Sfere e cilindri: un viaggio nelle geometrie

Progetto Elites 2005

Che cos’è una linea retta sulla sfera?

•Esperimentare il cammino sulla sfera: quando si va diritti?

Esempi: camminare con un piede di qua e l’altro di là del parallelo e fare i passi lunghi uguali; elastico; macchinina con le ruote che aderiscono alla superficie

Una ‘retta’ sulla sfera = rotta aerea

Due idee:

- Andare diritto

- Linea più corta

- Non rette ma geodetiche

- Le geodetiche della sfera sono circonferenze max

- I segmenti sono archi di circonferenze max

• Due punti A, B individuano (almeno) due segmenti; se si può, si prende il più corto. Non sempre un segmento di retta AB è la linea più corta tra A e B.

Il concetto di Il concetto di curvaturacurvatura

Il concetto di Il concetto di curvaturacurvatura

La nozione di curvatura per una curva è molto semplice

MOLTO CURVA

POCO CURVA

CURVATURA = 1/R

R

R

R

Su di una Su di una circonferenzacirconferenza

La lunghezza di una circonferenza rispetto al raggio varia con la superficie:

L > 2r

L < 2r

r

r

r

L = 2r

r

r

Quindi l’area del cerchio sulla superficie può essere minore (maggiore) di r2

CURVATURA = 0

CURVATURA < 0

CURVATURA > 0

Un triangolo è fatto di geodetiche

5/3

Area sfera = 4(raggio = 1)

Ang = 7/6 Area = 1/6

Ang = 2 Area =

Ang = 5/3 Area = 2/3

Ang = 3/2 Area = 1/2

TORINO 13-02-0262

AA∙ ∙ C = C = ((- -

g. iperbolica

AA∙∙C= (C= (- -

g. ellittica

• La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di 180°

• La curvatura della sfera è maggiore di 0

• Data una retta e un punto P esterno ad essa, esistono 0 parallele alla retta data passanti per P

g. ellittica

•La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°

•La curvatura è minore di 0

•Data una retta e un punto P esterno ad essa, esistono parallele alla retta data passanti per P

g. iperbolica

Che cos’è una linea retta sul cilindro?

- Le geodetiche del cilindro sono circonferenze parallele alle basi

- Generatrici- Spirali (o eliche)

• Ogni punto ha infiniti punti corrispondenti sui vari ricoprimenti

• Due punti A, B individuano almeno un segmento; per prendere il più corto bisogna considerare quello del primo ricoprimento. Non sempre un segmento di retta AB è la linea più corta tra A e B.

• N ricoprimenti N spire

•La somma degli angoli interni di un triangolo sulla superficie cilindrica è uguale a 180°

•La curvatura è uguale a 0

• Il cilindro è una superficie sviluppabile dal piano

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