se un onda piana si propaga all’interno di una cavita’ a forma di parallelepipedo di lati L1, L2 ed L3 rilettendosi perfettamente sulla sua superficie, le onde stazionarie che si potranno generare all’interno della cavita’ saranno caratterizzate da tre numeri interi n1, n2 ed n3

22 231 2

2 2 21 2 3

nn nk k

L L L

22 231 2

2 2 21 2 3

1 1

2 2

nn nk

L L L

22 231 2

2 2 21 2 3

v v

2

nn n

L L L

1 2 3 1, 2,3...., ,n n n

Richiamo alle onde stazionarie in tre dimensioni

1 2 3 1, 2,3...., ,n n n ovvero, prendendo in considerazione le frequenze

le condizioni di quantizzazione delle lunghezze d’onda divengono

con

con

in un contenitore cubico di lato L si avrebbe 2 2 21 2 3

2

v

2

n n n

L da cui

22 2 2 2

1 2 324

v

L n n n

supponendo che nella cavita’ siano presenti onde elettromagnetiche e che nella cavita’ vi sia il vuoto

22 2 2 2

1 2 324

L n n n

c

v = c

e la formula precedente diviene

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La funzione trovata da Planck descriveva correttamente la distribuzione dei dati sperimentali, ma non risultava spiegabile con

immaginando n1, n2 e n3 come coordinate in uno spazio tridimensionale la relazione

si ha

ma dato che le onde e.m. sono trasversali con due stati ortogonali di polarizzazione questo numero va raddoppiato.

il numero N di tutte le frequenze minori o uguali a è dato da un ottavo del volume di tale sfera

può essere interpretata come l’equazione di una sfera di raggio

22 2 2 21 2 3 2

4

Ln n nc

se L è sufficientemente grande, n1, n2 e n3 possono essere pensate come variabili continue

2

Lrc 3

21 4

8 3

LNc

3

3

8

3

V

Nc

in conclusione:

di conseguenza possono assumere solo frequenze discrete, individuate dalla terna di valori (n1, n2, n3) e ad ognuna di esse è

La derivazione quantistica dello spettro del corpo nero

considerando per semplicita’ una cavità cubica di lato L

Classicamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche in una cavità chiusa siano onde stazionarie con nodi sulle pareti,

Una sua coerente deduzione si deve al lavoro congiunto di Einstein e di Satyendra Nath Bose

nonostante in realta’ siano numeri naturali,

22 2 2 21 2 3 2

4

Ln n nc

dove si e’ sostituito ad L3 il volume della cavità, indicato come V

associata una certa quantita’ finita di energia.

i principi della meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo classici.

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Quantisticamente si ipotizza che le onde elettromagnetiche stazionarie in una cavità chiusa siano assimilabili ad un insieme di fotoni

Per i fotoni si ha :

conservataquantitaunaenonfotonidinumeroil

zerononmapossibilisonospindistatiduesolo

ckdallafrequenzaallalegatoekondadnumeroil

hE

' ' )4

) , 1(m )3

/2 ' ' )2

)1

secondo l'ipotesi di Einstein si possono interpretare le onde e.m. anche come composte di particelle, i fotoni

in altri termini (n1, n2, n3) sono i numeri quantici di ciascun fotone e la cavità sarebbe riempita da un “ gas di fotoni ”

ogni fotone possiede una quantita’ finita, un quanto, di energia ε = h ed è individuato dalla terna (n1, n2, n3)

la densità di fotoni, cioè il numero di fotoni per unità di volume, risulta N

V

3

3

8

3

c

Gas di fotoni

i fotoni sono quindi i quanti di energia o semplicemente i “quanti” del campo elettromagnetico.

i fotoni sono particelle identiche, nello specifico bosoni identici, ma sono un caso speciale in quanto privi di massa e quindi intrinsecamente relativistici.

il numero n di possibili valori distinti della loro energia h ν per unità di volume per frequenze comprese tra ν e (ν+dν) può essere ottenuto dal differenziale di questa espressione:

dN

dV

2

38

dc

da notare che ognuna delle n energie può essere posseduta da m fotoni; m è detto numero di occupazione

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Il numero W delle possibili combinazioni di n elementi a gruppi di m risulta

questo è vero per ognuno degli intervalli di ampiezza hν in cui può essere suddiviso lo spettro delle energie, cioè per ognuno dei livelli energetici

1 1)! 1)!

1 1

( (

!( )! !( )!

n m n m n mW

m m n m m m n

calcolando il logaritmo di W e usando le approssimazioni di Stirling, il conto procede nello stesso identico modo di quanto fatto nel caso delle particelle bosoniche

1)!

1

(

!( )!

i i

i i i

n mW

m n

indicando con Ni e mi i parametri relativi ad ognuno di questi livelli si ha che il

numero totale di possibili distribuzioni di fotoni è dato da

se il gas di fotoni è in equilibrio la distribuzione più stabile è quella che massimizza il valore di W e quindi anche del suo logaritmo

Ma c'è un'altra differenza fondamentale rispetto ai gas di particelle classiche: anche se praticamente è impossibile farlo, concettualmente le particelle classiche si possono contare

da notare tuttavia che i fotoni non possono essere assimilati alle particelle puntiformi della meccanica classica in quanto non è possibile stabilire esattamente la loro posizione, l'unica informazione utilizzabile è che sulla loro posizione è situata nel volume V della cavità.

i fotoni viceversa sono continuamente emessi ed assorbiti dalle pareti: non si possono contare nemmeno concettualmente.

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con questo solo vincolo, si può calcolare il massimo del logaritmo di W con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange:

le considerazioni termodinamiche sviluppate da Boltzmann dimostrano che

quindi, ponendo ε = h ν, si ha che il valore del numero di occupazione m per una cavità in equilibrio termico è

ognuno degli m fotoni ha energia h ν, i livelli energetici per unità di volume sono

dunque l'energia per unità di volume, cioè la densità di energia risulta

la stessa densità di energia in funzione si λ risulta relazione identica a quella determinata da Planck

indicando con εi l'energia associata ad ogni frequenza, deve essere i ii

m E

1ii

i

nm

e

1

i

ii h

kT

nm

e

risultato cui si poteva pervenire direttamente ponendo = 0 nella formula di Bose-Einstein

la massimizzazione della probabilita’ statistica per un gas di fotoni deve quindi essere portata avanti rilasciando il vincolo della conservazione del numero totale di particelle mentre permane il vincolo sulla conservazione dell’energia

riesce

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