Science and Imagination : n-dimensional geometry

in XIXth century

Aldo Brigaglia

Dipartimento di Matematica

Università di Palermo

La matematica come immaginazione

• Immaginate esseri bidimensionali, dotati di capacità razionali, che vivono e si muovono sulla superficie di un corpo curvo. Supponiamo che non possano percepire nulla al di fuori di questa superficie

• Immaginate un grande foglio di carta su cui rette, triangoli, quadrati e altre figure si muovono liberamente sulla superficie ma senza potersi sollevare o sprofondare.

Gauss

• Le coordinate intrinseche (Disquisitiones generales circa lineas curvas, 1827)

• Parametrizzazione delle superfici (Eulero)

Cayley 1845

• A chapter in the analitical geometry of n dimensions

• Il teorema può essere considerato come un fatto analitico che deve ugualmente aver luogo considerando 4 coordinate invece di tre. Qui si ha infatti, senza ricorrere ad alcuna nozione metafisica rispetto alla possibilità dello spazio a 4 dimensioni, ragionare nel modo seguente …

Cauchy 1847

• Mémoire sur les lieux analytiques• Concevons maintenant que le nombre des

variables x, y, z … devienne superieur à trois. Alors chaque système de valeurs de x, y, z, …déterminera ce que nous appellerons un point analytique.

• La considération des lieux analytiques est éminnemment propre à guider le calculateur au milieu des difficultés que je viens de signaler.

Cayley 1870

• A memoir on abstract geometry• The science presents itself in two ways:• As a legitimate extension of the ordinary

two and three dimensional geometry• And as a need in these geometries and in

analysis generally• To use such a representation we require the

geometry of such space

Cayley 1868; Plucker 1865

• Un nuovo punto di vista

• On the curves which satisfy given conditions

• On a new geometry of space.

Casorati

• Voi domanderete come mai la curvatura gaussiana sia il solo carattere che distingue, secondo Riemann, una superficie dall’altra, mentre vi hanno superficie per noi diverse, come in particolare le piane e le cilindriche, dotate della medesima curvatura? La risposta è facile e importante.

• In questa teoria una superficie si considera in sé stessa esclusivamente, nei suoi rapporti metrici interni, senza riferimento a veruna cosa posta fuori della medesima, si pensa come uno spazio di due dimensioni esistente di per sé, costituente da solo per così dire l’intero mondo; e non già come una superficie che esista in relazione con altre superficie e linee e punti fuori di essa e coesistenti in uno spazio p. e. di tre dimensioni.

Riemann 1854, 1867

• Volendo raggiungere un terreno sicuro, è assolutamente inevitabile una ricerca astratta per mezzo di formule, i cui risultati però potranno essere essere presentati in veste geometrica. I principi fondamentali di entrambi gli aspetti del problema sono contenuti nel celebre trattato di Gauss sulle superfici curve (p. 109)

Casorati, 1860

• Ricerca fondamentale per lo studio di una certa classe di proprietà delle superfici curve (Annali)

Beltrami 1864 – 65Ricerche di Analisi applicate alla Geometria

(Giornale di Battaglini)

Allorché si considerano le superficie sotto questo aspetto, l’ordinaria rappresentazione cartesiana rendesi poco opportuna, siccome quella che è troppo intimamente connessa colla posizione e colla figura attuale della superficie.

• Ora l’espressione analitica di queste proprietà assolute deve evidentemente essere somministrata in formole … e se quell’espressione è la più generale possibile, cioè se le linee coordinate u = cost e v = cost sono del tutto indeterminate, quelle formole, dovendo essere indipendenti dalla scelta delle coordinate stesse, debbono conservare la medesima forma qualunque sia il significato geometrico attribuito alle variabili.

1895: Poincaré

• Mais pourquoi ne pas conserver le langage analytique et le remplacer par un langage géométrique … ? C’est ensuite que l’analogie avec la géométrie ordinaire peut créer des associations d’idées fécondes et suggérer des généralisations utiles

Nel frattempo: Pluecker, Cayley1830 - 1845

• Rappresentazione degli elementi degli spazi come oggetti geometrici diversi.

Nel frattempo: Schlaefli, 1852

• Classificazione dei politopi degli spazi di qualsiasi dimensione. Nemmeno un disegno

• Anni ’80: riscoperta della classificazione; sviluppi, proiezioni, ecc.

Beltrami, 1868Saggio di interpretazione

• Da quanto precede ci sembra confermata in ogni parte l’annunciata interpretazione della planimetria non-euclidea per mezzo delle superficie di curvatura costante negativa.La natura stessa di questa interpretazione lascia facilmente prevedere che non ne possa esistere una analoga, egualmente reale, per la stereometria non-euclidea.

Beltrami 1869Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante

• Così tutti i concetti della geometria non-euclidea trovano un perfetto riscontro nella geometria dello spazio a curvatura costante negativa. Solamente fa d’uopo osservare che mentre quelli relativi alla semplice planimetria ricevono in tal modo un’interpretazione vera e propria, poiché diventano costruibili sopra una superficie reale, quelli all’incontro che abbracciano tre dimensioni non sono suscettibili che di una rappresentazione analitica.

Beltrami, 1869Lettera a Helmholtz

• L’ensemble de mes déductions repose sur la représentation des surfaces par la formule de Gauss

• Ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2

• Or dans cette méthode, les rapports de la surface et de l’espace environnant échappent entièrement: la surface est considérée en elle-même, telle qu’elle le serait par un être qui n’eut pas le sens de la troisième dimension.

Helmholtz, 1870

Über Ursprung und Bedeutung der geometrischen Axiome

• In uno specchio convesso ben lavorato … l’immagine speculare di un oggetto appare corporea e situata in un punto ben determinato dietro la sua superficie. … Le immagini sono tanto più impicciolite e appiattite quanto più lontani dallo specchio sono i loro oggetti. … Tuttavia nell’immagine ogni linea retta del mondo esterno viene rappresentata con una linea retta …

• In breve, non vedo come gli uomini nello specchio potrebbero scoprire che i loro corpi non sono corpi rigidi e le loro esperienze buoni esempi di correttezza degli assiomi di Euclide.

• Se gli uomini dei due mondi potessero conversare gli uni con gli altri nessuno dei due potrebbe convincere l’altro di avere con lui le vere relazioni e l’altro quelle errate; anzi non vedo come un tale problema possa avere senso …

• La rappresentazione di Beltrami dello spazio pseudosferico in una sfera dello spazio euclideo è di genere del tutto simile …

• Se si immagina che nella sfera si muovano corpi che quando si allontanano dal centro si contraggono in maniera simile alle immagini nello specchio convesso degli osservatori i cui corpi fossero sottoposti con regolarità a questo cambiamento otterrebbero gli stessi risultati che se essi stessi vivessero nello spazio pseudosferico.

Helmholtz: una evoluzione tormentata

• 1866: Über die tatsachlichen Grundlagen der Geometrie

• 1868: Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen

13 novembre 1873: Casorati

• Imaginiamo (con Gauss, Helmholtz, e Beltrami), poiché logicamente il possiamo, degli esseri intelligenti i quali vivano, si muovano in una superficie, abbiano, direi, un corpo di due dimensioni e percepiscano soltanto cose che si trovano nella superficie e siano insomma affatto insensibili a tutto ciò che possa esservi fuori della medesima.

• Poiché si vengono a trovare così possibili nel pensiero

1875? Clifford

• In uno spazio a due dimensioni perfettamente piano … se supponiamo in quello spazio si trovi una sogliola od altro pesce piatto, infinitamente schiacciato …

1884: Flatlandia libro di testo

• I recommended to my hearers to procure Flatland (by Abbott of the city of London school) in order to obtain a general notion of space of n dimensions.

• Sylvester, prof. a Oxford a Cayley prof. a Cambridge.

1882-1884: Veronese and Segre

• Thanks to Klein and Lie, the concept of abstract geometry made great progress and (after Segre) it became an ordinary tool for the contemporary Italian geometers

• Veronese, 1882: Behandlung der projektivischenVerhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Prinzip des Projectierens und Schneidens

La superficie di Steiner

• Le funzioni periodiche : f(z+kz0) = f(z)

 

Le funzioni ellittiche f(z+z0+z1) = f(z)

La “periodicità” nelle funzioni automorfef(A(z)) = f(z)

La periodicità rivelata

• Nell’istante in cui posi il piede sul gradino mi venne l’idea, senza che niente nei miei pensieri precedenti mi avessero preparato a ciò, che le trasformazioni che avevo usato per definire le funzioni fuchsiane erano identiche con quelle della geometria non euclidea.

Poincaré: Scienza e Ipotesi

• Supponiamo un mondo rinchiuso in una grande sfera e sottomesso alle seguenti leggi: la temperatura non è uniforme; essa è massima al centro, diminuisce nella misura in cui ci se ne allontana, per ridursi allo zero assoluto quando si raggiunge la sfera in cui questo mondo è chiuso

• Così, individui come noi, la cui educazione si realizzasse in un mondo simile, non avrebbero la stessa nostra geometria

Galileo

• Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di qualche gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti

• i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso;

Newton

• Lo spazio assoluto e la matematica cartesiana

• Una matematica adeguata

Ennio de Giorgi

• Forse occorrerebbe ripetere più spesso che la prima dote del matematico è la immaginazione. Che la sua fantasia non è in fondo molto diversa da quella del musicista, del pittore, e di ogni altro artista.

Eugenio Beltrami

• Aveva una rara conoscenza scientifica della musica … gli era stata maestra la madre (allieva di Giuditta Pasta); poi si era esercitato con Amilcare Ponchielli, suo coetaneo e concittadino. Questo talento musicale egli nascondeva con ritrosa modestia, come se temesse d’essere accusato d’infedeltà verso la gelosa dea, la matematica, alla quale si era consacrato

Una lettera a Wolff, professore al conservatorio di Lipsia

• Il y a entre la musique et les mathématiques un rapprochement que l’on n’a peut-être pas encore remarqué. Un raisonnement mathématique est comme une suite d’accords tirés de la lyre intellectuel formée par raies mathématiques de la pensée humaine, et la découverte d’une branche nouvelle de mathématiques est comparable à celle d’une nouvelle modulation harmonique

Sylvester 1864

I think one clearly discerns the internal grounds of the coincidence or parallelism, which observation has long made familiar, between the mathematical and musical έθος. May not Music be described as the Mathematic of sense, Mathematic as Music of reason? The soul of each is the same! (On the real and imaginary roots of algebraic equations)

Beltrami a Cremona, 1865

• Credo che ci sia molto di vero nel pensiero del Sylvester che mi trascrivesti. Io non ho mai studiato profondamente la cosiddetta Armonia, che è quella parte della scienza musicale che può in certo qual modo riguardarsi come dottrina razionale, avendo i suoi postulati ed i suoi assiomi, da cui tutto il resto è dedotto. Ma per quel poco che ne so, parmi infatti che il processo mentale ad essa applicabile sia identico o poco meno con quello delle matematiche.

• Mettendomi per un istante nell’ipotesi materialistica, direi quasi che nell’una e nell’altra scienza sono posti in azione gli stessi organi. Quanto poi alla composizione, nel senso più lato, parmi che subentrino altri elementi, assai differenti dai primi. Comunque sia, è notevole che uno dei più grandi armonisti e compositori dei tempi moderni, Meyerbeer, abbia cominciato con lo studiare matematiche, nelle quali si addottorò.

Qualche osservazione

• Non quale matematica si rifletta nella musica: la proporzione, la simmetria, …

• Ma lo stesso metodo, lo stesso processo mentale, forse gli stessi neuroni

• Si tratta di un cambiamento di prospettiva centrale nel rapporto tra matematica e musica rispetto a quello che vedeva nella matematica soprattutto lo strumento per comprendere le regole dell’armonia (Pitagora)

• I due punti di vista coesistono tutt’oggi