8/18/2019 Samuelson Beni Pubblici

1/5

  1

Samuelson e l’ottimo paretiano in un mondo con beni pubblici 

 Materiali per il corso di Scienza delle finanze –  a.a. 2010-11

Abbiamo visto nella prima lezione che la condizione di efficienza

(OTTIMO PARETIANO) in un mondo in cui vi sono solo beni privati, che

in base al primo teorema è automaticamente soddisfatta da un equilibrio

concorrenziale, è che il tasso marginale di trasformazione sia uguale ai

tassi marginali di sostituzione per ogni coppia di beni per tutti i soggetti.

Come si modifica tale condizione in un mondo in cui vi sono anche beni

 pubblici?

La risposta a questa domanda fu fornita in uno scritto importante,

esemplare per rigore e concisione, da P. Samuelson nel 1954.

Il grande studioso individuò la condizione di efficienza nell’uguaglianzatra SMTG,Y= ∑SMS

 jG,Y(j=1,2…n)

 .

Samuelson, nell’anno successivo, ne diede una dimostrazione grafica,

molto semplice, che qui riprendiamo.

Abbiamo supposto un mondo in cui vi siano due soggetti (1,2), e due beni

G, Y di cui il bene G è un bene pubblico puro.

 Nel grafico 1 abbiamo riportato nella parte superiore la frontiera della

 produzione tra i due beni, che esprime come sappiamo le combinazione dei

due beni che rispettano il requisito della pareto ottimalità nella produzione.

Abbiamo poi riportato una curva di indifferenza del sogetto 1, che

individua le combinazioni dei due beni che gli assicurano un livello di

utilità pari a U*1. 

8/18/2019 Samuelson Beni Pubblici

2/5

  2

Tale livello di utilità esprime un ipotetico livello, arbitrariamente scelto a

 piacere, tra gli infiniti livelli possibili.

Abbiamo disegnato nella parte inferiore, per differenza tra le due curve

suddette, le combinazioni tra i due beni disponibili per il secondo soggetto

(2), compatibili con le due ipotesi prima individuate, e cioè quella di

limitare le combinazioni prodotte tra i due beni a quelle pareto efficienti e

quelle di assicurare la utilità U*1 al primo soggetto.

E’ chiaro che quelle combinazioni si ottengono come differenza delle due

curve indicate nella parte superiore del grafico. Chiamiamo quelle

combinazioni curva delle possibilità residue per il soggetto 2. Essa

risulterà crescente, fino al punto in cui è massima la distanza tra le due

curve indicate nella parte superiore, poi decrescente, quando tale distanza

si annulla. L’annullamento di tale distanza implica che è  necessario

attribuire tutto il bene privato prodotto al primo soggetto, se gli si vuoleattribuire un’utilità pari a U*1, per cui al secondo soggetto residuerà solo il

consumo del bene pubblico, che per ipotesi (ossia per definizione di bene

 pubblico) è uguale per entrambi.

Di tutte quelle combinazioni sulla curva delle possibilità residue, un

ipotetico programmatore centrale che voglia realizzare una situazione di

ottimo paretiano, dovrà scegliere quella in cui è massima l’utilità  del

secondo soggetto. Si tratterà infatti di una combinazione che per una data

utilità attribuita al primo soggetto, massimizza l’utilità del secondo,

rispettando al contempo la pareto ottimalità nella produzione.

La combinazione ottimale per il soggetto 2 risulta allora pari a B, in cui il

secondo soggetto ottiene

8/18/2019 Samuelson Beni Pubblici

3/5

  3

la quantità G* di bene pubblico (uguale a quella consumata dal primo

individuo) e la quantità Y*2 di bene privato.

La quantità di bene privato che si combina con la quantità G* per

rispettare la pareto ottimalità nella produzione è Y*, come si vede dal

grafico superiore osservando le coordinate della frontiera di produzione.

Al primo soggetto verrà attribuita una quantità Y*1 del bene Y (dove Y*1

+  Y*2 =  Y*). La combinazione ottimale è stata trovata cercando la curva

di indifferenza più elevata che il soggetto 2 riesce a raggiungere per una

data utilità del soggetto 1, quella combinazione in cui la pendenza della

curva delle possibilità residue per 2 è uguale alla pendenza della curva di

indifferenza più elevata raggiungibile, quella tangente in B alla curva R.

Dal momento che la curva R è stata ottenuta per differenza tra la frontieradi produzione e la curva del livello di utilità attibuta al soggetto 1, la sua

 pendenza sarà uguale alla differenza delle pendenze delle due curve. Ma

ciò vuol dire che nel punto B vale l’uguaglianza:

SMSG,Y2 (pendenza curva di indifferenza soggetto 2) =

= SMTGY - SMSG,Y1 

Quindi la condizione SMSG,Y1 +SMSG,Y

2  = SMTGY

8/18/2019 Samuelson Beni Pubblici

4/5

  4

Grafico 1 Ottima combinazione tra bene pubblico e bene privato e

loro distribuzione tra i due soggetti ai fini di ottenere un ottimo

paretiano

U*1 

Y*

Y* 1 

G*

Y* 2 

Z

A

 

B

O 

O

U*2 

G* 

8/18/2019 Samuelson Beni Pubblici

5/5

  5

Il punto che abbiamo ottenuto caratterizzato dalle combinazioni Z,A,B, è solo una

delle combinazioni pareto efficiente. L’abbiamo ottenuta ipotizzando l’ ipotetico

valore U*1 dell’utilità da attribuire al soggetto 1. Se supponiamo di modifiacare quel

valore, otterremo con un analogo ragionamento una nuova terna Z’,A’,B’, che

esprime la combinazione tra i dui prodotti e la loro distribuzione tra i due soggetti

compatibili con le condizioni di efficienza paretiana. 

Ripetendo l’esercizio n volte siamo in grado di descrivere una nuova frontiera del

 benessere che esprime la massima utilità che può ottenere il soggetto 2 per ogni data

utilità del soggetto 1, cioè tutti i punti pareto efficienti.

Grafico 2: Frontiera del benessere

Solo se disponessimo di un funzione del benessere sociale (FBS) potremmo scegliere

tra questi punti il punto di Ottimo sociale, che ad esempio, nel caso della FBS

indicata in figura (di cui si riporta un isoquanto) coincide con il punto K.

O

U2 

U1 

K