L’infinitoIn termini

matematici

L’ infinito nelle scoperte matematiche

_ i paradossi

_ le geometrie

_ la teoria degli insiemi

e astronomiche

_ i modelli cosmologici

_ la teoria del Big-Bang

_ i modelli internativi

_ le antinomie

i paradossiIl concetto di infinito ispirò diverse teorie tra i matematici di tutte le epoche, che portarono a conclusioni talvolta contrastanti tra loro oppure apparentemente in contraddizione con opinioni o principi generali; tali ragionamenti o tesi vengono per questo motivo chiamati paradossi. I paradossi di ZenoneZenone nel V secolo a.C. dimostrò che la somma di infiniti segmenti dà per risultato un segmento finito, e quindi che grandezze finite come distanze e tempi possano essere divise all'infinito. Questo ragionamento è esposto nel paradosso di Achille e la tartaruga, nel quale apparentemente risulta che il veloce Achille non raggiungerà mai una lenta tartaruga cui aveva dato solo un metro di vantaggio. I paradossi dell‘ equinumerosità Euclide, successivamente, elencò alcune "nozioni comuni", cioè regole di deduzione logica, ritenute da lui evidenti ed intuitive ma che sollevarono in realtà numerosi dubbi :_ le cose uguali ad una stessa sono anche uguali tra loro _ se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono risultati uguali _ se da cose uguali si tolgono cose uguali i resti sono uguali _ cose che coincidono l'una con l'altra sono uguali l'una all'altra _l'intero è maggiore della parte. Quest’ultima nozione, apparentemente inconfutabile, fu la causa di una considerevole quantità di paradossi (come ad esempio quelli “dei quadrati”e “della ruota”di Galileo), detti sull’ “equinumerosità”.In generale due insiemi si dicono equinumerosi se è possibile stabilire una corrispondenza che ad ogni elemento del primo insieme colleghi un solo elemento del secondo insieme e viceversa,cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due.Se un insieme è finito non può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo qualsiasi sottoinsieme (per cui la quinta nozione di Euclide è vera), ma se l'insieme è infinito le cose cambiano: ad esempio, risultano equinumerosi gli insiemi dei punti di segmenti di diversa lunghezza e sono equinumerosi anche l'insieme dei punti di una retta e quello dei punti di un segmento.Così il matematico J.Dedekind diede infine come definizione di insieme infinito proprio la proprietà di essere equinumeroso con una sua "parte", nonchè la negazione della quinta nozione di Euclide.Solo alla fine del secolo scorso G.Cantor risolse definitivamente la questione dell'equinumerosità degli insiemi infiniti formulando la cosiddetta Ipotesi del continuo

L'ipotesi del continuo

E' un postulato dovuto a Cantor secondo cui si definiscono due

tipi di infinito:quello degli insiemi numerabili, detto, cioè

degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza

biunivoca con l'insieme dei numeri interi positivi, e quello degli insiemi continui, detto aleph uno, cioè degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con

l'insieme dei punti di una retta. Cantor enuncia il postulato, che

non riuscì mai a

dimostrare né a confutare , che non esistono livelli di infinito che siano intermedi tra il numerabile e il continuo.

La geometria euclideaLa nascita della geometria avviene nel III secolo a.C. grazie ad Euclide che riassunse tutto il sapere scientifico dell'epoca utilizzando postulati. Euclide nelle sue opere evitò di far ricorso al concetto di infinito, e comunque quando ne fu costretto si ricollegò all’ infinito potenziale Aristotelico, perciò risulta che "si possa prolungare indefinitamente una linea retta" e che "se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette se estese indefinitamente si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti", che equivale:" Per un punto è possibile tracciare una sola retta parallela ad una retta data“(quinto postulato).Nella stesura degli Elementi Euclide stesso dubitò della validità di questo La geometria iperbolicaNel 1829 il matematico russo Nicolas I. Lobacevski affrontò la stesura di una geometria nella quale fosse contemplata, in sostituzione del quinto postulato, la negazione dell'unicità della parallela:" Per un punto si possono tracciare almeno due rette parallele ad una retta data". Un modello della geometria iperbolica è una circonferenza privata del contorno: in essa i punti sono punti interni alla circonferenza e le rette sono corde private degli estremi; dato un punto interno esistono due corde passanti per il punto e che incontrano una corda data in un punto della circonferenza.La geometria ellitticaNel 1851 il matematico tedesco Bernhard Riemann presentò un'altra geometria fondata sulla negazione dell'esistenza della parallela:"Per un punto non è possibile tracciare alcuna retta parallela ad una retta data“.Modello di questa teoria può essere la superficie di una sfera, in cui si definiscono punti le coppie di punti diametralmente opposti e rette i cerchi massimi; due cerchi massimi si incontrano sempre. Il modello può essere reso ancora più generale considerando una qualunque superficie non piana nello spazio. Il modello dello "spazio curvo di Riemann" è quello che secondo Eistein spiega l'Universo reale nella sua teoria della relatività.La geometria frattaleNella seconda metà del ventesimo secolo una nuova geometria ha cominciato a configurarsi soprattutto ad opera di Benoit B. Mandelbrot: la geometria frattale. In essa le figure non hanno una dimensione rappresentata da un numero intero ma da una frazione. L'interesse per queste figure nasce dal fatto che in natura si riscontrano spesso forme aventi, entro certi limiti, la stessa proprietà.

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