• Si effettua quando il ricercatore è interessato a verificare ipotesi sulla forma della distribuzione della popolazione basandosi sulla forma della distribuzione nel campione.

• Ci si basa sul confronto fra FREQUENZE OSSERVATE NEL CAMPIONE e FREQUENZE ATTESE sulla base dell’Ipotesi Nulla.

Verifica delle ipotesi sulla FORMA DELLA DISTRIBUZIONE

VARIABILE NOMINALE POLITOMICA

Gdl= k-1

• Le osservazioni devono essere indipendenti

• Nessuna frequenza osservata è uguale a 0

• Se la variabile è dicotomica nessuna frequenza teorica deve essere minore di 5

• Se la variabile è politomica nessuna frequenza teorica deve essere inferiore a 1

Condizioni di applicabilità

• Stabilire l’ipotesi nulla e quella alternativa• Specificare il livello di significatività α, l’ampiezza del

campione ed i gradi di libertà• Stabilire la zona di rifiuto• Calcolare il valore statistico critico• Calcolare il valore del test statistico

– Si riportano le frequenze osservate nelle celle della tabella di contingenza

– Si calcolano le frequenze attese• Sulla base delle regole decisionali trarre le conclusioni

Passi nell’applicazione del chi quadrato

• Si deve tener conto:– Di quanti soggetti è costituito il campione– Della percentuale di soggetti che nella popolazione presenta la

caratteristica in esame

Calcolo delle frequenze teoriche

Negli anni passati presso l’Università di Chieti si sono avute le seguenti iscrizioni nei diversi indirizzi del corso di laurea in Psicologia:

– Psicologia clinica 40%

– Psicologia del lavoro 25%

– Psicologia dello sviluppo 20%

– Psicologia sperimentale 15%.

Di 200 studenti di quest’anno, 60 hanno scelto l’indirizzo clinico, 45 quello di lavoro, 47 quello di sviluppo e 66 quello di sperimentale.

La distribuzione delle scelte di questo anno è coerente con quelle effettuate nell’anno passato?

• Si deve tener conto:– Di quanti soggetti è costituito il campione– Della percentuale di soggetti che nella popolazione presenta la

caratteristica in esame

Calcolo delle frequenze teoriche

Negli anni passati presso l’Università di Chieti si sono avute le seguenti iscrizioni nei diversi indirizzi del corso di laurea in Psicologia:

– Psicologia clinica 40%

– Psicologia del lavoro 25%

– Psicologia dello sviluppo 20%

– Psicologia sperimentale 15%.

Di 200 studenti di quest’anno, 60 hanno scelto l’indirizzo clinico, 45 quello di lavoro, 47 quello di sviluppo e 66 quello di sperimentale.

La distribuzione delle scelte di questo anno è coerente con quelle effettuate nell’anno passato?

n=200

Esempio • In un istituto per la riabilitazione dei pazienti con danni

cerebrali, il 28% dei pazienti presenta un danno al lobo frontale, il 22% al lobo parietale, il 13% al lobo temporale; il 16% al lobo occipitale, il 14% al lobo limbico ed il resto al lobo dell’insula. In un campione di 46 pazienti che hanno riportato un danno cerebrale in seguito ad un incidente automobilistico, 15 pazienti hanno subito un danno al lobo frontale, 14 al lobo parietale, 7 al lobo temporale, 5 al lobo occipitale, 3 al lobo limbico ed i rimanenti al lobo dell’insula. Si può affermare che i danni cerebrali successivi ad un incidente automobilistico si distribuiscono diversamente rispetto alla popolazione dei pazienti dell’istituto (α=0,05)?

1° Passo: Formulazione delle Ipotesi

• HO: la frequenza con cui si distribuiscono i danni cerebrali nel campione è la stessa di quella della popolazione

• H1: la frequenza dei danni cerebrali nel campione è diversa da quella della popolazione

2° Passo: Individuazione della statistica

• Poiché la variabile è nominale usiamo il test del Chi-quadrato

Lobo frontale

Lobo parietale

Lobo temporale

Lobo occipitale

Lobo limbico

Lobo dell’insula

28% 22% 13% 16% 14% 7%

Lobo frontale

Lobo parietale

Lobo temporale

Lobo occipitale

Lobo limbico

Lobo dell’insula

15 14 7 5 3 2

NEL CAMPIONE DI PAZIENTI NELLA CLINICA

3° Passo: calcolo della statisticaSe non esiste differenza con la popolazione generale dovremmo attenderci i pazienti della clinica ottengano la stessa percentuale di quella riscontrata nella popolazione

Lobo frontale

Lobo parietale

Lobo temporale

Lobo occipitale

Lobo limbico

Lobo dell’insula

28% 22% 13% 16% 14% 7%

46*0,28= 12,88

46*0,22= 10,12

46*0,13 = 5,98

46*0,16= 7,36

46*0,14= 6,44

46*0,07= 3,22

3° passo: calcolo della statisticaLobo frontale

Lobo parietale

Lobo temporal

e

Lobo occipital

e

Lobo limbico

Lobo dell’insula

fe 15 14 7 5 3 2

fa 12,88 10,12 5,98 7,36 6,44 3,22

4° Passo: Individuazione del valore critico

• Livello di significatività =0,05• Gradi di libertà: k – 1 = 6 – 1 = 5

5° Passo: Decisione

ACCETTIAMO L’IPOTESI NULLA

5,07

Il ricercatore vuole stabilire se due campioni con particolari caratteristiche differiscono per

la caratteristica che è oggetto di studio

• In questi casi abbiamo sempre a che fare con due variabili:

1) La variabile che differenzia i campioni di osservazioni (sesso, età,…)

2) La variabile che viene misurata sui campioni

Ci interessa sapere se la variabilità della variabile misurata nei campioni possa essere spiegata dall’appartenenza all’uno o all’altro gruppo di osservazioni.

• Quando confrontiamo due campioni di osservazioni presumiamo che le nostre unità di analisi siano OMOGENEE (=identiche) per tutte le caratteristiche rilevanti e che differiscono solo per la presenza della VI di interesse che andiamo a manipolare

Il ricercatore ipotizza che la nostra variabile in esame vari soltanto a causa dell’appartenenza ad una certa condizione che rappresenta uno dei livelli della nostra variabile indipendente.

• I confronti fra due campioni di osservazioni fanno riferimento a due popolazioni che differiscono rispetto alla VD (tipo di psicoterapia; sesso, …)

• Lo scopo non è determinare se un certo trattamento è più efficace in un gruppo o nell’altro (nei campioni esaminati nella ricerca) ma sapere se il risultato ottenuto può essere esteso alle popolazioni che verranno trattate con il medesimo metodo esaminato

ASSUNTO DI BASE

• Ad esempio se volessimo verificare se le donne che lavorano hanno un atteggiamento più favorevole al divorzio rispetto alle casalinghe, dobbiamo andare a creare una tabella di contingenza.

• La nostra ipotesi nulla è che non c’è differenza nelle frequenze tra i due campioni di casalinghe e lavoratrici

Ipotesi sulla differenza tra due distribuzioni

Favorevoli al divorzio

Campioni Si No

Lavoratrici f1 f2 n1

Casalinghe f3 f4 n2

a1 a2 N

Frequenze di ogni campione nelle singole

categorie

Numerosità dei due campioni

Numero di soggetti che non sono favorevoli indipendentemente dall’appartenenza all’uno o

all’altro campione

Test del Chi quadrato

• Quando si confrontano le frequenze di risposte in due campioni indipendenti è necessario costruire una tabella doppia entrata chiamata TABELLA DI CONTINGENZA

EFFETTO A EFFETTO B TOTALE

V1 f a f b n1

V2 f c f d n2

TOTALE n3 n4 N

Frequenze osservate

Frequenze attese

• Si deve tener conto di:

– quanti soggetti sono favorevoli/contrari (a1 o a2)

– quanti soggetti è composto il “sotto-campione” (n1 o n2)

– quanti soggetti è composto il campione totale (N)

Calcolo delle frequenze teoriche

Favorevoli al divorzio

Campioni Si No

Lavoratrici f1 A f2 B n1

Casalinghe f3 C f4 D n2

a1 a2 N

• Ad un campione di 80 donne lavoratrici e ad un altro di 100 casalinghe è stato chiesto di esprimere il proprio parere rispetto al tema del divorzio. Tra le lavoratrici 50 si sono dichiarate favorevoli, mentre 30 contrarie. Nel campione delle casalinghe 20 si sono dimostrate favorevoli mentre 80 contrarie. Verificare se le donne che lavorano hanno un atteggiamento più favorevole al divorzio rispetto alle casalinghe.

1° passo: Formulazione delle Ipotesi

• La distribuzione campionaria che useremo è quella del χ2 con (k-1)(r-1) gradi di libertà

2° passo: individuazione della statistica

Numero di colonne meno 1

Numero di righe meno 1

Creiamo la tabella di contingenzaFavorevoli al divorzio

Campioni Si No

Lavoratrici f1 =50 f2 = 30 n1 =80

Casalinghe f3 = 20 f4 = 80 n2 = 100

a1 =70 a2 =110 N = 180

Calcoliamo le frequente teoriche Favorevoli al divorzio

Campioni Si No

Lavoratrici f1 =50f1t = 31,11

f2 = 30f2t = 48,89

n1 =80

Casalinghe f3 = 20f3t = 38,89

f4 = 80f4t = 61,11

n2 = 100

a1 =70 a2 =110 N = 180

3° passo: calcolo della statistica

3° passo: calcolo della statistica

• α= ,05• Gdl = (2-1)(2-1) = 1

4° passo: calcolo del valore critico

χ2= 3,84

5° passo: regola decisionale

χ2 critico= 3,84χ2

calcolato= 33,78

χ2 calcolato > χ2

criticoRIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

Formula abbreviata per il calcolo del χ2

Livelli VI

Campioni L1 L2

1 A B n1

2 C D n2

a1 a2 N

• Supponiamo di voler verificare l’ipotesi che giovani ed adulti giudichino in modo diverso 5 tipi di comportamento per quanto riguarda il carattere deviante.

Abbiamo il giudizio di 100 adulti e 100 giovani per ognuno dei 5 comportamenti per un totale di 1000 giudizi (500 per gli adulti e 500 per i giovani). La distribuzione delle frequenze è così ripartita:

Esempio

COMPORTAMENTI

A B C D E

Adulti SI

50 90 70 10 30 250

Giovani 50 50 10 40 30 180

Adulti NO

50 10 30 90 70 250

Giovani 50 50 90 60 70 320

• Se vogliamo studiare la distribuzione delle risposte SI ci focalizziamo solo sulla prima parte della tabella

COMPORTAMENTI

A B C D E

Adulti SI

50 90 70 10 30 250

Giovani 50 50 10 40 30 180

100 140 80 50 60 430

• Calcoliamo le frequenze teoriche/attese

COMPORTAMENTI

A B C D E

Adulti

SI

50ft= 58

90ft= 81

70ft=47

10ft= 29

30ft= 35 250

Giovani 50ft= 42

50ft= 59

10ft= 33

40ft= 21

30ft= 25 180

100 140 80 50 60 430

• α =.01

• Gdl = (k-1)(r-1) = (5-1)(2-1)= 4

Calcoliamo la statistica

Calcoliamo il valore critico

Regola decisionale

>

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

Giovani e Adulti si regolano in modo diverso nell’attribuire devianza ai 5 comportamenti considerati

• Supponiamo di voler invece verificare se i giovani attribuiscono devianza meno frequentemente degli adulti complessivamente per i 5 comportamenti.

Confrontiamo le risposte SI globali

COMPORTAMENTI

A B C D E

Adulti SI

50 90 70 10 30 250

Giovani 50 50 10 40 30 180

Adulti NO

50 10 30 90 70 250

Giovani 50 50 90 60 70 320

Attribuzione di devianza

Totale

SI NO

Adulti 250 250 500

Giovani 180 320 500

430 570

Calcoliamo le frequenze teoriche/attese

Attribuzione di devianza

Totale

SI NO

Adulti 250ft= 215

250ft= 285

500

Giovani 180ft= 215

320ft= 285

500

430 570

Calcoliamo la statistica

• α =.01

• Gdl = (k-1)(r-1) = (2-1)(2-1)= 1

Calcoliamo il valore critico

Regola decisionale

>

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

• Condizioni di applicabilità:– Avere a che fare con proporzioni/probabilità;

– n1P1(1- P1) > 5 e n2P2(1-P2) > 5

Ipotesi sulla differenza tra percentuali/proporzioniVariabili dicotomiche su

scala nominale

Numerosità dei campioni

Percentuale di soggetti con la caratteristica in esame nei due gruppi Proporzione di individui con

la caratteristica in esame indipendentemente dal gruppo di appartenenza

• Supponiamo di aver intervistato 88 persone per sapere se si ritengono timidi oppure no. In seguito a tale intervista abbiamo ottenuto due campioni: – 36 soggetti si definiscono timidi– 52 soggetti si definiscono non timidi.

In seguito a tutti i soggetti è stato chiesto se avevano paura dei serpenti. Le risposte ottenute sono state le seguenti:

- nel campione dei timidi 30 hanno risposto di SI (83%)

- nel campione dei non timidi 28 hanno risposto di SI (54%).

vogliamo verificare se le persone timide hanno più paura dei serpenti.

• Variabile Indipendente: TIMIDEZZA• Variabile Dipendente: PAURA DEI SERPENTI

VARIABILI

• verificare se le persone timide hanno più paura dei serpenti.

OBIETTIVO

n1P1(1- P1) > 5 e n2P2(1-P2) > 5 - 36*.83(1-.83)=5.085.08 > 5 -52*.54(1-.54)= 12,9212,92 > 5

1°: formulazione delle Ipotesi

• HO: nei due campioni la percentuale di chi ha paura dei serpenti è uguale => P1 = P2

• H1: le persone classificate come timide hanno più paura dei serpenti => la percentuale di chi ha paura è maggiore nel campione dei timidi => P1 > P2

2°: Individuazione della statistica

• α = .05

• Ipotesi alternativa monodirezionale

3°: calcolo della statistica

4°: calcolo del valore critico

5°: regola decisionale

>

RIFIUTIAMO L’IPOTESI NULLA

Le persone classificate come timide hanno più paura dei serpenti => la percentuale di chi ha paura è maggiore nel campione dei timidi

• Il confronto viene effettuato tramite il rapporto fra le varianze stimate delle popolazioni da cui i campioni sono estratti

• Segue la distribuzione teorica di probabilità F di Fisher - Snedecor

Ipotesi sulla differenza tra Ipotesi sulla differenza tra varianzevarianze

• Essendo un rapporto tra varianze i valori sono sempre positivi

• I valori variano da 0 a +∞

• È asimmetrica e asintotica• I gradi di libertà dipendono dalla numerosità dei campioni

• Poiché abbiamo le varianze dei campioni dobbiamo stimare quella della popolazione secondo la formula:

Ipotesi sulla differenza tra Ipotesi sulla differenza tra varianzevarianze

Questo calcolo lo effettuiamo per entrambi i nostri campioni in modo da poter calcolare il

valore della F

Gdl= v1(n1-1); v2(n2-1)

Gdl derivanti dalla varianza al numeratore

Gdl derivanti dalla varianza al

denominatore

• Due o più campioni si dicono DIPENDENTI quando i punteggi presenti in un campione casuale di osservazioni sono in relazione con i punteggi presenti nell’altro campione casuale di osservazioni (Glenberg e Andrzejewski, 2007).

Un esempio è costituito dagli stessi soggetti che vengono sottoposti a livelli diversi di trattamento (DISEGNI DI RICERCA A

MISURE RIPETUTE)

• Il confronto tra le medie delle due serie di osservazioni avviene su una nuova serie di dati che è rappresentata dalle DIFFERENZE TRA GLI ELEMENTI DI CIASCUNA COPPIA.

Caratteristica principale

t di Student per campioni appaiati con

gdl(n-1)

Sono la media e la devStandard delle

differenze osservate nel campione

• Varianza della popolazione ignota• Numerosità del campione < 30

t di Student per campioni appaiati con

gdl(n-1)

• Numerosità del campione > 30

Punti z

• È fondamentale comprendere che:– Per due campioni dipendenti i

calcoli vengono effettuati sulla sola colonna delle DIFFERENZE

– Nel caso di due campioni indipendenti i calcoli vengono effettuati sulle due serie di osservazioni

• Supponiamo di voler verificare se un protocollo di stimolazione cognitiva produca un miglioramento nella funzione della memoria in un gruppo di soggetti anziani.

A tal fine ad un gruppo di soggetti anziani viene somministrato un test di memoria prima e dopo l’applicazione del protocollo di stimolazione cognitiva.

SCALA A INTERVALLI

VARIABILE INDIPENDENTE: misurazione prima e dopo il protocollo

VARIABILE DIPENDENTE: punteggio al test di memoria

Formulazione delle Ipotesi

Nella popolazione generale di pazienti la media delle differenze D (prima e dopo) nei punteggi è uguale a 0 => il trattamento applicato non è efficace

Nella popolazione generale di pazienti la media delle differenze D (prima e dopo) nei punteggi è maggiore di 0 => il trattamento applicato è efficace

Calcolare le differenze tra i punteggi dei soggetti sottraendo i punteggi della condizione 2 a quelli della condizione 1

Sommare le differenze e calcolare la media Elevare al quadrato le differenze Sommare le differenze al quadrato Sostituire ad n il numero totale dei soggetti Calcolare i gradi di libertà

Passi per calcolare la t di Student per campioni dipendenti

Prima Dopo Differenza dopo - prima

30 43 13

52 56 4

51 79 28

52 64 12

33 52 19

50 42 -8

76 77 1

57 65 8

43 50 7

59 49 -10

Calcolare le differenze tra i punteggi dei soggetti sottraendo i punteggi della condizione 2 a quelli della condizione 1

Sommare le differenze e calcolare la media Elevare al quadrato le differenze Sommare le differenze al quadrato Sostituire ad n il numero totale dei soggetti Calcolare i gradi di libertà

Passi per calcolare la t di Student per campioni dipendenti

Prima DopoDifferenza dopo

– prima (D)D2

30 43 13 132

52 56 4 42

51 79 28 282

52 64 12 122

33 52 19 192

50 42 -8 -82

76 77 1 12

57 65 8 82

43 50 7 72

59 49 -10 -102

Calcoliamo la t di Student

• α=0,05

• Gdl = n-1 = 10-1= 9

• Ipotesi alternativa monodirezionale destra

Calcolo del valore critico

tcritico =1,833

Regola decisionale

tcritico =1,833tcalcolato =2,022 >

RIFIUTO L’IPOTESI NULLA e accetto quella alternativa.

Il trattamento a cui sono stati sottoposti i soggetti del campione rappresentativo

della popolazione generale di pazienti è efficace.

CAMPIONI

INDIPENDENTI DIPENDENTI

Scala nominale Scala ordinale Scala a intervalli

Distribuzione di frequenze

χ2

Distribuzione di frequenze e percentuali

χ2

Media

Test z

t di Student

n>30 n<30

Scala a intervalli

t di Student per campioni correlati

n<30

Media