Seminario didattico

Lezione 8:

Campo Magnetico – Forze magnetiche

2

Esercizio n°1

Nel circuito in figura scorre una corrente I = 10 A. I raggi delle semicirconferenze sono r

1 = 8 cm ed r

2 = 12 cm.

Determinare il campo B nel centro del circuito.

DATI:I=10 AR

1=8 cm

R2= 12 cm

B(O) = ?O

3

Svolgimento esercizio 1 (1)

Suddividiamo il circuito nelle 4 parti indicate in figura, il campo magnetico totale sarà la somma dei vari contributi:

O

134

Per un tratto infinitesimo lungo le parti 3 e 4 il contributo infinitesimo del campo magnetico risulta:

Odl

4 r dl3r

dB3/4 0=0 i

4

dl3/ 4× urr2

=0

2

O34

ur2

dl2

ur1

dl1

dB1/20=0 i

4

dl1/2× ur1/2r1/22 =

0 i

4

dl1/2 uzr1/22

Il prodotto vettoriale è nullo poiché i due vettori sono paralleli.Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 2 il contributo infinitesimo del campo magnetico risulta:

z

4

Svolgimento esercizio 1 (2)

Sia per il tratto 1 che per il tratto 3 il campo magnetico è uscente dal piano del disegno . La lunghezza infinitesima dell'arco di circonferenza è :Pertanto il campo magnetico generato da un tratto infinitesimo di filo lungo le due circonferenze risulta:

dl=r d

dB1O=0 i

4d r1

uz dB2O=0 i

4d r2

uz

Per ottenere il campo magnetico totale in O è necessario integrare sull'angolo θ:

dB O=0 i

4uz ∫0

d

r2∫

2d

r1 =0 i

4uz 1r2

1r1 = u z6.54∗10

−5T

5

Esercizio n°2

Tre conduttori rettilinei paralleli e indefiniti, percorsi da una corrente I = 10 Apassano per i vertici di un triangolo equilatero ABC di lato L =10 √3 cm e sono perpendicolari al piano del triangolo. In B e C la corrente ha un verso entrante nel piano della figura, in A verso uscente. Determinare modulo direzione e verso del campo magnetico risultante nel centro del triangolo.

DATI:I=10 AL =10 √3 cmB(O) = ?

6

Svolgimento esercizio 2 (1)

Il campo magnetico risultante in O sarà la somma vettoriale dei tre contributi di campo magnetico dovuti ai tre fili (A, B,C). I vettori dei tre campi magnetici avranno la direzione ed il verso indicato in figura che è ottenuto dalla legge di Biot-Savart.I moduli dei tre vettori saranno uguali, poiché è identica la corrente che vi scorre e la distanza di ciascun filo al punto O, che è pari a:

cos 30° d=l2⇒d=

l2cos30 °

=l

3=10 cm

x

y

BB

B A

BC Ciascun campo magnetico risulta:

B O=0 I

2dut× ur60 °

7

Svolgimento esercizio 2 (2)

I campi magnetici totale in O scomposti lungo gli assi x e y risultano:

B A O=0 I

2dux

BB O=0 I

2d ux cos360°−60° u y sin 360°−60°

BC O=0 I

2d ux cos60° uy sin 60° y

BB

BA

BC

60 °

Il campo totale lungo l'asse y è nullo poiché le componenti dovute ai fili B e C sono uguali in modulo ed opposte. Il campo totale lungo x risulta:

BTOT O=0 I

2dux cos60 °cos60°1 =

0 I

dux= ux 4.10

−5T

x

8

Esercizio n°2

Un filo conduttore vincolato in posizione orizzontale è percorso da una corrente I = 10 A. Un secondo filo conduttore, parallelo al primo, percorso dalla stessa corrente nello stesso verso, è posto inferiormente al primo, libero di muoversi. Determinare il valore della distanza d perché il filo inferiore sia in posizione di equilibrio, se la sua densità di massa per unità di lunghezza è λ

M = 1 g/m. (Si

considerino fili di lunghezza infinita).

DATI:I=10 Aλ

M = 1 g/m

d = ?

I

I d

Esercizio n°3

9

Svolgimento esercizio 3 (1)

Affinchè il secondo filo sia in equilibrio la forza magnetica esercitata su di esso dal primo filo deve essere uguale ed opposta alla forza di gravità.

I

I d

B

y

dP

dF12

B d =0 I

2dut× ur

ur

ut

Il campo magnetico generato dal primo filo ad una distanza d risulta dalla legge di Biot-Savart:

La forza esercitata dal primo filo su un tratto infinitesimo dl2 del secondo risulta:

dF12=I 2dl2 ut×B=0 I

2dl22d

u yDove è stato sostituito I

2 =I e il versore u

y

segue la direzione dell'asse y indicato in figura

1

2

La forza peso per un tratto infinitesimo dl2 del secondo filo risulta:

dP=−M dl2 g uy

10

R=dF12dP=0⇒0 I

2

2ddl2=M gdl2

Svolgimento esercizio 3 (2)

La risultante delle forze risulta:

d=0 I

2

2M g=2.04mm

Da cui si ottiene la distanza a cui il secondo filo è in equilibrio:

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Esercizio n°4

Una spira di lato ℓ = 0.5 m è posta a distanza ℓ da un filo rettilineo percorso dauna corrente I = 10 A. Filo e spira giacciono nello stesso piano orizzontale. Laspira è percorsa da una corrente I’ = 2A.Calcolare la forza F, ortogonale al filo, che bisogna applicare alla spira per impedirle di andare verso il filo.

DATI:I=10 AI'=2 Aℓ = 0.5 mF = ?

ℓ

I

ℓ

I' I'

12

Svolgimento esercizio 4 (1)

Il campo magnetico prodotto dal filo è entrante ed ha il seguente valore ad una distanza r:

ℓ

I

ℓ

I' I'

B

B r =0 I

2ru t× ur

2

1

3

4

Calcolo la forza che agisce su ciascuno dei lati della spira:

d F1=I 'dy1×B ℓ

yx

F1=− ux∫ℓI ' dy B ℓ=− ux

ℓ0 I I '

2 ℓ

d F2=I 'dx2×B x

F2=− u y∫ℓ

2ℓI ' dx B x =− u y

0 I I '

2 ℓ ∫ℓ

2ℓ 1xdx=− u y

0 I I '

2 ℓln 2ℓℓ

1)

2)

13

Svolgimento esercizio 4 (2)

I

I' I'

B2

1 34

d F3=I 'dy3×B 2ℓ

yx

F3= ux∫ℓI ' dy B 2ℓ= ux

ℓ0 I I '

4 ℓ

d F4=I 'dx4×B x

F4= u y∫ℓ

2ℓI ' dx B x = u y

0 I I '

2ℓ ∫ℓ

2ℓ 1xdx= u y

0 I I '

2ℓln 2ℓℓ

F3

F2

F4

F1

F2 e F

4 hanno lo stesso modulo e verso

opposto. La risultante delle forze avrà componente nulla lungo l'asse y.

3)

4)

R= F1 F2 F3 F4

R= F1 F3= ux0 I I '

2 −112 =− ux0 I I '

4

14

Svolgimento esercizio 4 (3)

Affinchè la spira resti ferma è necessario applicare una forza F opposta ed uguale in modulo alla risultante R delle forze dovute al campo magnetico:

I

I' I'

B

yx

R FF=−R= ux

0 I I '

4= ux2∗10

−6N

15

Esercizio n°5

Il filo conduttore di figura piegato ad U ha la distanza tra i fili 2a= 2cm ed è percorso dalla corrente i=0.5 A. Calcolare:a) il campo magnetico B

C nel punto C e

b) il campo magnetico BD in un punto D, molto lontano dal tratto di filo curvo, di

cui si trascura l'effetto (assumendo che i fili siano infiniti)

DATI:i=0.5 A2a=2 cmB

C = ?

BD = ?

CD2a

i

i

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Svolgimento esercizio 5 (1)

a)Il punto C è nel centro del semicerchio che chiude il conduttore ad U, calcoliamo il campo magnetico in C come la sovrapposizione dei campi dovuti alla parte rettilinea e il campo dovuto alla parte circolare.

C

i

iIl campo magnetico dovuto ad un singolo tratto infinitesimo ds lungo un tratto del filo è:

1

2

3

x

dB r =0 i ds

4r2u t× ur

Il campo magnetico per i due tratti rettilinei infiniti si ottiene in maniera analoga alla dimostrazione della legge di Biot-Savart, secondo la notazione in figura il campo infinitesimo è:

ds ut

r ur

θ

dB r =0 i ds

4 r2sen =−

0 i

4ad cos

a

Integrando per cos(θ) che va da -1 a 0 ovvero θ da π a π/2 si ottiene la metà rispetto al valore della legge di Biot-Savart:

BC 1/3=

0 i

4aut× ur=

0 i

4aux

C

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Svolgimento esercizio 5 (2)

i 1

Il campo magnetico dovuto alla parte semicircolare del circuito risulta:

dBC2a=0 i ds

4a2ux⇒ BC2a=

0 ia

4a2ux=

0 i

4 aux

BC= BC1 BC3 BC2= 0 i

4a

0 i

4a0 i

4 a ux

i 1

2

3

x

C

i

BC=0 i

4a 21 ux=26T

Dove si è sostituita la lunghezza della semi circonferenza pari a πa. Il Campo totale in C risulta:

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Svolgimento esercizio 5 (3)

i

b) Il campo magnetico nel punto D molto lontano dalla parte curva risulta pari alla somma dei campi magnetici generati da due fili paralleli, infiniti e percorsi da corrente nel verso opposto. Ciascuno si otterrà dalla legge di Biot-Savart, per cui si ha:

BD= BD1 BD2

= 0 i2a

0 i

2a ut× ur=0 i

aux= ux20T

i 1

2

x

DL'esercizio 7.12 del Mazzoldi prevede che il punto D sia all'estremo infinito dei fili e pertanto somma il campo generato da due semi fili paralleli . Il risultato è la metà di quello trovato qui.

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Esercizio n°4

La corrente che percorre il tratto di filo conduttore di figura è I = 5 A. Calcolare il campo magnetico B

P nel punto P.

DATI:I=5 Aℓ = 2 cmB

P = ?

ℓ= 2 cm

1 cm

P

20

ℓ= 2 cm

1 cm

P

Per valutare il campo magnetico in P è necessario suddividere il conduttore in parti come indicato in figura.

1

2 3 4

5

Per un tratto infinitesimo lungo le parti 1 e 5 il contributo infinitesimo del campo risulta:

Odl1 r dl

5r

dB1 /5 P=0 i

4

dl1/5× urr2

=0

Il prodotto vettoriale è sempre nullo poiché i vettori sono paralleli. Gli unici contributi non nulli si hanno dalle parti di lunghezza finita del conduttore (2/3/4). Il campo magnetico generato da un elemento infinitesimo di lunghezza dl

del

cavo (2/3/4) possiamo riscriverlo come :

x

dB P=0 i

4

dl× urr2

=0 i

4

dl ux sen

r2=−

0 i

4

d cos uxℓ2

Svolgimento esercizio 6 (1)

21

Svolgimento esercizio 6 (2)

Il campo magnetico generato dal tratto 2 si ottiene integrando il campo magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero integrando tra θ= 90° e θ = θ

2

P

ℓ/2

urdl2

ur

dl2 θ2

90°

rmax

B2P=−∫0

cos2 0 i

4

d cos uxℓ /2

=−0 i

4

cos2 uxℓ /2

ℓ2=rmaxcos−2= ℓ

2

4ℓ2

4cos −2

ℓ/2Poiché si ha:

cos 2=−cos −2=− 12Il campo magnetico generato dal tratto 2 del conduttore (ed in maniera identica dal tratto 4) risulta:

B2 /4 P=−0 i

42uxℓ /2

x

22

Svolgimento esercizio 6 (3)

Il campo magnetico generato dal tratto 3 si ottiene integrando il campo magnetico infinitesimo su tutta la lunghezza del conduttore, ovvero integrando tra θ= π - θ3 e θ = θ3

P

ur

dl3

ur

dl3 π−θ3

rmax

ℓ/2

θ3

ℓ/2

ℓ2=rmax cos−3= ℓ

2

4ℓ2

4cos −3

cos 3=cos 2=−cos−3=− 12B3 P=−∫cos −3

cos 3 0 i

4

d cos uxℓ /2

=−0 i

4

2cos 3 uxℓ /2

=0 i2

42

uxℓ /2

Il campo magnetico totale risulta:

B P=2∗ 0 i

42uxℓ /2 0 i2

42uxℓ /2

=0 i

2uxℓ /2

= ux1.41T

x

B P=B2PB4 PB3 P