche qui vi sono delle rette verticali denominate asintoti.

che i grafici

erano uguali con l’unica differenza di una traslazione laterale,

confrontando fra loro la tangente e la cotangente possiamo

proprietà molto

importanti delle funzioni trigonometriche, dette relazioni

Data una circonferenza (al solito quella unitaria, per

, applichiamoli teorema di


63

( ) ( )

2 2 2

2 2

AB OB OA

sen cos 1

+ =

α + α =

L’ultima relazione si può anche scrivere, eliminando la

parentesi 2 2sen cos 1α + α =

N.B.

La scrittura 2sen α è nettamente diversa da

2senα .

Nel primo caso, che è un modo abbreviato per scrivere

( )2senα , si deve calcolare prima il valore del seno e poi si

deve elevare al quadrato.

Nel secondo caso invece si deve prima elevare al quadrato

l’angolo e poi se ne deve calcolare il seno.

Esplicitando il seno o il coseno si ottengono due relazioni

importanti 2 2 2 2

2 2

sen 1 cos cos 1 sen

sen 1 cos cos 1 sen

α = − α α = − α

α = ± − α α = ± − α

che permettono di trasformare il coseno in seno e viceversa.

• Riprendiamo la figura all’inizio del paragrafo


64

e la definizione di tangente

DCtan

OCα =

I due triangoli OCD ed OBA sono simili, come abbiamo già

avuto occasione di notare, e quindi possiamo impiantare una

proporzione fra lati corrispondenti DC : OC AB : OB

DC AB

OC OB

=

=

Quindi possiamo scrivere

DC AB sentan

OC OB cos

αα = = =

α

sentan

cos

αα =

α

• La definizione di cotangente è

EFctg

EOα =


I due triangoli OCD ed OBA sono simili, come abbiamo già

avuto occasione di notare, e quindi possiamo impiantare una


65

Riferendoci sempre alla stessa figura, anche i triangoli OEF ed

OBA sono simili, e perciò analogamente al caso precedente

possiamo scrivere EF : EO OB : AB

EF OB

EO AB

=

=

EF OB cosctg

EO AB sen

αα = = =

α

che è il reciproco del risultato ottenuto nel caso precedente.

Quindi si ha

1ctg

tanα =

α

Esistono altre due funzioni trigonometriche.

• Definiamo la prima, detta

secante dell’angolo α

OGsec

OAα =

Il triangolo rettangolo OAG è

simile al triangolo OAB perché

sono entrambi rettangoli ed hanno

un angolo in comune. Quindi si

può scrivere la proporzione

OBOA

OG : OA OA : OB

OG OA 1

OA OB

=

= =

e allora la secante equivale al reciproco del coseno

1sec

cosα =

α


Riferendoci sempre alla stessa figura, anche i triangoli OEF ed

OBA sono simili, e perciò analogamente al caso precedente

che è il reciproco del risultato ottenuto nel caso precedente.


66

• Definiamo l’ultima funzione trigonometrica, detta

cosecante dell’angolo α

OHcosec

OAα =

Anche il triangolo OAH è simile al triangolo OAB.

Si può scrivere la proporzione

ABOA

OH : OA OA : AB

OH OA 1

OA AB

=

= =

e allora la cosecante equivale al reciproco del seno

1cosec

senα =

α

N.B.

La presenza della circonferenza deve essere considerata come

una nostra semplificazione per comprendere meglio le relazioni

precedenti, ma generalmente possiamo eliminarla e prendere in

considerazione solo un triangolo rettangolo generico.

In questo caso le funzioni trigonometriche possono essere

espresse nel modo seguente


Definiamo l’ultima funzione trigonometrica, detta

lo OAB.

La presenza della circonferenza deve essere considerata come

una nostra semplificazione per comprendere meglio le relazioni

precedenti, ma generalmente possiamo eliminarla e prendere in

considerazione solo un triangolo rettangolo generico.

In questo caso le funzioni trigonometriche possono essere


67

cateto oppostosen

ipotenusa

cateto adiacentecos

ipotenusa

cateto oppostotan

cateto adiacente

cateto adiacentectg

cateto opposto

ipotenusasec

cateto adiacente

ipotenusacosec

cateto opposto

α =

α =

α =

α =

α =

α =

restando valide tutte le relazioni fondamentali precedentemente

elencate.


68

Par. 4 - Gli angoli notevoli Calcoliamo il valore delle funzioni trigonometriche per alcuni

angoli particolari: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

• Per 0° osservando i grafici della sinusoide, della

cosinusoide, della tangentoide e della cotangentoide,

possiamo ricavare immediatamente sen0 0

cos0 1

sen0 0tan 0 0

cos0 1

cos0 1ctg0

sen0 0

° =

° =

°° = = =

°°

° = = = ∞°

• In modo analogo, per 90° si ha sen90 1

cos90 0

sen90 1tan90

cos90 0

cos90 0ctg90 0

sen90 1

° =

° =

°° = = = ∞

°°

° = = =°

• Per un angolo di 30°


69

si può osservare che il triangolo OAB equivale a mezzo

triangolo equilatero.

Se la circonferenza è unitaria OA=1 ed

OA 1OA 1 ed AB

2 2= = = .

Applicando il teorema di Pitagora si

ha 2

2 1 1 3 3OB 1 1

2 4 4 2

= − = − = =

E perciò

1sen30

2

3cos30

2

1

1 2 1 3 32tan 302 33 3 3 3 3

2

3

3 22ctg30 31 2 1

2

° =

° =

° = = = = =

° = = =

• Per un angolo di 60°

Si può osservare che il triangolo OAB è identico al precedente,

con l’unica differenza che i due cateti sono scambiati fra loro.


70

Quindi si avranno gli stessi risultati del caso precedente, ma

con i valori del seno e del coseno scambiati.

Cioè

3sen60

2

1cos 60

2

tan 60 3

3ctg60

3

° =

° =

° =

° =

• Rimane da sviluppare il caso in cui l’angolo è di 45°

Il triangolo rettangolo OAB ha i cateti uguali e, al solito, per

semplicità poniamo l’ipotenusa uguale ad 1.

Indicando i cateti con x ed applicando il teorema di Pitagora, si

ha


71

2 2 2

2 2

2

2

OB AB 1

x x 1

2x 1

1x

2

1 1 2 2x

2 22 2 2

+ =

+ =

=

=

= = = =

Quindi i valori delle funzioni trigonometriche per l’angolo di

45°, sono

2sen45

2

2cos 45

2

2

2tan 45 12

2

1ctg45 1

tan 45

° =

° =

° = =

° = =°


72

Tutti i risultati possono essere riepilogati nella tabella seguente:

sen α cos α tan α ctg α

0° 0 1 0 ∞

30°

2

1

2

3

3

3

3

45°

2

2

2

2

1 1

60°

2

3 2

1 3

3

3

90° 1 0 ∞ 0

Se si deve calcolare il valore di una funzione trigonometrica di

un angolo non compreso fra i precedenti, occorre usare una

calcolatrice tascabile.

Per esempio,

sen25 0,422618 ...° =

Il risultato è approssimato perché generalmente è un numero

irrazionale.

Qualche volta può essere necessario compiere l’operazione

inversa, cioè conoscendo il valore numerico di una funzione

trigonometrica, si deve calcolare l’angolo corrispondente.

Per esempio, sapendo che il seno di un angolo è 0,422618

qual’è l’angolo da cui deriva?

La risposta in questo caso è ovviamente 25°.

Si indica questa operazione con la scrittura

arcsen 0,422618 = 25°

e significa che l’arco (cioè l’angolo) il cui seno è 0,422618

corrisponde a 25° (circa).

Questa scrittura rappresenta solo un comodo simbolo per

indicare che l’operazione contraria di


73

senx = y è arcseny = x

Si può usare questo simbolo anche per il coseno e per le altre

funzioni trigonometriche.

Così, per esempio, avremo che

arcsen 0,256 15 perché sen 15 0,256

arccos 0,693 46 perché sen 46 0,693

arctan 12,3 85 perché tan 85 12,3

arcsen 2,431 impossibile perché nessun angolo può avere

≅ ° ° ≅

≅ ° ° ≅

≅ ° ° ≅

=

seno maggiore di 1

Par. 5 - La riduzione al primo quadrante

Trattando gli angoli notevoli abbiamo preso in considerazione

solo angoli di 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, che si trovano nel primo

quadrante.

Perché non abbiamo proseguito con angoli che si trovano negli

altri quadranti?

Per la semplice ragione che non è necessario!

Infatti è sempre possibile calcolare il valore degli ang

notevoli maggiori di 90°, riferendosi ad un triangolo identico a

quello relativo all’angolo in questione, ma situato nel primo

quadrante.


Si può usare questo simbolo anche per il coseno e per le altre

arcsen 0,256 15 perché sen 15 0,256

arccos 0,693 46 perché sen 46 0,693

ngolo può avere

Trattando gli angoli notevoli abbiamo preso in considerazione

solo angoli di 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, che si trovano nel primo

Perché non abbiamo proseguito con angoli che si trovano negli

Infatti è sempre possibile calcolare il valore degli angoli

notevoli maggiori di 90°, riferendosi ad un triangolo identico a

quello relativo all’angolo in questione, ma situato nel primo


74

Così se, per esempio, volessimo calcolare sen 150°, dalla prima

figura si vede come al triangolo OSR si possa far corrispondere

il triangolo OAB nel primo quadrante: RS è uguale ad AB e

quindi

1sen150 sen30

2° = ° =

In modo analogo, per il coseno

3cos150 cos30

2° = − ° = −

il segno meno è dovuto al fatto che OS è negativo mentre OB è

positivo.

Per la tangente di 210° si ha invece (vedi la seconda figura)

3tan 210 tan30

3° = ° =

Infine, vedi terza figura,

1sen330 sen30

2

3cos330 cos30

3

° = − ° = −

° = ° =

Questa volta è il seno a diventare negativo, perché AB è

positivo mentre BP è negativo.


75

Par. 6 - Alcune formule importanti Elenchiamo alcune delle formule e dei teoremi più importanti

della trigonometria, senza però fornirne la dimostrazione, per la

quale rimandiamo a testi più specializzati.

• Formule di addizione e sottrazione.

Un errore molto comune consiste nel ritenere che si possa

scrivere

( )sen sen senα + β = α + β

NON E’ VERO!!!

Il “sen” che si trova nel primo membro non è una quantità

moltiplicata per la parentesi, che ci permette di adoperare la

proprietà distributiva.

E’ un operatore che indica quale operazione dobbiamo

eseguire sul contenuto della parentesi (che si chiama

argomento).

Le formule corrette per il seno sono le seguenti

( )sen sen cos cos senα ± β = α⋅ β ± α⋅ β

in cui il doppio segno significa che se nel primo membro c’è il

segno superiore, anche nel secondo membro dobbiamo

prendere il segno superiore.

Se invece c’è quello inferiore, anche nel secondo membro

dobbiamo prendere quello inferiore.

Per esempio:

( )

( )sen75 sen 30 45 sen30 cos 45 cos30 sen45

2 1 31 2 3 2 2 3 2

2 2 2 2 4 4

° = ° + ° = ° ° + ° ° =

++= + = =

Le formule per il coseno sono invece

( )cos cos cos sen senα ± β = α⋅ β α⋅ β∓


76

con le stesse convenzioni per il doppio segno.

Per esempio:

( )

( )cos75 sen 30 45 cos30 cos 45 sen30 sen45

2 3 13 2 1 2 3 2 2

2 2 2 2 4 4

° = ° + ° = ° ° − ° ° =

−−= − = =

Infine, le formule per la tangente sono

( ) tan tantan

1 tan tan

α ± βα ± β =

α ⋅ β∓

Per esempio:

( )

( )2

tan 60 tan 45tan15 tan 60 45

1 tan 60 tan 45

3 13 1 3 1 3 1 3 1

3 11 3 1 3 1 3 1 3 1

3 2 3 1 4 2 32 3

2 2

° − °° = ° − ° = =

+ ° ⋅ °

−− − − −= = = =

−+ ⋅ + + −

− + −= = = −

• Formule di duplicazione Rappresentano il caso particolare in cui nelle formule

precedenti sia α = β.

( )sen2 sen sen cos cos sen

2sen cos

α = α +α = α⋅ α + α⋅ α =

= α⋅ α

( )2 2

cos2 cos cos cos sen sen

cos sen

α = α + α = α⋅ α − α⋅ α =

= α − α


77

• Formule di bisezione

Permettono di passare dall’angolo α/2 all’angolo α.

2

2

1 cossen

2 2

1 coscos

2 2

α − α=

α + α=

da cui, ponendo 2

αβ =

,

1 cossen

2

1 coscos

2

− ββ = ±

+ ββ = ±

• Teorema di Carnot Dato un triangolo qualsiasi

il quadrato di un lato è sempre uguale alla somma dei quadrati

degli altri due lati, meno il doppio prodotto di questi lati per il

coseno dell’angolo fra loro compreso.

Cioè


.

il quadrato di un lato è sempre uguale alla somma dei quadrati

prodotto di questi lati per il


78

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bc cos oppure

b a c 2ac cos oppure

c a b 2ab cos

= + − ⋅ α

= + − ⋅ β

= + − ⋅ γ

Se l’angolo che appare alla fine del secondo membro è di 90°,

il triangolo è rettangolo, l’ultimo termine si annulla, ed il

teorema di Carnot si trasforma nel teorema di Pitagora.

• Area di un triangolo Con riferimento alla figura precedente, quindi in un triangolo

qualsiasi, l’area del triangolo è uguale al semiprodotto di due

lati per il seno dell’angolo fra loro compreso.

Cioè

ab senS oppure

2

ac senS oppure

2

bc senS

2

⋅ γ=

⋅ β=

⋅ α=

• Teorema dei seni. In un triangolo qualsiasi il rapporto fra un lato ed il seno

dell’angolo opposto, è costante.

Cioè

a b c

sen sen sen= =

α β γ

ed il valore di tale rapporto è uguale al diametro della

circonferenza circoscritta al triangolo.


79

Par. 7 - Le equazioni e disequazioni trigonometriche

Si possono risolvere senza l’uso della calcolatrice tascabile,

solo quando i risultati possono essere ricondotti agli angoli

notevoli.

Occorre solo fare attenzione che nelle equazioni, in ogni caso

le soluzioni sono infinite perché esistono in genere altri angoli

nei vari quadranti che soddisfano l’equazione, e perché le

soluzioni si ripetono ciclicamente.

Conviene chiarire questo concetto con alcuni esempi.

ESEMPIO 14 Si abbia l’equazione

1 2 senx 0− ⋅ =

Considerando come incognita tutta la funzione “sen x” invece

della sola “x”, si ha

1senx

2=

e quindi la soluzione x = 30°

Ma anche l’angolo di 150° ha il coseno uguale a

anche x = 150° è una soluzione.

Inoltre sono soluzioni anche gli angoli


trigonometriche

Si possono risolvere senza l’uso della calcolatrice tascabile,

solo quando i risultati possono essere ricondotti agli angoli

equazioni, in ogni caso

le soluzioni sono infinite perché esistono in genere altri angoli

nei vari quadranti che soddisfano l’equazione, e perché le

Conviene chiarire questo concetto con alcuni esempi.

Considerando come incognita tutta la funzione “sen x” invece

Ma anche l’angolo di 150° ha il coseno uguale a 2

1, quindi


80

x = 30 + 360° = 390°

x = 150° + 360° = 510°

x = 30° - 360° = -330°

e così via.

Si possono indicare brevemente tutte le soluzioni nel modo

seguente

x = 30° + k 360°

x = 150° + k 360°

con k uguale ad un qualsiasi numero intero (positivo o

negativo).

ESEMPIO 15

2 cos x 2 0

2cos x

2

x 45

⋅ − =

=

= °

Ma anche l’angolo x = 225° è una soluzione.

Inoltre, considerando anche le soluzioni dei cicli precedenti e

di quelli successivi, si ha

x = 45° + k 360°

x = 225° + k 360°


Si possono indicare brevemente tutte le soluzioni nel modo

con k uguale ad un qualsiasi numero intero (positivo o

Inoltre, considerando anche le soluzioni dei cicli precedenti e


81

ESEMPIO 16

3 tan x 3 0

3tan x

3

x 30

⋅ − =

=

= °

Per la tangente e la cotangente, a differenza del seno e coseno, i

valori si ripetono ogni 180°. Infatti anche l’angolo x = 30° +

180° = 210° è una soluzione.

E quindi tutte le soluzioni, comprese quelle dei cicli precedenti

e successivi, sono

x = 30° + k 180°

N.B. Se il risultato non è un angolo notevole, si calcola il

valore approssimato con la calcolatrice tascabile:

sen 25° = 0,422618…

arc cos 0,345 = 70° (circa)

Attenzione all’operazione contraria ! Può essere impossibile !

Per esempio:

arc sen 1,218 = impossibile

perché non esiste un angolo il cui coseno (o seno) sia maggiore

di 1 !!


Per la tangente e la cotangente, a differenza del seno e coseno, i

valori si ripetono ogni 180°. Infatti anche l’angolo x = 30° +

le soluzioni, comprese quelle dei cicli precedenti

Se il risultato non è un angolo notevole, si calcola il

Attenzione all’operazione contraria ! Può essere impossibile !

perché non esiste un angolo il cui coseno (o seno) sia maggiore


82

Passiamo alla soluzione delle disequazioni trigonometriche.

ESEMPIO 17 1 2 senx 0− ⋅ ≥

Come nelle disequazioni algebriche si deve anzitutto risolvere

l’equazione associata

1 2 senx 0− ⋅ =

per determinare gli zeri (i valori che annullano il primo

membro).

Limitandoci a considerare solo gli angoli compresi

360°, si ha

Si hanno due zeri che delimitano due regioni in cui il primo

membro della disequazione assume segni opposti.

Con un valore di prova si stabilisce quale sia la zona in cui

l’espressione assume segno positivo e quale sia la zona in cui

segno è invece negativo.

Completato lo studio del segno si può stabilire quali siano le

soluzioni.

Nel nostro caso l’espressione deve essere maggiore o uguale a

zero, e quindi le soluzioni sono costituite dalle due zone

0 x 30

150 x 360

° ≤ ≤ °

° ≤ ≤ °


Passiamo alla soluzione delle disequazioni trigonometriche.

Come nelle disequazioni algebriche si deve anzitutto risolvere

(i valori che annullano il primo

Limitandoci a considerare solo gli angoli compresi fra 0° e

Si hanno due zeri che delimitano due regioni in cui il primo

Con un valore di prova si stabilisce quale sia la zona in cui

l’espressione assume segno positivo e quale sia la zona in cui il

Completato lo studio del segno si può stabilire quali siano le

Nel nostro caso l’espressione deve essere maggiore o uguale a

zero, e quindi le soluzioni sono costituite dalle due zone


83

Ma, tenendo presente che l’angolo di 150° equivale all’angolo

–210°, possiamo unificare le due soluzioni scrivendo

210 x 30− ° ≤ ≤ °

Infine, ricordando che le soluzioni si prolungano all’infinito sia

a destra che a sinistra, possiamo scrivere in modo più completo

tutte le soluzioni

210 k 360 x 30 k 360− ° + ⋅ ° ≤ ≤ ° + ⋅ °

ESEMPIO 18

3 tan x 3 0⋅ − ≤

Anche qui cominciamo a trovare gli zeri dell’equazione

associata

3 tan x 3 0⋅ − =

Si ha

cioè due zeri (30° e 210°), ma esistono anche due poli

270°) in cui l’espressione diventa infinita.

Si hanno quattro zone, che in realtà si riducono a due se si

considera che i valori della tangente si ripetono ogni 180°.

Con il solito valore di prova si stabiliscono in quali intervalli il

primo membro della disequazione risulta positivo o negativo.


tenendo presente che l’angolo di 150° equivale all’angolo

210°, possiamo unificare le due soluzioni scrivendo

Infine, ricordando che le soluzioni si prolungano all’infinito sia

più completo

210 k 360 x 30 k 360− ° + ⋅ ° ≤ ≤ ° + ⋅ °

Anche qui cominciamo a trovare gli zeri dell’equazione

due poli (90° e

Si hanno quattro zone, che in realtà si riducono a due se si

considera che i valori della tangente si ripetono ogni 180°.

Con il solito valore di prova si stabiliscono in quali intervalli il

della disequazione risulta positivo o negativo.


84

Sono soluzioni i valori corrispondenti alle zone tratteggiate,

perché la disequazione ha il segno di ≤ .

Tutte le soluzioni possono essere espresse con un’ unica

espressione

90 x 210 o, in modo più completo

90 k 180 x 210 k 180

° < ≤ °

° + ⋅ ° < ≤ ° + ⋅ °

Si noti che il segno di uguale appare solo in corrispondenza dei

210°, e non a 90° (perché per tale valore l’espressione è infinita

e non nulla).

ESEMPIO 19 Se la disequazione è più complessa, si deve ricorrere (come per

le disequazioni polinomiali) alla fattorizzazione

dell’espressione per poter poi applicare la regola dei segni di

Cartesio.

Si abbia 22 sen x senx 0⋅ − ≥

Consideriamo l’equazione associata e fattorizziamo

( )senx 2 senx 1 0⋅ − =

Questa equazione è nulla quando è nullo il primo fattore o il

secondo, quindi si può spezzare nelle due equazioni

senx 0

1senx

2

=

=

Studiando il segno di ciascuna delle due espressioni a primo

membro, si ha


85

L’ultima riga, ottenuta applicando la regola dei segni di

Cartesio alle due righe precedenti, ci permette infine di ricavare

le soluzioni della disequazione

0 x 30

150 x 180

° ≤ ≤ °

° ≤ ≤ °

oppure, comprendendo anche i cicli precedenti e successivi

0 k 360 x 30 k 360

150 k 360 x 180 k 360

° + ⋅ ° ≤ ≤ ° + ⋅ °

° + ⋅ ° ≤ ≤ ° + ⋅ °


L’ultima riga, ottenuta applicando la regola dei segni di

Cartesio alle due righe precedenti, ci permette infine di ricavare

oppure, comprendendo anche i cicli precedenti e successivi

150 k 360 x 180 k 360° + ⋅ ° ≤ ≤ ° + ⋅ °


86

CAP. 4 - LOGARITMI ED

ESPONENZIALI

Par. 1 - La definizione di logaritmo

Data una espressione del tipo ab = c, che chiameremo

notazione esponenziale, stabiliamo di scriverla anche in un

modo diverso: loga c = b che chiameremo

logaritmica (e si legge “logaritmo in base a di c è uguale a

Questi sono due modi differenti per scrivere la stessa

espressione.

Così per esempio 3log 81 4= può essere scritta anche sotto la

forma 34 = 81.

Capiremo in seguito i vantaggi che si hanno scrivendo le

espressioni in forma logaritmica.

Le basi più usate per i logaritmi sono il numero 10 (ed in

questo caso si hanno i logaritmi decimali), ed il numero

irrazionale e (e = 2,71… numero di Eulero. In questo caso i

logaritmi si chiamano naturali).

Per evitare di scrivere la base talvolta si usa scrivere

semplicemente log per i logaritmi decimali e ln per i logaritmi

naturali.


, che chiameremo

, stabiliamo di scriverla anche in un

che chiameremo notazione

è uguale a b).

Questi sono due modi differenti per scrivere la stessa

può essere scritta anche sotto la

Capiremo in seguito i vantaggi che si hanno scrivendo le

Le basi più usate per i logaritmi sono il numero 10 (ed in

), ed il numero

irrazionale e (e = 2,71… numero di Eulero. In questo caso i

alvolta si usa scrivere

per i logaritmi


87

Par. 2 - Le equazioni esponenziali Si possono risolvere senza difficoltà solo se si riesce a

trasformare l’equazione in modo da ottenere nei due membri

due potenze che abbiano la stessa base o lo stesso esponente.

Oppure utilizzando una variabile ausiliaria.

Chiariamo questi concetti con alcuni esempi.

ESEMPIO 20 2x 13 27+ =

Applicando le proprietà delle potenze si può scrivere 2x 1 33 3+ =

Poiché le due potenze hanno base uguale, i due membri sono

uguali quando anche i due esponenti sono uguali, e perciò

quando

2x 1 3

4x 2

2

− =

= =

ESEMPIO 21 x 1 x2 4 80+ + =

Anche qui, sfruttando le proprietà delle potenze, si ha

( )xx 1 2

x 1 2x

x 2x

2 2 80

2 2 80

2 2 2 80

+

+

+ =

+ =

⋅ + =

Questa volta non è possibile agire come nell’esempio

precedente: non sarà mai possibile trasformale l’equazione in

modo da avere nei due membri due potenze con la stessa base.

Però possiamo ricorrere ad una variabile ausiliaria: se

poniamo y=2x, tenendo presente che elevando al quadrato i due


88

membri di questa ultima espressione si ha y2=(2

x)2 cioè

y2=2

2x, sostituendo si ottiene

22y y 80+ =

che è una semplice equazione di secondo grado. Risolvendola

(con la formula ridotta), si ha 2y 2y 80 0

1 1 80y 1 9

1

y 8

y 10

+ − =

− ± += = − ±

=

= −

Ma queste due soluzioni si riferiscono alla variabile y, mentre a

noi servono le soluzioni della variabile x.

Basta sostituire per ottenere x x 3

x

2 8 x 32 2

impossibileimpossibile2 10

= = =

= −

La seconda equazione è impossibile perché non c’è alcuna

potenza di base 2 che abbia un risultato negativo.

E come si risolvono le equazioni esponenziali alle quali non si

possono applicare i criteri visti in questi ultimi due esempi?

Questi casi (che rappresentano anche la maggioranza) si

risolvono in genere per via approssimata con metodi che qui

non ci interessano.

Se invece di una equazione esponenziale si ha una

disequazione esponenziale, basta risolvere l’equazione

associata per trovare gli zeri, e quindi determinare con i valori

di prova, gli intervalli in cui i risultati sono positivi o negativi.


89

Par. 3 - Le equazioni logaritmiche

Anche le equazioni logaritmiche possono essere risolte solo in

certi casi, con gli stessi accorgimenti suggeriti per le equazioni

esponenziali. Altrimenti si devono usare metodi approssimati o

la calcolatrice tascabile.

Vediamo alcuni esempi

ESEMPIO 22

2log 64 x=

Trasformiamo questa notazione logaritmica nella notazione

esponenziale equivalente: si ha immediatamente x

x 6

2 64

2 2

x 6

=

=

=

ESEMPIO 23

xlog 729 6=

Trasformiamo anche questa notazione logaritmica nella

notazione esponenziale equivalente 6

6 6

x 729

x 3

x 3

=

=

=

ESEMPIO 24 2

5 5log x log x 2 0− − =


90

Come per le funzioni trigonometriche l’espressione 2

5log x

deve essere considerata come una forma abbreviata di

( )2

5log x .

Ponendo 5y log x= si ha

2y y 2 0

1 1 8 1 3y

2 2

y 2

y 1

− − =

± + ±= =

=

= −

Passando dalle soluzioni per la y a quelle per la x, si ha

=

=

=

=

−=

=

5

1

25x

5

5 1log

2log1-

2

5

5

xx

x

x

x

Se invece di una equazione logaritmica si ha una disequazione

logaritmica, basta risolvere l’equazione associata per trovare

gli zeri (e gli eventuali poli), e quindi determinare con i valori

di prova, gli intervalli in cui i risultati sono positivi o negativi.

Par. 4 - La funzione esponenziale

Consideriamo la notazione esponenziale come una funzione, in

cui c = y, b = x ed

a = 10, essa diviene la funzione

y = 10x

e determiniamo alcuni suoi punti ponendo x=1, 2, 3, -1, -2, ecc,

allo scopo di poterla graficare.

Si ottiene la curva seguente


91

che ha la caratteristica di essere sempre compresa nel

semipiano delle y positive, di attraversare l’asse y nel punto di

ordinata 1, di tendere verso l’alto all’aumentare delle x, e di

avvicinarsi sempre più all’asse x al diminuire delle x (cioè

verso sinistra).

Occorre notare una caratteristica molto importante: se

cambiamo la base e mettiamo al posto di 10 un qualsiasi altro

numero (maggiore di 1), la curva mantiene le sue

caratteristiche: varia solo la sua curvatura





se x al diminuire delle x (cioè

Occorre notare una caratteristica molto importante: se

cambiamo la base e mettiamo al posto di 10 un qualsiasi altro

numero (maggiore di 1), la curva mantiene le sue


92




avvicinarsi sempre più all’asse x al diminuire delle x (cioè

verso sinistra).

Par. 5 - La funzione logaritmica

In modo analogo a quanto fatto per la notazione esponenziale,

consideriamo anche la notazione logaritmica come una

funzione, in cui c = x, b = y ed a = 10, essa diviene la funzione

y = log10 x determiniamo alcuni suoi punti ponendo x = 1, 2, 3, -1, -2, ecc,

e otteniamo la curva seguente


semipiano delle x positive, di attraversare l’asse x nel punto di

ascissa 1, di tendere verso l’alto all’aumentare delle x, e di

avvicinarsi sempre più all’asse y quando la x tende a zero.

Si noti che

• La funzione non esiste per x negative, quindi il

logaritmo di un numero negativo non esiste.


93

• La funzione assume valore -∞ per x = 0.

• La funzione ha valori negativi per x compreso fra 0 ed

1.

• La funzione è nulla per x = 1

• La funzione assume valori positivi per x maggiore di 1.

Anche per la funzione logaritmica, se cambiamo la base e

mettiamo al posto di 10 un qualsiasi altro numero (maggiore di

1), la curva mantiene le sue caratteristiche: varia solo la sua

curvatura

Notiamo ora una caratteristica molto importante che lega fra

loro le funzioni esponenziale e logaritmica.

Partiamo dalle due notazioni iniziali, ed in entrambe operiamo

la stessa sostituzione (b = x e c = y)

Le due funzioni che si ottengono (passaggio intermedio),

rappresentano due modi diversi per scrivere la stessa funzione


compreso fra 0 ed

La funzione assume valori positivi per x maggiore di 1.

Anche per la funzione logaritmica, se cambiamo la base e

mettiamo al posto di 10 un qualsiasi altro numero (maggiore di

caratteristiche: varia solo la sua

Notiamo ora una caratteristica molto importante che lega fra

Partiamo dalle due notazioni iniziali, ed in entrambe operiamo

Le due funzioni che si ottengono (passaggio intermedio),

la stessa funzione.


94

Se ora scambiamo la x con la y nella seconda funzione (ultimo

passaggio a destra), si ottengono esattamente la funzione

esponenziale e quella logaritmica.

Ma dal punto di vista grafico cosa significa scambiare la x con

la y?

Osserviamo le fasi illustrate qui sotto

Partendo dal primo grafico realizziamo una rotazione di 90° in

verso antiorario (secondo grafico).

Poi eseguiamo una riflessione attorno all’asse verticale (terzo

grafico).

Infine scambiamo la x con la y (quarto grafico).

Abbiamo ottenuto lo scambio fra i due assi e confrontando il

primo grafico con l’ultimo, ci accorgiamo che in realtà

abbiamo effettuato un ribaltamento di 180° attorno alla

bisettrice y = x.

Il punto P serve solo per rendere più evidente lo spostamento.

Con le funzioni esponenziale e logaritmica abbiamo eseguito

proprio una operazione di questo tipo per passare da una

all’altra. Si dice in questo caso che le due funzioni sono una

inversa rispetto all’altra.

La relazione importante che le lega è appunto questa: si può

passare da una all’altra semplicemente effettuando un

ribaltamento di 180° rispetto alla retta y = x


Se ora scambiamo la x con la y nella seconda funzione (ultimo

passaggio a destra), si ottengono esattamente la funzione

Ma dal punto di vista grafico cosa significa scambiare la x con

Partendo dal primo grafico realizziamo una rotazione di 90° in

sione attorno all’asse verticale (terzo

Abbiamo ottenuto lo scambio fra i due assi e confrontando il

primo grafico con l’ultimo, ci accorgiamo che in realtà

0° attorno alla

Il punto P serve solo per rendere più evidente lo spostamento.

Con le funzioni esponenziale e logaritmica abbiamo eseguito

proprio una operazione di questo tipo per passare da una

ue funzioni sono una

La relazione importante che le lega è appunto questa: si può

passare da una all’altra semplicemente effettuando un


95

Par. 6 - Le proprietà dei logaritmi

1. Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei

logaritmi dei singoli termini della somma

( )n n nlog A B log A log B⋅ = +

Infatti ponendo n

n

log A x

log B y

=

= e trasformando le due notazioni

logaritmiche in esponenziali, si ha

x

y

n A

n B

=

= e, moltiplicando

membro a membro le due relazioni, si ha x y

x y

n n A B

n A B+

⋅ = ⋅

= ⋅

riportando questa notazione esponenziale in forma logaritmica

si ottiene

( )( )

n

n n n

log A B x y cioè

log A B log A log B

⋅ = +

⋅ = +


logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei

log A B log A log B

e trasformando le due notazioni

e, moltiplicando


log A B log A log B


96

2. Il logaritmo di un rapporto è uguale alla differenza fra il

logaritmo del numeratore e il logaritmo del denominatore

n n n

Alog log A log B

B

= −

Infatti ponendo n

n

log A x

log B y

=

= e trasformando le due notazioni

logaritmiche in esponenziali, si ha

x

y

n A

n B

=

= e, dividendo

membro a membro le due relazioni, si ha x

y

x y

n A

Bn

An

B

−

=

=


si ottiene

n

n n n

Alog x y cioè

B

Alog log A log B

B

= −

= −

3. Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto del

logaritmo della base per l’esponente s

n nlog A s log A= ⋅

Infatti ponendo nlog A x= e trasformando la notazione

logaritmica in esponenziale, si ha xn A= e, elevando ad s

entrambi i membri, si ha


97

( )sx s

s x s

n A

n A⋅

=

=


si ottiene

( )( )

s

n

s

n n

log A s x cioè

log A s log A

= ⋅

= ⋅

4. Il logaritmo di un radicale è uguale al rapporto fra il

logaritmo del radicando e l’indice della radice

s n

n

log Alog A

s=

Infatti per una proprietà delle potenze possiamo scrivere 1

ss

n nlog A log A=

e quindi applicare la proprietà precedente 1

s n

n n

log A1log A log A

s s= =

5. Poniamo loga b = x e logb c = y (che si possono

scrivere rispettivamente anche nella forma ax = b e b

y =

c).

Ora eleviamo ad y entrambi i membri di ax = b

( )yx y

x y y

a b

a b⋅

=

=

passando alla notazione logaritmica, abbiamo y

alog b x y= ⋅

che, con semplici sostituzioni, si può scrivere anche nel modo

seguente

a a blog c log b log c= ⋅


98

Quest’ultima proprietà è molto importante perché permette di

passare dai logaritmi con una base ai logaritmi con una base

differente.

Per esempio, se poniamo a = 10 e b = e (numero di Eulero), la

proprietà in cornice permette di scrivere

10 10 elog n log e log n= ⋅

in cui il log10 e = 0,4343… e perciò

10 elog n 0,4343 log n= ⋅

Quindi si può passare dai logaritmi con una base a quelli con

una base diversa, semplicemente moltiplicando per una

costante.

Da questa quinta proprietà si può ricavare anche un’altra

importante conseguenza: se poniamo

c = a si ha

a a blog a log b log a= ⋅

Ma è loga a = 1 (dalla definizione di logaritmo), e perciò

a b1 log b log a= ⋅

a

b

1log b

log a=

Questa relazione ci permette di scambiare la base a dei

logaritmi con l’argomento b.

Concludiamo questa rassegna sulle proprietà con altre due

semplici osservazioni che derivano direttamente dalla

definizione di logaritmo: alog bn

alog a n ed anche a b= =

Infine, come per le funzioni trigonometriche, si può presentare

la necessità di modificare l’espressione


99

y = loga x esplicitando rispetto alla x, ma senza passare alla

notazione esponenziale.

In questo caso si usa l’espressione simbolica x = antiloga y.

Per esempio, se

10 10log 1000 3 allora si può scrivere antilog 3 1000= =

Le due espressioni sono perfettamente equivalenti e

rappresentano soltanto due modi diversi per scrivere la stessa

cosa.


100

CAP. 5 - GEOMETRIA ANALITI

Par. 1 - Prime formule

Punto medio fra due punti Dati due punti A e B

di coordinate

( 1 1 2 2A x ;y B x ;y≡ ≡

le coordinate del

punto medio M si

trovano facendo la

media aritmetica fra le

ascisse e fra le

ordinate dei due punti.

Si ottiene

1 2 1 2x x y yM ;

2 2

+ + ≡

Distanza fra due punti Se si desidera invece la distanza

AB fra i due punti, basta

applicare il teorema di Pitagora

al triangolo ABC.

Si ha

( ) ( )2 2

2 1 2 1AB x x y y= − + −


GEOMETRIA ANALITICA

Dati due punti A e B

di coordinate

) ( )1 1 2 2A x ;y B x ;y≡ ≡

le coordinate del

punto medio M si

trovano facendo la

media aritmetica fra le

ascisse e fra le

ordinate dei due punti.


101

Equazione retta passante per due punti Dati, al solito, due punti A e B di coordinate

( ) ( )1 1 2 2A x ;y B x ;y≡ ≡

per essi passa una ed una

sola retta.

La sua equazione si trova

applicando una proporzione

fra i due triangoli simili

APL e ABM.

Il punto P con coordinate

(x;y) deve essere

considerato come un punto

mobile che scorre sulla retta, al contrario di A e B che sono

fissi.

Le coordinate di A e B sono quindi costituite da valori

numerici noti, mentre le coordinate di P sono le variabili x ed y

della retta.

Stabiliamo quindi la proporzione fra i due triangoli APL e

ABM:

PL : BM AL : AM=

(1) 1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

− −=

− −


mobile che scorre sulla retta, al contrario di A e B che sono

Le coordinate di A e B sono quindi costituite da valori

numerici noti, mentre le coordinate di P sono le variabili x ed y

a proporzione fra i due triangoli APL e


102

ESEMPIO 25

Sia ( ) ( )A 2;1 B 5;3≡ ≡ .

Applicando la formula si ha

y 1 x 2

3 1 5 2

y 1 x 2

2 3

3y 3 2x 4

3y 2x 1 0

2x 3y 1 0

− −=

− −− −

=

− = −

− + =

− − =

Par. 2 - Equazione della retta

Dall’esempio precedente si vede come l’equazione di una retta

corrisponda ad una equazione di primo grado con due

incognite x ed y.

In generale possiamo quindi affermare che ogni retta può

essere scritta nella forma

ax + by +c = 0

detta anche forma implicita.

Si usa spesso scriverla anche in forma esplicita, cioè con la y

al primo membro e tutto il resto nel secondo

y = mx + q

Nell’esempio precedente la forma esplicita sarebbe 3y 2x 1

2 1y x

3 3

= −

= −

La forma esplicita è spesso più comoda da usare perché i

coefficienti m e q hanno un particolare significato grafico.


103

Il primo viene detto coefficiente angolare, perché esprime

l’inclinazione della retta rispetto all’asse x.

Dalla figura precedente si vede che il coefficiente angolare

corrisponde al rapporto BC su AC, cioè alla tangente

dell’angolo α che la retta forma con l’asse x.

(2) 2 1

2 1

y ym

x x

−=

−

Il termine noto q invece viene detto ordinata all’origine

perché rappresenta la distanza fra l’origine e il punto in cui la

retta taglia l’asse y.

A seconda dei valori del

coefficiente angolare la retta

può essere inclinata verso l’alto

(valori positivi di m) o verso il

basso (valori negativi di m).

Una retta orizzontale ha

coefficiente angolare nullo,

mentre una retta verticale ha

coefficiente angolare infinito.

Confrontando fra loro due rette, quella con coefficiente

angolare maggiore sarà più inclinata verso l’alto.


, perché esprime

Dalla figura precedente si vede che il coefficiente angolare

corrisponde al rapporto BC su AC, cioè alla tangente

ordinata all’origine,

perché rappresenta la distanza fra l’origine e il punto in cui la

Confrontando fra loro due rette, quella con coefficiente


104

Un aspetto particolare assumono le rette parallele agli assi

coordinati.

Le rette parallele all’asse y hanno la forma

x = k

(in cui k rappresenta la distanza dall’asse y).

In particolare la retta coincidente con l’asse y ha equazione

x = 0 Invece le rette parallele all’asse x hanno la forma

y = k

(in cui k rappresenta la distanza dall’asse x).


y = 0

Se si vuole tracciare una retta conoscendo la sua equazione,

basta trovare alcuni suoi punti (ne bastano due), assegnando un

valore a piacere ad una variabile e calcolando il corrispondente

valore dell’altra.

Si ottengono coordinate dei punti della retta che, riportate sul

piano cartesiano permetteranno di tracciare la retta stessa.

Per esempio, nella retta 3y 2x 1= − si ottengono i seguenti

valori


to particolare assumono le rette parallele agli assi



Se si vuole tracciare una retta conoscendo la sua equazione,

ano due), assegnando un

valore a piacere ad una variabile e calcolando il corrispondente

Si ottengono coordinate dei punti della retta che, riportate sul

piano cartesiano permetteranno di tracciare la retta stessa.

si ottengono i seguenti


105

Nella prima coppia si riconoscono le coordinate dei due punti

che sono serviti per ricavare l’equazione della retta.

Infine, se si mettono a sistema le equazioni di due rette e si

risolve il sistema, si ottengono le coordinate dell’unico punto

che le due rette hanno in comune (a meno che le due rette non

siano parallele o coincidenti).

Par. 3 - Ancora sulle rette

Fasci di rette Dato un punto C di coordinate (x0;y0), per esso passano infinite

rette che prendono il nome di fascio di rette.

L’equazione del fascio di rette si può ricavare dalla (2)

applicata al punto C e ad un

generico punto P con coordinate

(x;y).

Mentre il punto C ha come

coordinate due valori numerici

noti, il punto P ha come coordinate

due variabili: la (2) diviene allora

( )

0

0

0 0

0 0

y ym

x x

y y m x x

y mx mx y

−=

−

− = ⋅ −

= − +


Nella prima coppia si riconoscono le coordinate dei due punti

che sono serviti per ricavare l’equazione della retta.

Infine, se si mettono a sistema le equazioni di due rette e si

sistema, si ottengono le coordinate dell’unico punto

che le due rette hanno in comune (a meno che le due rette non

), per esso passano infinite

L’equazione del fascio di rette si può ricavare dalla (2)


106

che è l’equazione di una retta che, al variare di m (x0 e y0 sono

noti), fornisce ogni volta una retta passante per C, ma con una

inclinazione diversa.

ESEMPIO 26

Dato il punto ( )C 3;2≡ scrivere l’equazione del fascio di rette

passanti per C. Si ha

( )

y 3m

x 2

y 3 m x 2

y mx 2m 3

−=

−− = ⋅ −

= − +

Per esempio, quando m = 1 si ha la retta

y = x +1

passante per C ed inclinata di 45° verso l’alto.

Quando m 3= si ha la retta

y 3 m 2 3 3= ⋅ − +

passante per C ed inclinata di 60° verso l’alto

( m tan 3 e perciò 60= α = α = ° ).

Parallelismo e perpendicolarità fra rette Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente

angolare

2 1m m=

in quanto se hanno lo stesso coefficiente angolare, hanno anche

lo stesso angolo di inclinazione rispetto all’asse x, e quindi

sono parallele fra loro.

Sono invece perpendicolari fra loro se


107

2

1

1m

m= −

Infatti date due rette r1 e r2 perpendicolari fra loro, siano

α2 i due angoli che esse formano con l’asse x (con α

Risulta

2 12

πα = α +

e perciò possiamo scrivere

2 2 1

1 1 1

1 11

1

1 1 1

m tan tan2

sen sen cos cos sen2 2 2

cos cos sen sencos2 22

cos 1 1

sen tan m

π = α = α + =

π π πα + α + α = = =

π ππ α − αα +

α= − = − = −

α α


perpendicolari fra loro, siano α1 e

α1 < α2).

sen cos cos sen2 2

cos cos sen sen2 2

π π

= = =π π


108

Distanza di un punto da una retta Dato un punto C con coordinate (x0;y0), ed una retta r di

equazione ax + by + c

= 0, la distanza del

punto C dalla retta è

0 0ax by c

da b

+ +=

Il risultato va preso in

modulo, nel senso che

quando il risultato è

negativo, il segno meno

va eliminato.

ESEMPIO 27

Sia ( )C 3;2≡

ed r 3x 2y 6 0→ − + =

Avremo

( )22

3 3 2 2 6 11 11d RC

13 133 2

⋅ − ⋅ += = = =

+ −

Angolo fra due rette Date due rette r1 e r2, siano

α1 e α2 i due angoli che

esse formano con l’asse x,

e β l’angolo fra le due

rette.

Consideriamo il triangolo

ABC: per un noto teorema

di geometria si ha


), ed una retta r di

equazione ax + by + c

= 0, la distanza del

punto C dalla retta è

0 0

2 2

ax by c

a b

+ +

+

Il risultato va preso in

modulo, nel senso che

quando il risultato è

negativo, il segno meno

3 3 2 2 6 11 11

13 13


109

2 1α = α + β

(in quanto un angolo esterno è uguale alla somma dei due

angoli interni non adiacenti).

Risulta quindi

2 1β = α − α

( )2 1tan tanβ = α − α

2 2

2 2

tan tantan

1 tan tan

α − αβ =

+ α ⋅ α

2 1

2 1

m mtan

1 m m

−β =

+

Par. 4 - La circonferenza

Sia dato un punto

( )C ;≡ α β fisso ed un

punto variabile

( )P x;y≡ .

Si forma (qualunque sia

la posizione di P), il

triangolo ACP (con

ipotenusa costante ed

uguale ad r).

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo

( ) ( )2 2 2x y r− α + −β =

Questa equazione, in cui αααα, ββββ ed r rappresentano valori

numerici noti, mentre x ed y sono le variabili (coordinate del


(in quanto un angolo esterno è uguale alla somma dei due

Sia dato un punto

fisso ed un

punto variabile

P x;y

Si forma (qualunque sia

la posizione di P), il

triangolo ACP (con

ipotenusa costante ed

uguale ad r).

rappresentano valori

sono le variabili (coordinate del


110

punto P che descrive la circonferenza), è l’equazione della

circonferenza.

Tale equazione, sviluppando, si può anche scrivere nella forma 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x 2 x y 2 y r 0

x y 2 x 2 y r 0

− α ⋅ + α + − β ⋅ + β − =

+ − α ⋅ − β ⋅ + α + β − =

in cui ponendo

2 2 2

2 a

2 b

r c

− α =

− β =

α + β − =

si ottiene

(3) 2 2

x y ax by c 0+ + + + =

Più in generale possiamo affermare che ogni equazione del tipo

(4) 2 2

Ax Ay Bx Cy D 0+ + + + =

Infatti dividendo i due membri della (4) per A si riottiene la

(3), che chiameremo forma standard della circonferenza.

Si tenga però presente che la (3) o la (4) possono anche portare

a circonferenze degeneri: un punto (se il raggio è nullo) o a

nessun grafico (se il raggio è immaginario).


111

ESEMPIO 28

Sia ( )C 3;2 ed r = 5

La circonferenza cor-

rispondente è

( ) ( )2 2 2

2 2

2 2

x 3 y 2 5

x 6x 9 y 4y 4 25 0

x y 6x 4y 12 0

− + − =

− + + − + − =

+ − − − =

Si possono calcolare le

intersezioni con gli assi coordinati mettendo a sistema

l’equazione della circonferenza prima con l’asse x (y = 0) e poi

con l’asse y (x = 0) 2 2x y 6x 4y 12 0

y 0

+ − − − =

=

si ottiene per l’asse x 2x 6x 12 0

x 3 9 12 3 21

− − =

= ± + = ±

e, per l’asse y 2 2x y 6x 4y 12 0

x 0

+ − − − =

=

cioè 2y 4y 12 0

6y 2 4 12 2 4

2

− − =

= ± + = ± =−


mettendo a sistema

l’equazione della circonferenza prima con l’asse x (y = 0) e poi


112

ESEMPIO 29 Data l’equazione

2 216x 16y 40x 16y 7 0+ + + − =

Determinare le coordinate del centro ed il raggio della

circonferenza.

Cominciamo dividendo i due membri per 16

2 2

2 2

40 16 7x y x y 0

16 16 16

5 7x y x y 0

2 16

+ + + − =

+ + + − =

La circonferenza è ora in forma standard.

Si ha

2 2 22 2 2

2

2

55 -

2 4a 2 21

b 2 1 2 - 2

7c r 7 25 1rr16

16 16 4

5-

4

1 -

2

25 1 7r

16 4 16

α = = − α = − α

= − β = − β β = = α + β − − = α + β − − = + −

α =β = = + +

da cui finalmente

25 1 36 3C ; r r

4 2 16 2

≡ − − = → =


113

Le circonferenze degeneri Con riferimento alla forma standard (3), cosa avviene se sono

nulli alcuni coefficienti?

• Nel caso che sia a = 0 risulta anche α = 0, quindi

l’ascissa del centro è nulla e la circonferenza ha il

centro sull’asse y.

• Nel caso che sia b = 0 risulta anche β

l’ordinata del centro è nulla e la circonferenza ha il

centro sull’asse x.

• Nel caso che sia a = 0 e b =0, risultano

contemporaneamente α = 0 e β = 0, quindi sia l’ascissa

che l’ordinata del centro sono nulle e la circonferenza

ha il centro nell’origine.

• Nel caso che sia c = 0 la circonferenza passa per

l’origine perché il punto con coordinate (0;0) soddisfa

sempre l’equazione.


Con riferimento alla forma standard (3), cosa avviene se sono

= 0, quindi

l’ascissa del centro è nulla e la circonferenza ha il

= 0, quindi

l’ordinata del centro è nulla e la circonferenza ha il

Nel caso che sia a = 0 e b =0, risultano

= 0, quindi sia l’ascissa

che l’ordinata del centro sono nulle e la circonferenza

Nel caso che sia c = 0 la circonferenza passa per

l’origine perché il punto con coordinate (0;0) soddisfa


114

Par. 5 - La parabola

Data una retta d

(detta

ed un punto F

(detto

appartenente ad

essa, la parabola è

il luogo di punti

(cioè l’insieme di

punti) per i quali la

distanza da F è

sempre uguale alla

distanza da d.

Nella

fianco si può vedere infatti che per i punti A tale proprietà è

verificata.

La parabola ha un asse di simmetria ed il punto V

simmetria che taglia la parabola si chiama vertice.

Una parabola come

quella disegnata a

fianco (con il vertice

coincidente con

l’origine degli assi, ed

asse di simmetria

coincidente con uno

degli assi coordinati,

prende il nome di

parabola standard.

Per la proprietà precedente dei punti della parabola, la distanza

del vertice dal fuoco è sempre uguale alla distanza del vertice

dalla direttrice.


Data una retta d

(detta direttrice)

ed un punto F

(detto fuoco) non

appartenente ad

essa, la parabola è

il luogo di punti

(cioè l’insieme di

punti) per i quali la

distanza da F è

sempre uguale alla

distanza da d.

Nella figura a

fianco si può vedere infatti che per i punti A tale proprietà è

dell’asse di

Per la proprietà precedente dei punti della parabola, la distanza

tanza del vertice


115

Ricaviamo ora l’equazione della parabola standard.

Sia dato un punto ( )F 0;p≡ , una retta orizzontale di equazione

y = -p, ed un punto generico del piano ( )A x; y≡ .

Si ha

( ) ( )2 2 2 2 2FA x 0 y p x y 2py p= − + − = + − +

AD y p= +

Imponiamo ora che sia FA = AD

2 2 2x y 2py p y p+ − + = +

eleviamo al quadrato entrambi i membri e semplifichiamo 2 2 2

2 2 2 2 2

2

x y 2py p y p

x y 2py p y 2py p

x 4py

+ − + = +

+ − + = + +

=

che è l’equazione della parabola standard.

Possiamo avere quattro parabole standard diverse:

• x2 = 4py (con p positivo)

• x2 = 4py (con p negativo)

• y2 = 4px (con p positivo)

• y2 = -4px (con p negativo)

La prima è quella che abbiamo appena ricavato, con la

concavità rivolta verso l’alto.

La seconda si ottiene dalla precedente cambiando y con –y

(cioè cambiando segno a tutte le ordinate). Quindi si ottiene la

parabola simmetrica alla prima rispetto all’asse x, con la

concavità rivolta verso il basso.

La terza equazione si ottiene dalla prima scambiando fra loro le

x con le y: questo equivale a ruotare la parabola rispetto alla


116

bisettrice y = x, e si ha una parabola con concavità rivolta a

destra.

Infine la quarta equazione si ottiene dalla terza cambiando x

con –x (cioè cambiando segno a tutte le ascisse). Si ottiene

parabola simmetrica alla precedente rispetto all’asse y, con la

concavità rivolta a sinistra.

Queste considerazioni appaiono chiare se si osservano le figure

seguenti

Data una parabola standard (per esempio, la prima, in cui

supponiamo che p

sia positivo), se in

essa poniamo

x 2p= ± , l’ordinata

corrispondente è in

entrambi i casi


bisettrice y = x, e si ha una parabola con concavità rivolta a

Infine la quarta equazione si ottiene dalla terza cambiando x

x (cioè cambiando segno a tutte le ascisse). Si ottiene la

parabola simmetrica alla precedente rispetto all’asse y, con la

Queste considerazioni appaiono chiare se si osservano le figure

la prima, in cui


117

y = p.

E’ possibile allora tracciare il rettangolo ombreggiato (nella

figura a fianco), che chiameremo rettangolo caratteristico

della parabola, avente base 4p ed altezza p.

Questo rettangolo può risultare utile quando si deve disegnare

una parabola partendo dalla sua equazione, perché permette di

individuare immediatamente e senza calcoli i due punti A e A’

della parabola.

Riassumendo, quando si ha l’equazione di una parabola

standard, le operazioni da fare per disegnarla sono le seguenti:

1. L’asse di simmetria della parabola coincide con la

variabile di primo grado.

2. Se il coefficiente di tale variabile è positivo, la

concavità della parabola è rivolta nel verso in cui l’asse

coordinato (che è anche di simmetria) è crescente.

3. Si calcola p e si disegna il rettangolo caratteristico: a

questo punto è facile individuare i due punti A e A’

(vedi figura precedente), il vertice, il fuoco e l

direttrice.

4. Si traccia la parabola usando come riferimenti i punti

precedenti. Retta tangente ad una parabola standard Data una parabola

standard del tipo 2

x 4py= ed un suo

punto ( )0 0P x ;y≡ ,

l’equazione della

retta tangente alla

parabola nel punto P

è data dall’equazione


E’ possibile allora tracciare il rettangolo ombreggiato (nella

rettangolo caratteristico

Questo rettangolo può risultare utile quando si deve disegnare

una parabola partendo dalla sua equazione, perché permette di

individuare immediatamente e senza calcoli i due punti A e A’

endo, quando si ha l’equazione di una parabola

standard, le operazioni da fare per disegnarla sono le seguenti:

L’asse di simmetria della parabola coincide con la

Se il coefficiente di tale variabile è positivo, la

parabola è rivolta nel verso in cui l’asse

coordinato (che è anche di simmetria) è crescente.

Si calcola p e si disegna il rettangolo caratteristico: a

questo punto è facile individuare i due punti A e A’

(vedi figura precedente), il vertice, il fuoco e la

Si traccia la parabola usando come riferimenti i punti


118

00

2yx

p

xy −=

Nel caso in cui la parabola standard sia del tipo 2

y 4px

conviene fornire la formula generale delle corrispondenti

tangenti, perché di scarso uso pratico e meno semplici.

Parabola generica con asse verticale Data una parabola

standard, per esempio x2

= 4py, per cominciare

preferiamo scriverla nella

forma 2x

y4p

= , più

comoda perché del tipo y

= f(x) che è quella usata

normalmente.

Ora imponiamo una traslazione alla parabola in modo che il

vertice si sposti dall’origine al punto ( )V h;k≡ .

Basterà sostituire ad x (x h)→ − e ad

y (y k)→ −

La parabola traslata assume quindi la forma seguente

( )( )2x h

y k4p

−− =

che, sviluppata e semplificata, si riduce ad una equazione del

tipo y = f(x) in cui il secondo membro è una equazione di

secondo grado

(5) 2

y ax bx c= + +


2y 4px= , non

conviene fornire la formula generale delle corrispondenti rette

tangenti, perché di scarso uso pratico e meno semplici.

Ora imponiamo una traslazione alla parabola in modo che il

parabola traslata assume quindi la forma seguente

che, sviluppata e semplificata, si riduce ad una equazione del

tipo y = f(x) in cui il secondo membro è una equazione di


119

Data una parabola nella forma (5) l’ascissa del vertice si può

trovare con la formula

(6) x

bV

2a= −

L’ordinata si ottiene semplicemente sostituendo l’ascissa

nell’equazione della parabola.

Si noti che con la traslazione il coefficiente della x

invariato. Quindi in

ogni caso (parabola

standard o traslata), il

segno del coefficiente

di x2 ci rivela subito

se la parabola ha la

concavità rivolta

verso l’alto o verso il

basso.

ESEMPIO 30

Data la parabola

2xy

8=

realizziamo una traslazione in modo che il vertice passi

dall’origine al punto

( )V 2; 3≡ −

Si ottiene

( )( )2x 2

y 38

−+ =

Sviluppando e semplificando si ottiene

21 1 5y x x

8 2 2= − −


rabola nella forma (5) l’ascissa del vertice si può

b

2a

L’ordinata si ottiene semplicemente sostituendo l’ascissa

la traslazione il coefficiente della x2 rimane

realizziamo una traslazione in modo che il vertice passi


120

che è appunto come la (5).

Le intersezioni con gli assi si trovano ponendo

alternativamente x ed y uguali a zero

5x 0 y

2

y 0 x 2 2 6

= → = −

= → = ±

ESEMPIO 31

Data la parabola 2x 1 10

y x12 3 3

= + + proviamo a disegnarla.

Calcoliamo l’ascissa del vertice:

x

1

b 13V 6 212a 3

212

= − = − = − ⋅ = −⋅

L’ordinata è allora: y

4 2 10 4 8 40 36V 3

12 3 3 12 12

− += − + = = =

La parabola ha la concavità rivolta verso l’alto perché il

coefficiente del termine di x2 è positivo.


Le intersezioni con gli assi si trovano ponendo

proviamo a disegnarla.

Calcoliamo l’ascissa del vertice:

4 2 10 4 8 40 36V 3

12 3 3 12 12= − + = = =

La parabola ha la concavità rivolta verso l’alto perché il


121

Del resto tale coefficiente è uguale a quello della

corrispondente parabola standard (cioè la parabola traslata in

modo che il suo vertice coincida con l’origine O), e quindi

risulta

4p 12 p 3= → =

A questo punto è possibile tracciare il rettangolo caratteristico

della parabola (vedi figura), ed individuare altri due s

in modo da poterla disegnare con buona approssimazione.

Parabola generica con asse orizzontale Consideriamo ora la parabola standard con asse orizzontale

y2 = 4px

ed esplicitiamola rispetto alla y: per effetto della estrazione di

radice essa dà

luogo a due

differenti

funzioni (vedi

figura a fianco).

Lo stesso

accade per

l’equazione che

si ottiene dopo una traslazione generica.

Infatti, effettuata la traslazione, dopo aver sviluppato e

semplificato l’equazione, questa si riduce ad una equazione d

tipo x = f(y) in cui il secondo membro è una equazione di

secondo grado

(6) 2

x ay by c= + +

Esplicitando la y ed estraendo la radice si ottengono ancora due

semiparabole: la metà superiore e la metà inferiore.

Questa volta l’ordinata del vertice si può trovare con la formula


Del resto tale coefficiente è uguale a quello della

standard (cioè la parabola traslata in

modo che il suo vertice coincida con l’origine O), e quindi

A questo punto è possibile tracciare il rettangolo caratteristico

della parabola (vedi figura), ed individuare altri due suoi punti

in modo da poterla disegnare con buona approssimazione.

Consideriamo ora la parabola standard con asse orizzontale

ed esplicitiamola rispetto alla y: per effetto della estrazione di

Infatti, effettuata la traslazione, dopo aver sviluppato e

semplificato l’equazione, questa si riduce ad una equazione del

tipo x = f(y) in cui il secondo membro è una equazione di

Esplicitando la y ed estraendo la radice si ottengono ancora due

rtice si può trovare con la formula


122

(7) y

bV

2a= −

L’ascissa si ottiene semplicemente sostituendo l’ordinata

nell’equazione della parabola.

Anche qui con la traslazione il coefficiente della y

invariato. Quindi in ogni caso (parabola standard o traslata), il

segno del coefficiente di y2 ci rivela subito se la parabola ha la

concavità rivolta verso destra o verso sinistra.

Due utili proprietà Per concludere accenniamo a due interessanti ed utili proprietà

della parabola.

1. Se realizziamo uno

specchio parabolico

ottenuto facendo ruotare

una parabola attorno al

proprio asse di

simmetria, ogni raggio

luminoso parallelo

all’asse di simmetria

viene riflesso in modo

da passare per il fuoco.

Al contrario tutti i raggi luminosi che escono dal fuoco

vengono deviati dalla parabola in modo da uscire paralleli

all’asse di simmetria.

In altre parole i due angoli α e β (angoli di incidenza e di

riflessione) sono sempre uguali fra loro.

Per esempio, i fari delle auto hanno una forma parabolica

proprio per questa ragione: una lampadina posizionata nel

fuoco dà luogo ad un fascio di luce con raggi molto collimati e

quasi paralleli fra loro.


L’ascissa si ottiene semplicemente sostituendo l’ordinata

Anche qui con la traslazione il coefficiente della y2 rimane

invariato. Quindi in ogni caso (parabola standard o traslata), il

ci rivela subito se la parabola ha la

utili proprietà

ario tutti i raggi luminosi che escono dal fuoco

vengono deviati dalla parabola in modo da uscire paralleli

(angoli di incidenza e di

lle auto hanno una forma parabolica

proprio per questa ragione: una lampadina posizionata nel

fuoco dà luogo ad un fascio di luce con raggi molto collimati e


123

2. Data una parabola ed una retta che la interseca,

tracciamo la retta tangente parallela ad AB e sia T il

punto di tangenza.

Esiste una relazione molto semplice fra l’area del triangolo

ABT e l’area del segmento parabolico ombreggiato nella figura

ABT segmento parabolico

3S S

4=

Questa relazione fu trovata da Archimede.


Data una parabola ed una retta che la interseca,

ente parallela ad AB e sia T il

Esiste una relazione molto semplice fra l’area del triangolo

ABT e l’area del segmento parabolico ombreggiato nella figura


124

Par. 6 - L’ellisse

Dati due punti F

F2 (detti

l’ellisse è il luogo di

punti (cioè l’insieme

di punti) P per i

quali la somma delle

distanze PF

sempre costante.

Il segmento A

chiama

maggiore

uguale a

Il segmento B1 B2 si chiama asse minore e si pone uguale a

Il segmento F1 F2 si chiama distanza focale e si pone uguale a

2c.

Fissando una cordicella fra

due punti fissi F1 e F2,

ponendo una punta scrivente

in P, facendola scorrere

avanti e indietro (avendo

cura di mantenere sempre

tesa la cordicella), il punto P

descriverà una ellisse perfetta.

Questo metodo grafico per

tracciare una ellisse viene

metodo del giardiniere perché

veniva usato per tracciare delle

aiuole di forma ellittica.


Dati due punti F1 e

(detti fuochi),

l’ellisse è il luogo di

punti (cioè l’insieme

di punti) P per i

quali la somma delle

distanze PF1 + PF2 è

sempre costante.

Il segmento A1 A2 si

chiama asse

maggiore e si pone

uguale a 2a.

e si pone uguale a 2b.

e si pone uguale a

tesa la cordicella), il punto P

descriverà una ellisse perfetta.

Questo metodo grafico per

tracciare una ellisse viene detto

metodo del giardiniere perché

veniva usato per tracciare delle

aiuole di forma ellittica.


125

Se ora facciamo coincidere il punto P con A2 possiamo notare

(vedi figura) che per ragioni di simmetria il tratto di cordicella

sovrapposta F2A2, corrisponde esattamente al tratto F

Quindi la lunghezza della cordicella è esattamente uguale

all’asse maggiore, e possiamo scrivere

(8) 1 2PF PF 2a+ =

Inoltre se il punto P coincide con B1 la cordicella è divisa in

due parti uguali e quindi

1 2B F a=

Nell’ellisse possiamo dunque costruire un triangolo (detto

triangolo caratteristico dell’ellisse), al quale possiamo

applicare il teorema di Pitagora

(9) a2 = b

2 + c

2

Dopo queste premesse possiamo passare al procedimento per

ricavare l’equazione dell’ellisse.

Consideriamo l’ellisse posta

come in figura (con i fuochi

su un asse coordinato ed in

posizione simmetrica

rispetto all’origine).

Sia P un punto con

coordinate variabili (x;y).

Dalla (9) si ottiene

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2

x c y x c y 2a

x c y 2a x c y

+ + + − + =

+ + = − − +

Sviluppando, quadrando e semplificando, si ottiene


possiamo notare

(vedi figura) che per ragioni di simmetria il tratto di cordicella

attamente al tratto F1A1.

Quindi la lunghezza della cordicella è esattamente uguale

la cordicella è divisa in

Nell’ellisse possiamo dunque costruire un triangolo (detto

dell’ellisse), al quale possiamo

Dopo queste premesse possiamo passare al procedimento per

Consideriamo l’ellisse posta

come in figura (con i fuochi

su un asse coordinato ed in

posizione simmetrica

rispetto all’origine).

Sia P un punto con

coordinate variabili (x;y).

Dalla (9) si ottiene

2 2

x c y x c y 2a

x c y 2a x c y


126

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2 2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2

22 2

2 2 2

x c y 4a 4a x c y x c y

x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

4cx 4a 4a x c y

a x c y a cx

+ + = − − + + − +

+ + + = − − + + − + +

= − − +

− + = −

Quadrando ancora e semplificando

( )

( ) ( )

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a x 2cx c y a 2a cx c x

a x 2a cx a c a y a 2a cx c x

a x c x a y a a c

x a c a y a a c

− + + = − +

− + + = − +

− + = −

− + = −

Dalla (9) si ha a2 – c

2 = b

2, e perciò

2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =

e finalmente, dividendo entrambi i membri per a2b

2, si ottiene

(10)

2 2

2 2

x y1

a b+ =

che è l’equazione dell’ellisse in forma standard.

Il grado di schiacciamento dell’ellisse è dato dal rapporto

ce

a=

che si chiama

eccentricità.

Tale valore

numerico è sempre

compreso fra 0 ed 1.

Infatti non può

essere un valore


2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x c y 4a 4a x c y x c y

x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y+ + + = − − + + − + +

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

a x 2cx c y a 2a cx c x

a x 2a cx a c a y a 2a cx c x− + + = − +

, si ottiene

dell’ellisse è dato dal rapporto


127

negativo in quanto è il rapporto fra due segmenti positivi, ed

inoltre è sempre c < a perché c è il cateto del triangolo

caratteristico, mentre a è l’ipotenusa.

Due ellissi con lo stesso valore della caratteristica devono

avere i triangoli caratteristici uguali o simili, quindi o sono

coincidenti, o sono una l’ingrandimento dell’altra.

Se a > b l’ellisse standard ha i fuochi sull’asse x, come nella

prima figura a sinistra.

Ma se a < b l’ellisse standard ha i fuochi sull’asse y, come

nella seconda figura.

In altre parole il denominatore di x2 corrisponde comunque al

quadrato del semiasse orizzontale, mentre il denominatore di

y2 corrisponde al quadrato del semiasse verticale.

Si tenga infine presente che se si scrive l’equazione dell’ellisse

nella forma y = f(x), è necessario estrarre una radice quadrata

che dà luogo al doppio segno ± (come nel caso della

circonferenza), e quindi a due equazioni: una corrisponde alla

metà superiore dell’ellisse e l’altra alla metà inferiore.

L’ellisse traslata Con le stesse identiche considerazioni già viste per la parabola,

l’equazione dell’ellisse traslata sarà del tipo

(11)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

x h y k1 se a b

a b

x h y k1 se a b

b a

− −+ = >

− −+ = <

in cui il punto (h;k) è il nuovo centro dell’ellisse.


128

ESEMPIO 32 Sia data l’ellisse

2 216x 9y 64x 54y 1 0+ − − + =

Cerchiamo di trasformarla in una forma analoga alle (11):

( ) ( )

2 2

2 2

16x 64x 9y 54y 1

16 x 4x 9 y 6y 1

− + − = −

− + − = −

Ora cerchiamo di completare le espressioni dentro parentesi in

modo che diventino dei quadrati perfetti. Per ottenere questo

risultato basterà aggiungere e sottrarre 64 e 81.

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

16 x 4x 4 9 y 6y 9 64 81 1

16 x 4x 4 9 y 6y 9 1 64 81

16 x 2 9 y 3 144

16 x 2 9 y 31

144 144

x 2 y 31

9 16

− + + − + − − = −

− + + − + = − + +

− + − =

− −+ =

− −+ =

che è una ellisse con

centro nel punto

( )C 2;3≡ e semiassi a = 3

e b = 4 (quindi, essendo

a<b, i fuochi sono su una

retta parallela all’asse y).

La distanza focale si può

calcolare con la (9) 2 2 2

2

c a b

c 16 9 7 c 7

= −

= − = → =


alle (11):


Per ottenere questo

16 x 4x 4 9 y 6y 9 64 81 1

16 x 4x 4 9 y 6y 9 1 64 81

− + + − + − − = −

− + + − + = − + +


129

L’eccentricità dell’ellisse è

c 7e 0,661437827

a 4= = ≅

Una importante proprietà Data una ellisse ed una qualsiasi retta tangente ad essa nel

punto T, i due angoli α e b (vedi figura), risultano sempre

uguali fra loro.

Quindi, per esempio,

se l’interno

dell’ellisse è

costituito da una

superficie riflettente,

un raggio luminoso

uscente da un fuoco

viene riflesso in

modo da passare sempre per l’altro fuoco.

Par. 7 - L’iperbole

Dati due punti F1 e F2 (detti fuochi), l’iperbole è il luogo di

punti (cioè l’insieme di punti) P per i quali la differenza fra le

distanze PF1 e PF2 è sempre costante.


Data una ellisse ed una qualsiasi retta tangente ad essa nel

e b (vedi figura), risultano sempre

), l’iperbole è il luogo di

) P per i quali la differenza fra le


130

Il segmento V1 V2 si chiama asse traverso e si pone uguale a

2a.

L’asse y (che è anche l’asse del segmento V1 V2

invece asse non traverso.

Il segmento F1 F2 si chiama distanza focale e si pone uguale a

2c.

E’ possibile costruire (vedi figura) una circonferenza con il

centro nell’origine e raggio c; quindi dai punti V

tracciano due segmenti

paralleli all’asse y fino al

punto in cui questi

intersecano la circonferenza.

Si viene a formare un

rettangolo con base

altezza 2b.

L’iperbole è formata da due

rami separati, uno a destra ed uno a sinistra, che non vanno

confusi con due parabole contrapposte: le caratteristiche

dell’iperbole sono del tutto diverse da quelle dell’iperbole !


e si pone uguale a

2) si chiama

e si pone uguale a

E’ possibile costruire (vedi figura) una circonferenza con il

centro nell’origine e raggio c; quindi dai punti V1 e V2 si

tracciano due segmenti

paralleli all’asse y fino al

punto in cui questi

intersecano la circonferenza.

Si viene a formare un

rettangolo con base 2a ed

L’iperbole è formata da due

rami separati, uno a destra ed uno a sinistra, che non vanno

onfusi con due parabole contrapposte: le caratteristiche

dell’iperbole sono del tutto diverse da quelle dell’iperbole !


131

Gli elementi della costruzione tratteggiata non fanno parte

dell’iperbole, ma sono utili per capire alcune caratteristiche

dell’iperbole stessa.

Intanto la costruzione permette di determinare il rettangolo

caratteristico dell’iperbole (quello ombreggiato nella figura),

simile a quello dell’iperbole ma con la differenza che ora

l’ipotenusa è c e non a come nell’ellisse.

Applicando il teorema di Pitagora si può allora scrivere

(12) 2 2 2a b c+ =

Il grado di schiacciamento dell’iperbole è ancora

(13) c

ea

=

che si chiama sempre eccentricità, ma a differenza dell’ellisse

è un rapporto sempre maggiore di 1 (perché l’ipotenusa che

sta a numeratore è sempre maggiore del cateto che sta a

denominatore).

Inoltre le rette che contengono le diagonali del rettangolo, si

chiamano asintoti, e l’iperbole tende ad avvicinarsi sempre più

a tali rette man mano che la x si sposta verso destra o verso

sinistra.

Quando il punto P coincide con uno dei due vertici

dell’iperbole, la relazione caratteristica dell’iperbole diviene

1 2 1 1 1 1 2F P PF FP FV V V 2a− = − = =

in quanto la distanza fra i due vertici corrisponde alla base del

rettangolo (vedi figura a pagina precedente).

Quindi tutti i punti dell’iperbole devono soddisfare la relazione

(14) 1 2PF PF 2a− =

La presenza del modulo è dovuta al fatto che

• Per il ramo di destra PF1 > PF2 e la differenza PF1 - PF2

è positiva.


132

• Per il ramo di sinistra PF1 < PF2 e la differenza PF

PF2 è negativa.

Per ricavare l’equa

zione dell’iperbole

si segue lo stesso

identico procedi

mento già usato per

l’ellisse.

Osservando la

figura a fianco,

applicando la (14), avremo

( ) ( )2 22 2x c y x c y 2a+ + − − + =

che, a causa del modulo equivale alle due equazioni

( ) ( )2 22 2x c y x c y 2a+ + − − + = ±

Isolando un radicale nel primo membro, quadrando,

sviluppando, semplificando si perviene in entrambi i casi

all’equazione finale

(15)

2 2

2 2

x y1

a b− =

Che è l’equazione dell’iperbole standard.

Gli asintoti, osservando che contengono le diagonali del

rettangolo che è servito per tracciare l’iperbole, corrispondono

a rette passanti per l’origine e con coefficiente angolare pari a

b

a± .

Quindi la loro equazione è


e la differenza PF1 -

Per ricavare l’equa-

zione dell’iperbole

si segue lo stesso

identico procedi-

mento già usato per

Osservando la

figura a fianco,

x c y x c y 2a

che, a causa del modulo equivale alle due equazioni

x c y x c y 2a

Isolando un radicale nel primo membro, quadrando,

entrambi i casi

Gli asintoti, osservando che contengono le diagonali del

rettangolo che è servito per tracciare l’iperbole, corrispondono

a rette passanti per l’origine e con coefficiente angolare pari a


133

(16) b

y xa

= ±

A differenza di quanto avveniva per l’ellisse, i fuochi della (15)

si trovano sempre sull’asse x indipendentemente dai valori di

e b.

Si tenga infine presente che se si scrive l’equazione

dell’iperbole nella forma y = f(x), è necessario estrarre una

radice quadrata che dà luogo al doppio segno ± (come nei casi

della circonferenza e dell’ellisse), e quindi a due equazioni: una

corrisponde alla metà superiore dell’iperbole e l’altra alla metà

inferiore.

Si ha una iperbole con i fuochi sull’asse y nel caso in cui si

abbia

(17)

2 2 2 2

2 2 2 2

x y y x1 1

a b a b− = − → − =

Ecco a confronto le due equazioni standard dell’iperbole, con i

fuochi sull’asse x e sull’asse y, e le equazioni dei relativi

asintoti.

Una iperbole si dice equilatera, se il rettangolo diviene un

quadrato, di conseguenza gli asintoti coincidono con le

bisettrici dei quadranti, a = b, e le equazioni divengono


A differenza di quanto avveniva per l’ellisse, i fuochi della (15)

si trovano sempre sull’asse x indipendentemente dai valori di a

Si tenga infine presente che se si scrive l’equazione

bole nella forma y = f(x), è necessario estrarre una

(come nei casi

della circonferenza e dell’ellisse), e quindi a due equazioni: una

corrisponde alla metà superiore dell’iperbole e l’altra alla metà

Si ha una iperbole con i fuochi sull’asse y nel caso in cui si

1 1

Ecco a confronto le due equazioni standard dell’iperbole, con i

fuochi sull’asse x e sull’asse y, e le equazioni dei relativi

, se il rettangolo diviene un

quadrato, di conseguenza gli asintoti coincidono con le

, e le equazioni divengono


134

2 2 2

2 2 2

x y a asintoti y x fuochi sull'asse x

y x a asintoti y x fuochi sull'asse y

− = = ±

− = = ±

L’iperbole traslata Al solito, l’iperbole traslata corrisponde a una espressione del

tipo

(18)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

x h y k1 se i fuochi sono su retta orizz.

a b

y h x k1 se i fuochi sono su retta vert.

a b

− −− =

− −− =

ESEMPIO 33 Data l’iperbole

2 2x y 4x 8y 21 0− − + − =

Cerchiamo di trasformarla in una forma analoga alle (18): 2 2

(x 4x) (y 8y) 21− − − =


modo che diventino dei quadrati perfetti. Per ottenere questo

risultato basterà aggiungere e sottrarre 4 e 16.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

x 4x 4 y 8y 16 4 16 21

x 2 y 4 9

x 2 y 41

9 9

− + − − + − + =

− − − =

− −+ =

L’iperbole è quindi equilatera, ha centro nel punto (2;4), i

fuochi si trovano su una retta parallela all’asse x, e gli asintoti

passano per il punto (2;4) ed hanno coefficienti angolari pari a

±1.

Le equazioni degli asintoti sono quindi


135

y x 2

y x 6

= +

= − +

Una importante proprietà Data una iperbole ed una generica

retta tangente ad essa nel punto T, i

due angoli α e β sono sempre uguali

fra loro.



136

Par. 8 - Formule di rotazione

Sia dato un punto P con

coordinate OA = x

= y.

La sua distanza dall’origine

è OP = r.

Consideriamo una seconda

coppia di assi coordinati

ed y’, ruotati di un angolo

rispetto agli assi

Le coordinate del punto P

rispetto alla nuova coppia di assi è

OA’ = x’ e OB’ = y’.

Ci proponiamo di trovare una relazione fra le coordinate del

punto P nel sistema di riferimento iniziale (che chiameremo

e le coordinate dello stesso punto P nel nuovo riferimento (che

chiameremo S’).

Nel sistema S’ si ha

(1) OA ' x ' r cos

OB' y ' r sen

= = ⋅ α

= = ⋅ α

Nel sistema S si ha

(2) ( )( )

OA x r cos

OB y r sen

= = ⋅ α + β

= = ⋅ α + β

Sviluppiamo le (2) con le formule di addizione


Sia dato un punto P con

OA = x ed OB

La sua distanza dall’origine

Consideriamo una seconda

coppia di assi coordinati x’

, ruotati di un angolo ββββ

rispetto agli assi x ed y.

Le coordinate del punto P

Ci proponiamo di trovare una relazione fra le coordinate del

punto P nel sistema di riferimento iniziale (che chiameremo S),

e le coordinate dello stesso punto P nel nuovo riferimento (che


137

( )( )

x r cos cos sen sen

y r sen cos cos sen

x r cos cos rsen sen

y rsen cos r cos sen

= α β − α β

= α β + α β= α β − α β

= α β + α β

In quest’ultima espressione, dalla (1), possiamo sostituire

r cos x '

r sen y'

⋅ α =

⋅ α = e ottenere

(3) x x ' cos y ' sen

y y ' cos x ' sen

= ⋅ β − ⋅ β

= ⋅ β + ⋅ β

che è la relazione che cercavamo fra le coordinate di un punto

P nel sistema S e le coordinate dello stesso punto nel sistema

S’.

Applicando la (3) ad una funzione qualsiasi invece che ad un

singolo punto, si ottiene l’equazione della funzione rispetto al

nuovo sistema di coordinate.

Le formule inverse delle (3), esplicitando x’ ed y’, sono

(4) x ' x cos y sen

y ' x sen y cos

= ⋅ β + ⋅ β

= − ⋅ β + ⋅ β


138

ESEMPIO 34 Sia data l’equazione

2 25x 6xy 5y 8 0− + − =

Consideriamo un nuovo sistema di assi coordinati ruotato di

45° in verso antiorario.

Applicando le (3) si ha

145 sen cos

2

x ' y 'x

2

x ' y 'y

2

β = ° → β = β =

− =

+ =

e, sostituendo, abbiamo


Consideriamo un nuovo sistema di assi coordinati ruotato di

45 sen cos


139

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

x ' y ' x ' y ' x ' y ' x ' y '5 6 5 8 0

2 2 2 2

x ' y ' x ' y ' x ' y ' x ' y '5 6 5 8 0

2 2 2

5 x ' 2x ' y ' y ' 6 x ' y ' 5 x ' 2x ' y ' y ' 16 0

5x ' 10x ' y ' 5y ' 6x ' 6y ' 5x ' 10x ' y ' 5y ' 16 0

4x ' 16y ' 16 0

x

− − + + − + − =

− − + +− + − =

− + − − + + + − =

− + − + + + + − =

+ − =2 2

22

' 4y ' 4 0

x 'y ' 1

4

+ − =

+ =

che è l’equazione di una ellisse in forma standard rispetto al

nuovo sistema S’ (vedi figura).

I semiassi sono a = 2 e b = 1. La semidistanza focale è c = 3 .

Par. 9 - La funzione omografica

Data una iperbole equilatera in forma standard, per esempio: 2 2 2

x y a− =

con le formule di rotazione possiamo effettuare una sua

rotazione di 45° in verso orario o antiorario (ponendo β =

±45°).

Con calcoli identici a quelli adoperati nell’esempio precedente,

si ottengono due semplici equazioni:


140

2

2

ax ' y ' cioè x ' y ' p (con p negativo, se 45 )

2

ax ' y ' cioè x ' y ' p (con p positivo, se 45 )

2

= − = β = °

= = β = − °

Tralasciando gli apici (che sono serviti solo per non fare

confusione durante la trasformazione), possiamo affermare

quindi che una equazione del tipo

(5) xy p=

corrisponde sempre ad una iperbole equilatera che si dice

riferita agli asintoti perché i suoi assi coordinati coincidono

con i suoi asintoti (in contrapposizione a questa, l’iperbole

standard dalla quale siamo partiti si dice invece riferita agli

assi).

Prendiamo ora in considerazione una iperbole equilatera

riferita agli asintoti (per eseùmpio quella con p positivo), ed


x ' y ' cioè x ' y ' p (con p negativo, se 45 )

x ' y ' cioè x ' y ' p (con p positivo, se 45 )

= − = β = °

= = β = − °

Tralasciando gli apici (che sono serviti solo per non fare

confusione durante la trasformazione), possiamo affermare

corrisponde sempre ad una iperbole equilatera che si dice

perché i suoi assi coordinati coincidono

con i suoi asintoti (in contrapposizione a questa, l’iperbole

riferita agli

Prendiamo ora in considerazione una iperbole equilatera

mpio quella con p positivo), ed


141

applichiamo una generica traslazione che sposti l’origine O nel

punto P (h;k).

Si ha

( )( )x h y k p

xy kx hy hk p

− − =

− − + =

cioè

( )y x h kx p hk

kx p hky

x h

− = + −

+ −=

−

nel secondo membro,

sostituendo i valori numerici ad h, k, p si ottiene il rapporto fra

due polinomi di primo grado.

In altre parole ogni funzione del tipo

(6) ax b

ycx d

+=

+

corrisponde sempre ad una iperbole equilatera riferita agli

asintoti e traslata.

Viene chiamata anche funzione omografica.

ESEMPIO 35 La funzione

2x 3y

x 1

−=

+

è una funzione omografica.

Per determinare l’asintoto verticale basta osservare che il

denominatore si annulla per x = -1

e quindi per tale valore la y assume valore infinito.

Per l’asintoto orizzontale invece, basta fare questa

considerazione: man mano che la x assume valori sempre più


applichiamo una generica traslazione che sposti l’origine O nel

si ottiene il rapporto fra

corrisponde sempre ad una iperbole equilatera riferita agli

basta osservare che il

invece, basta fare questa

considerazione: man mano che la x assume valori sempre più


142

grandi, i termini noti

(-3 e +1) forniscono

un contributo sempre

più trascurabile nella

determinazione della

y.

Quindi per valori della

x sufficientemente

grandi questi termini

possono essere

trascurati e si ha

2xy 2

x= = .

All’aumentare della x la funzione ha ordinate che si avvicinano

sempre più a 2, e perciò l’asintoto orizzontale è dato

semplicemente dal rapporto dei coefficienti della x.

In altre parole, riferendoci alla (6) gli asintoti hanno equazioni

(7)

dx

c

ay

c

= − =

Per stabilire quali siano i quadranti in cui disegnare la

funzione, si possono determinare due suoi punti calcolando le

intersezioni con gli assi, cioè ponendo uguali a zero la x e la y.

Par. 10 - Le coniche generiche

Una generica equazione di secondo grado in due incognite è

formata da un termine in x2, un termine in y

2, un termine in

(detto termine misto), un termine in x, un termine in

infine un termine noto.


All’aumentare della x la funzione ha ordinate che si avvicinano

sempre più a 2, e perciò l’asintoto orizzontale è dato

In altre parole, riferendoci alla (6) gli asintoti hanno equazioni

Per stabilire quali siano i quadranti in cui disegnare la

oi punti calcolando le

intersezioni con gli assi, cioè ponendo uguali a zero la x e la y.

Una generica equazione di secondo grado in due incognite è

, un termine in xy

, un termine in y, ed


143

Avrà dunque l’aspetto seguente

(8) 2 2

Ax Bxy Cy Dx Ey F 0+ + + + + =

in cui i coefficienti possono anche essere nulli (ma non tutti !).

Ebbene, la (8) corrisponde sempre ad una conica, cioè ad

una circonferenza, o ad una ellisse, o ad una parabola o ad una

iperbole.

In tutte le equazioni viste finora: 2 2

x y ax by c 0+ + + + = la circonferenza 2

y ax bx c= + + la parabola con asse

verticale 2

x ay by c= + + la parabola con asse

orizzontale

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

x h y k1

a b

x h y k1

b a

− −+ =

− −+ =

l’ellisse con fuochi

orizzontali o verticali

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

x h y k1

a b

y h x k1

a b

− −− =

− −− =

l’iperbole con fuochi

orizzontali o verticali

sviluppando e semplificando si ottiene sempre una relazione

come la (8), ma priva del termine misto.

Quando però abbiamo realizzato una rotazione di assi, per

esempio con l’iperbole equilatera, siamo pervenuti ad


144

equazioni come le (5) e (6) in cui è invece presente il termine

misto.

La presenza del termine misto rivela infatti una rotazione della

conica.

Quando è presente il termine misto si può imporre alla conica

una opportuna rotazione in modo da far sparire il termine

misto, e trasformarla in una delle forme elencate qui sopra.

Come si realizza questa “opportuna rotazione”?

Partiamo dalla (8) ed imponiamo una generica rotazione

utilizzando le (3)

x x ' cos y ' sen

y y ' cos x ' sen

= ⋅ β − ⋅ β

= ⋅ β + ⋅ β

Sostituendo si ha

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2

2

A x ' cos y ' sen B x ' cos y ' sen y ' cos x ' sen

C y ' cos x ' sen D x ' cos y ' sen

E y ' cos x ' sen F 0

⋅ β − ⋅ β + ⋅ β − ⋅ β ⋅ β + ⋅ β +

+ ⋅ β + ⋅ β + ⋅ β − ⋅ β +

+ ⋅ β + ⋅ β + =

Sviluppando e semplificando si perviene ad una nuova conica

ruotata, con incognite x’ ed y’, e nuovi coefficienti A’, B’, C’,

D’, E’, F’.

Non ci interessa completare la sostituzione, ma ricavare

soltanto il coefficiente B’ del nuovo termine misto x’y’ per

poterlo rendere nullo.

Si ha 2 2

B' 2Asen cos Bcos Bsen 2Csen cos= − β β + β − β + β β

( ) ( )2 2B' B cos sen 2sen cos C A= β− β + β β −

Imponiamo che sia B’ = 0


145

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )

2 2B cos sen 2sen cos C A 0

Bcos 2 sen 2 C A 0

Bcos 2 sen 2 A C

cos 2 A C

sen 2 B

β − β + β β − =

β + β − =

β = β −

β −=

β

Quindi la rotazione β che permette di far annullare il termine

misto è

(9) ( ) A Ccotang 2

B

−β =

ESEMPIO 36 Sia data la conica

2 2153x 192xy 97y 30x 40y 200 0− + − − − =

Applicando la (9) si ottiene

( ) 153 97 56 7cotang 2

192 192 24

−β = = − = −

−

Nella figura a fianco è riportato l’angolo 2β (che si trova nel

quarto quadrante perché la tangente

è negativa).

Dalla figura si può ricavare

immediatamente

2 2OC 24 7 576 49 25= + = + =

e quindi

( ) OA 7cos 2

OC 25β = = −

Applicando le formule di bisezione

si ottiene


B cos sen 2sen cos C A 0β − β + β β − =

che permette di far annullare il termine

153x 192xy 97y 30x 40y 200 0− + − − − =

(che si trova nel


146

( )

( )

711 cos 2 425sen

2 2 5

71

1 cos 2 325cos2 2 5

+ − β

β = = = −+ β

β = = =

Ora, utilizzando le formule per la rotazione degli assi

x x ' cos y ' sen

y y ' cos x ' sen

= ⋅ β − ⋅ β

= ⋅ β + ⋅ β

avremo

3 4x x ' y '

5 5

4 3y y ' x '

5 5

= − ⋅ = +

Sostituendo nella

conica iniziale,

sviluppando e

semplificando (con

qualche calcolo!), si

ottiene 2 2

x ' 9y ' 2x ' 8 0+ − − =

( )2

2x ' 1

y ' 19

−+ =

che è una ellisse con

centro nel punto (1;0).


4

2 2 5

3

2 2 5

Ora, utilizzando le formule per la rotazione degli assi


147

Discriminante di una conica Data l’equazione di una conica generica, è possibile stabilire

rapidamente se essa è una ellisse, parabola, iperbole?

Sicuramente si!

Basta applicare la seguente formula che coinvolge i coefficienti

della (8), e determinarne il segno.

(9) 2B 4 A C∆ = − ⋅ ⋅

che viene detta discriminante della conica ed indicata con ∆

(in analogia, ma è solo una analogia, con il discriminante della

formula risolutiva di un’equazione di secondo grado).

Si possono verificare i seguenti casi:

• 0<∆ : la (8) rappresenta una ellisse o una

circonferenza (che può essere considerata una ellisse

con i fuochi coincidenti).

• 0=∆ : la (8) rappresenta una parabola.

• 0>∆ : la (8) rappresenta una iperbole.

Applicando la formula all’esempio precedente si ha

( )2192 4 153 97 36864 59364 22500∆ = − − ⋅ ⋅ = − = −

Il discriminante è negativo ed infatti la conica era una ellisse.

Da dove deriva il nome coniche? Data una retta (che

chiameremo asse della conica)

ed una seconda retta (che

chiameremo retta

generatrice), incidente con la

prima, facciamo girare

quest’ultima attorno alla

precedente.

Si vengono a formare due coni

uniti per il vertice, che si


148

propagano all’infinito in entrambe le direzioni.

Ora tagliamo il cono con un piano ππππ: a seconda

dell’inclinazione di π rispetto al cono, si formano sul piano

stesso delle figure di intersezione che sono appunto

circonferenze, ellissi, parabole o iperboli.

Quindi tutte le curve aventi come equazione la (8), derivano

dalla intersezione di un cono con un piano, e da qui il loro

nome di coniche.

Se il piano π è parallelo alla retta

generatrice si ha una parabola, come

è mostrato nella figura a fianco.

Se invece il piano π taglia tutte e due

le falde del cono (non è necessario

che sia parallelo all’asse del cono), si

vengono a formare due rami distinti

che costituiscono una iperbole (vedi

sotto).

Nonostante il piano π non sia

parallelo all’asse del cono, i due rami

dell’iperbole risultano sempre perfettamente uguali fra loro.

Par. 11 - Le coniche degeneri

Può però accadere che il piano π passi per il vertice.

Si possono presentare tre situazioni diverse: il piano passa solo

per il vertice, oppure è tangente ad una generatrice, oppure

infine taglia anche le falde del cono.


149

In ciascuno dei tre casi sul piano π si forma una coppia di rette:

due rette con coefficienti immaginari (che messe a sistema

corrispondono ad un punto sul piano cartesiano, due rette

coincidenti, o due rette distinte.

La coppia di rette viene detta conica degenere.

Data la (8) come si fa a riconoscere se la conica è degenere o

no?

Si deve considerare la matrice

B DA

2 2

B EM C

2 2

D EF

2 2

=

Se il suo determinante è nullo, allora la conica è degenere.


150

ESEMPIO 37 2 2

x 4y 0+ =

1 0 0

M 0 4 0 0

0 0 0

= =

e quindi la conica è degenere. Inoltre è 0<∆ e allora la conica

è una ellisse degenere.

Determiniamo la coppia di rette. 2 2x 4y

x 2 i y

= −

= ± ⋅ ⋅

cioè

x 2 i y

x 2 i y

= ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

( ) ( )x 2iy x 2iy 0− + =

che sono due rette con coefficienti immaginari, e quindi non

possono essere rappresentate nel piano cartesiano, ma che si

intersecano in un punto reale (0;0), come si può facilmente

constatare sostituendo queste coordinate nell’equazione

iniziale.


151

ESEMPIO 38 2 2

3x xy 2y 5x 5y 2 0+ − − + − =

1 53

2 2

1 5 25 25 25 1 75M 2 12 0

2 2 8 8 2 2 4

5 52

2 2

−

= − = − − + + − =

− −

La conica è degenere, ed è una iperbole perché 0>∆ .

Risolviamola con la formula risolutiva delle equazioni di

secondo grado considerando (per esempio) come incognita la x

( ) ( )( )

( )

2 2

2 2

2

3x x y 5 2y 5y 2 0

5 y 25 10y y 12 2y 5y 2x

6

5 y 5y 75 y 25y 70y 49

6 6

5 4y 7

6

5 6y 7

6

+ − − − + =

− ± − + + − += =

− ± −− ± − += = =

+ −

= − +

Quindi la conica può essere scritta nella forma

( ) ( )

5 4y 7 5 6y 7x x 0

6 6

3x 2y 1 x y 2 0

+ − − + − − =

− + + − =

che è una coppia di rette distinte.


152

ESEMPIO 39 2 2

9x 12xy 4y 6x 4y 1 0− + + − + =

9 6 3

M 6 4 2 36 36 36 36 36 36 0

3 2 1

−

= − − = + + + − − − =

−

La conica è degenere ed è una parabola perché 0=∆ .

Procediamo come nell’esempio precedente risolvendo rispetto

alla x

( ) ( )2 29x 6x 2y 1 4y 4y 1 0− − + − + =

Applicando la formula ridotta si ha

( )2 26y 3 36y 36y 9 9 4y 4y 1 6y 3 2y 1x

9 9 3

− ± − + − − + − −= = =

Si hanno due soluzioni coincidenti, e quindi la conica

corrisponde a

( )2

2y 1 2y 1x x 0

3 3

3x 2y 1 0

− − − − =

− + =

che è una coppia di rette coincidenti.


153

CAP. 6 - I LIMITI

Par. 1 - Premesse

Quando si esegue un grafico su un calcolatore occorre tenere

sempre presente la differenza fra i concetti teorici della

matematica che adoperiamo e la visualizzazione del grafico

sullo schermo: questo costituisce infatti una matrice di pixel

(puntini luminosi) formata da un numero limitato (anche se

molto grande) di punti, fondamentalmente diversa da una

porzione di piano costituita da infiniti punti infinitamente

fitti. In altre parole le coordinate dei punti rappresentati sullo

schermo costituiscono un sottoinsieme limitato e discreto di

numeri razionali.

E’ per questa ragione

che spesso i grafici

vengono rappresentati

da un calcolatore

come linee zigzaganti

o comunque

imprecise.

E’ anche il caso di

notare che il

calcolatore non può

conoscere e trattare il

concetto di

non come numero più

grande del massimo

numero che è capace di elaborare.

Prendiamo ora in considerazione una funzione

esplicita

(1) y f (x)=


Quando si esegue un grafico su un calcolatore occorre tenere

sempre presente la differenza fra i concetti teorici della

matematica che adoperiamo e la visualizzazione del grafico

hermo: questo costituisce infatti una matrice di pixel

(puntini luminosi) formata da un numero limitato (anche se

molto grande) di punti, fondamentalmente diversa da una

infiniti punti infinitamente

coordinate dei punti rappresentati sullo

sottoinsieme limitato e discreto di

E’ per questa ragione

che spesso i grafici

vengono rappresentati

da un calcolatore

come linee zigzaganti

o comunque

E’ anche il caso di

notare che il

calcolatore non può

conoscere e trattare il

concetto di infinito se

numero più

grande del massimo

Prendiamo ora in considerazione una funzione in forma


154

Questa deve sempre soddisfare il TEST DELLA LINEA

VERTICALE: una linea verticale deve tagliare la curva

massimo in un punto.

Per esempio, nessuna delle funzioni disegnate a fianco può

essere scritta sotto la forma y = f(x).

Una funzione del tipo (1) può essere considerata come una

“scatoletta calcolatrice”: introducendo un valore arbitrario per

la variabile x, dalla scatoletta esce come risultato un valore per

la variabile y.

Può accadere che non esca alcun risultato (perché la y è

o complessa), ma non possono uscire due o più valori di y per

uno stesso valore di x.

La variabile x viene anche detta variabile indipendente

la y viene detta variabile dipendente.

L’insieme dei valori della x la cui ordinata è reale e fin

l’insieme dei valori della x che forniscono una y in uscita dalla

“scatoletta”), prende il nome di DOMINIO o INSIEME DI

ESISTENZA della funzione.

ESEMPIO 40

(2) 2x 3

yx 1

−=

+

Il dominio è costituito da ogni valore reale della x, eccetto x =

1 perché per tale valore la y è infinita. Esso è perciò

x (x -1)−∞ < < ∞ ≠


TEST DELLA LINEA

: una linea verticale deve tagliare la curva al

nessuna delle funzioni disegnate a fianco può

ne del tipo (1) può essere considerata come una

“scatoletta calcolatrice”: introducendo un valore arbitrario per

la variabile x, dalla scatoletta esce come risultato un valore per

Può accadere che non esca alcun risultato (perché la y è infinita

o complessa), ma non possono uscire due o più valori di y per

variabile indipendente, mentre

L’insieme dei valori della x la cui ordinata è reale e finita (cioè

l’insieme dei valori della x che forniscono una y in uscita dalla

“scatoletta”), prende il nome di DOMINIO o INSIEME DI

Il dominio è costituito da ogni valore reale della x, eccetto x = -

1 perché per tale valore la y è infinita. Esso è perciò


155

ESEMPIO 41

(3) y = tan x

Il dominio è

x (x k )

2

π−∞ < < ∞ ≠ + π

ESEMPIO 42

(4) 2y 1 x= −

Il dominio è 1 x 1− ≤ ≤

perché per valori esterni all’intervallo la y è immaginaria. Gli

estremi dell’intervallo appartengono al domino.

ESEMPIO 43

(5) 2

y ln(1 x )= −

Il dominio è -1<x<1

e i valori estremi dell’intervallo sono ora esclusi (perché

forniscono valore infinito per la y).

ESEMPIO 44

(6)

2x 5x 6y

x 2

− +=

−

Si noti che il numeratore può essere fattorizzato, e la funzione

può essere semplificata nel modo seguente


156

(x 2)(x 3)

y x 3x 2

− −= = −

−

La (6) non è quindi altro che una retta, ma attenzione, la

“scatoletta” cui ho accennato all’inizio è costituita dalla (6) e

non dalla retta, e nella (6) ponendo x = 2 si ottiene come

risultato 0

y0

= cioè risultato indeterminato.

In altre parole per x = 2 non è definita una corrispondente

ordinata. Il grafico della (6) è dunque una retta, ma mancante

di un punto: il punto con ascissa x = 2 (e ordinata y =

Possiamo dunque affermare che la (6) è una “retta bucata

ESEMPIO 45

(7) 2y x 4= −

Il dominio è costituito da ogni

valore reale della x.

Per effetto del modulo esistono

due parabole (tratteggiate), ma

poiché ad ogni valore della x

corrisponde una sola ordinata,

all’interno dell’intervallo (

deve essere graficato solo il

ramo di parabola con concavità

verso il basso (a tratto pieno), mentre esternamente

all’intervallo deve essere graficato solo il ramo di parabola con

concavità verso l’alto (a tratto pieno).

Anche in questo caso é perciò soddisfatto il test della retta

verticale.


y x 3

La (6) non è quindi altro che una retta, ma attenzione, la

“scatoletta” cui ho accennato all’inizio è costituita dalla (6) e

non dalla retta, e nella (6) ponendo x = 2 si ottiene come

In altre parole per x = 2 non è definita una corrispondente

ordinata. Il grafico della (6) è dunque una retta, ma mancante

di un punto: il punto con ascissa x = 2 (e ordinata y = -1).

retta bucata”.

Il dominio è costituito da ogni

valore reale della x.

Per effetto del modulo esistono

due parabole (tratteggiate), ma

poiché ad ogni valore della x

corrisponde una sola ordinata,

dell’intervallo (-2; 2)

deve essere graficato solo il

ramo di parabola con concavità

verso il basso (a tratto pieno), mentre esternamente

all’intervallo deve essere graficato solo il ramo di parabola con

esto caso é perciò soddisfatto il test della retta


157

Funzioni a tratti Le funzioni possono essere definite anche A TRATTI

insieme di due o più relazioni,

come nell’esempio seguente

2

x 3 (x 2)f (x)

x 4x 5 (x>2)

− + ≤=

− +

Par. 2 - Il concetto di limite

Consideriamo una funzione y = f(x) ed un suo punto generico

P

Si possono fare due

affermazioni:

1. il punto P con

coordinate (x0;l) appartiene alla

funzione.

2. il limite di f(x)

per x che tende ad x

simboli quest’ultima

affermazione si scrive

0x xlim f (x)→ = l

Queste due affermazioni sono fondamentalmente diverse.

Vediamo di chiarirne le differenze.


A TRATTI, con un

Consideriamo una funzione y = f(x) ed un suo punto generico

Si possono fare due

il punto P con

;l) appartiene alla

il limite di f(x)

per x che tende ad x0 è l. In

simboli quest’ultima

Queste due affermazioni sono fondamentalmente diverse.


158

PRIMA DIFFERENZA

Nel primo caso il punto P può

anche essere un punto

isolato, cioè in un opportuno

intorno sufficientemente

piccolo di P non ci sono altri

punti della funzione oltre P.

Nel secondo caso invece,

prendendo un secondo punto

A della curva, con coordinate ( )x;f (x) e avvicinandolo

sempre più a P (da destra o da sinistra, indifferentemente),

mentre l’ascissa x si avvicina sempre più a x0 l’ordinata y si

avvicina sempre più ad l.

In un intorno piccolo quanto si vuole di P ci sono sempre altri

infiniti punti della funzione oltre P.

SECONDA DIFFERENZA = Mentre nel primo caso il punto

P appartiene sempre alla funzione, nel secondo caso può

avvenire che man mano che A si avvicina a P tutti i punti A

appartengono alla funzione, ma il punto estremo P è l’unico

ad essere escluso e a non appartenere alla funzione

TERZA DIFFERENZA = Non è detto che il risultato

limite si ottenga sostituendo semplicemente x0 al posto della x

nella funzione f(x).

Cioè non è detto che si abbia in ogni caso

0x x 0lim f (x) f (x )→ =

Questo concetto risulterà più chiaro dopo alcuni esempi nelle

pagine seguenti.


e avvicinandolo

sempre più a P (da destra o da sinistra, indifferentemente),

l’ordinata y si

In un intorno piccolo quanto si vuole di P ci sono sempre altri

= Mentre nel primo caso il punto

P appartiene sempre alla funzione, nel secondo caso può

tutti i punti A

appartengono alla funzione, ma il punto estremo P è l’unico

luso e a non appartenere alla funzione.

= Non è detto che il risultato l del

al posto della x

sto concetto risulterà più chiaro dopo alcuni esempi nelle


159

Come si calcola un limite? La prima cosa da fare in presenza di un limite è quella di

provare a sostituire x0 al posto della x: se si ottiene un risultato

l, allora quello è il risultato del limite.

Per esempio: 2

x 3lim (x 4x 5) 2→ − + =

oppure 2

xlim (x 4x 5)→∞ − + = ∞

Si noti che in un polinomio, se x tende ad infinito, si può

prendere in considerazione solo il termine di grado più elevato

e trascurare tutti gli altri (gli altri termini hanno un “peso

sempre più trascurabile” rispetto a quello di grado massimo).

Così, per esempio:

3

x

3

x

lim (x 4x 5) mentre invece

lim (x 4x 5)

→∞

→−∞

− + = ∞

− + = −∞ talvolta è necessario distinguere il limite destro

sinistro:

Si abbia infatti la funzione x 2

yx 1

+=

−

Studiandone il segno si ottiene

Quando x tende ad 1 la y è infinita sia da destra che da sinistra,

ma più precisamente per

x 1 si ha y=

x 1 si ha y=-

+

−

→ ∞

→ ∞


La prima cosa da fare in presenza di un limite è quella di

al posto della x: se si ottiene un risultato

Si noti che in un polinomio, se x tende ad infinito, si può

prendere in considerazione solo il termine di grado più elevato

i altri termini hanno un “peso

sempre più trascurabile” rispetto a quello di grado massimo).

Così, per esempio:

lim (x 4x 5) mentre invece

limite destro da quello

Quando x tende ad 1 la y è infinita sia da destra che da sinistra,


160

Del resto basta pensare al grafico della funzione, che è una

banale funzione omografica.

E’ opportuno notare che i risultati ora ottenuti per il limite

destro e sinistro, si possono applicare al calcolo di due limiti

più complessi x 2

x 1

x 1

x 2

x 1

x 1

lim e e

1 1lim e e 0

e

+

−

+∞−

→

+−∞−

∞→

= = ∞

= = = =∞

Infatti, come vedremo fra poco nei teoremi sui limiti, se

0x xlim f (x) l→ = allora 0

f (x) l

x xlim e e→ = .

Par. 3 - Le forme indeterminate

La prima novità importante legata al concetto di limite si

incontra quando si deve calcolare un limite costituito dal

rapporto fra due espressioni che tendono entrambe a zero o

entrambe ad infinito.

I rapporti 0

0 e

∞∞

sono espressioni inaccettabili come risultati.

Basta osservare che potremmo scrivere 0

n0

= (con n

arbitrario), infatti eseguendo la verifica e moltiplicando n per il

denominatore si riottiene in ogni caso il numeratore. Lo stesso

ragionamento si può fare anche con ∞∞

. Dunque queste due

espressioni rappresentano dei “non risultati”, delle situazioni di

indecidibilità, e vengono denominate FORME INDETER-

MINATE.


161

Ma questo non significa che non esista un risultato ben

definito.

Per esempio

2

x 3 2

x x 6 0lim

0x 4x 3→

− −=

− +

e 0/0 è una forma indeterminata.

L’indeterminazione in questo caso può essere eliminata

semplicemente fattorizzando e semplificando numeratore e

denominatore: 2

x 3 x 3 x 32

x x 6 (x 3)(x 2) x 2 5lim lim lim

(x 3)(x 1) x 1 2x 4x 3→ → →

− − − + += = =

− − −− +

In quest’altro caso invece 2

x 2

4x 2x 1lim

3x 4x 2→∞

+ − ∞=

∞− +

Per togliere l’indeterminazione basta considerare sia a

numeratore che a denominatore solo il termine di grado più

elevato, ignorando i termini di grado inferiore (che hanno un

“peso trascurabile”) e si ottiene 2 2

x x x2 2

4x 2x 1 4x 4 4lim lim lim

3 33x 4x 2 3x→∞ →∞ →∞

+ −= = =

− +

In generale, quando si ha il limite di un rapporto fra due

polinomi con x tendente ad infinito, per togliere

l’indeterminazione basta conservare per ciascun polinomio solo

il termine di “maggior peso”, cioè di grado più elevato.

Si possono distinguere tre situazioni differenti:

1. Numeratore e denominatore sono dello stesso grado e

tendono a zero con la stessa “rapidità” (si dice allora che

i due infinitesimi sono dello stesso ordine). In questo


162

caso il risultato del limite è un numero finito: occorre

soltanto eliminare la causa dell’indeterminazione, come

abbiamo visto nell’ultimo esempio precedente.

2. Il numeratore è un polinomio di grado inferiore al

denominatore. L’infinito a denominatore è “più potente”

di quello a numeratore, nel senso che “arriva a zero più

rapidamente” del numeratore: e allora il risultato è zero. 2

x x x3

4x 2x 1 4 1lim lim lim 0

xx 3x 2→∞ →∞ →∞

− += = =

∞− +

1. Il numeratore è un polinomio di grado superiore al

denominatore. L’infinito a numeratore è “più potente” di

quello a denominatore, caso contrario del precedente, e

allora il risultato è infinito. 3 2 3

x x x2 2

5x 2x 1 4xlim lim lim (4x)

x 3x 2 x→∞ →∞ →∞

− += = = ∞

− +

Non sempre però è così facile togliere l’indeterminazione e

determinare il risultato del limite.

Occorre anche precisare che le espressioni 0

e 0

∞∞

non

sono le uniche forme indeterminate. Lo sono anche le

espressioni 0 00 0 1∞⋅∞ ∞ − ∞ ∞

Si può dimostrare (anche se in questa “trattazione rapida ed

intuitiva” non lo faremo) che tutte le forme indeterminate

possono ridursi alla forma fondamentale 0/0.


163

Par. 4 - Teoremi sui limiti (senza dimostrazione)

1° Teorema

Se 0x xlim f (x) C (con C costante)→ =

allora 0x xlim Kf (x) KC→ =

2° Teorema

Se

0

0

x x

x x

lim f (x) A

lim g(x) B

→

→

=

=

allora ( )

0x xlim f (x) g(x) A B→ ± = ±

Inoltre

3° Teorema ( )0x xlim f (x) g(x) A B→ ⋅ = ⋅

4° Teorema 0x x

f (x) Alim

g(x) B→ =

5° Teorema 0x x

1 1lim

f (x) A→ =

6° Teorema 0

nnx xlim f (x) A→ =

7° Teorema 0

f (x) A

x xlim n n→ =

8° Teorema 0x x n nlim log f (x) log A→ =

9° Teorema 0x xlim sen f (x) senA→ =

E così via ...


164

Par. 5 - Limiti notevoli (senza dimostrazione)

(8) x 0

senxlim 1

x→ =

(9) x 0

tan xlim 1

x→ =

(10) x 0

sen(ax) alim

sen(bx) b→ =

(11)

x

x

1lim 1 2,71... e

x→∞

+ = =

(12)

x

n

x

nlim 1 e

x→∞

+ =

(13) a

x 0 a

log (x 1)lim log e

x→

+=

se a = e x 0

ln(1 x)lim 1

x→

+=

(14)

x

x 0

a 1lim ln a

x→

−=

se a = e

x

x 0

e 1lim 1

x→

−=

(15)

n

x 0

(1 x) 1lim n

x→

+ −=


165

Infine un criterio che si può applicare quando si ha un termine

irrazionale:

x 1 x 1

x 1 x 1

x 3 2 x 3 2 x 3 2lim lim

x 1 x 1 x 3 2

x 1 1 1lim lim

4(x 1)( x 3 2) x 3 2

→ →

→ →

+ − + − + += =

− − + +−

= = =− + + + +

Par. 6 - Confronto fra infinitesimi

Si dice che una funzione y = f(x) è un infinitesimo per x che

tende a x0 se 0x xlim f (x) 0→ = (dove x0 può anche essere

infinito).

In precedenza abbiamo affermato che il rapporto fra due

infinitesimi dà luogo ad una forma indeterminata o di

indecisione. Questa non può essere accettata come risultato, e

tale risultato deve in ogni caso essere nullo, finito o infinito.

Però finora abbiamo preso in considerazione solo rapporti fra

due polinomi. Come ci si comporta negli altri casi?

Vale ancora il criterio precedente secondo cui il risultato deve

essere generalmente nullo, finito o infinito, solo che talvolta è

un po’ più difficile stabilire quale sia il risultato giusto.

Facciamo alcuni esempi e poi forniamo una breve tabella con i

casi più comuni.

PRIMO CASO Si possono sfruttare i limiti notevoli elencati precedentemente:

x 0 x 02 2

2

x 0 x 02

1 cos x (1 cos x)(1 cos x)lim lim

x x (1 cos x)

sen x 1 1 1lim lim 1

x 1 cos x 2 2

→ →

→ →

− − += =

+

= = ⋅ =+


166

Poiché il risultato è un numero finito i due infinitesimi si

dicono dello stesso ordine.

Se poi il risultato è 1 (come nel caso di senx

x) allora si dicono

equivalenti.

SECONDO CASO Oppure si possono confrontare fra loro i grafici delle due

funzioni.

Date infatti le due funzioni

x

1f (x)

ln x

1g(x)

e

= =

infinitesime per x che tende ad infinito, confrontiamo fra loro i

grafici della funzione logaritmo e della funzione esponenziale:

all’aumentare della x la seconda cresce molto più rapidamente

ed è un infinito di ordine superiore rispetto alla prima.

Poiché però dobbiamo confrontare fra loro le funzioni

reciproche, la g(x) va a zero più rapidamente e quindi è un

infinitesimo di ordine superiore rispetto alla f(x).

Qualitativamente possiamo dire che la g(x) “arriva a zero

prima della f(x)”, e allora si ha x

x x

f (x) elim lim

g(x) ln x→∞ →∞= = ∞

TERZO CASO

Al contrario avremo che x x

ln xlim 0

e→∞ =

il numeratore è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto al

denominatore.


167

QUARTO CASO Può infine verificarsi anche un’altra situazione: che il limite

non esista.

Nel rapporto fra due infinitesimi generici (e quindi non

entrambi algebrici razionali), può verificarsi che i due

infinitesimi non siano confrontabili. Per esempio

x 0

1sen

xlim impossibilex

→ =

Infatti il numeratore è un limite che non esiste (e questa

situazione non va confusa con le forme indeterminate !).

N.B. Vale la pena di notare che la somma algebrica di

infinitesimi e il prodotto di infinitesimi costituiscono ancora un

infinitesimo.

Così, per esempio 1/x e sen(1/x) (per x che tende a infinito)

sono due infinitesimi. Ebbene, il prodotto

1x

x x x

sen( ) 1 1lim lim lim sen( ) 0 0 0

x x x→∞ →∞ →∞= ⋅ = ⋅ =

è ancora un infinitesimo.

Per concludere, prendiamo in esame alcuni infinitesimi (fra i

più comuni), x

x senx tan x arcsenx arctan x ln(1+x) e 1−

e confrontiamoli fra loro.

Per x che tende a zero essi sono equivalenti (cioè il loro

rapporto è uguale a 1)


168

2

x

K

n

x e 1 cos x

2

n -1 e x ln n (con n 0)

Kx e (1 x) 1

x e 1 x 1

n

−

⋅ >

+ +

+ −

Par. 7 - Funzioni continue

Una funzione y = f(x) si dice continua nel punto con ascissa

x0 se

(16) 0x x 0lim f (x) f (x )→ =

cioè se il limite si ottiene semplicemente sostituendo x0 nella

funzione. Il punto con ascissa x0 può anche non appartenere

alla funzione.

In quali casi la (16) non è verificata? Lo vedremo con qualche

esempio.

Una funzione si dice invece continua in un intervallo, se è

continua in tutti i punti di tale intervallo.

Per esempio, sono continue:

• Tutte le funzioni algebriche razionali intere (cioè i

polinomi)

• Tutti i rapporti fra due polinomi (eccetto i POLI, cioè

gli eventuali ZERI del polinomio a denominatore).

• La funzione esponenziale y = K ax

• La funzione logaritmica y = K logax (per x > 0)

• Le funzioni y = sen x e y = cos x


169

• Le altre funzioni trigonometriche, eccetto i punti in cui

esse hanno asintoti verticali.

E così via…

Sono inoltre continue tutte le combinazioni lineari di funzioni

continue.

Cioè se f(x) e g(x) sono continue, lo è anche la funzione

y = a f(x) + b g(x)

Sono infine continue le funzioni composte (dette anche

funzioni di funzione), le cui funzioni componenti siano

continue.

Cioè, per esempio, le funzioni

2

y f (t) sent

t g(x) 5x 3x 2

= =

= = − +

sono continue. E perciò la funzione composta

[ ] ( )2y f g(x) sen 5x 3x 2= = − +

è anch’essa continua.

Talvolta, specie nelle funzioni a tratti, occorre fare attenzione:

per esempio la funzione

(17)

1xsen (per x 0)

y x

x (per x=0)

≠=

è continua.


170

Infatti, vedi grafico a fianco, la prima funzione ammette come

limite y = 0 per x che tende a zero, ma il punto di coordinate

(0;0) non appartiene alla funzione.

(E’ un caso analogo alla retta bucata: tutta la funzione meno un

punto singolo).

Con la seconda condizione aggiunta, la (17) diviene continua.

Un criterio pratico per stabilire se la funzione è continua

consiste nella possibilità di tracciare la funzione senza alzare

mai la punta scrivente dal foglio.

Nell’esempio precedente, se non ci fosse stata la condizione

aggiunta, l’esistenza del “buco” ci avrebbe costretto ad

interrompere il tracciamento della curva alzando per un

la penna dal foglio.


Infatti, vedi grafico a fianco, la prima funzione ammette come

limite y = 0 per x che tende a zero, ma il punto di coordinate

(E’ un caso analogo alla retta bucata: tutta la funzione meno un

Con la seconda condizione aggiunta, la (17) diviene continua.

Un criterio pratico per stabilire se la funzione è continua

tracciare la funzione senza alzare

Nell’esempio precedente, se non ci fosse stata la condizione

aggiunta, l’esistenza del “buco” ci avrebbe costretto ad

interrompere il tracciamento della curva alzando per un istante


171

Par. 8 - Le discontinuità E’ possibile elencare tre diversi tipi di discontinuità,

caratterizzati dalle considerazioni seguenti:

PRIMA SPECIE Una funzione y = f(x) è

discontinua nel punto

x0 se i due limiti

destro e sinistro sono

entrambi finiti e

diversi fra loro.

Cioè se

0

0

x x

x x

lim f (x) a

lim f (x) b

+

−

→

→

=

=

ed a e b sono finiti ma

differenti.

Per esempio:

x 2y x

x 2

−= +

−

Per x che tende a 2 c’è una discontinuità del prima specie

perché il limite destro e sinistro sono rispettivamente 3 ed 1.


E’ possibile elencare tre diversi tipi di discontinuità,

Per x che tende a 2 c’è una discontinuità del prima specie

sono rispettivamente 3 ed 1.


172

SECONDA SPECIE Una funzione y = f(x) è discontinua nel punto x0

uno dei due limiti

destro e sinistro è

infinito o non

esiste.

Per esempio, la

funzione

y = sen(1/x) è

discontinua per x

che tende a zero

perché tale limite

(come già visto)

non esiste.

Anche la funzione x 2

x 1y e

+

−=

già vista, e che ha il grafico mostrato nella figura qui a fianco,

ha un punto di discontinuità di seconda specie per x

TERZA SPECIE (Eliminabile) Una funzione y = f(x) è discontinua nel punto x0

non esiste o se non è uguale a f(x0).

Questo tipo di discontinuità si dice anche eliminabile

basta aggiungere una condizione opportuna per rendere

continua la funzione.

Per esempio, la funzione (17) è discontinua per x che tende a 0

(perché in tale punto la funzione non esiste).

Basta però aggiungere la condizione y = x (per x = 0) per

renderla continua.


0 se almeno

già vista, e che ha il grafico mostrato nella figura qui a fianco,

ha un punto di discontinuità di seconda specie per x = 1.

se il limite

eliminabile perché

per rendere

la funzione (17) è discontinua per x che tende a 0

x (per x = 0) per


173

Lo stesso dicasi per la funzione del quinto esempio del primo

paragrafo (la retta bucata). Basta porre 2x 5x 6

(per x 2)y x 2

-1 (per x 2)

− +≠

= − =

Oppure la funzione y = senx

x che è discontinua per x che

tende a zero. Infatti il risultato del limite è y = 1 che non si

ottiene sostituendo semplicemente 0 al posto della x !

Del resto il punto (0;1) non appartiene alla funzione!

Anche questa funzione può essere resa continua con la

condizione aggiunta

senx (per x 0)

y x

1 (per x 0)

≠=

=


174

CAP. 7 - LE DERIVATE

Par. 1 - Dal rapporto incrementale alla derivata

Consideriamo una funzione y = f(x) continua (o almeno

continua nell’intervallo che ci interessa).

Su questa funzione fissiamo due punti arbitrari A e B.

Si forma il triangolo ABC con cateti lunghi rispettivamente ∆∆∆∆x

e ∆∆∆∆y.

Il rapporto ∆y/∆x prende il nome di rapporto incrementale e

corrisponde (vedi figura sopra) al coefficiente angolare della

retta secante AB, cioè alla tangente trigonometrica dell’angolo

α.

Se ora manteniamo fisso uno dei due punti (per esempio A) e

facciamo scorrere B sulla curva avvicinandolo sempre più ad

A, la retta secante ruota attorno al punto A fino a

trasformarsi nella retta tangente (vedi figura seguente).

Il triangolo ABC durante questa trasformazione si è modificato

e rimpiccolito fino a degenerare trasformandosi in un punto (il

punto A).


175

I due cateti ∆∆∆∆x e ∆∆∆∆y si sono anche loro impiccoliti fino a

diventare due infinitesimi.

Il triangolo degenerato in un punto non ha più caratteristiche

metriche, ed il rapporto incrementale ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x fornisce un

risultato indeterminato del tipo 0/0.

Però se consideriamo tale triangolo come punto di arrivo di una

operazione di limite, allora il rapporto incrementale diventa il

coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel

punto A, cioè la tangente trigonometrica dell’angolo αααα.

Questo valore numerico, se esiste ed è finito, prende il nome

di derivata della funzione nel punto A.

Quindi la derivata di una funzione in un suo punto è il

coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel

punto.

Se ripetiamo tale ragionamento per ogni punto della funzione

facendo scorrere il punto A avanti e indietro, potremo associare

ad ogni punto della funzione il valore del coefficiente angolare

delle rette tangenti.

In altre parole potremo costruire una nuova funzione da

associare alla f(x), formata da tutti i coefficienti angolari delle

rette tangenti.

Questa nuova funzione prende il nome di funzione derivata (o

semplicemente derivata) della f(x).


176

Siamo così passati dal concetto di derivata in un punto (che è

un numero) alla derivata in un intervallo (che è una funzione).

ESEMPIO 46 Prendiamo in considerazione la parabola indicata nella figura a

fianco.

Su di essa fissiamo

due punti arbitrari

A = (3;-15/4)

B = (2;-4)

Calcoliamo il coeffi-

ciente angolare m

della retta secante

passante per A e B

sostituendo nella formula seguente

(1) 2 1

2 1

y ym

x x

−=

−

le coordinate dei punti A e B.

La (1) è anche il rapporto incrementale (perché é il rapporto

fra i due incrementi ∆∆∆∆y

e ∆∆∆∆x).

Facendo i calcoli si

trova che il

coefficiente angolare

della retta secante AB

è


177

7 154 4

AB

( )m 1

5 3

− − −= =

−

Mantenendo fisso il punto A facciamo ora scorrere il punto B

sulla parabola in modo da avvicinarlo gradatamente ad A: la

retta secante ruota attorno ad A (vedi figura a pag. 174), i due

incrementi ∆y e ∆x diventano sempre più piccoli, e la retta

secante diventa la retta tangente alla curva nel punto A. In

questa condizione il coefficiente angolare diviene mA = 1/2 e

prende il nome di derivata della funzione nel punto A.

La derivata in un punto é quindi un numero (nel nostro caso é

mA = 1/2) e può essere ricavato per via grafica tracciando la

retta tangente e calcolando poi il suo coefficiente angolare, o

attraverso calcoli per via analitica (condizione di tangenza, nei

casi in cui ciò è possibile).

Ora invece consideriamo il punto A variabile (con ascissa x), e

il punto B anch’esso variabile con ascissa x+h (dove h è un

incremento arbitrario positivo o negativo).

I due punti A e B hanno coordinate

A (x;f (x))

B (x x;f (x x))

≡

≡ + ∆ + ∆

che nel nostro esempio divengono 2

2

xA (x; x 3)

4

(x x)B (x x; (x x) 3)

4

≡ − −

+ ∆≡ + ∆ − + ∆ −

Il coefficiente angolare m della retta AB è allora espresso dalla

relazione


178

2

2 2 2

2(x h)

4

x 2hx h x4 4

2 2 2

2

x(x h) 3 x 3

4f (x h) f (x)m

h h

( x h 3) ( x 3)

h

x 2hx h 4x 4h 12 x 4x 12

4h

2hx h 4h 2x h 4

4h 4

+

+ +

− + − − − − + − = = =

− − − − − −= =

+ + − − − − + += =

+ − + −= =

Ora facciamo il limite per h che tende a zero (cioè con B che

tende ad A), e si ottiene

h 0

2x h 4 1f '(x) lim ( ) x 1

4 2→

+ −= = −

La nuova funzione è la funzione derivata (o semplicemente

derivata) della funzione y = f(x) e si indica con i simboli

1y ' f '(x) x 1 oppure

2

dy 1x 1

dx 2

= = −

= −


179

L’ultimo simbolo (che si legge “de y su de x”) è quello

proposto da Leibniz, ed è il più espressivo perché indica

proprio il rapporto fra due incrementi che sono diventati

entrambi infinitesimi (dy e dx).

Rappresentando su uno stesso grafico la f(x) e la sua derivata

f’(x), si ha il grafico della pagina precedente.

Nei tre punti messi in evidenza in figura, si ha rispettivamente:

f’(0) = 0 - 1 = -1

f’(2) = 1 - 1 = 0

f’(4) = 2 - 1 = 1

e la derivata

y’ = x/2-1

per x = 0, x = 2, x = 4 assume rispettivamente le ordinate

y’ = -1, y’ = 0, y’ = 1.


180

Par. 2 - Continuità e derivabilità

Se una funzione y = f(x) è continua in un intervallo, fissando

arbitrariamente due punti x0 e x0+h in tale intervallo, è

possibile costruire il rapporto incrementale ∆y/∆x.

Eseguendo il limite del rapporto incrementale per h che tende a

zero (o per x che tende a x0, che è la stessa cosa), si ottiene la

derivata della funzione nel punto x0.

Però tale limite deve essere unico e finito: cioè

0 0x x x x

y ylim lim m

x x+ −→ →

∆ ∆= =

∆ ∆

ESEMPIO 47

La funzione 2y x x= − +

che si può anche scrivere 2

2

x x (per x 0)y

x x (per x 0)

− − ≤=

− + ≥

ha come grafico due rami di parabola e nel punto con ascissa x

= 0 la funzione pur essendo continua non è derivabile

perché il limite del rapporto incrementale (cioè il coefficiente

angolare della retta

tangente) ha due

valori diversi a

seconda che si arrivi a

0 da destra o da

sinistra.


Se una funzione y = f(x) è continua in un intervallo, fissando

+h in tale intervallo, è

Eseguendo il limite del rapporto incrementale per h che tende a

, che è la stessa cosa), si ottiene la

lim lim m

ha come grafico due rami di parabola e nel punto con ascissa x

pur essendo continua non è derivabile,

il limite del rapporto incrementale (cioè il coefficiente


181

ESEMPIO 48 Invece la funzione

2y 1 x= −

che corrisponde ad una semicirconferenza, nei punti con

ascissa x = -1 e x = 1 pur essendo continua non è derivabile

perché il coefficiente angolare della retta tangente (e quindi la

derivata) in tali punti ha valore infinito.

Quindi la condizione di derivabilità è più vincolante di quella

di continuità.

In altre parole le funzioni continue non è detto che siano

derivabili, mentre le funzioni derivabili sono sempre anche

continue.

Possiamo anche dire che l’insieme delle funzioni derivabili è

un sottoinsieme delle funzioni continue.


che corrisponde ad una semicirconferenza, nei punti con

pur essendo continua non è derivabile

perché il coefficiente angolare della retta tangente (e quindi la

Quindi la condizione di derivabilità è più vincolante di quella

In altre parole le funzioni continue non è detto che siano

derivabili, mentre le funzioni derivabili sono sempre anche

i derivabili è


182

Par. 3 - Regole di derivazione Tavola delle derivate più comuni:

n n 1

m m1

n m n n

n n m

m

y a y ' 0

y ax y ' a nx

m my x x y ' x

n n x

nel caso particolare che sia n 2 si ha

y x

−

−

−

= =

= = ⋅

= = = =

=

=2 m

n n

m y '

2 x

y senx y ' cos x

y cos x y ' senx

1 1y log x y ' log e

x x ln n

nel caso part

−=

= =

= = −

= = =⋅

x x

x x ln a x

icolare che sia n e si ha

1y ln x y '

x

y e y ' e

y a e y ' ln a e

=

= =

= =

= = = ⋅

Inoltre, nel caso di due (o più) funzioni:

2

y f (x) g(x) y ' f '(x) g '(x)

y f (x) g(x) y ' f '(x)g(x) f (x)g '(x)

f (x) f '(x)g(x) f (x)g '(x)y y '

g(x) g (x)

= ± = ±

= ⋅ = +

−= =


183

Par. 4 - Le funzioni composte Molte funzioni possono essere immaginate come formate da

due funzioni una dentro l’altra:

(2) y = sen 3x che si può scrivere

y senz

z 3x

=

=

Una funzione di questo tipo si chiama funzione composta o

funzione di funzione.

Altri esempi sono i seguenti

(3) 2

y log(x 3)= − che si può scrivere

2

y log z

z x 3

=

= −

(4) y 3x 1= + che si può scrivere

y z

z 3x 1

=

= +

Si possono avere anche più di due funzioni una dentro l’altra, a

formare una funzione di funzione di funzione:

(5) 3y cos 4x 2x 1= − + che si può scrivere

3

y cosz

z t

t 4x 2x 1

=

= = − +

Generalizzando possiamo indicare una funzione composta nel

modo seguente


184

(6) ( )y f g x= che si può scrivere

y f (z)

z g(x)

=

=

Dove f(z) e g(x) sono le funzioni componenti della funzione

composta.

Ebbene, la derivata di una funzione composta è il prodotto

delle derivate delle singole funzioni componenti.

Negli esempi precedenti si avrà allora

y’=(sen3x)’ = (senz)’(3x)’ = 3cosz = 3cos3x

2 2

2 2

1 2xy' log(x 3) ' (x 3)'

x 3 x 3 = − = − = − −

(stabiliamo per convenzione che se negli esempi il logaritmo

non ha base lo consideriamo sempre con base e)

( ) 1 3y ' 3x 1 ' (3x 1) '

2 3x 1 2 3x 1= + = + =

+ +

( ) (3 3 3

3 3

3

3

3

y ' cos 4x 2x 1 ' sen 4x 2x 1 4x 2x 1 '

1sen 4x 2x 1 (4x 2x 1) '

2 4x 2x 1

1 6xsen 4x 2x 1

4x 2x 1

= − + = − − + − + =

= − − + − + =− +

−= − +

− +

Par. 5 - La derivazione delle funzioni inverse

Abbiamo visto che una

funzione può essere scritta

nella forma y = f(x)

è rispettata la regola della

retta verticale: una

generica retta verticale


della funzione

Ebbene, la derivata di una funzione composta è il prodotto

3cos3x

2 2

1 2x

x 3 x 3− −

(stabiliamo per convenzione che se negli esempi il logaritmo

1 3

2 3x 1 2 3x 1+ +

)y ' cos 4x 2x 1 ' sen 4x 2x 1 4x 2x 1 '

sen 4x 2x 1 (4x 2x 1) '

= − + = − − + − + =

Abbiamo visto che una

funzione può essere scritta

y = f(x) solo se

è rispettata la regola della

verticale: una

generica retta verticale


185

deve tagliare la curva al massimo in un punto.

Ora domandiamoci: è possibile esplicitare la funzione rispetto

alla x in modo da scriverla sotto la forma x = g(x)? Alcune

volte sì, ed altre volte no.

E’ possibile se vale anche la regola della retta orizzontale: una

generica retta orizzontale deve tagliare la curva al massimo in

un punto.

In tal caso la funzione si chiama bijettiva e si ha l’abitudine di

indicarla con il simbolo x = f-1(y) invece che con x = g(x).

Si noti però che le due funzioni 1

y f (x) e x f (y)−= =

sono due modi diversi per indicare la stessa funzione.

Eseguiamo ora la trasformazione geometrica consistente nel

sostituire fra loro la x con la y, cioè se operiamo una rotazione

di 180° attorno alla bisettrice del primo e terzo quadrante, si ha

una nuova funzione 1

y f (x)−= che viene chiamata funzione

inversa della f(x).

Chiariamo questo concetto con un semplice esempio.

Data la parabola y = x2 - 5x + 6

si vede che essa non soddisfa la regola della retta orizzontale

perché le intersezioni (vedi figura) sono due.

Ed infatti proviamo ad esplicitare la funzione rispetto alla x

(considerando la y come parte del termine noto).

Abbiamo 2x 5x 6 y 0

5 1 4yx

6

− + − =

± −=

Ebbene, assegnando un valore arbitrario alla y, a causa del

doppio segno, si trovano due valori della x che corrispondono

alle ascisse dei due punti A e B.

In altre parole si vengono a formare due rami di curva:


186

una semiparabola di destra associata alla funzione

x =

ed una semiparabola di

sinistra associata alla

funzione

5 1 4y

x =

Ciascuno di questi due

rami costituisce una

funzione che rispetta la regola della retta orizzontale.

Prendiamo in considerazione solo la semiparabola di destra.

Si noti che la funzione

5 1 4yx

6

+ −=

non è ancora la funzione inversa, ma è un ramo della parabola

iniziale esplicitata rispetto alla x.

Ora operiamo uno scambio fra le variabili x ed y

geometricamente si traduce in una rotazione attorno alla retta

y = x).

Finalmente si ottiene la

funzione

5 1 4xy f (x)

6

+ −= =

che è appunto la

funzione inversa della

parabola. Però è

possibile invertire solo

parte della parabola (il ramo destro o quello sinistro).


una semiparabola di destra associata alla funzione

5 1 4yx

6

+ −=

ed una semiparabola di

sinistra associata alla

5 1 4yx

6

− −=

Ciascuno di questi due

rami costituisce una

funzione che rispetta la regola della retta orizzontale.

Prendiamo in considerazione solo la semiparabola di destra.

funzione inversa, ma è un ramo della parabola

operiamo uno scambio fra le variabili x ed y (che

geometricamente si traduce in una rotazione attorno alla retta

Finalmente si ottiene la

15 1 4xy f (x)

6

−+ −= =

che è appunto la

funzione inversa della

parabola. Però è

possibile invertire solo

parte della parabola (il ramo destro o quello sinistro).


187

Si può affermare che una funzione è totalmente invertibile

solo se è monotòna, cioè solo se è sempre crescente o

decrescente, altrimenti è invertibile solo nei tratti in cui essa è

monotòna.

Allo stesso modo la funzione

y = senx può essere invertita solo nell’intervallo [-πInfatti solo in tale intervallo la funzione è monotòna.

La funzione inversa

y = arc sen x

consiste allora nella

rotazione attorno alla

bisettrice del primo e terzo

quadrante dell’arco di

sinusoide a tratto pieno (vedi

figura sopra).

Ecco allora come appare la

funzione

y = arc sen x

Dopo queste premesse

necessarie per chiarire il concetto di funzione inversa,

possiamo occuparci di come si possa derivare una funzione

inversa.


una funzione è totalmente invertibile

, cioè solo se è sempre crescente o

decrescente, altrimenti è invertibile solo nei tratti in cui essa è

π/2; π/2].

funzione è monotòna.

necessarie per chiarire il concetto di funzione inversa,

possiamo occuparci di come si possa derivare una funzione


188

Si abbia una generica funzione

y = f(x) e la

corrispondente funzione

inversa y =

Per comodità di

indichiamo la derivata di

f(x) e di f-1

(x). rispetti

vamente con Df(x) e con

D f-1

(x).

Ebbene, la derivata della

f(x) nel punto A è

D f(x) = tan αααα Osserviamo che il rettangolo con vertice A ha base x ed altezza

y, mentre il rettangolo con vertice B ha le stesse dimensioni ma

con base y ed altezza x.

La derivata della funzione f-1

(x). nel punto B la possiamo

indicare allora con il simbolo

1 1 1Df (y) tan tan(90 )

tan Df (x)

− = β = − α = =α

che si può anche scrivere

(7) 1

1Df (x)

Df (y)−=

Questa formula ci permette di calcolare la derivata delle

funzioni inverse.

ESEMPIO 49 y = arc sen x che si può anche scrivere x = sen y (e non

è la funzione inversa !)

2 2

1 1 1 1y ' Darcsenx

Dseny cos y 1 sen y 1 x= = = = =

− −


corrispondente funzione

f-1

(x).

Per comodità di scrittura

indichiamo la derivata di

(x). rispetti-

vamente con Df(x) e con

Ebbene, la derivata della

f(x) nel punto A è

Osserviamo che il rettangolo con vertice A ha base x ed altezza

vertice B ha le stesse dimensioni ma

(x). nel punto B la possiamo

i permette di calcolare la derivata delle

x = sen y (e non

2 2

1 1 1 1

1 sen y 1 x= = = = =

− −


189

ESEMPIO 50 y = arc cos x che si può anche scrivere x = cos y

2 2

1 1 1 1y ' Darccos x

Dcos y seny 1 cos y 1 x= = = = − = −

− − −

ESEMPIO 51 y = arctan x che si può anche scrivere x = tan y

22

2 2

2 2

1 cos yy ' Darctan x cos y

D tan y sen y cos y

1 1

tan y 1 x 1

= = = = =+

= =+ +

ESEMPIO 52 y = arccotan x che si può anche scrivere x = cotan y

22

2 2

2 2

1 sen yy ' Darcc tan x sen y

Dc tan y sen y cos y

1 1

c tan y 1 x 1

−= = = − = =

+

= − = −+ +


190

Par. 6 - Il teorema di Rolle Se y = f(x) è una funzione derivabile in un certo intervallo

]a;b[ e almeno continua nei due estremi, se agli estremi di

tale intervallo la funzione assume la stessa ordinata, cioè se

f(a) = f(b) allora deve esistere almeno un punto c (interno all’intervallo)

tale che f’(c) = 0.

Il teorema è di immediata comprensione intuitiva: deve esistere

almeno un punto (nell’esempio precedente ce ne sono due, C e

D), in cui la retta tangente è orizzontale (cioè parallela alla retta

AB).

La condizione di derivabilità include anche quella di

continuità: infatti se la funzione non fosse continua (come nei

due esempi a fianco), allora potrebbe avvenire che in nessun

punto interno ad ]a;b[ la retta tangente fosse orizzontale


in un certo intervallo

, se agli estremi di

tale intervallo la funzione assume la stessa ordinata, cioè se

allora deve esistere almeno un punto c (interno all’intervallo)

Il teorema è di immediata comprensione intuitiva: deve esistere

almeno un punto (nell’esempio precedente ce ne sono due, C e

D), in cui la retta tangente è orizzontale (cioè parallela alla retta

nclude anche quella di

continuità: infatti se la funzione non fosse continua (come nei

che in nessun

punto interno ad ]a;b[ la retta tangente fosse orizzontale.


191

Par. 7 - Il teorema di Lagrange (o del valor medio)

Se y = f(x)

funzione


]a;b[, e almeno

continua agli

estremi, allora deve

esistere almeno un

punto c (interno

all’intervallo)

che

f (b) f (a)f '(c)

b a

−=

−

Osservando che il secondo membro espri-me il

ango-lare della retta passante per A e B, si capisce come debba

esistere almeno un punto C (interno all’intervallo) in cui la

retta tangente sia parallela ad AB. Nel nostro esempio c’è

anche un secondo punto D con tali caratteristiche.

In altre parole il teorema di Lagrange si può considerare una

generalizzazione del teorema di Rolle: infatti basta deformare

la figura relativa al teorema di Rolle spostando in basso il

punto A ed in alto il punto B. per ottenere la figura relativa al

teorema di Lagrange.

Par. 8 - Il teorema di Cauchy

Si abbiano due funzioni y = f(x) e y = g(x)

derivabili in un certo intervallo ]a;b[, almeno continue agli

estremi, e con g '(x) 0≠ in tutto l’intervallo ]a;b[,

Deve esistere almeno un punto c (interno all’intervallo), in cui

si abbia


io)

y = f(x) è una

funzione derivabile


[, e almeno

continua agli

allora deve

esistere almeno un

(interno

all’intervallo) tale

me il coefficiente

lare della retta passante per A e B, si capisce come debba

esistere almeno un punto C (interno all’intervallo) in cui la

retta tangente sia parallela ad AB. Nel nostro esempio c’è

il teorema di Lagrange si può considerare una

: infatti basta deformare

la figura relativa al teorema di Rolle spostando in basso il

punto A ed in alto il punto B. per ottenere la figura relativa al

y = g(x) entrambe

continue agli

[,

punto c (interno all’intervallo), in cui


192

(8) f (b) f (a) f '(c)

g(b) g(a) g '(c)

−=

−

Questo teorema non è visualizzabile efficacemente con un

grafico, ma si può facilmente dimostrare ricorrendo al teorema

di Rolle.

Costruiamo ora una nuova funzione y = F(x) così strutturata:

(9)

[ ] [ ]F(x) g(b) g(a) f (x) f (b) f (a) g(x)= − − −

Questa nuova funzione è anch’essa derivabile perché semplice

combinazione algebrica di funzioni derivabili. Calcoliamo i

valori di questa funzione F(x) agli estremi dell’intervallo ]a;b[.

[ ] [ ]F(a) g(b) g(a) f (a) f (b) f (a) g(a)

f (a)g(b) f (a)g(a) f (b)g(a) f (a)g(a)

f (a)g(b) f (b)g(a)

= − − − =

= − − + =

= −

[ ] [ ]F(b) g(b) g(a) f (b) f (b) f (a) g(b)

f (b)g(b) f (b)g(a) f (b)g(b) f (a)g(b)

f (a)g(b) f (b)g(a)

= − − − =

= − − + =

= −

I due risultati sono uguali, quindi la funzione F(x) soddisfa le

premesse del teorema di Rolle. Dunque deve esistere almeno

un punto c tale che F’(c) = 0.

Derivando la (9) si ha

[ ] [ ]F'(x) g(b) g(a) f '(x) f (b) f (a) g '(x) 0= − − − =

Da questa, con semplici passaggi, si ricava la (8).

Par. 9 - Il teorema di De l’Hospital

Siano y = f(x) e y = g(x) due funzioni derivabili

nell’intervallo che ci interessa e almeno continue in un punto c

interno a tale intervallo.


193

Se il

(10) x c

f (x) 0lim (o )

g(x) 0→

∞=

∞ allora

x c x c

f (x) f '(x)lim lim

g(x) g '(x)→ →=

Il teorema può essere applicato anche più volte

consecutivamente, purchè ogni volta sia soddisfatta la (10).

ESEMPIO 53 Uno dei limiti notevoli si risolve immediatamente applicando il

T. di De L’Hospital

x 0

senx 0lim

x 0→ =

x 0 x 0

senx cosxlim lim 1

x 1→ →= =

ESEMPIO 54 2

x 2

3x 4x 1lim

5x 2x 3→∞

− + ∞=

∞− −

2

x x x2

3x 4x 1 6x 4x 6 3lim lim lim

10x 2 10 55x 2x 3→∞ →∞ →∞

− + −= = =

−− −

Ci sono però casi (anche se rari) in cui il teorema dell’Hospital

conduce a calcoli molto lunghi che ne sconsigliano

l’applicazione, ed anche casi in cui non si riesce a calcolare il

risultato.

Per esempio, il limite indeterminato

2

x2

x 1lim

x 1→∞

+ ∞=

∞− con l’Hospital fornisce


194

alternativamente frazioni uguali a quella iniziale, con

numeratore e denominatore scambiati fra loro, senza portare

mai al risultato definitivo (che è 1, e si ottiene immediatamente

trascurando i termini +1 e -1 perché infiniti “di minor peso”).

Infine, nei limiti in cui la forma indeterminata è del tipo

∞−∞ (che non permette l’applicazione del teorema

dell’Hospital), si può talvolta ricorrere ad una manipolazione

algebrica sfruttando l’identità

1 1

g(x) f (x)f (x) g(x)

1

f (x)g(x)

−− =

che trasforma il limite in una delle due forme indeterminate

previste dal teorema dell’Hospital.

Però questa identità è molto scomoda da usare perché le

derivate da calcolare sono un po' complesse.


195

CAP. 8 - GLI INTEGRALI

Par. 1 - Il concetto di differenziale

Data una funzione

y = f(x) derivabile nell’intervallo che ci interessa,

consideriamo un generico punto [ ]A x;f (x)≡ ed un secondo

punto B.

Sviluppando il concetto di derivata abbiamo visto come si può

costruire il rapporto incrementale ∆∆∆∆y/∆∆∆∆x e come questo

corrisponda al coefficiente angolare della retta passante per A e

B.

Con una operazione di limite (con ∆x che tende a zero), si

passava al concetto di derivata nel punto A, che corrisponde al

coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A.

La derivata in A veniva indicata con il simbolo f’(x)

simbolo dy/dx (che è anche detta notazione di Leibniz


y = f(x) derivabile nell’intervallo che ci interessa,

ed un secondo

Sviluppando il concetto di derivata abbiamo visto come si può

e come questo

corrisponda al coefficiente angolare della retta passante per A e

x che tende a zero), si

passava al concetto di derivata nel punto A, che corrisponde al

la curva in A.

f’(x) o con il

notazione di Leibniz).


196

In altre parole con la operazione di limite il triangolo si è

impiccolito sempre più fino a diventare infinitesimo (vedi

ingrandimento nella figura), e degenerare in un punto.

L’ipotenusa A’B’ è divenuta parallela alla tangente, e gli

incrementi ∆y e ∆x sono diventati due infinitesimi (dy e dx).

Il triangolo è degenerato in un punto, ma se viene considerato

come punto di arrivo di una operazione di limite, conserva

delle caratteristiche metriche ben precise che possono essere

riassunte nella relazione

dyf '(x)

dx=

che indica appunto la corrispondenza fra la derivata nel punto

A e il rapporto fra i due infinitesimi dy e dx. Tale relazione

può anche essere scritta nella forma

(1) dy f '(x)dx=

La (1) si chiama anche differenziale della funzione, ed

esprime dunque la relazione esistente fra i due infinitesimi dy e

dx.

ESEMPIO 55 Data la funzione y = 5x

3 - 4x + 1 il differenziale della

funzione, applicando la (1) è

dy = (15x2 - 4)dx

Si poteva ottenere lo stesso risultato anche derivando

semplicemente la funzione e indicando la derivata con la

notazione di Leibniz

2dy15x 4

dx= −

e spostando poi il dx nel secondo membro.


197

ESEMPIO 56 Data la funzione y senx log x= il differenziale si può

ottenere sia applicando la (1)

senxdy cos x log x dx

x

= +

che derivando

dy senxcosxlog x

dx x= +

e poi spostando il dx nel secondo membro.

E’ chiaro allora che derivare o differenziare costituiscono due

aspetti diversi di una stessa operazione.

Par. 2 - L’integrale definito

= a e x = b in tale intervallo.

Suddividiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini, ciascuno di

ampiezza ∆∆∆∆x.

E’ importante osservare che non è affatto necessario che gli

intervallini abbiano tutti la stessa ampiezza: si arriverebbe alle


il differenziale si può

costituiscono due

Data una

funzione

y = f(x)

derivabile nell’interv

allo che ci

interessa,

consideria

mo due

ascisse

arbitrarie x

, ciascuno di

E’ importante osservare che non è affatto necessario che gli

intervallini abbiano tutti la stessa ampiezza: si arriverebbe alle


198

stesse conclusioni anche assumendo che essi avessero

ampiezza arbitraria.

Si vengono a formare (vedi figura) due serie di rettangolini:

• Chiamiamo con xi l’ascissa di ciascun intervallino ∆x

corrispondente alla ordinata f(xi) minima (nella figura

coincide con l’estremo sinistro di ∆x). Si viene a formare un

primo gruppo di rettangoli segnati in figura con un colore

più scuro. Questo gruppo di rettangoli (dato che ricorda una

scala) prende il nome di scaloide inscritto e indicheremo la

sua superficie con il simbolo Si.

• Chiamiamo invece con xs l’ascissa corrispondente alla

ordinata f(xs) massima (nella figura coincide con l’estremo

destro di ∆x). Si forma ora un secondo gruppo di rettangoli

costituito dai precedenti più i rettangolini superiori segnati

in figura con un colore più chiaro. Questo gruppo di

rettangoli prende il nome di scaloide circoscritto e la sua

superficie la indicheremo con il simbolo Ss.

Chiamiamo infine trapezoide la figura (che assomiglia ad un

trapezio) avente come base il segmento ab, come bordi laterali

quelli dei due scaloidi, e come base superiore la curva

rappresentata dalla funzione y = f(x). Ci proponiamo di

calcolare l’area di questo trapezoide, che indicheremo con

il simbolo S. Ciascuno dei due scaloidi ha un’area che approssima quella del

trapezoide: nel nostro caso Ss è certamente minore di S, mentre

Sd è certamente maggiore di S.

Vale quindi la disuguaglianza

i sS S S≤ ≤

Nel nostro esempio l’intervallo ab è stato suddiviso in n = 5

parti. Se ora aumentiamo il numero di parti ponendo


199

successivamente n = 10, 100, 1000 ... ci accorgiamo che i due

scaloidi tendono entrambi ad S.

Cioè

(2) n i

n s

lim S S

lim S S

→∞

→∞

=

=

E’ sufficiente la condizione di continuità perché i due limiti (2)

tendano entrambi ad S.

L’area del trapezoide viene indicata simbolicamente con

(3)

b

a

S f (x)dx= ∫

che si legge: integrale da “a” a “b” di effe di x in de x.

Si noti come il simbolo di integrale rappresenti schematizzato

il simbolo di somma, infatti deve essere interpretato come la

somma delle aree degli infiniti rettangolini (a partire da x =

a fino a x = b) aventi come base dx (il ∆x con l’operazione di

limite è divenuto dx), e come altezza f(x). Infatti con n che

tende ad infinito tutti gli intervalli ∆x (anche se non fossero

stati tutti uguali) sono diventati infinitesimi e le ordinate f(xi) e

f(xs) coincidono in un unico valore f(x).

Questo integrale si chiama integrale definito e corrisponde ad

una superficie.

Non abbiamo ancora imparato a calcolarlo, ma possiamo

ugualmente parlarne definendone le sue proprietà.


200

Par. 3 - Proprietà dell’integrale definito

PRIMA PROPRIETÀ a

a

f (x)dx 0=∫

Infatti se l’intervallo [a;b] si restringe fino a diventare un unico

punto, l’area del trapezoide si annulla.

SECONDA PROPRIETÀ b a

a b

f (x)dx f (x)dx= −∫ ∫

Se si invertono gli estremi di integrazione l’integrale cambia

segno. Infatti ciò equivale a cambiare il segno della base e

quindi la superficie diventa negativa, ma è una negatività di

tipo algebrico: un’area deve infatti essere sempre positiva.

TERZA PROPRIETÀ Può avvenire che

la funzione si

trovi sotto l’asse

x. La superficie

è nuovamente

negativa (v

figura a fianco):

infatti questa

volta sono le

altezze dei

rettangolini ad

essere negative.

Anche in questo

caso la negatività è solo di natura algebrica.


Infatti se l’intervallo [a;b] si restringe fino a diventare un unico

l’integrale cambia

il segno della base e

quindi la superficie diventa negativa, ma è una negatività di

tipo algebrico: un’area deve infatti essere sempre positiva.

Può avvenire che

la funzione si

trovi sotto l’asse

x. La superficie

è nuovamente

negativa (vedi

figura a fianco):

infatti questa

volta sono le

altezze dei

rettangolini ad

essere negative.

Anche in questo


201

Per ottenere il risultato corretto è sufficiente porre un segno

meno davanti all’integrale, oppure scambiare fra loro gli

estremi di integrazione.

QUARTA PROPRIETÀ Se indichiamo con c

un generico punto

(interno o esterno

all’intervallo [a;b]), è

sempre possibile

suddividere l’integrale in una

somma di due

integrali. b c b

a a c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx= +∫ ∫ ∫

(Vedi figura a fianco).

E’ anche possibile l’operazione contraria e unire

integrale la somma algebrica di due integrali.

QUINTA PROPRIETÀ Può accadere che una

funzione attraversi

l’asse x: in questo

caso possiamo

immaginare di

dividere l’integrale i

una somma di due

parti (vedi a fianco).

Il primo integrale (da a a c) ha risultato negativo, mentre il

secondo ha risultato positivo.


Per ottenere il risultato corretto è sufficiente porre un segno

e scambiare fra loro gli

unire in un solo

Può accadere che una

funzione attraversi

l’asse x: in questo

caso possiamo

immaginare di

dividere l’integrale in

una somma di due

parti (vedi a fianco).

) ha risultato negativo, mentre il


202

L’integrale da a a b fornisce un risultato errato: dà il totale

algebrico costituito dalla sottrazione fra il l’area pos

quella negativa.

In questo caso è necessario individuare il punto c

l’integrale in una somma di due integrali, e cambiare il segno a

quello con area negativa.

Cioè

c a

a c

S f (x)dx f (x)dx= − +∫ ∫

SESTA PROPRIETÀ Se si deve calcolare l’area di una regione di piano contenuta fra

due funzioni y = f(x) e

y = g(x) è sufficiente

scrivere

[b

a

S f (x) g(x) dx= −∫Infatti i rettangolini

continuano ad avere base

dx, mentre la loro altezza è

(4) [f(x) - g(x)].

Si noti che non ha alcuna importanza se l’asse x attraversa

la regione tratteggiata, infatti in ogni caso la (4) rappresenta

l’altezza del rettangolino e non occorre alcun cambio di segno.


fornisce un risultato errato: dà il totale

algebrico costituito dalla sottrazione fra il l’area positiva e

c, scomporre

l’integrale in una somma di due integrali, e cambiare il segno a

l’area di una regione di piano contenuta fra

due funzioni y = f(x) e

y = g(x) è sufficiente

]S f (x) g(x) dx= −

Infatti i rettangolini

continuano ad avere base

importanza se l’asse x attraversa

, infatti in ogni caso la (4) rappresenta

l’altezza del rettangolino e non occorre alcun cambio di segno.


203

Par. 4 - La funzione integrale

Si abbia, al solito, una

funzione

y = f(x)

continua nell’intervallo che

ci interessa.

Anche se non sappiamo

ancora calcolare un integrale,

possiamo però associare

simbolicamente ad una superficie il simbolo b

a

S f (x)dx= ∫

Nella figura a fianco consideriamo la superficie della regione

colorata: l’estremo superiore è variabile e perciò

l’area è variabile (in funzione di t). Possiamo scrivere quindi

(5)

t

a

F(t) f (x)dx= ∫

Abbiamo indicato l’estremo superiore con t invece che con x

per non fare confusione con la variabile indipendente x

Par. 5 - Teorema di Torricelli-Barrow

Consideriamo ora la solita

funzione continua

y = f(x) e due ascisse

arbitrarie

x = t e

x = t + h (come in figura).

Il trapezoide colorato ha una

superficie compresa fra


Si abbia, al solito, una

y = f(x)

nell’intervallo che

Anche se non sappiamo

ancora calcolare un integrale,

possiamo però associare

Nella figura a fianco consideriamo la superficie della regione

e perciò anche

(in funzione di t). Possiamo scrivere quindi

Abbiamo indicato l’estremo superiore con t invece che con x

per non fare confusione con la variabile indipendente x


204

l’area del rettangolo CFGD e quella del rettangolo CFHE. Cioè

CFGD CFHES S S≤ ≤

(Dove S è appunto l’area del trapezoide).

Questa disuguaglianza può anche essere scritta nel modo

seguente

h f (x) S h f (x h)⋅ ≤ ≤ ⋅ +

Ma è anche vero che S può essere ottenuta dalla sottrazione fra

l’area del trapezoide AFHB e l’area del trapezoide ACDB.

Quindi, usando il simbolo di funzione integrale, si ha

h f (x) F(x h) F(x) h f (x h)⋅ ≤ + − ≤ ⋅ +

Dividendo ora tutti i membri per h, si ottiene

F(x h) F(x)f (x) f (x h)

h

+ −≤ ≤ +

Infine, facciamo il limite per h che tende a zero:

• Il termine centrale della (6) è il rapporto incrementale della

funzione F(x), e quindi il limite corrisponde alla derivata

F’(x).

• Poiché la funzione è continua il limite di f(x + h) diviene

uguale a f(x).

E allora la (6) diventa

f (x) F'(x) f (x)≤ ≤

che implica necessariamente che sia

F'(x) f (x)=

Cioè la derivata della funzione integrale coincide con la

funzione integranda.

Questo risultato è molto importante.

La funzione integrale può essere scritta nel modo seguente

(6) 0

t

t

f (x)dx F(x)=∫


205

dove t0 è una ascissa arbitraria, mentre t è una ascissa variabile:

è allora inutile indicare gli estremi di integrazione, e si può

scrivere direttamente

f (x)dx F(x)=∫

Cioè la F(x) è quella particolare funzione che derivata

restituisce la f(x).

La F(x) prende il nome di funzione primitiva della f(x).

In questo caso l’integrale non corrisponde più ad un’area, ad un

numero, ma è una nuova funzione che si può ritenere ottenuta

da una operazione inversa alla derivazione.

Poiché derivando la F(x) si ottiene la f(x), la primitiva F(x) è

sempre definita a meno di una costante: in altre parole

aggiungendo una costante C, la derivata di F(x) + C è sempre

uguale a f(x).

Cioè

(7) f (x)dx F(x) C= +∫

Il teorema di Torricelli-Barrow ci ha permesso di definire

l’integrale indefinito e di riconoscere che esso rappresenta

l’operazione inversa della derivazione. Ci ha quindi messo in

grado, finalmente, di poter operare con gli integrali.


206

Par. 6 - Integrali immediati Applicando al contrario le regole di derivazione, possiamo

elaborare la seguente tabella di integrali immediati:

[ ]n 1

n

x x

Kf (x)dx K f (x)dx K F(x) C

f (x) g(g) dx f (x)dx g(x)dx F(x) G(x) C

xx dx C (con n 1)

n 1

e dx e C

1dx ln x C

x

cos xdx senx C

senxdx cos x C

+

= = ⋅ +

± = ± = ± +

= + ≠ −+

= +

= +

= +

= − +

∫ ∫∫ ∫ ∫

∫

∫

∫

∫∫

e, ricordando le regole di derivazione delle funzioni composte,

possiamo ricavare anche la seguente tabella di integrali ... quasi

immediati:


207

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

f (x) f (x)

2

2

2

2

f '(x)dx ln f (x) C

f (x)

f '(x) e dx e C

f '(x) cos f (x) dx sen f (x) C

f '(x) sen f (x) dx cos f (x) C

1dx tan x C

cos (x)

1dx cot anx C

sen (x)

1dx arcsenx C arccos x C

1 x

1dx arctan x C

1 x

= +

⋅ = +

⋅ = +

⋅ = − +

= +

= − +

= + = − +−

= ++

∫

∫∫∫

∫

∫

∫

∫

Par. 7 - Calcolo di un’area

Dalla (5) sappiamo che

(8)

t

a

f (x)dx F(t) C= +∫

Ora portiamo la variabile t a coincidere una volta con b ed una

volta con a: b

a

a

a

f (x)dx F(b) C

f (x)dx F(a) C

= +

= +

∫

∫

Da queste relazioni, sottraendo membro a membro, si ha


208

b a

a a

f (x)dx f (x)dx F(b) F(a)− = −∫ ∫

La costante C si elide e il secondo integrale a primo membro è

nullo. Si ha dunque

(9)

b

a

f (x)dx F(b) F(a)= −∫

Formula utilissima che ci permette di calcolare l’area di una

regione con contorno curvilineo.

ESEMPIO 57 Data la parabola

y = - x2 + 5x - 6

calcoliamo l’area del

segmento parabolico definito dall’asse x (cioè

della regione di parabola

compresa fra la parabola e

l’asse x.

Avremo, applicando la

(9), 3

2

2

33 2

2

S ( x 5x 6)dx

x 5x6x

3 2

45 8 1( 9 18) ( 10 12)

2 3 6

= − + − =

= − + − =

= − + − − − + − =

∫

N.B. Si noti che l’area del triangolo ABV è SABV = 1/8

area moltiplicata per 4/3 fornisce appunto


f (x)dx f (x)dx F(b) F(a)

La costante C si elide e il secondo integrale a primo membro è

Formula utilissima che ci permette di calcolare l’area di una

45 8 1

2 3 6

= 1/8 e tale


209

ABV

4 4 1 1S S

3 3 8 6= ⋅ = ⋅ =

Questo risultato è noto con il nome di teorema di Archimede

(e vale per ogni parabola).

Par. 8 - Integrazione per sostituzione

Si debba calcolare l’integrale x

dx3 2x−∫

Proviamo a introdurre una nuova variabile t ponendo

(10) t = 3 - 2x

Il metodo consiste nel sostituire la nuova variabile t al posto

della x tentando di ottenere un nuovo integrale di facile

soluzione. Spesso è possibile cambiare variabile in più modi e

non in uno solo: non c’è alcun criterio per stabilire se il metodo

è applicabile e quale sia la sostituzione più conveniente. Si

deve solo provare e ... affidarsi all’esperienza acquisita con gli

esercizi!

Nel nostro esempio dalla (10) si ottiene 3 t

x2

−= e

differenziando si ha inoltre dt = -2dx da cui si ricava

dtdx

2= − .

Sostituendo nel nostro integrale si ha

3 tx dt 1 t 3 1 32dx ( ) dt 1 dt

3 2x t 2 4 t 4 t

1 3 x 3 3 2xt 3ln t C ln C

4 4 2 4 2

−− = − = = − = −

−= − + = − − + =

∫ ∫ ∫ ∫


210

x 3ln 3 2x C

2 4= − − − +

(Dove nell’ultimo passaggio tutte le costanti sono state

inglobate nella costante C finale).

Par. 9 - Integrazione per parti

Data una funzione formata dal prodotto di altre due

(11) y = f(x) g(x)

differenziamola

dy = [f’(x) g(x) + f(x) g’(x)] dx

dy = f’(x) g(x) dx + f(x) g’(x) dx

isoliamo a primo membro uno dei due termini che si trovano

nel secondo membro

f’(x) g(x) dx = dy - f(x) g’(x) dx

ed integriamo ambo i membri

(12) f '(x)g(x)dx f (x)g(x) f (x)g'(x)dx C= − +∫ ∫

dove l’integrale di dy è y e quindi per la (11) è uguale a f(x)

g(x).

Questa formula permette talvolta di risolvere l’integrale se si

riesce a fare in modo che l’integrale a secondo membro sia di

facile soluzione.


211

ESEMPIO 58

Si voglia risolvere l’integrale xxe dx∫ (in cui possiamo

porre f(x) = ex e g(x) = x)

Le prime volte conviene elaborare un quadro con le

corrispondenze rispetto alla (11) x

x

f (x) e

f '(x) e

g(x) x

g '(x) 1

=

=

=

=

Applicando ora la (11) si ottiene x x x x x xy xe dx xe e dx C xe e C e (x 1) C= = − + = − + = − +∫ ∫

Par. 10 - Integrazione per scomposizione in frazioni

elementari

Se la funzione da integrare è costituita da una

algebrica razionale (per semplicità prenderemo in esame solo

i casi con denominatore di secondo grado), si può scomporre la

frazione in una somma algebrica di frazioni più semplici e di

facile integrazione.

Riduzione di una frazione:

In una generica divisione con resto possiamo distinguere il

quoziente e il resto come indicato sotto.

Se prendiamo in considerazione per esempio la frazione


(in cui possiamo

un quadro con le

x x x x x xy xe dx xe e dx C xe e C e (x 1) C= = − + = − + = − +

Integrazione per scomposizione in frazioni

una frazione

(per semplicità prenderemo in esame solo

i casi con denominatore di secondo grado), si può scomporre la

frazione in una somma algebrica di frazioni più semplici e di

ica divisione con resto possiamo distinguere il

Se prendiamo in considerazione per esempio la frazione


212

(13) 3 2

2

x 6x 8x 1

x 5x 6

− + −

− +

si può dividere il dividendo per il divisore e si ottiene come

quoziente q(x) = x - 1 e come resto r(x) = - 3x + 5

Perciò la (13) si può scrivere nella forma 3 2

2 2

x 6x 8x 1 5 3xx 1

x 5x 6 x 5x 6

− + − −= − +

− + − +

Dovendo integrare la (13) possiamo allora integrare facilmente

il polinomio q(x) = x - 1 e ridurre il problema alla integrazione

di una nuova frazione

(14) 2

5 3x

x 5x 6

−

− +

con il numeratore di grado inferiore al denominatore.

Possiamo quindi limitarci a considerare frazioni con

numeratore di grado minore del denominatore.

Una frazione di questo tipo può ancora essere scomposta

distinguendo tre casi a seconda che il denominatore abbia due

zeri reali e distinti (come nel nostro esempio: x=2 e x=3), due

zeri reali coincidenti o due zeri complessi coniugati.

1° CASO (due zeri reali e distinti) Ci proponiamo di scomporre la (14) in

(15) 2

5 3x A B

x 2 x 3x 5x 6

−= +

− −− +

con A e B costanti da determinare. Per determinarle

eliminiamo il denominatore:

5 3x A(x 3) B(x 2)− = − + −

5 3x x(A B) 3A 2B− = + − −


213

Applichiamo ora il “principio di identità dei polinomi”,

secondo il quale i polinomi nei due membri sono uguali se i

coefficienti corrispondenti sono uguali fra loro. Si ottiene

A B 3

3A 2B 5

+ = −

− − =

Risolvendo si ottiene A = 1 e B = -4. Sostituendo nella (15)

si ha

2

5 3x 1 4

x 2 x 3x 5x 6

−= −

− −− +

Integrare la (15) è ora abbastanza facile:

( )

2

4

5 3x 1 4dx dx dx ln x 2 4ln x 3 C

x 2 x 3x 5x 6

x 2ln C

x 3

−= − = − − − + =

− −− +−

= +−

∫ ∫ ∫

2° CASO (due zeri reali e coincidenti) Si abbia per esempio:

(16) 2

5 3x

x 4x 4

−

− +

Si può ancora applicare il principio di identità dei polinomi

ponendo

( )2 2

5 3x A B

x 2x 4x 4 x 2

−= +

−− + −

Sviluppando e risolvendo si ricavano A = - 3 e B = - 1. La

(16) si può allora scrivere:

( )2 2

5 3x 3 1

x 2x 4x 4 x 2

−= − −

−− + −


214

e l’integrale risulta

( )2 2

5 3x 3 1 1dx dx dx 3ln x 2 C

x 2 x 2x 4x 4 x 2

−= − − = − − + +

− −− + −∫ ∫ ∫

3° CASO (due zeri complessi coniugati)Si abbia ora, per esempio,

(17) 2

5 3x

x 4

−

+

In questo caso si deve tentare di risolvere l’integrale ricorrendo

all’ultimo integrale immediato del paragrafo 6 (quello dell’arco

tangente).

2 2 2 2 2

2

5 3x 5 3x 3 1 3 2xdx dx dx dx dx

4 2x 4 x 4 x 4 x 4x1

2

3 x 3arctan ln x 4 C

4 2 2

−= − = − =

+ + + + +

= − + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Par. 11 - Teorema della media

Data una funzione

y = f(x)

quindi integrabile)

nell’intervallo [a;b],

deve esistere almeno

un punto x = c

all’intervallo tale che


5 3x 3 1 1dx dx dx 3ln x 2 C

x 2 x 2= − − = − − + +

− −

zeri complessi coniugati)

In questo caso si deve tentare di risolvere l’integrale ricorrendo

all’ultimo integrale immediato del paragrafo 6 (quello dell’arco

2 2 2 2 2

5 3x 5 3x 3 1 3 2xdx dx dx dx dx

4 2x 4 x 4 x 4 x 41

= − = − =+ + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Data una funzione

continua (e

quindi integrabile)

nell’intervallo [a;b],

deve esistere almeno

x = c interno

all’intervallo tale che


215

(18)

b

a

f (x)dx f (c) (b a)= ⋅ −∫

Cioè l’area del trapezoide deve per forza corrispondere all’area

di un rettangolo cos base uguale a quella del trapezoide ed

altezza opportuna.

La (18) esprime appunto l’equivalenza fra la superficie del

trapezoide e quella del rettangolo.

Par. 12 - Volume di un solido di rotazione

Data al solito una

generica

y = f(x) continua in tutto

l’intervallo che ci

interessa, prendiamo in

esame la superficie che

si genera facendo ruotare

la funzione attorno

all’asse delle ascisse.

Suddividendo l’intervallo

[a;b] in intervallini,

prendiamo in considerazione uno di essi, di ampiezza dx.

Si ha un rettangolino con base dx ed altezza f(x) che, ruotando,

forma un dischetto cilindrico con raggio di base f(x) e

altezza dx.

Il volume di questo cilindro con spessore infinitesimo è 2 2

dV (raggio) altezza f (x)dx= π⋅ ⋅ = π

Sommando i volumi di tutti i cilindretti compresi fra a e b, si ha


216

(19)

b b

2 2

a a

V f (x)dx f (x)dx= π = π∫ ∫

Par. 13 - Integrali impropri

Può avvenire che

una regione di piano

pur estendendosi

fino all’infinito

abbia un’area finita.

Gli integrali di

questo tipo si

chiamano impropri.

Si risolvono

ricorrendo ad una

variabile ausiliaria t, nel calcolare la superficie in funzione di t,

ed infine facendo il limite per t che tende all’infinito o al valore

finito opportuno.

Possiamo distinguere due casi diversi:


217

1° CASO Consideriamo la retta x = t

( )

tt

2

2 2

1 1S(t) dx

x 1x 1

1 1 t 2

t 1 2 1 3t 3

= = − = + +

−= − + =

+ + +

∫

Con il limite si ha

t

t 2 1S lim

3t 3 3→∞

−= =

+

2° CASO La funzione è definita per x < 2

Consideriamo anche ora la retta x

= t t

t

00

dxS(t) 2 2 x

2 x

2 2 t 2 2

= = − − = −

= − − +

∫

Con il limite si ha

( )t 2lim 2 2 t 2 2 2 2→ − − + =


218

CAP. 9 - MATRICI

Par. 1 - Premesse sulle matrici

Una matrice Arc (o semplicemente A), è costituita elementi

(numerici o algebrici), disposti in una tabella su n righe ed m

colonne.

Per esempio:

(1)

11 12 13 1c

21 22 23 2c

rc 31 32 33 3c

r1 r2 r3 rc

a a a ... a

a a a ... a

A a a a ... a

... ... ... ... ...

a a a ... a

=

Se r c≠ la matrice si dice rettangolare, mentre se r = c la

matrice si dice quadrata.

Solo per le matrici quadrate Ann (con n righe ed n colonne) è

possibile associare alla matrice stessa un risultato numerico

detto determinante della matrice (ed indicato con il simbolo

det Ann).

Si chiama minore di ordine k, una qualsiasi matrice

quadrata formata prendendo in modo arbitrario k righe e k

colonne della (1).

Per esempio, uno dei minori di ordine 2 della (1) può essere

formato prendendo le righe 2 e 3, e le colonne 1 e 3, è

21 23

22

31 33

a aA

a a=

La trasposta di una matrice A è la nuova matrice AT

ottenuta

da A scambiando le righe con le colonne.

Per esempio, la trasposta di


219

3 2 0 1A

4 0 1 2

−= è

T

3 4

2 0A

0 1

1 2

−=

Par. 2 - Determinante di una matrice quadrata

Data una matrice quadrata di ordine n (cioè con n righe ed n

colonne)

Chiameremo diagonale principale e diagonale secondaria

elementi indicati nella figura.

Il minore complementare di un elemento ajk della matrice è

indicato con Ajk e corrisponde alla matrice che si ottiene

sopprimendo in A la riga j e la colonna k.

Per esempio, data la matrice

2 3 1

A 0 1 2

4 1 2

= −

il minore complementare dell’elemento a31 = 4 si ottiene

cancellando la terza riga e la prima colonna


3 4

2 0

0 1

1 2

(cioè con n righe ed n

diagonale secondaria gli

della matrice è

e corrisponde alla matrice che si ottiene

= 4 si ottiene


220

31

3 1A

1 2=

−

Si chiama invece complemento algebrico dell’elemento ajk ed

è indicato con '

' jkA , il minore complementare moltiplicato per

(-1)j+k

( ) j k'

jk jkA 1 A

+= −

il fattore (-1)j+k

rappresenta un utile artificio per sistemare il

segno di '

' jkA perché a seconda che j+k sia pari o dispari, il

fattore è uguale ad 1 o –1. In altre parole il fattore serve solo

per fare in modo che Ajk sia positivo o negativo.

Per esempio, il complemento algebrico dell’elemento a31 è

( ) ( )3 1 3 1'

31 31

3 1 3 1A 1 A 1

1 2 1 2

+ += − = − =

− −

perché 3+1 è pari.

Come si fa a calcolare il determinante, cioè il valore da

associare ad una matrice quadrata Ann?

Se la matrice è del secondo ordine basta fare il prodotto degli

elementi della diagonale principale meno il prodotto degli

elementi della diagonale secondaria.

Per esempio:

3 1A 3 2 ( 1) 1 6 1 7

1 2= = ⋅ − − ⋅ = + =

−

Se invece la matrice è del terzo ordine, si può applicare la

regola di Sarrus, che consiste nel ripetere le prime due

colonne della matrice e formare tre diagonali parallele a quella

principale, e tre diagonali parallele a quella secondaria (vedi

figura), e nel calcolare il prodotto degli elementi di ciascuna

diagonale.


221

Il determinante è costituito dalla somma dei pro

prime tre diagonali, meno i prodotti delle ultime tre diagonali.

Per esempio:

La regola di Sarrus si può applicare però solo alle matrici

quadrate del terzo ordine.

Per risolvere le matrici di ordine superiore al terzo, indicando

con h una generica riga o colonna, si deve applicare la regola

seguente

(2)

( )

( )

nh c '

hc hc

c 1

nr h '

rh rh

r 1

det A 1 a A

oppure det A 1 a A

+

=

+

=

= − ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅

∑

∑Per esempio, data la matrice

2 3 1

A 0 1 2

4 1 2

= −

prendiamo in considerazione gli elementi della prima colonna.

Si ha (applicando la seconda formula con h = 1)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 1 3 1

det A

1 2 3 1 3 11 2 1 0 1 4

1 2 1 2 1 2

1 2 3 12 0 4 2 2 2 4 6 1 20

1 2 1 2

+ + +

=

−= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

−= ⋅ − + ⋅ = ⋅ − − + + =

−


Il determinante è costituito dalla somma dei prodotti delle

prime tre diagonali, meno i prodotti delle ultime tre diagonali.

La regola di Sarrus si può applicare però solo alle matrici

Per risolvere le matrici di ordine superiore al terzo, indicando

una generica riga o colonna, si deve applicare la regola

det A 1 a A

prendiamo in considerazione gli elementi della prima colonna.

1 2 3 1 3 11 2 1 0 1 4

1 2 1 2 1 2

2 0 4 2 2 2 4 6 1 20

= − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =−

= ⋅ − + ⋅ = ⋅ − − + + =


222

Stesso risultato prima ottenuto (e più facilmente) con la regola

di Sarrus, che però non è applicabile a matrici quadrate di

ordine maggiore del terzo.

Per matrici del quarto ordine (o maggiore), la (2) può essere

riapplicata ottenendo ogni volta espressioni con matrici con un

ordine minore.

Conviene applicare la (2) scegliendo una riga o colonna in cui

siano presenti uno o più elementi nulli (come abbiamo fatto

nell’esempio), perché in questo modo il calcolo si semplifica.

Vedi comunque l’esempio alla fine del paragrafo successivo.

Par. 3 - Proprietà delle matrici quadrate

Data una matrice quadrata A di ordine n:

• Il determinante di A non cambia scambiando le righe

con le colonne (det A = det AT).

• Scambiando fra loro due righe (o due colonne) il

determinante cambia di segno.

• Se due righe o due colonne sono uguali, il determinante

è nullo (infatti deve cambiare segno per la proprietà

precedente, ma nello stesso tempo rimane invariato

perché le due linee sono uguali, quindi non può che

essere nullo).

• Moltiplicando gli elementi di una linea (riga o colonna)

per i corrispondenti complementi algebrici di un’altra

linea parallela, e sommando i prodotti così ottenuti, il

risultato è sempre uguale a zero (primo teorema di

Laplace).

• Moltiplicando gli elementi di una linea (riga o colonna)

per i corrispondenti complementi algebrici della stessa

linea, e sommando i prodotti così ottenuti, il risultato è

uguale al det A (secondo teorema di Laplace). Questa

proprietà corrisponde alla formula (2).


223

• Moltiplicando tutti gli elementi di una riga o di una

colonna per una costante K, anche il determinante di A

risulta moltiplicato per K.

• Scomponendo gli elementi di una riga o colonna in una

somma algebrica, la matrice può essere suddivisa nella

somma di due matrici

3 2 5 1 2 7 5 4 1

1 0 3 1 0 3

4 1 2 4 1 2

1 7 4 2 5 1

1 0 3 1 0 3

4 1 2 4 1 2

+ − +

= =

− −

−

= +

− −

• Una matrice con due righe o colonne costituite da

elementi rispettivamente proporzionali, è nulla. Infatti,

per esempio,

3 2 5 3 2 5 3 2 5

6 4 10 2 3 2 2 2 5 2 3 2 5 0

4 1 2 4 1 2 4 1 2

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

− − −

• Se agli elementi di una linea (riga o colonna) si

aggiungono gli elementi di un’altra linea parallela

moltiplicati per una costante K, il valore del

determinante non cambia.

• Aggiungendo ad una linea (riga o colonna) una

combinazione lineare di altre linee, il determinante

non cambia.

• Se invece una linea (riga o colonna) coincide con una

combinazione lineare di altre linee, il determinante è

nullo.


224

• Il prodotto di due matrici quadrate dello stesso ordine è

una nuova matrice (dello stesso ordine), i cui elementi

sono i prodotti dei corrispondenti elementi.

• Il determinante di A non cambia se aggiungiamo ad una

riga o colonna gli elementi di un’altra linea parallela

moltiplicati (o divisi) per una costante. Per esempio,

data la matrice

3 2 5

A 1 0 3

4 1 2

=

−

sommiamo alla seconda colonna gli elementi della prima

moltiplicati per K. Si ha

3 2 3K 5 3 2 5 3 3K 5

1 0 K 3 1 0 3 1 K 3

4 1 4K 2 4 1 2 4 4K 2

3 2 5 3 3 5

1 0 3 K 1 1 3 A 0 A

4 1 2 4 4 2

+

+ = + =

− + −

= + ⋅ = + =

−

Quest’ultima proprietà è molto utile per facilitare il calcolo di

matrici quadrate di grandi dimensioni.

Infatti possiamo modificare la matrice trasformandola in

un’altra equivalente con diversi zeri in una riga o colonna, in

modo che l’applicazione della formula (2) porti a calcoli più

semplici.


225

ESEMPIO 59 23

25

1 2 4

3 0 5 15A

3 3 4

1 1 2 3

−

=− −

−

moltiplichiamo gli elementi della prima riga per 3 e quelli della

prima colonna per 5.

La matrice risulta moltiplicata per 15, e quindi si ha

15 6 2 12

15 0 5 1515 A

2 3 3 4

5 1 2 3

−

⋅ =− −

−

Ora sostituiamo agli elementi della prima colonna il risultato

della sottrazione fra la prima colonna e l’ultima. Si ottiene

3 6 2 12

0 0 5 151A

6 3 3 415

2 1 2 3

−

= ⋅− −

−

Ora sostituiamo all’ultima colonna la quarta colonna meno la

terza moltiplicata per 3

3 6 2 6

0 0 5 01A

6 3 3 1315

2 1 2 3

−

= ⋅− −

− −

Nella seconda riga abbiamo ottenuto tutti gli elementi nulli

tranne uno.

Applicando la (2) agli elementi di questa riga si ha


226

( )

[ ]

2 3

3 6 61

A 1 5 6 3 1315

2 1 3

1 365 27 36 156 36 108 39 12

15 3

+

−

= ⋅ − ⋅ ⋅ − =

− −

= − ⋅ ⋅ − + − − + + = =

Par. 4 - Operazioni fra matrici

• Somma algebrica fra matrici (quadrate o rettangolari)

11 12 11 12 11 11 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22

a a b b a b a b

a a b b a b a b

± ±± =

± ±

• Prodotto (o divisione) di una matrice (quadrata o

rettangolare) per una costante

11 12 11 12

21 22 21 22

a a ka kak

a a ka ka⋅ =

Date due matrici (quadrate o rettangolari) A e B, tali che

numero delle colonne della prima corrisponda al numero

delle righe dell’altra, il prodotto righe per colonne si esegue

disponendo le due matrici come in figura

poi si deve costruire una nuova matrice sostituendo ad ogni

incrocio (evidenziato con un punto nero) i prodotti degli

elementi corrispondenti sommati fra loro.


1 365 27 36 156 36 108 39 12

15 3= − ⋅ ⋅ − + − − + + = =

Somma algebrica fra matrici (quadrate o rettangolari)

11 12 11 12 11 11 12 12

21 22 21 22 21 21 22 22

a a b b a b a b

a a b b a b a b

± ±

± ±

Prodotto (o divisione) di una matrice (quadrata o

Date due matrici (quadrate o rettangolari) A e B, tali che il

numero delle colonne della prima corrisponda al numero

, il prodotto righe per colonne si esegue

poi si deve costruire una nuova matrice sostituendo ad ogni

nero) i prodotti degli


227

Non occorre che il numero delle righe della prima corrisponda

al numero delle colonne della seconda.

Se ciò avviene (come nell’esempio precedente), il risultato del

prodotto è una matrice quadrata, altrimenti sarà una matrice

rettangolare.

Questo prodotto non gode della proprietà commutativa, in

quanto scambiando fra loro le due matrici iniziali il risultato

generalmente cambia (o addirittura non è possibile).

Una applicazione interessante di questo prodotto si ha nel

procedimento per calcolare la matrice inversa di una matrice

quadrata A.

Se det A 0≠ , si chiama matrice inversa di A (e si indica con

A-1

) quella per cui

1 1

1 0 ... 0

0 1 ... 0A A A A I

... ... ... ...

0 0 ... 1

− −⋅ = ⋅ = =

(dove il prodotto si intende righe per colonne).

La matrice I si chiama matrice unitaria (è una matrice

quadrata formata da tutti zeri, meno gli elementi della

diagonale principale che sono tutti uguali ad 1). Il suo

determinante è sempre uguale ad 1.

Per ottenere la matrice inversa di A occorre prima calcolare la

matrice aggiunta (che si indica con Aagg

) e che corrisponde

alla matrice trasposta di quella che si ottiene sostituendo ad

ogni elemento il corrispondente complemento algebrico.

Poi ogni elemento di Aagg

va diviso per il det A, e si ottiene la

matrice inversa A-1

.

Per esempio:


228

E’ facile constatare che

Quindi la matrice inversa si trova applicando la formula

(3)

agg1 A

Adet A

− =

Par. 5 - La regola di Cramer

Sia dato il sistema lineare con n equazioni ed n incognite

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n 2 2 nn n n

a x a x ... a x b

a x a x ... a x b

... ... ... .......... ... ...

a x a x ... a x b

+ + + = + + + =

+ + + + = + + + =

ed indichiamo con A (con determinante non nullo), la matrice

formata dai coefficienti delle incognite


Quindi la matrice inversa si trova applicando la formula

incognite

...

ed indichiamo con A (con determinante non nullo), la matrice


229

11 12 1n

21 22 2n

n1 n 2 nn

a a ... a

a a ... aA

... ... ... ...

a a ... a

=

e le matrici AK (con K che va da 1 ad n)

1 12 1n 11 1 1n

2 22 2n 21 2 2n

1 2

n n2 nn n1 n nn

11 12 1

21 22 2

n

n1 n2 n

b a ... a a b ... a

b a ... a a b ... aA A ........

... ... ... ... ... ... ... ...

b a ... a a b ... a

a a ... b

a a ... b........ A

... ... ... ...

a a ... b

= =

=

che si ottengono sostituendo di volta in volta, i termini noti

alla K-esima colonna.

ESEMPIO 60

Dato il sistema

x y z 2

4x 5y 2z 3

2x 3y 4z 5

+ + =

− + = + + =

Si ha

1 1 1

A 4 5 2 20 12 4 10 16 6 16 0

2 3 4

= − = − + + + − − = − ≠


230

x

y

z

2 1 1

A 3 5 2 40 9 10 25 12 12 20

5 3 4

1 2 1

A 4 3 2 12 20 8 6 10 32 8

2 5 4

1 1 2

A 4 5 3 25 24 6 20 9 20 4

2 3 5

= − = − + + + − − = −

= = + + − − − = −

= − = − + + + − − = −

e quindi le soluzioni sono

x

y

z

det A 20 5x

det A 16 4

det A 8 1y

det A 16 2

det A 4 1z

det A 16 4

−= = = −

−= = =

− −

= = = −

Par. 6 - Il teorema di Rouché-Capelli

Occorre premettere la definizione di caratteristica (o rango)

di una matrice (rettangolare o quadrata).

Data una matrice, si devono prendere in considerazione tutti i

minori di grado più alto possibile (per esempio di grado K), e

se ne deve calcolare il determinante.

Se almeno uno di essi è diverso da zero, allora K è la

caratteristica della matrice.

Se invece sono tutti nulli, si devono prendere in considerazione

tutti i minori di ordine K-1, e se ne deve calcolare il

determinante.


231

Se almeno uno di essi è diverso da zero, allora K-1 è la

caratteristica della matrice.

Se sono tutti nulli, si prendono in considerazione tutti i minori

di ordine K-2, e così via fino a quando non si trova un minore

non nullo.

L’ordine massimo dei minori non nulli, è la caratteristica della

matrice.

Per esempio, la matrice

2 3 1 0

0 2 1 1

4 6 2 0

−

ha tutti i minori del 3° ordine nulli, e quindi la caratteristica

non è 3.

Ma il minore del secondo ordine 2 3

4 00 2

= ≠ e dunque,

tralasciando gli altri minori, possiamo affermare che la

caratteristica della matrice è 2.

Se anche tutti i minori del secondo ordine fossero stati nulli,

allora la caratteristica della matrice sarebbe stata uguale ad 1.

Ora possiamo enunciare il teorema di Rouché-Capelli:

Chiamiamo matrice incompleta del sistema, quella formata

con i coefficienti delle incognite. E matrice completa quella

formata dalla matrice precedente cui è stata aggiunta la colonna

dei termini noti.

Ebbene, il sistema ammette soluzioni se e solo se queste due

matrici hanno la stessa caratteristica.

Chiamiamo minore fondamentale (di ordine n) del sistema

uno qualsiasi (a nostro arbitrio) dei minori (non nulli), che

permettono di determinare la caratteristica.


232

Se necessario scambiamo l’ordine delle equazioni e delle

incognite, in modo che quelle i cui coefficienti appartengono al

minore fondamentale, risultino per prime in alto a sinistra.

Indicando con r il numero di equazioni del sistema e con c il

numero delle incognite, si possono presentare i seguenti casi:

• r = c = n

In questo caso non ci sono incognite né equazioni in eccesso: ci

troviamo nella situazione prevista dalla regola di Cramer, il

sistema ha soluzione e questa è calcolabile con la regola stessa.

• n < c

In questo caso trasportiamo nel secondo membro i termini con

le incognite in eccesso, e consideriamole come parte dei

termini noti.

Ovviamente le soluzioni conterranno queste incognite

eccedenti, che saranno considerate come parametri.

ammette infinite soluzioni.

• n < r

Le equazioni in eccesso possono essere ignorate perché sono

formate da una combinazione lineare delle equazioni

precedenti.

Le soluzioni trovate utilizzando soltanto le prime n equazioni

soddisferanno anche quelle eccedenti.


ambiamo l’ordine delle equazioni e delle

incognite, in modo che quelle i cui coefficienti appartengono al

minore fondamentale, risultino per prime in alto a sinistra.

Indicando con r il numero di equazioni del sistema e con c il

i possono presentare i seguenti casi:

In questo caso non ci sono incognite né equazioni in eccesso: ci

troviamo nella situazione prevista dalla regola di Cramer, il

sistema ha soluzione e questa è calcolabile con la regola stessa.

caso trasportiamo nel secondo membro i termini con

le incognite in eccesso, e consideriamole come parte dei

Ovviamente le soluzioni conterranno queste incognite

eccedenti, che saranno considerate come parametri. Il sistema

Le equazioni in eccesso possono essere ignorate perché sono

formate da una combinazione lineare delle equazioni

Le soluzioni trovate utilizzando soltanto le prime n equazioni


233

Par. 7 - I sistemi omogenei

Sono quei sistemi lineari i cui termini noti sono tutti nulli.

Consideriamo un sistema omogeneo di r equazioni e c

incognite

11 1 12 2 1c c

21 1 22 2 2c c

r1 1 r2 2 rc c

a x a x ... a x 0

a x a x ... a x 0

... ... ... .......... ... ...

a x a x ... a x 0

+ + + = + + + =

+ + + + = + + + =

Il sistema ammette sempre la soluzione (x1 = 0, x2 = 0, … , xc =

0) costituita da tutti zeri e denominata soluzione banale (in

quanto senza alcun interesse).

Se la matrice dei coefficienti è quadrata, ed ha una

caratteristica uguale al numero delle equazioni, esiste solo la

soluzione banale.

In caso contrario il sistema ammette delle soluzioni non banali,

dette autosoluzioni.

Data una autosoluzione

x1 = a, x2 = b, … , xc = n

il sistema ammette anche la soluzione

x1 = ka, x2 = kb, … , xc = kn

costituita dalla precedente moltiplicata per una costante k

arbitraria.


234

ESEMPIO 61 Dato il sistema

x y z 0

2x y 3z 0

+ + =

+ − =

La caratteristica della matrice dei coefficienti è uguale a 2 in

quanto 1 1

02 1

≠ .

Portando l’incognita z nel secondo membro e considerandola

come un termine noto, si ha

x y z

2x y 3z

+ = −

+ =

A questo sistema (che non è più omogeneo) posso applicare la

regola di Cramer trovando x 4z

y 5z

=

= −.

Infine, ponendo z = k, abbiamo le autosoluzioni (infinite)

x 4k

y 5k

z k

=

= − =

ESEMPIO 62 Dato il sistema

La matrice dei coefficienti è nulla. Ma il minore del secondo

ordine evidenziato nella figura (minore fondamentale) è


235

diverso da zero, e quindi la caratteristica della matrice dei

coefficienti è uguale a 2.

Allora ignoriamo la terza equazione e, come nell’esempio

precedente, portiamo la z nel secondo membro considerandola

come termine noto.

x 2y z

2x y z

+ = −

+ = −

Applicando la regola di Cramer si trova

zx

3

zy

3

= − = −

Infine, ponendo z = k, abbiamo le autosoluzioni (infinite)

kx

3

ky

3

z k

= −

= −

=

Queste soluzioni soddisfano anche la terza equazione

tralasciata nel sistema iniziale.

ESEMPIO 63 Il sistema omogeneo

x y z 0

2x y 3z 0

x 2y 3z 0

+ + =

+ − = − + =

ammette invece soltanto la soluzione banale


236

=

=

=

0

0

0

z

y

x

perché la caratteristica della matrice dei coefficienti è uguale a

3, cioè è quadrata ed è uguale al numero delle equazioni.


237

CAP. 10 - CALCOLO VETTORIALE

Par. 1 - Elementi di calcolo vettoriale

Molte grandezze fisiche sono completamente descritte dal

valore numerico della loro grandezza (per esempio il tempo, la

temperatura, il volume, ecc ).

Ma altre grandezze fisiche (per esempio la forza, la velocità,

l’accelerazione, lo spostamento, ecc), hanno bisogno anche

della conoscenza della direzione verso la quale sono rivolte.

Le prime si chiamano grandezze scalari, le seconde vengono

invece dette grandezze vettoriali.

Queste ultime vengono rappresentate con una freccetta detta

vettore.

Un vettore è caratterizzato da:

• La lunghezza della freccia (detta anche intensità o

modulo).

• Una direzione, costituita dalla retta che attraversa il

vettore (che si chiama anche retta di applicazione).

• Un verso, fissato dalla punta della freccia.

Il punto iniziale della freccia si chiama punto di applicazione

del vettore.

Spostando un vettore parallelamente a se stesso con una

traslazione si ha un vettore equipollente (o equivalente) a

quello iniziale.

Tipograficamente il vettore viene indicato con una lettera sulla

quale si trova una piccola freccetta, oppure più semplicemente

con una lettera scritta in grassetto.

Un vettore può essere espresso (con molti vantaggi) utilizzando

i versori.

Un versore è un vettore di lunghezza unitaria avente una

direzione prestabilita.


238

Nei casi in cui esso è parallelo all'asse x lo indicheremo con il

simbolo i, quando è parallelo all'asse y lo indicheremo con

infine quando è parallelo all'asse z (nello spazio a 3

dimensioni), lo indicheremo con k.

Il versore serve in definitiva a rendere vettoriale una grandezza

scalare senza alterarne il valore, perché moltiplicando uno

scalare per il versore,

si ottiene un vettore

diretto come il

versore e con

lunghezza pari al

valore scalare.

Se il valore scalare è

negativo il vettore

cambia anche il

verso.

Questo criterio

permette di esprimere un vettore in modo molto sint

espressivo.

Per esempio, il vettore

v 3i 2 j k= − +� � ��

è formato dalla somma (vettoriale) di tre vettori:

• 3 i è un vettore con lunghezza tre e diretto come l'asse

x.

• -2 j è un vettore con lunghezza due e diretto come l'asse

y (ma con verso opposto).

• k è un vettore con lunghezza unitaria e diretto come

l'asse z.

Componendo con la regola del parallelogramma prima due

vettori (a caso) e poi ancora con la regola del parallelog


Nei casi in cui esso è parallelo all'asse x lo indicheremo con il

do è parallelo all'asse y lo indicheremo con j, ed

infine quando è parallelo all'asse z (nello spazio a 3

Il versore serve in definitiva a rendere vettoriale una grandezza

licando uno

scalare per il versore,

si ottiene un vettore

diretto come il

versore e con

lunghezza pari al

valore scalare.

Se il valore scalare è

negativo il vettore

cambia anche il

Questo criterio

permette di esprimere un vettore in modo molto sintetico ed

è un vettore con lunghezza tre e diretto come l'asse

è un vettore con lunghezza due e diretto come l'asse

è un vettore con lunghezza unitaria e diretto come

Componendo con la regola del parallelogramma prima due

vettori (a caso) e poi ancora con la regola del parallelogramma


239

il risultato ottenuto con il terzo ed ultimo vettore, si ottiene

appunto il vettore v.

Somma algebrica fra vettori La somma fra due vettori si esegue

applicando i due vettori in uno

stesso punto, e costruendo un

parallelogramma.

La diagonale del parallelogramma

(vedi figura a fianco) fornisce il

vettore f risultante.

Al contrario un vettore può essere

scomposto in due componenti

f2 applicando al contrario la regola

del parallelogramma.

Chiaramente questa operazione si può fare in infiniti modi

differenti. Essa diventa unica solo se vengono assegnate le

direzioni che devono avere le componenti.

Per sommare tre (o più) vettori fra loro, si può applicare più

volte successivamente la regola del parallelogramma: prima

trovo la risultante fra due vettori e poi trovo la risultante fra

questa e il terzo vettore.

Qualunque sia l'ordine con cui si prendono i vettori, il vettore

finale sarà sempre lo stesso.


il risultato ottenuto con il terzo ed ultimo vettore, si ottiene

La somma fra due vettori si esegue

applicando i due vettori in uno

stesso punto, e costruendo un

La diagonale del parallelogramma

(vedi figura a fianco) fornisce il

Al contrario un vettore può essere

scomposto in due componenti f1 e

applicando al contrario la regola

re in infiniti modi

differenti. Essa diventa unica solo se vengono assegnate le

Per sommare tre (o più) vettori fra loro, si può applicare più

volte successivamente la regola del parallelogramma: prima

ultante fra due vettori e poi trovo la risultante fra

Qualunque sia l'ordine con cui si prendono i vettori, il vettore


240

Questo metodo però risulta un po’ laborioso.

Si preferisce ricavare il risultante disponendo i tre vettori in fila

(anche qui non importa l'ordine con cui si prendono), in modo

che l’inizio di ogni vettore coincida con la punta del

precedente.

Il vettore f che unisce l'inizio del primo con la punta dell'ultimo

è il vettore risultante.

Questo metodo grafico prende il nome di metodo del poligono

funicolare.

Per sottrarre fra loro due vettori basta sommare il primo vettore

per l’opposto del secondo:

a – b = a + (-b)

Come si possono sommare due vettori sfruttando la loro

rappresentazione con i versori?

Siano dati due vettori

x y

x y

a a i a j

b b i b j

= +

= +

� ��

� � �

la somma algebrica (attenzione a non confondere la somma

scalare con quella vettoriale!) è

c a b= ±��

Sostituendo si ottiene

(1)

x y x y x x y yc a b (a i a j) (b i b j) (a b )i (a b ) j= ± = + ± + = ± + ±� � � � � � ��


241

ESEMPIO 64 Passando dalle lettere ad un esempio

numerico, si ha

a 4i 2 j

b i 3 j

= +

= −

� ��

� � �

La somma vettoriale è

c a b (4 1) i (2 3) j 5i j= + = + + − = −� � � � ��

come si può verificare nella figura a fianco, tale risultato

corrisponde proprio alla diagonale del parallelogramma

formato dai due vettori a e b.

Norma di un vettore Dato un vettore

x y zv v i v j v k= + +� � ��

La lunghezza del vettore (detta

anche norma, ed indicata con il

simbolo v�

) si trova applicando il

teorema di Pitagora (prima nel

piano orizzontale fra vx e vy, e poi

nel piano verticale fra il risultato

precedente e vz).

Si ottiene

(2) 2 2 2

x y zv v v v= + +�

o anche 2 2 2 2

x y zv v v v= + +�


c a b (4 1)i (2 3) j 5i j� � � � �

come si può verificare nella figura a fianco, tale risultato

corrisponde proprio alla diagonale del parallelogramma


242

Prodotto di un vettore per uno scalare Moltiplicando uno scalare per un vettore si ottiene come

risultato un nuovo vettore parallelo a quello dato, la cui

lunghezza risulta moltiplicata per lo scalare.

Così il vettore 3a è un vettore parallelo e concorde ad

con lunghezza pari a tre volte quella di a.

Il vettore –a è un vettore parallelo e concorde ad

verso opposto.

Par. 2 - Prodotto scalare fra due vettori

Dati due vettori a e b il loro prodotto scalare è un numero c

(quindi uno scalare e non un vettore) corrispondente al

prodotto della lunghezza di a per la proiezione di

direzione di a, oppure (vedremo che è la stessa cosa) al

prodotto della lunghezza di b per la proiezione di

direzione di b.

Il prodotto scalare si indica con un puntino.

Osservando la figura alla pagina seguente si ricava allora che

(proiettando a lungo b come nella costruzione a sinistra)

c a b a ' b acos b a b cos= • = ⋅ = α⋅ = ⋅ ⋅ α��

Mentre, proiettando b lungo a come nella costruzione a destra,

si ha

c a b a b' a b cos= • = ⋅ = ⋅ ⋅ α��

Come si vede, in entrambi i casi si ha lo stesso risultato. Quindi

il prodotto scalare

della proprietà

commutativa

Quindi per calcolare il

prodotto scalare vale la

formula


Moltiplicando uno scalare per un vettore si ottiene come

risultato un nuovo vettore parallelo a quello dato, la cui

è un vettore parallelo e concorde ad a, ma

è un vettore parallelo e concorde ad a, ma con

il loro prodotto scalare è un numero c

(quindi uno scalare e non un vettore) corrispondente al

per la proiezione di b lungo la

, oppure (vedremo che è la stessa cosa) al

per la proiezione di a lungo la

si ricava allora che

come nella costruzione a sinistra)

c a b a ' b acos b a b cos= • = ⋅ = α⋅ = ⋅ ⋅ α

come nella costruzione a destra,

Come si vede, in entrambi i casi si ha lo stesso risultato. Quindi

il prodotto scalare gode

della proprietà

commutativa.

Quindi per calcolare il

prodotto scalare vale la


243

(3) c a b b a a b cos= • = • = ⋅ ⋅ α� � ��

Se la (3) fornisce un risultato positivo, allora l’angolo fra i due

vettori è acuto. Se invece il risultato è negativo, l’angolo è

ottuso.

Se infine il risultato è nullo, i due vettori sono perpendicolari

fra loro.

Quindi il prodotto scalare può essere nullo anche quando

entrambi i vettori non sono nulli, ma sono perpendicolari fra

loro.

Infatti in questo caso la proiezione di un vettore lungo la

direzione dell'altro è nulla.

Vediamo ora come si calcola il prodotto scalare per mezzo dei

versori.

Dati due vettori

x y

x y

a a i a j

b b i b j

= +

= +

� ��

� � �

Il loro prodotto scalare è

x y x yc a b (a i a j) (b i b j)= • = + • +� � � � ��

ed applicando la proprietà distributiva

x x x y y x y yc a b i i a b i j a b j i a b j j= • + • + • + •� � � � � � � �

Ebbene, moltiplicando scalarmene fra loro i versori, si ha

i i 1

i j j i 0

j j 1

• =

• = • = • =

��

� � � �

� �

e quindi il prodotto scalare fra i vettori a e b, è semplicemente

(4) x x y yc a b a b a b= • = +��


244

Se invece i vettori si trovano nello spazio a tre dimensioni

ha

x y z

x y z

a a i a j a k

b b i b j b k

= + +

= + +

� � ��

� � � �

e il prodotto scalare (con una ovvia generalizzazione) diviene

(5) x x y y z zc a b a b a b a b= • = + +��

Ricordando la (2) si può scrivere la norma di un vettore anche

sotto la forma

(6) x x y y z zv v v v v v v v v= + + = •� � �

Par. 3 - Prodotto vettoriale fra due vettori

Dati due vettori a e b il loro prodotto vettoriale è un vettore

(quindi un vettore e non uno scalare),

avente le seguenti caratteristiche:

• La lunghezza di c corrisponde

all'area del parallelogramma

formato da a e b

(ombreggiato nella figura).

• La direzione di c corrisponde

a quella di una retta

perpendicolare al piano su

cui si trovano a e b (quindi la

sua direzione è

perpendicolare al foglio).

• Il verso di c è tale che tale

vettore "personificato" deve

vedere il primo vettore a ruotare in verso antiorario per

sovrapporsi a b, lungo la via più breve (vedi figura).


nello spazio a tre dimensioni, si

e il prodotto scalare (con una ovvia generalizzazione) diviene

Ricordando la (2) si può scrivere la norma di un vettore anche

v v v v v v v v v= + + = •� � �

il loro prodotto vettoriale è un vettore c

ruotare in verso antiorario per

, lungo la via più breve (vedi figura).


245

Il prodotto vettoriale si indica con una crocetta analoga al

segno di moltiplicazione.

Abbiamo detto che la lunghezza del vettore c corrisponde

all'area del parallelogramma.

Considerando come base del parallelogramma il lato a, la sua

altezza è h. Poiché nel triangolo rettangolo della figura qui a

fianco risulta h

sinb

α = l'area del parallelogramma è

c base per altezza a h a b sin= = ⋅ = ⋅ ⋅ α

Anche il prodotto vettoriale ha una proprietà importante: esso è

nullo quando almeno uno dei due vettori a e b è nullo, ma è

nullo anche quando pur essendo entrambi i vettori non nulli,

essi sono paralleli fra loro.

Infatti in questo caso il parallelogramma si schiaccia fino ad

assumere una superficie nulla.

Si noti anche che, a differenza del prodotto scalare, quello

vettoriale non gode della proprietà commutativa. Infatti

scambiando fra loro i due vettori a e b, il vettore c cambia

verso.

In altre parole

a b c mentre b a -c× = × =� ��

Come si calcola il prodotto vettoriale utilizzando i versori?

Poiché il vettore c è perpendicolare ad a e b, è necessario

prendere in considerazione un riferimento cartesiano in tre

dimensioni anziché due.

Quindi i due vettori moltiplicati vettorialmente fra loro saranno

espressi con tre versori invece di due (i j e k dove l'ultimo

versore è parallelo all'asse z).

Dati dunque


246

x y z

x y z

a a i a j a k

b b i b j b k

= + +

= + +

� � ��

� � � �

si ha

x y z x y zc a b (a i a j a k) (b i b j b k)= × = + + × + +� � � � � � ��

Applicando la proprietà distributiva si ha

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

c a b i i a b i j a b i k

a b j i a b j j a b j k

a b k i a b k j a b k k

= × + × + × +

+ × + × + × +

+ × + × + ×

� ��

� � � � ��

� � � � ��

Ora, ricordando che i versori sono sempre perpendicolari fra

loro, e applicando la regola che permette di stabilire il verso e

quindi il segno del prodotto vettoriale, moltiplicando

vettorialmente i versori fra loro, si ha

i j k e quindi j i k

j k i e quindi k j i

k i j e quindi i k j

× = × = −

× = × = − × = × = −

� � � � � �

� � � � � �

� � � � � �

mentre

i i j j k k 0× = × = × =� � � � � �

perché i versori sono paralleli fra loro.

Sostituendo nel prodotto vettoriale fra i vettori a e b, si ottiene

(7) x y x z y x y z z x z yc a b k a b j a b k a b i a b j a b i= − − + + −� � � � � ��

Ora osserviamo la seguente matrice quadrata del terzo ordine

(cioè con tre righe e tre colonne)


247

(8) x y z

x y z

i j k

a a a

b b b

� � �

Questa può risolversi con la

regola di Sarrus, che consiste nel

ripetere le prime due colonne, poi

occorre tracciare tre freccette

rivolte diagonalmente verso il

basso (diagonali principali) e tre

freccette rivolte diagonalmente verso l'alto (

secondarie), come nella figura.

Ebbene, la matrice equivale alla somma dei prodotti degli

elementi appartenenti alle diagonali principali meno i prodotti

degli elementi appartenenti alle diagonali secondarie.

Si può constatare che sviluppando la matrice nel modo indicato

si riottiene esattamente il valore del vettore c.

Quindi il prodotto vettoriale si può calcolare semplicemente

formando una matrice quadrata in cui nella prima riga

compaiono i tre versori degli assi, nella seconda riga le tre

componenti del primo vettore a, e nella terza riga le tre

componenti del secondo vettore b.


freccette rivolte diagonalmente verso l'alto (diagonali

Ebbene, la matrice equivale alla somma dei prodotti degli

elementi appartenenti alle diagonali principali meno i prodotti

degli elementi appartenenti alle diagonali secondarie.

odo indicato

Quindi il prodotto vettoriale si può calcolare semplicemente

formando una matrice quadrata in cui nella prima riga

compaiono i tre versori degli assi, nella seconda riga le tre

, e nella terza riga le tre


248

ESEMPIO 65

Dati i vettori a i 2 j 2k e b 3i k= + − = +� � � � � ��

si ha

i j k i j

c a b 1 2 2 1 2 2i 6 j 0k 6k j 0i

3 0 1 3 0

2i 7 j 6k

= × = − = − + − − + =

= − −

� � � � �

� � � � � � ��

� � �

Par. 4 - Proprietà ed esempi

Angolo fra due vettori Dati due vettori

x y

x y

a a i a j

b b i b j

= +

= +

� ��

� � �

dalla (3) abbiamo

(9) a b

cosa b

•α =

⋅

��

��

Vettore normale ad una retta Data una retta ax by c 0+ + = ed il vettore v ai bj= +

� �� il

vettore è perpendicolare alla retta.

Infatti prendendo due punti arbitrari sulla retta

( )( )

1 1

2 2

A x ; y

B x ; y

≡

≡

il vettore

( ) ( )1 2 1 2u x x i y y j= − + −� ��

giace sulla retta stessa.


249

Ora imponiamo alla retta di passare per i due punti A e B

1 1

2 2

ax by c 0

ax by c 0

+ + =

+ + =

e sottraiamo membro a membro.

Si ottiene

( ) ( )1 2 1 2a x x b y y 0− + − =

che può essere interpretato come il prodotto scalare (vedi la 4)

fra v ai bj= +� ��

e ( ) ( )1 2 1 2u x x i y y j= − + −� ��

.

E poiché tale prodotto scalare è nullo, i due vettori sono

perpendicolari fra loro.

Coseni direttori di un vettore Dato un vettore v, i suoi coseni direttori sono i coseni degli

angoli che il vettore forma con gli assi coordinati.

Si ha

(10)

x

y

z

vcos

v

vcos

v

vcos

v

α =

β = γ =

Dato un vettore

x y zv v i v j v k= + +� � ��

dividendolo per v�

si ottiene un vettore parallelo al vettore

dato, ma di lunghezza unitaria.

In altre parole si ottiene un versore parallelo al vettore dato


Ora imponiamo alla retta di passare per i due punti A e B

che può essere interpretato come il prodotto scalare (vedi la 4)

E poiché tale prodotto scalare è nullo, i due vettori sono

sono i coseni degli

si ottiene un vettore parallelo al vettore

versore parallelo al vettore dato


250

(11) yx z

vv vvi j k cos i cos j cos k

v v v v= + + = α ⋅ + β ⋅ + γ ⋅

��

� � � �

espresso per mezzo dei coseni direttori.

Proiezioni di un vettore rispetto ad un altro Dati infine due vettori a e b, i vettori ap (proiezione di a

parallelo a b) e an (proiezione di a normale, perpendicolare a

b), sono

(12) p 2

n p

a ba b

b

a a a

•=

= −

��

�

� � �

Infatti

p na a a= +� � �

ma ap è un vettore parallelo a b e con

lunghezza proporzionale a b secondo

una costante k da determinare. Quindi

na kb a= +��

Ora moltiplichiamo scalarmene ambo i

membri per b

( )n na b kb a b kb b a b• = + • = • + •� � � � � ��

L’ultimo termine è nullo perché è un prodotto scalare fra

vettori perpendicolari fra loro.

Si ottiene


251

2

2

a b kb b k b cioè

a bk (è uno scalare !)

b

• = • =

•=

� � � ��

��

�

Poiché pa kb=��

, sostituendo si ottiene la prima delle (12).

Inoltre n pa a a= −� � �

, ed anche la seconda delle (12) è dimostrata.

Esempio 66

a 2i j 3k

b 4i j 2k

= − +

= − +

� � ��

� � � �

Risulta

( ) ( )2 2 2 2

a b 2 4 1 1 3 2 15

b 4 1 2 21

• = ⋅ + − ⋅ − + ⋅ =

= + + =

��

e quindi la proiezione del vettore a parallela al vettore b, è

( ) ( )p

15 5 20 5 10a 4i j 2k 4i j 2k i j k

21 7 7 7 7= − + = − + = − +

� � � � � � � � ��

mentre la proiezione del vettore a normale al vettore b, è

( )n p

20 5 10a a a 2i j 3k i j k

7 7 7

6 2 11i j k

7 7 7

= − = − + − − + =

= − − +

� � � � � ��

� � �


252

Lunghezza della proiezione di �� lungo la direzione di ��

Dalla prima delle (12) p 2

a ba b

b

•=

��

� ricaviamo la lunghezza di

ap

p 2 2 2

a ba b a ba b b (si ricordi che è uno scalare)

b b b

•• •= = ⋅

��

� � �

cioè

p

a b a b cosa a cos (dove è l'angolo fra a e b)

b b

• ⋅ ⋅ θ= = = ⋅ θ θ

� ��

� �

Identità di Lagrange

(13) ( )22 22a b a b a b× = ⋅ − •� � ��

Infatti, sviluppando separatamente i due membri, si ha dalla (6)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

y z z y z x x z

2

x y y x

22 22

x x y y z z

a b a b a b a b a b a b a b

a b a b

a b a b a a b b a b a b a b

× = × • × = − + − +

+ − ⋅ − • = • ⋅ • − + +

� � ��

� � � ��

e semplificando si ottengono due espressioni identiche.


253

Prodotto misto Dati tre vettori

x y z

x y z

x y z

a a i a j a k

b b i b j b k

c c i c j c k

= + +

= + +

= + +

� � ��

� � � �

� � ��

Si chiama prodotto misto l’espressione

( )a b c• ×��

Si dimostra che

(14) ( )x y z

x y z

x y z

a a a

a b c b b b

c c c

• × =��

Il risultato è una grandezza scalare.

Vale inoltre la proprietà circolare

(15) ( ) ( ) ( )a b c c a b b c a• × = • × = • ×� � ��

Infine, se i tre vettori sono applicati ad uno stesso punto, e se il

prodotto misto è nullo, allora i tre vettori sono complanari.

Area di un triangolo dati i tre vertici Tre punti (P1,P2, P3) individuano un triangolo nello spazio a tre

dimensioni.

Consideriamo i due vettori

1 2

1 3

P P i 3K

P P 2i 3 j 3K

= +

= + +

� �

� �

Il loro prodotto vettoriale

corrisponde ad un vettore la cui

grandezza è uguale all’area del


a b c c a b b c a� � � � � �

so punto, e se il

prodotto misto è nullo, allora i tre vettori sono complanari.

individuano un triangolo nello spazio a tre

Consideriamo i due vettori

P P i 3K

P P 2i 3 j 3K= + +

�

� � �

Il loro prodotto vettoriale

corrisponde ad un vettore la cui

grandezza è uguale all’area del


254

parallelogramma.

Quindi la norma di tale vettore, divisa per due, fornisce proprio

l’area ombreggiata, che è quella del triangolo. Quindi

1 2 3(P P P ) 1 2 1 3

2 2 2

1 1Area PP PP 9i 3 j 3k

2 2

1 3 119 3 3

2 2

= × = − + + =

= + + =

� � �

Equazione vettoriale della retta passante per due punti, nello spazio Dati due punti

( ) ( )A A A B B BA x ; y ;z B x ; y ;z≡ ≡

il vettore

( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x i y y j z z k= − + − + −� � �

è diretto come la retta.

Ora consideriamo il vettore r0 che va dall’origine ad uno dei

due punti (per esempio A)

0 A A Ar x i y j z k= + +� � ��

L’equazione vettoriale della retta è allora

0r r AB t= + ⋅� �

in cui t è un parametro, al cui variare si hanno tutti i punti della

retta. Si ha

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

A A A B A B A B A

A B A A B A A B A

A B A B A B

r x i y j z k x x i y y j z z k t

r x x x t i y y y t j z z z t k

r x 1 t x i y 1 t y j z 1 t z k

= + + + − + − + − ⋅

= + − ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅

= − + + − + + − +

� � � � � ��

� � ��

� � ��


255

Equazione del piano passante per un punto e normale ad un vettore Dato un punto ( )0 0 0 0P x ; y ;z≡ ed un vettore (non nullo)

n ai bj ck= + +� � ��

, vogliamo scrivere l’equazione del piano

passante per P0 e normale al piano n.

Ebbene, ricordando il significato di prodotto scalare, il piano è

formato da tutti i punti di coordinate ( )P x; y;z≡ tali che

0P P n 0• =�

Si ottiene

( ) ( ) ( )0 0 0a x x b y y c z z 0− + − + − =

e, sviluppando e semplificando,

ax by cz d 0+ + + =

in cui i coefficienti a, b, e c sono proprio le componenti del

vettore n.


256

CAP. 11 - GEOMETRIA ANALITICA

NELLO SPAZIO

Par. 1 – Rette e piani

Dato un punto A nello spazio,

esso è individuato da una terna

ordinata di numeri reali

1 1 1A (x ; y ;z )≡

Se i punti sono due (A e B),

possiamo determinare sia le

coordinate del punto medio M,

che la distanza fra tali punti con una immediata estensione

delle già note formule di geometria analitica nel piano.

(1)

1 2 1 2 1 2x x y y z z

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2 1 2

M ( ; ; )

d (x x ) (y y ) (z z )

+ + +≡

= − + − + −

Piani Nella geometria analitica del piano l’equazione di una retta

passante per due punti A e B con coordinate note, può essere

scritta nel modo seguente


257

1 1

2 2

x y 1

x y 1 0

x y 1

=

Dove nella prima riga ci sono le coordinate del punto P

variabile sulla retta, mentre nella seconda e nella terza riga ci

sono le coordinate dei punti A e

B.

La terza colonna ha il significato

di terza coordinata (in quanto i

punti sono espressi in coordinate

omogenee).

Sviluppando secondo gli

elementi della prima riga si

ottiene l'equazione della retta.

Ebbene, estendendo il concetto allo spazio in tre dimensioni,

dati tre punti A, B e C, l’equazione del piano si ottiene

sviluppando la matrice

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y z 1

x y z 10

x y z 1

x y z 1

=

in cui nella prima riga ci sono le coordinate del punto P

variabile sul piano.

Nella figura 3 i tre punti A, B e C sono stati presi sugli assi

coordinati solo per ragioni di migliore interpretazione del

disegno.

Sviluppando secondo gli elementi della prima riga e

semplificando, si trova un'equazione del tipo

(2) ax + by + cz + d = 0


Dove nella prima riga ci sono le coordinate del punto P

variabile sulla retta, mentre nella seconda e nella terza riga ci

Ebbene, estendendo il concetto allo spazio in tre dimensioni,

dati tre punti A, B e C, l’equazione del piano si ottiene

in cui nella prima riga ci sono le coordinate del punto P

Nella figura 3 i tre punti A, B e C sono stati presi sugli assi

coordinati solo per ragioni di migliore interpretazione del

Sviluppando secondo gli elementi della prima riga e


258

Nel piano l’equazione della retta può essere scritta in forma

segmentarla

x y1

p q+ =

in cui p e q sono le lunghezze dei segmenti che vanno

dall’origine ai punti in cui la retta taglia gli assi x ed y

rispettivamente.

In modo perfettamente

analogo, anche l’equazione del

piano nello spazio in tre

dimensioni può essere messo

nella forma segmentaria

(3) x y z

1p q h

+ + =

dove i coefficienti p q ed h

rappresentano le lunghezze dei segmenti che vanno dall'origine

ai punti di intersezione (A, B e C) del piano con gli assi.

Vediamo ora cosa avviene se nella equazione (2) mancano uno

o più termini.

• Se a = 0 (cioè se manca il termine in x) allora

è parallelo all'asse x, come nella figura 4 (il segmento

AB è l'intersezione fra il

piano dato ed il piano yz;

i segmenti OA e OB

sono rispettivamente

uguali a q e ad h nella

equazione 3).

• Se a = 0 ed anche d = 0

allora il piano passa

anche per l'origine e


Nel piano l’equazione della retta può essere scritta in forma

sono le lunghezze dei segmenti che vanno

dall’origine ai punti in cui la retta taglia gli assi x ed y

rappresentano le lunghezze dei segmenti che vanno dall'origine

ai punti di intersezione (A, B e C) del piano con gli assi.

Vediamo ora cosa avviene se nella equazione (2) mancano uno

Se a = 0 (cioè se manca il termine in x) allora il piano

, come nella figura 4 (il segmento


259

perciò il piano contiene l'asse x (ed è perpendicolare al

piano yz).

• Se invece mancano due termini con l'incognita (per

esempio il termine in x e quello in z, cioè se è a = 0 e

c = 0) allora il piano è parallelo al piano xz.

In tal caso l'equazione del piano è del tipo

y = q

Se manca anche il termine noto, l’equazione diviene y = 0 ed il

piano dato coincide con il piano xz.

Rette Dalla intersezione fra due piani si

ottiene una retta r, quindi una retta

si ottiene mettendo a sistema le

equazioni di due piani

(4) 1 1 1 1

2 2 2 2

a x b y c z d 0

a x b y c z d 0

+ + + =

+ + + =

Oppure, conoscendo le coordinate di due punti A e B della

retta, si può usare una estensione della formula valida nel piano

(5) 1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

− − −= =

− − −

Questa equazione a tre membri equivale a due equazioni

distinte ottenibili prendendo una volta il primo ed il terzo

membro, ed un'altra volta il

secondo ed il terzo (o

combinando i tre membri a due a

due in un altro modo qualsiasi).

I denominatori della (5) sono dei

numeri che corrispondono ai

segmenti l m ed n della figura 7,

e prendono il nome di parametri direttori.


260

Quindi la (5) può anche essere scritta

(6)

1 1 1x x y y z z

l m n

− − −= =

Se facciamo coincidere il punto A con l'origine degli assi,

allora la (6) diviene

(7) x y z

l m n= =

e si ha una retta generica passante per l'origine

I parametri direttori corrispondono ora ai segmenti

OL = l

OM = m

ON = n

Proponiamoci di calcolare i coseni degli angoli α β e γ che la

retta r forma con gli assi coordinati.

Nei tre triangoli rettangoli OLA, OMA e ONA, ricordando che

la lunghezza del segmento OA corrisponde a

2 2 2OA l m n= + +

si ha


261

(8)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

lcos

l m n

mcos

l m n

ncos

l m n

±α =

+ + ±

β =+ +

±γ =

+ +

Queste grandezze vengono dette coseni direttori della retta, e

il loro valore rimane invariato anche se la retta r non passa per

l'origine.

Si noti che i parametri direttori sono proporzionali ai coseni

direttori, ma non coincidono con essi ed il fattore di

proporzionalità è la radice che si trova nei denominatori delle

(8).

La formula (6) può allora essere scritta anche nel modo

seguente

2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0

l m n

l m n l m n l m n

x x y y z z± ± ±

+ + + + + +

− − −= =

che, indicando con il parametro t il valore costante dei tre

rapporti, può anche essere scritta

(9) 0 0 0x x y y z z

tcos cos cos

− − −= = =

α β γ

Il parametro t rappresenta la lunghezza del segmento di retta

che va dal punto 0 0 0A (x ; y ;z )≡ al punto generico che scorre

sulla retta P (x; y;z)≡ ,

Dalle (9) si ottengono


262

(10)

0

0

0

x x t cos

y y t cos

z z t cos

= + α

= + β = + γ

che insieme alle (4) e (6) costituiscono un terzo modo per

scrivere l'equazione della retta, e prendono il nome di retta in

forma parametrica.

Par. 2 - Condizioni di parallelismo e perpendicolarità

Stella di piani Nella geometria analitica del piano è noto che la formula del

fascio di rette passanti per un punto si può ottenere realizzando

una combinazione lineare di due qualunque rette del fascio

(dette sostegno del fascio).

Dato un punto 0 0A (x ; y )≡ si possono utilizzare le due rette

0

0

x x 0

y y 0

− =

− =

passanti per A e parallele agli assi coordinati.

L’equazione del fascio di rette è

( ) ( )0 0x x k y y 0− + − =

Allo stesso modo, se si vuole realizzare una formula che

comprenda tutte le rette passanti per un punto di coordinate

0 0 0A (x ; y ;z )≡ basterà formare una combinazione lineare fra

i tre piani passanti per A e paralleli ai tre piani coordinati xy xz

yz

(11) 0 0 0(x x ) k(y y ) h(z z ) 0− + − + − =

In verità i parametri della combinazione lineare dovrebbero

essere tre, ma immaginando di dividere la (11) per uno di essi,


263

ci si convince che solo due di essi sono indipendenti: il terzo

può sempre essere posto uguale ad 1.

La stella di piani costituisce infatti un 2∞ piani o, come si

dice, il sistema di piani ha due gradi di libertà.

Fascio di piani Una combinazione lineare fra due piani

1 1 1 1 2 2 2 2a x b y c z d k ( a x b y c z d ) 0+ + + + + + + =

dipende invece da un solo parametro, ed al variare di k si

hanno tutti i punti che si trovano su una retta fissa detta

retta base del fascio (nel caso della stella di piani la base era

invece un punto).

Piani paralleli I coefficienti delle incognite debbono essere in rapporto

costante fra loro (in quanto solo da essi dipende l'orientamento

del piano).

Quindi deve essere

(12) 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =

se poi anche per i termini noti il rapporto ha lo stesso valore,

allora i due piani sono coincidenti.

Rette parallele Due rette sono parallele se i loro coseni direttori sono uguali (o,

ciò che è lo stesso, se sono uguali i loro parametri direttori)

(13) 1 1 1

2 2 2

l m n

l m n= =


264

Parallelismo retta - piano Dati un piano π ed una retta r sia 0 0 0A (x ; y ;z )≡ un punto

generico della retta.

Il piano e la retta hanno quindi equazioni

0 0 0

ax by cz d 0

x x y y z z

l m n

+ + + =

− − −= =

Ricorrendo alle (10) la retta può essere scritta nella forma

parametrica

0 0 0x x y y z z

tl m n

− − −= = =

da cui si possono ricavare le

0

0

0

x x lt

y y mt

z z nt

= +

= + = +

Risolvendo rispetto a t il sistema formato dall'equazione del

piano e da queste equazioni della retta, si ottiene la lunghezza t

del segmento di retta che va dal punto A al punto in cui la retta

attraversa il piano π.

Facendo i calcoli si ottiene

0 0 0ax by cz

tal bm cn

+ += −

+ +

Ebbene, il piano π e la retta r saranno paralleli fra loro se il

parametro t è infinito, cioè se si annulla il denominatore della

frazione.

Dunque la condizione di parallelismo cercata è

(14) al + bm + cn = 0


265

Angolo fra due rette Considerando due versori (vettori unitari) giacenti sulle due

rette, si può dimostrare che l'angolo θ da esse formato

corrisponde al prodotto scalare fra tali vettori.

Fra i parametri direttori vale allora la relazione

1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos cosϑ= α α + β + β + γ γ

cioè

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

l l m m n ncos

l m n l m n

+ +ϑ =

+ + + +

Perpendicolarità fra rette Due rette sono perpendicolari fra loro se l'angolo θθθθ da esse

formato è di 90°, cioè se il numeratore della relazione

precedente è nullo.

Quindi se si ha

(15) l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0

Retta normale ad un piano Data l'equazione di un piano

ax + by +cz +d = 0

Si è visto nella (3) che

AO = p = - d/a

BO = q = - d/b

CO = h = - d/c

del resto, osservando la figura 9,

conduciamo dall'origine la retta

ON perpendicolare al piano π.

Gli angoli ONA ONB e ONC

sono retti.

Nel triangolo ONA si ha per esempio:


266

ON n nacos

OA p dα = = = −

ma è anche, nel triangolo rettangolo ONNx

xON lcos

ON nα = =

uguagliando fra loro gli ultimi membri delle due ultime

relazioni, se ne trae che 2n

l a kad

= − =

cioè i coefficienti l ed a sono

proporzionali secondo il fattore k.

Ripetendo lo stesso ragionamento

nei triangoli ONB ed ONC si trova

in modo analogo

m = kb

n = kc

dove la costante di proporzionalità k ha sempre lo stesso

valore.

Dunque i coefficienti a b c delle incognite nell'equazione di un

piano coincidono con i parametri direttori della retta ON

perpendicolare al piano (a meno di una costante di

proporzionalità, ma del resto anche i parametri direttori sono a

loro volta proporzionali ai coseni direttori, quindi tali

coefficienti sono proporzionali anche ai coseni direttori).

Quindi si ha


267

(18)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

acos

a b c

bcos

a b c

ccos

a b c

α =

+ +

β =+ +

γ =

+ +

Perpendicolarità fra due piani Poiché ad ogni piano possiamo associare la propria retta

normale avente come parametri direttori i coefficienti a b e c,

due piani generici risulteranno perpendicolari fra loro se tali

risultano le corrispondenti rette normali.

Quindi la condizione richiesta è

(19) a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

Distanza punto - piano Con immediata estensione con la analoga formula della

geometria nel piano, si può dimostrare che

(20) 0 0 0

2 2 2

ax by cz ddistanza

a b c

+ + +=

+ +

Retta e piano perpendicolari Per lo stesso motivo deve essere

(21) a/l = b/m = c/n


268

Piano per un punto, perpendicolare ad una retta

(22) l(x - x0) + m(y - y0) + n(z - z0) = 0

Volume di un tetraedro Analogamente all'area di un triangolo nel piano, si ottiene

(23)

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

x y z 1

x y z 11V

x y z 16

x y z 1

=

Se V = 0 i quattro punti risultano allineati su uno stesso piano.

Minima distanza fra due rette

2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

x x y y z z1

distanza cos cos cossen

cos cos cos

− − −

= α β γϑ

α β γ

dove

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

l l m m n ncos

l m n l m n

+ +ϑ =

+ + + +


269

Par. 3 - Le quadriche Una quadrica è una superficie nello spazio espressa

algebricamente da una funzione di secondo grado con due

variabili indipendenti ed una dipendente.

In forma implicita

f(x.y.z) = 0

Nella forma più generica essa ha la forma 2 2 2

11 22 33 12 13 23 14

24y 34 44

a x a y a z 2a xy 2a xz 2a yz 2a x

2a 2a z a 0

+ + + + + + +

+ + + =

La funzione ha 10 parametri di cui però solo 9 sono

indipendenti (infatti per esempio basta dividere tutta la

funzione per a11

per ridurli a 9).

Se la matrice quadrata A formata dai coefficienti è nulla, allora

la quadrica si dice specializzata.

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a a

a a a a0

a a a a

a a a a

=

Le quadriche specializzate possono essere

1.Rette distinte incidenti (cono)

2.Rette distinte parallele (cilindro)

3.Due piani distinti paralleli

4.Due piani coincidenti

Nel caso del cono si ha

l'equazione 2 2 2x y z tan 0+ − α = mentre nel

caso del cilindro si ha 2 2 2x y r+ =


270

Piani diametrali Le equazioni dei piani diametrali, cioè dei piani che passano

per il centro della conica e sono normali a due assi coordinati,

sono

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

a x a y a z a 0

a x a y a z a 0

a x a y a z a 0

+ + + =

+ + + = + + + =

e corrispondono ai piani polari dei tre punti impropri (punti

all’infinito) aventi le direzioni degli assi coordinati.

Quadriche in forma ridotta Se la quadrica è in forma ridotta i piani diametrali passano per

l'origine e perciò deve essere

14 24 34a a a 0= = =

inoltre essi giacciono sui piani coordinati (xy = 0 xz = 0 yz = 0)

e quindi deve anche essere

12 13 23a a a 0= = =

La quadrica assume allora la forma 2 2 2

11 22 33 44a x a y a z a 0+ + + =

o, più semplicemente,

(1) 2 2 2ax by cz d 0+ + + =

che rappresenta una quadrica non specializzata, a centro,

riferita ai tre piani coordinati.

Per le quadriche non specializzate e non a centro (paraboloidi),

si ha invece

(2) 2 2ax by cz 0+ + =


271

dove l'asse di simmetria è l'asse z.

Nella (1) se d = 0 allora si ha la quadrica specializzata in un

cono, mentre se c = 0 allora si ha la quadrica specializzata in un

cilindro.

Tipi di quadriche Ogni quadrica a centro può essere messa sotto la forma

segmentaria

(3) 2 2 2

2 2 2

x y z1

m n p+ + =

dove m n p costituiscono i tre semiassi, cioè le tre intersezioni

della quadrica con gli assi coordinati.

A seconda del segno dei tre termini a primo membro si ha

+ + + ellissoide reale

- - - ellissoide immaginario

+ + - iperboloide iperbolico (ad 1 falda)

- - + iperboloide ellittico (a 2 falde)

Le quadriche non a centro, in modo analogo, possono essere

messe sotto la forma

(4) 2 2

2 2

x yz

m n+ =

e a seconda del segno si ha

+ + paraboloide ellittico

- + paraboloide iperbolico

Passiamo ora ad analizzare la rispettiva forma geometrica di

tali quadriche.

Nella figura 12 è rappresentato l'ellissoide reale, di equazione


272

2 2 2

2 2 2

x y z1

m n p+ + =

Le intersezioni con piani perpendicolari agli assi sono in ogni

caso delle ellissi.

L'ellissoide immaginario ovviamente non può essere

rappresentato graficamente.

C'è poi l'iperboloide ellittico della figura 13, la cui equazione

è


273

2 2 2

2 2 2

x y z1

m n p+ − = −

Le intersezioni con i piani perpendicolari agli assi y e z sono

delle iperboli, mentre le intersezioni con il piano

perpendicolare all'asse x è una ellisse (reale o immaginaria).

In figura 14, è invece riprodotto l'iperboloide iperbolico, di

equazione 2 2 2

2 2 2

x y z1

m n p+ − =

Le intersezioni con i piani perpendicolari all'asse z sono delle

ellissi (di cui quello più piccolo si chiama ellisse di gola),

mentre le intersezioni con i piani perpendicolari agli assi x e y

sono delle iperboli.


274

In figura 15 abbiamo il paraboloide ellittico, di equazione

2 2

2 2

x yz

m n= +

Le intersezioni con i piani perpendicolari all'asse z sono delle

ellissi, mentre le intersezioni con i piani perpendicolari agli assi

x e y sono delle parabole.

Infine, in figura 16 si ha il paraboloide iperbolico, avente

equazione 2 2

2 2

y xz

n m= −


275

Le intersezioni con un piano perpendicolare all'asse z produce

delle iperboli, mentre le intersezioni con piani perpendicolari

agli assi x ed y sono delle parabole.

Par. 4 - Invarianti

La quadrica generica possiede alcune caratteristiche metriche

che con una trasformazione isometrica (rotazione o

traslazione), rimangono costanti: queste grandezze prendono il

nome di invarianti della quadrica.

Questi invarianti sono:

1. La matrice quadrata A del quarto ordine vista all'inizio.

2. Il complemento algebrico A44 di A.

3. La somma I = a11 + a22 + a33

4. L'espressione

Con tre di questi quattro invarianti è possibile costruire la

seguente equazione

(5) 3 2

44k Ik Jk A 0− + − =

che corrisponde allo sviluppo della matrice

22 23 11 13 11 12

32 33 21 23 21 22

2 2 2

11 22 11 33 22 33 12 13 23

a a a a a aJ

a a a a a a

a a a a a a a a a

= + + =

= + + − − −

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a k a a

a a k a 0

a a a k

−

− =

−


276

Le tre soluzioni della (5) sono sempre tutte e tre reali (perché

la matrice è simmetrica).

Si possono distinguere i casi seguenti:

1° CASO

La quadrica è a centro e l'equazione ridotta è

dove k1 k2 e k3 sono le tre soluzioni della (5).

In questo caso:

• Se A = 0 allora la quadrica è un cono (reale se k1 k2

e k3 hanno segno concorde, ed immaginario nel caso

contrario).

• Se A diverso da 0, allora occorre confrontare il segno

di -A/A44 con i segni delle tre soluzioni k1 k2 e k3.

• Se due soluzioni sono di segno concorde con -A/A44

allora la quadrica è un ellissoide.

• Se una sola soluzione è concorde, la quadrica è un

iperboloide ad una falda.

• Se infine tutte e tre le soluzione sono di segno opposto

a -A/A44 allora la quadrica è un iperboloide a due

falde.

44A 0≠

2 2 2

1 2 3

44

Ak x k y k z 0

A+ + + =


277

2° CASO Una delle tre soluzioni è nulla (per esempio k3 =

0). La quadrica è un paraboloide e l'equazione ridotta è

Se le due soluzioni k1 k2 sono concordi, allora il paraboloide

è ellittico, altrimenti è iperbolico.

3° CASO Tutte e tre le soluzioni k1 k2 e k3 sono nulle: la quadrica è un

cilindro iperbolico

4° CASO Due delle tre soluzioni sono nulle: la quadrica è un cilindro

parabolico.

Questi risultati possono essere raccolti nella seguente tabella

riepilogativa

44A 0=

2 2

1 2

Ak x k y 2z 0

J+ ± − =


278

k1 k2 k3 A44 A Tipo di quadrica

±

±

±

±

+

0

-

Ellissoide immaginario

Cono immaginario

Ellissoide reale

±

m

m

±

+

0

-

Iperboloide ad 1 falda

Cono reale

Iperboloide a 2 falde

± ± 0 0 -

0

Paraboloide ellittico

Cilindro ellittico

± m 0 0 +

0

Paraboloide iperbolico

Cilindro iperbolico

± 0 0 0 0 Cilindro parabolico

Sintini Matematica No Problem

Documents

Transcript of Sintini Matematica No Problem