Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria

C2, σv, σv’ 1

2

C2

2

1 2

1

σv’ σv

Il prodotto di due operazioni di simmetria è un’operazione di simmetria

Tavola di moltiplicazione

σv’·C2 = σv

H2O

1

3 2 321

2

33 ,,,,, vvvCCE

σv1

σv3

Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria

3

2 1

σv1

σv3 σv2

C3

2

3 1

σv1

σv3 σv2

σv2

σv3

123 vvC

332 vv C

Il prodotto NON è commutativo

NH3

Nota: Le operazioni si eseguono da dx a sx

2a o

perazio

ne

1a operazione

σv2

Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria

Il prodotto di due operazioni di simmetria è anch’esso un’operazione di simmetria generata dagli elementi di simmetria

della molecola

Il prodotto di più operazioni di simmetria gode della PROPRIETÁ ASSOCIATIVA

Simmetria e Teoria dei Gruppi Prodotti di operazioni di simmetria

Per ogni operazione di simmetria esiste un’operazione inversa che riporta la molecola nella configurazione iniziale

EOO 1

Evv 11 Evv 22 Evv 33

ECC 2

33 ECC 3

2

3

Esiste un’ operazione di simmetria che commuta con tutte le altre

OOEEO

Un insieme di h elementi G = {g1, g2, …,gh} che soddisfi i criteri descritti costituisce un gruppo di ordine h

Simmetria e Teoria dei Gruppi Gruppi Puntuali di Simmetria

1) L’insieme comprende l’elemento identità, il quale commuta con gli elementi del gruppo:

E·gi = gi·E = gi

2) L’insieme comprende l’inverso:

gi·gi-1 = gi

-1·g i= E

3) La regola di combinazione è associativa:

gi·(gj·gk) = (gi·gj)·gk

4) La combinazione di due qualunque elementi dell’insieme appartiene all’insieme (cioè l’insieme è completo):

gi· gj = gk gk G

Un gruppo che gode della proprietà commutativa ga·gb= gb·ga

Commutativo o Abeliano

L’insieme delle operazioni di simmetria costituisce un gruppo

Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi

Ordine del gruppo h il numero di elementi del gruppo

321

2

33 ,,,,, vvvCCE

NH3

h=6

Gruppi ciclici Gruppi di operazioni di simmetria generate dall’esistenza di un solo elemento di simmetria. Questi gruppi sono Abeliani. I gruppi costituiti da sole rotazioni sono ciclici.

H2O2 C2

2,CE

A, B, X → Operazioni di simmetria

Operazione di similitudine

Dato un certo gruppo G di ordine h, due elementi A e B del gruppo appartengono alla stessa classe se si trasformano l ’ uno nell ’ altro sottoposti ad una operazione di similitudine tramite un terzo elemento X dello stesso gruppo G.

Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi

Classe di Simmetria

X-1 A X = B

A e B appartengono alla stessa classe

X-1 (AX)

Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi

1

2 3

321

2

33 ,,,,, vvvCCE

σv1

σv3

NH3

Classi di Simmetria

E → Classe di ordine 1

σv2

X-1 A X = B

X-1 (AX)

E

Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi

1

2 3

321

2

33 ,,,,, vvvCCE

σv1

σv3

NH3

Classi di Simmetria

→ Classe di ordine 2 2

33,CC

σv2

Simmetria e Teoria dei Gruppi Definizioni Teoria dei Gruppi

1

2 3

321

2

33 ,,,,, vvvCCE

σv1

σv3

NH3

Classi di Simmetria

→ Classe di ordine 3

σv2

321 ,, vvv

X-1 (AX)

Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni

Per ogni oggetto è possibile trovare tutti gli elementi di simmetria del gruppo di appartenenza. Dato un insieme di elementi (punti, atomi, coordinate degli atomi, funzioni, etc.) è possibile sottoporli alle operazioni di simmetria R del gruppo.

Base della rappresentazione L’insieme di elementi su cui si opera

Rappresentazione del Gruppo Il risultato delle operazioni effettuate

321

2

33 ,,,,, vvvCCE

2

4 3 1

C3

1

4 2 3

NH3

C3 (1, 2, 3, 4) = (2, 3, 1, 4)

D(C3) = (2, 3, 1, 4)

Matrice rappresentativa di C3 relativa alla base scelta

R (f) = f D(R) = f’

Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni

Le operazioni di simmetria (R) possono essere rappresentate da matrici aventi dimensioni uguali a quelle della base scelta (f)

R (f) = f D(R) = f’

C3 (1, 2, 3, 4) = (2, 3, 1, 4)

1

4 2 3

Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni

La matrice rappresentativa di un prodotto di operazioni di simmetria sarà data dal prodotto delle

matrici rappresentative delle singole operazioni:

Un gruppo di simmetria di ordine h può essere rappresentato mediante un insieme di h matrici

relative alla base f utilizzata

Simmetria e Teoria dei Gruppi Rappresentazioni e Carattere

Carattere

j

jjD a

χ = 4 χ = 1

χ = 2