simulazione esercizio di esame - Benvenuto...Cattedra di Statistica Medica-Università degli Studi...

Cattedra di Statistica Medica-Università degli Studi di Bari-Prof.ssa G. Serio 1

SIMULAZIONEDI

ESAMEESERCIZI


Alcuni autori hanno studiato se la depressione possa essere associata a indici sierologici di processi autoimmunitari o infezioni attive virali. A tal fine è stato misurato il livello di interluchina-2 (IL-2) in quattro gruppi di pazienti (i dati sono presentati nella pagina successiva).

1.1 Verificare se i livelli di interluchina 2 differiscono significativamente nei quattro gruppi sia con il metodo parametrico (1.1.a) che nonparametrico (1.1.b)

1.2. Effettuare i confronti multipli con i metodi a voi noti se il confronto tra gruppi di tipo parametrico è risultato statisticamente significativo

1.3 Verificare se esiste una differenza significativa nei livelli di IL-2 tra i soggetti sani e i soggetti con depressione maggiore senza melanconia, sia con il metodo parametrico (1.3.a) che non parametrico (1.3.b)

ESERCIZIO 1.ESERCIZIO 1.


255237395192

230349655182

348288324244

444363428190

439225369203

292303306240

517316250220

354254324157

283271305259

24225363492

Depressione maggiore

con melanconia

Depressione maggiore

senza melanconia

Depressione minore

Sani


iniT

iT

j ijyiS

j ijyiT

in

2

2

2å=

å=

10

1979

413027

3916441

391644.1

10

3990

1765464

15920100

1592010.0

10

2859

836939

8173881

817388.1

S=4260838

å = 839597632

,in

iT

N=40

T2/N=3740545.6

25523739519223034965518234828832424444436342819043922536920329230330624051731625022035425432415728327130525924225363492

10

3404

1245408

11587216

1158721.7

1.1.a


( )2.219218

6.37405458.3959763222

2.30107422

4.5202926.3740545426083822

=

-=-å=å -

=å-=å -

=-=-=å -

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ÷øö

çèæ

=

÷øö

çèæ

=

NT

iniT

yiy

iniT

Siyijy

NTSyijy

GRUPPI TRA DEVIANZA

GRUPPIENTRO DEVIANZA

TOTALE DEVIANZA

1.1.a Calcolo delle devianze


39520292.4TOTALE

8363.1736301074.2ENTRO GRUPPI

8.7473072.733219218.2TRA GRUPPI

FCALVARIANZEG.L.DEVIANZESorgenti di

variazione

A N O V AA N O V A

Dove F=Varianza tra gruppi/varianza entro gruppi = 8.74

Poiché F cal =8.74 F tab = 2.9, rifiuto l’ipotesi nulla e concludo che almeno due gruppi differiscono tra loro

1.1.a Statistica test


LSD = t α/2 Ö (2 Var Residua/n)t α/2 Valore della t-Student con gradi di libertà N-k

t α/2 = 2.032 LSD = 2.032 Ö 2 x 8363.17/10 = 83.10

Medie 197.9 285.9 340.4 399.0

Diff14 = 399.0 – 197.9 = 201.1 > 83.10 Þ medie differenti


Diff34 = 399.0 – 340.4 = 58.6 > 83.10 Þ medie uguali


Diff23 = 340.4 – 285.9 = 54.5 > 83.10 Þ medie uguali


1.2.a Confronti multipli


( ) ( )úúû

ù

êêë

é+-£-£-- -- n

Styy

n

Styy residua

lgmsrsrresidua

lgmsr

2

21

2

2122

..,.., aa mm

α/12 = 0.004

Int 1-4 201.1 ± 2.7 x 40.9 = 201.1 ± 110.43 90.67 --- 311.53

Int 2-4 113.1 ± 2.7 x 40.9 = 113.1 ± 110.43 2.67 --- 223.53

Int 1-3 142.5 ± 2.7 x 40.9 = 142.5 ± 110.43 32.07 --- 252.93

Medie 197.9 285.9 340.4 399.0

Int 3-4 58.6 ± 2.7 x 40.9 = 58.6 ± 110.43 -51.83 --- 169.03

Int 2-3 54.5 ± 2.7 x 40.9 = 54.5 ± 110.43 -55.93 --- 164.93

Int 1-2 88.0 ± 2.7 x 40.9 = 88.0 ± 110.43 -22.43 --- 198.43

1.2.b

t = 2.7

Confronti multipli


1725510237343955192

230

348

444

439

292

517

354

283

242

D.Mag con mel

200

30

21

32

8

23

26

16

19

15

R3

299

40

27.5

35

33

25

14

27.5

24

39

R2

70

3

13

4

6

11

7

2

18

1

R1

251

9349655182

29288324244

37363428190

36225369203

22303306240

38316250220

31254324157

20271305259

1225363492

R4D.magsmel

Dep.MinSani

METODO NON PARAMETRICO - Kruskall Wallis1.1.b


( ) ( )å=

+-+

=k

j j

j nn

R

nnH

1

2

131

12

Dove:K= numero dei campioninj = numero di osservazioni nel j-esimo campionin = numero totale delle osservazioniRj =somma dei ranghi nel j-esimo campioni

( ) ( ) 03.21140310

25110

20010

2991070

1404012 2222

=+-úû

ùêë

é+++

+=H

Per il nostro insieme di dati:

1.1.b Statistica test e svolgimento


Per a=0,05 e g.l= k-1=3 c2 = 7.81

Rifiuto l’ipotesi nulla

i livelli di interluchina 2 differiscono significativamente nei quattro gruppi

1.1.b Decisione


Poichè ci sono osservazioni con il medesimo valore (ties ) bisogna correggere la statistica H

ttTnn

T

-=-

-å3

31

÷÷ø

öççè

æ-

-

=å

nn

T

HHcorr

31

1.1.b Correzione della statistica H


T=t3-t=23-2=6

Correzione = 1 - ( 6/ 403-40) = 0,999

05.21999.0

03.21

1 3

==

--

=å

nn

TH

Hcorr

Rifiuto l’ipotesi nulla

i livelli di interluchina 2 differiscono significativamente

1.1.b Correzione della Statistica H


Verificare ad un livello di significatività α=0.05 se le medie delle due popolazioni sono uguali oppure diverse:

H0: m1= m2

H1: m1 ¹ m2

nxx i /)(å=

( )1

/

1

)(222

2

-

-=

-

-= å åå

n

nxx

n

xx iiiS

Gruppo Sani: n=10 Σx i = 1979 Σxi2 = 413027 = 197.9 S2 = 2375.88x

Gruppo depressione Maggiore senza melanconia :

n=10 Σx i = 2859 Σxi2 = 836939 = 285.9 S2 = 2172.33x

1.3.a Confronto tra campioni indipendenti


H0: s21= s22H1: s21 ¹ s22

F=S12/S2

2 = 2375.88/2172.33 = 1.09

Poiché Ftab = F9,9,0.05 = 3.18 > Fcal = 1.09

Varianze sono omogenee

E’ possibile calcolare la varianza comune

2274.118

19550.921382.9nn

nSnSS p =

+=

-+-+-

=2

)1()1(

21

2221

212

1.3.a Confronto tra campioni indipendenti omogenità delle varianze


13.4

101.2274

101.2274

9.1979.285=

+

-=calct

2

2

1

2

2121 )()(

n

S

n

S

xxt

pp +

---=

mm

ttab = t18 = 2.10 < tcal = 4.13 ð rifiuto H0 ð

le medie dei due gruppi sono diverse

1.3.a Confronto tra campioni indipendenti – Statistica test


Se la distribuzione non è gaussiana utilizziamo il metodo non parametricodella Somma dei Ranghi

Gruppo Sani 92 259 157 220 240 203 190 244 182 192

Gr. Depr.Mag. 242 283 354 517 292 439 444 348 230 255senza melan.

92 157 182 190 192 203 220 225 237 240R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

244 253 254 295 271 288 303 316 349 363R 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Σ R sani = 63 Σ R patologici = 147

Per α = 0.05 Intervallo dei ranghi 78 - 132

Rifiuto l’uguaglianza dei due gruppi

1.3.b Confronto tra campioni indipendenti test della somma dei ranghi


Sono stati utilizzati due metodi per determinare in 15 soggetti l’efficacia di un antibiotico per il trattamento della tubercolosi. I logaritmi dei titoli ottenuti con i due metodi sono i seguenti:

Metodo A 3.3 2.4 2.7 2.4 2.1 2.1 3.0 2.2 2.4 2.1 2.4 2.0 3.0 2.0 2.1

Metodo B 4.1 3.8 3.6 3.2 2.9 3.2 3.9 2.8 3.4 3.3 3.3 2.9 3.5 3.1 2.7

2.1 Determinare la retta di regressione ipotizzando che il metodo A è affetto da errore trascurabile

2.2 Verificare l’ipotesi nulla b=0 con tutti i metodi conosciuti

2.3 Calcolare il coefficiente di determinazione

2.4 Studiare la relazione esistente tra le due metodiche con il metodo parametrico (2.4.a) e non parametrico (2.4.b), ipotizzando che entrambi i metodi non siano affetti da errore trascurabile

2.5 Verificare se esiste una differenza significativa tra le due metodiche sia con il metodo parametrico (2.5.a) che non parametrico (2.5.b)



3.32

2.42

121.90

167.0549.7

89.736.2

=

=

=å

=å=å

=å=å

y

x

iyix

2i

yiy

2i

xix

2.1 Calcoli necessari per lo svolgimento


( )

( )

29.142.284.032.3ˆˆ

84.015/2)2.36(7.89

15/7.492.3690.121

ˆ

=´-=-=

úúû

ù

êêë

é

=-

´-=

=

åå

-

åå å

-

=-å

-å -=

xbya

n

2ix2

ix

n

iyixiyix

2)xi(x

)yi(y)xi(xb

effettuando i conti si ha:effettuando i conti si ha:32.315/7.49y42.215/2.36x

====

2.1 Determinazione dei parametri


( ) ( )

( ) ( )

( )( )[ ]( )

74.064.138.2.

64.12

2

222ˆ

38.215/27.4905.167

222

REGRESTOTALE =-=

=å -

å --=

=å -×=å -

=-=

=å-å=å -

-

xix

yiyxix

xixbyiy

niyiyyiyDEV. TOTALE =

DEV. REGRESSIONE=

DEV. RESIDUA =

Per il nostro esempio2.2.a Calcolo delle devianze


142.38TOTALE

0.06130.74RESIDUA

28.811.6411.64REGRESSIONE

FCALVARIANZEG.L.DEVIANZESorgenti di

variazione

Essendo F tab = F 1,13 = 4.67 < F cal = 28.81 rifiuto H0

A N O V AA N O V A

Nell’esempio

Dove Fcal= Varianza Regressione/Varianza residua = 1.64/0.06 = 28.81

2.2.a


( )( )

( )

( ) 25.516.084.0

16.02ˆ

var

0

2

2

==-

=

=-

--

==å

å

bESbb

T

xxN

yy

devxres

bESi

ii

H0: b = 0

H1: b ¹ 0

Poiché T cal=5.25 > T tab=2.16 si rifiuta l’ipotesi nulla e quindi il coefficiente di regressione è significativamente diverso da zero

2.2.b Verifica di ipotesi su b – test t


( )( )

69.038.264.1ˆ

2

22 ==

-

-==åå

yy

yy

devtotdevregr

Ri

i

La regressione spiega circa il 69% dei dati osservati

2.3 Coefficiente di determinazione


( ) ( )

83.036.296.1

)()(

)()(

22

22

22

==

=

úúû

ù

êêë

é-

úúû

ù

êêë

é-

-=

=--

--=

å åå å

å å å

å åå

ny

ynx

x

n

yxyx

yyxx

yyxxr

ii

ii

iiii

ii

ii

2.4.a COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE DI PEARSON


36.583.01

1383.0

1

222=

-=

--

=r

nrT

IPOTESI

H0: r = 0

H1: r ¹ 0

STATISTICA TEST

Essendo t = 5.36 > ttab = 2.160 si rifiuta H0

2.4.a Verifica di ipotesi per l’indipendenza


104.2512.53.514.52.72.112.5-3.551.53.12.06.252.51113.53.53.0

4-23.51.52.92.0118.59.53.32.416-48.54.53.32.1

0.25-0.5109.53.42.4255272.82.2

0.25-0.51413.53.93.04-26.54.53.22.1113.54.52.92.1936.59.53.22.40012123.62.7

12.5-3.5139.53.82.40015154.13.3

di2diRBRABA

Metodo non parametrico-Coefficiente di correlazione di Spearman2.4.b


( )

813,03360

5.6251

)115(15

25.10461

1

61

2

2

2

=-=-

´-=

=-

-= ånn

dr i

s

Essendo rs cal=0.813 > rs tab=0.525 si rifiuta l’ipotesi nulla, i due test sono correlati

2.4.b Coefficiente di correlazione di Spearman


-13.5-0.6-1.1-0.5-0.9-0.9-1.2-1.0-0.6-0.9-1.1-0.8-0.8-0.9-1.4-0.8di

12.95Σ0.362.72.11.213.12.00.253.53.00.812.92.00.813.32.41.443.32.11.03.42.4

0.362.82.20.813.93.01.213.22.10.642.92.10.643.22.40.813.62.71.963.82.40.644.13.3di

2BA

H0: md =0H1: md >0

2.5.a Si valuti l’esistenza di una differenza significativa tra i due metodi - Metodo parametrico


( ) ( ) ( )0571.0

11515

5.1395.12

11

9.015

5.13

2222

2 =-

--

=-

-=

--

=

-=-

==

å åå

å

nn

dd

n

ddS

nd

d

iii

d

i

nSd

td

dm-= 59.14

150571.0

9.0-=

-=calct

Poiché t tab =2.16 < t cal = 14.59, rifiuto l’ipotesi nulla, le due metodiche sono significativamente differenti

2.5.a Confronto tra campioni appaiati test t- student


-2.5-0.62.72.1-12.5-1.13.12.0

-1-0.53.53.0-8.5-0.92.92.0-8.5-0.93.32.4-14-1.23.32.1-11-1.03.42.4-2.5-0.62.82.2-8.5-0.93.93.0-12.5-1.13.22.1

-5-0.82.92.1-5-0.83.22.4

-8.5-0.93.62.7-15-1.43.82.4-5-0.84.13.3

RdifdiBA Σ R- = 120

Intervallo tabulato25 ---- 95

I due metodi sono significativamente differenti

2.5.b Si valuti l’esistenza di una differenza significativa tra i due metodi - Metodo non parametrico – Ranghi con segno


Al fine di valutare la relazione tra radioesposizione e patologie tiroidee in una popolazione di lavoratori ospedalieri, sono stati reclutati 304 dipendenti radioesposti e 383 dipendenti non radioesposti. I risultati sono esposti nella tabella:

477240237Sani

687383304Totale

372314Tiroidite

17312053Noduli

TotaleNon Rx Esp.Rx Esp.

3.1 Si valuti l’esistenza di una relazione tra esposizione e patologia tiroidea.3.2 Limitando l’attenzione ai soggetti con patologia nodulare e sani si verifichi con tutti i metodi conosciuti la significatività della relazione e si determini l’odds ratio (3.3) e il suo intervallo di confidenza (3.3.a).



687,00383,00304,00Totale

477,00265,93211,07Sani

37,0020,6316,37Tiroidite

173,0096,4576,55Noduli


Tabella dei valori attesi

Eij= ni * nj / N = 304*173/687=76.55

G.l.=(r-1)*(c-1)=2

3.1


å =-

=C÷øö

çèæ

ij ijEijEijO

2

2

( ) ( ) =-++-=93.265

293.265240...

2

55.7655.7653

=7.25+0.34+3.18+5.75+0.27+2.53=19.33

Poiché c2 cal=19.33 < c2 tab=5.99si conclude che c’è legame tra esposizione e patologia tiroidea

STATISTICA TEST3.1


477240237Sani

650360290Totale

17312053Noduli


( )( )( )( )( )

( )64.18

36029047717323712024053650 22

2 =××××-××

=++++

-=

dbcadcbabcadNc

Poiché c2 cal=18.64 < c2 tab=3.84si conclude che c’è legame tra esposizione e patologia nodulare tiroidea

3.2.a Confronto della proporzione di patologia nodulare tra esposti e non esposti – tabella 2 x 2.


( ) ( )32.4

3601

2901

74.026.0

033.018.0

2

1

1

1

212ˆ

1ˆ

-=

÷øö

çèæ +×

--=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ+×

---=

nnqp

ppppz

74.01

26.0650

12053

=-=

=+

=

pq

pn1=290

x1=53

p1=0.18

n2=360

x2=120

p2=0.33

Essendo z=4.32 >1.96 si rifiuta l’ipotesi nulla ð le due proporzioni sono differenti

3.2.b Confronto della proporzione di patologia nodulare tra esposti e non esposti – test z.


OR = ad / bc = 53*240 / 120*237 = 12720 / 28440 = 0.45

La radioesposizione non è fattore di rischio per la patologia nodulare tiroidea

3.3.a Determinazione dell’Odds Ratio

3.3.b Intervallo di confidenza dell’Odds Ratio

úúû

ù

êêë

é

÷÷ø

öççè

æ±

21

cz

OR = 0.313 – 0.646

z = 1.96 c2 = preso dal test di significatività (vedi pag. 35)

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