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SAMS Lugano - dispense di calcolo professionale (cod. mat.: 2.6)

ing. L. Balogh, [email protected] 1

SAMS – DISPENSE DI

CALCOLO PROFESSIONALE www.inglbalogh.com

Docente: ing. L. Balogh

Anno scolastico 2009/2010, codice materia: 2.6

Materiale da portare per le lezioni:

• Queste dispense rilegate o ordinate in un classificatore;

• Necessario per scrivere (penna, matita e gomma);

• Fogli per scrivere (quadrettati o quaderno, e fogli bianchi);

• Riga, squadra e compasso;

• Calcolatrice;

• Eventuali compiti svolti.



INDICE

Numeri Insiemi Numerici

Fattorizzazione

Serie 1

3 3

6

7

Operazioni Aritmetiche

Operazioni

Proprietà

Serie 2

8

8

9

10

Frazioni Geometriche 11

Frazioni Aritmetiche

Parte decimale , Approssimazione

Passaggio da Decimale a Frazione

Numeri Periodici Serie 3

Operazioni Binarie tra Frazioni Serie 4 Denominatore Comune

Serie 5

13

13

14

14 16

17 18 19

20

Calcolo Percentuale

Serie 6

21

23

Proporzioni Proporzioni Aritmetiche

Proporzioni Geometriche Serie 7

24 24

25 26

Unità di misura e Trasformazioni Potenze di 10

Notazione Scientifica e Notazione Ingegneristica

Unità di Misura, Multipli e Sottomultipli

Grado Sessagesimale

Serie 8

27 28

28 29

30

31

Basi di Calcolo Economico

Valuta, Cambio della Moneta, Tasso di Cambio

Serie 9

Spesa, Prezzo, Incasso, Tassa di Ricavo, Costo e Guadagno

Sconti

Serie 10 Imposta sul Valore Aggiunto (IVA)

Serie 11

32

32 33

34

36

38 39

41

Capitalizzazione e Rendita Serie 12

42 43



Numeri

Insiemi Numerici Un numero è un’entità astratta utilizzata per descrivere una quantità, essi vengono rappresentati

attraverso dieci cifre (0, 1, 2, …, 9) e disposti secondo i criteri dell’enumerazione metrica in base 10.

Numeri Naturali �

�0; 1; 2; 3; … Numeri Interi � �…; �2; �1; 0; 1; 2; … Numeri Razionali �� ⁄ |� ∈ �� ∈ �∗ Numeri Irrazionali ��=�\

Numeri Reali� � ∪ ��

I numeri possono essere rappresentati su una retta. I numeri naturali e i numeri interi formano una

successione di punti e, tra un punto e l’altro, esistono spazi "vuoti". Le"rette" dei numeri razionali e dei

numeri irrazionali sono rette in senso lato, in quanto, i singoli punti formanti dette "rette", non sono

adiacenti tra loro, ma, “staccati da un punto vuoto", in altre parole, si può dire che tra due numeri razionali

successivi esiste un numero irrazionale, e viceversa, tra due numeri irrazionali ne esiste uno razionale.

Unendo la “retta” dei numeri razionali con quella dei numeri irrazionali, si ottiene una retta continua, che è

appunto, la retta dei numeri reali.

Successione dei Numeri

Naturali �

Successione dei Numeri

Interi �

La "retta" dei Numeri

Razionali �

La "retta" dei Numeri

Irrazionali ��

La Retta ��

��



Numeri Naturali

Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri

naturali possono essere usati per contare ("ci sono 3 mele sul tavolo").

Numeri Interi e Divisibilità

I numeri interi sono dati dall’insieme dei numeri naturali uniti con la parte simmetrica negativa (..., -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, ...). La somma e la moltiplicazione tra interi genera sempre altri numeri interi mentre la divisione

può generare sì numeri interi, ma in genere questo non avviene, spesso infatti il risultato fa parte

dell'insieme dei numeri razionali. Ad esempio, 4 può essere diviso per 2, 9 può essere diviso per 3, 12 può

essere diviso per 2, per 3 e per 4, ma, 12 non può essere diviso per 5, o, meglio, se lo si fa, non si ottiene un

numero intero. Tutti i numeri inoltre possono essere divisi per se stessi e per 1. In particolare, esistono dei

numeri che possono essere suddivisi unicamente per 1 e per se stessi, questi ultimi sono detti numeri primi.

Numeri Primi

Un numero primo è un numero intero maggiore di uno, divisibile unicamente per se stesso e per uno. Sono

dunque numeri primi il due, il tre, il cinque, il sette e via dicendo.

I primi milleNumeri Primi

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163

167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233

239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311

313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389

397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563

569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641

643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727

733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821

823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907

911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

www.wolframalpha.com Funzione: isprime() Esempio: isprime(199)

Numeri Razionali

Si dice numero razionale ogni numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali

diverso da �. Ogni numero razionale quindi si può esprimere mediante una frazione, cioè con una

espressione della forma �/� con � intero qualsiasi e � intero diverso da �.

Ogni numero razionale può essere rappresentato da infinite frazioni, per esempio 3/6 = 2/4 = 1/2 . La

forma più semplice si ha quando la a e la b non hanno fattori comuni e b è positivo, in questo caso la

frazione si dice ridotta ai minimi termini; ogni numero razionale ha un'unica forma di questo tipo.

La parte decimale di un numero razionale possiede un numero finito di cifre dopo la virgola, ad eccezione

dei numeri periodici, che, pur essendo razionali, hanno un'infinita successione di numeri dopo la virgola.

Numeri Irrazionali

Un numero irrazionale è ogni numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto

come una frazione a/b con a e b interi, con b diverso da zero. La necessità dell'introduzione di questo



insieme si rese evidente a causa dell'esistenza di grandezze incommensurabili, ossia prive di un

sottomultiplo comune. I numeri irrazionali non terminano mai e non formano una sequenza periodica.

La scoperta dei numeri irrazionali è tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al pitagorico

Ippaso di Metaponto che produsse un’argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche)

dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione, Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre

tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza

dei numeri e non poteva accettare l'esistenza di numeri irrazionali. Egli non fu in grado di confutare la loro

esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda,

per questo condannò Ippaso a morire annegato.

Numeri Reali

I numeri reali sono definiti in modo intuitivo come i numeri che sono in corrispondenza biunivoca con i

punti su una retta infinita: la retta numerica. Il termine "numero reale" è stato coniato in contrapposizione

a "numero immaginario". I numeri reali misurano quantità continue, le misure in fisica sono sempre

un'approssimazione ad un numero reale.

Tecniche per stabilire la divisibilità o meno dei numeri

Un numero è divisibile …

Per 2: se termina con zero o con una cifra pari

Per 3: se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3

Per 4: se le ultime due cifre sono zero (00) oppure formano un numero multiplo di 4

per 5: se la sua ultima cifre è 0 o 5

Per 6: se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3

Per 7: se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un

multiplo di 7.

Per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567– 2 · 6 = 9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero

955– 2 · 5 = 945; questo è divisibile per 7 se lo è94– 2 · 5 = 84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il

numero 95676.

Per 8: se termina con tre zeri (000) o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre

Per 9: se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9

per 10: se la sua ultima cifra è 0

Per 11: se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto

dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11.

Per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2 + 8 + 4)– (6 + 5 + 3) = 14– 14 = 0

Per 12: se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4

Per 13: se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un

multiplo di 13.

Per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero730 + 4 ∙ 6 = 754; questo è divisibile per 13 in quanto 75 + 4 ∙4 = 91 è multiplo di 13(13 ∙ 7 = 91)

Per 17: della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17.

Per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258– 5 · 4 = 238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero

23– 5 · 8 = 17

Per 25: se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75

per 100: se le ultime due cifre sono 00



Scomposizione in fattori primi (Fattorizzazione)

La fattorizzazione di un numero è la riduzione di quel numero al prodotto dei propri fattori fondamentali (i

fattori primi).

Per esempio, il numero 24 si fattorizza in 2� ∙ 3. Nell’esempio è mostrato come procedere, si completino

anche gli altri due esempi.

24 2 12 2 9 3 140 2 1155 3

12 2 6 2 3 3 70 2 385 5

6 2 3 3 1 35 5 77 7

3 3 1 7 7 11 11

1 1 1

! = � ∙ " # = � ∙ " $ = "� #!� = � ∙ % ∙ & ##%� = " ∙ % ∙ & ∙ ##

www.wolframalpha.com Funzione: factor() Esempio: factor(24)

Minimo Comune Multiplo (mcm) e Massimo Comun Divisore (mcd)

Il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il

multiplo comune più piccolo. Serve a trovare il

denominatore comune fra due o più frazioni.

Nell’esempio che segue sono riportati i multipli dei

numeri 9, 12 e 24. Si può vedere che il mcm è 72.

mcm – minimo comune multiplo

9 18 27 36 45 54 63 72 …

12 24 36 48 60 72 84 96 …

24 48 72 96 120 144 168 192 …

Il massimo comun divisore tra due o più numeri, è il

divisore comune più grande. Serve a ridurre una

frazione ai minimi termini e, in genere, a

semplificare le espressioni.

Nell’esempio che segue sono riportati i divisori dei

numeri 9, 12 e 24. Si può vedere che il MCD è 3.

mcd – massimo comun divisore

9 3 1 -

12 6 4 3 2 1 -

24 12 8 6 4 3 2 1 -

Per esempio, tra 9, 12 e 24, il mcm è 72 e il mcd è 3, vediamo come si

trovano:

Si osserva come il mcm può essere considerato un’operazione

“ingorda”, cioè che tra i fattori disponibili, essa prende quello con

l’esponente più alto, mentre, il mcd è al pari, un’operazione

minimalista, in quanto, tra la lista di fattori, prende sempre il fattore

più piccolo, se in una casellina il fattore è vuoto, allora prende il valore

1 (potenza di zero).

Piccola notazione: alcuni programmi rivolti alla matematica

permettono di calcolare queste due operazioni, e le rispettive funzioni

si chiamano lcm (low common multiplier) per il mcm e gcd (great

common divisor) per il mcd.

Schema per trovare mcm e mcd

9 3�

12 2� 3

24 2� 3

mcm � "� &

mcd # " "

'(')9, 12, 24* = 8 ∙ 9 = &

'(+)9, 12, 24* = # ∙ " = "

Si provi ad esempio ad inserire lcm(9, 12, 24) oppure gcd(9, 12, 24) nel campo di ricerca alla pagina web

del sito http://www.wolframalpha.com/

mcm(9, 12, 24) ⟹ lcm(9, 12, 24) = 72 mcd(9, 12, 24) ⟹gcd(9, 12, 24) = 3



Esercizi – Serie 1

Numeri– Fattorizzazione – minimo comune multiplo – massimo comun divisore

Esercizio 1. Scomponi in fattori i seguenti numeri

64 275 420 900

,! � &% � ! � � $��

Esercizio 3. Trova i multipli degli insiemi A, B e C. Inseriscili poi nei rispettivi insiemi di Venn

A B C D

3 4 5 6

Esercizio 4. Trova il massimo comun divisore tra i seguenti insiemi di numeri:

- � �2, 4, 6 1 � �4, 5, 8 4 � �9, 11, 26 6 � �2, 7, 28 6 � �1, 3, 16

Esercizio 5. Trova il minimo comune multiplo tra i seguenti insiemi di numeri:

- � �18, 12, 6 1 � �48, 36, 8 4 � �112, 30, 26 6 � �80, 20, 12 6 � �50, 15, 3



Operazioni Aritmetiche

Tra i numeri, si possono svolgere alcune operazioni, le più comuni sono la somma e la sottrazione, poi

esistono la moltiplicazione, la divisione, l’elevamento a potenza e la radice.

Somma (addizione e sottrazione)

Significato La somma è l’unione di due insiemi che contengono gli stessi tipi di oggetti.

Esempio Vuotando sul tavolo una cassa di 9 mele e una cesta di 5 mele, vi saranno 14 mele.

Proprietà commutativa Si ottiene lo stesso risultato vuotando prima la cesta e poi la cassa.

Proprietà associativa Se nella cassa ho 7 mele, nella cesta 3 mele e sul tavolo 4 mele, ho 14 mele sia che

si mettano sul tavolo prima le mele nella cassa e poi quelle nella cesta, sia che si

mettano sul tavolo prima le mele nella cesta e poi quelle nella cassa.

Elemento neutro L’elemento neutro della somma è lo zero. Se ad una cassa di 5 mele, si aggiunge

una cesta senza mele, si avranno ancora 5 mele.

Funzione inversa Sottrazione, se ad una cesta contenente 5 mele, ne tolgo 3, ne rimarranno 2.

Attenzione! Non si possono sommare tra loro elementi diversi, appunto, non si possono

sommare tra loro mele e pere, se ad esempio, ho una cesta con 3 mele, la vuoto sul

tavolo, e, vuoto un’altra cesta con 2 pere, sul tavolo avrò sempre 3 mele e 2 pere (e

non certo 5 mere!).

Prodotto (moltiplicazione e divisione)

Significato La moltiplicazione viene utilizzata quando occorre sommare tra loro più insiemi

contenenti un uguale numero di elementi uguali.

3 + 3 + 3 + 3 = 3 ∙ 4, significa che il 3 viene sommato a se stesso 4 volte.

Esempio Se ci sono 3 casse ognuna delle quali contiene 4 mele, in totale ci saranno 12 mele.

Proprietà commutativa Anche se ci sono 4 casse, ognuna delle quali contiene 3 mele, in totale vi saranno

12 mele.

Proprietà associativa Avendo 3 tavoli, se su ognuno vi sono 2 casse con 4 mele, vi saranno 24 mele,

indipendentemente che si considerino prima le 6 casse e poi le 4 mele per cassa,

sia che si considerino prima le 8 mele presenti su ciascuno dei 3 tavoli.

Elemento neutro L’elemento neutro della moltiplicazione è l’uno. Difatti, se si ha una cassa con 5

mele, si avranno 5 mele.

Elemento nullo Considerando delle casse contenenti un qualsivoglia numero di mele, se non si

possiede nemmeno una cassa, non si possiederà nemmeno una mela.

Funzione inversa Divisione. Un numero diviso per un altro, da come risultato un numero che se

moltiplicato per il divisore mi da il dividendo.

Divisione

Significato Dividere un oggetto per qualcosa, significa "dividerlo" in tante parti uguali tra loro,

ad esempio, dividere una torta per 3 significa tagliarla in 3 fette uguali tra loro.

: quoziente

�: divisore

�: dividendo

8 ÷ 9 = ( ⟹ 8 = 9 ∙ ( es.: 8 ÷ 2 = 4 ⟹ 8 = 2 ∙ 4

Potenza e Radice

Significato 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3� significa che il 3 viene moltiplicato con se stesso 4 volte

Potenza

8 ∙ 8 ∙ … ∙ 8 = 8�

Se ho 3 stanze ognuna con 3 tavoli contenti 3 casse con 3 mele, in totale avrò 81

mele.



Radice La radice quadrata, è quel numero che deve essere moltiplicato con se stesso 2

volte per ottenere il numero dato, ad esempio, se in totale ho 9 mele suddivise in

tante casse quante sono le mele in esse contenute, quante sono le casse e quante

sono le mele in ogni cassa?

Risposta: 3 mele per cassa in 3 casse fanno 9 mele.

Proprietà Algebriche delle Operazioni Somma e di Prodotto tra i Numeri

Relativamente alla somma Relativamente al prodotto

Invariantiva (el. neutro) 8 + � = 8 8 ∙ # = 8

El. simmetrico 8 + )−�* = 0 8 · # �⁄ = 1

Commutativa 8 + 9 = 9 + 8 8 ∙ 9 = 9 ∙ 8

Associativa )8 + 9* + ( = 8 + )9 + (* )8 ∙ 9* ∙ ( = 8 ∙ )9 ∙ (* Distributiva del prodotto rispetto

alla somma

�)� + :* = (��) + )�:* −)8 + 9* = )−8* − 9

Doppia Distributiva )8 + 9*)( + +* = 8( + 8+ + 9( + 9+

Tabella dei segni

· + – Es. 3 ∙ 2 = 6 3 ∙ )−2* = )−6* )−3* ∙ 2 = )−6* )−3* · )−2* = 6

+ + – Es.

6

3= 2 −

6

3= −2 −

−6

3= 2 −

6

−3= 2

−6

−3= 2

−6

3= −2

6

−3= −2 −

−6

−3= −2

– – +

Commutatività della divisione

� ∙#� =

#� ∙ � =

�� es.: 3 ∙

1

4=

1

4∙ 3 =

3

4

�� ≠

�� es.:

4

2≠

2

4

Precedenze tra le operazioni

In una espressione possono essere presenti tutte le operazioni viste precedentemente. Tra le operazioni

esistono però delle precedenze, per cui, non vanno risolte semplicemente da sinistra a destra, ma occorre

considerare che le moltiplicazioni e le divisioni hanno la precedenza sulle addizioni e sottrazioni, mentre

le potenze e le radici hanno la precedenza su tutto. Questo ordine può però essere alterato con l’utilizzo

delle parentesi.

ad es. 3 + 2 ∙ 5 = 3 + 10 = 13 e non! 3 + 2 ∙ 5 = 6 ∙ 5 = 30

mentre )3 + 2* ∙ 5 = 6 ∙ 5 = 30




Operazioni aritmetiche: espressioni aritmetiche e operazioni algebriche semplici

Esercizio 1. Esprimi se vero o falso:

1. −2

3= −

2

3 2.

−2

3=

2

−3

3. −2

−3= −

2

3 4. 2 ∙

2

3=

4

3

5. 2 ∙2

3=

2

6 6. 3 ∙

2

5=

2

5∙ 3 =

6

5

7. )−1* ∙ )−1* + 0 = 1 8. 3 ∙2

5=

2

5∙ 3 =

6

15

Esercizio 2. Esegui i seguenti calcoli aritmetici:

1. 3 + 2 + 5 = 2. 3 + 2 ∙ 5 =

3. 3 ∙ 2 + 5 = 4. 3 ∙ )2 + 5* =

5. 3 ∙ 2 + 5 = 6. −3 ∙ )2 + 5* =

7. 5 ∙ 4 − 5 + 2 ∙ 6 =

8. 2 − )2 + 1* ∙ 4 − 3 + 2 ∙ )6 − 8* =

9. 2 + 3 − )4 + 1* − )1 + 2 ∙ 4* =

10. 2 ∙ )3 − 1* ∙ )2 + 2 ∙ 3* + 3 − )5 − 2* =

Esercizio 3. Esegui i seguenti calcoli algebrici:

1. 38 + 28 + 59 = 2. 38 + 29 ∙ 59 =

3. 38 ∙ 28 + 59 = 4. 38 + 29 ∙ 58 =

5. 38 + 29 + 58 = 6. 38 ∙ 28 ∙ 59 =

7. 28 − )2 + 9* ∙ 4 − 38 + 29 ∙ )68 − 8* =

8. 8 + 9 + 29 ∙ (38 + 29) ∙ )8 − 8* =

9. 29 + ;8 + 9 ∙ )28 + 59*< ∙ )2 − 5* =

10. )39 − 1* ∙ )8 + 9 ∙ 3* + ;39 ∙ )59 − 9*< =



Frazioni geometriche

Secondo la definizione classica, propria dell'aritmetica, una frazione è un modo per esprimere una quantità

basandosi sulla divisione di un oggetto in un certo numero di parti della stessa dimensione. Ad esempio, se

si taglia una torta in quattro fette uguali, ciascuna di esse è un quarto di torta. La torta invece rappresenta

la parte intera.

La parte intera 12 =

12 � 2 ∙ 12 � 1 4 ∙ 14 � 1

34 =

14 � 1

Esercizi, si svolgano le seguenti operazioni:

+

+

�

+

+ �

+

+ �

+

+

�

+

-

�

-

+ �

Si dividano le seguenti figure in parti uguali, come indicato:

Colora 1 2? delle figure Colora 1 3? delle figure Colora 1 4? delle figure Colora 1 5? delle figure



Si esprima la frazione della parte colorata

di di di

Date le bandierine, si indichi a quale frazione del percorso sono piazzate:

@ � A �

B � C �

D � E �

Si piazzino le bandierine lungo il percorso AB nelle posizioni di:

F � 1 6? G � 1 2?

H � 1 3? I � 3 4?

J � 5 12? K � 5 6?

Si osservi l'esempio e si completino le frasi

-1èM 35 +M46

46èM 53 +M-1

-1èM +M46

46èM +M-1

-1èM +M46

46èM +M-1

-1èM +M46

46èM +M-1

-1èM +M46

46èM +M-1

-1èM +M46

46èM +M-1



Frazioni aritmetiche

Una frazione (frazione razionale) è composta da due numeri interi in rapporto tra di loro e rappresenta un

numero razionale. Il termine sopra la linea di frazione si chiama numeratore, mentre sotto si trova il

denominatore. Il denominatore non può assumere il valore zero.

Numeratore �

�

Denominatore

Parte decimale La parte decimale di una frazione è il numero equivalente espresso in virgola mobile. Ad esempio, la parte

decimale di "/ è #.%.

La parte decimale di un numero razionale presenta un numero finito di cifre,in altre parole, dopo una certa

cifra decimale, tutte le cifre che seguono sono nulle. Fanno eccezione i numeri periodici, le cui cifre

decimali si ripresentano all’indefinito con periodica regolarità. Anche i numeri periodici possiedono una

frazione equivalente.

I numeri che presentano infinite cifre non periodiche dopo la virgola fanno parte dell’insieme dei numeri

irrazionali e non possono essere rappresentati attraverso una frazione razionale.

Approssimazione

Un numero decimale può avere un numero più o meno grande di cifre dopo la virgola, in alcuni casi, dopo

una certa cifra decimale, le cifre successive sono prive di significato, il limite in genere è dato dalla

precisione degli strumenti di misura. Ad esempio, se devo dividere una stoffa lunga un metro in tre parti

uguali, la calcolatrice mi darà come risultato 0.3333333… il che significa 33 cm. Oltre il millimetro infatti con

il metro a nastro non si può più misurare. Ma perché 33 cm e non 34?. La ragione risiede nel fatto che la

cifra successiva al 33 è ancora un 3, il quale è più “vicino allo 0 che non al 10”. Se invece la stoffa fosse stata

lunga 2 metri, la calcolatrice avrebbe dato 0.6666667, e l’approssimazione al millimetro sarebbe stata 0.67

in quanto la terza cifra decimale, il 6, è più prossimo al 10 che non allo 0. Rimane l’unico dubbio nel caso il

numero fosse ad esempio lo 0.555, la sua approssimazione quale sarebbe? Sarebbe lo 0.55 o lo 0.56?

Ebbene, per convenzione, esso si approssima a 0.56, perché si può sempre ritenere che oltre la terza cifra vi

si sia ancora una qualche cifra decimale che farebbe dunque avvicinare il numero più verso l’alto che non

verso il basso.

Esempi: si approssimino i seguenti numeri alla seconda cifra decimale

2.25 ≅ 2.25

2.23 3 ≅ 2.23

3.49$6 ≅ 3.50

2.25, ≅ 2.26

2.23,7 ≅ 2.24

3.40$5 ≅ 3.41

2.25% ≅ 2.26 2.23%5 ≅ 2.24

3.42�3 ≅ 3.42



Esercizi di consolidamento, si approssimino i seguenti numeri alla terza cifra decimale:

3.125 ≅

1.593!3 ≅

6.410 6 ≅

4.55& ≅

0.239,7 ≅

7.419$5 ≅

2.88% ≅ 2.213%5 ≅

9.152�3 ≅

Passaggio da numero decimale a frazione I numeri decimali razionali possiedono sempre una propria frazione, il metodo più semplice per ricavarla

consiste nel moltiplicare e dividere il numero per un multiplo di 10 in modo da togliere la parte

decimale,successivamente si riduce la frazione ai minimi termini.

esm: #.% =15

10=

155?

105?

=" esm: ".� =

302

100=

3022?

1002?

=#%#%�

esm: �.&% =75

100=

7525?

7525? =

"! esm: !#."% =

41352

1000=

413528?

10008?

=%#,$# %

Esercizi di consolidamento:

esr: �.! =4

10=

42?

102?

= % esr: ,.%! =

654

100=

6542?

1002?

=" &%�

esr: .�, =206

100=

2062?

1002?

=#�"%� esr: �.�� =

2

1000=

22?

10002?

=#%��

esr: ".#! =314

100=

3142?

1002?

=#%&%� esr: #.,#N =

1618

1000=

3142?

1002?

=N�$%��

Numeri Periodici I numeri periodici, nella loro forma decimale, presentano un numero infinito di cifre dopo la virgola, a

differenza dei numeri irrazionali però, le cifre si presentano in modo periodico e perciò prevedibile.

Esempio: dato il numero periodico: "%. %!"! #3421342134213421 …

Esso può essere rappresentato nella forma: "%. %!"! #OOOOOOO Esercizio: si preveda quale sarà la diciannovesima e la novantanovesima cifra decimale.



I numeri periodici sono composti da tre parti distinte:

1. La parte intera, composta dalle cifre poste prima della virgola(nell’esempio: 35);

2. L’antiperiodo, composto dalle cifre poste dopo la virgola e prima del periodo (nell’esempio: 254).

3. Il periodo, composto dalle cifre che si ripetono all’infinito dopo la virgola (nell’esempio: 3421);

Passaggio da numero decimale periodico a frazione

Ogni numero periodico può essere espresso in frazione, ad esempio, il numero "%. %!"! #OOOOOOO, si trasforma:

1. Scrivere il numero senza virgola: 35.2543421OOOOOOO ∙ #�� = 352543421

2. Sottrarre al numero tutto ciò che precede il

periodo: 352543421 − 35254 = 352508167

3.

Dividere il risultato trovato per un numero

formato da tanti 9 quante sono le cifre del

periodo seguiti da tanti 0 per ogni eventuale

cifra dell'antiperiodo

"% %�N#,&$$$$��

che semplificata diventa:

" �!,#$&$�$��

Esempi:

esm: &.!" P =7432 − 743

900=,,N$$�� esm: &.!" OOOO =

7432 − 74

990=

73582?

9902?

=",&$!$%

esm: &.!" OOOOOO =7432 − 7

999=

742527?

99927? =

&%"& esm: &.!P =

74 − 7

9=,%$


esr: �.!P =4 − 0

9=!$ esr: �.%!P =

54 − 5

90=!$$�

esr: �.�",OOOO =36 − 0

990=

3618?

99018? =

%% esr: .# !OOOO =

2124 − 21

990=

21033?

9903?

=&�#""�

esr: ".#! N%& =

3142857 − 3

999999=

3142857142857?

999999142857? =

&

Osservazione: /& può essere utilizzato come comoda approssimazione del valore di π

Casi particolari:

es.: �.$ =9 − 0

9= # es.: #.� =

10 − 1

9= #




Frazioni aritmetiche decimali e periodiche

Esercizio 1. Esprimi il valore decimale delle seguenti frazioni approssimando alla seconda cifra

decimale (usa la calcolatrice):

1. 3

4= 2.

8

4=

3. 9

4= 4.

7

8=

5. 23

5= 6.

8

10=

Esercizio 2. Esprimi il valore decimale periodico esatto delle seguenti frazioni (usa la

calcolatrice):

1. 1

3= 2.

2

11=

3. 13

495= 4.

1

7=

5. 37

55= 6.

421

495=

Esercizio 3. Trasforma i seguenti numeri decimali nella corrispondente frazione ridotta ai

minimi termini:

1. 0.5 = 2. 0.25 =

3. 2.25 = 4. 1.5 =

5. 82.36 = 6. 0.75 =

7. 2.75 = 8. 1.0023 =

9. 1.123 = 10. 4.5 =

Esercizio 4. Trasforma i seguenti numeri decimali periodici nella corrispondente frazione

ridotta ai minimi termini::

1. 0. 5 = 2. 0. 3 =

3. 0. 123 = 4. 1. 5 =

5. 1.1235 = 6. 23.002543 =

7. 8.732 = 8. 11.0011 =

9. 2. 2 = 10. 0.10010110 =



Operazioni binarie tra frazioni

Il Segno (operazione unaria)

− ∙ − Q��R = Q−�� R = Q �

−�R es.: − S3

4T = S−3

4T = S 3

−4T = −0.75

Addizione

+ �� +

:U =

�U + �:�U es.:

3

4+

5

6=

3 ∙ 6 + 4 ∙ 5

4 ∙ 6=

38

24=

19

12

Sottrazione

− �� −

:U =

�U − �:�U es.:

3

4−

5

6=

3 ∙ 6 − 4 ∙ 5

4 ∙ 6=

−2

24= −

1

12

Moltiplicazione

∙ �� ∙

:U =

�:�U es.:

3

4∙

5

6=

3 ∙ 5

4 ∙ 6=

15

24=

5

8

Divisione

: �� :

:U =

�� ∙

U: =

�U�: es.:

3

4:5

6=

3

4∙

6

5=

18

20=

9

10

Associatività nella divisione

?

� �?: =

��: es.:

84?

2=

8

4 ∙ 2= 1

? �� :?

=�:� es.:

8

42?

=8 ∙ 2

4= 4

Prodotto in croce:

�� =

:U ⟺ �U = �: es.:

8

2=

12

3⟺ 8 ∙ 3 = 2 ∙ 12

Altre proprietà:

� + �: =

�: +

�: es.:

4 + 8

2=

4

2+

8

2= 2 + 4 = 6

�

� + : ≠�� +

�: es.:

30

2 + 3= 6 ≠

30

2+

30

3= 15 + 10 = 25

Riduzione ai minimi termini

Per ridurre la frazione ai minimi termini, occorre trovare il MCD tra il numeratore e il denominatore.

�� =

� V:U(�,�)?� V:U(�,�)? es.:

9

12=

9 '(+(9,12)?12 '(+(9,12)? =

93?

123?

=3

4




Operazioni tra due frazioni numeriche

Esercizio 1. Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni

1. 8

4= 2 2.

3

9=

8

4

3. 84

21=

8

4 4.

36

12=

8

4

5. 1024

768=

8

4 6.

64

24=

8

4

Esercizio 2. Esegui le seguenti somme tra frazioni

1. 1

2+

3

2= 2 2.

2

5+

9

4=

53

20

3. 1

2+

3

5=

11

10 4.

2

3+

3

2=

13

6

5. 1

8+

6

5=

53

40 6.

11

17+

5

7=

162

119

Esercizio 3. Esegui i seguenti Prodotti tra frazioni

1. 1

2∙

3

2=

3

4 2.

2

5∙

9

4=

9

10

3. 1

2∙

3

5=

3

10 4.

2

3∙

3

2= 1

5. 1

8∙

6

5=

6

40 6.

7

17∙

5

11=

5

11

Esercizio 4. Esegui le seguenti Divisioni tra frazioni

1. 1

2÷

3

2=

1

3 2.

2

5÷

9

4=

8

45

3. 1

2÷

3

5=

5

6 4.

2

3÷

3

2=

4

9

5. 1

8÷

6

5=

5

48 6.

7

17÷

5

11=

7

5

Esercizio 5. Semplifica le seguenti frazioni:

1. 9

4?3

= 3

4 2.

65?

3=

2

5

3. 9

43?

= 27

4 4.

6

53?

= 18

5

5. 3

2?3

= 1

2 6.

3

23?

= 9

2



Denominatore comune

Per confrontare o per sommare due frazioni, occorre confrontare o sommare i rispettivi denominatori, ma,

affinché ciò possa essere fatto, bisogna che le due frazioni abbiano lo stesso denominatore. Occorre

pertanto trovare il più piccolo denominatore comune, e lo si trova operando il mcm tra i due (o più)

denominatori. Naturalmente, con la giusta esercitazione, questi calcoli devono avvenire mentalmente e in

modo automatico, per questo occorre fare molti esercizi.

�

�+

�

�=

�

�∙ �+

�

�∙ �

�

Dove:

�: = ��(�,�)

Esempi e esercizi di consolidamento

3

4+

5

6=

124

∙ 3 +126

∙ 5

12=

3 ∙ 3 + 5 ∙ 2

12=

9 + 10

12=

19

12

Dove ': = '(')4,6* = 12

2

3+

7

2=

63

∙ 2 +62

∙ 7

6=

2 ∙ 2 + 3 ∙ 7

6=

4 + 21

6=

25

6

Dove ': = '(')4,6* = 12

5

3+

5

4=

123

∙ 5 +124

∙ 5

12=

4 ∙ 5 + 3 ∙ 5

12=

20 + 15

12=

35

12

Dove ': = '(')3,4* = 12

8

5+

3

4=

205

∙ 8 +204

∙ 3

20=

4 ∙ 8 + 5 ∙ 3

20=

32 + 15

20=

47

20

Dove ': = '(')4,6* = 20

7

6+

3

8−

2

5=

1206

∙ 7 +120

8∙ 3 −

1205

∙ 2

120=

20 ∙ 7 + 15 ∙ 3 − 24 ∙ 2

120

=140 + 45 − 48

120=

137

120

Dove ': = '(')6,8,5* = 120




Denominatore comune tra frazioni aritmetiche e espressioni con frazioni numeriche

Esercizio. Calcola trovando il denominatore comune e indica con una “p” accanto al risultato

quali sono numeri periodici:

1. 3

4+

5

4+

2

4=

5

2 2.

3

3+

5

6+

2

2=

17

6

3. 3

4+

5

8+

2

2=

19

8 4.

1

4+

3

2+

2

3=

29

12

5. 1

5+

7

2+

2

3=

131

30 6.

1

6+

3

8+

4

3=

15

8

7. 9

12+

2

3+

5

4=

8

3 8.

8

13+

5

3+

5

6=

81

26

9. 8

13+

5

3+

3

8=

829

321 10.

9

13+

8

7+

2

7=

193

91

11. 4

3−

8

3+

2

1=

2

3 12.

4

5+

8

3+

1

2=

119

30

13. 3 +8

3− 2 =

11

3 14. 11 −

13

22−

6

5=

1013

110

15. 3

5+

8

7+ 1 =

96

35 16.

2

3− 5 +

3

2= −

17

6

17. 2

7+

1

8− 8 = −

425

56 18.

1

24+

1

23+ 2 =

1151

552

19. 1

7−

1

8− 4 = −

223

56 20. 1 −

35

41−

5

8= −

157

328

21. 4

5+

8

2−

3

7−

4

3=

319

105

22. 4

5+

1

2−

2

15−

6

21=

37

42

23. 2

7−

8

14+

6

6−

4

3= −

13

21

24. 5

8+

9

3−

3

5+

2

12=

383

120

25. 8

7+

11

5−

2

7+

15

35=

122

35

26. 2

3+

8

9−

2

27+

4

7+

1

8=

3293

1512

27. 7

3+

7

4−

1

8+

4

9−

4

6=

269

72

28. 7

3+

7

4−

1

8+

4

9+

5

12−

9

24=

40

9



Calcolo Percentuale

La percentuale (simbolo %) è un’operazione di uso comune e rappresenta il rapporto di una grandezza

rispetto alla base 100. Il 100 sta ad indicare la parte intera equivalente. La sua utilità risiede nella facilità

con cui la mente umana riesce a mettere in relazione una grandezza rispetto al valore cento.

Il 100% rappresenta la

parte intera

25%= 25% �

� 2 ∙ 50% � 100 25% ∙ 4 � 100% 75% = 25% � 100%

Si esprima la percentuale della parte colorata:

La percentuale può essere anche intesa come un valore compreso tra 0 e 1, in questo modo, ad esempio,

dire 50 % equivale a dire 0.5. In effetti, il % (letteralmente percento) significa dare un valore rispetto alla

centesima parte, e in ultima analisi, significa dividere per 100:

50 % significa: 50100 � 0.50

mentre:

50 % di 80 significa:

50100 ∙ 80 � 0.50 ∙ 80 � !�

32 % significa: 32100 � 0.32

mentre:


50100 ∙ 840 � 0.32 ∙ 840 � ,N. N

180 % significa: 180100 � 1.80

mentre:


180100 ∙ 25 � 1.80 ∙ 25 � !%

15 % significa: 15100 � 0.15

mentre:


15100 ∙ 320 � 0.15 ∙ 320 � !N

88 % significa: 88100 � 0.88

mentre:


88100 ∙ 500 � 0.88 ∙ 500 � !!�

2 % significa: 2100 � 0.02

mentre:


2100 ∙ 1320 � 0.02 ∙ 1320 � ,. !



Dire che alle urne una legge comunale è passata con 1653 voti su 3210 ha un significato poco esplicito, dire

invece che la stessa è passata con il 51.5% di preferenze, assume un significato più chiaro.

Ma come si calcola la percentuale? Fondamentalmente con una proporzione! Si dice cioè che 1653sta a

3210, come Y sta a 100, in frazione:

#,%"" #� =

Z#�� ⟹ 3210 ∙ Y = 1653 ∙ 100

e dunque l’indice % diY: Y =1653

3210= 0.515 ⇒ Y ∙ 100 = Y% = 0.515 ∙ #�� = %#.%%

In un calcolo di percentuale, si individuano tre elementi, e cioè:

• la parte intera Q (i voti totali: 3210);

• l'indice di percentuale i (il 51.5%);

• la parte percentuale p(coloro che hanno votato sì: 1653), più la parte rimanente che sommata alla

parte percentuale, deve dare come risultato la parte intera.

Altro esempio: se un venditore di magliette, ad un concerto ha all’inizio della giornata 250 magliette, e, alla

fine ne ha vendute l’80%, quante magliette ha venduto?

• Parte intera [: Ha venduto:

• Indice percentuale �:

• Parte percentuale [:

• Parte rimanente:

Esercizi di consolidamento, Si calcoli:

H = 12%+M250 = H = 250 ∙12

100= "�

H = 30%+M4800 =

H = 18%+M360 =

18%H� = 1�800 ⟹ H� = [ = 1′800 ∙100

18= #�′��

4.6%H� = 125 ⟹ H� =

56%H� = 424 ⟹ 88%H� =

Esercizio, completa la tabella:

Valore intero 469 370 38.8

Percentuale 60% 24% 126%

Parte % 54 164.15 69.3 865

Par. rimanente




Calcolo con le percentuali

Esercizio 1.

Esprimi le percentuali dei quadretti colorati di rosso (R), verde (V) e azzurro (A).

V A R R A V V A V R R R % di rosso:

V R V A R A R A A R A R % di verde:

R R A A A V A R R V R V % di azzurro:

Esercizio 2.

In un giardino vengono posate 12 piante esotiche, purtroppo però solo 7 sono sopravvissute al primo

inverno. Qual è la percentuale di piante sopravvissute?

Esercizio 3.

Un esame comprende 112 domande, per superarlo occorre rispondere in modo corretto almeno al 60%

delle domande. Per essere sicuro di superarlo, a quante domande devo essere sicuro di dare una risposta

corretta?

Esercizio 4.

L’acciaio è una lega composta al 2% da carbonio e il restante da ferro. (i.) qual è la percentuale di ferro? (ii.)

Quanti Kg di ferro e quanti di carbonio sono contenuti in una stanga di 15 Kg?

Esercizio 5.

Un gruppo di turisti ha la seguente composizione: 4 italiani, 5 francesi, 8 tedeschi e 10 americani. Esprimi la

percentuale di ogni gruppo.

Esercizio 6.

Una classe è composta al 40% da maschi e al 60% da femmine, se i maschi sono 12, quante sono le

femmine?

Esercizio 7.

Durante una lezione di laboratorio, in un mezzo litro di acqua si sono trovati 7 grammi di sale. Qual è la

percentuale di sale nella soluzione ottenuta? Quanti grammi di sale ci sono in 12 litri?.

Esercizio 8.

Una lattina di birra (33 cl) contiene una percentuale di alcol sul volume pari al 5.5%, quanti cl di alcol ho

ingerito se ho bevuto 1 litro e mezzo di birra?

Esercizio 9.

Una giovane commessa ha uno stipendio mensile lordo di 815. −. Se le trattenute corrispondono al 15%,

quale sarà il suo mensile netto? Se ogni mese la commessa risparmia il 14% del mensile netto, quanto

risparmia in un mese? E in un anno?

Esercizio 10.

Completa la tabella:

Valore intero 50 220 1 120

Indice percentuale 5% 80% 25%

Valore percentuale 25 400 720



Proporzioni

Proporzionalità diretta

Si dice che una grandezza è direttamente proporzionale ad un'altra quando la variazione di una dipende

dalla seconda per tramite di un parametro.

Ad esempio, più chilometri percorro con l’automobile, più carburante consumo. In questo caso il parametro

di proporzione è il consumo dell’automobile, ossia, quanti chilometri posso percorre con un litro.

Proporzionalità inversa

Una grandezza è inversamente proporzionale ad un’altra quando all’aumentare dell’una, l’altra diminuisce

proporzionalmente e viceversa.

Ad esempio, con più è elevata la velocità di un’automobile, con più è breve il tempo che l’auto impiega per

percorrere un determinato tratto di strada, oppure, nel mercato, con più aumenta l’offerta, con più

diminuisce il prezzo.

Quaterna proporzionale e coefficiente proporzionale

La quaterna proporzionale è l’essenza stessa della proporzione, ad esempio, se sulla pianta di un

appartamento, una parete è lunga 12 cm, mentre, nella realtà la lunghezza corrispondente è di 20m, come

si fa a sapere quanto sarà lungo nella realtà un corridoio che sulla piantina misura 18 cm? Questo tipico

problema viene risolto attraverso una proporzione. La lunghezza reale del corridoio è la grandezza

incognita, dunque, la si indica generalmente con x. Si ragiona nel seguente modo:

Frase: “20 m stanno a 12 cm come x m stanno a 18 cm”, con la quaterna diventa:

Calcolo: 20'

12(' =Y'

18(' ⟹ 12 ∙ Y = 20 ∙ 18 ⟹ Y =20 ∙ 18

12= "�V

Oppure, in modo del tutto equivalente:

Frase: “12 cm stanno a 20 m come 18 cm stanno a x m”, con la quaterna diventa:

Calcolo: 12('20' =

18('Y' ⟹ 12 ∙ Y = 20 ∙ 18 ⟹ Y =

20 ∙ 18

12= "�V

Oppure, considerando il coefficiente proporzionale:

Il coefficiente proporzionale vale: \ =20

12=%" ⟹ Y =

5

3∙ 18 = "�V

Una volta ricavato il coefficiente proporzionale, esso può essere utilizzato per trovare qualsiasi grandezza

relativa alla medesima proporzione. Si calcoli l’area del corridoio se sul piano la larghezza misura 1.2 cm.

Lunghezza del corridoio:



Oltre il corridoio si trova una stanza circolare. Si trovino il perimetro e l’area di della stanza circolare, in cui

sul disegno, il diametro ∅ vale 7 cm.

Perim.

circ.: H � ∅ ∙ ^ ⟹ H � ` ∙ ∅ ∙ ^ ⟹ H � 5

3 ∙ 7 ∙ ^ ≅ ",. ,%V

Area

circ.: - � S∅2T�

∙ ^ ⟹ - � S` ∅2T�

∙ ^ ⟹ - �Q537R

�

4 ∙ ^ �

≅ #�,. $�V�

Esercizio: se con 10 litri di benzina posso percorrere 150 Km, quanti km posso percorrere con 40 litri?

Quanti litri di benzina necessito per percorrere 400 Km?

Frase:

Calcolo: 150D'10A � Y`'

40A ⟹ 10 ∙ Y � 150 ∙ 40 ⟹ Y � 150 ∙ 4010 � ,��bV

Il coefficiente proporzionale vale: \ � 15010 � #% ⟹ Y � 40 ∙ 15 � ,��\V

Proporzioni Geometriche Una proporzione geometrica definita attraverso un rapporto k, ingrandisce o rimpicciolisce una figura

mantenendone inalterate le proporzioni. In termini moderni, essa potrebbe essere chiamata zoom. Con

una proporzione geometrica infatti, una figura viene ingrandita o rimpicciolita, come si fa “zoomando” una

fotografia o una figura.

Il coefficiente di proporzionalità ` si trova prendendo un lato della figura grande e dividendolo per lo stesso

lato della figura piccola. Per passare dalla figura piccola alla figura grande occorre moltiplicare per k,

viceversa, per passare dalla figura grande alla figura piccola, si divide per k.

Nelle proporzioni geometriche, si mantengono invariati gli angoli, e le figure si dicono “simili”, In altre

parole, un quadrato rimane un quadrato e un cerchio rimane un cerchio..

Proporzione di parametro

` � 64 �

32

Proporzione di parametro

` � 2




Calcolo con le proporzioni

Esercizio 1.

Se faccio il pieno e il mio serbatoio può contenere 50 L, quanti chilometri di autonomia ho a mia

disposizione se ogni 100 Km consumo 7L?

Esercizio 2.

Quando sono partito, l’indicatore del serbatoio della mia automobile indicava 35 L, ora invece ne indica 5.

Quanti chilometri posso ancora percorrere se la mia auto consuma 8 L ogni 100 Km?

Esercizio 3.

Sono in autostrada, ho appena passato una stazione di rifornimento, un cartello indica che la prossima si

trova a 120 Km. Se nel serbatoio ho ancora 9L, riuscirò a raggiungere la stazione di rifornimento se ho l’auto

dell’esercizio 2?

Esercizio 4.

Per 500c di marmellata occorrono 1Dc di pesche e 360c di zucchero. Calcolare le dosi per 1.5Dc di

marmellata.

Esercizio 5.

Completare la figura partendo dal mento, trovando dapprima il coefficiente di proporzionalità.



Unità di Misura e Trasformazioni

Da sempre l’uomo ha avuto la necessità di quantificare le grandezze con cui ha a che fare, sia per motivi

commerciali che per ragioni di comunicazione, ma anche per saper fare valutazioni adeguate e poter

prendere le giuste decisioni, negli ambiti più svariati. Alcune grandezze sono oggettive e direttamente

misurabili, come una distanza, il tempo, come la capacità di un contenitore, la temperatura ecc. Altre

invece sono soggettive come la bellezza, il caldo o il freddo, altre ancora invece sono semplicemente non

misurabili come l’amore, al quale non si può certo assegnare un numero.

Naturalmente in questo corso ci si occupa unicamente delle grandezze misurabili, ma si vedrà, la stessa

grandezza può essere misurata con diverse unità, come ad esempio la capacità può essere misurata in litri o

metri cubi, la lunghezza può essere misurata in metri, piedi o miglia. In genere, queste differenze possono

variare da cultura a cultura o da contesto a contesto. Esistono poi anche i multipli e i sottomultipli di una

unità di misura, ad esempio, alcuni multipli del metro si esprimono con i centimetri o i millimetri, mentre i

sottomultipli attraverso i decametri o i chilometri. Ma, ordiniamo le idee.

Le unità di misura del CGM (sistema centimetro – grammo – secondo) sono:

lunghezza: centimetro

superficie: centimetro quadro

volume: centimetro cubo

massa (peso): grammo

tempo: secondo

capacità: litro

Equivalenze

Vale la pena considerare almeno un paio di trasformazioni da un’unità di misura ad un’altra equivalente.

#deef(�ghUh) = "�.!N:V ⟺ #:V = �.�" Ndeef(�ghUh)

#gi:j(�ekkg:h) = .%!:V ⟺ #:V = �."$"&gi:j(�ekkg:h)

#�eliU(kg��) = !%",,m��VVg ⟺ #:V = �.�� eliU(kg��)

Capacità

#ngf�e = #UV� ⟺ #V� = #��ngf�g = #′��ngf�g

Esempi

5.5opp� = 5.5 ∙ 30.48 = 167.64 20(' = 20 ∙ 0.0328 = 66('

3.24Mq(ℎ = 3.24 ∙ 2.54 = 8.23(' 55(' = 55 ∙ 0.3937 = 21.65('

0.2�prq+ = 0.2 ∙ 453.6 = 9072c 140(' = 140 ∙ 0.0022 = 0.31('

Esercizio: si esprima la propria altezza in piedi e pollici e il proprio peso in libbre



Potenze di 10

I multipli e sottomultipli della lunghezza (metro) sono nell’ordine: il millimetro, centimetro, decimetro,

decametro, ettometro e chilometro. Discorso analogo per la massa (chilogrammo) e per la capacità (litro).

Il discorso è invece diverso per il tempo, dove, se alla base c’è il secondo, i suoi sottomultipli sono il minuto

(60’’), l’ora (60’), il giorno (24h) e l’anno (365 giorni).

Notazione scientifica e notazione ingegneristica di un numero

Un numero molto grande o molto piccolo (con tante cifre prima o dopo la virgola), può per comodità,

essere rappresentato come potenza di 10. Nella notazione scientifica si pone la virgola subito dopo la prima

cifra significativa, mentre, nella notazione scientifica la potenza di 10 deve essere #, ,",,,$e# .

Potenze di 10

10� = 10

10� = 100

10� = 1′000

10� = 1′000′000

10� = 1′000′000′000

10�� = 1′000′000′000′000

10�� = 0.1

10�� = 0.01

10�� = 0.001

10�� = 0.000′001

10�� = 0.000′000′001

10�� = 0.000′000′000′001

Esempi, si rappresentino i seguenti numeri nella notazione scientifica e nella notazione

ingegneristica:

Numero Notazione

scientifica

Notazione

Ingegneristica

5�200�000 = 5.2 ∙ 10� 5.20 ∙ 10�

5�225 = 5.23 ∙ 10� 5.23 ∙ 10�

855′621 = 8.56 ∙ 10� 0.856 ∙ 10�

20′512 = 2.06 ∙ 10� 20.6 ∙ 10�

Numero Notazione

scientifica

Notazione

Ingegneristica

0.002′5 = 2.5 ∙ 10�� 2.5 ∙ 10��

0.06 = 6 ∙ 10�� 6 ∙ 10��

0.235′698 = 2.36 ∙ 10�� 2.36 ∙ 10��

0.000′045 = 4.5 ∙ 10�� 45 ∙ 10��

Esercizi di consolidamento, rappresenta i numeri nella notazione scientifica:

Numero Notazione

scientifica

Notazione

Ingegneristica

6′325�000 =

1�225 =

332′157 =

71′322 =

Numero Notazione

scientifica

Notazione

Ingegneristica

0.004′7 =

0.09 =

0.897′154 =

0.000′064 =



Unità di Misura, Multipli e Sottomultipli

I numeri espressi con la notazione ingegneristica possono essere espressi in modo equivalente utilizzando

un prefisso al posto della potenza di 10. Nella tabella che segue sono indicati i prefissi equivalenti.

Prefisso kilo etto deca unità deci centi milli

Simbolo k h da - d c m

Potenza

di 10 #�� #�� #��

#�� #�� #�� #��

∙ ��

÷ ��

Esempio:

1 g

0.001 `c

0.01 ℎc

0.1 +8c

#m 10 +c

100 (c

1’000 'c

Esempio:

1 Km #\V

10 ℎ'

100 +8'

1’000 '

10’000 +'

100’000 ('

10� ''

Esempio:

1`'� #\V�

100 ℎ'�

10’000 +8'�

10�

'�

10�

+'�

10��

('�

10��

''�

Esempio:

1+'�

10��

`'�

10��

ℎ'�

0.000’001 +8'�

0.001 '�

#UV� 10� ('�

10� ''�

Esempio:

1 litro

0.001

`A

0.01

ℎA

0.1

+8A 1 n

10

+A

100

(A

1000

'A

Per passare da un numero con prefisso maggiore ad un'altro con prefisso minore, occorre moltiplicare il

numero per #� ad ogni passaggio della tabella (spostare la virgola verso destra e aggiungere gli zeri). Ad

esempio se si vuole sapere "\V a quanti UV corrisponde, occorre moltiplicare 3 per #�� e cioè:

#�)+8\V8jV* ∙ #�)+8jV8U�V* ∙ #�)+8U�V8ss�ligfà* ∙ #�)+8ss�ligfà8MUV* = #��UV.

Per fare il percorso inverso occorre invece dividere per #� ad ogni passaggio (spostare la virgola verso

sinistra). Per le grandezze quadratiche come le superfici, ad ogni passaggio occorre moltiplicare (o dividere)

per #��, mentre per le grandezze cubiche come i volumi, ad ogni passaggio bisogna moltiplicare (o

dividere) per #��.

Esempi

5 `' = 5 ∙ 10� +'

7 A = 7 ∙ 10� 'A

2 `c = 2 ∙ 10� c

4 ℎ'� = 4 ∙ 10�� ''�

3 '� = 3 ∙ 10� +'�

4 A 4 +'�

2 (' = 2 ∙ 10�� +8'

6 +A = 6 ∙ 10�� ℎA

5 'c = 5 ∙ 10�� c

1 ('� = 10�� +8'�

8 +'� = 8 ∙ 10�� ℎ'�

10 '� 10 A



Esercizi di consolidamento

8 ℎ' = +'

2 'A = 'A

2 +8c = c

4 +'� = ''�

3 '� = ('�

5 +A = +'�

2 (' = ''

6 +A = (A

5 'c = 'c

1 ('� = ℎ'�

8 +'� = `'�

5 '� = A

Passaggio da grado sessagesimale a numero decimale e viceversa

1 minuto = 60t�(pq+M 1 ora = 60'Mqr�M = 60 ∙ 60 = 3′600t�(pq+M 1 giorno = 24pu� = 24 ∙ 60)= 1440'Mqr�M* = 24 ∙ 60 ∙ 60 = 86400t�(pq+M


1 settimana = 7cMpuqM =

1 mese = 30cMpuqM =

1 anno = 365cMpuqM =

Per trasformare un numero sessagesimale in numero decimale, si prende la parte intera e vi si sommano i

minuti primi divisi per sessanta più i secondi divisi per 3600. Per passare invece dai numeri decimali ai

numeri sessagesimali, occorre prendere la parte intera e sommarvi l’ulteriore parte intera della parte

decimale moltiplicata per sessanta, e si somma ancora l’ulteriore parte decimale approssimando gli

eventuali decimali al secondo.

Esempi:

Da sessagesimale a decimale Da decimale a sessagesimale

4°30�00�� = 4 +30

60= 4.5 4.5 = 4°)0.5 ∙ 60*� = 4°30�00��

4°30�36�� = 4 +30

60+

36

3600= 4.51 4.51 = 4°)0.51 ∙ 60*� = 4°30�)0.6 ∙ 60*�� = 4°30�)36*��



4°72′00" = 4 +72

60= 5.2 5.2 = 5°)0.2 ∙ 60*� = 5°12′00′′

5°52′83" = 5 +52

60+

83

3600≅ 5.89 5.89 = 5°)0.89 ∙ 60*� = 5°53�)0.4 ∙ 60*�� = 5°53′24′′

5°52′26" = 5 +52

60+

26

3600≅ 5.8739 5.8739 = 5°�0.8739 ∙ 60�� = 4°52��0.434 ∙ 60�� ≅ 5°52�26��




Unità di misura e trasformazioni

Esercizio 1.

Rappresenta i numeri nella notazione scientifica e nella notazione ingegneristica (usa due cifre decimali).

Numero Notaz. scient. Notaz. Ing.

8′265�000 =

0.02368 =

48′100 =

0.000′032 =

Numero Notaz. scient. Notaz. Ing.

0.005′8 =

0.078 =

0.789′741 =

2′852 =

Esercizio 2.

Rappresenta i numeri nella notazione scientifica e nella notazione ingegneristica (usa due cifre decimali).

Nell’ultima colonna inserisci il numero con il prefisso corrispondente.

Numero [metri] Notazione scientifica Notazione Ingegn. Prefisso

18�500' = 1.85 ∙ 10�' 18.5 ∙ 10�' 18.5D'

1�268' =

0.0256' =

11�345' =

0.0006' =

325.52' =

Esercizio 3.

Trasforma le seguenti unità di misura

677 '' = '

3.26 (A = A

22.3 ℎc = c

250.6 +'� = '�

3.28 +'� = '�

56.3 +A = +'�

32 ' = +'

2.36 A = +8A

558 c = (c

2558 '� = `'�

0.0036 '� = ('�

2.589 '� = A

Esercizio 4.

Trasforma i numeri da decimale a sessagesimale e viceversa.


6°30�00�� = 3.2 =

9°05�59�� = 8.36 =

5°3260�02�� = 0.22 =



Basi di Calcolo Economico

Valuta

La valuta è un'unità di scambio che ha lo scopo di facilitare il trasferimento di beni e servizi. Viene di norma

emessa da ciascuna nazione o gruppi di nazioni (si pensi all'euro) attraverso la propria banca centrale o, in

alcuni stati, per tramite di più istituti di emissione.

Esempi di valuta sono il franco svizzero (CHF o SFr), l’euro (EUR o €), il dollaro americano (USD o $), ecc.

Cambio della Moneta

Il tasso di cambio permette di passare da una valuta ad un’altra mantenendo inalterato il valore del denaro

in proprio possesso, gli istituti che eseguono il cambio tuttavia non utilizzano il cambio nominale, ma

applicano un cambio che gli permetta di trarre un certo profitto.

il tasso di cambio viene definito dalla borsa e dunque dall’andamento dei mercati, i quali possono essere

influenzati da un’infinità di variabili, quali ad esempio la situazione politica, l’indebitamento di uno stato, il

volume di esportazioni, la congiuntura e via dicendo, perfino un discorso fatto da un presidente può avere

un influsso (positivo o negativo).

Tasso di Cambio

#4vw = x�yzG ⟺ #yzG = #x� 4vw x�: Tasso di cambio

Franco – Euro

#4vw = x� ∙ zI6 ⟺ #zI6 = #x� 4vw x�: Tasso di cambio

Franco – Dollaro

Conoscendo il cambio Franco – Euro e Franco – Dollaro è possibile calcolare il tasso di cambio euro –

dollaro e viceversa

x�yzG = x� ∙ zI6 ⟺ #yzG = x�x� ∙ zI6 ⟺ #zI6 = x�x� ∙ yzG

Esercizio:

14vw = yzG0.68 14vw = zI60.93 1yzG = zI6

1yzG = 4vw 1zI6 = 4vw 1zI6 = yzG

Esercizio: utilizzando il cambio corrente dell'esercizio precedente, completa la tabella.

CHF EUR USD

10.00

210.00

56.00

1524.00

Per riferimenti sul cambio: http://www.viaggiatori.net/pagine/monete/CHF.php




Conversione della moneta

Esercizio 1.

Devo fare un acquisto in Italia, se prevedo di spendere 250 euro, e se al cambio, per 1 franco mi danno 0.70

euro, quanti franchi devo cambiare?

Esercizio 2.

Vado in un benzinaio dove viene fatto il servizio di cambio della valuta. Decido di cambiare 50 franchi e mi

vengono corrisposti 36 euro. Quale è stato di tasso di cambio?

Esercizio 3.

Se il tasso di cambio da franchi a euro è pari a 0.72, a quanto corrisponde il tasso di cambio da euro a

franchi?

Esercizio 4. Si utilizzi il listino indicato per la risoluzione dei problemi

Listino: € $ £

Acquisto 1,619 1,09 2,01

Vendita 1,649 1,12 2,04

a. Per un soggiorno linguistico di tre mesi negli Stati Uniti, uno studente paga 7'700 $. Quanti CHF gli è

costato?

b. Nel marzo del 2000 il cambio del dollaro era 1,79 CHF. Quanti CHF ha risparmiato lo studente

ticinese andando a studiare negli Stati Uniti 6 anni dopo?

c. Per Natale andrò a Londra a trovare degli amici. Pernotteremo per 3 notti in un albergo situato in

zona centrale e la stanza ci costerà 74 £ a notte. Il volo di andata e ritorno mi è costato invece 80 £.

Quanti franchi svizzeri ho speso per il trasporto e per il pernottamento completo?

d. Chiedo un preventivo on-line a tre differenti aziende per dei metraggi di tessuto di cui necessito.

L’azienda americana mi risponde 18 $ al metro, quella italiana 13 € al metro e quella britannica 9 £

al metro. Considerando che i costi di trasporto si equivalgono, per quale azienda avrò optato?

e. A Milano ho acquistato un cappotto in cachemire che costava 260 €. Purtroppo non avevo con me

abbastanza Euro ed ho pagato tutto in CHF, la cifra pagata è stata di 435.- CHF.

i. Quale cambio ha effettuato il negoziante?

ii. Se mi fossi procurato gli Euro in banca prima di andare a Varese avrei risparmiato o ci avrei

rimesso? Quanto per l’esattezza?

Esercizio 5.

Se per 1 CHF mi danno 0.93 USD, e sempre per 1 CHF mi danno 0.70 euro, ()qual è il cambio euro – dollaro?

Utilizzando questi tassi di cambio completa la tabella:

CHF EUR USD

6′000.00

250.00

1′200.00



Spesa, prezzo, incasso, ricavo, tassa di ricavo, costi e guadagno

Spesa

La spesa è la quantità di soldi che un cliente, ma anche un commerciante o un venditore deve affrontare

per acquistare la merce o per usufruire di un servizio.

�� {�� = [�� ∙ �à

I�: Spesa

H !": Prezzo per l’acquisto

J#à: Quantità di oggetti acquistati

Esempio

Un commerciante acquista su internet 100 tovaglie al prezzo di 15. − l’una. Quale spesa ha dovuto

affrontare?

I��t8+�s(p''�u(M8q�� I� = 100 ∙ 15 = 1′500 La spesa del commerciante

ammonta a 1′500. −

Prezzo

Il prezzo è il costo della merce, che, solitamente viene scelto e imposto da parte del venditore. Per avere un

ricavo e quindi non andare in perdita, un rivenditore deve applicare alla merce che rivende un prezzo

superiore al prezzo con cui la ha acquistata. Spesso, i commercianti scelgono il prezzo finale della propria

merce applicando una percentuale di ricavo sulla spesa.

[�h||eUg}hiUgf�: [$%& = [�� ∙ )# + x'(�* H)*+: Prezzo per la vendita

H !": Prezzo per l’acquisto

K,-!: Tasso di ricavo (%)

Esempio:

Un commerciante acquista su internet 100 tovaglie al prezzo di 15. − l’una. Decide di avere un Tasso di

ricavo sulla vendita pari al 60%, Quale deve essere il prezzo di una singola tovaglia?

Hu�~~p+M��q+M�8: H.�/ = 15 ∙ S1 +60

100T = 4vw24. −

Incasso

L'incasso, è la quantità di soldi che il venditore riceve dai propri clienti in un lasso di tempo arbitrario,

attraverso le vendite e/o i servizi offerti, corrisponde alla spesa effettuata dai clienti.

�i:��e �%� = [$%& ∙ �à

@�!: Incasso

H)*+: Prezzo per la vendita

J#à: Quantità di oggetti venduti

Esempio:

Un commerciante acquista su internet 100 tovaglie al prezzo di 15.- l’una. Durante una fiera decide di

venderle a 24. −4vw il pezzo. Quanto incassa se riesce a rivenderne 80 pezzi?

@q(8ttp G = 24 ∙ 80 = 4vw1′920. −



Ricavo

Il ricavo è la differenza tra l’incasso e la spesa effettuata per comperare la merce venduta.

�g:�}e �(� = ;[$%& − [��< ∙ �à

G-!: Ricavo

H !": Prezzo di acquisto

H.�/: Prezzo di vendita

J#à: Quantità di oggetti venduti

Esempio:


venderle a 24. −4vw il pezzo. Quanto ricava se riesce a rivenderne 80 pezzi?

GM(8�ptrss8tMqcps8�p�8csM8 G-!.0-�1. = 24 − 15 = 4vw9. −

GM(8�ptrss��p�8csM��q+r�� G-!.!234. = 9 ∙ 80 = 4vw720. −

Costi

I costi sono l’insieme di tutte le spese, dalla manodopera, alle spese degli affitti e delle assicurazioni,

passando per i costi delle merci e della formazione fino agli investimenti, necessari per poter svolgere una

determinata attività con annessi i relativi servizi. La valutazione dei costi richiede analisi molto approfondite

e non vengono trattati in questo corso.

Guadagno

Il guadagno è la differenza tra l’incasso e la spesa effettuata per comperare la merce acquistata e messa in

vendita.

�l�U�mie �5�& = �%� − {��

�6 /: Guadagno @�!: Incasso

I�: Spesa

Esempio


venderle a 24. −4vw il pezzo. Quanto guadagna se riesce a rivenderne 80 pezzi?

�r8+8cqp+�s(p''�u(M8q��: �6 / = 24 ∙ 80 − 100 ∙ 15 = 4vw420. −


Un fruttivendolo compra 5 casse di banane, ognuna contenente 16 banane al prezzo di 8.- CHF a cassa

e compra 6 casse di mele con 12 mele a cassa al prezzo di 6.- CHF a cassa. Se il fruttivendolo vende 44

banane e 55 mele al prezzo di 2.- la banane e 1.50 la mela, trova:

Spesa:

Incasso:

Tasso di ricavo per

le banane: Ricavo:

Tasso di ricavo per

le mele: Guadagno:



Sconti

Nella pratica del commercio, lo sconto è quella riduzione del prezzo di vendita, praticata per spingere

l'acquirente a compiere scelte più vantaggiose. Lo sconto viene concesso per incentivare una vendita, per

cedere più facilmente merce invenduta o per indurre l'acquirente ad acquistare una maggiore quantità di

beni. La concessione di sconti generalizzati alla clientela da parte dei negozianti al dettaglio (saldi), è

subordinata ad apposita regolamentazione comunale, che disciplina i periodi nei quali è possibile effettuare

la vendita con queste modalità.

[7(�%8 Prezzo pieno H9-��2 � H:!21 � K:!2

SCONTI

x;�8 Tasso di sconto K:!2 � S1 � H:!2H9-��2T ∙ 100

�;�8 Ammontare dello

sconto �<�8 � [�(�%8 ∙ x<�8

[;�8 Prezzo scontato [<�8 � [7(�%8 � �<�8

[<�8 � [7(�%8 � [7(�%8 ∙ x<�8

⟹ [<�8 � [7(�%8 ∙ )# � x<�8*

Esempi

Un tour turistico costa 3500.�. L’agenzia di viaggio desidera promuovere l’offerta e applica uno sconto del

15%. A quanto ammonta lo sconto? Qual è il prezzo scontato del tour?

[7(�%8 3500.� �VVeif��hUhkke�:eife:�<�8 � "%�� ∙ S #%#��T � ��% %.�

[�h||e�:eif�fe:[;�8 � 3500 � 525 � �� ′$&%.� Oppure:

[�h||e�:eif�fe:[;�8 � 3500 � 3500 ∙ 15100 � �� ′$&%.�

Oppure:

[�h||e�:eif�fe:[;�8 � 3500 ∙ S1 � 15100T � �� ′$&%.�

x;�8 15%

�<�8 � [�(�%8 ∙ x<�8

[<�8 � [7(�%8 ∙ )# � x<�8*

In un negozio di elettronica i prezzi esposti sono “prezzi scontati”, se lo sconto è del 22%, quanto è “il

prezzo pieno” di un televisore con indicato un prezzo di 888.�?

[7(�%8 � [<�8# � x<�8

[�h||e�ghie � 8881 � 22

100� ��#′#"N. !, x;�8 22%

[;�8 888.�



In un negozio di mobili, una credenza costa 599.- a prezzo pieno.Il giorno dopo il negozio promuove la

propria merce, scontando la credenza ad un prezzo di 455. −. Che tasso di sconto ha applicato il negozio?

[7(�%8 599. −

x��eUhkke�:eife = S1 −455

599T ∙ 100 = !.�!% x<�8 = S# −

[<�8[7(�%8T ∙ #��

[;�8 455. −


Esercizio 1. Un negozio di tappeti liquida la propria merce. Un tappeto che inizialmente

costava5�500. − viene ora venduto con uno sconto pari al 70%. A quanto ammonta lo sconto? Qual è il

prezzo scontato del tappeto?

[7(�%8

x;�8

�<�8 =

[;�8 =

Esercizio 2. Con uno sconto del 10%, una torta di compleanno costa 99. −.Senza sconto quanto sarebbe

costata la torta?

[7(�%8 =

x;�8

[;�8

Esercizio 3. Un commerciante decide di vendere delle scarpe invendute al prezzo di 88. −. Se

inizialmente le scarpe costavano 110. −, che tasso di sconto deve applicare il commerciante?

[7(�%8

x;�8 =

[;�8




Imposta sul valore aggiunto e sconti

Esercizio 1.

Una maglia di cashmere aveva ad inizio stagione un prezzo +M429. −. In periodo di saldi viene scontata del

55%. Qual è il nuovo prezzo della maglia?

Esercizio 2.

Dato il prezzo iniziale, calcola il prezzo con applicato il relativo sconto

Prezzo \ Sconto 10% 20% 30% 40% 50%

550. −

1260. −

Esercizio 3.

Un fornitore di abiti da lavoro vende una tuta al prezzo di 40.-. Se però una ditta ne acquista una dozzina, il

prezzo è di 384.-. (i.) A quanto ammonta lo sconto? (ii.) Quale tasso di sconto viene applicato?

Esercizio 4.

Nella vetrina di un negozio, su un paio di scarpe viene indicato un ribasso del 20 % e il nuovo prezzo è di

89.-. Quanto era il prezzo originale delle scarpe?

Esercizio 5.

Un negozio di tappeti liquida tutto. I tappeti con un prezzo superiore ai 5000.- viene applicato uno sconto

pari al 70%. Ai tappeti di prezzo inferiore invece lo sconto è del 40%. (i.) Quanto costa un tappeto di 5000.-?

(ii.) Quanto costa un tappeto di 4000? (iii.) Trova il prezzo di due tappeti che con un prezzo pieno diverso,

hanno lo stesso prezzo scontato.

Esercizio 6.

Completa la tabella

Prezzo intero 210. − 999. − 49. −

Tasso di sconto 60% 20%

Prezzo scontato 888. − 52. − 80. −

Ammontare dello sconto 35. − 20. −

Esercizio 7.

In una televendita, un presentatore annuncia che un gioiello viene venduto con uno sconto di 400 euro.

Accanto al gioiello vi è un'etichetta che indica che lo sconto corrisponde al 60%. (i.) Qual è il prezzo intero

del gioiello? (ii.) Qual è il prezzo scontato del gioiello?

Esercizio 8.

In un negozio, delle saponette vengono vendute con la formula del "prendi 3 e paghi 2". (i.) Qual è il tasso

di sconto corrispondente? Se acquisto 6 saponette e alla cassa pago 20.- CHF, (ii.) quanto è il prezzo di una

saponetta? (iii.) Qual è il prezzo che devo pagare se acquisto 5 saponette?



L'imposta sul valore aggiunto (IVA)

L'IVA è un'imposta generale sui consumi, che colpisce solo l'incremento di valore che un bene o un servizio

acquista ad ogni passaggio economico (valore aggiunto).Attraverso un sistema di detrazione e rivalsa,

l'imposta grava completamente sul consumatore finale mentre per il soggetto passivo d'imposta (il

contribuente) rimane neutrale. L'IVA pertanto rappresenta un costo solamente per i soggetti che non

possono esercitare il diritto alla detrazione e quindi, in generale, per i consumatori finali. Il valore dell'IVA

varia tra paese e paese. In Svizzera il suo valore è di 7.6% ed è nettamente il paese europeo con il tasso più

basso, seguita dal Regno Unito e Malta (15%), mentre in Italia è il 20%, simile a Germania (19%) e Francia

(19.6%). I paesi col tasso più elevato sono Ungheria, Svezia e Danimarca con un tasso che si attesta al 25%.

[;=> Prezzo della merce

senza IVA H0�?@ � H�?@

K�?@ = 1

x=> Tasso dell'IVA (%) K�?@ � SH�?@H0�?@ � 1T ∙ 100

�=> Ammontare dell’IVA �=> � [;=> ∙ x=>

[=> Prezzo della merce

con IVA

[=> � [;=> = �=> ⟹[=> � [;=> = [;=> ∙ x=>

⟹ [=> � [;=> ∙ )# = x=>*

Esempi:

In un negozio di articoli sportivi, una tuta costa 120.- senza IVA, quanto è l’ammontare dell’IVA? Quanto è il

prezzo della tuta con IVA?

[;=> 120.� �VVeif��hUhkk’�� 120 ∙ 7.6100 � ��$. #

[�h||e:ei�� 120 = 9.12 � 120 = 9.12 � ��# $. #

Oppure:

[�h||e:ei�� 120 = 120 ∙ 7.6100 � 120 = 9.12 � ��# $. #

Oppure

[�h||e:ei�� 120 ∙ S1 = 7.6100T � 120 ∙ 1.076 � ��# $. #

x=> 7.6%

�=> � [;=> ∙ x=>

[=> � [;=> ∙ )# = x=>*

In un negozio di strumenti, una chitarracosta 355.- IVA inclusa, quanto è il prezzo della chitarrasenza IVA?

[;=> �[=>

x=> = #

[�h||e�hi|�� 3557.6100 = 1

� ��" $. $" x=> 7.6%

[=> 355.�



Nel negozio di un paese straniero, un costume da bagno costa 49.98 euro con IVA, mentre senza ne costa

42. Quanto vale il tasso dell'IVA in quel paese?

[;=> 49.98. −

��′�� =49.98 − 42

42∙ 100 = #$% x=> = S [=>[;=> − #T ∙ #��

[=> 42. −


Esercizio 1. In un negozio di elettrodomestici, un fornello a microonde costa 119. −senza IVA, quanto è

il prezzo con IVA? A quanto ammonta il valore aggiunto dell’IVA?

[;=>

x=>

[=> =

Esercizio 2. In una carrozzeria, una riparazione al telaio dell’auto, costa 1′122. −IVA inclusa, quanto è

il prezzo dell’intervento senza IVA? A quanto ammonta il valore aggiunto dell’IVA?

[;=> =

x=>

[=>

Esercizio 3. Nel negozio di un paese straniero, noleggiare uno scooter per una giornata costa 24.20

euro con IVA, mentre senza ne costa 20. −. Quanto vale il tasso dell'IVA in quel paese?

[;=>

x=> =

[=>

Esercizio 4. Dopo una giornata di lavoro, un cameriere nel "fare la cassa" legge che il totale dell'IVA

corrisponde a 200. − CHF. A quanto ammonta l'incasso della giornata?

[;=> 200. −

x=> 7.6%

�=> = [;=> ∙ x=>

[=> = [;=> ∙ )# + x=>*




Imposta sul valore aggiunto e sconti

Esercizio 1.

Un negozio di informatica vende un computer portatile al prezzo 1’100.-. In un altro negozio, lo stesso

computer viene venduto a 1190.-, ma, quest’ultimo negozio applica per il giorno corrente uno sconto del

10%. Siccome ho intenzione di comprare quello specifico computer, (i.) Mi conviene cogliere l’occasione o

aspettare e acquistarlo nell’altro negozio? Una volta alla cassa scopro (prima non avevo fatto caso) che il

prezzo del computer è inteso senza IVA. (ii.) Mi conviene ancora fare l’acquisto in questo negozio?

Esercizio 2.

A titolo amatoriale produco un buon liquore, e, lo vendo ad alcuni amici al prezzo di 25. − la bottiglia. Un

ristoratore si è interessato al mio prodotto e mi ha proposto di acquistare 14 bottiglie al prezzo di 250. −.

(i.) Quale sconto applico al ristoratore se gli vendo le bottiglie al prezzo richiesto? Una sera vado al

ristorante e noto che il ristoratore rivende la bottiglia al prezzo di 35. −. Considerando che alla bottiglia

viene appicata anche l’IVA, (ii.) A quanto ammonta il ricavato del ristoratore sulla vendita di una bottiglia?

Esercizio 3.

Un grossista deve acquistare delle magliette direttamente dal produttore, ha a disposizione un budget di

2000. −. (i.) Quante magliette può acquistare se ognuna costa 4. −? (ii.) Qual è il suo incasso se rivende le

magliette al negoziante per un prezzo di 12. −? (iii.) Qual è il ricavato del negoziante se vende i tre quarti

delle magliette al prezzo pieno di 25. − (IVA inclusa) e il restante quarto al prezzo scontato del 10%(IVA

inclusa)? (iv.) Quanto guadagna lo stato attraverso l’IVA?

Esercizio 4.

Un negoziante di televisori acquista 20 modelli al prezzo di 400. − e nel rivenderli vuole avere un ricavo

pari al 300%. (i.) Qual è il prezzo del prodotto (sia senza che con IVA)? Una volta venduti 8 televisori,

escono nuovi modelli più performanti e la pressione della concorrenza fa si che i televisori in stock

rimangono invenduti. Per non andare in perdita con i televisori in eccesso, il venditore decide di liquidarli a

500. − (IVA esclusa). (ii.) Qual è lo sconto che il venditore deve applicare? (iii.) Qual è il guadagno del

venditore una volta venduti tutti i televisori?

Esercizio 5.Completa la seguente tabella:

Spesa unitaria [CHF] 12 2.50 5.00 400 40

Prezzo di vendita unitario

(senza sconto e senza IVA) [CHF] 25 7.50 6.00 500

60

Sconto [%] (senza IVA) [%] 20 % 50 % 0 % 10 % 15 %

Prezzo di vendita unitario scontato

(senza IVA) [CHF] 20

Ricavo unitario [CHF] 8

Ammontare dell’IVA per unità (7.6%) [CHF] 1.52

Prezzo di vendita unitario con IVA

(arrotondato ai 90 cts verso l’alto) [CHF] 21.90



Capitalizzazione e Rendita

La capitalizzazione è quel processo finanziario che consiste nell’investimento di un capitale per un

determinato periodo temporale, atto al conseguimento di una rendita e quindi al raggiungimento di un

capitale finale maggiore di quello investito inizialmente.

L’interesse è il compenso (espresso in percentuale) che si versa o si riscuote per il prestito di un capitale in

proporzione al tempo di durata (ordinariamente un anno).

Si distingue tra interesse semplice e interesse composto.

Interesse semplice

L’interesse semplice è maturato alla fine di ogni periodo e viene corrisposto senza essere ulteriormente

capitalizzato, in altre parole, alla fine di ogni anno si riscuote l’utile maturato dagli interessi, e si ricapitalizza

unicamente il capitale di partenza.

Interesse composto

L’interesse composto viene capitalizzato e produce a sua volta altro capitale, si tiene conto cioè del fatto

che anche gli interessi maturati di anno in anno, producono a loro volta del capitale che si va a sommare al

capitale di partenza. Nelle situazioni reali, oltre ad altri svariati parametri di cui occorre tenere conto (spese

amministrative, provvigioni, eventuali costi assicurativi, ecc.), La capitalizzazione si calcola facendo

riferimento all’interesse composto.

Parametri del Calcolo Finanziario

Capitale iniziale �8

CAPITALIZZAZIONE

Valore aquisito dopo n anni �%

Tasso d’interesse annuo g

Anni di rendita i

Interesse prodotto dopo n anni �%

Fattore di capitalizzazione annuale � � g = #

Fattore di attualizzazione annuo } � # �?

Relazioni

Interesse Semplice Interesse Composto

Interesse �% � �8 ∙ g ∙ i �% � �8 ∙ )�% � #*

Il capitale finale (o capitale dopo

n anni) è il capitale fruttato.

4� � 42 = @ ∙ q

4� � 42 = 4p ∙ M ∙ q

�% � �8 ∙ )# = g ∙ i*

�% � �8 ∙ �%

�8 � �% ∙ }%




Capitalizzazione e rendita

Parte A: Interesse semplice

Esercizio 1

Il signor Rossi riceve un bonus di 9�000. −4vw. Decide di investirli in una banca che gli offre un tasso di

interesse pari al 4.2%. (i.) Quanto gli rende questo capitale dopo 58qqM? (ii.) E dopo 108qqM?

Esercizio 2

Il Signor Bianchi deposita la cifra di 9′000. − franchi in un fondo di investimento. Nell’arco di 48qqM gli

rendono un capitale di 11’000. −. Qual è stato il tasso di interesse del fondo?

Esercizio 3

Un padre vuole che il suo bimbo di 28qqM abbia a 208qqM un capitale di 20′000. −. Se il consulente gli

propone un investimento al tasso dl 3.7%, a quanto deve ammontare il capitale iniziale che il padre deve

investire?

Esercizio 4

Un ristoratore acquista una cassa di 12 bottiglie di un vino molto pregiato al prezzo complessivo di

1’680. −. Ogni anno il valore delle bottiglie aumenta con un tasso di interesse pari al 12%. Se il ristoratore

vende:

• 1.mo anno: 1 bottiglia

• 2.do anno: 1 bottiglia

• 3.zo anno: 4 bottiglie

• 4.to anno: 5 bottiglie

• 12.mo anno 1 bottiglia

A quanto ammonta il ricavo del ristoratore rispetto all’investimento iniziale?

Esercizio 5

Un collezionista di automobili acquista un’auto d’epoca al prezzo di 250′000. −. L’automobile acquista un

valore annuo pari ad un tasso di interesse del 5%. Se il collezionista vuole rivendere l’auto ad un prezzo

non inferiore a 300′000. −, quanti anni deve aspettare prima di poter rimettere l’auto in vendita?

Esercizio 6

Una famiglia desidera acquistare una casa di vacanza, ha la possibilità di investire il capitale dell’eredità pari

a 180′000. −. Se la banca gli propone un investimento del 3.71%, (i.) quanti anni deve aspettare prima di

poter effettuare l’acquisto se l’appartamento costa 300’000? (ii.) Se vuole fare l’acquisto entro 108qqM, quale deve essere l’investimento iniziale? (iii.) E se nel frattempo anche la casa di vacanza assume un valore

pari al tasso di interesse dello 2.1%?

Esercizio 7

Una giovane famiglia desidera acquistare una villetta del valore di 900′000. − franchi. Possiede un capitale

iniziale di 300′000. − franchi. Dopo quanto tempo diventano proprietari se ogni mese investono 2′000. −

per la villetta al tasso di interesse del 2.4%?

Parte B: Ripeti tutti gli esercizi della serie utilizzando l’interesse composto.

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