Se avete in mano “la settimana enigmistica”, state risolvendo un cruciverba e vi trovate la definizione “il numero perfetto”, penso che non avrete dubbio, e scriverete TRE. Questo a meno che non siate amanti della numerologia; in questo caso probabilmente scriverete lo stesso TRE ma vi chiederete perché mai ci sia questa convenzione. In matematica, infatti, il concetto di numero perfetto è rigidamente definito, e il numero tre non ne fa certo parte.

Come sapete, ogni numero intero ha un certo insieme di divisori, i numeri per i quali può essere diviso esattamente. Cosa succede se sommiamo tutti i divisori di un numero, tranne esso stesso che è sì divisore ma improprio? Si danno tre casi.

Può darsi che la somma dei divisori sia inferiore al numero stesso, come nel caso di 10; i suoi divisori sono 1, 2 e 5 e la loro somma è 8. Numeri di questo tipo si dicono difettivi.

Può darsi che la somma sia superiore, come nel caso di 42; i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 la cui somma è 54. Numeri di questo tipo si dicono abbondanti.

Ma può anche darsi che la somma sia esattamente uguale al numero stesso, come nel caso di 6 (divisori 1, 2, 3) oppure 28 (divisori 1, 2, 4, 7, 14). In questo caso il numero viene detto perfetto, e i pitagorici lo tenevano in gran conto… anche perché ce ne sono davvero pochi.

Già Euclide aveva dimostrato che se k è un numero tale che 2 (elevato a k) - 1 è primo, allora il numero 2 (elevato a k-1) per 2 (elevato a k) -1 è perfetto. I primi valori di k per cui questo succede sono 2, 3, 5, 7 che danno rispettivamente i numeri perfetti 6, 28, 496, 8128.

Eulero ha dimostrato che tutti i numeri perfetti pari sono di questa forma: diventa pertanto importante scoprire per quali valori di k abbiamo Mk primo. Il primo a tirare fuori una lista di tali valori è stato l’abate gesuita Marin Mersenne.

La lista di Mersenne non era del tutto corretta, e in seguito diversi matematici corressero gli errori; fortunatamente, vista l’enormità dei numeri in gioco, esiste un algoritmo relativamente (molto relativamente) rapido per testare la primalità di un numero di quella forma, e il bello è che è un algoritmo adattissimo per i computer e soprattutto può essere diviso tra più persone. Esiste infatti un progetto di calcolo distribuito, GIMPS (Great Internet Mersenne Primes Search) che appunto sfrutta la CPU inutilizzata dei computer per trovare nuovi primi di Mersenne e quindi numeri perfetti.

Le ultime scoperte arrivano dal GIMPS. Attualmente conosciamo 47 numeri perfetti, con il più grande pari a 243.112.608×(243.112.609−1) e composto da sole 25.956.377 cifre; non sappiamo nemmeno se ce ne sia un numero finito o infinito.

Qualche lettore più attento magari si sarà chiesto «Bene, tutto questo va bene per i numeri perfetti pari. Ma esistono anche numeri perfetti dispari?». La risposta, assolutamente precisa, è «Boh.» Non si sa se ne esistano, ma nessuno è riuscito a dimostrarne l’impossibilità, anche se si sa che una bestia simile deve avere almeno nove fattori primi distinti, 75 fattori primi complessivi, più di trecento cifre, oltre a possedere una serie di proprietà tali per cui nel diciannovesimo secolo James Sylvester affermò che se mai ne esistesse uno sarebbe praticamente un miracolo.

E se ci accontentassimo di qualcosa di meno della perfezione?

Si può per esempio provare a vedere cosa succede con il numero 220. È un numero abbondante: i suoi divisori propri sono 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 la cui somma è 284. Calcoliamo ora i divisori di 284: sono 1,2,4,71,142 la cui somma è… 220. Abbiamo così due numeri in un certo senso speculari rispetto alla funzione “somma dei divisori”; numeri di questi tipo si chiamano amicabili.

Per i numeri amicabili In tutti i casi conosciuti, i numeri di una coppia sono o entrambi pari o entrambi dispari, nonostante non siano note ragioni per cui questo debba avvenire necessariamente. Inoltre, ogni coppia conosciuta condivide almeno un fattore.

Un gruppo di numeri socievoli è un insieme di numeri in cui ogni numero è amicabile del numero posto accanto ad esso, ed il primo è amicabile dell'ultimo, cosicché i numeri formino una sorta di "catena ciclica". Nel 1918, il matematico Paul Poulet scoprì il gruppo di numeri socievoli 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264 Se sommiamo i divisori propri di 14 264, otteniamo 1 + 2 + 4 + 8 + 1 783 + 3 566 + 7 132 = 12 496, ovvero il numero che nell'ordine del gruppo viene subito dopo di lui, quindi 14 264 è amicabile di 12 496; il ciclo si ripete nello stesso modo per tutti i numeri. La più lunga catena di numeri socievoli conosciuta è stata scoperta da Ren Yuanhua, e conta 54 numeri. Non si conosce nessun ciclo di ordine 3 di numeri socievoli; mentre se ne hanno 165 di ordine 4, uno di ordine 5, 5 di ordine 6, 2 di ordine 8, 1 di ordine 9 e un incredibile gruppo di ordine 28, che inizia da 14316.La maggior parte dei numeri però è piuttosto monotona in questo senso: continuando a calcolare la somma dei divisori propri, si arriva a un certo punto a un numero primo, che poi va a 1 e infine a 0.

Restano fuori da questa suddivisione i cosiddetti numeri ambiziosi (aspiring number), come per esempio 95; iterando la somma dei suoi divisori si arriva prima a 25, poi a 6 e qui ci si ferma, o meglio si continua a riottenere 6. Insomma, i numeri ambiziosi vorrebbero tanto essere perfetti, ma non ce la fanno subito! Una congettura di Eugène Catalan afferma che non ci sono altre possibilità, ma esistono numeri – il più piccolo è 276 – per cui l’operazione sembra poter andare avanti all’infinito ottenendo valori (in genere) sempre crescenti. Ma per l’appunto anche questa congettura non è affatto dimostrabile.

Numeri fidanzati I numeri fidanzati sono numeri tali che la somma dei divisori di uno (escluso il numero stesso e, a differenza dei numeri amicabili, anche l'1) dà come risultato l'altro, e viceversa. Le coppie di numeri amicabili e le catene di numeri socievoli sono sempre o tutti pari o tutti dispari. Si può osservare, invece, che due numeri fidanzati sono sempre uno pari e l'altro dispari; infatti, Pitagora distinse i numeri pari come femminili e i numeri dispari come maschili. La prima coppia di numeri fidanzati, detti anche "promessi sposi", è 48 e 75.

　

I numeri primi gemelli, sono 2 numeri primi (ovvero divisibili soltanto per se stessi e per 1) separati da un unico numero pari, vicini ma mai abbastanza per toccarsi davvero (Paolo Giordano ha scritto un libro in proposito: La solitudine dei numeri primi)Più si va avanti a contare, più questi numeri diventano rari, ma i matematici assicurano che anche quando ti sarai stancato di contare, ci saranno sempre altri primi gemelli.Ad esempio 11 e 13 sono numeri primi, e sono separati da un unico numero pari (12), quindi si dicono primi gemelli.

Primi gemelli: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), etc...

Poi ci sono anche i numeri primi Cugini, che, mentre i gemelli si differiscono per un solo numero, loro hanno 4 numeri di differenza: (3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), etc...

Esistono anche i numeri primi Sexy, che invece differiscono di 6 numeri: (5,11),(7,13),(11,17),(13,19),(17,23),(2… (47,53).

NUMERI FORTUNATI

• Si dicono fortunati i numeri che rimangono dopo la seguente procedura di eliminazione.

• Innanzitutto si parte dalla successione dei numeri naturali escluso lo 0

• 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ….

• Il primo numero 1 indica di eliminare un numero sì e uno no. Rimangono i numeri dispari

• 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 ….

• Il secondo sopravvissuto è il numero 3 che indica di eliminare un numero ogni 3. Rimangono i numeri

• 1 3 7 9 13 15 19 21 ….

• Il terzo numero 7 indica di eliminare un numero ogni sette. Rimangono

• 1 3 7 9 13 15 21 ….

• Il quarto numero sopravvissuto è il 9 e ripartiamo dai sopravvissuti eliminando ogni nono numero

• Continuiamo il procedimento...ed otteniamo la sequenza dei numeri perfetti.

• Ecco la lista dei numeri fortunati inferiori a 200:

1 3 7 9 13 15 21 25 31 33 37 43 49 51 63 67 69 73 75 79 87 93 99 105 111 115 127 129 133 135 141 151 159 163 169 171 189 193 195

I matematici, di solito, amano i giochi di prestigio: possono essere divertenti e spesso nascondo teorie interessanti. Eccone uno che dà modo di apprezzare le virtù dell’algebra.

Iniziate scegliendo un qualsiasi numero di 3 cifre in cui la prima e l’ultima differiscono di almeno due, per esempio 753. Adesso capovolgetelo e ottenete 357. Sottraete il numero più piccolo dal più grande: 753-357=396.

Infine addizionate questo numero al suo inverso: 396+693= 1089

La somma che otterrete riprovandoci con qualsiasi altro numero sarà sempre la stessa.

Il mistero del 1089 non è più tale se il problema è scritto in simboli anziché numeri. Sebbene usare i numeri per divertimento sia stata una costante della matematica, questa realtà è nata come uno strumento per risolvere i problemi pratici. Il papiro di Rhind, che risale al 1660 a.C. è il documento matematico dell’antico Egitto più completo che sia giunto fino a noi. Contiene 84 problemi che coprono campi diversi ma affrontati sempre in modo teorico.

Ritorniamo al nostro problema. Prendiamo il numero 614. E’ uguale a 600+10+4. In effetti, qualsiasi numero di 3 cifre scritto abc si può scrivere 100a + 10b + c. Quindi chiamiamo il nostro numero iniziale abc, in cui a, b e c sono singole cifre. Per comodità consideriamo a maggiore di c. L’inverso di abc è cba che si può espandere come 100c + 10b + a.

Ci viene chiesto di sottrarre cba da abc per ottenere un risultato intermedio. Quindi abc – cba è: (100a +10b+c) – (100c+10b+a)

I due termini b si cancellano a vicenda lasciando come risultato 99(a-c)

Poiché la prima e l’ultima cifra in abc differiscono almeno di 2, a-c è 2,3,4,5,6,7 o 8. Perciò 99(a-c) è uno dei seguenti numeri 396, 495, 594, 693, o 792. Quale sia il numero di tre cifre da cui si parte, una volta che l’abbiamo sottratto dal suo inverso abbiamo un risultato intermedio che è uno degli 8 numeri qua sopra.

La fase finale è quella di addizionare il numero intermedio al suo inverso. Ripetiamo ciò che abbiamo fatto in precedenza sommando a def il numero fed. Osservando la lista dei possibili numeri intermedi vediamo che il numero in mezzo e, è sempre 9. E anche la somma del primo e del terzo è sempre 9. In altre parole d+f= 9.

Per cui def+fed è 100(d+f) + 20e + d + f. Che è (100*9) + (20*9) + 9 = 900+180+9= 1089

Et voilà! Il trucco è svelato.

La sorpresa del trucco del 1089 è che da un numero scelto a caso si possa sempre ottenere un numero fisso. L’algebra ci permette di vedere al di là del gioco di prestigio, fornendoci i mezzi necessari per passare dal concreto all’astratto: dal ricostruire il comportamento di un numero specifico al ricostruire il comportamento di qualsivoglia numero.

Carl Pomerance è uno dei matematici più noti ed apprezzati nel suo campo: la teoria dei numeri. Come molti americani Pomerance ama il baseball, e l'8 aprile 1974 non fu per lui un giorno come gli altri. In quel giorno "Hank" Aaron superò il limite di 714 homeruns (traguardo conseguito dal grande "Babe" Ruth, e restato imbattuto dalla sua morte, avvenuta nel 1935). Aaron arrivò dunque a quota 715.

Pomerance, con alcuni suoi colleghi e studenti, osservò che S(714) = S(715), dove S(n) è la somma dei fattori primi di n contati con la loro molteplicità. Per esempio 175 = 25 x 7, e quindi S(175) = 2 x 5 + 7 = 17. Gli interi 714 e 715 sono entrambi prodotto di primi distinti:714 = 2 3 7 17715 = 5 11 13Si constata immediatamente che S(714) = S(715) = 29.Un intero n tale che S(n) = S(n+1) viene detto "numero di Ruth-Aaron".

Non si è fermato qui :ordinando i numeri in base al crescere della

persistenza si ha la seguente lista:

10,25,39,77,679,6788,68889,2677889,26888999,3778888999,2777777788888899.

I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l'ultima fosse attaccata alla prima.

Il più piccolo numero ciclico, escludendo il caso banale dell'1, è 142857. Proviamo a divertirci un po' con questo numero, dapprima provando a moltiplicarlo per i primi sette numeri naturali:

Si nota subito che questo numero ha qualcosa di magico: le cifre sono sempre le stesse, e se immaginiamo di attaccare l'ultima alla prima, creando una ruota numerica, esse compaiono anche nello stesso ordine. L'ultima moltiplicazione, quella per 7, ci da tutti 9 (Ogni numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n+1, da tutti 9).

142857 X1 142857

142857 X2 285714

142857 X3 428571

142857 X4 571428

142857 X5 714285

142857 X6 857142

142857 X7 999999

Scomponendo il numero 142857 in gruppi di 3, 2, 1 cifre e sommandoli, vengono sempre fuori solo 9.

142 + 857 = 99914 + 28 + 57 = 991 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 --- 2 + 7 = 9Dalla prima addizione possiamo anche notare una

delle più importanti caratteristiche dei numeri ciclici, che permette di trovare l'intero numero conoscendone solo metà. (In generale un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di d cifre [dove d è un fattore di p] che sommati danno una serie di 9).

Altri strani modi di far venire fuori il numero circolare 142857 sono questi: 14+ 28+ 56+ 112+ 224+ 448+ …. 1428571428….In questo caso si parte scrivendo 14 in alto a sinistra e poi moltiplicando

sempre per 2 e scrivendo il numero successivo spostato di due posti verso destra. La somma da una serie infinita di 142857...

7+ 35 + 175 + 875 + 4375 + 21875 + ………__________ …. 142857

In questo modo, invece, si ottiene il numero partendo da 7 e poi scrivendo

sotto a sinistra di una posizione il numero di sopra moltiplicato per 5.

I numeri ciclici sono strettamente legati ai reciproci di alcuni numeri primi. Quando dividendo 1 per un numero primo p si ottiene un periodo di lunghezza p-1 allora il periodo è un numero ciclico.

1 / numero primo

risultato Numero ciclico

1 / 7 0,14285714285714285714285714285

14285714285714285714285714285

1 / 17 0,05882352941176470588235294117

05882352941176470588235294117

1 / 23 0,04347826086956521391304347826

04347826086956521391304347826

Specializzato nei puzzle numerici, Maki Kaji si diverte a fotografare le targhe automobilistiche gratificanti dal punto di vista aritmetico.

35-15

3x5=15

GIAPPONEGIAPPONE• In Giappone le targhe sono costituite da

due coppie di numeri. Kaji immortala ogni targa in cui i primi due numeri moltiplicati tra loro danno gli altri due. Vi sono 81 combinazioni possibile e Kaji è a buon punto, ne ha già collezionate una cinquantina.

L’ idea che i numeri possono intrattenere è più antica della matematica stessa.

È un campo vasto e vivace, una cui caratteristica essenziale è che gli argomenti trattati sono accessibili ai non addetti ai lavori anche se possono far riferimento a teorie complicatissime. Oppure potrebbero non comportare alcuna teoria, ma semplicemente suscitare apprezzamento per la meraviglia dei numeri.

Questa sequenza compare quasi identica in una filastrocca di Mamma Oca nei primi dell’800.

È il più famoso indovinello a trabocchetto della letteratura inglese. A prescindere dalla direzione del viaggio, tuttavia il totale di mici, gatti, sacchi e mogli è: 7+7²+7³+7^4=

2800

La filastrocca è un modo poetico per dimostrare che numeri piccoli possono portare a numeri molto grandi. A sentirla la prima volta si pensa ad una discreta quantità di mogli, sacchi, gatti e mici, ma non quasi

Filastrocche, giochi e indovinelli matematici, che sfruttano tutte le stravaganze e particolarità dei numeri, sono noti come:

Una pietra miliare nella storia della matematica ricreativa è rappresentata da un evento verificatosi circa nel 2000 a.C. sulle rive del fiume Giallo, in Cina, che apri la strada alla scoperta del quadrato magico.

Un quadrato che contiene tutti i numeri consecutivi a partire da 1 disposti in modo tale che le file, le colonne e le diagonali, da angolo a angolo danno tutte la stessa somma.

Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi distinti in una tabella quadrata tale che la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna e in entrambe le diagonali dia sempre lo stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia o costante magica o somma magica del quadrato.

Un quadrato magico di ordine contenente tutti gli interi da 1 a è detto perfetto o normale. La costante magica di questi quadrati è data dalla formula:

I quadrati magici erano noti già in Cina forse addirittura nel IV secolo a.C. Il quadrato 3 × 3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il bizantino Manuel Moschopulos ( XIII secolo) fu tra i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi matematici ad approfondire l'argomento fu Cornelio Agrippa che nel ‘500 li definì "tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtù, poiché rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti". Molti quadrati magici si supponevano dotati di particolari virtù magiche e venivano utilizzati per costruire dei talismani: ad es. le loro incisioni su placche d'oro o d'argento venivano impiegate come rimedi, dalla peste al mal d'amore.

• Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da 1 a n2, con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:

La costante di magia di questo quadrato è 15.La costante di magia di un simile quadrato

può essere computata con questa formula:

I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti:

• n dispari• n divisibile per 2 ma non per 4, o numero semplicemente pari• n divisibile per 4, o numero doppiamente pari

1) Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore

2) Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore. E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su.

3) Se il quadrato già è occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.

Ognuno di noi è in parte determinato dal suo patrimonio genetico e dall'ambiente in cui è vissuto.

Keith Devlin, autore del libro Il Gene della Matematica(oltre che di una ventina di altri testi...), ha affermato che non vi è sostanzialmente alcuna differenza tra il cervello di chi ricorre alla calcolatrice tascabile per calcolare 16 per 7 e quello del famoso matematico Andrew Wiles!

Devlin sostiene che la capacità matematica si basa su alcune abilità mentali acquisite nel corso dei millenni dalla razza umana, utili per la sopravvivenza.

Alcune di queste abilità, come vedere a colpo d'occhio se ci sono molti più individui nel mio gruppo o in quello degli avversari (senso del numero), la percezione dello spazio tridimensionale, lo scoprire relazioni esistenti tra fatti o oggetti, sono nel nostro DNA e non vengono apprese.Altre invece, come il contare, ci vengono passate attraverso uno specifico insegnamento, ed hanno avuto probabilmente una origine parallela alla nascita del linguaggio.

Secondo Devlin la complessità della logica e delle relazioni in un qualunque telefilm che vediamo in TV , è molto più grande di quella di una pagina di un libro di matematica. Noi comprendiamo quello che accade senza alcuno sforzo, semplicemente perché si tratta di cose che avvengono nel mondo in cui viviamo. Il "trucco" del matematico consiste nel considerare reali gli oggetti matematici, nel farli partecipare alla nostra vita.

Per questo è molto importante il tipo di educazione che si riceve nei primi anni: è allora che i numeri possono diventare amici utili e divertenti. Piano piano, conoscendoli meglio, si verrà catturati dal loro fascino misterioso, dalla profondità delle loro relazioni.

L’universo dei numeri è complesso e intricato, ma non per questo ostile e incomprensibile. Basta con i soliti pregiudizi e luoghi comuni! Per molti la matematica non è altro che una semplice convenzione, un modo di decodificare la realtà, un linguaggio universale plasmato esclusivamente dalla ragione e dalla logica umana. Per altri invece è molto di più: la natura che si manifesta, l’arte fine a sé stessa che permette all’uomo di vedere e palpare l’infinito, il sogno dell’astratto che non presenta vincoli o confini. A volte i numeri nascondo proprietà divertenti e affascinanti e sono capaci di svelarci un mondo completamente nuovo e inesplorato. La conoscenza matematica aggiunge vigore alla mente e stimola la sua curiosità.

“Non solo la matematica è reale, ma è l’unica realtà” ( Martin Gardner)

Una delle grandi attrazioni della teoria dei numeri è l’avere a che fare con problemi irrisolti da generazioni e generazioni: alcuni li ereditiamo dal Novecento, altri ci sono stati lasciati in eredità da secoli e millenni. A volte accade pure che certi problemi dell’antichità vengono scartati, ma nel complesso la grande attrattiva della teoria dei numeri è questa sorta di permanenza: hai la sensazione di far parte di un settore di indagine che va avanti dall’antichità, e senti che se dovessi ritrovarti in qualche altro angolo dell’universo, ci sarebbero gli stessi problemi.

La matematica non è esclusiva della nostra civiltà: non è come un’opera d’arte o una sinfonia, qualcosa che un’altra cultura giudicherebbe strano. Una cultura aliena, molto semplicemente, potrebbe non capire che ascoltare la musica è un’esperienza davvero appagante per noi, potrebbero anche non avere l’udito. Ma la Matematica, e in particolare la teoria dei numeri, che è la sua forma più pura, è qualcosa che sarebbe comune a ogni angolo del sistema solare. O dell’universo. O di altri universi.

La matematica fa parte della ragione stessa. Ha per questo un’intrinseca bellezza, diversa da quella fugace delle opere d’arte, che è tanto più preziosa per la sua caducità. E’ quel genere di bellezza permanente, quasi fredda, che è eterna, perché fa parte della struttura stessa della ragione e della natura.

Hanno presentato:

Federica Ciambrelli

Domenico Cusano

Matteo Di Donato

Rina Ferrucci