Schede di Analisi Matematica 1

Fulvio Di Sciullo

Anno accademico 2016/2017 | Politecnico di Torino

20 Esercitazione 14/12/2016

Esercizio 20.1 (RR, Capitolo 4, Esercizio Guidato 4.2.6). Si dimostri l'irrazionalità del numero

di Nepero e.

Applicazioni della Formula di Taylor e di McLaurin

Esercizio 20.2. Trovare lo sviluppo di Taylor per la funzione f (x) = log(4 − x2) in x0 = 1

�no all'ordine 3.

Quiz 20.3. Data la funzione f (x) =ex −11− x

A) ha come polinomio di McLaurin del secondo ordine T2(x) = x + 3x2

B) ha un punto di critico in x0 = 0

C) f (x) = o(x)

D) limx→0

f (x)− x

x2=

3

2

Quiz 20.4. Data la funzione f (x) =ex −11− x

. Allora

A) f (x) = x − 32x

2 + 56x

3 + o(x3)

B) non ha punti a tangente orizzontale

C) ha un punto di massimo relativo in x0 = 0

D) la tangente al gra�co di f in O è la retta y = x

Esercizio 20.5. Calcolare il polinomio di McLaurin di ordine n = 4 delle seguenti funzioni

f (x) = log(1− 8x2); g(x) =−4

1 + 2x2.

Sfruttare il risultato ottenuto per calcolare limx→0

f (x) + g(x) + 4

x6 − x4.

2 20 Esercitazione 14/12/2016

Esercizio 20.6. Calcolare i seguenti limiti.

(a) limx→0

x2 − sin2 x

x3(ex − cos x)

(b) limx→0

log(1 + 2 sin(2x)) + 1−√1 + 4x

x3

(c) limx→0

1− cos x + log(cos x)

x4

(d) limx→0

ex2 −1− log(1 + x arctan x)√

1 + 2x4 − 1

(e) limx→0

(sin x

x

) 1x2

(f) limx→0

(cos(x5) + (sinh x)2 − sin2 x

) 1x4

(g) limx→0

sin(x − x2)− 12 log(1 + 2x) + 3x

√1 + x2 − 3x

cos x2

2 − 1

(h) limx→0

sinh x − sin x

x3

(i) limx→0

ex − sin x − cos x

ex2 − ex3

(j) limx→0

(2 + cos 3x − 3 cosh x)4

log(1 + x2

(k) limx→0

ex2 − cos x − 3

2x2

x4

Esercizio 20.7. Trovare parte principale e ordine di in�nitesimo nelle seguenti situazioni

(a) f (x) = sin x − x cosx√3, x → 0

(b) g(x) = e1x − esin

1x , x → +∞

(c) h(x) = sin(sinh x)− x cos x2, x → 0

(d) l(x) = e−14 x

2

−(cos x) 12 , x → 0

Esercizio 20.8. Scrivere lo sviluppo di McLaurin di ordine massimo possibile della funzione

f (x) =

{sin x − log(1 + x) x > 012 e

x2 − 12 x < 0.

Osservando lo sviluppo trovato, dire quanto valgono la derivata prima e seconda di f (x) in

x0 = 0 e dire se esiste, in zero, la derivata terza.

Esercizio 20.9. Determinare α e β in modo che esista lo sviluppo di McLaurin �no al secondo

ordine della funzione

f (x) =

{e2x − log(1 + 4x) x 6 0

α− 2x + βx2 x > 0.

3

Ulteriori esercizi da svolgere

Esercizio 20.10. Studiare la funzione

f (x) = 3x2 − a log(x),

al variare del parametro a ∈ R. Inoltre stabilire

(a) per quali valori di a ∈ R l'equazione f (x) = 0 ha due soluzioni distinte;

(b) per quali valori di a ∈ R la funzione f risulta invertibile su tutto il dominio; per tali

valori calcolare (f −1)′(3).

Esercizio 20.11. Si sa che una funzione f (x) soddisfa alla seguente uguaglianza:

f ′(x) = f 2(x).

Si sa inoltre che f (0) = 3. Calcolare f ′(0), f ′′(0), f ′′′(0).

Esercizio 20.12. Si sa che la funzione f (x) soddisfa all'equazione

f ′(x) = x3f (x).

Inoltre si sa che f (0) = 2. Scrivere il polinomio di McLaurin di f (x) di ordine 3.

Esercizio 20.13. Si sa che la funzione soddisfa

f ′(x) = 3f (x), f (0) = 3.

Calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni

esin(x)·f (x),f (x)

cos x, sin(f (x)), f (sin x).

Esercizio 20.14. Si sa che, per x → 0, vale: f (x) = x + 2x2 + o(x2).

Calcolare la derivata seconda in x = 0 delle funzioni

f (sin x), f (ex −1), ef (x) .

Esercizio 20.15. Si consideri la funzione

f (x) =

{√2 sin x x 6 π/4

1 +(x − π

4

)− 1

2

(x − π

4

)2x > π/4.

Scriverne lo sviluppo di Taylor, centrato in x0 = π/4, del massimo ordine possibile e dedurne

il massimo ordine di derivabilità in π/4.

Esercizio 20.16. Si sa che, per x → 0,

f (x) =π

4+ 7x + 6x2 + o(x2).

Calcola la derivata prima, nel punto x0 = 0 delle seguenti funzioni.

sin(f (x)), f (x ex),cos(x)

f (x),

log(f (x)

f (x)− 1.

4 20 Esercitazione 14/12/2016

Esercizio 20.17. Si sa che vale, per x → 2,

f (x) = 1 + 3(x − 2) + 4(x − 2)2 + o((x − 2)2).

Calcolare la derivata prima in x = 2 delle funzioni

(log2 f (x)) · ef (x)cos x , f

(2 + sin(x − 2)

ex−2

)e la derivata seconda in x = 2 delle funzioni

cos(f 2(x)), ef2x .

Numerosi esercizi, svolti e non, possono essere trovati nella sezione Sviluppi di Taylor della

pagina web http://calvino.polito.it/~terzafac/Corsi/analisi1/materiale.html.

Alcuni degli esercizi proposti sono tratti dai testi consigliati:

(RR) C. Ravazzi, M. Righero, Quiz ed esercizi svolti di Analisi I, CLUT Editrice, Torino 2013.

(Q) G. G. Quelali, Il bernoccolo del calcolo I, CLUT Editrice, Torino 2014.

(MS) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di matematica, Liguori Editore.