Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! Tutta la fisica di base per i licei e il biennio universitario Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 2 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! Carlo Sintini / Matematicamente.it giugno 2011 www.matematicamente.it libri@matematicamente.it Il presente libro rilasciato nei termini della licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate 2.5 Italia, il cui testo integrale disponibile in http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/legalcode La versione digitale disponibile gratuitamente al sito www.matematicamente.it Stampa Universal Book via Botticelli, 22 87036 Rende (CS) ISBN 978 88 96354 12 4 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 3 A mio nipote Samuele Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 4 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 5 SOMMARIO BIBLIOGRAFIA .................................................................. 281 INTRODUZIONE ..................................................................... 9 CAP. 1 - CALCOLO VETTORIALE ..................................... 11 1-1. Elementi di calcolo vettoriale ..................................... 11 1-2. Prodotto scalare fra due vettori ................................... 19 1-3. Prodotto vettoriale fra due vettori ............................... 21 CAP. 2 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE ......... 25 2-1. La velocit ................................................................... 26 2-2. Laccelerazione ........................................................... 28 2-3. Corpi in caduta libera .................................................. 30 2-4. Moto rettilineo uniforme ............................................. 31 2-5. Moto rettilineo uniformemente accelerato .................. 33 2-6. Moto circolare uniforme ............................................. 36 2-7. Effetti di una accelerazione generica .......................... 39 2-8. Traiettoria di un proiettile ........................................... 40 2-9. Velocit e accelerazione relative................................. 44 esercizi di cinematica ......................................................... 47 Formule da ricordare: ......................................................... 47 CAP. 3 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE ............. 59 3-1. La forza ....................................................................... 59 3-2. Prima legge (o legge dinerzia) ................................... 60 3-3. Seconda legge (o legge fondamentale) ....................... 61 3-4. Terza legge (o legge dazione e reazione) .................. 63 3-5. Costante elastica di richiamo ...................................... 65 3-6. La forza di attrito ........................................................ 66 3-7. Il piano inclinato ......................................................... 67 3-8. Reazioni e tensioni ...................................................... 69 3-9. Forza centripeta e centrifuga ....................................... 72 esercizi di dinamica del punto ............................................ 73 CAP. 4 LAVORO E POTENZA.......................................... 91 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 6 4-1. Lavoro fatto da una forza costante .............................. 91 4-2. Lavoro fatto da una forza variabile ............................. 94 4-3. Teorema dellenergia cinetica ..................................... 97 4-4. La potenza ................................................................... 99 esercizi sul lavoro e la potenza ......................................... 101 CAP. 5 LENERGIA.......................................................... 107 5-1. Le forze conservative ................................................ 107 5-2. Lenergia potenziale .................................................. 112 5-3. Conservazione dellenergia meccanica ..................... 115 CAP. 6 DINAMICA DEI SISTEMI DI PARTICELLE .... 125 6-1. Il baricentro ............................................................... 125 6-2. Il moto del baricentro ................................................ 128 6-3. Il lavoro interno ......................................................... 129 6-4. La quantit di moto ................................................... 131 6-5. Conservazione della quantit di moto ....................... 133 CAP. 7 GLI URTI .............................................................. 141 7-1. Limpulso e la quantit di moto ................................ 141 7-2. Urti elastici in una dimensione ................................. 142 7-3. Urti anelastici ............................................................ 147 7-4. Urti elastici in due dimensioni .................................. 148 CAP. 8 SISTEMI RUOTANTI .......................................... 161 8-1. Cinematica rotazionale .............................................. 161 8-2. Momento di un vettore .............................................. 163 8-3. Momento di una coppia ............................................ 168 8-4. Il momento angolare e momento dinerzia ............... 169 8-5. Energia cinetica di rotazione ..................................... 170 8-6. Momenti dinerzia di alcuni corpi ............................. 171 Sbarretta sottile di lunghezza l ................................. 172 Cilindro circolare vuoto di raggi R ed r. ................... 173 Parallelepipedo di lati a, b, c. ................................... 173 Lastra sottile rettangolare di lati a e b. ..................... 174 Toro con raggio interno r ed esterno R. .................... 174 Cono circolare con raggio di base r ed altezza h. ..... 175 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 7 Lastra circolare di raggio R. ..................................... 175 Lastra circolare forata. ............................................. 176 Nastro circolare sottile di raggio R- ......................... 176 Sfera piena di raggio R. ........................................... 177 Sfera vuota di raggio R. ........................................... 177 Sfera scavata con raggi interno r ed esterno R. ......... 178 Ellissoide con semiassi a, b, c. ................................. 178 8-7. Teorema degli assi paralleli per i momenti dinerzia 179 8-8. Rotolamento di un corpo rigido ................................ 180 8-9. Conservazione del momento angolare ...................... 182 Esercizi sui sistemi ruotanti .............................................. 185 CAP. 9 APPROFONDIMENTI ......................................... 193 9-1. Sul moto circolare uniforme ..................................... 193 9-2. Formula di Poisson ................................................... 197 9-3. Accelerazione di Coriolis .......................................... 199 9-4. Effetti della forza di Coriolis .................................... 204 CAP. 10 EQUILIBRIO DEI CORPI RIGIDI .................... 207 10-1. Equilibrio statico ..................................................... 207 10-2. Equilibrio dei corpi appoggiati ............................... 208 10-3. Equilibrio dei corpi sospesi ..................................... 209 Esercizi sullequilibrio ..................................................... 211 CAP. 11 IL MOTO ARMONICO...................................... 217 11-1. Generalit ................................................................ 217 11-2. Approccio cinematico ............................................. 217 11-3. Approccio dinamico ................................................ 223 11-4. Il pendolo ................................................................ 224 11-5. Lenergia nel moto armonico .................................. 227 11-6. Equazione differenziale del moto armonico ........... 229 11-7. Il moto armonico smorzato ..................................... 230 11-8. Oscillazioni armoniche forzate ............................... 235 CAP. 12 LA GRAVITAZIONE......................................... 241 12-1. La legge della gravitazione universale .................... 241 12-2. Le forze esistenti in natura ...................................... 242 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 8 12-3. Massa inerziale e gravitazionale ............................. 245 12-4. Distribuzione sferica di massa ................................ 247 12-5. Il campo gravitazionale ........................................... 252 12-6. Il principio di sovrapposizione ................................ 253 12-7. Energia potenziale gravitazionale ........................... 254 12-8. Potenziale e superfici equipotenziali ...................... 257 12-9. La prima legge di Keplero ...................................... 259 12-10. La seconda legge di Keplero ................................. 265 12-11. La terza legge di Keplero ...................................... 267 12-12. La velocit di fuga................................................. 268 CAP. 13 I FLUIDI ............................................................. 271 13-1. La pressione e la densit ......................................... 271 13-2. La legge di Stevin ................................................... 272 13-3. Principio di Pascal ................................................... 274 13-4. Principio di Archimede ........................................... 275 13-5. La pressione atmosferica ......................................... 277 13-6. Il martinetto idraulico.............................................. 278 13-7. Equazione di Bernouilli .......................................... 279 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 9 INTRODUZIONE Unfanciulloriceveinregalounoggettostranoeconcolori brillanti. Le sue piccole dita afferrano loggetto per esplorarne la forma elastruttura.Egliscuoteloggettopervederesesirompee quasi certamente lo porta alla bocca. Il piccolo usa tutti i suoi sensi per esplorarne la grandezza, la forma, i colori, la struttura, il suono. naturalmentecuriosoecominciaprestissimoadapprendere informazioni sul mondo circostante. Questacuriositinnata,pievidentenelperiododello sviluppo, caratterizzata dalla domanda: Perch? stimolanteanchedaadultitornareadaveredellecuriosit come i fanciulli. Lascienza,edinparticolarelafisica,tentadirispondereai perch del mondo naturale. Nellaricercadellerisposteifisicihannoestesolinteresse dellosservazioneumanaadunagrandequantitdifenomeni: dallo studio delle particelle subatomiche a quello delle stelle e delle galassie. Lafisicalapiimportantedellescienzechestudianola natura. Essa rappresenta sia un metodo di studio che un punto di vista del mondo naturale, con lo scopo di spiegare il comportamento del mondo fisico per mezzo di pochi principii fondamentali. In questo senso lo studio della fisica semplice perch richiede lapadronanzasoltantodipochiprincipiifondamentali,che sintetizzanotuttocicheifisicihannoscopertonellordi-namento delluniverso. Eungranviaggiocostellatodamoltedomandeedapoche risposte. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 10 Cisipudomandaresesiaunbeneounmaleprogredire semprepinellaricercascientifica,esipotrebberoportare molti esempi sia a favore che contro questo interrogativo. AquestopropositoBertrandRussell(1872-1970)disse:Non credo che la conoscenza scientifica possa mai essere dannosa. Ci che sostengo, e sostengo con vigore, che la conoscenza pi spesso utile che dannosa, e che il timore della conoscenza invece pi spesso dannoso che utile. Infine voglio accennare al fatto che levoluzione della fisica ha spessoportatoradicalicambiamentialleteorieprecedentie fiericontrasti(sipensiperesempioallateoriaeliocentricadi Galileooalleinnovazioniintrodottedallateoriadella relativit),chesonostatiassorbitiedaccettatisolodopo diverso tempo dalla loro formulazione. Ma, come afferm Clement V. Durell, la storia del progresso scientificodimostracomesianoindigestelenuoveidee alluomo comune, privo di immaginazione, di una certa epoca, macomepoileideechehannosuperatolaprovadeltempo venganoassimilatefacilmentedalluomocomune,privodi immaginazione delle epoche successive. Carlo Sintini c.sintini@libero.it Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 11 CAP. 1 - CALCOLO VETTORIALE 1-1. Elementi di calcolo vettoriale Moltegrandezzefisichesonocompletamentedescrittedal valore numerico della loro grandezza (per esempio il tempo, la temperatura, il volume, ecc. ). Maaltregrandezzefisiche(peresempiolaforza,lavelocit, laccelerazione,lospostamento,ecc.),hannobisognoanche della conoscenza della direzione verso la quale sono rivolte. Leprimesichiamanograndezzescalari,lesecondevengono invece dette grandezze vettoriali. Siusaquestosimboloperchlegrandezzevettorialipossono essere rappresentate appunto da una freccia. Un vettore caratterizzato da: Lalunghezzadellafreccia(dettaancheintensito modulo). Unadirezione,costituitadallarettacheattraversala freccia (che si chiama anche retta di applicazione). Un verso, fissato dalla punta della freccia. Il punto iniziale della freccia si chiama puntodiapplicazione del vettore. Spostando un vettore parallelamente a se stesso con una trasla-zionesihaunvettoreequipollente(oequivalente)aquello iniziale. Tipograficamente il vettore viene indicato con una lettera sul-laqualesitrovaunapiccolafreccetta,oppurepisempli-cemente con una lettera scritta in grassetto (per esempio

vo vindicailvettorevelocit,mentrevindicasemplicementeil suo valore scalare, la sua lunghezza). Un vettore pu essere espresso (con molti vantaggi) utilizzando i versori. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!12 Unversoreunvettoredilunghezzaunitariaaventeuna direzione prestabilita.Neicasiincuiessoparalleloall'assexloindicheremoconi simbolii

oi, quando parallelo all'asse y lo indicheremo conj

o conj, ed infine quando parallelo all'asse z (nello spazio a 3 dimensioni), lo indicheremo conk

o conk. Ilversoreservespessoperrenderevettorialeunagrandezza scalaresenzaalterarneilvalore,perchmoltiplicandouno scalareperilversore,siottieneunvettoredirettocomeil versore e con lunghezza pari al valore scalare.Se il valore scalare negativo il vettore cambia anche il verso.Questo criterio permette di esprimere un vettore in modo molto sintetico ed espressivo. Per esempio, il vettore v 2i 3 j k = + +

formato dalla somma (vettoriale) di tre vettori: -2 i

un vettore con lunghezza 2 e diretto come l'asse x (ma con verso opposto). 3 j

un vettore con lunghezza 3 e diretto come l'asse y.k

unvettoreconlunghezzaunitariaedirettocome l'asse z. Fisica ? No problem !!! unvettoredilunghezzaunitariaaventeuna xloindicheremoconi quando parallelo all'asse y lo indicheremo con , ed infine quando parallelo all'asse z (nello spazio aleunagrandezza scalaresenzaalterarneilvalore,perchmoltiplicandouno scalareperilversore,siottieneunvettoredirettocomeil Se il valore scalare negativo il vettore cambia anche il verso. uesto criterio permette di esprimere un vettore in modo molto e diretto come l'asse e diretto come l'asse y. unvettoreconlunghezzaunitariaedirettocome Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!13 Componendoconlaregoladelparallelogrammaprima lunghezza di due vettori (a caso) e poi ancora con la regola del parallelogramma il risultato ottenuto con la lunghezza deedultimovettore,siottieneappuntolalunghezzadelrisultante

v . Somma algebrica fra vettori Limitiamoci per ora a considerare vettori giacenti su uno stesso piano. Lasommafraduevettoricomplanarisiesegueapplicandoi duevettoriinunostessopunto,ecostruendounparallelogramma. Nelcasoincuisianoapplicatiin duepuntidiversi,bastafarli scorreresullelororettediapplica-zionefinoaquandononrisultino applicati in uno stesso punto. Ladiagonaledelparallelogramma (vedifiguraafianco)fornisceil vettore risultante. Sipuancheeseguireloperazionecontraria:unvettore esserescompostoinduecomponenti e applicandola regoladelparallelogramma.Siscelgonoduerettepassantiperilpuntodiapplicazionedi ,esicostruisceil parallelogramma. Chiaramentequestaoperazionesipufareininfinitimodi differenti.Essadiventaunicasolosevengonoassegnatele direzioni che devono avere le componenti. Persommaretre(opi)vettorifraloro,sipuapplicarepi voltesuccessivamentelaregoladelparallelogrammatrova la risultante fra due vettori e poi si trova la risultante fra questa e il terzo vettore. Fisica ? No problem !!! ogrammaprimala due vettori (a caso) e poi ancora con la regola del amma il risultato ottenuto con la lunghezza del terzo ovettore,siottieneappuntolalunghezzadelvettore Limitiamoci per ora a considerare vettori giacenti su uno stesso siesegueapplicandoi duevettoriinunostessopunto,ecostruendounparallelo-unvettore pu applicandola iscelgonoduerettearbitrarie ,esicostruisceil operazionesipufareininfinitimodi differenti.Essadiventaunicasolosevengonoassegnatele Persommaretre(opi)vettorifraloro,sipuapplicarepi voltesuccessivamentelaregoladelparallelogramma:primasi trova la risultante fra due vettori e poi si trova la risultante fra Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!14 Qualunquesial'ordineconcuisiprendonoivettori,ilvettore finale sar sempre lo stesso. Questo metodo per risulta un po laborioso.Si preferisce ricavare il risultante disponendo i tre vettori in fila (anche qui non importa l'ordine con cui si prendono), in modo cheliniziodiognivettorecoincidaconlapuntadel precedente. Il vettore f che unisce l'inizio del primo con la punta dell'ul il vettore risultante. Questo metodo grafico prende il nome di metodo del poligono funicolare. Invecepersottrarrefraloroduevettorisufficientetrasformareladifferenzainsomma,aggiungendoalprimo vettore lopposto del secondo1: a b = a + (- b) Nellarappresentazionegraficarisultaevidentechedatidue vettoriaeb,mentreunadiagonaledelparallelogramma fornisce la somma vettoriale a + b, laltra diagonale fornisce la differenzaa b o b a (infatti la differenza fra due vettori non gode della propriet commutativa). 1 Persemplicitivettorisonoindicatiingrassettoinvececheconla freccetta. Fisica ? No problem !!! Qualunquesial'ordineconcuisiprendonoivettori,ilvettore ferisce ricavare il risultante disponendo i tre vettori in fila (anche qui non importa l'ordine con cui si prendono), in modo cheliniziodiognivettorecoincidaconlapuntadel che unisce l'inizio del primo con la punta dell'ultimo metodo del poligono efraloroduevettorisufficiente somma,aggiungendoalprimo Nellarappresentazionegraficarisultaevidentechedatidue ,mentreunadiagonaledelparallelogramma , laltra diagonale fornisce la (infatti la differenza fra due vettori Persemplicitivettorisonoindicatiingrassettoinvececheconla Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!15 Vediamooracomesiapossibilesommareduevettori sfruttando la loro rappresentazione con i versori. Siano dati due vettori x yx ya a i a jb b i b j= += +

lasommavettoriale(attenzioneanonconfonderelasomma scalare con quella vettoriale! Dati due vettori lunghi rispettivamente 3 e 4 e normali fra loro, la somma scalare delle loro lunghezze 7, mentre la somma vettoriale un vettore lungo 5c a b = Sostituendo si ottiene (1-1)= = + + == +

x y x yx x y yc a b (a i a j ) (b i b j )(a b )i (a b ) j Fisica ? No problem !!! sommareduevettori (attenzioneanonconfonderelasomma Dati due vettori lunghi rispettiva-mente 3 e 4 e normali fra loro, la somma scalare delle loro lun-ghezze 7, mentre la somma vettoriale un vettore lungo 5), = = + + = x y x yc a b (a i a j ) (b i b j ) Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!16 ESEMPIO Passandodallelettereadun esempio numerico, si haa 4i 2 jb i 3j= +=

La somma vettoriale c a b (4 1) i (2 3) j5i j= + = + + =

comesipuverificarenella figuraquisopra,talerisultatocorrispondeproprioalla diagonale del parallelogramma formato dai due vettori Somma di due vettori paralleli Se due vettori a e b sono paralleli, come possibile sommarli, vistochenonpossibilefarliscorreresullelororettedi applicazione fino a far coincidere i loro punti di applicazione ?Seivettorisonoparallelieconcordisihalasituazione illustrataasinistra,mentresesonoparalleliediscordisihala situazione illustrata di seguito. Fisica ? No problem !!! Passandodallelettereadun esempio numerico, si ha a 4i 2 jb i 3 j= +=

La somma vettoriale c a b (4 1) i (2 3) j = + = + +

comesipuverificarenella figuraquisopra,talerisultatocorrispondeproprioalla diagonale del parallelogramma formato dai due vettori a e b. sono paralleli, come possibile sommarli, possibilefarliscorreresullelororettedi applicazione fino a far coincidere i loro punti di applicazione ? sihalasituazione illustrataasinistra,mentresesonoparalleliediscordisihala Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 17 Inentrambiicasilalunghezzadellarisultantesitrova semplicementesommandoosottraendolelunghezzedeidue vettori a e b. Larisultanterisultaparallelaadaeb,edapplicatainun punto che in entrambi i casi si ottiene imponendo la relazione 1 2a:b h :h =

(vettore lungo sta a vettore corto, come lunghezza grande sta a lunghezza piccola). Nelcasodeivettoriconcordiilpuntodiapplicazione intermedio fra a e b.Invecenelcasodeivettoridiscordiilpuntodiapplicazione esterno e si trova dalla parte del vettore lungo. La ragione per cui si deve applicare questo criterio potr essere compresa quando sar spiegato cosa il momento di una forza. Forme rettangolare e polare di un vettore Lespressione x yv v i v j = +

Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!18 viene anche detta forma rettangolare del vettore perch le sue componenti formano i lati di un rettangolo. Lostessovettorepuperessereespressoanchemediantela trigonometria, nel modo seguente Sappiamo che xyv vcosv vsen= = Quadrando e sommando membro a membro, si ha (2 2 2x2 2 2 2 2x y2 2 2y2 2 2x yv v cosv v v sen cosv v senv v v = + = + = + =mentre invece dividendo membro a membro, si ha y yx xv vvsen sentan arctanv vcos cos v = = = = Il vettorev

si pu anche esprimere quindi sotto la forma2 2x yyxv v vvarctanv= + = Fisica ? No problem !!! del vettore perch le sue Lostessovettorepuperessereespressoanchemediantela )2 2 2 2 2v v v sen cos + = + y yx xv vtan arctanv vcos cos v si pu anche esprimere quindi sotto la forma Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 19 detta forma polare, in cui la sua lunghezza v e langolo che essoformaconlassex,sonoespressipermezzodellesue componenti vx evy. 1-2. Prodotto scalare fra due vettori Datiduevettoriaebilloroprodottoscalareunnumeroc (quindiunoscalareenonunvettore)corrispondenteal prodottodellalunghezzadiaperlaproiezionediblungola direzionedia,oppure(vedremochelastessacosa)al prodottodellalunghezzadibperlaproiezionedialungola direzione di b. Ilprodottoscalaresiindica con un puntino. Osservandolafiguraquia fiancosiricavaallorache (proiettandoalungobcome nella costruzione a sinistra) c a b a ' b a cos b a b cos = = = =

Mentre, proiettando b lungo a come nella costruzione a destra, si ha c a b a b' a b cos = = =

Come si vede, in entrambi i casi si ha lo stesso risultato.Sipudunqueaffermarecheilprodottoscalaregodedella propriet commutativa. Quindi per calcolare il prodotto scalare vale la formula (1-2)c a b b a a b cos = = = Notiamochesela(1-2)fornisceunrisultatopositivo,allora langolo fra i due vettori acuto. Mentre se invece il risultato negativo, langolo ottuso. Seinfineilrisultatonullo,iduevettorisonoperpendicolari fra loro.Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 20 Questaosservazioneconduceadunrisultatoimportante:un prodottoscalarepuesserenulloanchequandoentrambii vettori non sono nulli, ma sono perpendicolari fra loro. Infattiinquestocasolaproiezionediunvettorelungola direzione dell'altro nulla. Vediamo ora come si calcola il prodotto scalare per mezzo dei versori. Dati due vettori x yx ya a i a jb b i b j= += +

Il loro prodotto scalare x y x yc a b (a i a j) (b i b j) = = + +

applicando la propriet distributiva, si ottiene (1-3) x x x y y x y yc a b i i a b i j a b j i a b j j = + + + Oraosserviamochemoltiplicandoscalarmentefraloroi versori(siricordichelalorolunghezzaugualead1,esei vettorisonoparallelicos cos 0 1 = = ,mentresesono perpendicolari fra lorocos cos 90 0 = = ), si ottiene i i 1i j j i 0j j 1 = = = = e quindi, sostituendo nella (1-3),il prodotto scalare fra i vettori a e b, semplicemente (1-4) x x y yc a b a b a b = = +

Ragionandoinmodoanalogo,seivettorisitrovanoinvece nello spazio a tre dimensioni, si ha Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!21 x y zx y za a i a j a kb b i b j b k= + += + +

e il prodotto scalare diviene (1-5) x x y y z zc a b a b a b a b = = + +

1-3. Prodotto vettoriale fra due vettori Datiduevettoria

eb

illoroprodotto vettorialeunvettorec

(quindiun vettoreenonunoscalare),aventele seguenti caratteristiche: Lalunghezzadic

corrisponde all'areadelparallelogrammaformato daa

eb

(ombreggiato nella figura). Ladirezionedic

corrispondeaquelladiunaretta perpendicolarealpianosucuisitrovanoa

ebsua direzione perpendicolare al foglio). Ilversodic

talechetalevettore"personificato"deve vedereilprimovettorea

ruotareinversoantiorarioper sovrapporsi ab

, lungo la via pi breve (vedi figura).Ilprodottovettorialesiindicacon unacrocettaanalogaalsegnodi moltiplicazione. Abbiamodettochelalunghezzadel vettorec

corrispondeall'areadel parallelogramma.Considerandocomebasedel parallelogrammaillatoa,lasuaaltezzah.Poichnel Fisica ? No problem !!! corrispondeaquelladiunaretta a b

(quindila talechetalevettore"personificato"deve versoantiorarioper , lungo la via pi breve (vedi figura). parallelogrammaillatoa,lasuaaltezzah.Poichnel Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 22 triangolorettangolodellafiguraquiafiancorisulta hsinb =l'area del parallelogramma (1-6) c base per altezza a h a b sin = = = Anche il prodotto vettoriale ha una propriet importante: esso nulloquandoalmenounodeiduevettoria

eb

nullo,ma nulloanchequandopuressendoentrambiivettorinonnulli, essi sono paralleli fra loro. Infattiinquestocasoilparallelogrammasischiacciafinoad assumere una superficie nulla. Sinotiancheche,adifferenzadelprodottoscalare,quello vettorialenongodedellaproprietcommutativa.Infatti scambiandofraloroiduevettoria

eb

,ilvettoreccambia verso. In altre parole a b c mentre b a -c = = Come si calcola il prodotto vettoriale utilizzando i versori? Poichilvettorec

perpendicolareada

eb

,necessario prendereinconsiderazioneunriferimentocartesianointre dimensioni anzich due.Quindi i due vettori moltiplicati vettorialmente fra loro saranno espressicontreversoriinvecedidue( i j e k dovel'ultimo versore quello parallelo all'asse z). Dati dunque x y zx y za a i a j a kb b i b j b k= + += + +

si ha x y z x y zc a b (a i a j a k) (b i b j b k) = = + + + +

Applicando la propriet distributiva si ha Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 23 (1-7) x x x y x zy x y y y zz x z y z zc a b i i a b i j a b i ka b j i a b j j a b j ka b k i a b k j a b k k= + + ++ + + ++ + +

Ora,ricordandoalsolitocheiversorihannolunghezza unitaria,quandosonoperpendicolarifralorosihasen sen 90 1 = =e,applicandolaregolachepermettedi stabilireilversoequindiilsegnodelprodottovettoriale, possiamo scrivere per i seguenti prodotti vettoriali: i j ke quindij i kj k i e quindik j ik i je quindi i k j = = = = = = mentre quando i vettori sono paralleli si hasen sen 0 0 = =e perci per i seguenti prodotti vettoriali si ha invece i i j j k k 0 = = = Sostituendo nella (1-7), si ottiene (1-8) x y x z y x y z z x z yc a b k a b j a b k a b i a b j a b i = + +

Per la lunghezza del vettorec

si ha quindi (1-9)x y x z y x y z z x z yc a b a b a b a b a b a b = + + Oraosserviamolaseguentematricequadratadelterzoordine (cio con tre righe e tre colonne) (1-10) x y zx y zi j ka a ab b b

Questa pu risolversi con la regola di Sarrus, che consiste nel ripetere le prime due colonne, poi occorre tracciare tre freccette rivoltediagonalmenteversoilbasso(diagonaliprincipali)e Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!24 trefreccetterivoltediagonalmenteversol'alto(secondarie), come nella figura. Ebbene,lamatriceequivaleallasommadeiprodottidegli elementiappartenentiallediagonaliprincipalimenoiprodotti degli elementi appartenenti alle diagonali secondarie.Si pu constatare che sviluppando la matrice nel modo indicato siriottieneesattamenteilvaloredelvettorec

espressodalle (1-8). Quindiilprodottovettorialesipucalcolaresemplicemente formandounamatricequadrataincuinellaprimariga compaionoitreversoridegliassi,nellasecondarigaletre componentidelprimovettorea

,enellaterzarigaletre componenti del secondo vettoreb

. ESEMPIO Datiivettoria i 2 j 2keb 3i k = + = +

prodotto vettoriale si ha i j k i jc a b 1 2 21 2 2i 6 j 0k 6k j 0i3 0 1 3 02i 7 j 6k= = = + + ==

Mentre il loro prodotto scalare ( )c a b 1 3 2 0 2 1 3 2 1 = = + + = =

Fisica ? No problem !!! versol'alto(diagonali Ebbene,lamatriceequivaleallasommadeiprodottidegli elementiappartenentiallediagonaliprincipalimenoiprodotti degli elementi appartenenti alle diagonali secondarie. Si pu constatare che sviluppando la matrice nel modo indicato c espressodalle Quindiilprodottovettorialesipucalcolaresemplicemente nellaprimariga compaionoitreversoridegliassi,nellasecondarigaletre ,enellaterzarigaletre perilloro c a b 1 2 21 2 2i 6 j 0k 6k j 0i = = = + + =

c a b 1 3 2 0 2 1 3 2 1 = = + + = =Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 25 CAP. 2 CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE Uncorpomentresimuovepuruotaresusestesso,sipu allungare o contrarre, pu vibrare, pu suddividersi in pi parti.Bastaimmaginareperesempiounagocciadacquachesi stacca da un rubinetto e cade in terra. In questa parte della fisica prendiamo invece in considerazione soltantouncorpoimmaginariocostituitodaunsingolopunto (detto punto materiale) e ci proponiamo di studiarne il moto. In altre parole non ci interessano per ora le cause che generano il moto, le dimensioni del corpo, le sue caratteristiche fisiche e chimiche(colore,forma,tipodimateriale),maciproponiamo di studiare essenzialmente la sua traiettorianellospazio, e le sueleggiorarie(cioformulechecipermettanodiconoscere comevarianoneltempolasuaposizione,lavelocite laccelerazione). Sicomprenderinseguitochelamaggiorpartedeimotireali riguardano corpi rigidi che possiamo immaginare condensati in unpuntoequindiirisultatifornitidallacinematicadelpunto potrannoessereapplicaticonbuonaapprossimazioneancheai loro movimenti. Cominciamoconilnotarechelospostamentodiunpuntoda A a B pu essere considerato una grandezza vettoriale. Infatti possiamoassociareallospostamentounvettoreconpuntodi applicazione in A e con la punta della freccia in B. Ed ora passiamo a introdurre i concetti di velocit ed accelera-zione, anche queste entrambe grandezze vettoriali. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 26 2-1. La velocit La velocit si definisce come il rapporto fra lo spostamento e il tempo impiegato a percorrerlo. r spostamento (vettore)vt tempo impiegato (scalare)= =

Poich formata da un vettore diviso uno scalare,v

un nuovo vettore avente la stessa direzione dir

ma lunghezza divisa per lo scalare t. Notiamo che il vettorer

non ha la direzione dir

.Il simbolo ha il significato di differenza fra e quindi t significadifferenzafraduetempi(cioperesempiot2t1),e allostessomodor

significadifferenzafraduespostamenti (cio per esempio 2 1r r ). Dopo questa precisazione osserviamo le figure seguenti Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 27 ConsideriamoilpuntomaterialenelledueposizioniAeB (figura1).Ivettorispostamentosonoindicatidalleduefrecce A Br e r . Inbasealcriterioespostoinprecedenzapercalcolarela differenzafraduevettori,ilvettore B Ar r r =

corrisponde alla diagonale corta del parallelogramma formato da A Br e r . Si ottiene quindi la formula (2-1) B AB Ar r rvt t t = =

che si chiama velocit media fra i due istanti tA e tB. Ora,mantenendofermoilpuntoA,avviciniamo gradualmente il punto B ad A (figure 2 e 3). Ilvettorer

divienepipiccolo,maruotaintornoalpuntodi applicazione A tendendo a divenire parallelo alla traiettoria. QuandoilpuntoBraggiungeilpuntoA(figura4),ilvettore r

diventato parallelo ed avviene una cosa molto importante (checostituisceilfondamentodellanalisimatematica):siail numeratorecheildenominatoredi rt

siannullano,mail rapportocontinuaamantenereunvalorefinito(chesichiama derivata dello spostamento rispetto al tempo). Questovaloreprendeilnomedivelocitistantaneaaltempo tA e si indica con il simbolo (2-2) t 0r drv limt dt = =

Dalpuntodivistamatematicolavelocitistantaneala derivata dello spostamento rispetto al tempo. Peresempiolavelocitcheleggiamosultachimetro dellautomobile una velocit istantanea. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 28 Leunitdimisuraperlavelocitsiesprimono inm/s(cioin metri al secondo). Talvolta pu far comodo esprimerle in modo diverso, per esempio in Km/h (chilometri lora). Comesieffettualatrasformazionediunavelocitdam/sin Km/h (o viceversa) ? Basta osservare che1000m Km 1000 m 1 m1 1h 3600s 3600 s 3, 6 s= = =Quindilacostante3,6ilfattorediconversionecheci permette di passare da un criterio di misura allaltro. Per esempio Km 60 m m60 16, 7h 3, 6 s sm Km Km50 50 3, 6 180s h h= = = 2-2. Laccelerazione Laccelerazione si definisce come il rapporto fra una variazione di velocit e il tempo impiegato ad ottenere tale variazione. v variazione di velocit (vettore)at tempo impiegato (scalare)= =

Poich formata da un vettore diviso uno scalare,a

un nuovo vettoreaventelastessadirezionediv

malunghezzadivisa per lo scalare t. Ancheinquestocaso,similmenteaquantoavvenivaperla velocit, il vettorev

non ha la direzione div

.Anche per laccelerazione si distingue fra accelerazione media fra due istanti tA e tB ed accelerazione istantanea al tempo tA. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 29 Esse sono rispettivamente (2-3)B AB Av v vat t t = =

laccelerazione media (2-4) t 0v dva limt dt = =

laccelerazione istantanea Dalpuntodivistamatematicolaccelerazioneistantaneala derivatadellavelocitrispettoaltempo.Mapoichquestaera gi a sua volta la derivata dello spazio, laccelerazione anche la derivata seconda dello spostamento rispetto al tempo. Le unit di misura per laccelerazione si esprimono in 2ms (cio in metri al secondo quadrato) perch trattandosi di una velocit diviso un tempo, si ha | || |2m mvelocitm1 ms sstempo s s s s1= = = =(leparentesiquadrestannoadindicarechesistannofacendo operazioni che riguardano le unit di misura). Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 30 2-3. Corpi in caduta libera Quandouncorpoliberodicaderepereffettodellagravit terrestre, si muove con una accelerazione costante. Il moto viene detto in questo caso naturalmente accelerato. Il valore di questa accelerazione (2-5) 2mg 9, 8s

e si chiama accelerazione di gravit. Talevalorenoncostante,mavariadapuntoapuntodella terra,anchesedipoco,evariaanche(comevedremoin seguito) con laltezza dal suolo. Inprimaapprossimazione,limitandociadunasolacifra decimale, possiamo considerare attendibile il valore della (2-5) senonprendiamoinconsiderazionedistanzeverticalimolto grandi o molto distanti dalla superficie della terra. In realt laccelerazione sarebbe rigorosamente costante se non ci fosse la presenza dellaria che oppone una consistente azione frenante.Negliesercizicomunque,amenochenonsia precisatodiversamente,assumeremosemprecheuncorpoin caduta libera si muova con accelerazione costante. Sipotrebbeobiettarechelesperienzacomunecimostra continuamentecheperesempiounapiumaimpiegamoltopi tempoacaderediunsasso.Questadifferenzaperdovuta appunto alla presenza dellaria: se in un tubo verticale di vetro aspiriamolariapossiamoverificarecheidueoggetticadreb-bero impiegando esattamente lo stesso tempo. Galileoperprimo,nel1600,stabilconunasempliceed elegantedimostrazioneteorica,cheuncorpopesante(per esempiounaincudinediferromassiccio)lasciataliberadi cadere,nonraggiungeilsuolopirapidamentediunaltro corpo pi leggero (per esempio un comune martello). Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 31 Sefosseveral'ipotesisecondolaqualel'incudinecadepi velocementedelmartelloperchpipesante,eraggiunge primailsuolo,cosadovrebbesuccederequandosilasciano cadere i due oggetti legati fra di loro con una fune ? Ilsistemadeiduecorpiunitifralorodovrebbecaderepi lentamenteperchilmartelloinqualchemodofrena l'incudine,manellostessotempoilsistemadovrebbecadere pivelocementeperchiduecorpiposseggonocomplessiva-menteunamassamaggiorediquelladellasolaincudineodel solo martello.Si arriva cos alla conclusione assurda che l'incudine dovrebbe caderesiapilentamentechepivelocementedelcasoin cui essa non sia collegata con il martello.L'assurdononpuchenasceredalfattochel'ipotesi sbagliata: icorpidebbonoquindicaderetutticonaccelera-zione costante. 2-4. Moto rettilineo uniforme Poichilmotoavvienesuunarettapossiamotralasciarela notazionevettorialeetrattarespostamenti,velocited accelerazionicomesefosserograndezzescalari.Resta comunqueintesocheessirestanosempredeivettoridiretti come la retta sulla quale avviene il moto. Con il termine uniforme intendiamo specificare che la velocit costante. ConsideriamoalloraunpuntoPchesi muovelungounaretta. Selavelocitcostantelavelocitmediaequellaistantanea sarannosempreugualiequindipossiamousareindifferente-mente la (2-1)o la (2-2). Dalla (2-1) trascurando, come si detto, la notazione vettoriale eindicandoconlavariabilesglispostamenti,possiamo scrivere Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!32 B AB As s svt t t = = sepoiponiamo(persemplicit)tA=0eindichiamo posizionecorrispondentesAcons0(chechiameremo inizialeperchrappresentaappuntolaposizionedelpuntoP nellistanteincuicominciamoacontareitempi),possiamo scrivere B 0Bs svt 0= cio,tralasciandolindiceBinquantoilpuntoBrappresenta ora una posizione generica del punto in movimento,0s svt=(2-6) 0s s v t = +Questaformularappresentalaleggeorariadelmotoanche grafico spazio-tempoLa velocit v e lo spazio iniziale ssonovaloricostanti,mentreteds sono delle variabili. Riportandola(2-6)suungrafico cartesiano,mettendoinascissail tempotedinordinatalospazios, si ha una retta. Si tenga per ben presente che questo grafico non rappresenta il moto del punto P, ma solo come varia lo spazio percorso in funzionedeltempo(laleggeoraria,appunto),cheunacosa molto diversa. Fisica ? No problem !!! indichiamola (chechiameremospazio perchrappresentaappuntolaposizionedelpuntoP nellistanteincuicominciamoacontareitempi),possiamo cio,tralasciandolindiceBinquantoilpuntoBrappresenta mento, delmoto(detta tempo). La velocit v e lo spazio iniziale s0 sonovaloricostanti,mentreteds )suungrafico cartesiano,mettendoinascissail tempotedinordinatalospazios, non rappresenta ma solo come varia lo spazio percorso in ltempo(laleggeoraria,appunto),cheunacosa Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!33 2-5. Moto rettilineo uniformemente acceleratoAncheinquestocasoilmotoavvienesuunarettaequindi possiamotralasciarelanotazionevettorialeetrattare come se fossero grandezze scalari. ConsideriamounpuntoPchesimuoveconaccelerazione costante lungo una retta: in questo caso laccelerazionequellaistantaneasarannosempreugualiequindipossiausare indifferentemente la (2-3)o la (2-4). Dalla (2-3) si ha B AB Av v vat t t = = se poi poniamo (per semplicit) tA = 0 e indichiamo la velocitcorrispondentesAcons0(chechiameremovelocitinizialepossiamo scrivere B 0Bv vat 0= cio, 0v vat=(2-7) 0v v a t = +Anche questa formula una legge orariadelmoto(ilgrafico velocit-tempo). Riportandola(2-7)suunpiano cartesiano,mettendoinascissail tempotedinordinatalavelocit v, si ha ancora una retta. Anche qui si ricordi cheil grafico nonrappresentailmotodel punto P. Fisica ? No problem !!! 5. Moto rettilineo uniformemente accelerato Ancheinquestocasoilmotoavvienesuunarettaequindi possiamotralasciarelanotazionevettorialeetrattareivettori conaccelerazione accelerazione media e quellaistantaneasarannosempreugualiequindipossiamo = 0 e indichiamo la velocit velocitiniziale), Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!34 Eimportanteaquestopuntofareunaosservazionenotevolechenonriguardasoloilmotouniformementeaccelerato,ma tutti i moti. Nelgraficovelocit-tempo,presoungenericoistsuperficiecompresafralassexelalineadelmoto(inquesto caso la retta), e gli istanti t = 0 e t =t(vedi la regione colorata nellafiguradellapaginaprecedente)rappresentasempre spazio percorso dal punto in movimento fra i due istanti di tempo. Questacorrispondenzagiustificatadalfattochelasuperficie formata da un tempo per una velocit che dimensionalmente appunto una lunghezza, cio uno spazio percorso. Questa osservazione ci permette di ricavare una seconda legge oraria per il moto uniformemente accelerato. Infatti calcoliamo larea della regione colorata, cio lo spazio s percorsodalpunto:lafigurauntrapezioconbasivaltezzat . Lareaquindi(tralasciandolasopralineaperchciriferiamo ad un tempo variabile, e non ad un istante generico fisso 0 0(v at) v base maggiore base minores altezzat2 2+ + += =cio 0 01 1s (at 2v )t at v t2 2= + = + (2-8) 0s v t at = +Questaunaltralegge orariachemettein relazionelospazio tempo. Fisica ? No problem !!! Eimportanteaquestopuntofareunaosservazionenotevole chenonriguardasoloilmotouniformementeaccelerato,ma tempo,presoungenericoistantet ,la superficiecompresafralassexelalineadelmoto(inquesto (vedi la regione colorata )rappresentasemprelo pazio percorso dal punto in movimento fra i due istanti di Questacorrispondenzagiustificatadalfattochelasuperficie formata da un tempo per una velocit che dimensionalmente osservazione ci permette di ricavare una seconda legge Infatti calcoliamo larea della regione colorata, cio lo spazio s percorsodalpunto:lafigurauntrapezioconbasiv0ev,ed Lareaquindi(tralasciandolasopralineaperchciriferiamo ad un tempo variabile, e non ad un istante generico fissot ) 0 0(v at) vs altezzat2 2+ + 20 01 1s (at 2v )t at v t2 2= + = +201s v t at2= +unaltralegge chemettein spazioconil Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 35 Questaparabolapassaperlorigine,haassedisimmetria verticale,concavitversolalto,elapartetratteggiata corrisponde a tempi negativi. Avremmopotutoraggiungerelostessorisultatoricorrendo allanalisi matematica. Infatti sapendo che la velocit la derivata dello spazio rispetto altempo,alcontrarioconoscendolavelocitdobbiamofare una operazione di integrazione per ottenere lo spazio. Svolgendo i calcoli si ha ( )tt2 20 0 0001 1s v at dt v t at v t at2 2 (= + = + = + ( che identica alla (2-8). Una formula utile Nelmotouniformementeonaturalmenteacceleratole(2-7)e (2-8)possonoesserescritteinmodosemplificatonelcasoin cui la velocit iniziale v0 sia nulla. In tal caso esse divengono 2v at1s at2== ricavandoiltempodallaprimarelazione(t=v/a)esostituendo nella seconda si ottiene 22221 vs a2 avs2av 2as=== Questultima relazione v 2as =Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!36 cipermettedirisolvereproblemiincuisianocoinvoltisolo accelerazione, velocit e spazio percorso, ma non il tempo.Lo stesso calcolo si pu facilmente ripetere anche con le leggi orarie (2-7) e (2-8) non semplificate, ottenendo una formula dello stesso genere, ma un po pi complessa. Occupiamoci ora dei moti che avvengono su un pianoparticolare di due moti caratteristici: quello circolare uniforme e quello parabolico di un proiettile lanciato sotto leffetto della gravit terrestre. 2-6. Moto circolare uniforme La traiettoria una circonferenza, e la leggedelmotouniforme(ciola velocit costante). Precisiamochelavelocitsideve intenderecostantecome delvettore,mailvettoreruota continuamentemantenendosiinogni istante tangente alla circonferenza.SichiamaperiodoTnecessario perch il punto P compia un giro completo.Lafrequenza inveceilnumerodigirieseguitidaP nell'unit di tempo. Vale sempre la relazione(2-9) 1T =Il periodo si misura in secondi, mentre la frequenza si misura in giri/secondo detti anche Hertz (Hz). Ilvaloredellavelocit(dettaanchevelocittangenzialeo periferica)sipucalcolare(ricordandochehaunalunghezzaFisica ? No problem !!! dirisolvereproblemiincuisianocoinvoltisolo accelerazione, velocit e spazio percorso, ma non il tempo. ere anche con le leggi , ottenendo una formula moti che avvengono su un piano, ed in quello circolare uniforme e quello parabolico di un proiettile lanciato sotto leffetto della La traiettoria una circonferenza, e la leggedelmotouniforme(ciola Precisiamochelavelocitsideve intenderecostantecomelunghezza delvettore,mailvettoreruota continuamentemantenendosiinogni ngente alla circonferenza. periodoTiltempo necessario perch il punto P compia un giro completo. inveceilnumerodigirieseguitidaP periodo si misura in secondi, mentre la frequenza si misura in Ilvaloredellavelocit(dettaanchevelocittangenzialeo pucalcolare(ricordandochehaunalunghezza Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!37 costante)eseguendoilrapporto spaziotempo prendendocome spaziolalunghezzadellinteracirconferenza,ecometempo quello necessario a percorrerla, cio il periodo (2-10) 2 rvT=Definiamoinvecevelocitangola-re ,nonlospaziopercorso nell'unitditempo,mal'angolo percorso nell'unit di tempo. Tale angolo misurato in radianti. Anchelavelocitangolare costanteequindisipucalcolare facendo il rapporto fra l'angolo giro misurato in radianti (2) e il tempo necessarioapercorrerlo,cioil periodo T (2-11) 2T =Sostituendola(2-11)nella(2-10)questultimapuessere scritta anche nel modo seguente (2-12) 2 rv rT= = incuisivedechelavelocit tangenzialevvariaalvariaredel raggio,mentrelavelocitangolare indipendente da esso. Comunquevelocittangenzialee velocitangolaresonolegatedalla relazione v = r. Nelparagrafo2-2abbiamovisto Fisica ? No problem !!! prendendocome spaziolalunghezzadellinteracirconferenza,ecometempo )questultimapuallora Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!38 (formule 2-3 e 2-4) cheuna variazione di velocit d luogo ad una accelerazione, ed in questo caso la velocit rimane costante come lunghezza ma varia continuamente di direzione.Infattilevelocitillustratenellafiguraprecedentequandoil puntositrovanelleposizioniP1eP2,dannoluogoadun 2 1v v v =

che,divisoperlintervallotnecessarioper percorrere larco

1 2P P , fornisce una accelerazione diretta come v

cio diretta verso il centro. Questaaccelerazioneprendeilnome,appuntoaccelerazione centripeta (cio diretta verso il centro).E' la presenza di questa accelerazione che costringe il punto P a deviare continuamente mantenendo una traiettoria circolareAnchel'accelerazionecentripetaunvettorecostante lunghezza,macheruotacontinuamente(compiendoungiro intero nel tempo T corrispondente al periodo). Stabilito che laccelerazione centripeta sempre diretta verso il centro,proponiamocioradiottenereunaformulacheci permettadicalcolarequesta accelerazione centripeta.Prendiamoallorain considerazionediversivettori mentreilpuntoPdescrive circonferenza di raggio r.Applichiamoquestivettoritutti in uno stesso punto. Otteniamolafiguramostsopra. Seimmaginiamodiaumentareilnumerodipuntiavremoun numeromoltomaggioredivettoriv

edilpoligonoindicato infiguratenderadiventareunacirconferenza(circonferenza immaginaria di raggio v e non r !). Fisica ? No problem !!! ariazione di velocit d luogo ad una accelerazione, ed in questo caso la velocit rimane costante come lunghezza ma varia continuamente di direzione. Infattilevelocitillustratenellafiguraprecedentequandoil dannoluogoadun tnecessarioper , fornisce una accelerazione diretta come prendeilnome,appunto,di (cio diretta verso il centro). E' la presenza di questa accelerazione che costringe il punto P a traiettoria circolare.ecostantein ruotacontinuamente(compiendoungiro Stabilito che laccelerazione centripeta sempre diretta verso il centro,proponiamocioradiottenereunaformulacheci calcolarequesta accelerazione centripeta. Prendiamoallorain diversivettoriv

mentreilpuntoPdescrivela circonferenza di raggio r. Applichiamoquestivettoritutti Otteniamolafiguramostrataqui puntiavremoun edilpoligonoindicato unacirconferenza(unanuova Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!39 QuindiinuntempoTilvettorev

descriverunacirconferenza di raggiov

. Ebbenel'accelerazionecentripetapualloracalcolarsinel modo seguente lunghezza crf 2 v 2 2 2 ra vperiodo T T T T = = = =moltiplicando e dividendo per r si ottiene (2-13) 222 r 2 r 1 1 va vT T r r r = = =o, anche, ricordando la (2-12) (2-14) 2a r = 2-7. Effetti di una accelerazione generica Applichiamoaduncorpounaaccelera-zione genericaa

. Possiamosemprescomporrequestaac-celerazioneinduecomponenti:unata

tangenteallatraiettorianellistantecon-siderato,edunana

normale,perpen-dicolare alla traiettoria stessa. Gli effetti prodotti dalle due componenti sonoindipendentiepossonoessere studiaticomeseavvenisserodasoli,ignorandolaltra componente. Lacomponentetangenzialeagiscesullaleggeoraria aumentandolalunghezzadelvettorevelocitmasenzaavere alcunainfluenzasullatraiettoria.Seagissedasolailmoto avverrebbe lungo una retta tangente alla traiettoria. La componente normaleinvece agisce sulla traiettoria facendo ruotareilvettorevelocitmasenzaavereinfluenzasullasua Fisica ? No problem !!! descriverunacirconfe-Ebbenel'accelerazionecentripetapualloracalcolarsinel lunghezza crf 2 v 2 2 2 rperiodo T T T T studiaticomeseavvenisserodasoli,ignorandolaltra Lacomponentetangenzialeagiscesullaleggeoraria masenzaavere latraiettoria.Seagissedasolailmoto La componente normaleinvece agisce sulla traiettoria facendo ruotareilvettorevelocitmasenzaavereinfluenzasullasua Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!40 lunghezza. Se agisse da sola (e avesse valore costante) il moto avverrebbe su una circonferenza. Lapossibilitdiscomporreledueaccelerazioniestudiare separatamenteiloroeffetti,moltoutileperlacomprensione di molti fenomeni fisici. 2-8. Traiettoria di un proiettile Si abbia un corpo (per esempiounproiettiletrattatosemprecome sefosseunpuntolanciatoinariacon unavelocitiniziale v0econuncerto angolo(detto rispettoalladirezione orizzontale.Ilsuomotosipupensaredecompostoinduemoti indipendenti:unoorizzontalelungolassexconvelocit costantev0x,edunaltroverticalelungolassey,uniformementeacceleratoconvelocitinizialevaccelerazione-g(negativaperchl'assedelleordinate rivoltoversol'altomentrel'accelerazionedigravitinvece rivolta verso il basso). IlpuntoPrappresentalaposizionedelcorpoinunistante generico t. La legge oraria lungo l'asse x 0xx v t =mentre quella lungo l'asse y 20y1y v gt2= Fisica ? No problem !!! sse valore costante) il moto Lapossibilitdiscomporreledueaccelerazioniestudiare separatamenteiloroeffetti,moltoutileperlacomprensione un corpo (per esempiounproiettile, trattatosemprecome sefosseunpunto) lanciatoinariacon unavelocitiniziale econuncerto (dettoalzo) ettoalladirezione orizzontale. sipupensaredecompostoinduemoti convelocit altroverticalelungolassey, uniformementeacceleratoconvelocitinizialev0yed g(negativaperchl'assedelleordinate nedigravitinvece IlpuntoPrappresentalaposizionedelcorpoinunistante Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 41 IlpuntoPnelgenericoistantethaquindilecoordinate seguenti 0x20yx v t1y v t gt2== chevengonodetteanchecoordinateparametrichediP(il parametro il tempo t). Illuogo(inmatematicasichiamaluogouninsiemedipunti che rispettano tutti una certa propriet geometrica o algebrica) descrittodaPalpassaredeltempo(cioalvariaredel parametro) si ottiene eliminando il parametro t dalle due leggi orarie. Dunque, ricavando il tempo dalla prima equazione 0xxtv=e sostituendolo nella seconda, si ha 20y20x 0xv1 xy x gv 2 v= Ordiniamo poi i termini nel modo seguente (2-15) 0y220x 0xvgy x xv 2v= +ciounaparabolaconasseverticale,passanteperlorigine, con concavit rivolta verso il basso. Le coordinate del vertice (corrispondente alla quota massima raggiunta dal corpo nella sua traiettoria) sono 20x 0y 0yv v vA ;g 2g| || |\ Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!42 equelledelpuntoB(corrispondenteallagittatadistanzamassimaallaqualearrivailcorpo,seilterreno pianeggiante) sono 0x 0y2v vB ; 0g| ||\ Quindiunproiettilepereffettodellaforzadigravitdescrive una traiettoria parabolica. Lecomponentiv0xev0ypossonoancheessereespressenel modo seguente 0x 00y 0v v cosv v sen= = Ricordiamocicomunquechenelcalcolodellatraiettoria abbiamo trascurato la resistenza dell'aria. DUE ANGOLI PER UNA STESSA GITTATA Osservandolafigurasipu notarecheperdueangoli simmetrici(peresempio 1=45-10=35e2=45+10=55)rispettoalla bisettrice,siottengonodue parabolechefornisconola stessa gittata. Conunalzodi45sihala "gittata massima". Ancheinquestocasoperprescindendodallapresenza dell'aria che con il suo attrito deforma la traiettoria. Fisica ? No problem !!! gittata,cioalla ilcorpo,seilterreno Quindiunproiettilepereffettodellaforzadigravitdescrive possonoancheessereespressenel chenelcalcolodellatraiettoria Osservandolafigurasipu notarecheperdueangoli simmetrici(peresempio 10=35e45+10=55)rispettoalla bisettrice,siottengonodue parabolechefornisconola Conunalzodi45sihala

odallapresenza Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!43 GLI ERRORI PRIMA DI GALILEO Nelmedioevosiritenevavalida lateoriadell'impetus,come vienemostratonellaincisionea fianco. SecondolalogicaAristotelicai corpiavevanodueattributi:la gravit e la leggerezza. Iloromotipotevanoesseredi duetipi:quellinaturali(come quellodiuncorpoincaduta libera)equelliviolenti(come quellodiuncorpolanciatoversol'altoconunadirezione qualsiasi). L'impetociolaspintainiziale,secondolalorovisione, impedivaallaforzadigravitdiagireeilcorposalivacon moto rettilineo e velocit costante. Esauritol'impetoilcorpocadevainverticaleconvelocit proporzionale al suo peso (e non con accelerazione costante) e inversamente proporzionale alla densit dell'aria. Fral'altroquestateoriapermettevaaglistudiosiaristotelicidi affermarecheilvuotononpotevaesistere(infattinelvuotola densitnullaequindiil corpodovevaaverevelocit infinita. Nederivavacheessopoteva trovarsicontemporaneamente indueluoghidiversi,eci eraimpossibile.Dunqueil vuoto non poteva esistere.) Inepoca pi vicinaa noi, nel 1672, quindi dopo la morte di Galileo(avvenutanel1642),Fisica ? No problem !!! onunadirezione secondolalorovisione, impedivaallaforzadigravitdiagireeilcorposalivacon Esauritol'impetoilcorpocadevainverticaleconvelocit nale al suo peso (e non con accelerazione costante) e Fral'altroquestateoriapermettevaaglistudiosiaristotelicidi affermarecheilvuotononpotevaesistere(infattinelvuotola Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 44 sopravvivevanoancorateorieerrate:letraiettorieerano rappresentatecomearchidicirconferenzaraccordatecon segmenti rettilinei. Intrentaannileideedi Galileo,purcoschiareeconvincenti, non avevano ancora raggiunto unadiffusione profonda. IlprocessodiGalileosullateoriageocentricanon probabilmente la causa di tale ritardo.Laragioneprincipalepresumibilmentelatenaciaconcuii pregiudizitendonoapermanereradicatinell'uomo,ela difficolt(rispettoadoggi)concuileinnovazioniscientifiche venivano divulgate fuori degli ambienti accademici.Nonc'eranoinfattipubblicazioniinternazionali,periodici scientificiemassmedia,chepermettesserounarapida diffusione delle notizie. 2-9. Velocit e accelerazione relative Mettiamooraaconfrontolevelociteleaccelerazioni misuratedadueosservatoripostiinduesistemidiriferimento che si muovono fra loro con velocit costante. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 45 Per esempio, come mostra la figura precedente, un osservatore fisso a terra su un sistema S (che user le coordinate x ey), edunosservatoresuunvagoneferroviariochesimuovecon velocitw

equindisolidaleconunsistemaS(cheuserle coordinate x ed y). Unoggetto(ilpallinoscuro)vienelanciatoinariadallosser-vatore che si trova sul vagone. Dopo un generico tempo t il pallino si trover in una posizione diversa (vedi seconda figura) e losservatore fisso a terra potr visualizzareunospostamentor '

,mentrelosservatoresul vagone registrer uno spostamentor

. Nelfrattempoilvagoneferroviario,poichprocedecon velocitcostantew

,avrpercorsounalunghezzawt

(velocit per tempo = spostamento). Osservandolafiguraedinterpretandolacomposizionedi vettori come un poligono funicolare, possiamo scrivere (2-16)r ' w t r = +

Ora, derivando rispetto al tempo, otteniamo dr ' drwdt dt= +

(2-17)v' w v = +

Quindi, la velocit nel sistema S data dalla somma vettoriale della velocit di trascinamentow

per la velocit nel sistema S. Vedremoinseguitochela(2-17)validasoltantosetuttele velocitingiocosonomoltopipiccoledellavelocitdella luce.Inquestocasoinfattioccorreapplicarelecorrezioni relativistiche. Per quanto riguarda infine le accelerazioni nei due sistemi S ed S,sipuderivarela(2-17)ricordandocheabbiamosupposto Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 46 costantelavelocitditrascinamentow

(equindilasua derivata nulla), ed ottenere (2-18) a' a = Dunque nei due sistemi di riferimento S ed S i due osservatori misurerannolastessaaccelerazioneperimovimenti delloggetto. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 47 ESERCIZI DI CINEMATICA Formule da ricordare: Moto uniforme 0s s v t oppure s vt = + =Moto uniformemente accelerato ( )220 001 1s s v t a t s a toppure2 2v v a t v a t = + + = = + = Eliminando il tempo fra le due si ha anche2 ( ) ( )2 20v 2a s s oppure v 2as = =Moto circolare uniforme 221T2T2v r rTva rr = == = = = 2 Sitengapresentecheilsimbolo 2( ) v significa 2 20v v mentre ( )2v significa ( )20v v v v = con un risultato del tutto diverso. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 48 ESERCIZIO 1 Unaereoperpoterdecollaredeveraggiungerelavelocitdi 360 km/he la pista su cui sta rullando lunga 1800 m. Suppo-niamo che i motori forniscano una spinta costante, quindi il suo motouniformementeaccelerato.Calcolareilvaloredel-laccelerazione e il tempo necessario per staccarsi dal suolo. SOLUZIONE Le leggi orarie sono (2-19) 21s a t(spazio iniz. e velocit iniz. sono nulli)2v a t== Eliminando il tempo vale anche la formula (2-20)v 2as =Poich conosciamos = 1800 m km 360 m mv 360 100h 3, 6 s s= = =Possiamo ricavare laccelerazione utilizzando la (2-20) 22vv 2as a2s= =Siricordichesempreconvenientericavarelaformula risolventeconilcalcololetteraleprimadisostituireinumeri alle lettere. 22100 10000 ma 2,82 1800 3600 s= = Il tempo necessario per il decollo si pu ottenere dalla seconda relazione delle (2-19) v 100t 35, 7seca 2,8= = = Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 49 ESERCIZIO 2 Unautosimuoveconaccelerazionecostanteeattraversadue traguardi B e C posti a 60 metri uno dallaltro, in 6 secondi.La suavelocitquandoattraversailtraguardoCdi54km/h. Qualera la sua velocit quando ha attraversato il traguardo B ? Qual la sua accelerazione ? Qual la distanza fra il punto A in cui partita (da ferma) e il traguardo B ? SOLUZIONE Ckm 54 mv 54 15h 3, 6 s= = =C BC Bs s s 60mt t t 6s = == = Lauto si muove con accelerazione costante verso destra. Parte dafermainAedaumentandoprogressivamentelapropria velocit attraversa il punto B e poi il punto C. Talvoltapufarcomodo,edquestoilcaso,immaginarela situazionecapovolta:lautopartedaC,econunaaccelerazione costante negativa, rallenta progressivamente fino a fermarsi in A. In questo modo la velocit vC diventa velocit iniziale e posso applicare la formulaCarlo Sintini Fisica ? No problem !!! 50 ( )( )2B C C2C1s s v t a t21s v t a t2= + + = + per calcolare laccelerazione. Si ottiene ( )( )2CC2 2 22 s 2v t a t2 s 2v t 2 60 2 15 6 60 ma 1, 636 6 st = + = = = = Per ottenere la velocit nel punto B posso applicare la formula B Cv v a t = + cio Bmv 15 1, 7 6 5s= =Infine, per calcolare la distanza AB, consideriamo lauto nel punto iniziale sB, con accelerazione negativa (a = -1,7) che procede verso sinistra, fino ad arrivare in sA con velocit vA nulla. 2B A2 2BAv 2asv 5s 7, 35m2a 2 1, 7== = ESERCIZIO 3 Unoggettovienelanciatoverticalmenteversoilbassodal terrazzo di un palazzo alto 60 m, con una velocit iniziale di 20 m/s, e successivamente un altro oggetto identico viene lasciato cadere liberamente con velocit iniziale nulla. In entrambi i casi, con quale velocit urta il suolo, e dopo quanto tempo ? Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 51 SOLUZIONE Per calcolare la velocit con cui tocca il suolo utilizziamo la formula ( ) ( )20v 2a s s = che nel primo caso (oggetto con velocit iniziale non nulla) diviene ( )2 20v v 2a s 0 = in quanto poniamo s0 = 0 e, sostituendo, si ha ( )( )2 20202v v 2a s 0v v 2a s 0v 20 2 10 60= + = + = + v 400 1200 1600 40 m/s = + = =Quindi il corpo toccher il suolo con una velocit di m kmv 40 40 3, 6 144s h= = =Nel secondo caso, lasciando cadere il corpo da fermo, si ha invece 2v 2asm kmv 2 10 60 1200 35 35 3, 6 126s h== = = = Perinciso,quandosiviaggiasuunautoallavelocitdi120 km/he purtroppo avviene un incidente, come se cadessimo da un palazzo alto circa 60 metri!! (cio un palazzo di circa 17 piani) Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!52 Rispondiamo ora allaltra domanda: dopo quanto tempo il corpo tocca il suolo dal momento in cui viene lasciato ? Utilizziamo la formula0 01s s v t a t2= + + Stabiliamo di fissare un riferimento cartesiano come in figura, con lorigine in O.Non occorre utilizzare entrambe lecoordinatexey,ma sufficienteindicarelordinata, cio la quota, con la lettera s.Poniamo quindi0 02m ms 60 v 20 a 10s s= = Sitengapresentechelavelocitinizialeelaccelerazionedi gravit(chepersemplicitabbiamopostougualea10)sono diretteversoilbasso,cioindirezionecontrariarispetto allasse y, e quindi sono negative. Sostituendo si ottiene ( ) ( )2 1s 60 20 t 10 t2= + Vogliamo ora stabilire per quale intervallo di tempo necessario perch lordinata s diventi nulla (cio quando il corpo raggiunge il punto B). Si ha ( )( )220 60 20 t 5 tt 4 t 12 02 st 2 4 12 2 46 s= + == + = = Fisica ? No problem !!! Rispondiamo ora allaltra domanda: dopo quanto tempo il corpo tocca il suolo dal momento in cui la formula ( )2 1s s v t a t2= + + Stabiliamo di fissare un riferimento cartesiano come in figura, con lorigine in O. Non occorre utilizzare entrambe lecoordinatexey,ma sufficienteindicarelordinata, cio la quota, con la lettera s. Sitengapresentechelavelocitinizialeelaccelerazionedi gravit(chepersemplicitabbiamopostougualea10)sono diretteversoilbasso,cioindirezionecontrariarispetto t necessario perch lordinata s diventi nulla (cio quando il corpo 6 sCarlo Sintini Fisica ? No problem !!!53 Lasoluzionenegativavascartataperchprivadisignifisico.Orapassiamoalcasoincuiilcorpovengalasciato cadere partendo da fermo. Nella formula ( )20 01s s v t a t2= + + poniamo ora s0 = 60 mev0 = 0 Si ottiene ( )( )2 1s 60 0 t 10 t2= + + Sitengapresenteche laccelerazionedigravit(che persemplicitabbiamoposto ugualea10)direttaversoil basso, cio in direzione contraria rispetto allasse y, e quindi negativa. Vogliamo ora stabilire per quale intervallo di tempo necessario perch lordinata s diventi nulla (cio quando il corpo raggiunge il punto B). Si ha ( )( )220 60 5 tt 12t 3, 46 sec= = ESERCIZIO 4 Nel caso dellesercizio precedente, se il corpo viene lanciato verso lalto dalla terrazza del palazzo con velocit iniziale di 20 m/s, qual la quota massima che raggiunge, dopo quanto tempo la raggiunge, e dopo quanto tempo (dal lancio) il corpo tocca il suolo ? Fisica ? No problem !!! scartataperchprivadisigni-ficato fisico.Orapassiamoalcasoincuiilcorpovengalasciato t ta s diventi nulla (cio quando il corpo Nel caso dellesercizio precedente, se il corpo viene lanciato verso lalto dalla terrazza del palazzo con velocit iniziale di 20 uota massima che raggiunge, dopo quanto tempo la raggiunge, e dopo quanto tempo (dal lancio) il corpo tocca il Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!54 SOLUZIONE Cominciamo a vedere qual la quota massima raggiunta.Nella formula 0v v a t = + poniamo0m mv 20 a 10s= v 20 10 t = nelpuntodiquotamassimala velocit per un istante nulla (e poisiinvertedirigendosiverso il basso). Quindi poniamo v = 00 20 10 t20t 2s10= = = Dopo 2 secondi dal lancio il corpo raggiunge la quota massima, ma qual questa quota ? Capovolgendolasituazione,ilmotoequivaleaquellodiun corpochepartendodafermonelpuntodiquotamassima,in caduta libera per h metri, raggiunge il puntoA con vel20 m/s. Si ha 22v 2ghv 400h 20 m2g 2 10== = = Aggiungendo a questa lunghezza laltezza del palazzo, si ottiene la quota massima di s 60 20 80 m = + =Calcoliamo ora dopo quanto tempo il corpo tocca il suoloformula Fisica ? No problem !!! Cominciamo a vedere qual la quota massima raggiunta. v v a t = + 2m mv 20 a 10s v 20 10 t = nelpuntodiquotamassimala velocit per un istante nulla (e poisiinvertedirigendosiverso Quindi poniamo v = 0 secondi dal lancio il corpo raggiunge la quota massima, Capovolgendolasituazione,ilmotoequivaleaquellodiun corpochepartendodafermonelpuntodiquotamassima,in caduta libera per h metri, raggiunge il puntoA con velocit di Aggiungendo a questa lunghezza laltezza del palazzo, si ottiene dopo quanto tempo il corpo tocca il suolo. Nella Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 55 ( )20 01s s v t a t2= + + poniamo0 02m ms 60 v 20 a 10s s= = e otteniamo ( )( )( )( )2221s 60 20 t 10 t260 20 t 5 t 0t 4 t 12 06 st 2 4 12 2 42s= + + + = == + = = Scartandolasoluzionenegativa,ilcorpotoccaterradopo6 secondi. ESERCIZIO 5 Unastazionespazialehalaformadiunanellorotanteconil diametrodi100m.Laccelerazionecentrifugaprodottadalla rotazione ugualea quella esistente sulla superficie della luna (cio un sesto della gravit terrestre). Calcolare la velocit angolare della piattaforma ed il suo periodo di rotazione. SOLUZIONE Dalla formula2a r = ottengoar = e, sostituendo, Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 56 g1, 6 rad60,126100 100 s = = =Dalla formula2T =si ottiene il periodo 2 6, 28T 50sec0,126= = Quindi la piattaforma compie un giro completo in poco meno di un minuto. Anche se non richiesto, calcoliamo la velocit tangenziale m kmv r 0,126 100 12, 6 12, 6 3.6 45s h= = = = ESERCIZIO 6 Unragazzofaruotareorizzontalmenteunsassolegatoaduna corda lunga 1,5 m,ad unaltezza di 2 m. Ad un certo istante il ragazzo lascia andare la corda ed il sasso schizzavialungolatangente,etoccailsuoloinunpunto distante 10 m. Qualera il valore dellaccelerazione centripeta durante il moto circolare ? SOLUZIONE Indichiamo conv

la ve-locit tangenziale posse-duta dal sasso non appe-na la corda viene lascia-ta.Dalla formula (2-15) dellateoriasappiamo chelatraiettoria(para-bolica)delsassodel tipo Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 57 0y220x 0xvgy x xv 2v= +in cui le componenti div

sono 0x 0yv v e v 0 = = . Quindi la traiettoria data in questo caso dalla formula 22gy x2v= Le coordinate del punto B sono (10;-2) e quindi avremo 22g2 152v = Risolvendo, otteniamo la velocit v 210 225v 5624mv 562 23, 7s= == Laccelerazione centripeta raggiunta durante il moto circolare dunque 22v 562 ma 375r 1, 5 s= = Infine,anchesenonrichiestodalproblema,conoscendola velocittangenzialealmomentodelrilasciodellacorda, possiamo risalire al calcolo del periodo del moto circolare. 2 2 rv r TT v = =6, 28 1, 5T 0, 4s23, 7= da cui si ottiene la frequenza 1 1 giri2, 5T 0, 4 sec = = =Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 58 Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 59 CAP. 3 DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE 3-1. La forza Occupiamocioradellecausechegeneranoilmoto,limitandoci sempreperora,almotodiunsemplicepuntomateriale. Estenderemo in seguito il discorso ai sistemi di punti. Imotisonoprovocatidalleforzeapplicateaduncorpo: cominciamo allora a definire il concetto di forza. Sidiceforzaqualunquecausacapacediprodurreuno spostamento o una deformazione. Nella figura a sinistra la caduta di un oggetto pesante trasmette attraversoilfilounaforzaalcarrellocheprovocaunsuo spostamento. Nella figura a destra invece applicando al gancio inferioreunoggettopesante,laforzaproduceunadeforma-zione,unallungamento,chepuancheesseremisuratoefor-nire un valore della forza stessa. Un dispositivo di questo genere, si chiama dinamometro. Con il dinamometro importante non usare pesi o forze troppo grandi perch la molla si pu sfibrare, acquistare una deforma-Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 60 zionepermanenteenonriprenderepilaposizioneiniziale quando torna in condizioni di riposo. Le unit di misura per la forza sono il Newton, abbreviato con NnelsistemaS.I.(sistemainternazionale)eladinanel sistema cgs (centimetro, grammo, secondo). Occorrono 100.000 dine per ottenere la forza di 1 Newton. Le forze sono grandezze vettoriali. Quandoaduncorpovieneapplicataunaforzacostante, questo si muove con accelerazione costante. I moti che le forze producono sui corpi costituiscono una parte dellafisicadenominatadinamica,edimperniatasutreleggi fondamentali (elaborate da Newton nel 1600). 3-2. Prima legge (o legge dinerzia) Seaduncorpononvieneapplicataalcunaforza,osead esso vengono applicate forze con risultante nulla, esso tende a mantenere il proprio stato di moto. Cio se fermo tende a rimanere fermo e se in moto tende a continuare a muoversi con velocit costante. Pusembrareunaaffermazioneovvia,matalvoltanonlo. Siamoabituatiavederecheuncorpoinmovimentotendea fermarsi se cessa la spinta che lo fa muovere, ma ci dovuto alla presenza dell'attrito (con il piano d'appoggio o con l'aria). Sel'attritonulloilcorpoinmototenderacontinuareilsuo moto con velocit costante, per sempre: si pensi alla terra che in movimento da miliardi di anni e non accenna a rallentare. Abbiamotalvoltaunaconoscenzaintuitivadiquestalegge quandoperesempioscendiamodauntrenoancorain movimento:nonpossiamoscendereefermarciall'istante perchcadremmo.Occorreinvecefarequalchepassonella direzionedimovimentodeltrenoerallentaregradatamente fino a fermarci. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 61 Alcontrariopersaliresuuntrenogiinmotooccorre cominciare a correre nella direzione di marcia del treno fino ad assumere la sua stessa velocit, e soltanto allora possibile fare il salto per salire sul treno senza cadere. Viene anche detta leggedinerzia perch questo termine mette inevidenzacheilcorpotendeamantenereilpropriostatodi moto o di quiete. E come se fosse riluttante a variare la propria velocit. Questariluttanzatantopimarcataedevidentequantopi grandeilcorpo(cio,comevedremonellasecondalegge, quanto pi grande la sua massa). 3-3. Seconda legge (o legge fondamentale) Quando applichiamo adun corpo una forza costante, questo si muove con accelerazione costante. Supponiamodiapplicareunaforzacostantef1:essoassumer una accelerazione costante a1. Successivamenteapplichiamoallostessocorpounaforzaf2: esso assumer una accelerazione a2. Poi una forza f3: esso assumer una accelerazione a3, e cos via. Ora calcoliamo i rapporti fra le forze applicate e le conseguenti accelerazioni.Si ha f1a1F1/a1 = m f2a2F2/a2 = m f3a3F3/a3 = m . . .. . .. . . Si potr constatare che il rapporto f/m costante. Questa costante una caratteristica del corpo e si chiama massa del corpo. Sinotichementrelaforzael'accelerazionesonograndezze vettoriali, la massa una grandezza scalare. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 62 Seilcorpomoltograndelaforzaprodurrunapiccola accelerazione,ilvaloredimsarelevato,equindilamassa rappresentainqualchemodounamisuradellaquantitdi materia che forma il corpo. La leggef/m = apu essere scritta sotto la forma vettoriale (3-1) f ma =

e rappresenta la seconda legge. Sinoticheforzaeaccelerazionesonovettoriparallelie concordiperchlamassaunagrandezzascalare,ed positiva:sipassadallaforzaallaaccelerazioneoviceversa semplicemente dividendo o moltiplicando per m. Lasecondaleggesipudunqueenunciaredicendocheogni forzaapplicataaduncorpo(liberodimuoversi) proporzionaleallaaccelerazionecheilcorpoassume.La costantediproporzionalitprendeilnomedimassadel corpo. Latendenza(espressaconlaprimalegge)amantenere invariato lo stato di quiete o di moto, tanto maggiore quanto maggiore la massa del corpo. In altre parole linerzia di un corpo, cio la difficolt a variare la sua velocit, tanto pi evidente quanto pi grande la sua massa. Quando laccelerazione del corpo corrisponde allaccelerazione di gravit (g = 9,8 m/s2) allora la forza corrisponde al peso del corpo (3-2)p mg = Anche il peso si misura spesso in kilogrammi, ma non bisogna confondere fra loro i due concetti: Il peso un vettore e la massa uno scalare. Occorremoltiplicareodividerepergperpassaredauno allaltro. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 63 La massa una caratteristica del corpo che rimane costante inognipuntodelluniverso.Ilpesoinvecevariaasecondadelpostoincuicisitrova(sullaTerra,sullaLuna,suun satellite in orbita, ecc.). Infatti sulla Luna g circa un terzo delvalorechesihasullaterra,mentresuunsatellitein orbita g addirittura nulla. Quando poniamo un oggetto su una bilancia a bracci uguali per pesareunoggetto,confrontiamolaforzapesoagente sulloggettoconlaforzapesoagentesulpesocampioneposto nellaltro piatto. Stiamo quindi confrontando fra loro due pesi. Mapoichilvaloredig

lostessoinentrambiicasi,apesi uguali corrispondono masse uguali. Anche nel linguaggio comune diciamo che loggetto pesa per esempio1,3Kg,ancheseinrealtilKg(eisuoimultiplie sottomultipli) sono unit di misura delle masse. AllamassadiunKgcorrispondeinrealtunaforza gravitazionale (talvolta chiamata anche Kgpeso) pari a (3-3)F = 1 Kgpeso = 9,8 Newton 3-4. Terza legge (o legge dazione e reazione) Oltrealleforzecosiddetteattive (denominateancheazioni),ne esistonoaltredovuteallapresenzadi appoggiodivincoli(chevengono denominate reazioni). Peresempioseappoggiounoggetto suuntavolo,perquantodettofinora lagravitterrestredovrebbefarlo cadere con accelerazione costante, ma sappiamocheinveceessostafermosulpianodeltavolo. Perch ? Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 64 Su di esso non agisce soltanto la forza peso ( p mg = ), ma c ancheunaforzaesattamenteugualeecontrariachelabilancia esattamente. QuestaforzaR

(vedifigura)esercitatadaltavoloindirezione contrariaalpesounaforzapassiva,ebilanciaesattamenteil peso stesso. Ognipianodappoggio(dettoanchevincolo)ingradodi esercitareunaforzareazionesempreugualeecontrariaalla forzaattiva,mafinoadunvaloremassimo(dipendentedalla solidit,dallastrutturadelvincolo),superandoilqualeil vincolo si rompe. Laterzaleggeaffermadunqueche,seunsistemaisolato (ciosesudiessononagisconoforzeprovenienti dallesterno)alloralemutueazionifraduecorpisono sempre uguali ed opposte, cio ad ogni azione (cio ad ogni forza attiva) corrisponde una reazione uguale e contraria. Ilragionamentovaleancheperesempioperundinamometro comequelloindicatoperdefinirelaforza:allaparteinferiore vieneapplicataunaforzaattivadirettaversoilbasso,mala partesuperiorefissataadunappoggiofissoedesplicauna reazioneugualeecontrariachebilanciaesattamentelaforza attiva.. Ilmotoreareazioneperesempiosfruttailterzoprincipio.Un gas al suo interno si dilata sviluppando forze dirette in tutte le direzioni. Essesibilancianotuttefraloroperchaciascunadiessene corrisponde unaltra uguale e contraria. Solounadiesse(vedifigura)non bilanciataperchquellacontraria libera di uscire dallugello posteriore del razzo.QuindilaforzaattivaFspingeilrazzo Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 65 inavanti.Ilmotoredovrebbechiamarsipiesattamentedi azione e reazione.3-5. Costante elastica di richiamo Nelparagrafo3.1abbiamoaccennatoaldinamometro,edalla suapossibilitdimisurareunaforzainseguitoalladeforma-zione, lallungamento della molla (o di un elastico). Riprendiamoilconcettoperprecisareunaproprietmolto importante: applicando una forzaF

ad una molla, ed indicando conx

ilsuoallungamento(cheanchessounvettore), lallungamento proporzionale alla forza applicata. Civalecomunquesoloentrocertilimitiperchstirando troppolamolla,questaassumedeformazionipermanentie cessatalazionedellaforza,nonritornapinellaforma iniziale. Quindi vale la formula (3-4) F K x = Il segno meno dovuto al fatto che se applicando la forza (vedi figura) si ha uno spostamento verso destra, e quindi un vettore x

rivoltoversodestra,macessatalazionedellaforzala molla esplica una reazione uguale ma opposta adF

che tende a riportare la molla nelle condizioni iniziali. Inaltreparolela(3-4)valedalmomentoincuidopoaver stirato la molla, essa viene rilasciata libera. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 66 LacostanteK(semprenegativa)prendeilnomedicostante elasticadirichiamo,edunacostantecaratteristicadella molla. Sinotichelostessodiscorsovaleselamollainvecediessere stirata, viene compressa: anche in questo caso vale la (3-4). Lo spostamentox

elaforzaF

chetendeariportarelamolla nelle condizioni iniziali hanno sempre verso opposto. 3-6. La forza di attrito Quandouncorpostrisciaorotolasuunaltrocorpo,sigenera unattritofraleduesuperficiacontatto,ciounaresistenza allavanzamento del corpo. Seperesempioimmaginiamodispostareunmobiledauna parete allaltra di una stanza, si ha un attrito radente perch le duesuperficiacontattosistruscianofraloro,seinvece spostiamo una bicicletta, questa ha un attrito volvente, perch icopertonidelleruoterotolanosulpavimentoinvecedi strisciare. Cioccuperemosoltanto dellattritoradente:suquello volvente diciamo solo che dimi-nuisceallaumentaredelraggio della ruota. Lattritoradenteproporzio-naleallareazionedelpianodi appoggio.Cio(vedifigura),unaforzaA

proporzionaleallareazione R

con cui lappoggio controbilancia il pesop

del corpo. LareazioneR

sempreperpendicolareallasuperficiedi appoggio.Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 67 La costante di proporzionalit si chiama coefficiente di attrito, siindicaconlalettera,enonvienecalcolataconmetodi teorici, ma si ricava sperimentalmente. Si pu quindi scrivere: (3-5)A R = L'attritounaforzapassiva( A

nonpumaisuperareF

) avente la stessa direzione diF

, ma verso opposto. Sullattritoradentesipuaggiungereunaimportante considerazione:quandosispostaunmobile,occorrefareuno sforzo notevole per cominciarea muoverlo, ma quando questo ha cominciato a muoversi relativamente pi facile continuare a spostarlo. Questoeffettorealeenonsolounaimpressione:esiste dunqueunaforzadiattritovalevoleperuncorpofermoche stiamoperspostare,conuncoefficientediattritostatico s, ed un coefficiente di attrito dinamico d valevole per il corpo gi in movimento. Come gi accennato,i valori dei coefficienti di attrito si trovano sperimentalmenteesonoelencatiinappositetabelleche possono essere consultate alloccorrenza. Risulta comunque sempre s > d. 3-7. Il piano inclinato Applichiamoleconsiderazionidel paragrafo precedente ad un corpo che scivolasuunpianoinclinato,senza attrito. Sialalunghezzadelpiano inclinato, ed h la sua altezza. Il pesop mg = pu essere scomposto induecomponenti(vedifigura),una Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 68 pp

parallelaalpianoinclinato,eduna np

normalealpiano inclinato. Lacomponente np

vieneesattamentecontrobilanciatadalla reazione R. L'unica forza che provoca la discesa del corpo la componentepp

. Percalcolarlabastaimpostareunaproporzionefralati corrispondentiditriangolisimili(abbandonandolanotazione vettorialeperchinquestocasononnecessaria):iltriangolo costituitodalpianoinclinatoediltriangoloaventecomelati pp

ep

. Si ha ppp : mg h :mghp== Se per si considera anche lapresenzadell'attrito,si halasituazioneindicata nellasecondafiguraquia fianco. Laforzacheprovocala discesadelcorpoin questo caso pF p A =

Cio (trascurando la notazione vettoriale) nmgh mghF R p = = ma, ricavando anche np

con una proporzione, abbiamo Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 69 2 2n2 2np : mg h :mg hp= = E, sostituendo, si ottiene infine ( )2 22 2mgh mg h mgF h h= = che la forza che provoca il moto. 3-8. Reazioni e tensioni Consideriamo un corpo poggiato su un piano orizzontale, tirato da una corda (di massa m) come nella figura qui sotto. Applicandounaforza 1F

sullestremoadestra,lacorda esercitaunareazioneugualeecontraria 1F

.Questaasua voltaesercitasulbloccounaforza ( )2 1 1F F F = =

,edil bloccoasuavoltaesercitaunareazione 2F

(perlapresenza dellattrito) uguale ed opposta ad 2F

. Si usa spesso semplificare la visualizzazione delle forze agenti ricorrendoaldiagrammadelcorpolibero,cioallarappre-sentazione del solo corpo in studio al quale sono applicate tutte Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 70 le forze agenti sul corpo stesso, ed eventualmente il sistema di riferimento. Nelnostrocasotutteleforzesonougualifralorocome lunghezza,epossiamoimmaginarechealcorpoliberosiano applicate solo le forze 1F

e 2F

uguali ed opposte. Come risultato il sistema rimane fermo, in equilibrio statico. Ognisegmentodicordasottopostoadunacoppiadiforze (ugualiedopposte)denominateancheconilterminedi tensione. Selacorda(comeinquestocaso)inequilibrio,tuttiisuoi punti sono sottoposti alla stessa tensione. Latensionelungotuttii puntidellacordacostanteanchese, purnonessendolacordainequilibrioeilsistemasoggettoa spostamento, trascurabile la massa della corda stessa. Cosaavvieneinveceselaforzaapplicata 1F

superiorealla reazione massima 2F

che lattrito in grado di produrre?Ognisegmentodicordaancorasottopostoadunacoppiadi forzeugualiedopposte,malestremodestroproduceuna reazione pari a 2F

. Daldiagrammadelcorpoliberorisultacheilsistema sottoposto ad una forza risultante rivolta verso destra 1 2F F F =

e quindi si muover con una accelerazione Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!71 F ma = Ora analizziamo un caso diverso: un blocco appeso ad una molla, cheasuavoltafissataalsoffitto.Lamollasidistendefinoa quando la reazione non compensa esattamente il peso del blocco.P

ilpesodelblocco, 1T

latensionechelestremit inferiore della molla esplica sul blocco. 2T

la tensione che il blocco esercita sulla molla,

p il peso della molla, ed reazione vincolare esplicata dal soffitto. Daldiagrammadelcorpoliberorelativoalblocco,poichle due forze agenti su di esso sono uguali ed opposte, si ricava1P T ma 0 = =

Edaldiagrammadelcorpoliberorelativoallamollasiricava invece 2T R ma 0 + = = pcio 2T R + =

pFisica ? No problem !!! Ora analizziamo un caso diverso: un blocco appeso ad una molla, cheasuavoltafissataalsoffitto.Lamollasidistendefinoa azione non compensa esattamente il peso del blocco. latensionechelestremit la tensione che il il peso della molla, edR

la Daldiagrammadelcorpoliberorelativoalblocco,poichle su di esso sono uguali ed opposte, si ricava Edaldiagrammadelcorpoliberorelativoallamollasiricava Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 72 3-9. Forza centripeta e centrifuga Quandouncorpovincolatoaruotarelungounacircon-ferenza,abbiamovisto(paragrafo2-6)chesudiessoagisce unaaccelerazionedirettaversoilcentrodenominataaccele-razione centripeta. Questaaccelerazione,moltiplicataperlamassadelcorpo fornisce un forza denominata forza centripeta. Trascurando la notazione vettoriale essa risulta essere (3-6) 2vF m a mr= = cio (3-7) 2 2 22 2m 4 r 4 mrFr T T = =Talvolta per essa viene denominata forza centrifuga: si tratta dellastessaforzaprecedente,asecondadalpuntodivistadal quale viene considerata. Infattipercostringereuncorpoadescrivereunatraiettoria circolare, per esempio un sasso legato ad una corda, dobbiamo applicare ad esso una forza centripeta, diretta verso il centro. Ma, per esempio, un insetto che si trova sul sasso avvertir una forza uguale e contraria alla precedente, diretta verso lesterno. Talvoltaquestaforzavienedenominataforzaapparente perchinrealtnonesercitatadaunacausavisibile: semplicementeunaconseguenzadelfattocheilvincolo(la corda) costringe continuamente il sasso a modificare la propria condizione di moto uniforme. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!!73 ESERCIZI DI DINAMICA DEL PUNTO ESERCIZIO 7 Un carico di 500 Kg fissato con una corda su un camion, che procede ad una velocit di 90 Km/h lungo una discesa. Ilconducenterallenta(con accelerazionecostante)finoa raggiungere un velocit di 60 Km/h in 20 secondi. Quale forza agisce sul carico ? SOLUZIONE Assumiamo come positiva la direzione indicata come asse x nella figura. In questo modo, senza mettere in gioco la natura vettorialevelocit e dellaccelerazione, possiamo indicare come positiva la direzione della velocit, e negativa la direzione dellaccelerazione. Il carico ha una massa di 500 Kg, e la velocit iniziale (che chiameremo v0) 090 mv 253, 6 s= =La velocit dopo il rallentamento 60 mv 173, 6 s= Laccelerazione (negativa, e quindi una decelerazione) Fisica ? No problem !!! ESERCIZI DI DINAMICA DEL Assumiamo come positiva la direzione indicata come asse x In questo modo, senza mettere in gioco la natura vettoriale della velocit e dellaccelerazione, possiamo indicare come positiva la locit iniziale (che Laccelerazione (negativa, e quindi una decelerazione) Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 74 02v v v 17 25 ma 0, 4t t 20 s = = = Dunque la forza agente sul carico (e anche sul camion) F ma 500 0, 4 200 N = = = La forza ha la stessa direzione dellaccelerazione ed quindi negativa. Facciamo una importante precisazione: che succede se durante lafrenataaduncertoistantesirompelacordachetiene immobilizzato il carico ? Questo sarebbe spinto verso la cabina di guida, a destra, e non a sinistra come sembrerebbe dal segno negativo della forza. Infattiperinerziailcaricotenderebbeaproseguirecon velocitcostante,edpropriolacordachetrattieneilcarico stesso imprimendogli una forza verso sinistra. ESERCIZIO 8 Si abbia un corpo sospeso al soffitto per mezzo di due corde, come in figura. E possibile, conoscendo una delle tre forze (e gli angoli indicati), ricavare le altre due forze ? Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 75 SOLUZIONE Calcoliamo le componenti di ciascuna forza tralasciando la notazione vettoriale 1x 1 11y 1 12x 2 22y 2 23F F cos30 F21F F sen30 F22F F cos 45 F22F F sen45 F2= = = = = = = = Osservando il diagramma del corpo libero si ottiene, lungo lasse x e lungo lasse y, 2x 1x 2 1 2 11y 2y 3 1 2 3 1 2 32 3F F F F 0 F 2 F 32 21 2F F F F F F 0 F F 2 2 F2 2 = = = + = + = + = Queste due relazioni, messe a sistema, permettono di risolvere il problema. Per esempio, seF3 = 10 N, avremo 2 11 2F 2 F 3F F 2 20 = + = da cui 2 21 1F 1, 23 7, 33 F 9 NF 7, 33 F 7, 33 N= = = Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 76 ESERCIZIO 9 Unbloccodimassamsitrovasuunpianoinclinatoconun angolo.Lattritonullo,edilbloccotrattenutodauna corda. Determinare la tensione T della corda e la reazione R del piano inclinato. SOLUZIONE Il blocco fermo, laccelerazione nulla, e quindi si ha vettorialmente (3-8) T R mg 0 + + =

Calcoliamolecomponentipneppdelpesorispettivamente normale e parallela al piano inclinato, tralasciando la notazione vettoriale ed osservando a destra il diagramma del corpo libero. pnp mg senp mg cos= = Quindi, scomponendo la (3-8) lungo gli assi, si ha (3-9) pnasse x T p T mg sen 0asse y R p R mg cos 0 = = = = T mg senR mg cos= = Si noti che se Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 77 T 00R mgT mg90R 0= = == = = in perfetto accordo con quanto ci si aspetterebbe in questi due casi limite. Machesuccedeseaduncertoistantetagliamoilfiloche trattieneilblocco?Questocomincerascenderecon accelerazione costante. Quanto vale questa accelerazione ? La (3-9) in questo caso va modificata nel modo seguente p xn yasse x p maasse y R p ma = = InfattilungolassexnoncpilatensioneT,elungo entrambigliassisarpresenteinveceunaaccelerazioneperil momento incognita. Semplificando si ottiene p xy np maa 0 (perch p R)== = Quindi il blocco sar sottoposto ad una accelerazione avente la direzione dellasse x (parallela al piano inclinato) nxp mg sena g senm m = = = e, a causa del segno meno, verso opposto allasse x. Se al corpo applichiamo, durante la discesa, una forza xF mg sen = questabilanceresattamentelaforzachelospingeversoil basso,edilbloccoseguiterascenderemaconvelocit costante. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 78 ESERCIZIO 10 Unbloccodimassam1poggiasenzaattritosuunpiano orizzontale.Permezzodiunafune(conmassatrascurabile)e di una carrucola(senza attrito), un secondo blocco m2 trascina il precedente. Calcolare la tensione della corda e laccelerazione del sistema. SOLUZIONE Ilsistemainmovimentoma,essendotrascurabilelamassa dellacorda,latensionerimaneinvariatapertuttiisuoipunti. Lapresenzadellacarrucolahailsoloeffettodicambiarela direzione della tensione. Il diagramma del corpo libero riferito al blocco m1 fornisce per i due assi cartesiani (3-10) 1 1x1T m aR m g 0= = in quanto il blocco avr una accelerazione soltanto lungo lasse x. Ildiagrammadelcorpoliberoriferitoalbloccom2fornisce invece (3-11) 2 2 2y0 0T m g m a= = Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 79 Perlapresenzadellapuleggiasiha 1x 2ya a =equindi possiamo indica laccelerazione del sistema semplicemente con a. Dalleprimadelle(3-10)edallasecondadelle(3-11),siha quindi 1 2 2m a m g m a = cio ( )1 2 221 2m m a m gma gm m+ ==+ Dunquelaccelerazionedelsistemasempreminore dellaccelerazione di gravit. Sostituendoquestorisultatonellaprimadelle(3-10)siottiene infine 211 21 21 2mT m gm mm mT gm m= +=+ Si noti che la tensione pu anche essere scritta sotto le forme 211 2121 2mT m gm mmT m gm m= += + QuindilatensioneTugualealpesodelbloccom1oalpeso del blocco m2 moltiplicato per una frazione sicuramente minore dellunit.CiolatensioneTsempreminoredelpesodi ciascuno dei due blocchi. Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 80 ESERCIZIO 11 Duemassem1em2sonolegatefralorodaunacorda(con massatrascurabile)esospesealsoffittoadunacarrucola(che pu ruotare senza attrito). DeterminarelatensioneTdellafuneelaccelerazioneconcui si muove il sistema. SOLUZIONE Dal diagramma del corpo libero riferito al blocco m1 si ottiene (trascurando lasse x perch in tale direzione non ci sono forze o accelerazioni) 1 1T m g m a = mentre, per il blocco m2 abbiamo 2 2T m g m a = Eliminando la T fra le due relazioni, si ha Carlo Sintini Fisica ? No problem !!! 81 ( ) ( )1 12 21 1 2 21 2 2 12 12 1T m a m gT m a m gm a m g m a m ga m m g m mm ma gm m= += + + = ++ = =+ Eliminando invece la a fra le due relazioni, si ottiene 11221 2