e …rigore.Scappatoie

Indicherò le scappatoie per le scuole superiori,con l’intestazione scappatoie in sfondo celestino.

Consideriamo la regressione lineare

Segnalerò con e … rigore a sfondo rosso la trattazione corretta.E indicherò le parti dove è possibile reperire indicazioni più rigorose dal testo Ciullo G. «Introduzione al Laboratorio di fisica (Springer Verlag, 2014, Milano).

La verifica di una legge fisica risulta di maggiore interesse e applicabile nelle scuole. Inoltre è un ottimo strumento didattico, per estendere tale verifica (che prenderà il nome di chi-quadro), anche alle distribuzioni di dati o comunque a istogrammi.

La verifica di una legge fisica

Quindi |Yi - yi| < δyiScappatoie

12

≤

−

i

ii

y

Yy

δ

−∑

2

mini

ii

y

Yy

δ

Ny

Yy

i

ii ≤

−∑

2

δ

e …rigore.Ciullo G. Introduzione al laboratorio di Fisica

Pg 142

−∑

2

mini

ii Yy

σ( )∑∑ =

−= 22

2i

i

ii Yy χσ

χ

( )2i2 y varianza δσ ≡=i

Scappatoie

y = 2,244x - 0,2868

y = 1,8538x + 0,1892

1,2

1,7

2,2

2,7

3,2

3,7

0,50 0,70 0,90 1,10 1,30 1,50 1,70 1,90

Pe

rio

do

di o

scill

azio

ne

de

l pe

nd

olo

T [

s]

massa [g]

Pendenza massima dai i punti estremipunteggiata ymax =A’+ Bmax xsu y1 - δy1 e yN + δyNe pendenza minimaRetta tratteggiata ymin =A’’+ Bmin xSu y1 + δy1 e yN - δyN

Bms dal valore centraleδB dalla semidispersione

Ams dal valore centraleδA dalla semidispersione

e …rigore.

Dalla minimizzazione del χ2 si ottengono le migliori stime dei parametro A e B, avendo assunto che i dati seguano una relazione lineare del tipo Y=A+Bx.

⇒

−∑

2

mini

ii Yy

σ

Fogli di calcolo forniscono tali valori

e …rigore.

Programmi di analisi dati tali valori:propagazione.

Considero A e B, funzioni delle yi (xi non affette da errore o propagato su y) dalla propagazione delle incertezze

Per il teorema del limite centrale A è gaussiana con varianza σΑ

e …

rigo

re.

È utile considerare l’enunciato

e …

rigo

re.

Scappatoie

Distanza media (/N numero di punti – coppie di dati)Statistica (/d – gradi di libertà = numero di dati – vincoli statistici)

( )d

Yy iiY

∑ −=2

σ

σY cos’è invece?

( )d

YyN

iii

Y

∑ −=

2

σ

vincoli statistici- parametri utilizzati per la stima che si ottengono utilizzando i dati,osservare la formula per il numero di dati

e …rigore.σY cos’è invece?

P per N yi che seguono una lagaussiana di parametri Y, σY)

P per n xiseguono G X, σ(x)

e …rigore.

PAUSA di meditazione

• Gauss: misure ripetute• X (valore centrale)

stimato da xmedia• σ (punti di flesso)

stimati da σx• se gaussiana per il

teorema del limite centrale

• Regressione: relazioni funzionali

• Y (valore centrale) stimato da A e B se retta

• Se tutte le yigaussiane

Conseguenze per gaussiane• Migliore stima di x, assunta la variabile

gaussiana, dalla media aritmetica

• Incertezza statistica, comunque per più di trenta dati, assunta la gaussiana, σx.

• Incertezza totale δ somma in quadratura di εx e σx ed eventuale accuratezza + o –ηx (vedi calibrazioni).

• Nocciolo duro per le scuole: se x gaussiana, incertezza statistica, teorema del limite centrale.

Conseguenze per regressioni• Migliore stima dei parametri, con formule o

«scappatoie».

• Incertezze totale δΑ e δΒ, sia da formule (propagazione delle incertezze) che da valori centrali e semidispersione.

• Eventuale accuratezza (vedi calibrazioni) con leggi fisiche (esempi: caduta del grave e calorimetro).

Come possiamo verificare le ipotesi

−∑

2

mini

ii Yy

σ

( )∑∑ =

−= 22

2i

i

ii Yy χσ

χ

• Partiamo dalla regressione: abbiamo ottenuto le stime dei parametri minimizzando il χ2

( )∑∑ =

−= 22

2i

i

ii

y

Yy χδ

χo meglio

La verifica del χ2222

Scappatoia

Considero δyi uguali per tutte le i o il valore medio se cambiano.

( )d

Yy iiY

∑ −=2

σ

( ) Ny

Yyi

i

ii ≤=

−= ∑∑ 22

2 χδ

χ

( )∑ −= 22 iiY YyNσ( ) N

Yy

yii ≤

−= ∑2

22

1

1

δχ

( ) ( ) ( )222

22 1 yNN

yYY δσσδ

χ ≤≡≤=

( )N

Yy iiY

∑ −≈2

σ

Scappatoia per la verifica del χ2222

yY δσ ≤ SeLa legge è

appropriata per i dati:

una buona stima dell’incertezza statistica è σσσσY

( )( ) 222

222 di Invece

Yiy

iyiy

i

i

y

y

σεδ

σεδ

+=

+= ( )( ) 222

222 a Scorciatoi

Yy

y

δY

δY y

σε

σε

+=

+=

Scappatoie yY δσ ≤ SePossiamo abbattere

l’incertezza statitisca e quindi

ricalcolare le incertezze su A e B

Sconto per le superiori buone le stime e buona la legge niente ricalcolo

Stima sull’interpolazione

Incertezza sulla y

dedotta dalla legge

(interpolazione).

Per esempio

calibriamo un

Sistema, ed usiamo

il valore y dedotto

da y=A+BxCi permette di

capire cosavogliamo dire

Se possiamo accettare la legge?

yY δσ ≤ Se

6,35

6,55

6,75

6,95

7,15

7,35

7,55

7,75

7,95

8,15

1,60 2,10 2,60 3,10

t[s]

√√√√n

22yYY εσδ +=

Tratteggio rosso rette Y+δY e Y-δY previsione al 68 % incluse le incertezza

Se non possiamo accettare la legge?

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

8,50

1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

t[s]

√√√√n

yY δσ > Se

( )22 yY Y δσδ +=

Non accettiamo la legge

Forniamo comunque una stima per Y+δY e Y-δY al 68 % incluse le incertezze

e …rigore.

e …rigore.

e …rigore.

Per d > 100

χ2 = d

Deviazione Standard = = ( 2d )1/2

e …rigore.

Coda destra

Verifica di significatività

1 %

Ipotesi da

rigettare

Legge non appropriata

Altrimenti tabella della probabilità di ottenereUn chi-quadro ridotto (χ2 /d) > di quello osservato

e …rigore.

Coda sinistra

Verifica di significatività

1 %

Incertezze elevate

O anche tabella della probabilità di ottenereUn chi-quadro ridotto (χ2 /d) < di quello osservato

Estensione della verifica del χχχχ2222

• Per le distribuzioni di tipo istogramma:

• Organizzo per classi e confronto quante– occorrenze ho ottenuto in

una classe

con

– le aspettative calcolate per una gaussiana

Ogni gaussiana riconducile a G0,1(z)

σXx

z−=

Integrale normale tra zero e z (Tab)

Teorema della somma di Pearson

• Quante classi dobbiamo scegliere?

• Q tende alla funzione χ2, se in ogni classe si aspettano Ek = nPk >10

Verifica sui conteggi

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

51263,06 51450,25 51637,44 51824,63 52011,82 52199,01 52386,20

Istogrammi di Ok ed Ek

x [s]

occ

orr

en

zeO

k

Sconto per le

superiori

χ2 / nclassi < 1 gaussianaχ2 / nclassi > 1 non gaussiana

Non gaussiana

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

51263,06 51450,25 51637,44 51824,63 52011,82 52199,01 52386,20

Istogrammi di Ok ed Ek

x [s]

occ

orr

en

zeO

k

Sconto per le

superiori

χ2 / nclassi < 1 gaussianaχ2 / nclassi > 1 non gaussiana

Non gaussiana

Verifica sul pendolo

Conclusioni

• L’obiettivo di un’esperienza del laboratorio, è fornire una misura, in ogni caso.

• La verifica di una legge fisica sicuramente risulta più diretta ed interessante.

• La verifica di una variabile gaussiana, un po’ artificiosa. Ma da quanto visto usare la deviazione standard del campione è conservativo.

• Per dati maggiori di trenta comunque se non si può verificare che sia gaussiana, comunque l’incertezza statistica è stimabile con la deviazione Standarda del campione.